Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ШУСТРОВА НАТАЛЬЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА

Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типа

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Стерлитамак - 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стер-литамакской государственной педагогической академии и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала АН РБ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

проф., чл.-корр. АН РБ Сабитов К.Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Солдатов А.П. доктор физико-математических наук, профессор Пулькина Л. С.

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный

универсистет

Защита состоится 28 декабря в 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии.

Автореферат разослан 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета /

доктор физ.-мат. наук, профессор / Кризский В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из интенсивно развивающихся разделов теории уравнений в частных производных являются уравнения смешанного типа.

Первые результаты в этом направлении были получены Ф.Трикоми" и С.Геллерстедтом в 20-х и 30-х годах прошлого столетия. В 40-х годах Ф.И.Франкль указал на важное прикладное значение задачи Трикоми и подобных ей задач в трансзвуковой газодинамике, что явилось новым толчком исследований в этой области.

В 50-е годы были поставлены и изучены новые краевые задачи в работах Ф.И.Франкля, А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко. Результаты, полученные ими и их последователями в нашей стране и за рубежом, приведены в монографиях А.В.Бицадзе, Л.Берса, К.Г.Гудерлея, М.М.Смирнова, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, Е.И.Моисеева.

Но в этих работах в основном исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с заданием граничных условий первого рода. Задачи с краевыми условиями второго рода изучены сравнительно мало. Впервые единственность решения задачи с краевыми условиями только второго рода для уравнения Чаплыгина доказала К. Моравец [1]. Аналогичные результаты по этой задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе приведены в монографии Л. Берса [2].

А.В.Бицадзе исследовал задачу, где на эллиптической части границы заданы краевые условия второго рода, а на характеристике - условия первого рода (задача Трикоми-Неймана) для уравнения Лаврентьева. Л.Е.Вострова изучала задачу Трикоми-Неймана для

4- вдпу • иуу — и = 0.

М.М.Смирнов доказал корректность этой задачи для уравнения вёпу • \у\тихх + иуу = 0, т > 0.

Большой вклад в развитие теории краевых задач с граничными условиями второго рода внесли Ю.М.Крикунов, А.Г.Кузьмин, Б.В.Мелентьев, Е.И.Моисеев, К.Б.Сабитов, С.Л.Хасанова, А.А.Акимов. При этом спектральные свойства решения задачи Моравец и ее обобщений остались нерешенными.

Целью данной работы является изучение спектральных задач для уравнения смешанного типа

ихх + ^дпу • иуу + Ли = О, Л е С, (1)

с однородными граничными условиями второго рода и смешанными граничными условиями в различных областях и применение полученных результатов при построении решения краевых задач для уравнения (1) в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующих спектральных задач.

Методы исследования. При доказательстве единственности решения задачи Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе используется метод интегральных тождеств. Доказательство существования решения обобщенной задачи Моравец проводится методом сведения этой задачи к обобщенной задаче Трикоми. Построение решений спектральных задач проводится методом разделения переменных соответственно в областях эллиптичности и гиперболичности на основе теории специальных функций. Доказательство теорем существования решения краевых задач проводится методом рядов по собственным функциям соответствующих спектральных задач.

Научная новизна. 1. Установлены теоремы единственности и существования регулярного решения задачи Моравец для уравнения

4

Лаврентьева-Бицадзе без каких-либо геометрических ограничений на эллиптическую часть границы области.

2. Методом разделения переменных найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции спектральной задачи, соответствующей классической задаче Моравец. Построенная система собственных функций исследована на полноту в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области.

3. На основании системы собственных функций построены решения задачи Моравец для уравнений с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

4. Методом разделения переменных найдены собственные значения и построены соответствующие системы собственных функций спектральных задач в смешанной области с отходом от характеристики в гиперболической части. На их основе построены решения задач с граничными условиями второго рода и смешанными граничными условиями.

5. Впервые построено решение задачи Трикоми-Неймана в области, где удается разделить переменные в эллиптических координатах.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес, они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений смешанного типа и при решении прикладных задач.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии (научные руководители - профессора К.Б.Сабитов, Ф.Х.Мукминов, И.А.Калиев, 1995 - 1998 гг, 2004 -2006гг.), а также на следующих конференциях:

1) Международная научная конференция "Дифференциальные

уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции", посвященная 90-летию со дня рождения профессора Пулькина С.П. (г. Самара, 1997),

2) Всероссийская научная конференция "Физика конденсированного состояния" (г. Стерлитамак, 1997),

3) Конференция "Алгебра и анализ", посвященная 100-летию Б.М.Гагаева (г. Казань, 1997),

4) Международная научная конференция "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы", посвященная юбилею академика В.А.Ильина (г. Стерлитамак, 1998),

5) Всероссийская научная конференция "Современные проблемы физики и математики" (г. Стерлитамак, 2004),

6) Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XVI" (г. Воронеж, 2005),

7) Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения академика М.А.Лаврентьева (г. Новосибирск, 2005).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [7] — [15], список которых приведен в конце автореферата. Работы [7], [10], [13] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановки изученных задач и идеи доказательств.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 18 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 100 страниц, включая список литературы, состоящей из 63 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе 1 для уравнения

Lu = uxx + К (y) - uyy + Ли = О, К (y) = sgny, (1)

в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках .4(0,0) и В (1,0), а при у < 0— кусочно-гладкой кривой 7 - АС : dx + y/—K(y)dy > 0 и характеристикой С В : х — у = 1 уравнения (1), исследуется следующая задача.

Задача Моравец. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х,у)е С(5) ПС1 (D) f\C2{D+ U.D_); (2)

Lu(x,y)=0,(x,y)€D+UD(3)

ед|г = - К{у)иу~ = ф), 0 <s<h (4)

ад|7=^(«).0<в</ь (5)

где (p(s), ip(s) - заданные достаточно гладкие функции, s— длина дуги кривой, отсчитываемая от точки Л, I— длина кривой Г, h — длина кривой 7, D± = D П {± у > 0}.

В случае, когда кривая 7 совпадает с характеристикой уравнения (1), доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи (2) - (5) при Л = 0.

На основании результатов работ [3], [4] получены следующие теоремы о единственности задачи Моравец для уравнения (1) при А — 0 без каких-либо ограничений на кривую Г.

Теорема 1. Пусть 1) кривая Г из класса Ляпунова, 2) кривая 7 : 2/ — с*(0) = 0, а(х) > 0 при х > 0, 0 < с*'(0) < 1, а!{х) >

а{х)/х. Тогда если существует решение однородной задачи (2) - (5) (<p(s) = 0, rp(s) ~ 0), то и(х,у) = const.

Теорема 2. Пусть 1) кривая Г из класса Ляпунова, 2) кривая 7 в некоторой окрестности точки А совпадает с характеристикой АС\{х + у = 0), затем параллельна оси у = 0 до пересечения в точ-

7

ке С с характеристикой СВ(х — у = 1). Тогда если существует решение однородной задачи (2) - (5), то и(х,у) = const.

Во второй главе изучены спектральные свойства решения задачи Моравец для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе в различных областях и показаны их применения при построении решения задачи Моравец.

В §2.1 для уравнения (1) в области D, эллиптическая часть D+ которой при у > 0 ограничена дутой окружности единичного радиуса Г = ВР(г = 1, 0 < <р < (ро, 0 < ipo < тг), и отрезком АР((р = <Ро, 0 < г < 1), а гиперболическая часть Z>_ при у < 0 ограничена характеристиками АС(х + у = 0), СВ{х — у = 1) уравнения (1), где А(0,0), £(1,0), С(|,— приводится постановка спектральной задачи, соответствующей задаче Моравец.

Спектральная задача (Задача Мл). Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции, удовлетворяющие условиям (2), (3) и

где D±~D П {±у > 0}.

Применяя метод разделения переменных в эллиптической и гиперболической частях области D в §2.2 построены частные решения уравнения (1) в областях D+ и D-.

В §2.3 для уравнения (1) для каждого значения А € С построена соответствующая система собственных функций задачи М\ : собственному значению А = 0 соответствует собственная функция иоо(х,у) = const, собственным значениям Anm, являющимся т—ми корнями уравнения v/AJ^ (л/А) — 0, соответствуют собственные

*.[«] = 0, (аг,у)€ АР,

(6)

ад = о, (х,у) е АС, Ss[u] = 0, {х,у) € Г,

(7)

(8)

функции

ипт(г, (р) = у/2СптВт(цп<р + л (\Лптг), (X, у) € Р+, (9)

«пт(х,у) = Спт^п{у/Хпт{х2 - у*)) , (*,у)€.0-, (10)

собственным значениям Л ф Лпт соответствуют собственные функции

их(г,<р) = Со^^ (р^ + ,(я,у) € (11)

их(х,у) = СоМу/Кх2 - У2))+ + V /п^сул^ру) /^ч *

¿1 V*-»/ и ^ * ;

где /гп = ^-(п — п е ./V, Со, СПт~действительные числа, коэффициенты /п определяются по формулам, полученным в работе [5], причем в нашем случае f{^p) = — СЬч/А«7о(\/А) :

/» = — [ (13) о

_ соУХМУХ) ^ п Л, Г(лг - 1/4)Г(к - т + 1/2)

/п~ ^ ^ Г(А + 1/4) '

где Г(-) - гамма-функция, (-) - функция Бесселя.

В §2.4 на основании полученной системы собственных функций построены решения задачи Моравец, в которой в отличии от задачи М\ условие (8) заменено условием <5«[и]|г = /(<£>), где /((/))— заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 3. Если /(<£>) € СЛ[0, < а < 1,Л ф Апт, то

существует решение задачи Моравец и оно гшеет вид:

и(г, (р) = их{х,у) + ^Х/" ^(^Д)5гП + 1) ' €

где /п есть коэффициенты разложения в биортогоналъный ряд функции /(<р) и они вычисяются по формуле (13), и\(х, у) вычисляются по формулам, (11), (12).

В §2.5 построено решение пространственного аналога задачи Моравец методом сведения к плоской задаче.

В §2.6 для уравнения (1) в усложненной области .0 = 6?, эллиптическая часть СУ+ которой ограничена дугой полуокружности единичного радиуса Г с концами в точках В(1,0) и Р(—1,0), гиперболическая часть С?при х < 0 ограничена характеристиками РЕ(х + у = — 1), ЕА(х — у = 0), а гиперболическая часть С^ — характеристиками АС{х + у = 0), СВ(х — у = 1), где Е(— |, — |), С(|, — |), рассматривается задача Моравец с условиями (2), (3), (7), (8) и 63[и] = 0, (х,у) е АЕ.

Здесь для каждого значения А € С построена соответствующая система собственных функций задачи М\, которая для области имеет вид (9), (11), для области имеет вид (10), (12), только здесь (¿п = п - §, п € N.

(/£ _ _

—г~ ) ^Лу^птг),(х,у) е

Х + У)

их(х,у) = СоМл/Х(х2 -у2))-\-

+£--(та 'у) 6 ^ •(14)

Теорема 4. Если /(<£>) € Са[0,7г], 0 < а < 1, Л ф Лпт, то сущест-

вует решение задачи Моравец с условиями (2), (3), (7) и [и] = О, (х,у) € АЕ7, ¿з[м]|г = /(<р). Это решение имеет вид:

и(х,у) = их(х,у)+

и(х,у) — и\(х,у)+

(х,у) € G2 ,

и(г,<р) - и\(х,у)+

+ >

где /п есть коэффициенты разложения в биортогональный ряд функции /(v), Уд(х,у) вычисляются по формулам (11), (12), (14),ßn —п~ п € N.

В §2.7, следуя [6], строится решение обобщенной задачи Моравец для уравнения (1) в области D = £>&, в которой в отличии от области D (см. с.8), в гиперболической части вместо характеристики, проходящей через начало координат, взята нехарактеристическая прямая АС к : у = —кх, Q < к < 1. Рассматривается спектральная задача Моравец (2), (3), (6) - (8), но с учетом того, что вместо точки С здесь берется точка С*. Собственным значениям Хпт обобщенной задачи Моравец, являющимся т-ыми корнями уравнения л/Х«7дл (\/Л) = 0, соответствует система собственных функций

CnmJßn (л/Х пт

иПт(х,у) = Слтп\/2(1 + (у/ХПт(х2 + у2))3171 (¡1п<р+

а собственным значениям Л -ф Хпт соответствует система собственных функций

«л(«,») = СоМ^г) + £ -+

/дг ~ У \ \х + у)

Пл.

г1А (ж, У ) = Со «/о (\/Аг) 4-

+К»п{со$цп<р - (ж, у) €

где Сп есть коэффициенты разложения постоянной по системе Фп(у?) = згп/ЛпФ со5/хпуз -Ь К^* (совЦп являются положительными корнями уравнения

21*^

1 +

К —

~ 1+к-

Далее решается обобщенная задача Моравец с условиями (2), (3), (б), (7), <5*[«]|Г = /(<£>), 0 < <р < (ра с учетом того, что вместо точки С здесь берется точка С*.

Теорема 5. Если /(<р) € Са[0,^о]>0 < < 1» А Ф Апто, то существует решение задачи Моравец и оно имеет вид:

и(х,у) = их(х,у) +

п= 1

оо

у/2(1 + (ч/Л)

Ш

+

+КМп

и(х,у) = и\(х, у) +

где /п есть коэффициенты разложения в ряд функции /(у) по системе синусов {згпцп<р + совЦпф + К^п(со8цп1р — з{п/1п<р)}, п =

В §2.8 решена обобщенная задача Моравец для уравнения (1) в усложненной области С?*, в которой в отличии от области С? (см. с.10), в гиперболической части вместо характеристик, проходящих через начало координат, взяты прямые ЕкА (у — кх), АС к {у — —кх), 0 < к < 1.

В 3 главе для уравнения (1) в областях и рассматриваются обобщенные краевые задачи, где на одной части границы задаются условия второго рода, а на другой части границы - условия первого рода.

В §3.1 для уравнения (1) в области И = Бк изучена задача Трикоми-Неймана на основе следующей спектральной задачи.

Задача ТИ\. Найти значения комплексного параметра Л и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям

1,2;

(2), (3) и

и(х,у)|

>У)\АСк

О,

(18)

(19)

(20)

¿Л«] = 0, 0г,2/)€Г.

На основе собственных функций построено решение задачи TN с условиями (2), (3), (18), (19) и £«М|Г = /(*0>- 0 < <Р < <РоВ §3.2 в области И = И к решена обобщенная смешанная задача с условиями (2), (3) и

63[и] = /(¥>), (*,»)€ АС*, (21)

и(х,у)=0, (х,у)еАР, (22)

«(®,у)|г = /(*>), (*,!/) е г. (23)

В §3.3 для уравнения (1) в области £) = С?Л изучена спектральная задача Трикоми-Неймана (2), (3), (18), (20) и и(х,у) = 0, (х,у) € АЕк. Собственным значениям Апт обобщенной задачи TN\ в усложненной области <9*;, являющимся т—ными корнями уравнения л/А«/^л (>/А) = 0, соответствует система собственных функций:

Unmix, у) = Cnm

+К**п (sinfln(p — COSfXn<p)), (х, у) е , Unmix,у) - CnrnJMn(\/Xnm (ж2 - у2)) ^ ^ ^ ~ / \

«пт(х,у) = Спт(-1)"+1^„(УАпт(х= - |Г>)) 3 -

где являются положительными корнями уравнения

1 2

цп = п — — Ч—arctgK, п — 1,2,.... 2 тг

Задача TN. Найти функцию и{х, у), удовлетворяющую условиям (2), (3), (18), и(х,у)\АЕк = 0, 6а[и)\г = О < <р < тг.

Теорема 6. Если f((p) 6 Са[0,тг],0 < а < 1,Л ф Апш, то существует решение задачи TN и оно имеет вид:

«(я, у) = -т , /т-ч-(вгтгдпуз + созцп<р+

Т^х (V А)

{вт^пф - со8цп<р)), (ж, у) €

/ \ ^х

где Сп есть коэффициенты разложения функции /(у) но системе функций {5гп/хпу? + соэцпф + К**п(згп11пф — созцп<р)}.

В §3.4 в области <?*; рассмотрены аналоги обобщенной смешанной задачи, где на границе в эллиптической части задано значение функции «(а;,у)|г = /(<р), а в гиперболической части на отрезках АС к и АЕк - значение ¿Ди] = 0 либо на обоих отрезках сразу, либо на одном из них, а на другом и(х,у) = 0.

В §3.5 построено решение обобщенной задачи Трикоми-Неймана в области, где удается разделить переменные в эллиптических координатах. Здесь рассматривается уравнение (1), где и(х,у) = и), (и,и)— эллиптические координаты, в области = ф, ограниченной в полуплоскости у > 0 четвертью эллипса Г = ВК : х2+ = 1, отрезком КЕ оси х = 0 и четвертью эллипса 7 = ЕА :

15

сЪсо*ъ<1 + = 1, а в полуплоскости у < О ограниченной

гиперболой АС : - ¿г^ = 1, 0 < с < 1, и

характеристикой СВ (х — у — 1) уравнения (1), где ТС(0, л/1 — с2), В(1,0), Л(ссоэс?,0),£7(0,сбшс^), 0<с<1, с<с?<1. Обозначим <2+ = О П {у > 0}; = О Л {у < 0}. Задача Найти функцию \У(х, у), удовлетворяющую

условиям (2), (3) и условиям IV \еа— УУ |ас— 0, \ке~ /(«), 0 < « < тг/2. Теорема 7. Если € С2[0,тг/2], /(0) = /(тг/2) = 0, в ф впт, то существует решение задачи Т1V" :

Ч _ ^ /2т+1^е2т+1(ц> 0)(?еу2т-ц(^ ^)5в2т+1(Ц, 0)__

Сеу2т+1 (</,

__/2т-Ц5б2т+1 0)£е2т+1(<*> #)<?еУ2т+1 (Ц, <?)) ( ) ^ п

Сеу2т+1(^в)3е'2тп+1(д,в) - Зе2гп+1(<1,в)Сеу'2тп+1{д}еу {Х'У) Ь

Ю ¿о Сеу2от+1 (0,^)Зе'2тп+1 (.д, 0) - 5е2т+1 (с/, 0)Сеу^т+1 (</, "

__/2т+г£е2т+1(^А)£е2т+1К 0)<?ву2т+1(ц, #))

1 х 2

где д = агск^,вптп = , Апт — собственные значения

спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми-Неймана, 5в2т+1 — функция Матье первого рода порядка 2т + 1, 5е2т+1 —модифицированная функция Матье первого рода, (7ет/2т+1 ~модифицированная функция Матье второго рода,

Зе2т+и Сеу2т+1 —производные модифицированных функций Матье соответственно первого и второго рода, /2т+1 —коэффициенты разложения функции /(и) по системе функций Матье {зегт-н} на промежутке (0,7г/2).

Автор вьфажает глубокую благодарность научному руководителю профессору Камилю Басировичу Сабитову за постановку

16 >

задач, за идеи доказательств, за руководство и помощь при выполнении этой работы.

Литература

1. Morawetz, C.S. Uniqueness for the analogue of the Neumann problem for mixed equation // Michigan Math. J. - 1957. - V. 4, JNT® 1. - P. 5-14.

2. Берс, JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуко-вой газовой динамики. - М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

3. Солдатов А.П. Об одной задаче теории функций // Дифференц. уравнения. - 1973. - Т. 9, № 2. - С. 325 - 332.

4. Сабитов, К.Б. О единственности решений обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля / Сабитов, К.Б., Капустин, Н.Ю.// Докл. АН СССР. - 1991. - Т. 321, № 6. - С. 1151 - 1154.

5. Моисеев, Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, №1. - С. 93 - 103.

6. Моисеев, Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. -1990. - Т. 26, № 7. - С. 1160 - 1172.

7. Сабитов, К.Б. О задаче Моравец для уравнения смешанного типа / Сабитов, К.В., Сомова, Н.В.// Физика конденсированного состояния. Труды Всероссийской научной конференции, 22-25 сентября 1997 г. - г. Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т. -1997. - Т.1 - С.116 - 120.

8. Сомова, Н.В. О задаче Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции. Тезисы докладов Международной научн. конференции. - Самара. -1997. - С.68.

9. Сомова, Н.В. О задаче Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром // Алгебра и анализ. Материалы конференции, посвященной 100-летию Б.М.Гагаева. — Казань. -1997. - С. 205,

10. Сабитов, К. Б. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Сабитов К.Б., Сомова Н.В.// Спектр, теория дифф. операторов и смежные вопросы. Сборн. трудов междунар. научной конференции, посвящ. юбилею акад. В.А.Ильина.Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. институт. - 1998. - С.93 - 95.

11. Шустрова (Сомова), Н.В. Задача Моравец для одного уравнения смешанного типа // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции, 16 — 18 сентября 2004г. - Уфа: Гилем, 2004. - Т.1. - С. 180 - 185.

12. Шустрова (Сомова), Н.В. Обобщенная задача Трикоми // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения - XVI" 3 — 9 мая 2005 г. - Воронеж. - С. 180.

13. Сабитов, К.Б. Обобщенная задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром/ Сабитов, К.Б., Шустрова (Сомова) Н.В. // Тезисы докладов международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А.Лаврентьева. - Новосибирск. - 2005. - С. 72 - 74.

14. Шустрова (Сомова), Н.В. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром // Сибирские электронные математические известия. - 2006. - Т.З. - С.106 - 114.

15. Шустрова (Сомова), Н.В. Смешанная задача с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром // Известия вузов. Математика. - 2006. - №10. - С. 76 - 81.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ, коды

грантов 99-01-00934, 02-01-97901.

18

Подписано в печать Формат 60 х 8416. Гарнитура "Time". Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № Jff I Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии: 453103, г.Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Глава 1. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

§1.1. Постановка обобщенной задачи Моравец и редукция к обобщенной задаче Трикоми.

§1.2. Единственность и существование решения задачи Моравец.

§1.3. Единственность решения обобщенной задачи Моравец.

Глава 2. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром

§2.1. Постановка спектральной задачи Моравец.

§2.2. Построение частных решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром.

§2.3. Построение системы собственных функций и исследование их на полноту.

§2.4. Построение решения задачи Моравец для уравнений с оператором

Лаврентьева-Бицадзе.

§2.5. Пространственный аналог задачи Моравец.

§2.6. Построение решения задачи Моравец для уравнения с оператором

Лаврентьева-Бицадзе в усложненной области.

§2.7. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром.

§2.8. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром в усложненной области.

Глава 3. Задачи с краевыми условиями второго рода на части границы для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром

§3.1. Построение решения обобщенной задачи Трикоми-Неймана.

§3.2. Обобщенная смешанная задача.

§3.3. Обобщенная задача Трикоми-Неймана в усложненной области.

§3.4. Аналоги обобщенной смешанной задачи в усложненной области.

§3.5. Построение решения задачи TN для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром в эллиптических координатах.

Исследования различного рода физических процессов тесно связаны с развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа.

Основоположниками этой теории являются Ф.Трикоми и С.Геллерстедт. Дальнейшими исследованиями в этой области занимались Ф.И.Франкль,

A.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, В.Ф.Волкодавов, В.Н.Врагов, Т.Д.Джураев,

B.Н.Диденко, В.А.Елеев, В.И.Жегалов, А.Н.Зарубин, Т.Ш.Кальменов, Г.Д.Каратопраклиев, А.И.Кожанов, Ю.М.Крикунов, А.Г.Кузьмин, О.А.Ладыженская, В.П.Михайлов, Е.И.Моисеев, А.М.Нахушев,

C.М.Пономарёв, С.П.Пулькин, Л.С.Пулькина, О.А.Репин, К.Б.Сабитов, М.С.Салахитдинов, М.М.Смирнов, А.П.Солдатов, Р.С.Хайруллин, Хе Кан Чер, Л.И.Чибрикова, S.Agmon, L.Nirenberg, M.Protter, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Baber, P.Lax, R.Phillips, M.Schneider и многие другие.

К основным краевым задачам для дифференциальных уравнений смешанного типа относятся задачи Трикоми, Геллерстедта, Трикоми-Неймана, Моравец и их обобщения (с отходом от характеристики). Ф.Трикоми [48] для уравнения уихх + иуу = 0 (0.1) в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А и В оси у — 0, а при у < 0 — характеристиками АС и ВС уравнения (0.1), выходящими из этих точек и пересекающимися в точке С, исследовал задачу с граничными данными первого рода на Г U АС. Существование и единственность решения этой задачи доказано при некоторых ограничениях на кривую Г. Геллерстедт [58] решает задачу Трикоми для уравнения ymuxx + uyy cu — F(x, у), (0.2) где т > 0 и т = 0(mod2), с = const > 0, но достаточно малая, F{x)y) — заданная функция. В другой работе Геллерстедта [57] для уравнения ymuxx + Uyy = 0, (0.3) где т — натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках Ai(ai, 0) и ^2(02,0), а при у < 0 — характеристиками А\С\, С\Е, ЕСч^ С2А2 уравнения (0.3), где Е(е, 0), ai < е < а,2, исследованы задачи с граничными данными первого рода на Г U А\С\ U А2С2 (задача G\) и на Г U С\Е U ЕС2 (задача G2). Существование этих задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с "нормальной" кривой Го :

Z2 + Т-Т^~2Ут+2 = у > т + 2)г

В работе [50] Ф.И.Франкль исследовал задачу Трикоми для уравнения Чаплыгина

К{у)ихх + иуу = 0, К{0) = 0, К'(у) > 0. (0.4)

Единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина была доказана им при условии, что функция

F(y) = 2{К/К')1 + 1 < 0 при у < 0. (0.5)

Для уравнения М.А.Лаврентьева ихх + sgny ■ иуу = 0 (0.6) задачи Трикоми, G\ и задача, в которой задано на Г, подробно изучены А.В.Бицадзе [5-9]. В работе [8] единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г, но при некоторых ограничениях на поведение производных их и иу в малой окрестности точки Е.

Применяя метод "абс", Проттер [62, 63] доказал теорему единственности решения задачи Т для уравнения (0.4) в случае, когда К (у) имеет непрерывную производную третьего порядка, которая в полуплоскости у < 0 удовлетворяет условию К"' < 0 всякий раз, когда F(y) < 0 при у < 0.

К.И.Бабенко [1] доказал единственность и существование обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина, когда \dx/dy\ < Cy2(s) в окрестности точек А и В на кривой Г, где С—положительная постоянная.

С.П.Пулькин [29] доказал единственность и существование обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения

Uxx + sgny ■ Uyy + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0 (0.7) при некоторых ограничениях на коэффициенты а, Ь, с в случае, когда касательная к гладкой кривой Г в точках А и В параллельна оси Оу.

М.М.Смирнов [42] рассмотрел краевую задачу для уравнения (0.4) при К (у) = sgny • \у\т, т > 0, в котором на характеристике АС задано значение искомой функции, а на кривой Г— задается 5s[it] = ym^ux — ^uy.

В работах C.S.Morawetz [59, 60] единственность решения обобщенной задачи G\ (т.е. задачи G\ с отходом от характеристики) для уравнения Чаплыгина (0.4), где К( 0) = 0, К'(у) > 0, К (у) — достаточно гладкая функция, доказывается методами вспомогательных функций и "а&с", при некоторых ограничениях на кривую Г и рост градиента решения в окрестности точек Ai, Е и А^. Кривая Г должна быть звездной относительно точки Е.

C.S.Morawetz [61] также доказала теорему единственности аналога задачи Неймана (£s[u] = 0 на Г U А\С\ U А2С2) для уравнения (0.4) методом вспомогательных функций и построила контрпример, в котором ограничения, наложенные на кривую Г, нарушаются, а аналог задачи Неймана с нулевыми данными имеет нетривиальное решение.

Аналогичная краевая задача изучена для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в монографии Л.Берса [4, с.118], где методом вспомогательных функций Моравец получена теорема единственности решения этой задачи при следующих геометрических ограничениях на кривую Г : производная dx/dy = 0 в точках А и В, dy/dx не обращается в нуль на Г при у > 0, за исключением одной точки.

Обобщенная задача Трикоми впервые была изучена А.В.Бицадзе [7] для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. При следующих ограничениях на кривые Г (в эллиптической части области) и 7 (в гиперболической части области)

Г : (х - х2 - y2)dy - ydx > 0, . (0.8)

7 : у = —а(х), а(0) = 0, а(х) > 0 при х > 0,

О < а'(х) < 1, а'(х) < а(х)/(х-х2 + а2) (0.9) он доказал единственность решения. На основании теоремы единственности им доказано существование решения обобщенной задачи Трикоми в случае, когда кривая 7 в некоторой окрестности точки А совпадает с характеристикой, а Г принадлежит классу Ляпунова и в малой окрестности точек А я В оканчивается как дуга полуокружности с центром в точке (1/2,0).

А.П.Солдатов [45] методами теории аналитических функций доказал единственность решения обобщенной задачи Трикоми, сняв ограничение (0.8) на кривую Г и заменив условие (0.9) на следующее

0 < а'(0) < 1, а'(х)>а(х)/х.

Единственность решения обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля, доказана в работе К.Б.Сабитова и Н.Ю.Капустина [32].

Методом разделения переменных Е.И.Моисеев [20-24] построил решение обобщенной задачи Трикоми, а также решения задач G\ и G<i с нулевыми граничными условиями на характеристиках для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в виде суммы биортогональных рядов в случае, когда область эллиптичности является круговым сектором.

К.Б.Сабитов и А.А.Карамова [34] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа.

В работе К.Б.Сабитова и А.Н.Кучкаровой [36] изучены спектральные свойства решений задачи G2 и показаны их применения при построении решения этой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром и для уравнения смешанного типа со степенным вырождением.

Краевые задачи для уравнений смешанного типа с заданием производной по нормали на эллиптической части границы рассмотрены в работах К.Б.Сабитова и С.Л.Хасановой [37], [38] методами спектрального анализа.

Из данного обзора видно, что в основном исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с заданием граничных условий первого рода, а задачи с граничными условиями 2-го рода изучены сравнительно мало. Поэтому представляет интерес исследование краевой задачи для уравнений смешанного типа с граничными условиями второго рода (задачи Моравец), задач со смешанными граничными условиями и их обобщений в областях с отходом от характеристики в гиперболической части области.

Не изучены также спектральные свойства решения задачи Моравец и ее обобщений.

Целью данной работы является изучение спектральных задач для уравнения смешанного типа ихх + s9nV • Щу + Au = О, Л G С, (0.10) с однородными граничными условиями второго рода и смешанными граничными условиями в различных областях и применение полученных результатов при построении решения краевых задач для уравнения (0.10) в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующих спектральных задач.

В главе 1 задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

Lu(x,y) = ихх + К (у) • иуу = 0, К (у) = sgny, (0.11) сводится к обобщенной задаче Трикоми и доказывается единственность решения этой задачи.

В §1.1 для уравнения (0.11) в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А(0,0) и Б(1,0), кусочно-гладкой кривой 7 = АС : dx + у—K(y)dy > 0 и характеристикой СВ : х — у = 1 уравнения (0.11) при у < 0, ставится обобщенная задача Моравец.

Обобщенная задача Моравец. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) Е C(D) П C\D) П C2(D+ U (0.12)

Lu(x,y) = Q,{x,y) G £>+ULL, (0.13) dy dx

8s[u] r = ux— - sgny • Uy— = (p(s), 0 <S<1, (0.14)

5s[u}\j = ij(s),0<s<lh (0.15) где </o(s), -0(s) - заданные достаточно гладкие функции, s- длина дуги кривой, отсчитываемая от точки А, I— длина кривой Г, 1\— длина кривой 7, = D П {±у > 0}.

Определение 1. Под регулярным в D решением уравнения (0.11) будем понимать функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.12), (0.13) и дополнительно потребуем, чтобы функция —K{y)uydx + uxdy была интегрируемой вдоль любой кусочно-гладкой кривой, лежащей в D. Рассматривая функцию х,у) v(x,y) = J ^~K(y)uyjt+u^dt (0.16)

0,0) обобщенную задачу Моравец можно свести к обобщенной задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе относительно функции v(x,y) : S v(x{s),y{s)) v(x(s),y(s)) / cp[x(t),y(t)}dt = Ф(3), г { / il>[x{t)iy(t)]dt = V{8).

7 {

В §1.2 доказаны теоремы единственности и существования решения задачи Моравец для уравнения (0.11) в случае, когда 7 совпадает с характеристикой.

Теорема 1. Пусть: 1) Г - кривая из класса Ляпунова, 2) и(х, у) - решение однородной задачи Моравец из класса регулярных в D решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Тогда и(х,у) = const в D.

Теорема 2. Если кривая Г из класса Ляпунова, <p(s) Е С[0, Z], ф(х) Е С1[0,1/2], то задача (0.12) - (0.14) и иу - их) ф{х), 0 < х < 1/2, у=-х для уравнения Лаврентьева-Бицадзе имеет решение, определяемое формулой и(х,у)= J Vydx - jj^dy + с. (0.17)

0,0)

В §1.3 доказаны теоремы единственности решения обобщенной задачи Моравец для уравнения (0.11) по результатам [45], [32].

Теорема 3. Пусть 1) кривая Г из класса Ляпунова, 2) кривая 7 : у = -а(х), а(0) = 0, а(х) > 0 при х > 0, 0 < а'(0) < 1, а'(х) >а(х)/х. Тогда если существует решение однородной задачи (0.12) - (0.15) (<p(s) = 0, ip(s) = О), то и(х,у) = const.

Во второй главе изучены спектральные свойства решений задачи Мора-вец для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе и показаны их применения при построении решения задачи Моравец.

В §2.1-2.3 рассматривается задача Моравец для оператора Лаврентьева-Бицадзе. Для уравнения

Lu = ихх + sgny ■ иуу + Aw = 0, (0.18) где А 6 С, в области D, эллиптическая часть которой D+ при у > 0 ограничена дугой окружности единичного радиуса Г = BP (г = 1, 0 < ср < (ро, 0 < </?о < 7г), и отрезком АР(<р = (ро, 0 < г < 1), а гиперболическая часть которой D- при у < 0 ограничена характеристиками уравнения (0.18) АС(х + у = 0), СВ{х - у = 1), где А(0,0), 5(1,0), поставим следующую спектральную задачу.

Задача М\. Найти значения комплексного параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и(х, у) е C(D) П Cl{D) П C2(D+ U £>), (0.19)

Lu(x,y) = 0,(х,у) в D+UD-, (0.20) 0, (х, у) е Г и АС и АР, (0.21) где D± = Dn{±y> 0}.

Применяя метод разделения переменных в эллиптической и гиперболической частях области D, получено следующее утверждение: собственному значению А = 0 соответствует собственная функция Що(х,у) = const, собственным значениям Anm, являющимся т—ми корнями уравнения V^J'^y/X) = 0, соответствуют собственные функции г, (р) = \/2Cnmsin(finip + nm' ),(x,y)eD+, (0.22)

Unm{x,y) = CnmJ^n{^/Xnm{x2 -y2)) ' (Х>У) € D-> (°'23) собственным значениям А ф Xnm, соответствуют собственные функции а(Г, <р) = СоМy/Xr) + £ fn^fz\sin (w + , (я,у) Е D+, (0.24)

1 vAJ;n(VA) V

00 где цп = ^{n — |), n E N, Co, Cnm—действительные числа, коэффициенты fn определяются no формулам, полученным в работе [20], причем в нашем случае f((p) = -CqVXJ^VX) :

Ро = - [ f(<p)hn{<p)d<p, (0.26) ро J о

K{<f) = ---2lf°\ Y sink—Bn-k,

5г = ]Гс1-тСГ(-1)г~т, Cf = l{l-l).{l-n + l)

Til m=0 f соУ2ЛЛ(л/Л)Г(3/4) n ср>/Л^(УЛ)Г(3/4) f с0у^ЛЛ(\/Л)Г(3/4) ^ ~ V^r(5/4) ' 7 2 ~ 5у^7гГ(5/4) ' 73 ~ 24^(5/4) ' CqVXJ^VX) А * ~ l/4)T(fe - 771 + 1/2) n~ v^ h } 2k Г(Л + 1/4) v k=l m=l 4 ' ' где Г(-) - гамма-функция.

Изучен вопрос о полноте систем собственных функций (0.22), (0.23) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области. Теорема 4. Система собственных функций (0.22) задачи М\ полна в

HD+).

Теорема 5. .ЕЪш </?о G (0,7г/2), то система собственных функций (0.23) задачи М\ полна в L2(D-). Если cpQ Е [тг/2, 7г], то подсистема собственных функций (0.23) задачи М\, начиная с номера п = 2, 3,полна в I^LL).

Теорема 6. Система собственных функций (0.22),(0.23) задачи М\ не полна в L2(D).

В §2.4 на основании работ [21, 22] показаны применения системы собственных функций при построении решения задачи Моравец для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (0.11) в области D рассмотрена следующая задача.

Задача Моравец (задача М). Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.19), (0.20) и ад = /Ш®>У)<Е г, (0.27)

68[и] = 0, (х,у) £ AC U АР, (0.28) где f(ip) - заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 7. Если f(<p) £ Са[0,</?о]5 0 < ск < 1, то существует решение задачи М и оно имеет вид:

00 f ^ и(г, у?) = Со + V —r^sin^nip + -), (ж, у) Е D+,

Ми 4

71—1

00

Ef n=l где (in = (п — |) коэффициенты fn вычисляются по формуле (0.26).

Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром (0.18) в области D найдено решение задачи Моравец.

Теорема 8. Если f(ip) £ Са[0 < а < 1,А ^ mo существует решение задачи Моравец и оно имеет вид: f J (v^Ay) тг

71=1 Мп Л) {x + yYn/2

00

П=1 V Мп ^ где (in = ~(п — |), fn есть коэффициенты разлоэ/сения в биортогональпый ряд функции f{(p) и они вычисляются по формуле (0.26), и\(х,у) вычисляются по формулам (0.24), (0.25).

В §2.5 изучен пространственный аналог задачи Моравец для уравнения

LW = W^ + sgny ■ Wyy + Wzz = 0 (0.29) в области Но = D х [0, тг], где D — область, описанная на стр. 9.

Обозначим через So часть цилиндрической поверхности х2 + у2 = 1, у > О, г е [0, тг], #0+ = Н0 П {у > 0}, Щ = HoC\{x>Q,y< 0}.

Задача М. Найти функцию W(x,y,z), удовлетворяющую условиям:

W(x, у, z) € С(Hq) п С1 (Но) П С2(Я+ U Я0"), LW = 0, = F(ip,z), dW dW dN dN

0, (fi = (fo, 0 < Г < 1, 0 < Z < 7Г,

0.30) (0.31) (0.32)

0.33)

AP

Wx(x, -X, z) - Wy(x, ~x,z) = 0, 0 <x < 1/2, -1/2 < у < 0, (0.34) dW

ON dW

2=0 dN

-0,

0.35)

Z—-K где F(ip,z)— заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 9. Если функция F(ip, z) по переменной (р удовлетворяет на отрезке [0,<^о] условию Гелъдера с показателем a £ (0,1], а по переменной z на отрезке [0,7г] условию Гелъдера с показателем /3 £ (0,1], то существует решение задачи Моравец в области Но и оно имеет вид: оо с0 f 71

W(x, у, z)) = c°o + J2 ^ksin(/Jktp + -)+ k=1 "'

Hk " 4'

00

71—1

7Г пГ ,(n) Sin W + 4 ^ ' cosnz> y>G Яо+>

00 k=1 g ^(s, y) + g f I cosnz , (*, у, *) e Щ , n)

- у, zdeln(z) — модифицированная функция Бесселя, f^, f® есть коэффициенты разлооюения в биортогоналъный ряд функций fn(<p), /о(у) соответственно, сами функции определяются по формулам

7Г fn(<p) = — / F((p)z]cosnzdz) п = 0,1,. т J а функции ип(х,у)

IC0/0(nr) + XXl anl^{n) + f)' у) G т / /7—2-2V* «^^("У^-У2)) fx+yYk/2 , \ а Г)

§2.6 определяются собственные значения спектральной задачи, соответствующей задаче Моравец для уравнения (0.18) в усложненной области G, в которой впервые была изучена задача Моравец уравнения Чаплыгина [61], - эта область в полуплоскости у > 0 ограничена простой кривой Г (в нашем случае Г является дугой полуокружности единичного радиуса) с концами в точках 5(1,0) и Р(—1,0), а в полуплоскости у < 0 ограничена характеристиками заданного уравнения (в нашем случае - характеристиками РЕ(х + у = -1), ЕА{х - у = 0), АС(ж + у = 0), СЯ(ж - у = 1), где —С(|, — !)), и исследуется на базисность соответствующая система собственных функций. На основании работ [21, 22] показаны применения системы собственных функций при построении решения задачи Моравец для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе в области G.

В заключение этого параграфа построено решение пространственной задачи Моравец (0.30) - (0.35) для уравнения (0.29) в области Я = G х [—тг, 7г]. Обозначим через S часть цилиндрической поверхности х2 + у2 = 1, z Е [-тг, тг], Я+ = #2 П {у > 0}, Щ = Я П {у < 0, ж > 0} Щ = ЯП {у < 0,ж < 0}.

В §2.7 строится решение задачи Моравец для уравнения (0.18) в области JDjfe, в которой в отличии от области D в гиперболической части вместо характеристики, проходящей через начало координат, взята прямая у = —&ж,0<&<1,и вместо точки С получена точка С к.

Теорема 10. Собственным значениям \пт, являющимся т—ыми корнями уравнения <f\J' (у/Х) = 0, соответствует система собственных функций у) = CnmV/2(1 + К2») J^Kmix2 + y2))sin (^-f-+°>rctgz-ттг е Dk, собственным значениям А Ф Хпт соответствует система собственных функций л(«, У) = СЬЛ(^г) + £ /7* ■+ VV? п=1 /% а/а) \\Х-У, \ if4 ид (я, 2/) = C0Jo(VAr)+ с» - /Г т> / /Т\-+

Я=1 vXJiWX) cosfj,n(p - sinfj,n(p)): (х,у) е Dk+, (0.37) где Сп естоь коэффициенты разложения по системе Фп (</£>) = sinfj,n(p + + К(cosiin(p - sin/j,nip), К = f^f, tgw>o = В §2.8 решена задача Моравец для уравнения (0.18) в усложненной области Gk, в которой в отличии от усложненной области G в гиперболической части вместо характеристик, проходящих через начало координат, взяты прямые у = 0 < k < 1, и вместо точек С, Е получены соответственно точки и Ек.

В 3 главе рассматриваются краевые задачи со смешанными граничными условиями в областях, в которых удается разделить переменные в полярных и эллиптических координатах.

Здесь для уравнения (0.18) в области Gk рассмотрим задачу Трикоми-Неймана.

Задача TN. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.19) -(0.20) и условиям и(х,у) = 0, (х,у)бАЕкиАСк, (0.38)

Теорема 11. Собственным значениям Хпт, являющимся тп—ными корнями уравнения y/\J' = 0, соответствует система собственных функций задачи TN\ в усложненной области Gk'. у) = Спт1^п{л/Хпп(х2 + y2))(sirifin(p + COSHnLp+ +K>"n(sinfinip - cosfaip)), {x,y) E Gj,

Unm{x,y) = Cnm J\/ Xnm[x2 - y2)) x + y

ЦП x-yj / / \ m ^(-^^^(^Апт^-У2)) I 2 \ Ш\ -к* (~) ) > где цп являются положительными корнями уравнения fin = п — f arctc/if^, n = 1,2,

Теорема 12. Е'сли /(<£>) Е Са[0,7г], 0 < а < 1, А ф Хпт, то существует решение задачи TN и оно имеет вид:

4х > У) = \- J г, , /Т\-ismVn<P + COSflncp+ vAJ; (VA) n=1 Pn 1

- cos[inLp)), (x,y) e G+,

00

Ми . .

71=1 V Mn

ЦП где Cn естоъ коэффициенты разложения функции f((p) no системе функций siniinip + cosfj,nip -f — cos/jinip).

В этой главе для уравнения (0.18) в областях Dk и рассматриваются обобщенная задача Трикоми-Неймана и обобщенная смешанная задача, а также аналоги обобщенной смешанной задачи в усложненной области G.

В заключение главы 3 построено решение обобщенной задачи Трикоми-Неймана в эллиптических координатах. Здесь рассматривается уравнение

LW = Wxx + sgny • Wyy + XW = 0 (0.40) в области Q, ограниченной в полуплоскости у > 0 четвертью эллипса Г —

В К : ж2 + = 1 и отрезком оси ж = 0 и четвертью эллипса 7 = J5A : 2 2 c2cOS2d + c2sin2d = 1) а в полуплоскости у < 0 ограниченной гиперболой АС : 1, 0 < с < 1, где К(0, vT^?), 5(1,0), А(с • cosd, 0),£(0, с ■ if c2ch2d c2sh2d sind).

Обозначим Q+ = Q П {у > 0};Q- = Q Г) {у < 0}. Задача TN. Найти функцию W(x,y), удовлетворяющую условиям

W(x, у) 6 C(Q) n C\Q) n C\Q+ U (0.41)

LW{x,y) = 0,{x}y)eQ+UQ^ (0.42)

W \EA= W Uc7= 0, (0.43) dW dW кЕ=0^\вк=т. (0.44) dN ^ ' dN

Теорема 13. Если f(v) £ C2[0,7r/2], /(7г/2) = 0, 9 ф 9тп, то существует решение задачи TN : уу, ч у^f2m+ise2m+i{v, 0)Gey2m+i(d, e)Se2m+i(u16)

2m+i5e2m+i(^, e)Se2m+i{d, 9)Gey2m+1(u, в))

Gey2m+i(d, 0)£е'2т+1(агсЛ£, 0) - 5e2m+i(d, 0)<3е^т+1(агс/й, в) f2m+iSe2m+i(v, 9)Gey2m+i{d, 9)Se2m+i{u, 0)

00

9)Gey2m+i(d, 9)Se2m+] m=0 0)Se'2m+1(arc/ii, 0) - £e2m+i(d, 9)Gey'2mJrl(arch\, 0) fl)£e2m+iK 9)Gey2m+i(u, в)) (ж 2/) e Q

Gq/2m+i(d, 0)Se'2m+1(arc^, 0) - Se2m+1(d, 0)Gey'2m+l{archlc, 0)'

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Камилю Басировичу Сабитову за постановку задач, за идеи доказательств, за руководство и помощь при выполнении этой работы.

1. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. - М., 1952. - 195 с.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье./ Бейтмен, Г., Эрдейи, А.// М.: Наука, 1967. 300 с.

3. Березанский, Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965. - 296 с.

4. Берс, JL Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

5. Бицадзе, А.В. О некоторых задачах смешанного типа // ДАН СССР -1950. Т. 70, № 4. - С. 561 - 565.

6. Бицадзе, А.В. О единственности решения общей граничной задачи для уравнения смешанного типа // Сообщ. АН ГрузССР. 1950. - Т. XI, № 4.

7. Бицадзе, А.В. К общей задаче смешанного типа // ДАН СССР. 1951. - Т. 78, № 4. - С. 621 - 624.

8. Бицадзе, А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. Матем. ин-та АН СССР 1953. - Т.61.

9. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

10. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 С.

11. Бурский, В. Собственные значения волнового оператора в пространстве С2 над эллипсом с однородными данными Дирихле. / Бурский В., Журба Л.// Донецк: Издательство ДГУ, - 1989. - 18 с.

12. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. I. М.: ИЛ, 1949. - 799с.

13. Векуа, В.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. -512с.

14. Кальменов, Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13, № 8. -С. 1718 - 1725.

15. Кальменов, Т.Ш. О спектре задачи Геллерстедта // Теоретические и прикладные задачи математики и механики. Институт матем. и мех. АН Казах.ССР. 1977. - С. 167 - 169.

16. Каратопраклиев, Г. Об одном обобщении задачи Трикоми // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 158, № 2. - С. 271 - 274.

17. Мамедов, Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 1. - С. 163 - 168.

18. Мамедов, Я.Н. К задаче на собственные значения для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, № 1. - С. 95 -103.

19. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 1. - С. 177 - 179.

20. Моисеев, Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 1. - С. 93 - 103.

21. Моисеев, Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990.- Т. 26, № 7. С. 1160 - 1172.

22. Моисеев, Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биортогонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27Д5 7. -С. 1229 - 1237.

23. Моисеев, Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 1. - С. 110 - 121.

24. Никифоров, А.Ф. Основы теории специальных функций. / Никифоров А.Ф., Уваров В.Б.// М.: Наука. 1974. - 304 с.

25. Пономарев, С.М. К задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 233, № 1. - С. 39 - 40.

26. Пономарев, С.М. К задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 235, № 5. - С. 1020 - 1021.

27. Прудников, А.П., Брычков, Ю.А., Маричев, О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции.) М.: Наука, 1983. - 752 с.

28. Пулькин, С.П. Задача Трикоми для обобщенного уравнения Лаврентьева- Бицадзе. // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 118, № 1. С. 38 - 41.

29. Сабитов, К.Б. О спектре одной газодинамической задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316, № 1. -С.40 - 44.

30. Сабитов, К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применения при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 6. - С. 1023 -1032.

31. Сабитов, К.Б. О единственности решений обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля / Сабитов, К.В., Капустин, Н.Ю.// Докл. АН СССР. 1991. - Т. 321, № 6. - С. 1151 - 1154.

32. Сабитов, К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа./Сабитов, К.Б., Капустин, Н.Ю. // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, № 1. - С. 60 - 68.

33. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применение. / Сабитов, К.Б., Карамова, А.А. // Известия РАН: Серия математическая. 2001. - №4. - С. 133 - 150.

34. Сабитов, К.Б. Об одной газодинамической задаче для уравнений смешанного типа./ Сабитов, К.В., Гималтдинова, А.А. // Дифференц. уравнения, 2001. - Т. 38, № 1. - С. 111 - 116.

35. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения./ Сабитов, К.В., Кучкарова, А.Н. // Сибирский математический журнал. 2001. - Т. 42, № 5. - С. 122 - 137.

36. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решения задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применение. /Сабитов, К.В., Хасанова, C.JI. // Известия вузов. Математика. 2003, № 6. - С. 64 - 76.

37. Сабитов, К.Б. Построение собственных функций задачи Трикоми-Неймана для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением и их применение/ Сабитов, К.В., Хасанова, C.JI. // Математические заметки 2003. - Т.74. - вып. 1. - С. 83 - 94.

38. Смирнов, М.М. Смешанная краевая задача для уравнения утихх + иуу = 0 // Сибирск. матем. журн. 1963. - Т. IV, № 5. - С. 1150 - 1161.

39. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

40. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

41. Солдатов, А.П. Об одной задаче теории функций // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, № 2. - С. 325 - 332.

42. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами // Под ред. Абрамовица, А., Стиган, И. М.: Наука, 1979. - С. 832.

43. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М. - Л.: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

44. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

45. Уиттекер, Э. Т., Ватсон, Дж. Н. Курс современного анализа., Ч. И. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

46. Франкль, Ф. И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1945. - Т. 9, № 2.- С. 121 142.

47. Шустрова (Сомова), Н.В. О задаче Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции. Тезисы докладов Международной научн. конференции. Самара. - 1997. - С.68.

48. Шустрова (Сомова), Н.В. О задаче Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром // Алгебра и анализ. Материалы конференции, посвященной 100-летию Гагаева. Казань. -1997.- С. 205.

49. Шустрова (Сомова), Н.В. Задача Моравец для одного уравнения смешанного типа // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции 16-18 сентября 2004г. Уфа: Гилем, 2004.-Т.1.-С. 180-185.

50. Шустрова (Сомова), Н.В. Обобщенная задача Трикоми // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения XVI." 3 мая - 9 мая 2005 г. - Воронеж. - С. 180.

51. Шустрова (Сомова), Н.В. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром // Сибирские электронные математические известия. 2006. - Т.З. -С.106-114.

52. Шустрова (Сомова), Н.В. Смешанная задача с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром // Известия вузов. Математика. 2006. - №10. - С. 76-81.

53. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de tipe mixte: Thesis pour le doctorat. -Uppsala, 1935. 92 p.

54. Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pour l'equation ymzxx + zyy = 0 // Arkiv Mat., Astr. och Fysik. 1938. - В 26A, № 3. - P.l - 32.

55. Morawetz C.S. A uniqueness theorem for the Frankl problem // Communs pure and Appl. Math. 1954. - V. 7, № 4. - P. 697 - 703.

56. Morawetz C.S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation // Proc.Roy.Soc. 1956. - V. 236, № 1024, - P. 141 - 144.

57. Morawetz C.S. Uniqueness for the analogue of the Neumann problem for mixed equation // Michigan Math. J. 1957. - V. 4, № 1. - P. 5 - 14.

58. Protter M. H. Uniqueness theorems for the Tricomi problems //J. Rational Mech. and Analysis. Part I. 1953. - V. 2, № 1. - P. 107 - 114.

59. Protter M. H. Uniqueness theorems for the Tricomi problems //J. Rational Mech. and Analysis. Part II. 1955. - V. 4, № 5. - P. 721-733.