Нелокальные задачи для уравнений с частными производными второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Волынская Мария Геннадьевна

Нелокальные задачи для уравнений с частными производными второго порядка

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2008

003450706

003450706

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Пулькина Людмила Степановна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Репин Олег Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент

Уткина Елена Анатольевна

Ведущая организация: НИИ прикладной математики и

автоматизации КБНЦ РАН

Защита состоится 20 ноября 2008 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нуждина, 1/37, НИИММ, ауд 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 14 октября 2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф-м.н., доцент V" Липачёв Е.К.

Актуальность темы.

Работа посвящена исследованию нелокальных задач для гиперболических уравнений второго порядка. Исследование таких задач в настоящее время представляет интерес как для математического моделиравания, так и для общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Нелокальные задачи возникают при математическом моделировании различных физических, химических, биологических и экологических явлений, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри неё. Подобные ситуации имеют место при изучении широкого круга явлений: процессов происходящих в плазме; процессов распространения тепла; некоторых технологических процессов; процессов влагопереноса в пористых средах; в задачах математической биологии и демографии.

В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Важный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений различных классов внесли работы Ф.И.Франкля, А.В.Бицадзе, А.А.Самарского,

A.А.Дезина, В.А.Ильина, Е.И.Моисеева, А.М.Нахушева,

B.И.Жегалова, А.Л.Скубачевского, А.И.Кожанова, О.А.Репина, Л.С.Пулькиной и других авторов.

Большой интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями, которые

служат удобным способом описания условий на искомое решние в тех случаях, когда, например, невозможно непосредственное измерение каких-либо физических величин на границе, но известно их усредненное значение внутри области.

Первой публикацией, посвященной исследованию задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, можно, видимо, назвать работу Cannon J.R. (Дж. Кэннона) «The solution of the heat equation subject to the specification of energy», опубликованную в 1963г.

Позже задачи с интегральными условиями для уравнений второго порядка различных типов были поставлены и изучены А.К.Гущиным, А.Л.Скубачевским, А.М.Нахушевым, Л.И.Камыниным, Н.И.Юрчуком, Д.Г.Гордезиани и Г.А.Авалишвили, А.И.Кожановым, Л.С.Пулькиной.

Смешанные задачи для гиперболических уравнений с интегральными нелокальными условиями рассматривались в работах Д.Г.Гордезиани и Г.А.Авалишвили, Л.С.Пулькиной, А.И.Кожанова, A.Bouziani.

Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа изучались в работах Е.И.Моисеева, К.Б.Сабитова, Л.С.Пулькиной, С.Н.Глазатова. Однако, вопрос о постановке и разрешимости задач для вырождающихся гиперболических уравнений сравнительно мало изучен.

В предложенной диссертации рассматриваются нелокальные смешанные задачи с интегральными условиями для гиперболического и вырождающегося

гиперболического уравнения второго порядка. Кроме этого, рассмотрен вопрос о взаимосвязи нелокальных задач с задачами для нагруженных уравнений.

Таким образом, актуальность темы представленной диссертации обоснована как практической, так и теоретической значимостью рассмотренных задач.

Цель работы.

Постановка и исследование нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических и вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка.

Общая методика исследования.

Использован аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы

функционального анализа, аппарат теории интегральных уравнений, методы априорных оценок, аппарат специальных функций.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказаны существование и единственность обобщенного решения краевой задачи для нагруженного гиперболического уравнения второго порядка.

2. Доказаны существование и единственность классического решения нелокальной задачи

с интегральным условием первого рода для гиперболического уравнения с сингулярным коэффициентом в случае одной пространственной переменной.

3. Доказаны существование и единственность решения нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения и построено решение этой задачи в виде биортогонального ряда.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер и продолжает исследования нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными условиями, а также задач для нагруженных уравнений.

Апробация работы.

Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах и конференциях.

• Научный семинар кафедры "Уравнения математической физики"под руководством доктора физико-математических наук, профессора О.П.Филатова в Самарском государственном университете, 2006-2008 г.

• Вторая всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи",

секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 1-3 июня 2005 г.

• Третья всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2006 г.

• Пятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения-2006", Казань, 28 ноября-2 декабря 2006 г.

• Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения, СамДиф-2007", Самара, 29 января-2 февраля 2007г.

• Восемнадцатая весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения", Воронеж, 3-9 мая 2007 г.

• Четвертая всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2007 г.

• Пятая всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2008 г.

Публикации.

Автором опубликовано 12 работ по теме диссертации.

Список публикаций приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации - 90 страниц, библиография - 95 наименований.

Основное содержание работы.

Первая глава, состоящая из двух параграфов, посвящена исследованию двух задач для нагруженных гиперболических уравнений.

В первом параграфе исследуется задача для нагруженного уравнения гиперболического типа

е

д }

ии-{а(х,г)их)х-с(х^)и + — / К(х, г)и{х, г)йх = /(ж, £)

о

(1)

в области С} — {(х,Ь) : 0 < х < 0 <t <Т} с условиями:

и{х,0) = ф), (2)

щ(х,0) = ф(х), (3)

гг(0,£) = = 0. (4)

Получено интегральное тождество, с помощью которого вводится понятие обобщенного решения задачи (1)-(4):

т е

(а(х, Ь)ихух — им — с(х, £)иь)<1х(И—

о о

т е ( е

у j и*(я,£) j = у у(х, Щ(х)<1х+

0 0 0 о

it те

+ J ф,0) J K{Z,Q)(p(£)(%dx + J J vfdxdt. (5) 0 0 0 0

Обобщенным решением задачи (l)-(4) будем называть функцию и(х, у)бИ/21о(<5)7 удовлетворяющую тождеству (5) для любой функции v(x,t)£W20(Q), где: Wl0{Q) = {u(x,t) : u(x,t) € W}{Q); u{0,t) = u{i,t) = 0}, Wl0(Q) = {v(x,t) : v{x,t) e WlQ{Q)-v{x,T) = 0}. Основным результатом первого параграфа являеется следующее утверждение:

Теорема 1.

Пусть выполняются следующие условия: (^(а^еИ^О, Ф(х)еь2(о, е), к_(х, t), а(х, t), с(х, t)eC\Q), f(x, t)eL2(Q), a(x,t)> 0 в Q, тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1)-Ц)-

Во втором параграфе изучена задача о колебании мембраны барабана, которая при математическом моделировании приводит к следующей задаче для нагруженного гиперболического уравнения с сингулярным коэффициентом: найти ограниченное решение уравнения

П)

utt = ai{urr + ~ur} — a2 J ru(r, t)dr (6)

о

в области Q = {(r,t) : r £ (0,ro), t <G (0,T)}, удовлетворяющее условиям:

u(ro,£) = 0, (7)

u{r,Ö) = tp{r), (8)

щ(г,0) = ф(г), (9)

где ах, а - константы. Доказана следующая теорема:

Теорема 2.

Если функции <р(г),ф(г)€С2[0,го] и удовлетворяют условиям:

<р(0) = ф(0) = ср(г0) = ф(г0) = 0,

Ч>'Ы = ф'(г0) = ^(0) = ^(0) = ф"{го) = 0, то задача (6)-(9) имеет единственное решение и(х,у)еС(Я)г\СЩ.

Доказательство существования решения базируется на обоснованной в работе эквивалентности задачи (6)-(9) и задачи для уравнения

ии = а\{игг + -иг} + /(£), (10)

г

где /(£) является решением интегрального уравнения

* оо

т - [ 2Г03/(г) £ 4йп^^-йт = д(г, *), (11)

J ГГТ ^П г0

о 11-1

правая часть которого, д(г, <), выражается через известные функции </?(г) и т/К7")-

Для доказательства разрешимости

интегрального уравнения (И) исследовано ядро

оо .

К(т, ¿)= 4 51X1 Т (1т. Равномерная сходимость

п—1 ^п "

ряда установлена с помощью теоремы Шафхейтлина и критерия Дирихле.

ю

Единственность решения вытекает из полученной

априорной оценки: щ

J г [и\{г, Ь) + £)] ¿т < 0.

о

Во второй главе исследована разрешимость нелокальной задачи в области Ц = {(ж,£) : 0 < х < £, 0 < £ < Т} для гиперболического уравнения:

ии = ихх + -их, (12)

X

с условиями:

и(х,0) = (р{х), (13)

щ(х,0) = ф(х), (14)

£

и(е, ¿) + J хи(х, ¿) ¿х = Ф(4), (15)

о

\и(0, £)| < оо. (16)

Основным результатом этой главы является следующая теорема.

Теорема 3.

Если функции ^р(х))ф(х)еС2{ ОД Ф(£)еС2[0, Т] и удовлетворяют условиям:

ч>Ф)=т = уф = т = о, ср'(£) = ф'(£) = у/(0) - ф\0) = Г(£) = О,

то задача (12)-(16) однозначно разрешима.

Для доказательства теоремы 3 применен

метод вспомогательных задач, а именно, доказано

и

существование единственного ограниченного решения смешанной задачи для уравнения (12) с условиями (13), (14) и граничным условием

и{е,г) = е{г),

а затем функция 0(£) найдена в результате применения нелокального условия (15) к решению вспомогательной задачи. Таким образом, вопрос о разрешимости поставленной нелокальной задачи сведен к исследованию интегрального уравнения второго рода. В третьей главе доказано существование единственного классического решения нелокальной краевой задачи для вырождающегося гиперболического уравнения в прямоугольной области. Нелокальное условие является интегральным. Доказательство проведено спектральным методом, который разработан Е.И. Моисеевым. Рассматривается вырождающееся гиперболическое уравнение:

утихх ~иуу = 0 (17)

в области (3 = {(х,у) : 0 < х < 1,0 < у < а} с граничными условиями:

и(0,у)=0, (18)

и(х,0) = ф{х), (19)

иу(х,0) = ф), (20)

и нелокальным интегральным условием:

1

Ju(x,y)dx = 0. (21)

о

Под решением задачи (17)-(21) будем понимать функцию и(х, у) 6 СЩпСЩ, которая удовлетворяет в области

Q уравнению (17) и условиям (18)-(21). Условие (21) является нелокальным интегральным условием первого рода, то есть не содержит значений искомого решения в точках границы, поэтому метод вспомогательных задач здесь не эффективен. Однако, удалось доказать эквивалентность интегрального условия (21) и дискретного нелокального условия их{1,у)=их(0,у). Доказана лемма:

Лемма 1.

Если выполняются условия согласования 1 1 J ip{x)dx = 0, /„(*)* = О,

О о

то условие (21) эквивалентно условию

их{1,у) = их{0,у). (22)

Эквивалентность условий (21) и (22) позволила воспользоваться известными ранее результатами 1 2: системы функций

{cos27rna;}^=1, 1, {хёт2тгпх}^г (23)

и

{4(1 - х) cos 2тгпх}™=1, 2(1 - х), 4{sin 2тгпх}™=1 (24)

являются биортонормированными, замкнуты в пространстве L2(0,1), минимальны в этом пространстве

1 Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром/Е.И. Моисеев// М Издательство Московского Университета, 1988, 152 с

2Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов/В.А Ильин// Докл. АН СССР. 1976. Т.227., №4 С 796-798

и образуют базис Рисса. Тогда решение задачи (17)-(21) можно представить в виде биортогонального ряда

и(х, у) — 4 уп{у){ 1 — %) сое 27тх+

п=1

сю

+4 У^ ип(у) бш2ттпх + 2щ{у){\ - х),

п=1

а именно:

00

и(х,у) = ^ _ ж)соэ27гпз;+

+4 ^ с2(п)уГуЗ_ 1 ( 2"ПУ ) (1 - х) сое2лпх+ п=1 4 V ^ /

+4 ( | 8щ 2япх+

55 \ (7 п=1 Х 4

оо

00

оо

21тпуд Ч

2тт пуч Я

-4 Е )8т

С2(п) / 2тхпуч

+4 ^ С4{п)^/уЗ_1. |-| вт 2кпх-

где

о

с2(п) = Г ^—• ^^^ ! ф{х)со^2-кпхйх,

о

1 1

, ч /2д + 1\ /2тт\-Ъ [ , . . п сз(п) = Г I—-—) • I-) J (р(х)хsm27mxax,

о

i i

, , /2д- 1\ /2тггЛ2? [ . . п с4(п) = Г I -I • I-1 / ip(x)xsm2imxax.

^ Q о

Результатом этой главы является теорема:

Теорема 4.

Если функции <¿>(a;)eC3[0,1] П С4(0,1), ф{х)еС4(0,1) и удовлетворяют условиям:

<р{о)=т = <р{1)=ф{1) = о, у/(1) = ф'( 1) = у>'(1) = ф'( 0) = о,

/(1) = ф"( 1) = </(1) = Ф"( 0) = О, = = </'(!) = Г(0) = О,

то задача (17)-(21) однозначно разрешима в области

Q = {(х,у) : 0 < х < 1,0 < у < а}, в классе функций и(х,у) 6 C^Q) П C2(Q), при т > 0.

Положения, выносимые на защиту:

• Доказательство существования и единственности решения краевой задачи для нагруженного гиперболического уравнения.

• Доказательство существования и единственности решения нелокальной задачи с интегральным условием первого рода для гиперболического уравнения в случае одной пространственной переменной.

• Доказательство существования и единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения.

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Пулькиной Людмиле Степановне за ценные советы и внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Волынская М.Г. О разрешимости некоторой нелокальной задачи с интегральными условиями/ М.Г. Волынская// материалы международной научно-практической конференции "Дни науки 2005", том 18, математика, 15-27 ноября 2005 г., Днепропетровск, с. 8-11.

2. Волынская М.Г. О разрешимости одной нелокальной задачи с интегральным условием/ М.Г.Волынская// труды 2-ой всероссийской научной конференции "математическое моделирование и краевые задачи", часть 3, секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 1-3 июня 2005 г., с.62-64.

3. Волынская М.Г. О разрешимости одной нелокальной задачи с интегральным условием для гиперболического уравнения/ М.Г.Волынская// материалы международной научно-практической конференции "Наука и технологии: шаг в будущее-2006", том 12, Белгород, 30-31 марта 2006 г., с.9-10.

4. Волынская М.Г. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием для гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская// труды 3-ей всероссийской научной конференции "математическое моделирование и краевые задачи", часть 3, секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2006 г., с.74-76.

5. Волынская М.Г. О разрешимости задачи о барабане/ М.Г. Волынская// труды математического центра им. Н.И. Лобачевского Материалы

Пятой молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения-2006, 28 ноября-2 декабря 2006 года, Казань, с.38-40.

6. Волынская М.Г. Нелокальная смешанная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская// тезисы докладов всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения-2007", 29 января-2 февраля 2007г., Самара, с.36-37.

7. Волынская М.Г. О разрешимости одной задачи для нагруженного гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская// материалы 18-ой весенней математической школы "Понтрягинские чтения", Воронеж, Воронежский государственный университет, 3-9 мая 2007 г., с.51-53.

8. Волынская М.Г. Смешанная задача для нагруженного гиперболического уравнения в прямоугольнике/ М.Г.Волынская// труды 4-ой всероссийской научной конференции "математическое моделирование и краевые задачи", часть 3, секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2007 г., с.64-66.

9. Волынская М.Г. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская// труды математического центра им. Н.И. Лобачевского Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения-2007, 16-19 декабря 2007 года, Казань, с.47-49.

10. Волынская М.Г. Об одной краевой задаче для

уравнения смешанного типа в прямоугольнике/ М.Г. Волынская// труды 5-ой всероссийской научной конференции с международным участием "математическое моделирование и краевые задачи", часть 3, секция "дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2008 г., с.48-51.

11. Волынская М.Г. Единственность решения одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская// Вестник СамГУ. 2008. №2(61) с.43-52.

12. Волынская М.Г. О разрешимости одной смешанной задачи для нагруженного гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская// Вестник СамГУ. 2008. №6(65) с.40-49.

Подписано в печать 30 сентября 2008 г Формат 60 x 84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1556 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1 Отпечатано УОП Сам ГУ.

Введение

1 Задачи для нагруженных гиперболических уравнений.

1.1 Смешанная задача для нагруженного гиперболического уравнения в прямоугольнике.

1.2 Задача о барабане.

2 Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения с оператором Бесселя.

3 Нелокальная задача с интегральным условием для вырождающегося гиперболического уравнения в прямоугольнике.

Нелокальными краевыми задачами в литературе принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения и (или) его производных в различных точках границы, либо же в точках границы и в каких-либо внутренних точках [64]. Задачи такого типа возникают при математическом моделировании различных физических, химических, биологических и экологических явлений, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри неё. Подобные ситуации имеют место, например, при изучении: явлений, происходящих в плазме [82]; распространения тепла [1],[72]; влагопереноса в пористых средах [63],[14]; некоторых технологических процессов [60]; задач математической биологии и демографии [64]. Исследования нескольких последних десятилетий выявили тесную связь нелокальных задач с обратными задачами [47],[67] и задачами для нагруженных уравнений [64]. Нелокальные задачи имеют большую практическую значимость и при решении задач механики твердого тела, так как позволяют управлять напряженно-деформированным состоянием

Большую роль для многих последующих исследований сыграли статьи Бицадзе А.В. и Самарского А.А. [8] и [82], где систематизированы начально-краевые задачи с дискретными нелокальными условиями, в частности, поставлены и исследованы пространственно-нелокальные задачи для определенного класса эллиптических уравнений. Они названы задачами Бицадзе-Самарского и нашли свое применение в теории упругости и теории оболочек.

Важный вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений внесли работы Дезина А.А. [35], [36], Жегалова В.И. [42], Моисеева Е.И. [59], Скубачевского A.JI. [83], Гущина А.К. [34], Нахушева A.M. [64], Гордезиани Д.Г. и Авалишвили Г.А. [31], Кожанова А.И. [53].

В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными. Большой интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Такие задачи служат удобным способом описания условий на искомое решение в тех случаях, когда, например, невозможно непосредственное измерение каких-либо физических

31]. величин на границе области, но известно их усредненное значение внутри. Интегральные нелокальные условия, в некотором смысле, можно считать обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального смещения (сдвига), которые имеют вид:

J EB^(s) =/%(*), Vie {J}, (l) к=1 где и: - непустое множество n-мерного евклидова пространства, а {«/}-индексное множество числовой прямой.

Задачи с условиями типа (1) рассматривались Стекловым В.А. [88], Бицадзе А.В. [7], Самарским А.А. [82], Нахушевым A.M. [64], [62], Ильиным В.А. и Моисеевым Е.И. [44].

Например, Стекловым В.А. ([88], с.63) показано, что задача об охлаждении изогнутого стержня, при определенной её схематизации, редуцируется к задаче отыскания решения и(х,у), уравнения: диу - (kQux)x + т0и = 0 (2) с краевыми условиями: и(х, 0) = ф(х), 0<х<£, (3) а{и(0, у) + а{их{0, у) + а{и(£, у) + а{их(£, у) - 0, (4) где 0 < у < Т, J7 = 2,3; д, ко, mo-параметры тонкого стержня длины £, отсчитываемой от концевой точки х — 0; а?к- заданные постоянные величины.

Рассмотрим подробнее некоторые из статей, которые явились отправной точкой исследований, представленных в настоящей работе. Одной из первых публикаций, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, можно назвать работу «The solution of the heat equation subject to the specification of energy» [46], в которой Cannon J.R. доказал однозначную разрешимость смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности щ = ихх с начальным условием и(х, 0)=<р(х) и интегральным нелокальным условием

X(t)

I u(x,t)dx = E(t), 0 <t<T, 0 < ж < 1, о где E(t) е Сг[0,Т] - известные функции.

Позже задачи с интегральными условиями для параболических уравнений второго порядка были поставлены и изучены Камыниным Л.И. [48], Самарским А.А. [82], Нахушевым A.M. [63], Ионкиным Н.И. [72], Юрчуком Н.И. [95], A. Bouziani [9].

Затем опубликован ряд статей, в которых рассмотрены задачи для эллиптических уравнений с нелокальными интегральными условиями. Гущин А.К. и Михайлов В.П. [34] исследовали разрешимость нелокальных задач для эллиптических уравнений второго порядка, где условие представляет собой связь значения решения на границе рассматриваемой области со значениями во внутренних точках при помощи некоторого оператора (в частности, оператор может быть и интегральным).

В ряде работ изучено расположение спектра операторов, возникающих при исследовании нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [83] и уравнений в частных производных [84]. Например, в работе Скубачевского A.JI. и Стеблова Г.М. [84] получены условия, обеспечивающие дискретность спектра дифференциального оператора второго порядка с нелокальными условиями в виде интегралов Римана.

В настоящее время появились статьи, в которых изучаются нелокальные задачи для гиперболических уравнений. Прежде всего отметим ряд публикаций, в которых рассмотрены задачи на плоскости, являющиеся интегральным аналогом задачи Гурса.

Нахушева З.А. [65] рассмотрела задачу для простейшего гиперболического уравнения: где х € [0, а], у G [О, Ь]; ф(у) и <р{х)- заданные непрерывные функции, а и /3- заданные числа, 0 < си < а, 0 < /? < 6, и получила формулу решения.

В публикациях [74],[30] изучены задачи с интегральными условиями для общего гиперболического уравнения на плоскости. В [74] Пулькиной JI.C. доказана однозначная разрешимость задачи в прямоугольнике D — {(х,у) : х G (0, а),у е (0,6)} для уравнения: с интегральными условиями: о о

Lu = иху + (Л(ж, у)и)х+(В{х, у)и) +с(х, у)и = F(x, у), (5) а в качестве данных только интегральные условия: а Ь

J u(x,y)dx = тр(у), J u(x,y)dy = <р(ж), (6) о о где ф{у) е Ь2(О, Ь), ф) Е Ь2{0, a), F{x, у) е Хгр).

Доказательство существования и единственности обобщенного решения задачи (5)-(6), которую можно назвать интегральным аналогом задачи Гурса, базируется на полученных априорных оценках и методе Галеркина, а существование и единственность классического решения этой задачи доказаны в совместной статье Пулькиной JI.C. и Н.Д. Голубевой Н.Д. [30].

Позднее исследованы некоторые смешанных задач для гиперболических уравнений с интегральными нелокальными условиями Гордезиани Д.Г. и Авалишвили Г.А. [31], Пулькиной Л.С. [76],[71],[75],[70], Бейлина С.А. [3], Дмитриева В.Б. [40], Bouziani А. [10], Кожанова А.И. и Пулькиной Л.С. [54].

Например, в [31] Гордезиани Д.Г. и Авалишвили Г.А. поставлены и исследованы нелокальные начально-краевые задачи как для уравнения колебания струны, так и для телеграфного уравнения, с классическими начальными условиями и интегральными условиями вида:

Ы*) u(0,t)=p(t) J u{x,t)dx + f(t),

Ш m(t) u(l, t) — q(t) J u(x,t)dx + g(t). m(t)

Поставленные задачи сведены к интегральным уравнениям специального вида.

В [10] Bouziani А. рассмотрена смешанная задача для уравнения: utt - (а(х, t)ux)x+c(х, t)u = f(x,t), (7) в области D = {{x,t) : х G (0, £),t £ (0, Т)}, с начальными данными Коши и(х, 0) = ф{х), щ(х, 0) = <р(х), (8) граничным условием ut(0,t) — 0, (9) нелокальным условием fu(x,t)dx = 0 (10) о и доказана её разрешимость в специальном классе.

В [76] Пулькиной JI.C. обосновано утверждение о существовании единственного обобщенного решения задачи (7)—(10) из пространства W}(D).

Среди последних работ по данной тематике можно отметить работу Бейлина С.А. [3], где получено представление решения смешанной задачи для уравнения колебания струны с граничным условием Дирихле и интегральным условием (10).

В настоящее время наименее изучены неклассические задачи для вырождающихся гиперболических уравнений. Вырождающиеся гиперболические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера: газовой динамики, теории бесконечно малых колебаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек. Таким образом, возникшая в начале двадцатого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям. Классические задачи для этих уравнений систематизированы М.М. Смирновым [85], [87], [86]. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа положено в работах Ф.Трикоми [92] и С.Геллерстедта [27], где впервые поставлены и исследованы задачи для модельных уравнений смешанного типа. Ф. Франкль [94] обнаружил приложение задачи Трикоми в теории сопел Лаваля и в других разделах трансзвуковой газовой динамики. Выяснилось, что уравнения смешанного типа применимы в магнитогидродинамике, биологии и других естественных науках. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа исследовали Бицадзе А.В. [7], Терсенов С.А. [89],[90], Кароль И.Л. [51], Бабенко К.И. [2], Пулькин С.П. [68],[69], также отметим работы Кислова Н.В. [52], Каратопраклиева Г.Д. [49], [50], Пяткова С.Г. [77], Глазатова С.Н. [28], [29], Сабитова К.Б. [79],[80], Деминой Т.И. [37].

Некоторые нелокальные задачи с интегральными условиями для вырождающихся гиперболических уравнений изучены Л.С. Пулькиной. Например, в статье [41] авторы Евдокимова Н.Н. и Пулькина Л.С. рассмотрели уравнение: y2uxx - uyy + aux = f{x, у), (11) описывающее процесс переноса влаги в капиллярно-пористых средах. А именно, для уравнения (11), которое в характеристических координатах имеет вид: а +1 а — 1 „. . . .

УП - ОЧп + -j-Щ + —j-Щ = /(£, г{) , (12) изучена разрешимость задачи с интегральными условиями: п 1 = 0, /«К, V)drj = 0, (13)

1 о в характеристическом треугольнике

Интегралы от искомой функции вдоль характеристики, из условий (13), могут быть интерпретированы как расход влаги в слое. В работе JI.C. Пулькиной [72] изучена разрешимость задачи для уравнения:

Iу\тихх — иуу = 0, т > 0 (14) в области D, ограниченной характеристиками уравнения (14), выходящих из точек А(0,0) и В(1,0) с нелокальными интегральными условиями:

J u(s, y(s))ds = (р(х), J u(s, y(s))ds = ф(х), t+(x) £-(x) где £+ (x) и t~ (;x) - соответственно характеристики семейств:

2 m+2 2 . . m+2

X + ——ГУ 2 = с, ж + ——-(-у) 2 = с. m + 2 m + 2

Уравнение (14) в характеристических координатах переходит в уравнение Эйлера-Дарбу: ft = Д К - «е). /5 = (15)

В статье J1.C. Пулькиной [73] исследована задача для уравнения (15) в области Н = Н+ U Н~ U /, где:

Н+ = {(£,7,) : 0 < £ < ту < а}, Н~ = {К, 17) : 0 < г) < £ < а},

I = {(£> 77) : 0 < £ = 77 < а}, а = const > О, с нелокальными интегральными условиями:

J u(£,r,)dri = *>(£), /«К,17)« = (16) здесь (р(£) и ф{г]) - заданные функции;

- «*(«■> ~ и«) = - - ^

Одним из эффективных методов исследования разрешимости нелокальных задач для уравнений смешанного типа является спектральный метод, разработанный Моисеевым Е.И. и изложенный им в монографии [59].

Отметим статью Моисеева Е.И. [58], в которой спектральным методом доказана разрешимость нелокальной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения: утихх + иуу = 0, т> - 2, 0 < х < 1, у > 0, (18) и(х, 0) = /(ж), «(0, у) = и( 1, у), их{0, у) = 0. (19)

Этим же методом Сабитовой Ю.К. в [81] найдено классическое решение аналогичной нелокальной задачи для уравнения смешанного типа. Глазатовым С.Н. в статье [28] рассмотрена в области

D = {(x,y):x£[ 0,1 ], у €{-£,£]} задача для уравнения:

Lu = h(y)uyy - ихх + а(х, у)иу + и = /(ж, у), (20) где h(y) G С2[~l,£],a(x,y),b(x,y) G Cl{D), функция h(y) может менять знак на отрезке [—£,£], с краевыми условиями

7и(х, £) = ±и(х, -£), 0 < 7 < 1, (21) и(0, у) = и( 1, у), их{0, у) = ^(1, у). (22)

Доказана однозначная разрешимость задачи (20)- (22) в пространстве

WKD).

В большинстве работ о задачах с нелокальными интегральными условиями для уравнений в частных производных рассматривается одномерный по пространственным переменным случай. В настоящее время появились статьи Пулькиной J1.C. и Кожанова А.И. [54], Бейлина С.А. [4], Дмитриева В.Б. [39], в которых рассмотрены уравнения с п пространственными переменными. В работе С. А. Бейлина [4] приведено доказательство единственности и существования обобщенного решения

17) задачи для n-мерного волнового уравнения с начальными даннами Коши и интегральным условием: p-U+f [ f, r)d£dT = О, бп о п в цилиндре Q = Q х (0, Т), где Q Е Rn ограниченная область с гладкой границей 5; К{х, г)-заданная функция.

Задача с нелокальным граничным условием, связывающим след искомой функции с интегралом по некоторой области от неё, изучена в [54].

Физически содержательный смысл задачи с нелокальными интегральными условиями приобретают, например, в динамике почвенной влаги и грунтовых вод.

A.M. Нахушевым [61] поставлена задача для уравнения Аллера, описывающего процесс влагопереноса: Q

Uy = dx DUx + AUxy^ ^ П^ ^ в области D = {(#, у) : х € [0, /г], у € [О, Т]}, с начальными данными: и(х,0) = ф), (24) и интегральным условием: • г) х° о- / У)<% = т(у), (25) дУ о известные данные определяют следующие физические величины: П(ж, у)-поток почвенной влаги в точке х в момент времени у > 0, <р(х)~ глубинный ход влажности в начальный момент времени, т(у)~ скорость расхода влаги в слое 0 < х < xq. Искомая функция u(x,t) определяет распределение влаги в почвенном слое 0 < х < h для времени у £ [О, Т]. Заметим, что в статье [61] условие (25) заменено на условие вида: y) = t <xjkу)Ф.V у) + <%)> (26)

3=1 а? [у] и S(у)-заданные функции, Xj-заданные точки,

О < х\ < Х2 < . < хп < h и для этого случая доказана разрешимость задачи.

B.А. Водаховой в [14] рассмотрена задача для уравнения:

Lu = ихху 4- Аихх + а(х)их 4 b(x, у)иу + с(х)и — f(x, у), (27) в области О, = {(ж, у) : х € (0, £), у G (О, Т)} с начальным условием: и(х,0) - <р(х), (28) граничным условием: их{1>у) = Ф(у)> (29) и нелокальным интегральным условием: д 1

J u(£,y)d£ = т(у), (30) ду х0 которое заменено на дискретное условие вида (26), A=const, b(x, у), а(х),с(х), f(x, г/)-заданные непрерывно-дифференцируемые функции в области Q, xq < х < £, xq > 0.

Псевдопараболическое уравнение (27) описывает динамику влагопереноса в пористом теле, например, в почвогрунте, а функция ф(у) определяет поток влаги на глубине х = i.

Исследования нелокальных задач с краевыми условиями показали их взаимосвязь с нагруженными дифференциальными уравнениями. Нагруженным принято называть уравнение с частными производными, содержащее в коэффициентах значение тех или иных функционалов от решения [64]. Такие уравнения возникают при описании процессов демографии [64], динамики грунтовых вод [61], при редукции некоторых обратных задач к прямым задачам [53]. Результаты исследований различных классов нагруженных уравнений приведены в [38].

В ряде статей A.M. Нахушева [63], [62] рассмотрены примеры редукции задач с нелокальными краевыми условиями к нагруженным дифференциальным уравнениям. Например, в работе [63] отмечено, что эффективным методом поиска приближенного решения уравнения влагопереноса если задано нелокальное условие д 1 / и(х, t)dx = u>(t), 0 <t<T, (32) dt о является редукция к нагруженному гиперболическому уравнению. Действительно, если ^ в уравнении (31) заменить на 5'(t), где скорость расхода влаги в некотором почвенном слое 0 < х < £, а и(х, ^-влажность в точке х почвогрунта в момент времени t: то получим нагруженное уравнение гиперболического типа: utt + buxt - (36'(t)uxx = 0, S'(t) > 0. (33)

В монографии A.M. Нахушева « Уравнения математической биологии » [64] рассмотрена задача для уравнения теплопроводности:

Щ — ихх (34) в прямоугольной области О. = {(#,£) : х € (0, t £ (0,Т)}. Требуется найти регулярное в области Q решение u—u(x,t) уравнения (34), непрерывное в О,, удовлетворяющее условиям: и(х, 0) = <р(х), (35) u(0,t) = r(t), (36) и нелокальному интегральному условию Самарского: 1 = МО, (37) о где r(t),fj,(t) и </?(ж)-заданные непрерывные при 0<t<Tn0<x<£ функции.

Непосредственными вычислениями нетрудно убедиться, что в рассмотренном классе функций и(х, t) замена: X v(x,t) = (е- х)и(х,t) + It)di (38) о сводит задачу Самарского (34)-(37) к первой краевой задаче для нагруженного параболического уравнения: Щ с условиями: (39) и(0, t) = r{t) t) = 0 < t < T, (40) X v(x, 0) = (£ — х)ф) + / <p(£)d€, 0 <x<L (41) о

Среди современных работ, посвященных задачам для нагруженных уравнений, отметим, например, работу Кожанова А.И. [53] о разрешимости задачи для нелинейного нагруженного параболического уравнения.

На практическую значимость неклассических задач для уравнений второго порядка с частными производными обратил внимание еще Самарский А.А. [82]. Последние десятилетия эти задачи весьма активно изучаются. Вместе с тем, работы, в которых исследованы неклассические задачи для вырождающихся уравнений второго порядка, крайне немногочисленны.

Исследование задач с интегральными нелокальными условиями вызвано не только теоретическими интересами, но и практической необходимостью.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа и установлению взаимосвязи между нелокальными задачами и задачами для нагруженных уравнений. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Алексеев, С.М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием/ С.М. Алексеев, Н.И. Юрчук // Дифференц.уравнения. - 1998. - Т.34. - №4. - С. 495-502.

2. Бабенко, К.И. О принципе максимума для уравнения Эйлера -Дарбу / К.И. Бабенко//Докл. АН СССР. 1985. - Т.285. - №4. -С. 777-782.

3. Beilin, S. Existence of solution for one-demensional wave equations with nonlocal conditions/ S. Beilin//Electronic J. of Diff. Equations. 2001. - V.76.- P. 1-8.

4. Beilin S. On a mixed nonlocal problem for a wave equation/ S. Beilin// Electronic J. of Diff. Equations. 2006. - V.103 .- P. 1-10.

5. Г. Бейтман Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтман, А. Эрдейи — М.: Наука, 1973 296 с.

6. Берестовский, Г. Н. Об одном свойстве нулей функции Бесселя J0(m)/ Г. Н. Берестовский//Мат. заметки. 2004. - Т.75. - С. 302.

7. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных/А.В. Бицадзе — М.: Наука, 1981. 448 с.

8. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/А.В. Бицадзе, А.А. Самарский //Докл. АН СССР. 1964. Т.185. №4. С. 739-740.

9. A. Bouziani, One a class of parabolic equationwhith nonlocal boundary conditions,Bulletin de la Classe des Sciences/Bouziani A.// Academie Royale de Belgique, T.X - 1999 - P. 61-77.

10. A. Bouziani, Solution forte d>un probleme mixte avec conditions поп locales pour une classed'equations hyperboliques/Bouziani A.//Bulletin de la Classe des Sciences, Academie Royale de Belgique. T.VIIL - 1997. - P. 53-70.

11. Будак, Б. M. Сборник задач по математической физике/ Б. М. Будак, А.А. Самарский А.Н. Тихонов — М.: Наука, 1972, 688 с.

12. Васильева, А.Б. Интегральные уравнения/ А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов — М.: физматлит, 2004 160 с.

13. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций, издательство иностранной литературы/ Г. Н. Ватсон — М.: 1949 798 с.

14. Водахова, В.А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса/В.А. Водахова// Дифференц.уравнения.- 1982. -Т.18. №2. - С. 280-285.

15. Волынская, М.Г. О разрешимости некоторой нелокальной задачи с интегральными условиями/ М.Г. Волынская// материалы международной научно-практической конференции "Дни науки 2005", том 18, математика, 15-27 ноября 2005 г., Днепропетровск, С. 8-11.

16. Волынская, М.Г. О разрешимости задачи о барабане/ М.Г. Волынская// труды математического центра им. Н.И. Лобачевского Материалы Пятой молодежной научнойшколы конференции Лобачевские чтения -2006, 28 ноября-2декабря 2006 года, Казань, С. 38-40.

17. Волынская, М.Г. О разрешимости одной задачи для нагруженного гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская// материалы 18-ой весенней математической школы "Понтрягинские чтения", Воронеж, Воронежский государственный университет, 3-9 мая 2007 г., С. 51-53.

18. Волынская,М.Г. Единственность решения одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская//Вестник СамГУ. 2008. - №2(61) - С. 43-52.

19. Волынская,М.Г. О разрешимости одной смешанной задачи для нагруженного гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская//Вестник СамГУ. 2008. - №6(65) - С. 40-49.

20. Gellerstedt, S. Quellues probleme mixtes pour 1'equationymZxx + Zyy=0 / S. Gellerstedt// Arc. Mat. Astronom Fis. 1938. -Bd 26A, - №3 - S. 1-32.

21. Глазатов, C.H. Нелокальные краевые задачи для некоторых уравнений смешанного типа в прямоугольнике/ С.Н. Глазатов //Сиб. мат. журнал. 1985. - Т.26. - №6 - С. 162-164.

22. Глазатов, С.Н. Некоторые неклассические краевые задачи для линейных уравнений смешанного типа / С.Н. Глазатов //Сиб. мат. журнал. 2003. - Т.44. - С. 44-51.

23. Голубева, Н.Д. Нелокальная задача с интегральными условиями/ Н.Д. Голубева, JI.C. Пулькина //Матем.заметки. 1996. - Т.59. -Вып.З - С. 324-326.

24. Гордезиани, Д.Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды/ Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили//Матем. моделирование. 2000. - Т.12 - №1. - С. 94-103

25. J1. Гординг. Задача Коши для гиперболических уравнений, издательство иностранной литературы/ JI. Гординг М.: 1961, 120 с.

26. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений, государственное издательство физико-математической литературы/ И. С. Градштейн, Г. М. Рыжик М.: Наука, 1962, -1108 с.

27. Гущин, А.К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка/А.К. Гущин, В.П. Михайлов// Матем. сб. 1994. - Т.185. - №1. - С. 121-160.

28. Дезин, А.А. Простейшие разрешимые расширения для псевдопараболических и ультрагиперболического операторов/А.А. Дезин//Докл АН СССР. 1963. - Т.148. - №5. - С. 1013-1016.

29. Дезин, А.А. Операторы с первой производной по времени и нелокальные граничные условия /А.А. Дезин//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1967. - Т.31. - №1. - С. 61-86.

30. Демина, Т.И. Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях: автореф. дис. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук /Т.И. Демина. Белгород, 2007. 15 с.

31. Дженалиев, М.Т. К теории краевые задач для нагруженных дифференциальных уравнений/ М.Т. Дженалиев // Алматы. Институт теоретической и прикладной математики, 1995 50 с.

32. Евдокимова, Н.Н. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения/Н.Н. Евдокимова Л.С. Пулькина//Вестник СамГУ. 1999. - №2(12) - С. 67-70.

33. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обоих характеристиках и с разрывами на переходной линии/ В.И. Жегалов// Учен, записки Казанского гос. университета. 1962. - Т.122. - №3 - С. 3-16.

34. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов/В.А. Ильин// Докл. АН СССР. 1976. - Т.227. - №4 - С. 796-798.

35. Ильин, В.А. Двухмерная нелокальная краевая задача для для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках/В.А. Ильин, Е.И. Моисеев//Матем. Моделирование. -1990.- Т.2. т. - С. 139-156.

36. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием/Н.И. Ионкин// Дифференц.уравнения. 1977. - Т.136. - №2. - С. 294-304.

37. Cannon, J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy/ J.R. Cannon// Quart. Appl. Math. 1963. - V.21. -№2. - P. 155-160.

38. Камынин, B.Jl. Об одной обратной задаче для параболического уравнения высокого порядка/В.JI. Камынин, Э. Франчини// Матем. заметки. 1998. - Т.64. - №5. - С. 680-691.

39. Камынин, Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями/Л.И. Камынин// ЖВМ и МФ. 1964. - Т.4. - т. - С. 1006-1024.

40. Каратопраклиев, Г.Д. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа/ Г.Д. Каратопраклиев//Дифференц.уравнения. -1987. Т.23. - т. - С. 78-84.

41. Каратопраклиев, Г.Д. Об одной нелокальной краевой задаче для эллиптико- параболических уравнений/ Г.Д. Каратопраклиев//Дифференц.уравнения. 1993. - Т.29. - №5.- С. 902-904.

42. Кароль, И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль//Докл АН СССР.- 1953. Т.88. - №2. - С. 197-200.

43. Кислов, Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их приложения/Н.В. Кислов// Мат. сб. 1984. - Т.125. - №1.- С. 9-37.

44. Кожанов, А.И. Об , одном нелинейном , нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче. // Матем. заметки. 2004. - Т.76. - Вып.6 - С. 840-853.

45. Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений/А.И. Кожанов Л.С. Пулькина// Дифференц.уравнения. 2006. - Т.42. - №9. - С. 1166-1179.

46. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики/ Н. С. Кошляков Э. Б. Глинер М. М. Смирнов М.: "Высшая математика", 1970 710 с.

47. Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики/ О.А. Ладыженская — М.:НАУКА, 1973 408 с. .

48. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных/Михайлов В.П. — М.:НАУКА, 1983 424 с.

49. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи /Е.И. Моисеев// Дифференц. уравнения. 1999. - Т.35 - №8. - С. 1094-1100.

50. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром/Е.И. Моисеев// М.: Издательство Московского Университета, 1988. 152 с.

51. Муравей, Л.А. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения/Л.А. Муравей А.В. Филиновский// Матем. заметки. -1993. Т.54. - Ш. - С.98-116.

52. Нахушев, A.M. Краевые задачи для 1 нагруженных интегро-дифференциальных уравнений и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги/А.М. Нахушев// Дифференц.уравнения. 1979. - Т.15. - №1. - С. 96-105.

53. Нахушев, A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями/А.М. Нахушев// Дифференц.уравнения. 1985. - Т.21. - Ж. - С. 92-101.

54. Нахушев, A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги грунтовых вод/А. Нахушев// Дифференц.уравнения. 1982. - Т.18. - №1. - С. 72-81.

55. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии/А.М. Нахушев М.: Высш. шк., 1995 301 с.

56. Нахушева, З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных/З.А. Нахушев //Дифференц.уравнения. -1986. Т.22. - №1. С. 1166-1179.

57. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения/Л.С. Понтрягин — М.: Наука, 1974 331 с.

58. Прилепко, А.И. Фредгольмовость обратной задачи об источиике для параболических систем/А.И. Прилепко Д.С. Таченко// Дифференц.уравпения. 2003. - Т.39. - №12. - С. 1693-1700.

59. Пулькин, С.П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе / С.П. Пулькин //Докл АН СССР. -1958. Т. 118. - №1. - С. 38-41.

60. Пулькин, С.П. Избранные труды / С.П. Пулькин Самара. Универс групп., 2007 264 с.

61. Пулькина, JI.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения/ JI.C. Пулькина// Матем.заметки. 2001. - Т.70. - Вып.1 - С. 88-95.

62. Пулькина, J1.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ JI.C. Пулькина//Дифференц.уравнения. 2004.- Т.40. - №7. - С. 887-892.

63. Пулькина, JI.C. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения/ JI.C. Пулькина//Изв. вузов. Математика. 1991. - №3 - С. 48-51.

64. Пулькина, JI.C. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения/ JI.C. Пулькина//Матем.заметки. 1992. - Т.51. - Вып.З - С. 91-96.

65. Пулькина, JI.C. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральным условием для гиперболического уравнения/ JI.C. Пулькина//Дифференц.уравнения. 2000. Т.36. №2. С. 279-280

66. Пулькина, JI.C. О разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина//Вестник СамГУ. 1998. - №2(8) - С. 63-67.

67. Пулькина, Л.С. Смешанная задачи с интегральным условием для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина//Матем.заметки. -2003. Т.74.- Вып.З - С. 435-445

68. Пятков, С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени/ С.Г. Пятков//Докл АН СССР. 1985. - Т.285. - №6. - С. 1327-1329.

69. Релей Д.В. Теория звука/ Релей. М.: Гостехиздат, 1955, - 688 с.

70. Сабитов, К.Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка / К.Б. Сабитов// Докл. АН СССР. 1989. - Т.305. - №4 - С. 783-786.

71. Сабитов, К.Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов типа второго порядка / К.Б. Сабитов М.Ф. Мугафаров // Сиб. мат. журнал. 2002. - Т.43. - №3- С. 710-727.

72. Сабитова, Ю.К. Нелокальная задача для вырождающегося уравнения смешанного типа/ Ю.К. Сабитова// Материалы конференции Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара-2007. С.101-106

73. Самарский, А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений/А. А. Самарский// Дифференц.уравнения. 1980. - Т.16. - №11. - С. 1221-1228

74. Скубачевский, A.JI. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач/A.JI. Скубачевский //Матем. сб. 1982. - Т.117(159). - №4. - с.548-558.

75. Скубачевский А.Л. О спектре дифференциальных операторов с областью определения не плотной в 1^2(0,1)/А.Л. Скубачевский Г.М. Стеблов //Докл. АН ССР. 1991. - Т.321. - №6. - С. 1158-1163.

76. Смирнов, М.М. Выраждающиеся гиперболические уравнения/ М. М. Смирнов. Минск, Издательство "Высшая школа", 1977 -160 с.

77. Смирнов, М.М. Выраждающиеся эллиптические и гиперболические уравнения/ М. М. Смирнов — М., Наука, 1966 160 с.

78. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа/ М. М. Смирнов. — М., Наука, 1970 156 с.

79. Стеклов, В. А. Основные задачи математическай физики/ В. А. Стеклов. М.: Наука, 1983, - 432 с.

80. Терсенов, С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе/ С.А. Терсенов. Новосибирск: НГУ, 1973. 125 с.

81. Терсенов, С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени/ С.А. Терсенов Новосибирск: НГУ, 1985 -105 с.

82. Толстов, А.Н. Ряды Фурье/ А.Н. Толстов М.: Наука, 1972 420 с.

83. Tricomi, F.G. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di 2 ordine di tipo misto/ F.G. Tricomi // Rendiconti Atti dell' Accademia Nazionale dei Lincei. 1923. - №5. P. 133-247.

84. Фихтенголц, Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г. М. Фихтенголц т.2 М.: Наука, 1970, 650 с.

85. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике/ Ф.И. Франкль М.: Наука, 1973. -324 с.

86. Юрчук, Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений/Н.И. Юрчук// Дифференц.уравнения. 1986. - Т.22.- №12. - С. 2117-2126.