Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений

Салихов, Рустам Назипович

Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Салихов, Рустам Назипович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений"

На правах рукописи

Салихов Рустам Назипович

Нелокальные задачи для вырождающихся

гиперболических уравнений

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003450705

Самара - 2008

003450705

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета.

Защита состоится 3 декабря 2008 г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете, расположенном по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета.

1-Т С"

Автореферат разослан « '' » ¿ХУ^ауиг._2008 г.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор

Хайруллин Равиль Сагитович Орловский государственный университет

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Е. К. Липачев

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа в настоящее время является очень важным разделом теории дифференциальных уравнений с частными производными. Во многих научных школах России (Москва, Нальчик, Самара, Казань) и за рубежом (Минск, Алма-Ата, Ташкент, Бишкек) бурно развивается направление нелокальных краевых задач, в том числе задач с операторами дробного интегро-дифференцирования в граничных условиях, т.е. таких задач для дифференциальных уравнений в частных производных, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе или внутри рассматриваемой области.

Такое внимание к теории нелокальных краевых задач не случайно, так как дифференциальные уравнения с частными производными нашли важные применения в различных задачах математической физики, химии и т.п. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах, движения жидкости в канале окруженной пористой средой и других явлениях. Как отмечено в обзорной статье О. А. Олейник1, изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Эти практические приложения дифференциальных уравнений в частных произ-

^лейник, О. А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях / О. А Олейник // СОЖ.^ 199С.- С. 114—121.

водных приводят к необходимости изучения как локальных, так и нелокальных краевых задач для уравнений различного типа.

Основой развития краевых задач со смещением явились важные исследования, полученные В. И. Жегаловым и А. М. Нахушевым. Глубокие результаты в этом направлении представлены в работах А. В. Бицадзе, В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, Г. Д. Каратопраклиева, Л. С. Пулькиной, Ф. Г. Мухлисо-ва, Р. С. Хайруллина, Н. Б. Плещинского, К. Б. Сабитова, А. Н. Зарубина, А. И. Кожанова, С. А. Алдашева и других математиков.

Благодаря исследованию А. М. Нахушева, его учеников и последователей, стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля. Нелокальным задачам, содержащим операторы дробного интегро-дифференцирования, посвящены работы таких известных математиков и их учеников как М. М. Смирнов, М. С. Салахитдинов, В. А. Еле-ев, А. А. Килбас, О. А. Репин, А. В. Псху, С. К. Кумыкова, М. Е. Лернер, А. А. Андреев, А. Хасанов, Д. Аманов, С. И. Макаров, Е. Н. Огородников, 3. А. Нахушева и другие.

Настоящая работа посвящена продолжению исследований в этом направлении. Ставятся различные нелокальные задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевых условиях. Актуальность исследований краевых задач, когда граничные условия содержат операторы дробного интегро-дифференцирования, можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением этих задач, играющих большую роль в малоизученных задачах и проблемах современной физики, химии, биологии, механике, явлениях в средах с фрактальной структурой.

Цель диссертационной работы. Целью работы является:

1. Доказательство единственности и существования решений новых крае-

вых задач с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, М. Сайго и Эрдейи-Кобера в граничных условиях для уравнений

Ы2тихх + уию + aiiy = 0 (1)

Ы2тихх - sign(y)(yuyy + аиу) = 0, (2)

где т и а — заданные действительные постоянные.

2. Изучение влияния изменения спектра значений параметров т и о уравнений (1) и (2), а также параметров в краевых условиях на корректность исследуемых задач.

3. Разработка методики сведения изучаемых задач со смещением к интегральным уравнениям Вольтерра и сингулярным интегральным уравнениям.

4. Выделение и исследование частных случаев, допускающих получение решений в замкнутом виде.

Общая методика исследования. Для доказательства существования и единственности решения задач применялись теория дифференциальных уравнений с частными производными, аппарат дробного интегро-дифференцирования и специальных функций, теория интегральных уравнений.

Научная новизна. Работа содержит следующие элементы научной новизны:

1. Постановка и исследование новых нелокальных задач для вырождающихся гиперболических уравнений, краевые условия которых содержат операторы дробного интегро-дифференцирования или их комбинации в смысле Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго.

2. Изучение эффекта влияния как параметров дифференциального уравнения. так и параметров операторов дробного интегрирования и дифференцирования на корректную постановку краевых задач со смещением.

3. Разработка методов сведения исследуемых задач к вопросам разрешимости интегральных уравнений Вольтерра второго рода и сингулярных интегральных уравнений.

4. Исследование частных случаев, допускающих возможность нахождения явных решений изучаемых задач.

Материалы диссертации в большей степени носят не столько практический, сколько теоретический характер. Полученные результаты исследования могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории нелокальных краевых задач для уравнений различных типов и представляют интерес для широкого круга математиков и специалистов, работающих в области дифференциальных уравнений, краевых задач, дробного интегро-дифференцирования, интегральных уравнений и в смежных областях, так или иначе связанных с использованием полученных результатов.

Отметим, что уравнение (1) являлось предметом изучения многих математиков. А. В. Бицадзе оно было предложено и исследовано при

< а < 1 как модель уравнений смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа. Он показал, что задача Коши с данными на линии вырождения у — 0, вообще говоря, не является корректной по Адамару. В связи с этим были предложены видоизмененные постановки задачи Коши для этого уравнения. Заметим также, что уравнения (1) и (2) в характеристических координатах можно представить в виде уравнения Эйлера-Дарбу, однако для наших исследований удобнее использовать данные уравнения в координатах (х, у).

Результаты и положения, выносимые на защиту

1. Приведены доказательства:

- теорем существования и единственности решения задач в области Юх (см. рис. 1, с. 10) для уравнения (1) с операторами дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувнлля в краевых условиях;

- теорем существования и единственности решения задач в области для уравнения (1) с операторами дробного интегро-дифференцирования в смысле Эрдейи-Кобера и М. Сайго в краевых условиях;

- теоремы существования и единственности решения задачи в области Оз (см. рис. 2, с. 14) для уравнения (2) с операторами дробного интегро-диффе-ренцирования в смысле Эрдейи-Кобера и М. Сайго в краевых условиях.

2. Установлены интервалы изменения параметров в краевых условиях поставленных задач, при которых справедливы теоремы единственности и существования решений этих задач.

3. Разработана методика, позволяющая сводить вопросы существования и единственности изучаемых задач к вопросам существования и единственности решений характеристического сингулярного интегрального уравнения, либо уравнения Вольтерра 2-го рода.

4. Для задачи 1 исследованы два частных случая, позволяющие выписать решение задачи в явном виде.

Апробация работы. Основные положения диссертации и полученные результаты доложены на следующих международных и российских симпозиумах, конференциях и семинарах:

- научные семинары кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2005-2008 гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В. П. Радченко) ;

- 6-ая международная конференция "Актуальные проблемы современной науки" (Самара: СамГТУ, сентябрь 2005г.);

— третья Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара: СамГТУ, май 2006г.);

— международная конференция "Современные методы физико-математических наук" (Орел: ОГУ, октябрь 2006г.);

— международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус: НИИ ПМА, май 2008г.);

— международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак: СГПА, июнь 2008г.);

— научный семинар кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета в 2008 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В. И. Жегалов).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 11 печатных работ по теме диссертации в российских научных изданиях, сборниках докладов симпозиумов и конференций.

Личный вклад автора. В совместных работах [6, 9] соавтору Репину О. А. принадлежат постановка задач и идея доказательств. Салихову Р. Н. принадлежат доказательства существования и единственности решения задач и оформление статей.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 101 странице, включая библиографию. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. Библиографический указатель включает 98 источников, из них 5 - иностранных авторов. Работа иллюстрирована 3 рисунками.

Выражение признательности. Автор выражает искреннюю благодарность и признательность за большую помощь и поддержку на всех этапах работы научному руководителю, заведующему кафедрой математической статистики и эконометрики Самарского государственного экономиче-

ского университета д.ф.-м.н., профессору Ренину Олегу Александровичу и заведующему кафедрой прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета д.ф.-м.н., профессору Радченко Владимиру Павловичу.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Далее следуют сведения, носящие вспомогательный характер. Вводятся определения операторов дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго и приводятся некоторые их свойства, необходимые в дальнейшем.

В главе 1 рассмотрены краевые задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля для уравнения (1), когда I — т ^ а < 1, т>|.

Обозначим через — конечную односвязную область плоскости независимых переменных хну, ограниченную характеристиками

уравнения (1) и отрезком У = АВ = {х : 0 < х < 1}.

Введем следующие обозначения:

— точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки х € 3, с характеристиками АС и ВС соответственно; то = ^^ (рис. 1.).

В §1.1 для уравнения (1) изучена следующая задача:

Задача 1. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым усло-

Рис. 1. Область Di.

виям

ф:,0) = т(х), 0 < х < 1,

Л(^и[е0])(а;) + ß(/?_u[0i])(i) = д(х),О < х < 1,

где т(х) и д(х) - известные функции. и • операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля, А и В - -действительные постоянные. -1 < 7 < 0.

Вопрос существования и единственности решения задачи 1 сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 1 получено в явном виде. Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть а — | — тп и выполнены условия д{:г) € Ял[0,1], 1+ т < Л < 1, Vx € [0,1] г(х) = 0,

A-Bcosrr7^0. Тогда задача 1 имеет, и притом единственное, решение.

В §1.2 вводится множество W{AB) функций и(х,у) таких, что

lim [а(х, у)их + Ь(х, y)uy + с(х, ?/)u] € С( J),

у-> о-

где а(х. у), Ь(х, у). с(х, у) — заданные функции требуемой гладкости, причем,

если не оговорено, предполагается существование пределов а(я, у), Ь(х,у), с(х,у) при у —+ 0—. Здесь же рассматривается

Задача 2. Найти решение уравнения (1) из класса и(х,у) G С (Di) П C2(Di) П W(AB), удовлетворяющее краевым условиям

lim [а(х, у)их + b(x,y)uv + с(х,у)и] = d{x),

У-.0-

А(%+и[9о])(х) = Bv(x) +ip(x), где l>{x) = lim (-у)*~тиу(х,у),

y-> 0-

a(x,y), b(x,y), c(x,y), d(x) и гр(х) — заданные функции, Аи В —действительные постоянные. А, В ф 0, у > 0, то = j^j-, а — | - m, m >

Вопрос существования и единственности решения задачи 2 сведен к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода. Результаты представлены в виде теоремы:

Теорема 2. Пусть а = А — m и выполнены условия а(х, у), с(х, 0), d(x) € C(J) RCV), b(x, 0) € C(J), Цх) € C\J), a(x, 0) ф О Ух G J.

Тогда задача 2 имеет, и притом единственное, решение.

В §1.3 ставится задача, аналогичная задаче 2, но в последнем краевом условии функция у(х) заменена на т(х):

Задача 3. Найти решение уравнения (1) из класса и(х,у) € C(D\) Ç]C2(Di) р] W(AB), удовлетворяющее краевым условиям

lim [а(х, у)их + b(x, y)uy + с(х, у)и] - d(x),

V-0-

Л(/07+и[в0])(з;) = Вт(х) + ф{х),

где т(х) = и(а\0),

а(т, у), b(x, у), с(х, у), d(x) и -ф(х) - заданные функции, А и В — действительные постоянные, А, В ф 0,7 > 2/?+1, пг0 = ß ~ ^m+if' \~m < а' < г> m > А.

Вопрос существования и единственности решения задачи 3 аналогично сведен к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода. Справедлива теорема:

Теорема 3. Пусть | — т < а < 1 и выполнены условия Ь{х,у) = {-у)аЬг{х), а(х, 0) = ха^х), а(ж,0),с(х,0) € С1 (7), Ь1{х),<1{х)..ф(х) € СЦ1)Г)С2У), Ьх(х) 3.

Тогда задача 3 имеет, и притом единственное, решение.

В главе 2 рассмотрены нелокальные краевые задачи для уравнения (1) и аналогичного ему уравнения (2). Но в данной главе краевые условия содержат операторы в смысле М. Сайго и Эрдейи-Кобера.

Следуя И.Л. Каролю, в §2.1 вводится понятие класса /?2 функций и ставится следующая

Задача 4. Найти в области решение и(х,у) € Яг уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

Дт [{С^'^^уЫЬШ^ + (СС«(*,У))(*)] = Ы*).

Л(£0^~Мео])(г) + ад:^1^3-1 Дт (-?/)%(£, у)){х) =

где у?] (ж) и </>2(х) — известные функции, — оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Эрдейи-Кобера, и — операторы

дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго, А и В — действительные постоянные, А, В ф 0, 7, (5, а, Ь, с — заданные числа, 0 = -2т <а<\—т,т>\.

Вопрос существования и единственности решения задачи 4 сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 4 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 4. Пусть —2т < а < | — т и выполнены условия Ф-- У) = (-у)"«!^), 0<7~/?+1<1, —7 4-/3 — 1,

~{b + 2(3 - 1) < min{0, a + 2 - 2(3 + c}, A0 > O, O < a + 1 - 2(3 < Ai ^ 1, A2 > O, <p2(x) = аг(х) € Ял»[0,1],

e ял'[о, i], щ(х) € яЛ2[о, i].

Тогда задача 4 имеет, и притом единственное, решение.

В §2.2 рассмотрена задача, аналогичная задаче 4. но здесь ищется регулярное решение задачи, а также существенно изменено первое краевое условие.

Задача 5. Найти решение и(х,у) € C(D\)f]C2(D\) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

lim

К-0-

=¥>!(*), (3)

Л(£0^-Чео])(а:) + вЩ^с^+в-г и {хШх) = (4)

у-,0-

ВДС </?1(х) и — известные функции, А и В — действительные постоянные, Л, В ф 0, 7, с — заданные числа, ^ — т<а<1, тп>\.

Вопрос существования и единственности решения задачи 5 таким же образом сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 5 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 5. Пусть | — тп < а < 1 и выполнены условия а(х,у) = {-у)аха 1(1), 0 < 7 - /3 + 1 < 1 - 2/3, с > -7 + /? ~ 1, А0 > О, А! > О, А2 > О, VI = (Е^^ФгКх), & = (Е^'^-^х), а^х) € Н*°[0,1], ф^х) 6 ЯА'[0,1], -ф2(х) £ ЯА'[0,1]. Тогда задача задача 5 имеет, и притом единственное, решение.

Далее в §2.3 рассмотрено уравнение (2), аналогичное (1), но в верхней полуплоскости у > 0 уравнение (2) является гиперболическим, в то время как уравнение (1) в данной области эллиптично.

Обозначим Дз = и /?21 где £>1 — конечная односвязная область плоскости независимых переменных х и

у, ограниченная характеристиками 2

АСг: х ■

2т + 1 ^ ^ " ' ' 2т+Г

уравнения (2) при у<0 и отрезком 3 = АВ — {ж : 0 < х < 1}, £>2 — конечная односвязная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная характеристиками

2 , 2ГЧ+X

О, ВСХ : х + , , (-у) » = 1

АС2:Х-

ТУ

■ 0, ВС% : х +

2 т + 1

У 2 = 1

2т + 1"

уравнения (2) при у>0 и отрезком У.

Введем следующие обозначения во(х) и 01 (х) - точки пересечения характеристик уравнения (2), выходящих из точки х£/с характеристиками АС\ и ВСг соответственно (рис. 2.).

С2

£>з/

X В X

С!

Рис. 2. Область Д)

Для уравнения (2) изучим краевую задачу. Задача 6. Найти функцию II(х, у) со свойствами: 1) Ш = 0в области Б3 = и £>2;

2) U(x,y) S C(D3) П C\D3\J) n C2(D3\J);

3) 1/1(1) = lim Uy(x,y), l>i(x) = lim Uy(x,y), x <E J;

¡/—0- y->0+

4) 7i(x) = lim U(x,y), T2(x) = lim U(x,y), x € J;

y-»0- y—0+

5) ti(X) = т2(х), 2/i (x) = 1/2(3);

6) ^i/ot'-^'V^-^ieo] + ~2'',,_a_/V[i, 0-] +

+B3rf_+1-^a'~ßUy[t, 0+] = ¥*(*),

где Aj 2,3, #1,2,3, а, а*-, b, b* - некоторые вещественные константы, -Pi(x) и ^(я) - известные функции, fl = ^¡m+rp "1<а<1,

Вопрос существования и единственности решения задачи 6 сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 6 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 6. Пусть | — т < а < I и выполнены условия

а + ß > 0, а* + в > О, А1М1 + А2 ф О, BXMX + В2 ф О, = ПМ м, - ПЬМ (2m±i)-W

Г(Я) ' М2 ~ 2Г(1-/Ч) \ 4 ) •■

функции ц>\{х) и <ръ(х) удовлетворяют условиям

где фг(х) € Нх'{0,1], 1р2(х) G ЯАг[0,1], 1 - 2/? < At < 1, 1 - 2ß < \2 < 1. Тогда задача 6 однозначно разрешима.

В §2.4 рассмотрена последняя задача с граничными условиями, содержащими несколько параметров:

Задача 7. Найти в области Dx решение и(х,у) £ C(Di) р] C2{D\) урав-

нения (1), удовлетворяющее краевым условиям

(^■^а^М'Ж*) + Ф) =

А(х)(1^и[в0})(х) + ß(a:)(^A^u[ei])(i) +

= нф),

где А(х), В(х), С(х), аi(x), щ(х) и <р2{х) — известные функции, с*ь/?ъ7ь «2,02,72, аз, ßi, 7з, - заданные числа, /3 = ^¿¿ffi, f - m < а < 1, m > Обозначим далее К0 = ЗД, К\ =

Задача 7 изучалась для нескольских случаев значений параметров. Вопрос существования и единственности решения задачи 7 во всех случаях сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 7 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теорем:

Теорема 7. Пусть | — т<а<1и выполнены условия Vx е J А(х) ф 0, В(х) = 0, С{х) = Л(а-), 7l = -Ql - 1 + ß, а3 = сц + 1 - ß, 7з = -öi - 1 + ß, ai(x) 6 tf \ Äi > 0, fa > ai 4-1 - ß, ß3 > -ец - 1 + ß, A{x) e ЯЛ2[0,1], <f2{x) E Hx*[0,1], 0 < ^ + 1 - ß < A2 < 1, 0 < ах + 1 - ß < A3 < 1, (C+^^ViWXx) € ЯЛз[0,1]. Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 8. Пусть | — т < а < 1 и выполнены условия Vx Е J А(х) = 0, ф 0, С(аг) = 0, ъ =-а2 - 1 + ß, а2 + ß > 0, а^х) = ха2(х), а2( 1) < ^cos2itß, a2(x) £ ЯЛ'[0,1], Ai > 0, 0 < 1 - 2ß < \2 < 1, 0 < 1 - 2ß < А3 < 1,

1ф(х) е яд2[0! 1L Ых) е ядз[()1

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 9. Пусть ~ -- т < а < 1 и выполнены условия Ух eJ А{х) = 0, В{х) ф 0, С{х) = В{х), Ki ф (1 -

72 = -а2 - 1 + ß, a3 = а2 + 1 - в, 7з = -a2 - 1 + в, а2 + ß > 0,

20 - 1 - 03 + 02 > 0, 01 (х) = 102(1), 02(1) < ^cos2ж0, а2{х) € Ял'[0,1],

Ai > 0, 0 < 1 - 20 < А2 < 1, 0 < 1 - 20 < А3 < 1,

6 ял2[а 1]t Мх) е ялз[01 ^

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 10. Пусть | — m < а < 1 и выполнены условия Ух £ J А(х) = А = const, В(х) = В = const, С(х) = С = const, oi(x) = О, «2 = ai, аз = «1 + 1 - Р, 0з =-02+ 20- 1, Тз = -ai - 1 + /3, ft > О,

-сч-0+pi > 0, сч+0+02 > 0,0 < Qi+l-jS < Аг < 1,0 < ax+l-0 < Л2 < 1, О < ai + 1 - /? < А3 < 1, С - Шч ф 0, ip2(x) Е ЯЛ'[0,1],

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение. Публикации по теме диссертации

1. Салихов, Р. Н. Аналог задачи Дарбу и задачи со смещением для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка / Р. Н. Салихов // Всероссийская конференция. Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов. Самара: Издательство Универс-групп. — 2005. — С. 71-72.

2. Салихов, Р. Н. О нелокальных задачах для одного гиперболического уравнения второго порядка /' Р. Н. Салихов //Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Части 1,2. Математика. Математическое моделирование. Труды 1-го Международного форума молодых ученых (6-й Международной конференции). Самара: СамГТУ. — 2005. — С. 67-72.

3. Салихов, Р. Н. Видоизмененная первая задача Дарбу для одного гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Математика. Механика. Информатика. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Челябинск: ЧГУ. - 2006. - С. 123-124.

4. Салихов, Р. Н. Нелокальная задача с оператором Ердейи-Кобера для вырождающегося гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Материалы XI международной научной конференции имени ак. М.Кравчука. Киев: НТУ.

- 2006. - С. 975.

5. Салихов, Р. Н. О задаче типа первой задачи Дарбу / Р. Н. Салихов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ. — 2006. — С. 197-205.

6. Салихов, Р. Н. Существенно нелокальная задача для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка / Р. Н. Салихов, О. А. Репин // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орел: ОГУ. - 2006. 1. - С. 110-114.

7. Салихов, Р. Н. Решение одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения в замкнутой форме / Р. Н. Салихов // Вестник СамГТУ. Сер: физ.-мат. науки. Самара: СамГТУ. - 2007. - Л* 1(14). - С. 15-19.

8. Салихов, Р. Н. Нелокальная задача для вырождающегося уравнения гиперболического типа / Р. Н. Салихов // Материалы международного Российско-Азербайдж. симпозиума. Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и инф.. Нальчик-Эльбрус: НИИ ПМА. — 2008. — С. 236-237.

9. Салихов, Р. Н. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа / Р. Н. Салихов, О. А. Репин // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Математика. Самара: СамГУ. — 2008. — № 2(61). - С. 52-59.

10. Салихов, Р. Н. О разрешимости нелокальной задачи для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. Стерлитамак. - 2008. - Т. 1. - С. 174-178.

11. Салихов, Р. Н. О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Ростов : ЮФУ. — 2008. — № 6. — С. 13-16.

Автореферат опубликован с разрешения диссертационного совета Д 212.081.10 (протокол Л"«4 от 25 сентября 2008 года)

Подписано в печать 14 октября 2008 г. Заказ №688. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе. Самарский государственный технический университет. Отдел типографии и оперативной полиграфии. 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Салихов, Рустам Назипович

Введение

Вводные сведения

1. Обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования

Глава 1. Нелокальные задачи с операторами Римана-Лиувилля

1.1. Задача со смещением

1.2. Аналог первой задачи Дарбу.

1.3. Аналог второй задачи Дарбу.

1.4. Выводы к первой главе

Глава 2. Нелокальные задачи с операторами М. Сайго и Эрдейи-Кобера

2.1. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера.

2.2. Существенно нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера

2.3. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения

2.4. Краевая задача с обобщенными краевыми условиями.

2.5. Выводы ко второй главе

Введение диссертация по математике, на тему "Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений"

Такое внимание к теории нелокальных краевых задач не случайно, так как дифференциальные уравнения с частными производными нашли важные применения в различных задачах математической физики, химии и т.п. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах, движения жидкости в канале окруженной пористой средой, распространение электромагнитных полей и установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область. Как отмечено в обзорной статье О. А. Олейник [55], изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Эти практические приложения дифференциальных уравнений в частных производных приводят к необходимости изучения как локальных, так и нелокальных краевых задач для уравнений различного типа.

Систематическая разработка теории краевых задач для вырождающихся уравнений различного типа с четкой постановкой задач, доказательством существования и единственности решения, началась в 20-30 годы прошлого столетия. В эти годы Ф. Трикоми [76] и С. Геллерстедтом [84] были получены основополагающие результаты.

Следующим шагом в развитии теории вырождающихся уравнений различного типа стали работы Ф.И. Франкля [79], [78], в которых он разработал важные практические применения изучаемых уравнений в газовой динамике. Позже М.А. Лаврентьев отметил целесообразность исследования краевых задач для уравнений более простого вида, изучение которых позволяет раскрыть основные свойства решений данных уравнений. Так, совместно с A.B. Бицадзе в работе [30] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лавреитьева-Бицадзе. В последующих работах A.B. Бицадзе [6-11] было продолжено исследование задач, поставленых в [30].

Основой развития краевых задач со смещением явились важные исследования, полученные В. И. Жегаловым [16],[17] и А. М. Нахушевым [49-51]. Глубокие результаты в этом направлении представлены в работах А. В. Бицадзе [6-11], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [21, 22], Г. Д. Каратопракли-ева [23], Л. С. Пулькиной [61, 62], Ф. Г. Мухлисова [40-42], Р. С. Хайрулли-на [80, 81], Н. Б. Плещинского [37, 57], К. Б. Сабитова [67], А. Н. Зарубина [18-20], А. И. Кожанова [27], С. А. Алдашева [1] и других математиков.

Благодаря исследованию А. М. Нахушева [45-52], его учеников и последователей, стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля. Нелокальным задачам, содержащим операторы дробного интегро-дифференцирования, посвящены работы таких известных математиков и их учеников как М. М. Смирнов [73-75], М. С. Салахитди-нов [69, 70], В. А. Елеев [13-15], А. А. Килбас [25, 26, 36], О. А. Репин [36, 6366], А. Хасанов [70, 82], А. В. Псху [58-60], М. Б. Лернер [31-33], С. К. Кумы-кова [29], А. А. Андреев [3, 4], Д. Аманов [2], С. И. Макаров [34, 35], С. Ю. Назаров [43, 44], Е. Н. Огородников [54], 3. А. Нахушева [53] и другие.

Настоящая работа посвящена продолжению исследований в этом направлении. Ставятся различные нелокальные задачи с операторами дробного ин-тегро-дифференцирования в краевых условиях. Актуальность исследований краевых задач, когда граничные условия содержат операторы дробного ин-тегро-дифференцирования, можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением этих задач, играющих большую роль в малоизученных задачах и проблемах современной физики, химии, биологии, механике, явлениях в средах с фрактальной структурой.

Цель диссертационной работы. Целью работы является:

1. Доказательство единственности и существования решений новых краевых задач с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, М. Сайго и Эрдейи-Кобера в граничных условиях для уравнений у\2тихх + уиуу + аиу = 0 (1) и у\2тихх - згдп{у){уиуу + аиу) = 0 , (2) где ?71 и & — заданные действительные постоянные.

2. Изучение влияния изменения спектра значений параметровт и а уравнений (1) и (2), а также параметров в краевых условиях на корректность исследуемых задач.

4. Выделение и исследование частных случаев, допускающих получение решений в замкнутом виде.

Общая методика исследования. Для доказательства существования и единственности решения задал применялись теория дифференциальных уравнений с частными производными [12, 68, 83], аппарат дробного интегро-дифференцирования [71, 85-87] и специальных функций, теория интегральных уравнений [28, 38, 39, 56, 72, 77].

Научная новизна. Работа содержит следующие элементы научной новизны:

2. Изучение эффекта влияния как параметров дифференциального уравнения, так и параметров операторов дробного интегрирования и дифференцирования на корректную постановку краевых задач со смещением.

4. Исследование частных случаев, допускающих возможность нахождения явных решений изучаемых задач.

Практическая ценность. Как локальные, так и нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных представляют наибольший интерес среди математических моделей различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и других процессов. В отличии от других методов изучения моделей реального мира, теоретическое решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных помогает наиболее точно изучить свойства и поведение изучаемого явления или объекта, и представляет собой огромную практическую ценность. Поэтому исследование новых краевых задач было выбрано в качестве объекта изучения.

Материалы диссертации в большей степени носят не столько практический, сколько теоретический характер. Полученные результаты исследования могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории нелокальных краевых задач для уравнений различных типов и представляют интерес для широкого круга математиков и специалистов, работающих в области дифференциальных уравнений, краевых задач, дробного интегро-дифференцироваиия, интегральных уравнений и в смежных областях, так или иначе связанных с использованием полученных результатов.

Отметим, что уравнение (1) являлось предметом изучения многих математиков. А. В. Бицадзе оно было предложено и исследовано при ■1~227^ < а < 1 в работах [9-11] как модель уравнений смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа. Он показал [9], что задача Коши с данными на линии вырождения у = О, вообще говоря, не является корректной по Адамару. В связи с этим в работе [9] были предложены видоизмененные постановки задачи Коши для этого уравнения. Некоторые видоизмененные задачи Коши и задачи со смещением, когда а не удовлетворяет условию (1 — 2т)/2 < а < 1, были исследованы В. А. Елеевым [13, 14]. Обобщенная задача Дарбу была предложена и изучена Н. Р. Ахметовым [5]. Заметим также, что уравнения (1) и (2) в характеристических координатах можно представить в виде уравнения Эйлера-Дарбу, что нами сделано на стр. 51 для уравнения (1). Однако для наших исследований удобнее использовать данные уравнения в координатах (ж, у).

Содержание работы. Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Далее следуют сведения, носящие вспомогательный характер. Вводятся определения операторов дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго и приводятся некоторые их свойства, необходимые в дальнейшем.

В главе 1 рассмотрены краевые задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля для уравнения (1), когда — т ^ а < 1, 7тг>|.

Обозначим через — конечную односвязную область плоскости независимых переменных х и у, ограниченную характеристиками

2 , . 2пг+1 2 . , 2т+1 уравнения (1) и отрезком 1 = АВ = {х : 0 < х < 1}. Введем следующие обозначения: точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки х € 7 с характеристиками АС и ВС соответственно; то = 2т*+1 (рис. 1.). В §1.1 для уравнения (1) изучена следующая задача:

Задача 1. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям и(х,0) = т(х), 0 < х < 1, Л(/0>[©о])0т) + 5(77и[©1])(гс) = д(х), 0 < ж < 1, 8

Рис. 1. Область Di. где т(х), д{х) — известные функции, и — операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля, А и В — действительные постоянные, — 1 < 7 < 0, о/ = | — га, га >

Теорема 1. Пусть а = | — m и выполнены условия д(х) € #А[0,1], 1 + 7 < А < 1, Уж € [0,1] т{х) = О, -г-н5-^ 0, A-Bcosiry ф 0.

А—В COS7T7 ' / /

Тогда задача 1 имеет, и притом единственное, решение.

В §1.2 вводится множество W(AB) функций и{х,у) таких, что lim [а(х, у)их Н- Ъ(х, + с(х, у)и\ G С( J) , где а(х, г/), у), с(ж, ?/) — заданные функции требуемой гладкости, причем, если не оговорено, предполагается существование пределов а(х,у), Ь(х,у), с(х,у) при у —0—. Здесь же рассматривается

Задача 2. Найти решение уравнения (1) из класса u(x,y) Ç. С (Di) Pl C2(Di) P) W(AB), удовлетворяющее краевым условиям lim [a(x, y)ux + b(x, y)uy + с(ж, y)u] = d(x), y-> 0

А(Ц+и[е0]){х) = Bv(x) +-ф(х), где v(x) = lim (-y)*~muy(x, y), y-> oa(x,y), b(x,y), c(x,y), d(x) и ip(x) — заданные функции, A m В —действительные постоянные, А, В ф 0, 7 > 0; ^о = 2^+1' а ~ \ ~~ т-> 111 >

Теорема 2. Пусть а = \ — m и выполнены условия а(х, у), ф, 0), ¿(ж) G C(J)f)Cl(J), b(x, 0) e C(J), ф(х) e Cl(J), a(x, 0) ф 0 Va; G J.

Тогда задача 2 имеет, и притом единственное, решение.

В §1.3 ставится задача, аналогичная задаче 2, но в последнем краевом условии функция v(x) заменена на т(х):

Задача 3. Найти решение уравнения (1) из класса и(х-,У) £ С (Di) ПС2(А) (\W(AB), удовлетворяющее краевым условиям lim [а(ж, у)их 4- Ь(х, y)uy + с(х, y)u) = d(x), Î/-+0где т(х) = а(х: 0), а(х, у), Ь(х, у), с(х, у), и ф(х) - заданные функции, А и В — действительные постоянные, А, В ф 0, 7 > 2/?+1, т0 = /3 = ^¿Jff, \~m < а < 1, m>

Теорема 3. Пусть | — m < а < 1 и выполнены условия b(x,y) = (—y)abi(x), а(х, 0) = xai(x), а(х, 0), с(х, 0) G CX(J), С^П^СА Va; e J.

Тогда задача 3 имеет, и притом единственное, решение.

Следуя И.Л. Каролю, в §2.1 вводится понятие класса i?2 функций и ставится следующая

Задача 4. Найти в области Di решение и(х,у) е R.2 уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям lim [(^"^^^(i.rt^fi.i/))^) + =

2/-+0- L ^ ^ J

B(Il:d+1>S^+ß~1 Кт(-уГиу(г,у))(х) = ^(аг), . где <pi(x) и ср2(%) — известные функции, Eq+ — оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Эрдейи-Кобера, Т^'1 и — операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго, А и В — действительные постоянные, А, В ^ 0, 7, S, а, Ь, с — заданные числа, ß = \) > —2т < а <\ — т, т>

Теорема 4. Пусть —2т <а<|-ти выполнены условия а(х, у) = (~у)аа г(х), О<-у-0 + 1<1,6>--у + 0-1, -(b + 2ß - 1) < min{0, а + 2 - 2ß + с}, А0 > 0, 0 < а + 1 - 2ß < Ах ^ 1, А2 > 0, <рг{х) = (Т?;^1,0'-^-1^) W, аг(х) е #А°[0, 1],

Тогда задача 4 имеет, и притом единственное, решение.

В §2.2 рассмотрена задача, аналогичная задаче 4, но здесь ищется регулярное решение задачи, а также существенно изменено первое краевое условие.

Задача 5. Найти решение и(х,у) € С (Di) П C2(D\) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям lim \(E^2ß-1a(t,y)uJJ(t,y))(x)^u(x1y)}^Mx), (3) у—*О- L J

7+/J~4öo])(aO + ВЩ:^0'-^-1 Дт (~УГиу(х, У))(х) = ^(я), (4) где ifi(x) и ц>2(х) — известные функции, А и В — действительные постоянные, А, В ф 0, 7, с — заданные числа, | — т < а < 1, т >

Теорема 5. Пусть | — т < а < 1 и выполнены условия а(х,у) = (-y)axai(x), 0<7-/? + 1<1-2/?, с> —у +/? — 1,

Ао > о, лх > о, л2 > о, cpi — (4;2/?'2/3-V= (Efcß+1^+e-^2)(x), ai(x) E #л°[0,1], фi(x) G ЯЛ1[0,1], e #A2[0,1].

Тогда задача задача 5 имеет, и притом единственное, решение.

Отметим, что задачу с подобным условием (3) для вырождающегося гиперболического уравнения рассматривал С.Ю. Назаров, однако в данной работе были использованы только операторы Римана-Лиувилля. Краевое условие (4) названо A.M. Нахушевым как нелокальное внутреннекраевое условие, но A.M. Нахушсв использовал также операторы Римана-Лиувилля.

Обозначим D3 = Di U , где Di — конечная односвязная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная характеристиками

Л^у ^ , . 2т+ 1 2 , 2т±1 уравнения (2) при у<0 и отрезком J = AB = {х : 0 < х < 1},

2 — конечная односвязная область плоскости независимых переменных а; и у, ограниченная характеристиками

АС'г : ж - ---—у 2 = о , БС*2 : ж + --—у 2 = 1

2m + 1 2т + 1 уравнения (2) при у>0 и отрезком J.

Введем следующие обозначения ©о(х) и ®±{х) — точки пересечения характеристик уравнения (2), выходящих из точки х Е J с характеристиками ACi и £?С2 соответственно (рис. 2.).

Для уравнения (2) изучим краевую задачу. Задача 6. Найти функцию U(х, у) со свойствами:

1) LU еОв области D3 = Di U Д>;

2) U(x,y) G С(Д0 П C\D3\J) П C2(-Ö3\J);

3)i/i(x) = lim iL, = Hm iL, x E J; y—» 0— y—>0+

4)ri(rc) = lim U(x,y), 72(2) = lim U(x,y), a; G «7;

5) Ti(a;) = г2(ж), V\{x) = z/2(a;);

-"-^-^[во] + 0-] +

Рис. 2. Область £>3. где Аг>2,з, #1,2,3> а, о-*, 6, 6* - некоторые вещественные константы, <р\{х) и <£>2 (#) ~ известные функции, /3 = 22(2~т+1)й' \ — ш < си < 1, т>|.

Вопрос существования и единственности решения задачи б сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 6 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 6. Пусть ^ — т < а < 1 и выполнены условия а + (3 > 0, а* + (3 > 0, АхМ^ + А2 ф О, ВХМХ + В2 ф О, функции ф\{х) и <Р2{х) удовлетворяют условиям

1М - (1а0:вМ1-2МФ1)(^ <Рг&) = 2)(*), где ф^х) <Е #Л*[0,1], ф2(х) € ЯА2[0,1], 1 - 2(3 < Лх < 1, 1 - 2(3 < Л2 < 1. Тогда задача 6 однозначно разрешима.

В §2.4 рассмотрена последняя задача с граничными условиями, содержащими несколько параметров:

Задача 7. Найти в области Di решение и(х,у) £ C(Di)f]C2(Di) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

Е^^а^тх) +т(я) = ^(я), где А(х), В(х), С(х), ai(x), tpi(x) и <р2(х) ~ известные функции, a:i,/?i,7i, '«2, /?2,72, «з, Дз, 73, — заданные числа, /3 = , \ - т < а < I, т >

Обозначим

Г(ЭД Г(1 — 2(3) / 4 ур 0 Г(/?) ' 1 2Г(1 — (3) \2т 4-1/ '

Теорема 7. Пусть | — т < а < 1 я выполнены условия Ух е J А{х) ф 0, В(х) = 0, С{х) = А{х), =-ац - 1 +/3, а3 = аг + 1 -/3, 7з = -ai ~ 1 4- Р, аг(х) е Нх\ Ai > О, А > Q1 + 1 - (3, (Зъ > -с^ - 1 + /5,

G #Аа[0,1], у?2(я) € ЯАг[0,1], 0 < + 1 - /3 < А2 < 1, О < ai + 1 - (3 < Аз < 1, е Ядз[0,1].

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 8. Пусть \ — т, < а <1 к выполнены условия VieJ А(х) = 0, ^ 0, С(ж) = 0, 72 - -а2 ~ 1 + ¡3, а2 4- (3 > О, аг{х) = жа2(а;), а2(1) < ^cos2тг/9, а2(ж) е ЯА1[0,1], Ai > 0, 0 < 1 - 2(3 < А2 < 1, 0 < 1 - 2(3 < А3 < 1,

1-а2^2,2Р-1ф(х) € яд2[0) ^ е ЯЛ3[0)

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 9. Пусть ^ — т < а < 1 и выполнены условия Vx £ J А{х) = 0, В(х) ф 0, С{х) = В(х), К1ф{1- х)2^-1-03^, 72 = ~а2 - 1 + /3, а3 = а2 + 1 - /3, 7з = -<*2 - 1 4- /3, ft2 -Н /3 > О, 2/? - 1 - /?3 + /32 > 0, ai(a;) = жа2(х), а2(1) < Ц cos2тг/3, а2(ж) 6 #Al[0,1), Лх > 0, 0 < 1 - 2/3 < Л2 < 1, 0 < 1 - 2/3 < Л3 < 1,

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 10. Пусть | — т<а<1и выполнены условия Ух Е J Л(х) = А ~ const, В(х) = В = const, С(х) = С — const, ai(:c) = О, аъа3 = аi + l- f3, /З3 = /32 + 2/3 - 1, 7з = -о^ - 1 + /3, ft > О, -ai-/3+/3i > 0, ai+/3+/32 > О, 0 < ai+l-/3 < Ai < 1, 0 < 0.1+1-/3 < Л2 < 1, О < «1 + 1 - /3 < Л3 < 1, С - ВКг Ф 0, у>2(ж) е #Al[0,1], ifiWl^"1aVi(i))(®) е яА*[о,1], (/^i,/3-i-ai(p^t))(ж) G яА»[0,1].

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Апробация работы. Основные положения диссертации и полученные результаты доложены на следующих международных и российских симпозиумах, конференциях и семинарах: научные семинары кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2005-2008 гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В. П. Радченко) ;

6-ая международная конференция "Актуальные проблемы современной науки "(Самара: СамГТУ, сентябрь 2005г.); третья Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара: СамГТУ, май 2006г.); международная конференция "Современные методы физико-математических наук"(Орел: ОГУ, октябрь 2006г.); международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа п родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус: НИИ ПМА, май 2008г.); международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак: СГПА, июнь 2008г.); научный семинар кафедры "Дифференциальные уравнения "Казанского государственного университета в 2008 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В. И. Жегалов).

Личный вклад автора. В совместных работах [93, 96] соавтору Репину О. А. принадлежат постановка задач и идея доказательств. Салихову Р.Н. принадлежат доказательства существования и единственности решения задач и оформление статей.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Результаты работы оформлены в виде теорем 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7.

Отметим,что при постановке и решении большинства задач наличие нескольких параметров в краевых условиях существенно обобщает результаты исследований. В работе широко используется аппарат теории интегральных уравнений, дробного интегро-дифференцирования, а также теория специальных функций.

Результаты научных исследований представлены в работах [88-97].

Заключение

В данной работе рассмотрены вырождающиеся дифференциальные уравнения в частных производных (1) и (2). Для этих уравнений поставлены новые нелокальные задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевых условиях.

В первой главе для уравнения (1) в области рассмотрены задачи 1.1, 1.2 и 1.3 с операторами в смысле Римана-Лиувилля.

Вторая глава содержит задачи 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 с операторами М. Сайго и Эрдейи-Кобера. Задачи 2.1, 2.2, 2.4 также поставлены для уравнения (1) в области .Ох, а задача 2.3 исследуется для аналогичного уравнения (2) в области

Для изучаемых задач параметр а уравнений (1) и (2) брался из нескольких диапазонов значений, когда — 2т < а < ^—т,\ — т<а< 1, а — — т, а параметр т >

Отыскание решений поставленных задач в явном виде с помощью приемов, используемых в первой и второй главах данной работы, а именно сведение вопроса существования и единственности решения исходной задачи к проблеме доказательства существования и единственности решения характеристического сингулярного интегрального уравнения, либо уравнения Воль-терра 2-го рода, дает возможность применить накопленный опыт решения подобных задач и в будущем.

Использование описанной выше схемы решения задач позволяет выяснить степень влияния параметров в краевых условиях, в том числе показателей операторов дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, на корректную постановку изучаемых краевых задач. Определены промежутки значений используемых параметров, при которых решение изучаемых задач существует и единственно. Решения задач 1.1, 2.1, 2.2, 2.3,

2.4 получены в явном виде.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Салихов, Рустам Назипович, Самара

1. Алдашев, С. А. О некоторых краевых задачах для одного класса сингулярных уравнений в частных производных / С. А. Алдашев // Диффе-ренц. уравнения. — 1976. — Т. 12, № 1. — С. 3-14.

2. Аманов, Д. Некоторые нелокальные задачи для одного гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / Д. Аманов //Докл. Уз ССР. 1984. - № 7. - С. 4-7.

3. Андреев, А. А. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа / А. А. Андреев // Краевые задачи для уравнений математ. физики. Меж. вуз.сб.научн.трудов, Куйбышев. — 1990.— С. 3-6.

4. Андреев, А. А. Задача Коши для некоторых вырождающихся гипербо-личеких систем второго и четвертого порядков / А. А. Андреев // Диф-ференц. и интегральные уравнения.Меж,, вуз. сб. научн. трудов, Куйбышев. — 1997. С. 46-57.

5. Ахметов, Н. Р. Об обобщенной задаче Дарбу для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка / Н. Р. Ахметов // Деп. ВИНИТИ., Нальчик. 1986. - № 1402-В86. - С. 1-16.

6. Бицадзе, А. В. О некоторых задачах смешанного типа / А. В. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. - Т. 70, № 4. - С. 561-564.

7. Бицадзе, А. В. К проблеме уравнений смешанного типа / А. В. Бицадзе // Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова.— 1953. — Т. 61. — С. 1-58.

8. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. — М.: Изд. АН СССР, 1959. 162 с.

9. Бицадзе, А. В. К теории одного класса уравнений смешанного типа / А. В. Бицадзе // Некоторые проблемы математики и механики, Л.— 1970.- С. 112-119.

10. Бицадзе, А. В. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа / А. В. Бицадзе // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М,— 1972.— С. 4752.

11. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных /

12. A. В. Бицадзе. — М., 1981. — 448 с.

13. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М.: Физматгиз, 1963. — 640 с.

14. Елеев, В. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка / В. Елеев // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 2. - С. 230-237.

15. Елеев, В. А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения /

16. B. А. Елеев // Дифференц. уравнения. 1976. — Т. 12, № 1. - С. 46-58.

17. Елеев, В. А. Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа: автореф. дис. доктора физ.-мат. наук / В. А. Елеев. Нальчик: КБГУ, 1980. - 191 с.

18. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В. И. Жегалов // Учен. зап. Казанского гос. университета. 1962. - Т. 122, Кн. 3. - С. 3 16.

19. Жегалов. В. И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанно-составного типа / В. И. Жегалов // Изо. вузов. Математика. 1982. - № 10. - С. 15-18.

20. Зарубин, А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференц. уравнения. — 1998. Т. 34, № 1. - С. 87-93.

21. Зарубин, А. Н. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом в эллиптической области /' А. Н. Зарубин // Труди мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань. — 2001,— Т. 11.— С. 105-109.

22. Зарубин, А. Н. Прямая и обратная задачи для дифференциально-разностного уравнения диффузии / А. Н. Зарубин // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42, № 10. - С. 1431-1433.

23. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Р1льин, Е. И. Моисеев Ц ДАН СССР. 1986. - Т. 291, № 6. - С. 534-538.

24. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 8. - С. 1422-1431.

25. Каратопраклиев, Г. Д. Об одной краевой задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Г. Д. Каратопраклиев // Доклады Болгарской академии наук. — 1980. — Т. 33, № 2.

26. Кароль, И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И. Л. Кароль // Докл. АН СССР. — 1953. Т. 88, № 2. - С. 197—200.

27. Килбас, А. А. Асимптотические разложения дробных интегралов и решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / А. А. Килбас // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 24, № 10. - С. 1764-1777.

28. Килбас, А. А. Операторы дробного интегрирования. Асимптотические и композиционные свойства и приложения: Авторсф. дис. доктора физ.-мат. наук — Минск / А. А. Килбас. — 1995. — 36 с.

29. Кожанов, А. И. К проблеме уравнений смешанного типа / А. И. Кожанов // Вестник СамГТУ. Сер: физ.-мат. науки. Самара: СамГТУ.— 2004. № 30. - С. 63-69.

30. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения / М. Л. Краснов. — М.: Наука, 1975.- 304 с.

31. Лавренътьев, М. А. К проблеме уравнений смешанного типа / М. А. Лавреньтьев, А. В. Бицадзе //ДАН СССР. 1950. - Т. 70, № 3. -С. 373-376.

32. Лернер, М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М. Е. Лернер, О. А. Репин //

33. Сибирский математический журнал. — 1999. — Т. 40, № 6. — С. 12601276.

34. Лернер, М. Е. Краевая задача для уравнений смешанного типа в областях с многосвязными подобластями гиперболичности / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Сибирский математический журнал. — 2003.— Т. 44, № 1.— С. 160-177.

35. Макаров, С. А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / С. А. Макаров // Вестник ЛГУ. Сер 1., Вып. 1. — 1987. — С. 117-119.

36. Макаров, С. А. Задача Трикоми с комбинированными условиями склеивания для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / С. А. Макаров // Аналитические методы решения диф. уравнений. Куйбышев: Изд-во КГУ. 1988. - С. 105-111.

37. Маричев, О. И. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами / О. И. Маричев, А. А. Килбас, О. А. Репин. — Самара: Изд-во Самар.гос.экон.ун-та, 2008.— 276 с.

38. Махер, А. Граничные задачи для уравнений смешанного типа с дефектом на линии изменения типа / А. Махер, Н. Б. Плещинский // Пред-принт. Казанское матем. об-во. Казань.—- 2001.— 30 с.

39. Михлин, С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям / С. Г. Михлин. — М.: Физматгиз,, 1959.— 232 с.

40. Мусхелишвилли, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвилли, — М.: Наука, 1968.— 512 с.

41. Мухлисов, Ф. Г. Решение одной краевой задачи с условиями сопряжения методом теории линейных интегральных уравнений / Ф. Г. Мухлисов, Э. Д. Хусаинова // Изв. вузов. Мат. 2005. - № 11.- С. 78-81.

42. Назаров, С. Ю. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений второго порядка / С. Ю. Назаров // Кабардино-Балкарский Ордена дружбы народов гос. университет, Винити N 2144-85, Нальчик. 1985. - 21 с.

43. Назаров, С. Ю. О некоторых краевых задачах для уравнения Эйлера-Дарбу / С. Ю. Назаров // Изв. АН АрмССР. Мат.- 1989,- Т. 24, № 5,- С. 484-495.

44. Нахушев, А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / А. М. Нахушев // ДАН СССР. — 1969.— Т. 187, № 4,- С. 736-739.

45. Нахушев, А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / А. М. Нахушев // Диффе-ренц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 1. — С. 44-59.

46. Нахушев, А. М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения, — 1971.— Т. 7, № 1. — С. 49-56.

47. Нахушев, А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их свзяи с нагруженными уравнениями / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21, № 1. — С. 92 101.

48. Нахушев, А. М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка / А. М. Нахушев. — Нальчик, Эльбрус, 1992. — 155 с.

49. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии: Учеб. пособие для университетов / А. М. Нахушев. — М.: Высш. шк., 1995.— 301 с.

50. Нахушев, А. М. Элементы дробного исчисления и их применение / А. М. Нахушев. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. - 299 с.

51. Нахушев, А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / А. М. Нахушев. — М.: Наука, 2006. — 287 с.

52. Нахушева, 3. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / 3. А. Нахушева // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 68-71.

53. Олейник, О. А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях / О. А. Олейник // СОЖ.— 1996.— С. 114—121.

54. Петровский, И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений / И. Г. Петровский, М.: Наука, 1965.- 120 с.

55. Плещинский, Н. В. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца в квадранте и в полуплоскости, составленной из двух квадрантов / Н. Б. Плещинский, Д. Н. Тумаков // Изв. вузов. Мат. — 2004. — № 7. — С. 63-74.

56. Псху, А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка / А. В. Псху // Доклады АМАН. 2000. - Т. 5, № 1. - С. 45-53.

57. Псху, А. В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка / А. В. Псху // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39, № 8. - С. 1092-1099.

58. Псху, А. В. Краевые задачи для дифференциальных уравне-ний с частными производными дробного и континуального порядка / А. В. Псху. — Изд-во КВНЦ РАН, 2005. 186 с.

59. Пулъкина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Дифференц. уравнения. — 2004. Т. 40, № 7. - С. 887-892.

60. Пулъкина, Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами / Л. С. Пулькина // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ. 2005. - С. 190-192.

61. Репин, О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / О. А. Репин.— Самара: Изд-во Саратов, ун-та, Самар. филиал, 1992. — 162 с.

62. Репин, О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / О. А. Репин // Дифференц. уравнения. 1996. — Т. 32, № 4. - С. 565-567.

63. Репин, О. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом / О. А. Репин // Вестник Самарск. гос. тех. ун-та. Сер: физ.-мат. науки. Вып. 34■ Самара: СамГТУ.— 2005.— С. 5-9.

64. Репин, О. А. Краевая задача со смещением для модельного уравнения параболо-гиперболического типа / О. А. Репин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. Стерлитамак. — 2008. — Т. 2. — С. 143-150.

65. Сабитов, К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений / К. Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. — 1990,— Т. 26, № 6. С. 1023-1032.

66. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики / К. Б. Сабитов. — М.: Высш.шк., 2003. — 255 с.

67. Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа / М. С. Са-лахитдинов. — Ташкент : ФАН, 1974. — 156 с.

68. Салахитдинов, М. С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / М. С. Салахитдинов, А. Хасанов // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. - С. 110-119.

69. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск, 1987. 688 с.

70. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958. — Т. 4. — 812 с.

71. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1966.— 292 с.

72. Смирнов, М. М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения / М. М. Смирнов // Изв. вузов Математика. — 1982. — № 3. — С. 98-75.

73. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. — М.: Высшая школа., 1985. — 304 с.

74. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа (пер. с итал. Ф.И. Франкля) / Ф. Трикоми. — M.JL: Гостехиздат, 1947. — 192 с.

75. Трикоми, Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. — ИЛ, 1960. — 299 с.

76. Франкль, Ф. И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течениях / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССР, серия машем.— 1945. Т. 9, № 2. - С. 121-142.

77. Франкль, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль. — М.: Наука, 1973. — 711 с.

78. Хайруллин, Р. С. Об одной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуасонна-Дарбу с сильным вырождением / Р. С. Хайруллин // Труды семинара по краевым задачам. Казань. — 1987. — Вып. 2. — С. 231-238.

79. Хайруллин, Р. С. К теории уравнения Эйлера-Пуасонна-Дарбу / Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. — 1993. — № 11. — С. 69-76.

80. Хасанов, А. Об одной смешанной задаче для уравнения sign(y)\y\muxx + хпит! = / А. Хасанов // Изв. АН УзССР. Сер.физмат. наук. 1982. - № 2. - С. 28-32.

81. Agm,on, S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon, L. Niren-berg, M. H. Protter // Comm. Pure Appl. Math. — 1953. — Vol. 6, no. 4. — Pp. 455-470.

82. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte. These pour le doctorat, Uppsala / S. Gellerstedt. 1935.

83. Saigo, M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions / M. Saigo // Math.Rep.Kyushu. Univ. — 1978. — Vol. 11, no. 2,— Pp. 135-143.

84. Saigo, M. Generalized fractional integrals and derivatives in holder spaces / M. Saigo, A. A. Kilbas // Transfom Methods and Special Functions, Sofia 94 (Proceeding of International Workshop).Sci. Cult. Tech.Publ. Singapore — 1995,- Pp. 282-293.

85. Srivastava, N. M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problem involving the Euler-Darboux equation / N. M. Srivastava,

86. M. Saigo // J.Math.Anal, and Appl. 1987,- Vol. 121, no. 2.- Pp. 325369.

87. Салихов, Р. Н. Нелокальная задача с оператором Ердейи-Кобера для вырождающегося гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Материалы XI международной научной конференции им,ени ак. М.Кравчука. Киев: НТУ. 2006. - С. 975.

88. Салихов, Р. Н. О задаче типа первой задачи Дарбу / Р. Н. Салихов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ.— 2006.— С. 197205.

89. Салихов, Р. Н. Видоизмененная первая задача Дарбу для одного гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Математика. Механика. Информатика. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Челябинск: ЧГУ. 2006. - С. 123-124.

90. Салихов, Р. Н. Решение одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения в замкнутой форме / Р. Н. Салихов // Вестник СамГТУ. Сер: физ.-мат. науки. Самара: СамГТУ.— 2007. — № 1(14).—С. 15-19.

91. Салихов, Р. Н. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа / Р. Н. Салихов, О. А. Репин // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Математика. Самара: СамГУ. 2008.— № 2(61).—

92. Салихов, Р. Н. О разрешимости нелокальной задачи для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Дифференциальные уравнения, и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. Стерлитамак — 2008. — Т. 1. — С. 174-178.