Краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Гучаева Зера Хамидбиевна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Специальность 01.01.02 - "Дифференциальные уравнения"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала - 2004

Работа выполнена в Кабардино-Балкарском государственном университете им. Х.М. Бербекова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Елеев Валерий Абдурахманович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хачев Мухадин Мухарбиевич

Защита диссертации состоится "21" декабря 2004 в 14 часов на заседании диссертационного совета К.212.053.11 в Да1естанском государственном университете по адресу: 367025, г. Махачкала, ул. Гаджиева, 43А, математический факультет, ауд. 3-70.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Да1естан-ского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор Абилов Владимир Абилович

Ведущая организация Орловский государственный университет

Автореферат разослан "15 " НОЙ _2004 г.

Ученый секретарь диссертационно!о совета, к.ф.-м.н.,

Абдурагимов Э.И.

mos

SL/3J-3 Зу

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Теория уравнений смешанного типа - один из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Эта теория получила интенсивное развитие в последнее время, так как появилось достаточно много прикладных задач, математическое моделирование которых обуславливает изучение различных типов уравнений в рассматриваемой области изменения независимых переменных.

В 1902 году впервые на важность уравнений смешанного типа обратил А С. Чаплыгин. Им было указано на то, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа. Это уравнение в настоящее время носит название уравнения Чаплыгина.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи принципиально нового типа.

Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа появился после работ Ф.И. Франкля, в которых впервые обращено внимание на то, что многие задачи трансзвуковой газовой динамики и гидродинамики приводят к задаче Дирихле.

На некорректность задачи Дирихле для уравнения

ихх + sgayuyy = 0

в смешанной области впервые обратил внимание A.B. Бицадзе. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры гиперболической части области.

Результат A.B. Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска сме шанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

Для строго гиперболического уравнения в цилиндрической области задача Дирихле исследовалась в работах Di

nwfcgeti®uZari»*anöfclou Е . где БИБЛИОТЕКА

SF&SN'-

получен ряд интересных результатов по разрешимости и единственности этой задачи.

Существенные результаты в теории задач Дирихле и смешанных краевых задач для уравнений смешанного типа получены в работах H.H. Бахании. В.А. Елеева, Д.Р Коннона. A.M Нахушева, В.А. Нахушевой, А.П. Солдатова, Р М. Сохадзе. М.М. Хачева, Б В. Шабата М.В. Швецкого.

Цель работы. Основной целью работы является:

Исследование вопросов существования и единственности решения задачи Дирихле и смешанных краевых задач для уравнений смешанного типа, содержащих вырождающиеся гиперболические уравнения первого и второго родов с младшими членами в прямоугольных областях.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были применены: метод "abc", метод Фурье, методы теории интегральных уравнений и теории специальных функций.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Развит и обоснован метод Фурье применительно к решению краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического и гиперболо-параболического типов, содержащих вырождающиеся гиперболические уравнения первого и второго рода с младшими членами в двумерной прямоугольной области.

В диссертации получены следующие основные результаты'

1. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с оператором Келдыша в гиперболической части прямоуюльной области.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения смешанных краевых задач для уравнения эллиптико-гиперболического гипа с младшими членами с операторами Геллерстсдта и Келдыша в гиперболической части прямоугольной области.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения зада чи Дирихле для уравнения гиперболо-параболического типа с младшими членами с оператором Келдыша в гиперболической части прямоугольной области.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения смешанной краевой задачи для уравнения гиперболо-параболического типа с младшими членами с оператором Келдыша в гиперболической части прямоугольной области.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Практическая ценность полученных результатов обусловлена применением теории уравнений смешанного типа к решению прикладных задач, в том числе газовой динамики до- и сверхзвуковых течений.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на семинаре по краевым задачам для уравнений смешанного типа в КБГУ (руководитель - академик АМАН Елеев В.А ); на научно-исследовательском семинаре по современному анализу, информатике и физике (руководитель - заслуженный деятель науки РФ, академик АМАН A.M. Нахушев): на научно-практической конференции студентов и аспирантов АГУ "Мир науки и творчества"(Сухуми, май 2001 г.); на региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Приэльбрусье, 2002 г.); на Международном Российско-Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, май 2003 г.); на Международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, май 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |1]-[8]. Из них работы [2]-[3] выполнены в соавторстве с В.А. Елее-вым, которому принадлежит постановка задачи и общие указания по их решению.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, списка литературы.

Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер параграфа; нумерация формул - тройная: первая цифра указывает на номер главы, вторая на номер параграфа тре-

тья - на номер формулы.

Объем диссертации 119 страниц машинописного текста. Список использованных источников содержит 48 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы, анализ известных результатов, связанных с тематикой диссертации Здесь же излагается общая методика исследований и приводится краткое содержание основных результатов выносимых на защиту.

В первой главе исследованы задача Дирихле и краевая задача с условиями третьего рода для уравнения эллиптико - гиперболического типа с оператором Келдыша в гиперболической части.

В первом параграфе рассматривается уравнение

0= f Uxx + Uvy + C!U, у> О,

\ «XX - {-у)т Щу + buv + С2и, у < О, т- 0,1,

в области П. ограниченной отрезками AiA2: А2В2, B2Bi, В1А1 прямых х — 0, у — h > 0, х = I, у = —а, а^О. Обозначим через fii = Пп (у > 0) и П2 = fi Г) (у < 0) эллиптическую и гиперболическую части области П соответственно, AB = {(х, у) : х € (0, £), у = 0}, ABi : х+{—yf^ ВА\ : х — (—у)2^ = 0 отрезки характеристик уравнения (1) при у < 0, b, clt с2 = const.

Задача 1.1. Найти в области Q решение и(х, у) уравнения (1) из класса: и е Cfö), (-у)ь~1и € С(П2). иу е C^U AB). {-у)\ е С(п2и AB), и 6 C2(ili) П C2(fi2). удовлетворяющее краевым условиям

и (0, у) = <р0 (у), и (6, у) = <pi(y), —а < у < h, (2)

и (х, h) = фн (х), и (х, —а) = ф_а (х), 0 < х < I, (3)

выполняются условия склеивания

lim и {х, у) = lim (-yf'1 и {х, у), (4)

У—0+ у—0-

lim1щ(х,у) = lim (-yf иу{х,у). (5)

У—0+ у—0-

При определенных условиях на заданные граничные функции ф-п (ж), Фы (х), фа (У) > <Ре (у), доказана однозначная разрешимость задачи 1.1.

Задача 1.2. Найти в области О решение и(х,у) уравнения (1) из класса: и € 67(00, (-у)6-1« € С(П2), (-у)\ е С(П2иЛВ), иу б С(пхиЛ5и Л2.В2), с непрерывной производной вплоть до участков границы х = О и х = £, удовлетворяющее краевым условиям

(оцих-131и)\х=0 = 1р0{у), -а<у<Н\ (6)

{а2их +02и)\х=е= (ре(у), -а<у<к; (7)

(а3иу+/33и)\у=н = фк(х), 0 < х < (8)

и (х, —а) = (ж), о < ж < е, (9)

где а,, (3, - постоянные, причем |а,| + |Д| ф 0, г — 1,3. Выполняются условия склеивания

lim и (ж, у) = lim (-у)ъ 1 и (х, у),

¡I-.0+ ¡/->0-

lim иу(х,у) = Ига (-у) иу(х,у).

у—0+ у->0-

(10)

При определенных условиях на заданные граничные функции ф_„ (х), v:k (х), (fio (у), (fe {у) доказываются также существование и единственность решения задачи 1.2.

Вторая глава посвящена исследованию смешанных краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа с операторами Геллерстедта и Келдыша в гиперболической части смешанной области. В первом параграфе рассматривается уравнение

0 = í Uxx + Uyy + CU' У>° (11) \ ихх + уит + Ьиу, у < 0

в прямоугольной области Г!, ограниченной отрезками AiA2, А2В2, fí-¿B\, B\Ai прямых х = 0, у = р, х = £, у — —q, р > 0, q > 0. Обозначим через fíi = П П (у > 0) и П2 = П П (у < 0) эллиптическую и гиперболическую части области соответственно; АВ = {(ж, у) : х € (0, £) ,у = 0}; ABi ■ х + = i. BAi : х — 2х/^у = 0 - отрезки характеристик

уравнения (11) при у <0: с, b = const.

Задача 2.1. Найти в области решение и(х,у) уравнения (11), из класса и £ C(fi,), {-yf^u 6 С(П2), (~у)\ £ С(П2 U ЛВ), и £ С^П^П С2(П2), с непрерывной производной их(х,у) вплоть до участка границы х — 0, удовлетворяющее краевым условиям

где tp{x) к ф (х) - заданные функции

Методом "abc" доказана единственность решения задачи 2 1 Вопрос существования решения установлен методом разделения переменных (метод Фурье).

Во втором параграфе рассматривается уравнение

Q = | ихх + иуу + ахиж, у > 0 \ у2ихх - иуу + у2а2их, у < О

в прямоугольной области Г2. ограниченной отрезками АхАч, Л1В1, Л2В2 прямых х = 0. у — а, х — L у = — \/2, а = const > 0, а.\, а2 = const Обозначим через fii = Q П (у > 0), fi2 = ^ П (у < 0) - соответственно эллиптическую и гиперболическую части области Г2; АВ = {(ж, у) ■ х £ (0, t). у = 0}, ЛВ2 • х — у2/2 = 0, ВА2 " х+у2/2 = £ - характеристики уравнения (15) при у < 0.

Задача 2.2. Найти в области П решение и = и(х,у) уравнения (15) из класса и (х, у) € С (fi) П С1 (П) П С2 (fii U Г2Д [АВг U ВА2\), с непрерывной производной их(х, у) вплоть до BiB2 и удовлетворяющее краевым

«х (0, у) = и (С, у) = 0, -q<y<p, и(х,р) = ip (х), и {х, — q) = -ф (х), 0 < ж <

(12) (13)

выполняются условия склеивания

(14)

условиям:

и (0, у) = «,(1,1/) = 0, -у/2 <у<а, (16)

и(х,-у/2) =<р{х), 0<ж<1, (17)

и(х,а) = фа(х), 0 < х < 1. (18)

Здесь у(х) и гр (х) - заданные функции

Единственность решения задачи 2.2 доказана с помощью разложения в ряд Фурье по переменной х на отрезке [0,1]. Доказана однозначная разрешимость задачи 2.2.

Третья глава посвящена исследованию смешанной краевой задачи и задачи Дирихле для уравнения гиперболо-параболического типа, содержащего вырождающееся гиперболическое уравнение второго рода с младшими членами в прямоугольной области.

В первом параграфе третьей главы рассматривается уравнение

0 _ i ихх - иу + суи, у > О,

\ Uxx - (-у)"" Uyy + C2U,

(19)

у < О, 0 <т< 1

в области Q, ограниченной отрезками A2Ai, AiB\, BiB2, В2А2 прямых х = Q, у = а > О, х = £, у = —ß (ß > 0), соответственно. Обозначим через Г?! = Q П (у > 0), fi2 = Q П (у < 0) параболическую и гиперболическую части области Л соответственно; AB = {(х, у) : х € (0,1), у = 0}; АВ2 • х — {—у)2^ = 0; ВА2 • х + (—у= £ - характеристики уравнения (19).

Задача 3.1. В области S7 найти функцию и(х,у) обладающую следующими свойствами:

1) и € С(?2)ПС1(П1иЛ5)ПС,1(П2иЛВ\(ЛВ2иА2В))ПС,2(Л1)ПС2(Г22\ (АВ2иА2В))-

2) удовлетворяет условиям сопряжения-

ми ди

lim — = - lim — = v (х), 0 < х < 1; (20)

в->о+ ду у—о- ду

%

3) удовлетворяет краевым условиям'

и (0, у) = и (1,1/) = 0, -ß<y<a, (21)

и (X, -/3) = 1рч) (х), 0 <х < £, (22)

где ip_0 (х) - заданная функция.

Во втором параграфе рассматривается уравнение

0 = f «х* - и„ + du, у > 0, ^

\ Uxx + Утиуу + buy + с2и, у < О

в прямоугольной области П, ограниченной отрезками AiЛ2, А2В2, B2Bi: BiAi прямых х = 0, у = р, х = I, у — —q, где р > 0, q > 0. Обозначим через fii = П П (у > 0). fi2 = П П (г/ < 0) параболическую и гиперболическую части области П соответственно; AB интервал (0, () при у — 0; АВХ : х + (-у)2^ = В Ах : х — (—у)*^* = 0 - характеристики уравнения (23) при у < 0; сь с2, Ь — const, 0 < т < 1.

Задача 3.2. Найти решение и = и (х, у) уравнения (23) из класса: и е С(П) О С2(Ü! U П2\(АВ2 U ВА2)), иу € C(fii U АВ\(АВ2 U А2В)), их € C(iiiU АхА2), {—у)ъиу € C(Q2UAB) с непрерывной вплоть до А^А2 производной их(х,у), удовлетворяющее краевым условиям:

ux(0,y) = u(l,y) = Q, -q<y<p, (24)

u(x,-q)=ip(x), 0 < а; < I (25)

и условию сопряжения

lim иу (ж, у) = lim (-у)ь uv (х, у), (26)

у—0+ ¡,—0-

где ф (х) - заданная функция.

Методом Фурье доказывается существование решения поставленной задачи. Единственное!ь решения доказывается методом "abc".

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Жемухооа З.Х. Краевая задача для смешанного эллиптико-гипер-болического уравнения со спектральным параметром в прямоугольной области // Труды 10 межвузовской науч. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара. 2000 Т.З. С. 67-70.

2. Елеев В А , Жемухова 3 X. Краевая задача для смешанного уравнения параболо-гиперболического типа с разрывными коэффициентами // Труды 11 межвузовской науч. конф , Самара 2001 ТЗ. С. 56-58.

3. Елеев В.А., Жемухова З.Х. О некоторых краевых задачах для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области / / Владикавказский матем. журнал 2002. Т 4, № 4. С 8-18

4. Жемухова З.Х. Первая краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-прараболического типа с разрывными коэффициентами в прямоугольной области // Материалы Всероссийской науч. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых "Перспектива-2002". Нальчик, КБГУ. 2002. Т.2. С. 125-129.

5. Жемухова З.Х. Смешанная краевая задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами в прямоугольной области // Труды 13 межвузовской науч конф. "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара. 2003. Т.З. С. 67-70.

6. Жемухова 3 X Краевая задача для уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка в прямоугольной области // Материалы международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" - Нальчик-Эльбрус. - 2003 - С. 46-47.

7. Жемухова З.Х. Смешанная краевая задача для уравнения эллиптико-гиперболического тина в прямоугольной области // Доклады Адьп ской (Черкесской) международной академии наук. 2003. - Т 6, № 2 - С. 51-53.

8 Жемухова 3 X. Краевая задача для смешанного гиперболо-парабо лического уравнения в прямоугольной области // Материалы международ. Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус. -2004. - С. 78-80.

В печать 17.11.2004 г. Тираж 100 экз. Заказ № 4274 Полиграфическое подразделение КБГУ 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173

J

г-

^ 6 0 0 6

РНБ Русский фонд

2006-4 4108

*

9