Исследование краевых задач для уравнений соболевского типа в нецилиндрических областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Винокур Марина Владимировна

УДК 517.9

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ - 2006

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент В.И. Ушаков Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Ф.Х. Мукминов доктор физико-математических наук, профессор Л Д Менихес Ведущая организация Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Защита состоится 2006 года в •/>? ч 00 мин на заседании

диссертационного совета К 212.286 01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу:

620083, Екатеринбург, просп. Ленина, 51, комн 248

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. А.М Горького

Автореферат разослан " " 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости и поведения решений второй начально-краевой задачи для одного класса нестационарных уравпспий соболсвского ти

где Ьи — Лгу(к(а:, 1)4хи) — с(х, 1)и, в нецилиндрических областях, изменяющихся с возрастанием времени (т.е. проекция сечения области Ц плоскостью {I = т} на плоскость {£ = 0} зависит от т).

Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы Начально-краевые задачи для уравнепия вида (0.1) в изменяющихся со временем областях используются при постановке некоторых задач гидромеханики 2, теории тепломассопереноса 3 и др.

Данное исследование находится па стыке сравнительно нового научного направления теории неклассических задач математической физики — уравнений соболсвского типа (уравнений, невырожденных относительно производной по времени) и теории начально-краевых задач для различного типа уравнений и систем уравнений в нецилиндриче-

1 Мдслои ВЛ1.ДИосолов 1111. Уравпгатя атиллчтогобсчхгг^япижо гаш. М.Нлухл. НУ.») -216г. 5 Палубаринова-Кочяна П.Я. Теория движения грунтовых воя.- М.: Наука -1997.- 457 с эМкжи П.П., Данилин НГ, Валосов К.А. Математическое иделировашк працеггов тепло-

шпшреиа. Эволюция двогипатпвгалх структур - М-: Наука,- 1987.- 352 с.

па

Ьщ = ь(х, 1)и(х, ь) + /(х, £), (х, I) е (},

(0.1)

с.ких областях.

Многообразие аспектов, в которых рассматриваются задачи Копт для линейных уравнений соболевекого типа, можно представить сославшись на работы Г.В. Демиденко, C.B. Успенского, A. Favini, A. Yagi, И.В. Мельниковой, А.И. Кожанова, В.Н. Врагова, Г.А. Сви-ридюка, В.Е. Федорова и многих других. В указанных работах (х, i) из цилиндрической области Qt = fio х [0. Т\.

Нецилиндричоские области широко применяются при постановке начально-краевых задач для различного типа уравнений и систем уравнений в теории теплопроводности *, разработке тепловой защиты космических аппаратов 5, экологии и медицины 6 и других. Исследованию такого рода задач и разработке общих принципов их изучения посвящены работы М. Жевре, И.Г. Петровского, J.L. Lions, С.Г. Крейна, Л.И. Камынина, В.П. Михайлова, G. Da Prato, J. Ferrara, H.A. Ларь-кипа и многих других.

Исследование уравнений соболевекого типа в изменяющихся со временем областях в настоящее время остается мало изученной темой, _

'Картзпюв Э.М., Партой В.З. Динамическая термов upji петь я проблемы термического удара // Итоги пауки и тиники, сер. Мет ка деформ. те. чела--М.:ВИНИТИ.-1991.-Т.22.-С.55-127.

*Малпв Ю.И., Мартин m Л.К. Разора оболочки при наличии iqiiuwmB раздшадя

нагреваемой поверхности // Изв. Вузе», сер. Маптяостр-е,-1989 - ЯЧ - C.52-S6.

*МнтропальскиВ Ю А , Березовский А А , Плотнящий Т А. Здоми со свободными границами

для нелинейного нюшцнояшо уравнения в проблемах мпаллургпп, медицины, ^шлопп // Укр. маг, журнал- 1992,- T.«, JM- С.67-75.

которая представляется актуальной.

Методы исследования. В диссертации использовались методы теория функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теория пространств С.Л. Соболева.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

• предложен подход к исследованию линейных начально-краевых задач в областях с изменяющейся в зависимости от временим границей без замены переменных;

• доказаны теоремы существования и единственности для данного типа задач;

• исследовано поведение решений данного типа задач прн больших значениях времени в регулярных областях;

• установлены теоремы об однозначной разрешимости и поведении решений пары сопряженных задач в случае неограниченных коэффициентов уравнения.

Все результаты являются новыми.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследовани-

ях начально-краевых задач для уравнений соболевского типа в нецилиндрических областях.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" в г. Стерлитамаке (1998 г.), на зимней и весенней Воронежских математических школах (1999 г.), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в г. Челябинске (1999 г.), на международной научной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравпепия" в г. Уфа (2000 г.), па Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М.А.Лаврентьева в г. Новосибирске (2000 г.), на городских семинарах по уравнениям соболевекого типа (под руководством проф. Г. А. Свиридюка) и по асимптотическим методам (под руководством акад. РАН A.M. Ильина) в г. Челябинске. Кроме того, данное исследование поддержано грантами РФФИ 97-0100444, Минобразования 1998-2000 г.г. и стипендией Законодательного собрания Челябинской области (2000).

Публикации. По теме диссертации актором опубликовано 14 работ. Список работ приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

трех глав и списка литературы. Работа содержит 112 страниц, включая библиографический список из 93 наименований.

Содержание работы. Во введении приводится постановка задачи, обоснование ее актуальности, сделан краткий обзор опубликованных работ, имеющих отношение к теме диссертации и сравнение полученных в диссертации результатов с известными. Здесь же излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается вопрос существования и единственности второй краевой задачи:

<\iv(k(x, i)V(t,(.T, t)) - с(х, t)ut(x. t) = Ь{х. t)u(x, t) + /(:г. Д)(1.2)

u(x,0) = ф) (1.3)

^ 0, (1.4)

dn

r

в сужающейся по времени области Qi- Рассматриваемые в работе нецилиндрические области подразделяются на два вида: сужаюпщеся по времени (yti,t2 : 0 < t\ < < Т, П^ Q i\) й расширяющиеся по времени (Vib t2 : 0 < h < t2 < Т, Qh Э П,,).

b(x, t), е(х, t). к(х, t) — положительные измеримые в Qj фупкцпп.

ф) € Lt(Sh), 1{хЛ)€ЬгШ-

Г = {(х,/)|.т е dQ, I G (О Т)} — боковая поверхность Qf, л внепгаяя пормаш> к Г по пространствеппым переменным. Г = {(х, ^(х))| xeflo, ф[х) : Rn- > R}, где функция ф(х) есть

точная верхняя грань множества таких I, что отрезок с концами в точках (х, 0) и (х, t) лежит в Qt-

Определение 1.4.1 Обобщенным решением данной задачи в Qt считается функция и(х, t) — элемент пространства Vif1 (Qt), для которой ut(x,f) из W^iQr), удовлетворяющая интегральному тождеству

- J k(r,)Vni(x, 1)Vv(x, t)dxdt - J c(x)r{x,t)iit(x,1)dxdl =

От Qt

J b(x)v(x, l)u(x, l)dxdl + J f(x,l)v(x,l)tinil (1.5)

Qt Qt

для любой пробной функции v(x, t) из И^(Qt) и начальному условию (1.3).

Теорема 1.5.1 Пусть Qt — сужающаяся по времени область в пространстве R"+l (mes Д> < оо). Функции Ь(х, £), c(i, i), k(:r, (,) — ограничены, положительны, отделены от нуля и невозрастают по времени в Qt- Существуют обобщение производныеbt(x. l),ci(x. I), kt(x, I). Функции f(x,t.) € fn(Qr), G Ы^о)- Тогда обобщенное решение решение задачи (1.2)-(1.4) существует.

При данных условиях была доказана также единственность решения данной задачи.

Во второй главе диссертации исследована вторая краевая задача

для уравнения:

апг^М^иДх.г)) = Ь(х,1)и(х, ¿) + /(х,0 (2.1)

О

= У^(аг), аг € По (2.2)

«=о

= 0, 1> 0. (2.3)

г

дп

В данной главе в качестве области определения решения поставленной задачи берется нецилиндрическая область, сужающаяся по времени. В качестве основных функциональных пространств рассматриваются:

IV = — пространство функций, элементами которого являются функции и(х. £) из ¿2(<3т) такие, что Ум(аг, £) из ЬгК^г)

V — У(Фг) — множество бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих У«(0, ж) = 0, х 6 По-

Н = Н{(2т) — пополпспис V в норме, порождеппой скалярным произведением (и, п)н — f (иг + Ум(У«4)<£гЛ.

Ят

Целью главы является доказательство существования и единственности обобщенных решений поставленной и сопряженной к ней задач.

-<И\(к(хЛ)Х7у(х,1))1 = Ь(хЛ)и(хЛ) + ¡(х,1). (2.8)

=0, *>0 (2.9)

ап

г

Чг(х,ф(х)) = 0, (2.10)

где / 6 Н*. При этом областью определения решения сопряженной

задачи является область, расширяющаяся по времени.

Билинейная форма на Я х W определена равенством:

B(u.v) =< к(х, t)Vut, Vv > + < b(x, t)u, v > .

B(u, v) порождает пару взаимно сопряженных ограниченных операторов:

L : 11 -* W*, L* :W*-> //.

Определение 2.3.2 Обобщенным решением задачи (2.1)-(2.3) в QT будем называть функцию и{х, t), такую, что при Т > О функция й(х, t) = и(х, t) - <р(х) припадлсжит пространству H(Qt) и удовлетворяет уравнению Lu = f(x, t), где /(х, t) = f(x, i) + b(x, l)ip(x).

Определение 2.3.3 Обобщенным решением задачи (2.8)-(2.10) в Qt будем называть функцию v(x, t), из пространства W(Qt), которая удовлетворяет уравнению L*v = f(x,t) + b(x,l)ip(x).

Следующая теорема, по существу, гарантирует однозначную разрешимость задач (2.1)-(2.3) и (2.8)-(2.10).

Теорема 2.4.1 Пусть Qt — сужающаяся по времени область, функции b(x, t), k(x. t) ограничены, положительны и отделены от нуля в Qt, тогда операторы L: Н —* W* и L* : W* —* Н биективны.

Следующим результатом второй главы является теорема характеризующая поведение решения поставленной задачи при k(x, t) = 1, b(x, t) = 1 в случае, когда область достаточно регулярна.

Определение 2.6.2 Область Qj называется достаточно регулярной, если для каждого сечения fit справедливо неравенство Пуанкаре:

для всех ш(х. t.) € Wj (fy), удовлетворяющих условию f w(x, t.)dx = О,

п.

справедлива оценка

J w2(x, l.)dx < 0(1) J\Ww(x)fdx.

п, П,

'Пюрема 2.6.2 Пусть для сечений ilt области Qt справедливо

неравенство Пуанкаре, п{х, f) — решение задачи (2.1) (2.3) с коэффициентами k(x,l) = 1, b(x.l) = 1, mes ilt < оо. Тогда для п.в. I > О справедливы неравенства

Ju2(zj)dx < Yt l^fdx,

it, llo

J u2(ar, t)dx < 0(t) J \Vip\2dx

(и По

В третьей главе диссертации рассматривается вторая краевая задача для уравнения Соболевского типа:

-ДиДх.О + ОДиОМ) = о, (х, г)е<? (3.1)

V« = 4<р(х), 16 По, (3.2)

О, I > О., (3.3)

t=о ди

дп

b(t) — не является ограниченной, область Qx — сужается по времени.

Введены определения обобщенных решений с помощью соответствующей билинейной формы. Аналогично второй главе доказана теорема

существования и единственности поставленной и сопряженной к ней задач. Следущим результатом диссертации является теорема, содержащая оценки поведения решения:

Теорема 3.6.1 Пусть для сечений Qt области QT справедливо неравенство Пуанкаре, Vip € Lai^o), Ч> € Ьг(По), тр* По < оо и для всех Т > О

г f &

JW) < +0°-

о

т

Jb(t)dt < +00, о

тогда задача (3.1)-(3.3) имеет единственное решение и для почти всех t > 0 справедливы неравенства:

«< Itg

Ju2{x,t)dx < (i(t) j\V<p(x)\2dz.

(U (1,,

В качестве примера рассматривается область вращения f,) — {(х, I.) : \х\ < /?(<)}, где R(t)—положительная убывающая функция.

Результаты диссертации опубликованы в [1]-[14].

Список опубликованных работ

[1] Иванова М.В. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Сб. тр. междунар. пауч. копф. "Спектр, теория диф. операторов и смсж. поп-сы". Стерлитамак. 1998. 4.1, с.46-47.

[2] Ушаков В.И., Иванова М.В. Вторая краевая задача для уравнения типа Соболева в нецилиндрической области. Вырожденный случай // Тез. докл. воронежской зямн. мат. шк. Воронеж, Изд-во ВГУ. - 1999. - с.209.

[3] Иванова М.В. Вторая краевая задача для уравнения типа Соболева в нецилиндрической области // Тез. докл. воронежской весен, мат. шк. "Понтр. чтения - X". Воронеж, Изд-во ВГУ. - 1999. -с.114.

[4] Иванова М.В. Вторая краевая задача для уравнения типа Соболева в нецилиндрической области. Случай расширяющихся областей // Тез. докл. междунар. науч. конф. "Диф. и интегр. ур-я". Челябинск, Изд-во ЧелГу. 1999. - с.52.

[5( Ушаков В.И., Иванова М.В. Поведение решений уравнения соболевского типа в сужающейся области вращения // Тез. докл. меж-

дунар. науч. конф. "Компл. анализ и диф. ур-я". Уфа, Изд-во ИМ с ВЦ УНЦ РАН. - 2000. - Ч.З, с.164-165.

[6] Иванова М.В. О гладкости решений второй краевой задачи для уравнения соболевского типа в нецилипдрической области // Тез. докл. IV сиб. контр, по прикл. и индустр. матем., поев, памяти М.А.Лаврентьева. Новосибирск, Изд-во Ин-та математики. - 2000. - 4.1, с.58.

|7] Ushakov V.l., Ivanova M.V. The solution behaviour for Sobolev type equation in noncylindrical narrowing domains when t->oo// Тез. докл. междунар. науч. конф. MOGRAN 2000. (Совр. групп, анализ для нов. тысячелетия.) Уфа, Изд-во УГАТУ. - 2000. - с.69.

[8] Ушаков В.И., Иванова М.В. Свойства функции Грина третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Известия ВУЗов, сер. Математика. - 2000. - N 10(461). - с.68-78.

{9] Иванова М.В. Об одной паре взаимосопряженных задач для уравнения соболевского типа в нецилиндрических областях // Тез. докл. междунар. науч. конф. "Дифф. и интегр. ур-я". Одесса, Изд-во Астропринт. - 2000. - с.113-114.

[10] Ушаков В.И., Иванова М.В. Поведение при больших значениях времени решений второй краевой задачи для псевдопараболического уравнения в сужающейся области // Вестник Челяб. ун-та. Математика. Механика. - 2001. - N 1(3).- с.126-134.

[11] Иванова М.В., Ушаков В.И. Поведение решений краевой задачи для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Сб. науч. работ "Уравнения соболевского типа". Челябинск, Челяб. гос. ун-т. - 2002. - с.30-38.

[12] Иванова М.В., Ушаков В.И. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Математические заметки. - 2002. - Т 72. — N 1. - с.43-47.

[13] Vinokur M.V. The Behavior of Boundary-Value Problem Solution for Pseudoparabolic Equation in Nontilindrical Domains. The Regular Enough Domains Case // Тез. докл. воронежской весен, мат. ппс. "Понтр. чтения - XVI". Воронеж, Изд-во ВГУ. - 2005. с. 10-11.

[14] Винокур М.В. Разрешимость и поведение решения начально-краевой задачи для уравнения соболевского типа в пецнлпндри-ческой области в случае неограниченных коэффициентов // Деп. ВИНИТИ Л» 552-В2005 от 20.04.2005 - 26 с.

JJUPéjL

3>3>3¿L

i - 33 32

i

i

•« Введение

1 Нестационарное уравнение в сужающейся области

1.1 Основные определения.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Основные функциональные пространства.

1.4 Определение обобщенного решения. • 1.5 Теорема существования обобщенного решения

1.6 Теорема единственности обобщенного решения

С 2 Пара сопряженных задач в нецилиндрической

L- области. Исследование поведения решения - 2:1 Постановка задачи . . . . . . -.

2.2 Основные функциональные пространства.

2.3 Определение обобщенного решения.

2.4 Теорема существования и единственности.

2.5 Оценки поведения решения при больших значениях времени.

2.6 Поведение решения в зависимости от времени в случае регулярных областей. г • V

2.7 Поведение решения в зависимости от времени в случае ф областей вращения.

3 Пара сопряженных задач в нецилиндрической области. Случай неограниченных коэффициентов

3.1 Постановка задачи.

3.2 Основные функциональные пространства.

3.3 Определение обобщенного решения.

3.4 Теорема существования и единственности.

3.5 Поведение решения в зависимости от времени

3.6 Поведение решений при больших значениях времени в регулярной области

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости начально-краевых задач для одного класса нестационарных уравнений соболевского типа в нецилиндрических областях и изучению поведения решений таких задач при больших значениях времени. Рассмотрены также разрешимость пар сопряженных задач для уравнений соболевского типа в нецилиндрической области, случай неограниченных коэффициентов в уравнении.

Исследуемые в работе начально-краевые задачи можно формально записать в операторно-дифференциальном виде

Lut(x, t) = Ми(х, t) + f(x, t), (0.1) и(х,0) = щ(х), (0.2) где оператор L определен следующим образом:

Lu = div(k(x,t)Vu) — c{x,t)u\ функция и(х, t) определена в нецилиндрической области QT.

В литературе уравнение (0.1) известно как уравнение соболевского типа [47] (также используются термины: уравнение "не типа Коши-Ковалевской", псевдопараболическое уравнение, вырожденное уравнение). Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидродинамики [44], [39], физики атмосферы [31], физики плазмы [32], [21].

Спектр применения краевых задач для уравнений параболического типа в области с границей, движущейся во времени (нецилиндрические области), достаточно широк. Подобного рода задачи возникают в различного рода процессах массо- и теплопереноса: при изучении процессов горения в ракетных двигателях на твердом топливе [11], термическом разложении материалов [58], замораживании и нагреве грунта [2], при иследовании проблем атомной энергетики и безопастности атомных реакторов [42], [76], экологии и медицины [34], твердения бетона [43], а также при решении некоторых задач теории теплопроводности твердых тел (при тепловом ударе) [19], тепловой защите космических аппаратов [40], [29] и др.

Задачи Коши вида (0.1), (0.2) в зависящих от времени областях используются при постановке некоторых задач гидромеханики [3], [44], [39], добычи нефти [45], явления электрического взрыва проводников [46].

Историография вопроса. Данная работа находится на стыке сравнительно нового научного направления теории неклассических задач математической физики — уравнений соболевского типа и теории начально-краевых задач для различного типа уравнений в нецилиндрических областях.

Исследование уравнений, неразрешенных относительно производной по времени, началось с работы А.Пуанкаре ([75], 1885 г.). Начало систематических исследований таких уравнений было положено в работе C.JI. Соболева ([48], 1954 г.), чьим именем они и стали называться в дальнейшем [47]. Многообразие аспектов, в которых рассматриваются краевые задачи для линейных уравнений соболевского типа, можно представить сославшись на работы Г.В. Демиден-ко и С.В. Успенского [64], [49], A. Favini и A. Yagi [65], И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [74], А.И. Кожанова [22], В.Н. Врагова [7], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и С.В. Попова [10], Г.А. Свиридкжа и В.Е. Федорова [78] и многих других.

В монографии Г.В. Демиденко и С.Г. Успенского [64] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны так:

1-1

A0Dltu + Y,Ai-kDtu = f, к=0 где Ао, Ai,.,Ai — линейные дифференциальные операторы относительно х = {х\,х2, ••■ixn). Aq не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

В работе A. Favini и A. Yagi [65] исследуется задача с начальными условиями d

Mv = Lv + f(t), 0 <t<T, at

Mv{ 0) = i>o, в банаховом пространстве X, где М и L — замкнутые операторы в X, f(t) — непрерывная на [0, Т] функция со значениями в X, a vo -заданный элемент из X. Для исследования этой задачи использовался метод линейных дифференциальных включений и порожденных ими полугрупп.

И.В. Мельниковой в [33] было исследовано дифференциальное включение с линейным многозначным оператором А ju{t) € Au(t), к которому можно редуцировать уравнение (0.1). Получены критерии корректности поставленной задачи, при этом речь идет о существовании решения задачи на полупрямой или, во втором случае, локальной задачи Коши, экспоненциально устойчивого относительно изменения начального значения в смысле более сильной нормы. В монографии [74] И.В. Мельниковой и А.И. Филииковым изложены основные методы решения абстрактной задачи Коши для линейных вырожденных уравнений с точки зрения их взаимосвязи друг с другом.

В монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [78] наряду с задачей Коши для однородного уравнения соболевского типа рассматривается задача Коши для линейного неоднородного уравнения вида (0.1), (0.2). Используя метод фазового пространства, авторы описали условия разрешимости задачи Коши, общий вид классического решения. Полученные в [53] — [55] В.Е. Федоровым результаты дополняют теорию вырожденных полугрупп линейных операторов.

Исходным пунктом работ в теории начально-краевых задач для различного типа уравнений и систем в нецилиндрических областях принято считать работы М. Жевре ([41], 1913 г.) и И.Г. Петровского ([41], 1934 г.). В этих работах было впервые проведено исследование смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности в нецилиндрической области. В зарубежных изданиях подобные задачи для уравнений в нецилиндрических областях называют задачами в изменяющейся со временем области [59]. [66], [77].

Начально-краевые задачи для различных классов уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования, единственности и исследования поведения решений, например, в работах Ю.К.Герасимова [9], В.П.Михайлова [35], Ю.И. Черемных [56], В.И. Ушакова [51], [52], P. Cannar-sa , G. Da Prato и S.-P. Zolezio [62], G. Da'Prato и P. Grisvard [63], Ю.А. Алхутова [1], A.E. Шишкова [57], M.O. Орынбасарова [38], I. Hiroshi и 6. Mitsuharu [69], H. Watanabe [79], В. Карзюка [18], П.В. Виноградовой [5], H.E. Истоминой и А.Г. Подгаева [12] и др.

Работы А.И. Кожанова [70], А.И. Кожанова и Н.А. Ларькина [24], [71], J. Ferreira [66], J. Ferreira , R. Benabidallah , Л. Rivera и E. Munoz [67] посвящены исследованию начально-краевых задач для нелинейных волновых уравнений в нецилиндрических областях. В работах [67], [71] применяется методика, предложенная J.L.Lions в [72], заключающаяся в сведении нецилиндрической области к цилиндрической.

Авторы статьи [61] R.M. Brown, W.L. Ни и М. Gary вводят альтернативное общепринятому понятие слабого решения параболического уравнения в нецилиндрических областях и доказывают однозначную разрешимость краевых и смешанных краевых задач, ассоциированных с этим уравненинием.

Обобщению принципов теории начально-краевых задач на случай нецилиндрических областей посвящены работы: С.Г. Крейна и Г.И. Лаптева [25] — теория абстрактных эволюционных уравнений в шкалах банаховых пространств; Л.И. Камынина [16] — теория Жеп-ре; Л.И. Камынина и Б.Н. Химченко [15], [17] — принцип максимума; И.Т. Мамедова и И.А. Гасановой [30], Э.М. Картаитова [20] — метод функций Грина; L.J. Lewis и A.M. Murray.[73] — метод послойных потенциалов; П.В. Виноградовой [6] — метод Ротэ; П.В. Виноградовой и А.Г. Зарубина [4], Н.Е. Истоминой [14] — метод Галеркина; Н.Е. Истоминой [13]— метод монотонности и т.д.

Первые работы, посвященные исследованию уравнений и систем уравнений соболевского типа в нецилиндрических областях, появились сравнительно недавно. В настоящее время эта тематика остается мало изученной и представляется актуальной.

В работе A. Bouziani [60] рассматриваются начально-краевые задачи для нелинейных уравнений соболевского типа: дв д . „ д2 , L/A . * " т)щ) ~ + ^ - г) в нецилиндрической области вида: g = {(^r)GJR2|r1(r)<e<r2(r)},

Гг-(т) — неубывающие кривые) с интегральными граничными условиями:

•Га (Г) £Шт№ = Мг(т), i = 0,1.

ЛМт)

Доказана априорная оценка, существование, единственность и непрерывная зависимость решения данной задачи от начальных условий.

В [8] С.Н. Глазатовым рассматривается нелинейное уравнение соболевского типа в нецилиндрической области с граничным условием 1-го рода: щ - div(a(Vxu)) - Axut ='f(x, t), и(х, 0) = щ(х), х € А), «|г = 0.

Методами "штрафа", Галеркина, компактности и монотонности доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи как в двумерном, так и в (n + 1) случае в терминах вариационных неравенств.

Цель работы. Исследование однозначной разрешимости и поведения решений одного класса начально-краевых задач для уравнений соболевского типа (0.1) в нецилиндрической области.

Методы исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теория пространств C.JL Соболева. Используются: метод Галеркина-Фуэдо, техника получения и применения априорных оценок, теория операторов, теоремы вложения, теоремы о следах.

Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получены следующие результаты:

• предложен подход к исследованию линейных начально-краевых задач в областях с изменяющейся в зависимости от временим границей без замены переменных;

• доказаны теоремы существования и единственности для данного типа задач;

• исследовано поведение решений данного типа задач при больших значениях времени в регулярных областях;

• установлены теоремы об однозначной разрешимости и поведении решений пары сопряженных задач в случае неограниченных коэффициентов уравнения.

Основные результаты являются новыми и могут быть использованы в дальнейшем при изучении теории уравнений соболевского типа в пецилиндрических областях.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" в г. Стерлитамаке (1998 г.), на зимней и весенней

Воронежских математических школах (1999 г.), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в Челябинске (1999 г.), на международной научной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" в г. Уфа (2000 г.), на Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященному памяти М.А.Лаврентьева в г. Новосибирске (2000 г.), на городских семинарах по уравнениям соболевского типа (под рук-вом проф. Г.А. Свиридюка) и по асимптотическим методам (под рук-вом акад. РАН A.M. Ильина) в г. Челябинске. Кроме того, данное исследование поддержано грантами РФФИ 97-01-00444. Минобразования 1998-2000 г.г. и стипендией Законодательного собрания Челябинской области (2000).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [80]-[93] списка литературы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 112 страниц, включая библиографический список из 93 наименований.

1. Алхутов, Ю.А. Поведение решений параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях / Ю.А. Алхутов // ДАН.-1995.-Т.345,№5.-0.583-585.

2. Васильев, JI.JI. Замораживание и нагрев грунта с помощью охладающих устройств / JI.JI. Васильев, C.JI. Вааз.- Минск: Наука и техника, 1986.- 192с.

3. Веригин, Н.Н. Об одном классе гидромеханических задач для областей с подвижными границами / Н.Н. Веригин // Динамика жид-ти со свободн. гр-ми.- 1980.- №46.- С.23-32.

4. Виноградова, П.В. О методе Галеркина для квазилинейных параболических уравнений в нецилиндрической области /П.В. Виноградова, А.Г. Зарубин // Дальневост. матем. журнал.- 2002.- Т.З,М.- С.13-17.

5. Виноградова, П.В. О разрешимости двухмерных уравнений Бюргерса в пр-ве Гельдера в нецилиндрической области /П.В. Виноградова // Матем. заметки ЯГУ.- 2002.- Т.9,В.2.-С.20-31.

6. Виноградова, П.В. Приближенные методы решения начально-краевых задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.05.04 /П.В. Виноградова; Хабаровск.-2003.- 98 с.

7. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов .- Новосибирск: НГУ, 1983.- 179 с.

8. Глазатов, С.Н. Нелинейные уравнения третьего порядка и вариационные неравенства / С.Н. Глазатов // Неклассич. уравн. матем. физики.- Тр. семин., поев. 60-летию проф. В.Н.Врагова. Новосиб-к, Изд-во ИМ СО РАН,- 2005.- С.81-92.

9. Герасимов, Ю.К. О поведении решения третьей краевой задачи для параболического уравнения / Ю.К. Герасимов // Вестник МГУ.- №5.- 1962.- С.34-43.

10. Егоров, И.Е. Неклассические операторно-дифференциальные уравнения / И.Е. Егоров , С.Г. Пятков , С.В. Попов.- Новосибирск: Наука, 2000,- 336 с.

11. Ерохин, Б.Т. Теоретические основы проектирования РДТТ / Б.Т. Ерохин,- М.: Машиностроение, 1982.- 203 с.

12. Истомина, Н.Е. О разрешимости задачи для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения в области снецилиндрической границей / Н.Е. Истомина , А.Г. Подгаев // Дальневост. матем. журнал.- 2000.- Т.1, №1.- С.63-73.

13. Истомина, Н.Е. Развитие метода монотонности на случай параболического уравнения в нецилиндрической области / Н.Е. Истомина.- Владивосток: Дальнаука. 2001,- №6. (Препринт ИПМ ДВО РАН)- 40 с.

14. Истомина, Н.Е. Исследование разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных вырождающихся на решении параболических уравнений в нецилиндрических областях: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 /Н.Е. Истомина; Хабаровск.-2004.- 96 с.

15. Камынин, Л.И. О принципе максимума для параболических уравнений второго порядка / Л.И. Камынин, Б.Н. Химченко // ДАН СССР, Сер. матем.- 1971.- Т.200, №2.- С.282-285.

16. Камынин, Л.И. К теории Жевре для параболических дифференциалов / Л.И. Камынин // Дифференц. уравн,- 1972.- Т.4, М.- С.176-182.

17. Камынин, Л.И. Об одном аспекте развития теории анизотропного строгого принципа экстремума А.Д. Александрова /Л.И. Камынин, Б.Н. Химченко j j Дифференц. уравн- 1983-№.- С.760-783.

18. Карзюк, В. Первая смешанная задача для линейного гиперболического уравнения второго порядка с однородными условиями в случае нецилиндрической области / В. Карзюк // Дифференц. уравн.- 1992.- Т.28, №5.

19. Карташов, Э.М. Динамическая термоупругость и проблемы термического удара / Э.М. Карташов, В.З. Партон // Итоги науки и техники, сер. Механика деформир. тв. тела.- М.: ВИНИТИ.- 1991.- Т.22,- С.55-127.

20. Карташов, Э.М. Метод функций Грина при решении краевых задач для уравнений параболического типа в нецилиндрических областях / Э.М. Карташов // ДАН, сер. Матем.- 1996.-Т.351, №1.- С.32-36.

21. Кейльман, Н.Э. Динамика сплошной среды / Н.Э. Кейльман -Новосибирск,- 1984.- В.67,- С. 53-61. '

22. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов,- Новосибирск: НГУ,- 1990.- 132 с.

23. Кожанов, А.И. Начально-краевая задача для уравнений типа уравнения Буссинеска с нелинейным источником / А.И. Кожанов // Матем.заметки.- 1999.- Т.65, В.1.- С.70-75.

24. Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях / А.И. Кожанов, Н.А. Ларькин // Сиб. матем. журн.-2001.- Т.42, N 6.- С.1278-1299.

25. Крейн, С.Г. Абстрактная схема рассмотрения параболических задач в нецилиндрических областях / С.Г. Крейн, Г.И. Лаптев /'/ Дифференц. уравн.- 1969.- Т.5, №8.- С.1458-1469.

26. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева.- Москва: Наука. -1967.- 280 с.

27. Мазья, В.Г. Пространства С.Л. Соболева / В.Г. Мазья.- Ленинград: Изд-во ЛГУ. 1985. - 415 с.

28. Мазья, В.Г. О коэффициентах в асимптотике решений краевых задач в конусе / В.Г. Мазья, В.А. Пламеневский // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР.- 1975.- Т.52.- С.110-127.

29. Малов, Ю.И. Разогрев оболочки при наличии термического разрушения нагреваемой поверхности / Ю.И. Малов ,JI.К. Мартинсон // Изв. Вузов, сер. Машиностр-е,- 1989 №1.-С.52-56.

30. Мамедов, И.Т. Оценки функции Грина для параболических уравнений в нецилиндрической области / И.Т. Мамедов, И.А. Гасанова // Тр. ин-та мат. и мех. Азербайджана.- 1996.-№.- С.46-53.

31. Маслов, В.П. Уравнения одномерного баротропного газа / В.П. Маслов, П.П. Мосолов.- Москва: Наука.- 1990.- 216 с.

32. Маслов, В.П. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативньтх структур /В.П. Маслов , В.Г. Данилин , К.А. Волосов.- Москва: Наука.»1987.- 352 с!

33. Мельникова, И.В. Задача Котии для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений / И.В. Мельникова // Сиб. мат. журнал.- 2001.- Т.42,№4.- С.892-910.

34. Митропольский, Ю.А. Задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравнения в проблемах металлургии, медицины, экологии / Ю.А. Митропольский, А.А. Березовский, Т.А. Плотницкий // Укр. мат. журнал.- 1992.- Т.44, т.- С.67-75.

35. Михайлов, В.П. Теорема существования и единственности решения одной граничной задачи для параболического уравнения в области с особыми точками на границе / В.П. Михайлов // Тр. МИАН XCI, сер. Граничные задачи для диф. уравн.-М.: Наука.- 1967.- С.47-58.

36. Мукминов, Ф.Х. О поведении при t оо решений первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в неограниченных по пространственным переменным областях / Ф.Х. Мукминов // Дифференц. уравн,- 1979.- T.XV, №11.-С.2021-2033.

37. Мукминов, Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области / Ф.Х. Мукминов, И.М. Бик-кулов // Матем. сборник.- 2004.- Т.195, №3.- С.115-142

38. Орынбасаров, М.О. О разрешимости краевых задач для параболического и полипараболического уравнений в нецилиндрической области с негладкими боковами границами / М.О. Орынбасаров // Дифференц. уравн.- 1994.- Т.39, №1.-С.151-161.

39. Осколков, А.П. О нестационарных течениях вязкоупругихжидкостей / А.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР.- 1983.-Т.159.- С.101-130.

40. Панкратов, Б.М. Спускаемые аппараты / Б.М. Панкратов -М.: Машиностроение.- 1984.- 232 с.

41. Петровский, И.Г. О решении первой краевой завдачи для уравнения теплопроводности / И.Г. Петровский // Уч. записки МГУ.- 1934,- В.2.- С.55-59.

42. Петухов, Б.С. Теплообмен в ядерных энергетических установках / Б.С. Петухов, Л.Г. Гении.- М.: Атомиздат.- 1974.- 404 с.

43. Плятт, Ш.И. Расчеты температурных полей бетонных сооружений / Ш.И. Плятт.- М.: Эиергия.- 1974.- 407 с.

44. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина.- М.:Наука 1997.- 457 с.

45. Пудовкин, М.А. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложениях к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении / М.А. Пудовкин. И.К. Волков.- Казань, Изд-во КГУ.- 1978.- 188 с.

46. Пухначев, В.В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников / В.В. Пухначев //Тр. семин. С.Л.Соболева.- Новосибирск, ИМ СО АН СССР.-1976.- т.- С.69-82.

47. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи матем. наук.- 1994.- Т.49, N 4.- С.47-74.

48. Соболев, C.JI. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. Матем.- 1954.- Т. 18.-С.3-50.

49. Успенский, С.В. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям / С.В. Успенский, Г.В. Демиденко, В.Г. Перепелкин.- Новосибирск: Наука.- 1984. 468 с.

50. Успенский, С.В. О поведении при t —» оо решений некоторых задач гидродинамики / С.В. Успенский, Г.В. Демиденко // Докл. АН СССР.- 1985.- Т.280, №5.- С.1072-1074.

51. Ушаков, В.И. О поведении решений третьей смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка при t —» оо / В.И. Ушаков // Дифференц. уравн.- -1979.- T.XV, т.- С.310-320.

52. Ушаков, В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области / В.И. Ушаков // Матем. сб.- 1980.-Т.111(153), №2.- С.95-115.

53. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Дифференц. уравн.- 2001.-№12.- С.1646-1649.

54. Федоров, В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Изв. РАН, Сер. Матем,- 2003.- Т.67, №4.- С.171-188.

55. Федоров, В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах /B.Е. Федоров // Дифференц. уравн.- 2004.- Т.40, №5.- С.702-712.

56. Черемных, Ю.И. О поведении решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка при неограниченном возрастании времени / Ю.И. Черемных // Матем. сб.- 1968.-Т.78(117), №2.- С.241-256.

57. Шишков, А.Е. Классы единственности решений смешанных задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях / А.Е. Шишков // Докл. АН УССР, Сер. А.- 1998.- №11.C.35-37.

58. Шленский, О.Ф. Терморазрушение материалов / О.Ф. Шлен-ский, Н.В. Афанасьев, А.Г. Шашков. М.: Энергоатомиздат.-1996.- 228 с.

59. Bayada, G. Comportement asymptotique d'un fluide dans un domaine mince variable en temps / G. Bayada, M. Chambat, I. Ciuperca // C.r. Acad, sci, Ser. 1.- 1998.- V.326, N 2.- P.265-268.

60. Bouziani, A. Initial-boundary value propblems for a class of pseudoparabolic equations with integral boundary conditions / A. Bouziani // Л. Math. Anal, and Appl.- 2004.- V.291, №2.- P.371-386.

61. Brown Russel, M. Слабые решения параболических уравнений в нецилиндрических областях. / М. Brown Russel, Ни Wei Liebuma, М. Gary / Proc. Amer. Math. Soc.- 1997.- V.125, N 6.-P.1785-1792.

62. Cannarsa, P. The damped wave equations in a moving domain / Cannarsa P., Da Prato G., Zolezio S.-P. // J. Differ. Equations.-1990.- V.85, т.- P.l-16.

63. Da Prato, G. The damped wave equation in a noncylindrical domain / G. Da Prato , P. Grisvard // Differ. Integral Equ.- 1994-V.7, №3-4.- P.735-746.

64. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii.- New York Basel: Marcel Dekker, Inc.- 2003.- 490 p.

65. Favini,A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- New York Basel: Marcel Dekker, Inc., 1999283 p.

66. Ferreira, J. Existence and Uniquenesse of solutions of the Boussinesq system with linear thermal diffusion in domains with moving boundary / J. Ferreira // Ciclo de confer, da Iblilce -unesp Rio preto.- 2001.

67. Ferreira, J. Asymptotic behaviour for the nonlinear beam equation in a time-dependent domain / J. Ferreira, R. Benabidallah, J. Rivera, E. Munoz // Rendiconti di Matematica.- Italia.- 1999-V.19.- P.117-193.

68. Gevrey, M. Les equations paraboliques / M. Gevrey // J. de Math.- 6 ser.- 1913.- V.9.- P. 187-325.

69. Inoue, Hiroshi Сильные решения начально-краевых задач для уравнений тепловой конвекции в нецилиндрических областях /1.oue Hiroshi, Otani Mitsuharu // Nonlinear Anal., Theory, Math, and Appl.- 1995.- V.24.- N.7.- P.1001-1091.

70. Kozhanov, A.I. On a nonlinear equation of viscoelastisity in noncylindrical domains / A.I. Kozhanov / Матем. заметки ЯГУ,-1998.- T.5, B.2.- С.107-117.

71. Larkin, N.A. The Wave Equation winth Nonlinear Dissipation in Noncylindrical Domains / N.A. Larkin, A.I. Kozhanov // Doklady Mathematics.- 2000.- V.374.- P.17-20.

72. Lions, J.L. Une remark sur les probl'emes d"evolntion nonlin'eaires dans de domaines non cylindriques / J.L. Lions.- Revue R.omaine de Math. Pure et Apliqu'ees.- V.9(1964).- P.ll-18.

73. Lewis John, L. The method of layer potentials for the heat equation in time-varying domains. / L. Lewis John, M. Murray.-A.M.Mem. Amer. Math. Soc.- 1995.- V.114, N 545.- P.l-157.

74. Melnikova, I.V. Abstract Cauchy problems: three approaches / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov / London-New York: Chapman Hall-CRC, 2001.- 264p.

75. Poincare', H. Sul Pequilibre d'unc masse fluide anime'e d'un mouvement de rotation / H. Poincare' // Acta Math.- 1885 V.7.-P.259-380.

76. Peckover, R.S. The modeling of some melting problems / R.S. Peckover / Res. Notes Math.- 1983.- V.87.- P.248-262.

77. R,ojas Medar, M.A. The initial value problem for the equations of magnetohidrodinamic type in noncylindrical domains. / M.A. R.ojas Medar . R,. Beltran-Barrios // Rev. math. Univ. competence.- Madrid.- 1995.- V.8, N.I.- P.229-251.

78. Sviridyuk, G.A. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht - Boston: VSP, 2003. - 179 p.

79. Watanabc Hisako Начально-краевые задачи для оператора теплопроводности в нецилиндрических областях / Hisako Watanabe // J. Math. Soc. Jap.- 1997.-V.49, N 3.- P.399-430.Список работ автора по теме диссертации:

80. Ушаков, В.И. Вторая краевая задача для уравнения типа Соболева в нецилиндрической области / В.И. Ушаков, М.В. Иванова // Тезисы докладов на Воронежской зимней математической школе. Воронеж. 1999. - С.209.

81. Иванова, М.В. Вторая краевая задача для уравнения типа Соболева в нецилиндрической области / М.В. Иванова // Тезисы докладов на Воронежской весенней математической школе "Поптрягинские чтения X". Воронеж. - 1999. - С.114.

82. Ушаков, В.И. Свойства функции Грина третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области / В.И. Ушаков, М.В. Иванова / Известия ВУЗов, сер. Математика.- 2000.- N 10(461).- С.68-78.

83. Иванова, М.В. Поведение решений краевой задачи для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области / М.В. Иванова , В.И. Ушаков // Сборник научных работ "Уравнения соболевского типа", Челяб. гос.ун-т. Челябинск.- 2002.-С.30-38.

84. Иванова, М.В. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области / М.В. Иванова,B.И. Ушаков /'/ Математические заметки.- 2002.- Т.72, Ж.C.43-47.