Исследование разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных вырождающихся на решении параболических уравнений в нецилиндрических областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Истомина, Наталия Евгеньевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Хабаровск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Истомина Наталия Евгеньевна
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ
01.01.02 — дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Владивосток — 2004
Работа выполнена в Хабаровском государственном техническом университете
Научный руководитель - доктор физико-математических наук,
профессор Подгаев А.Г.
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Катрахов В.В., доктор физико-математических наук, профессор Кожанов А.И.
Ведущая организация
Московский энергетический институт (технический университет)
Защита состоится " " ШЗ.УЛ^-Р 2004 г. в ¿г часов на заседании диссертационного совета КМ 212.056.03 при Дальневосточном государственном университете по адресу: 690000, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, ауд. 343.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.
Автореферат разослан " Л " QjbtJiSpJl 2004 г.
Ученый секретарь диссертационного совета ^^Фролов H.H.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению разрешимости начально-краевых задач для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, разработке общих основ исследования существенно нелинейных уравнений в таких областях.
Первые результаты по линейным уравнениям теплопроводности в области с нецилиндрической границей получены в работах М. Жевре и И.Г. Петровского. В них рассматривалась смешанная задача для одномерного уравнения теплопроводности. В дальнейшем линейные задачи для уравнений параболического типа в нецилиндрических областях изучались В.П. Михайловым, С.Г. Крейном, Г.И. Лаптевым, В.И. Ушаковым, Р.Д. Алиевым, А.Е. Шишковым, В.В. Куртом, М.О. Орынбасаровым, Ю.А. Алхуто-вым, Э.М. Карташовым, Р. Cannarsa, G. Da Prato, J.-P. Zolezio и другими математиками.
Краевые задачи для различных классов нелинейных нестационарных уравнений в нецилиндрических областях исследовались с точки зрения доказательств теорем существования, единственности в работах Ж.-JI. Лио-нса, Н. Fujita, N. Sauer, M.L. Nakao, Т. Narazaki, M.M. Лаврентьева - мл., М. Idrissi, R. Dal Passo, М. Ughi, Н. Okochi, B.B. Курта, А.Ф. Тедеева, М. Bertsch, R. Dal Passo, В. Fianchi, J. Ferreira, D. Bainov, E. Minchev, А.И. Кожанова, H.A. Ларькина, J. Ferreira, M.A. Rojas-Medar, R. Benabidal-lah, M.M. Bokalo, V.M. Dmytriv, C.H. Глазатова, А.Г. Зарубина, П.В. Виноградовой и других авторов.
Спектр применения краевых задач для уравнений параболического
РОС. НА!!"ОНА.ПЬНАЯ БИг, ■ .тЕКД С Ч'Т"чиург JOOgPK
типа в области с границей, движущейся во времени (нецилиндрические области), достаточно широк. Подобного рода задачи возникают: при изучении процессов горения в ракетных двигателях на твердом топливе, замораживания грунта, твердения бетона, промерзания раствора; при исследовании ряда проблем атомной энергетики и безопасности атомных реакторов, экологии и медицины; при решении некоторых задач гидромеханики, термомеханики (при тепловом ударе, термическом разложении, тепловой защите космических аппаратов) и так далее.
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что практически изучены лишь законы движения границы преимущественно для линейных задач одномерной теплопроводности. Что касается более сложных вопросов теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, то они мало изучены, нет общих методов доказательства существования и единственности решений. Следует отметить некоторые трудности, возникающие при решении краевых задач для такого рода уравнений, а именно: сильную нелинейность дифференциального уравнения с частными производными, характер вырождения самого уравнения и, наконец, нецилиндричность области, в которой решается краевая задача, при отсутствии стандартных вспомогательных утверждений, предназначенных для ее решения. Поэтому развитие самих методов решения квазилинейных параболических уравнений с вырождениями в области с нецилиндрической границей представляется актуальным.
Цель работы. Развитие методов и исследование разрешимости начально-краевых задач для нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях.
Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа, методы теории уравнений с частными производными: метод Фаэдо-Галёркина, метод компактности, метод монотонности. Используются: техника получения и применения априорных оценок, теория обобщенных функций, теория операторов, теоремы вложения, теоремы о следах.
Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получены следующие результаты:
- предложен подход к решению нелинейных краевых задач в областях с нецилиндрической границей без замены переменных;
- доказаны теоремы существования и единственности решений для данного типа задач;
- развиваются методы компактности и монотонности для параболических уравнений на случай нелинейных операторов с изменяющейся со временем областью определения;
- установлены теоремы о полноте построенных в работе систем функций с "временным" параметром и систем попарных произведений этих функций и функций параметра в соболевских пространствах.
Основные результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы в дальнейшем при изучении теории нелинейных задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по неклассическим проблемам математической физики и анализа, г. Самарканд, 2000 г.; на III Международной конференции по математическому моделированию, г. Якутск,
2001 г.; на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова, г. Владивосток, 2000-2002 гг.; на краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов 2002 г.; а также на научных семинарах "Дифференциальные уравнения" при Хабаровском государственном техническом университете (рук. д. ф.-м. н., проф. А.Г. Зарубин), в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), в институте математики СО РАН, г. Новосибирск, 2002 г. (рук. д. ф.-м. н., проф. А.И. Кожанов), на научном семинаре "Численные методы" ВЦ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН С.И. Смагин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 96 страниц машинописного текста, подготовленных автором в системе ЬаТеХ. Библиография включает 90 наименований. В автореферате сохраняется та же нумерация глав, параграфов и утверждений, что и в тексте диссертации.
Благодарности. Автор благодарен научному руководителю Александру Григорьевичу Подгаеву за постановку задачи, полезные замечания и внимание к работе; участникам научного семинара "Дифференциальные уравнения" за поддержку, советы и замечания при первичной апробации результатов; гранту Федеральной целевой программы "Интеграция", проект А0028 за финансовую поддержку.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приведен краткий обзор литературы, обоснована актуальность темы исследования, поставлена цель и указана новизна полученных результатов, а также изложено краткое содержание диссертационной работы.
Первая глава посвящена исследованию квазилинейного параболического уравнения с неявным вырождением в нецилиндрической области с одной пространственной переменной и развитию метода компактности в случае таких областей.
Рассматривается задача: в фу найти функцию и = и(х, Ь). удовлетворяющую соответственно уравнению, граничным и начальному условиям
щ{х,г) =—а{их{х,Ь)) в <ЭТ, (1)
и{х^)\х=х1(1]=и(х^)\х=х2{1)=0, г 6 [0,Т], (2)
ш(х,0) = ио(ж), х € А) = (х1(0),х2(0)), (3)
где через С}т = и {А х £} обозначена область на плоскости, ограничен-(6(0, Т)
ная прямыми £ = 0, £ = Т и графиками функций х = ях(£), х = хг(^), а Для любого £ € [0, Т] через Г>( - интервал (жх(£),
В уравнении (1) а(£) - функция, имеющая для всех £ £ Я производную а(£), а = /а(г/) с?ту - ее первообразная. Без ограничения общности считаем а(0) = 0.
В первом параграфе данной главы приведено обобщение известного результата о полноте системы в пространствах функций, опре-
деленных на областях вида (0, Т) х В на случай нецилиндрических областей.
ТЕОРЕМА 1.1.1. Пусть для всех £ € [О,Г] {шк(х,г)}, к € N - полная, ортогональная система в ¿2(Д) и И^*^£ ¿<»(0,Т). Тогда, если я (Е N полная система в ¿г(0,Т), то система {Ь3(£) ^(а;,^)}
полна в 1лЮТ), где фт = I) {Д х 4} - измеримое в Дп+1 множество.
<е[о,Т)
ТЕОРЕМА 1.1.2. Пусть для всех I € [0,Т] {шк(х,Ь)}, к £ N - полная, ортогональная система в ¿2(А) и в Я1 (А) С ¿2(-Сг), £)||я'(0() € € £оо(0,Т), причем для всех к £ Я'(Д) < и существует со > 0 : с(4) > со- Тогда, если 5 £ N - полная система в 1/2(0, Т), то система Шк(х^)} полна в и в пространстве ЩЯт)-
Здесь Н*(Д) - гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •)*, причем Я'(Д) С £г(Д)-
~ пространство со скалярным произведением т
«/,<?» = /(/, Л, где /, д е Я' (Д). о
Остальные параграфы посвящены исследованию разрешимости задачи (1) - (3). Для обоснования предельного перехода в нелинейном члене используется метод компактности для функций из шкалы банаховых пространств. На гладкость функции а(£), определяющей нелинейность, наложены минимальные ограничения. Вырождение уравнения допускается по производной от решения при ее, быть может, нескольких значениях. Отметим, что, с точки зрения характера вырождения уравнения, полученные результаты новы даже для случая цилиндрической области. Доказана
ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть выполнены условия:
1) — Ж] и - неубывающие функции из г = 1,2;
2) а(£) имеет неотрицательную производную для всех £ 6 Я, и для
произвольной постоянной I существует постоянная с(1), такая, что ¿(0 < с{1), если Ifl < I;
3) существуют постоянные Ci,C2 и р\ > 1, при которых для всех Í & R выполняется неравенство |a(£)|Pl < ci + C2Í2;
4) существуют постоянные C\,C-¿ и Сз, такие, что для всех £ £ R
i
выполняется неравенство £2 á(£) < С\ fi(£) + Ci £2 + Сз/
5) функция ф(£) = })Já(r¡) di] имеет непрерывную обратную.
о
Тогда для любой функции щ(х) £ W\ (-Do) с щх(х) € Lx+i (Aj) суще-
р i
ствует, и притом единственное, обобщенное решение u(x,t) задачи (1) -(3) из класса
о
и eW\ (Dt) для почти ecext G [0,Т], (4)
Щ G L2(QT), (5)
а(их) е Lp,(Qt), (6)
^а(их) € HQT), (7)
/ u^eL^oj). (8)
«»w
■ Уравнение (1) выполнено почти всюду в Qr. Начальное условие при-
' нимается в смысле следов: и(х, 0) = щ(х) (по Соболеву). Граничные условия
(2) понимаем в смысле (4).
Очевидно, что условие 3) теоремы 1.2.1 ограничивает асимптотический рост а(£) на бесконечности порядком, не превосходящим В следующей теореме допускается рост а(£) любого порядка.
ТЕОРЕМА 1.2.2. Если выполнены условия теоремы 1.2.1, но вместо условия 3) выполнено условие 3') k\ |а(£)|г—£2—< <
где к\ > 0, кц > 0, > 0, г > 1, s > 1, mo <?лл любой функции
о
uo(a;) (Do) с Ио^ас) £ Ls(Dq) существует, и притом единственное,
обобщенное решение u(x,t) задачи (1) - из класса
о
и € И^ (А) для почти всех t € [0, Т],
Щ € L2(QT), а{их) 6 Lr{QT), G L2(Qt), I ихЧх 6 Loo(0,T).
Начальное и граничные условия понимаются в том же смысле, что и в теореме 1.2.1.
В диссертации приведены примеры функций а(£), удовлетворяющих условиям теоремы 1.2.1:
1) неоднородной функции степенного роста на бесконечности. Ее производная обращается в нуль в двух точках, в которых происходит вырождение уравнения (1);
2) функции нестепенного роста на бесконечности, производная которой обращается в нуль в одной точке.
В седьмом параграфе первой главы приведены доказательство теоремы 1.2.2 и пример функции удовлетворяющей условиям этой теоремы, с вырождением уравнения (1) в счетном числе точек.
Во второй главе диссертации исследуется разрешимость квазилинейной начально-краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения в области с нецилиндрической границей в многомерном случае методом монотонности.
В области Qt рассматривается уравнение
п д
ut(x,t) - x~a(uXi(x,t)) = f{x,t). (9)
Требуется найти решение и = и(х, £) данного уравнения, удовлетворяющее однородным граничным условиям на "боковой" поверхности
5 = и {<9Д х £} и начальному условию при £ = 0. «е[о ,Т\
Здесь т = 1) {А х £}, так что А ~ сечение "криволинейного" <6(0, т)
цилиндра (¿т гиперплоскостью £ = £ в пространстве Я п+1. Ограничение на
5 состоит в том, что области Д получаются при каждом £ с помощью преобразования единичного шара с якобианом класса С1. Подробное описание области можно найти в первом параграфе второй главы.
Оператор задачи и начальные условия определяются функциями а(£), }{х,1),щ(х), обладающими следующими свойствами.
Функция а(£) определена и непрерывна на Я и удовлетворяет:
I. Условию монотонности. а(£) - не убывает.
II. Условию на рост. |а(£)| < сх |£|р-1 + С2, р > 2.
III. Условию эллиптичности. а(£) • £ > и |£|р — р., где и > 0, р, > 0. Условия на входные данные. Функция щ(х) £ ¿^(А)- II/||.МО,) £
6 Ьоо(0,Т) и для каждой д £ С1 Ют) функция / /(ж,£) д(х, £) йх непрерывна
о.
на [0, Г].
Для того, чтобы более точно сформулировать задачу, во втором параграфе введены следующие функциональные пространства: (А) С нормой || • = || • II¿„(Д) + IIУс • I|МД);
И^(Д)^И^р(А)) , * означает топологическое сопряжение;
о
£р(£; РУ* (А)) ~ пространство вещественнозначных функций V, равных нулю на границе А Для почти всех £, причем
/ /(Мр + 1^1") <ЫА =' / 1ИГ- & < 00.
о о, о
о
Через (•,обозначена двойственность между IV* (Д) и ЦГр,1^^. Считаем, что скалярное произведение в Д) согласовано с двойственностью между этими пространствами.
Пусть щ € ¿2 (А)) - заданная (начальная) функция.
Определение 1. Функция и £ ЬР(Ь; У/1р(А)), такая, что г^гагшах ||и||£2(о() < оо, называется обобщенным решением задачи, если для любой функции 6 С'ц°(0,Т) и любой функции ^ € С1 (От), обращающейся в нуль на 5, выполнено интегральное тождество
т т т т
а для любых ш)(х,1), построенных в параграфе 4 второй главы, выполнено условие
причем интеграл слева - непрерывная по t £ [0,Т] функция.
Основным результатом второй главы является нахождение условий и обоснование положений, которые обеспечивают обобщение метода монотонности для параболических уравнений на случай вырождающихся нелинейных операторов с изменяющейся со временем областью определения. На примере уравнения (9) показано как с помощью этого метода устанавливается
ТЕОРЕМА 2.2.1. Если выполнены предположения на область Qt из параграфа 1, ограничения I - III на функцию а(£), условия на начальную функцию и правую часть, то уравнение (9) имеет обобщенное решение u(x,t) в смысле определения 1, причем функция (u(-,t),F(-,t))t непрерывна
о
(10)
при t 0, (11)
по £ £ [0,Т] <?лл любой функции Р из С1($т), обращающейся в нуль на Б.
Уравнение (9) выполняется в смысле интегрального тождества (10). Функция у>(£) введена дополнительно в это тождество для того, чтобы доказать непрерывность функции / иР ¿х и тем самым обосновать существо-
о.
вание у нее следа при £ = 0 и £ = Т. Будет показано, что существования таких следов достаточно, чтобы гарантировать корректность задачи. Непрерывность же самой функции и(ж,£) по £ ни в каком даже самом "слабом по х пространстве" не будет обоснована. Другими словами, не известны и не рассматриваются вопросы о следах распределений в случае произвольной нецилиндрической области, необходимые для применения метода монотонности.
Начальное условие принимается в смысле (И), граничные условия по-
о
нимаем в смысле принадлежности классу £р(£; И^Д)).
В четвертом параграфе второй главы описано построение базиса {и>:(х,Ь)}™1 (х 6 Д,£ играет роль параметра), при каждом £ £ [0,Т] орто-нормированного в 1<2(А)- Доказаны следующие теоремы для случая нецилиндрической области и такого рода базисов. В этом параграфе 1 < р < сю. ТЕОРЕМА 2.4.1. Для всех £ £ [0,Т] система функций {и^х,^}^
о
полна в пространстве И^р(Д).
ТЕОРЕМА 2.4.2. Если система {сДг)}^ полна а Ьр(0,Т), то ли-
о
нейные комбинации функций с,(£)шДх, £) всюду плотны в £р(£; (А)).
ТЕОРЕМА 2.4.3. Если с,(£) - произвольные функции из Ьр(0,Т), для которых с,' £ Ьр'(0,Т), то линейные комбинации функций с,(£)с^(х',£) всюду плотны в №ру(С}т), где через обозначено полное про-
о
стпранство всех функций V £ Ьр{р, \¥1р (А)), таких, что обобщенная про-
изводная в смысле Соболева Vt 6 Lpi(Qi), наделенное нормой ||u||»,i,i (Q ( = 1 1 Р.Р'1 '
= ||,у||р.] dtjr + (f llviH^ ^DtjdtJ' и являющееся замыканием по этой норме всех функций из ^(Qt), равных нулю на "боковой" поверхности
S = U {ЗДхЛ.
¿б[0,Т]
В этом же параграфе пространство H(Qt) определяется как замыкание множества функций из C1(Qt), равных нулю на "боковой" поверхности S, по норме || • ||я((?т) = (J|| • + (J||£ • 11^,*)*
ТЕОРЕМА 2.4.4. Вложение Wlpj,{QT) С H{QT) плотно. Заметим, что теоремы 2.4.3 и 2.4.4 используются в восьмом параграфе второй главы при обосновании равенства х = A(t)u, где A(t)u = — — £ Здесь же дано определение производной по t для предель-
ной функции и(х, t).
Определение 2. Пусть F £ Lp(t-Wlp(Dt))nC\Qr), и € Lp(t- W\(Dt)) и ifi £ Со°(0,Т). Назовем "функцию", которую обозначим щ, производной функции и по t, если для всех F и <р из указанных классов выполнено тождество
хт т
J(ut,F)ip{t)dt - jy uFdx)<p'(t) dt-j J Ftu<p{t) dxdt. 0 oo, 0 dt
В этом параграфе также дается обоснование того, что для построенного решения u(x,t) задачи имеет место включение щ £ Lpi(t;W~,l(Dt)). Следовательно, для почти всех t щ £ W~}{Dt).
В девятом параграфе доказывается теорема единственности. ТЕОРЕМА 2.9.1. При условиях тпеоремы 2.2.1 в классе функций H(Qt) может существовать не более одного решения задачи.
Если бы в классе H(Qx) решение u(x,t) имело следы при t = const, то теорема доказывалась бы повторением известных рассуждений для ци-
линдрического случая. Смысл и трудности теоремы состоят в том, что
обосновывается единственность, когда след имеют только интегралы вида
$ и{х,£) Р(хЛ) <1х и начальное условие выполнено в нестандартном виде А
(И).
В этом же параграфе приведен пример функции а(£), удовлетворяющей условиям теоремы 2.2.1 и имеющей производную, обращающуюся в нуль на двух отрезках, на которых происходит вырождение уравнения (9). Аналогично строятся примеры а(£), для которой а(£) = 0 в любом конечном числе отрезков, и которые удовлетворяют условиям теоремы.
СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Истомина Н.Е. О корректности первой краевой задачи для вырождающегося на решении параболического уравнения в области с нецилиндрической границей // Владивосток: Дальнаука, 2000. Препринт N 5 ИПМ ДВО РАН. 24 с.
2. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. О разрешимости задачи для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения в области с нецилиндрической границей // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2000. Т. 1. N 1. С. 63-73.
3. Истомина Н.Е. Развитие метода монотонности на случай параболического уравнения в нецилиндрической области // Владивосток: Дальнаука, 2001. Препринт N 6 ИПМ ДВО РАН. 40 с.
4. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. Теорема единственности для нелинейного параболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10. Вып. 1. С. 27-33.
Научное издание
Истомина Наталия Евгеньевна
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Лицензия на издательскую деятельность ЛР N 020526 от 23 апреля 1997 года
Подписано в печать 18.10.04. Формат 60x84 1/16 Печать офсетная. Бумага писчая. Усл. п. л. 1,2 Уч.-изд. л. 0,61. Тираж 100 экз. Заказ N ш
Отдел оперативной полиграфии издательства Хабаровского государственного технического университета 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136
«
I
РЫБ Русский фонд
2006-4 5150
Введение.
Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОМПАКТНОСТИ
§1. Обозначения и предварительные результаты.
§ 2. Постановка задачи и формулировка результата.
§ 3: Построение и оценка приближенного решения.
§ 4. Оценка производной по времени.
§ 5. Об одном результате о компактности.
§ 6. Предельный переход в интегральном тождестве.
§ 7. Доказательство единственности обобщенного решения и второй теоремы существования и единственности.
Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ МОНОТОННОСТИ
§1. Описание области и предположения.
§ 2. Описание пространств, постановка задачи и формулировка результата.
§3. Предварительные результаты.
§ 4. Построение базисов и полных систем функций.
§ 5. Построение и оценка приближенного решения.
§ 6. Свойства нелинейного оператора A(t).
§ 7. Предельный переход в интегральном тождестве и выполнение начального условия.
§8. Ограниченность производной по t. Обоснование равенства
Х = М*)и-.
§9. Единственность обобщенного решения.
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению разрешимости начально-краевых задач для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, а также разработке общих основ исследования существенно нелинейных уравнений в таких областях.
Первые результаты по линейным уравнениям теплопроводности в области с нецилиндрической границей получены в работах М. Жевре [70] и И.Г. Петровского [80]: В них рассматривалась смешанная задача для одномерного уравнения теплопроводности. В дальнейшем линейные задачи для уравнении параболического типа в нецилиндрических областях изучались В.Ш Михайловым [45; 46], С.Г. Крейном и Г.И. Лаптевым [32], В.И. Ушаковым [55], Р.Д. Алиевым; [2; 3; 4],. А.Е. Шишковым [56], В.В. Куртом [33], В.В. Куртом и А.Е. Шишковым [35], М.О. Орынбасаровым [47], Ю.А. Алхутовым [5], Э.М: Карташовым [21; 22], P. Gannarsa, G. Da Prato, J.-P. Zolezio [62] и другими математиками.
Краевые задачи для различных классов нелинейных нестационарных уравнений в нецилиндрических областях исследовались с точки зрения доказательств теорем существования, единственности'в работах Ж.-Л. Лио-нса [75; 76], Н. Fiijita, N. Sauer [69], M.L. Nakao, Т. Narazaki [77], M.M. Лаврентьева- мл. [74], М. Idrissi [72], R. Dal Passo, М. Ughi [64], Н; Okochi [78], В:В. Курта [34], А.Ф. Тедеева [54], М. Bertsch, R. Dal Passo, В. Franchi [60], J. Ferreira [66], J. Ferreira, N.A. Lar'kin [67], D. Bainov, E. Minchev [58], А.И. Кожанова [73], А.И. Кожанова, H.А. Ларькина [27; 28], J. Ferreira, M.A. Rojas-Medar [68], Ri. Benabidallah, J. Ferreira [59], M.Mi Bokalo,
V.M. Dmytriv [61], C.H. Глазатова [13], ШВ. Виноградовой [10], П.В. Виноградовой, А.Г. Зарубина [11] и других авторов.
Спектр применения краевых задач для уравнений параболического типа в: области с границей, движущейся во времени (нецилиндрические области), достаточно широк. Подобного рода задачи возникают: при изучении процессов горения в ракетных двигателях на твердом топливе [17], замораживания грунта [8], твердения бетона [50], промерзания раствора [18]; при исследовании ряда проблем атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [49; 79; 81], экологии и медицины [6; 44]; при решении некоторых задач гидромеханики [9; 16; 53], термомеханики (при тепловом ударе [23 — 25], термическом разложении [43; 57], тепловой защите космических аппаратов;[48]) и так далее.
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что, практически изучены лишь законы движения границы преимущественно для одномерных линейных задач теплопроводности. Что касается более сложных вопросов теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, то они мало изучены, нет общих методов доказательства существования и единственности решений. Следует отметить некоторые трудности, возникающие при решении краевых задач для такого рода уравнений, а именно: сильную нелинейность дифференциального уравнения с частными производными, характер вырождения самого уравнения и, наконец, нецилиндричность области, в которой решается краевая задача, при отсутствии стандартных вспомогательных утверждений, предназначенных для ее решения. Поэтому развитие самих методов решения квазилинейных параболических уравнений с вырождениями на решении в области с нецилиндрической границей представляется актуальным.
Цель,работы. Развитие методов и исследование разрешимости начально-краевых задач для нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях.
Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, методы теории уравнений с частными производными: метод Фаэдо-Галёркина, метод компактности, метод монотонности. Используются: техника получения и применения априорных оценок, теория обобщенных функций, теория операторов, теоремы вложения, теоремы о следах.
Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получены следующие результаты:
- предложен подход к решению нелинейных краевых задач в областях с нецилиндрической границей без замены; переменных;
- доказаны теоремы существования и единственности решений для данного типа задач;
- развиваются методы компактности и монотонности для параболических уравнений на случай нелинейных операторов с изменяющейся со вр еменем о бластью опр еделения;
- установлены теоремы о полноте построенных в работе систем функций с "временным" параметром и систем попарных произведений этих функций и функций параметра в соболевских пространствах.
Основные результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы в дальнейшем при изучении теории нелинейных задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по неклассическим проблемам математической физики и анализа, г. Самарканд, 2000 г.; на III Международной конференции по математическому моделированию, г. Якутск, 2001 г.; на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова, г. Владивосток, 2000-2002 гг.; на краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов 2002 г.; а также на научных семинарах "Дифференциальные уравнения" при Хабаровском государственном техническом университете (рук. д. ф.-м. н., проф. A.F. Зарубин), в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), в институте математики СО РАН, г. Новосибирск, 2002 г. (рук. д. ф.-м:.н., проф. А.И. Кожанов), на. научном семинаре "Численные методы" ВЦ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН С.И. Смагин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах. Список публикаций приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации доставляет 96 страниц машинописного текста, подготовленных автором в системе LaTeX. Библиография включает 90 наименований. В; диссертации принята следующая нумерация теорем, лемм, замечаний и формул: первая, цифра соответствует номеру главы, вторая - номеру параграфа, третья -порядковому номеру в этом параграфе. Нумерация приводимых во введении теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертации.
1. Агапова Е.Г. Исследование разрешимости задач для нестационарных вырождающихся на решении нелинейных уравнений: Дис. . канд. ф.-м. наук: 01.01.02. Хабаровск: ХГТУ, 2000.
2. Алиев Р.Д. Обобщенная задача Пуанкаре (Неймана) для параболических уравнений в нецилиндрических областях с негладкой границей // Докл. АН АзССР. 1984. Т. 40. N 12. С. 12-16.
3. Алиев Р.Д. Разрешимость обобщенной задачи Пуанкаре параболических уравнений в нецилиндрических областях с негладкой границей // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. N 11. С. 1991-19941
4. Алиев Р.Д. Единственность решения обобщенной задачи Пуанкаре параболических уравнений в нецилиндрических областях с негладкой границей // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. N 12. С. 2171-2173.
5. Алхутов Ю.А. Поведение решений параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // Докл. АН, Россия. 1995. Т. 345. N 5. С. 583-585.
6. Андреева Т.А., Березовская JI.M., Богуславский С.Н. Нелинейные краевые задачи опреснения морских вод. Киев: Ин-т матем. АН Украины, 1992. С. 4-7.
7. Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтелъ З.Г. Функциональный анализ. Киев: В ища шк., 1990. 600 е.
8. Васильев JI.JI., Вааз С.Л. Замораживание и нагрев грунта с помощью охлаждающих устройств. Минск: Наука и техника, 1986. 192 с.
9. Веригин Н.Н. Об одном классе гидромеханических задач для областей с подвижными границами // Динамика жидкости со свободными границами. 1980. N 46. С. 23-32.
10. Виноградова П.В. О разрешимости двухмерных уравнений Бюр-герса в пространстве Гельдера в нецилиндрической области // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9. Вып. 2. С. 20-31.
11. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О методе Галеркина для квазилинейных параболических уравнений в нецилиндрической области // Дальневосточный мат. журнал. 2002. Т. 3. N 1. С. 3-17.
12. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторно-дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.
13. Глазатов С.Н. Некоторые задачи для дважды нелинейных параболических уравнений в нецилиндрических областях // Диф. и интегр. уравнения мат. модели: Тезисы докладов межд. науч. конференции. Челябинск: Челябинский гос. ун-т, 2002. С. 31.
14. Демиденко Г.В. Введение в теорию соболевских пространств: Учебное пособие. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1995. 111 с.
15. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Успехи математических наук. 1968. Т. XXIII. Вып. 1 (139). С. 45-90.
16. Ентов В.М., Новожилов В.В. и др. Об одном методе решения одномерных задач теории переноса при наличии подвижных границ // Мат. моделирование задач механики сплошной среды. М.: Наука, 1989. С. 11-17.
17. Ерохин Б;Т. Теоретические основы проектирования РДТТ. М.: Машиностроение, 1982. 203 с.
18. Золотарев П.П., Рошаль А. А. Точные решения некоторых задач промерзания толщины раствора // Инж.-физ. журн. 1973. Т. 24. N 5. С. 921-928.
19. Камышников А:И. Смешанная задача в нецилиндрической области для одного класса вырождающихся эволюционных уравнений // Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН, 1989. С. 116-122.
20. Канторович JI. В., А кило в Г. Ш Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с:
21. Карташов Э.М: Метод функций Грина при решении краевых задач для. у равнений параболического типа в нецилиндрических областях // Докл. РАН. 1996. Т. 351. N 1. С. 32-36.
22. Карташов Э.М. Новые интегральные соотношения для аналитических решений уравнений параболического типа в нецилиндрических областях // Докл. РАН. 2000. Т. 374. N 2. С. 168-172.
23. Карташов Э.М. Динамические эффекты в твердых телах в условиях взаимодействия с интенсивными потоками энергии // Итоги науки и техники. Сер. Химия и технология высокомолек. соед. 1988. Т. 25. С. 3-84.
24. Карташов Э.М. Проблема теплового удара в области с движущейся границей на основе новых интегральных соотношений // Изв. РАН. Энергетика. 1997. N 4. С. 122-137.
25. Карташов Э.М., Партон В.3. Динамическая термоупругость и проблемы термического удара // Итоги науки и техники. Сер. Механикадеформируемого твердого тела. 1991. Т. 22. С. 55-127.
26. Кожанов А.И. Замечание об одной задаче вязкоупругости и связанном с ней возмущенном волновом уравнении в нецилиндрических областях // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1993. С. 99-103.
27. Кожанов А.И., Ларъкин Н.А. О разрешимости краевых задач для сильно нелинейных уравнений вязкоупругости в нецилиндрических областях // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т. 6. N 1. С. 36-45.
28. Кожанов А.И., Ларъкин Н.А. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. N 6. С. 1278-1299.
29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.
30. Крейн С.Г. Поведение решений эллиптических задач при вариации области // Studia mathematica. 1968. Т. 31. С. 411-424.
31. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. 544 с.
32. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Абстрактная схема рассмотрения параболических задач в нецилиндрических областях // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. N 8. С. 1458-1469.
33. Курта В.В. О проблеме Тихонова-Петровского для параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // Изв. вузов. Мат. 1992. N 10. С. 87-88.
34. Курта В.В. О поведении решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в неограниченных нецилиндрических областях // Докл. АН УССР. 1991. N 5. С. 11-14.
35. Курта В.В., Шишков А.Е. О классах единственности решений граничных задач для недивергентных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // Докл. АН УССР. Сер. А. 1990. N 1. С. 28-30.
36. Лавренюк С.П., Сиделъник Я.И. Смешанная задача для вырождающегося уравнения четвертого порядка в нецилиндрической области. Львов: Львов, ун-т, 1989. 11 с.
37. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
38. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
39. Ладыженская О.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
40. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.
41. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.
42. Ляшко И.И., Боярчук А.К. и др. Справочное пособие по математическому анализу. Ряды, функции векторного аргумента, кратные и криволинейные интегралы. Киев: Вища шк., 1986. 567 с.
43. Малое Ю.И,, Мартинсон Л.К. Разогрев оболочки при наличии термического разрушения нагреваемой поверхности // Изв. вузов. Машиностроение. 1989. N 1. С. 52-56.
44. Митрополъский Ю.А., Березовский А.А., Плотницкий Т.А. Задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравненияв проблемах металлургии, медицины, экологии // Укр. журн. 1992. Т. 44. N 1. С. 67-75.
45. Михайлов В.П. О задаче Дирихле и первой смешанной задаче для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140. N 2. С. 303-306.
46. Михайлов В.П. О задаче Дирихле для параболического уравнения // Мат. сборник. 1963. Т. 61 (103). N 1. С. 40-64.
47. Орынбасаров М.О. О разрешимости краевых задач для параболического и полипараболического уравнений в нецилиндрической области с негладкими боковыми границами // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N 1. С. 151-161.
48. Панкратов В.М. Спускаемые аппараты. М.: Машиностроение, 1984. 232 с.
49. Петухов B.C., Генин Л.Г. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1974. 403 с.
50. Плят Ш.И. Расчеты температурных полей бетонных гидросооружений. М.: Энергия, 1974. 407 с.
51. Подгаев А.Г. О свойстве компактности нелинейных множеств и одно его применение // В кн.: Неклассические задачи уравнений мате- ма-тической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. С. 134-138.
52. Подгаев А.Г. Об относительной компактности множества абстрактных функций из шкалы банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 2. С. 135-137.
53. Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложениях к расчетам температурных полейв нефтяных пластах при заводнении. Казань: Изд-во КГУ, 1978. 188 с.
54. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области // Изв. вузов. Мат. 1991. N. 1. С. 63-73.
55. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области // Мат. сборник. 1980. Т. 111. N 1. С. 95-115.
56. Benabidallah R., Ferreira J. On hyperbolic parabolic equations with nonlinearity of Kirchhoff - Carrier type in domains with moving boundary // Nonlinear Analysis. 1999. V. 37. P. 269-287.
57. Bertsch M., Dal Passo R., FranchiB. A degenerate parabolic equation in noncylindrical domains // Math. Ann. 1992. V. 294. N 3. P. 551-578.
58. Bokalo M.M., Dmytriv V.M. The Fourier problem for quasilinear parabolic equations of arbitrary order in noncylindric domains // Mat. Stud. 2000. V. 14. N 2. P. 175-188.
59. Cannarsa P., Da Prato G., Zolezio J.-P. Evolution equations in non-cylindrical domains // Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., Mat. e natur. 1989. Ser. 8. V. 83. P. 73-77.
60. Cannarsa P., Da Prato G., Zolezio J.-P. The damped wave equations in a moving domain // J. Differential Equations. 1990. V. 85. N 1. P. 1-16.
61. Dal Passo R., Ughi M. On a class of nonlinear degenerate parabolic equations in non-cylindrical domains: Existence and regularity // Rend. Mat. Appl., VII. Ser. 9. 1989. N 3. P. 445-456.
62. Dal Passo R., Ughi M. On the Dirichlet problem for a class of nonlinear degenerate parabolic equations in non-cylindrical domains // C. R. Acad. Sci., Paris. Ser. I 308. 1989. N 19. P. 555-558.
63. Ferreira J. Nonlinear hyperbolic parabolic partial differential equation in noncylindrical domain // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, II. Ser. 44. 1995. N 1. P. 135-146.
64. Ferreira J., Lar'kin N.A. Global solvability of a mixed problem for a nonlinear hyperbolic parabolic equation in noncylindrical domains // Portu-galiae Mathematica. 1996. V. 53. N 4. P. 381-395.
65. Fujita H., Sauer N. Construction of weak solutions of the Navier-Stokes equation in a non cylindrical domain // Bull. Amer. Math. Soc. 1969. V. 75. P. 465-468.
66. Gevrey M. Les equations paraboliques // J. de Math., 6 ser. 1913. V. 9. P. 187-235.
67. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. 1934 (русский перевод: M.: ГИИЛ, 1948).
68. Idrissi М. Direct solution of a nonlinear parabolic problem in a non-cylindric domain // Publ. Math. Fac. Sci. Besancon, Anal. Non Lineaire. 1986. N9. P. 98-110.
69. Kozhanov A.I. On a nonlinear equation viscoelasticity in noncylindric domains // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т. 5. Вып. 2. С. 107-117.
70. Laurent'ev М.М. jun. A priori estimates for solutions of parabolic equations in domains with noncylindrical boundaries // Нестационарные проблемы гидродинамики, динамика сплошной среды. 1982. Т. 58. С. 94-107.
71. Lions J.-L. Singular perturbations and some non linear boundary value problems // M. R. C. Report 421, October 1963.
72. Lions J.-L. Une remarque sur les problemes d'evolution nonlineaires dans les domaines non cylindriques // Rev. Romaine Pures Appl. Math. 19641 V. 9. P. 11-18.
73. Nakao M.L., Narazaki T. Existence and decay of solutions of some nonlinear wave equations in noncylindrical domains // Math. Rep. 1978. V. 11. P. 117-125.
74. Okochi H. On the existence of anti-periodic solutions to nonlinear parabolic equations in noncylindrical domains // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 1990. V. 14. N 9. P. 771-783.
75. Peckover R.S. The modeling of some melting problems // Res. Notes Math. 1983. V. 78. P. 248-262.
76. Petrowsky I. G. Zur ersten Randwertaufgabe der Warmeleitungsgle-ichung // Compositio math. 1935. V. 1. P. 389-419.
77. Turland B.D. Finite difference front-tracking algorithms for Stefan problems arising in reactor safety studies // Res. Notes Math. 1983. V. 78. P. 293-305.СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
78. Истомина Н.Е. О корректности первой краевой задачи для вырождающегося на решении параболического уравнения в области с нецилиндрической границей // Владивосток: Дальнаука, 2000. Препринт N 5 ИПМ ДВО РАН. 24 с.
79. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. О разрешимости задачи для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения в области с нецилиндрической границей // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2000. Т. 1. N 1. С. 63-73.
80. Истомина Н.Е. Исследование вырождающегося квазилинейного параболического уравнения в нецилиндрической области методом монотонности // III Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. 1-6 июля 2001 г. Якутск, 2001. С. 33-34.
81. Истомина Н.Е. Развитие метода монотонности на случай параболического уравнения в нецилиндрической области // Владивосток: Даль-наука, 2001. Препринт N 6 ИПМ ДВО РАН. 40 с.
82. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. Теорема единственности для нелинейного параболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10. Вып. 1. С. 27-33.
