О сопряженности задач Дарбу и Дирихле для уравнений гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

С: '■

"Г Московский государственный университет ^ им. М. В. Ломоносова

. ^ Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.956.32

БУЛАТОВ Александр Вячеславович

О СОПРЯЖЕННОСТИ ЗАДАЧ ДАРБУ И ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Моисеев Е. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Романко В. К. кандидат физико-математических наук Косовец А. А.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита состоится часов минут на заседании Диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан " " 199 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета, доцент у^т} В. М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Разрешимость краевых задач с давних пор вызывает большой теоретический и практический интег г. Существование и единственность классического решения основных краевых задач для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов изучались ещё в XVIII веке. Эти вопросы актуальны и в настоящее тэемя.

Решения некоторых И5 этих залач были найдены в явном виде. При этом выяснилось, что решение молСет иметь особенности в некоторых точках, т. е. может не быть классическим. Вместе с тем решение адекватно описывает изучаемое явление и потому представляет интерес. Такие решения принято называть обобщёнными. В работах К.О.Фридрнхса, С.Л.Соболева, О.А.Ладыженской и многих других математиков были предложены многочисленные строгие определения обобщённого решения, доказаны соответствующие теоремы существования и единственности. Обобщённые решения играют важную роль и в вычислительной математике.

Одним из указанных подходов является понятие сильного решения (М.И.Вишик, Л.Хёрмандер, Ю.М.Березанский и др.). Сильная разрешимость некоторых краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов второго порядка изучалась А.М.Нахушевым и «о учениками.

При исследовании сильной разрешимости краевых задач важную роль играет понятие сопряжённой задачи. Так, наличие априорной оценки для решений двух взаимно сопряжённых задач влечёт за собой существование и единственность сильного решения этих задач.

Для задачи Дарбу в области без отхода от характеристики в качестве сопряжённой задачи можно взять задачу, сопряжённую по Лагранжу (обе задачи однозначно разре-• шимы). Однако для задачи Дарбу в области с отходом от характеристики этого сделать нельзя, поскольку задача, сопряжённая по Лагранжу (задача Дирихле), некорректна.

В работе Т.Ш.Кальменова и М.А.Садыбекова 1 была предложена модифицированная задача Дирихле для двумерного волнового уравнения

+ Щу = J(x, у)

в области с отходом от характеристики и доказана её сопря-.жённость к задаче Дарбу. В диссертации М. А. Садыбе-кова а этот результат обобщён на случай произвольного уравнения гиперболического типа с гладкими младшими членами

—г*»» + ti„s + о(х, у)их + ¿(ав, yj-u, + с(х,у)и - f(x,y) ,

а тахже на случай уравнения Лаврентьева-Бицадэе. Аналогичный результат для параболо-гиперболического уравнения был получен М. С. Салахитдиновым и А. С. Берды-шевым 3.

'Кальмеаов Т.Ш., Садыбежов М.А. О о&дале Джрххпе я нелокальных краевых (задачах для волнового уравненжд.— Дяффвренцж&льные уравнеххя, 1990, т. 26, No 1, с. 60 — 65.

аСадыбеков М.А. Краевые (задали в областях с отходом от харажтеристяхн дяя уравнений гкпербопжчесжого ж смешанного тжпов второго порядка.— Дис. ... д-ра фжэ,- лат. наук.— Твлгкеят, 1993. "..''■

3Салаххтдяиов М.С.,Бердьгшев A.C. Краевые подачи доя . парабосо-гжпербопкчесгого ураввенжл в области с отходом от характерястжм.— ДАН Россжж, 1992, т. 327, No 3, с. 303 — 305.

А

Цель работы Создание общей схемы исследования сопряжённости краевых задач. Доказательство сопряжённости задач Дарбу и Дирихле о области с отходом от характеристики для вырождающегося гиперболического уравнения. йсследопанне сильной разрешимости указанных задач.

Научная новизна В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказаны однозначная сильная разрешимость и сопряжённость задач Дарбу и Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения в области с отходом от характеристики.

2. Предложена общая схема исследования сопряжённости краевых задач.

3. Предложены методы исследования сильной разрешимости краевых задач с использованием сопряжённой задачи ы плотной разрешимости.

Общаг методика исследования Для исследования сильной разрешимости краевых задач используется схема, изложенная в §1. Проверка соответствующих условий для конкретных краевых задач производится с помощью метода abc, а также посредством решения задали в явном виде (сведение к интегральному уравнению) для специально подобранного множества правых частей.

Прахтнчесааая яенность Предложенные в работе методы могут быть применены se исследованию однозначной сильной разрешимости и сопряжённости разнообразных краевых задач, в том числе для диффаренщаалыго-фушщко-нальных, интегро-дифференциальных уравнений и т. д.

Апробация работы Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством академика В. А. Ильина, профессоров А. А. Дезина и Е. И. Моисеева; на семинаре под руководством пррфессо-ра Е. И. Моисеева; на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ.

Публикации Все результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3].

Структура и объем работы Диссертация состоит из 9 параграфов. Объём работы — 111 машинописных страниц, список литературы состоит из 32 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом параграфе изложена общая методика исследования сопряжённости краевых задач. Используется понятие "операторной" сопряжённости, приведённое в монографии Т.Ш.Кальменова, которое состоит в следующем.

Пусть Q — ограниченная область в JR". Краевой задачей называется пара (С, £?), где С — некоторая дифференциальная операция (её порядок обозначим через s), а В — набор граничных условий. 'При этом будем предполагать, что определено пространство Cg(Q) гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям В.

В пространстве £2(Г2) определим линейный оператор L0 с областью определения D(Lo) — С^(О) , действующий по правилу L0u = Си. Его замыкание обозначим через L. Таким образом, каждой краевой задаче поставлен в соответствие линейный оператор, действующий в пространстве ¿з(П). Две краевые задачи называются сопряжённым^

если соответствующие им операторы являются сопряжёнными.

Предлагаемый подход к исследованию сопряжённости краевых задач основан на следующих двух утверждениях.

Теорема 1 Пусть для краевой задачи (£,В) выполнены условия

Л.: Существует плотное в ¿з(П) множество М функций f , для каждой из которых найдется такое « 6 Сц(П), что £и = /;

. В: Существует линейный ограниченный оператор К : ¿а(П) ^(К) = ¿з(Г2) такой, что для всех

и € Сд(Й) справедливо равенство и = К(£м). Тогда соответствующий краевой задаче (С, В) оператор Ь обратим и Z-l = К .

Теорема 2 Пусть дли краевых задач (Су,В\) и (С?, В2) выполнены условия .4 и В теоремы 1, причём соответствующие операторы К являются сопряжёнными : К\ = (К-})*. Тогда эти краевые задачи являются сопряжёнными.

Если решения двух краевых задач получены в явном виде, то для исследования их сопряжённости следует непосредственно применять теоремы 1 к 2. Однако проверить условия этих теорем можно и в том случае, когда решения задач неизвестны. Соответствующие теоремы доказаны в §1. Перечислим здесь наиболее важные из них.

Теорема 3 Если для двух краевых задач Вг) и (С?, В?) выполнены условия Л и В и для всех и € С'Вх (И) и и 6 СдДП) справедливо интегральное тождество Лагранжа

(£}и,ь) = (и,Сау) , 7

то соответствующие этим краевым задачам операторы К являются сопряжёнными.

• Теорема 4 Если для -краевой задачи (£, В) выполнено условие Л и условие

1М1 — с||£«|| для всех и € (с не-которсй

постоянной с > 0, не зависящей от и), то выполнено условие В .

Теорема б Пусть краевые задачи (£2,и явля-

ются сопряжёнными. Тогда краевые задачи -г а[х')Е, В{) и (£-2 +а(х)Е, Вз) являются сопряжёнными при любой функции а(в) € £М(П)

Указаны приложения полученных результатов к исследованию сильной разрешимости краевых задач, в частности, ж спектральной задаче.

В §2 - §3 доказаны однозначная.сильная разрешимость и сопряжённость задач Дарбу и Дирихле для волнового уравнения. Аналогичные результаты были получены ранее в уже упомянутой работе Т. Ш. Кальменова и М. А. Сады-бекова. Отметим основные отличия результатов §2 - §3 от указанной работы.

1. В этой работе доказательство сопряжённости задач Дарбу и Дирихле опирается на априорные оценки, содержащие первые производные от ре1иення, которые получены при дополнительных предположениях о границе области. В §2 - §3 эти оценки не используются. В частности, это позволяет исследовать случай касания дуг АС и АЗ, а также

*а[х)Е—диффереЕцнаиьнаа операция нулевого порядку с коэффхцдектож

случай касания AG и прямой {х = —у} (обозначения см. ниже).

2. В §2 - §3 предложен алгоритм нахождения граничных условий задачи, сопряжённой к задаче Дарбу.

Второй параграф посвящен исследованию задачи Дарбу для волнового уравнения в двумерной области D с отходом от характеристики, ограниченной кривыми

АВ : {(sc;0) | 0 < х < 1} ,

СВ : - 1) | < г < 1> ,

АС : {(г; у) } х + у — т(х — у), 0 < х - у < 1} .

Введём следующее обозначение. Пусть функция /(я) определена на отрезке [а; 6] и а < /(а) < Ь при всех г. Через /'fc'(r) обозначим к — кратную композицию функции /(«), т.е. /И(х) s х, /1*+ЧС«) - /(•№)). к = 0,1,... . Функцию, обратную к /(г) обозначим .

Относительно функции т(х) будем предполагать, что

1. т{х) € <73[0; 1] ;

2. as) = (х) S С2 (0; т( 1)] ;

3. 0 < т(х) < а: , г € (О; 1] ; т(0) = 0 .

Задача Дарбу. Найти функция? и(х, у) , удовлетворяющую в области D волновому уравнению

Си — /(г, у) (1)

н граничным условиям (7)

uUb = 0, (2)

и\АС = 0 . (3)

Задача Дарбу является одной из классических краевых задач для уравнений гиперболического типа и хорошо изучена. - Её решение имеет вид

у) = / £(s>y,si»yi)/(®i.yi) dxydyx , D

где 6

^(z, у, xlt уг) = - У - + Vi) О (a j + ух-х- у)+

ОО

.+ J2 [ Э(т1<_11(х + у) - ХХ ■+ У1) в(«! + Vi - rnw(a + у)) -»=1

- в(тр~ч(я - у)-х 1 + у,)х

хв(х,+й-тН(г-,))]). (4)

Поэтому мы ограничимся проверкой условий Л и В. В качестве множества гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи Дарбу выберем

C*(D) = {и{х,у) б C\D),| и\лз = и|л<? = 0} .

В §2 доказано, что оператор L0 с областью определения C'(D), действующий по правилу Lau = Си, замыкаем в пространстве Di(D).

Теорема 6 Для задачи Дарбу (1) — (S) выполнены условия Л и В теоремы 1 при М = C^{D) и если в качестве оператора К взять интегральный оператор с ядром (4).

В третьем параграфе найден сопряжённый к К оператор К* и построена краевая задача, решение которой имеет вид оператора К", применённого к правой части уравнения (1). Эта задача была введена в работе Т.Ш.Кальменова и М.А.Садыбекова и является одной из разновидностей задачи Дирихле. В качестве пространства гладких функций, "удовлетворяющих граничным условиям (ci) этой задачи выберем

G¡(D) = {«(а, у) € С73(А) П С2(Д) П Сф \ {(0; 0)}),

г = 1, 2,..., | и\лв = = и\АС = 0; и, Си G L-¡(D)},

где подобласти j4¡, 1?, области D определены как

Ai : {(х + у; х-у) \х> я»И(1); у < m^l)},

Bi ■ {(х + у;х - у) \ х < mW(l); у > n»W('l)}.

В §3 показано, что оператор Lq с областью определения C¿(D), действующий по правилу LqU — Си, замыкаем в пространстве Za(L>).

Теорема 7 Для задачи Дарбу (£, d) выполнены условия Л и В теоремы 1 при М = Cl(D) ы с оператором К* .

В качестве пространства гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям обычной задачи Дирихле положим

Ol(D) = {и(х, у) € C\D) I и\лв =* uUc = ulsc = 0} .

Через L¿ и L¿0 обозначим замыкания дифференциальной операции С, первоначально заданной соответственно на

и С^ДХ)). Доказало, что Ьа, ^ Ь^. Таким образом, задачи Дарбу и Дирихле ("обычная") не являются "опера-торно" сопряженными. В то же время эти задачи являются сопряжёнными по Лагразжу.

В четвёртом параграфе рассматривается задача Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения

Си = + - /(х,у), 0 <т < 1. (5)

В двумерной плоскости {(я,т/)} рассмотрим ограниченную область D, граница которой состоит из кривых

АВ : {(х;О) | 0 < х < 1},

£ /С

где 0 < А < 1 фиксированное число, а к •

тп+2

з '

Задача Дарбу. Найти функцию u(s,у), удовлетворяющую уравнению (5) и граничным условиям {щ)

«Цв = 0, и\Ас = 0.

Пространство CP(D) определено так же, каж н в случав волнового уравнения. Показано, что оператор £0 с областью определения С¿(D), действующий по правилу L0u = Си, замыкаем в пространстве Х3(2>).

Доказано выполнение условия Л (называемого плотной разрешимостью) для задачи Дарбу. В качестве множества M выбрана линейная оболочка системы функций

Показано, что эта система полна в Li(D). Решение задачи Дарбу при /(s, у) = Фр <г(х, у) найдено в явном виде. Используя явное выражение для решения задачи Дарбу легко проверить, что оно принадлежит

Пятый параграф носит вспомогательный характер. В нём приводится вывод основной формулы метода abc применительно к уравнению

■КХу)«— +"«•»» + р(®. 1/)«» + q(s, + r(x, y)u = f(x,y),

которая затеи применяется к области D к уравнению (5). Полученные выражения для интегралов по границе области D используются далее в §6, §8 .

В шестом параграфе получена априорная оценка

-н -ь li^lii,^) ^ ЛГП^К^С^) С6)

(Ai > 0 - некоторая постоянная, не зависящая от tz) для всех функций и(х,у) € Эта оценка обеспечивает

выполнение условия В" теоремы 4. Оценка (6) получена методом abc в соответствии со стандартной схемой.

В седьмом параграфе рассматривается задача Дирихле для уравнения (5). .Соответствующее пространство гладких функций определено как

<%(£>) = {u(z,j/) € Л &(Êi) п Сф \ {(0/0)}),

» = 1,2,..., | и\АВ = и\вс = и}лс - 0, CuÇ X3(D)},

где через Д и 5, обозначены подобласти области И, аналогичные соответствующим областям в случае волнового уравнения. Отметим, что условие и £ £3(2)) не входит в определение пространства С%{0) : это значительно усложнило бы рассуждения §7. Вместо этого мы предположим, что С%(Ю) С Ь2{П). Это включение доказано в §8. Основной результат §7 — плотная разрешимость задачи Дирихле:

Теорема 8 Множество М — {£« | п 6 плотно о

В восьмом параграфе получена априорная оценка

+ И»^5^«.!!«!,) + II®'«» 112,(0) <

<С(сг)||>Си1)1з(Л) (7)

для функций и(®,у) £ С ¿(В). Оценка (7) справедлива для каждого а > 0; С(ег) >0 — некоторая постоянная, не зависящая от и. Эта оценка обеспечивает выполнение условия В" теоремы 4, и, кроме того, используется далее при доказательстве интегрального тождества Я&хр&яжа, входящего в условие теоремы 3. Для доказательство, оценки (7) использован метод обе.

В девятом параграфе доказано интегральное тождество Лаг ран ж а :

Теорема 9 Для всех функций и 6 V 6 аы-

полнено равенство

/(¿«V

йхв-у — I и{£у) ¿хс1у .

о о

Отметим, что при доказательстве интегрального тождества Лагранжа существенно используются априорные оценки, содержащие первые производные от и и v. Эти оценхи удаётся получить лишь при дополнительных ограничениях на границу области. При непосредственной проверке условий теоремы 1 такие оценки не используются (см. §2, §3). Это позволяет исследовать более широкий класс задач.

Результаты, полученные в §4 - §9, позволяют доказать сопряжённость задач Дарбу и Дирихле. Для этого непосредственно используются теоремы из § 1.

Я выражаю глубокую благодарность Б. И. Моисееву за постановку задачи и руководство научной работой.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

[1]. Булатов А. В. О построении сопряжённой задачи.— Дифференциальные уравнения, 1995, т.31, N 1, с. 156- 157.

[2]. Булатов А. В. Существование и единственность сильного решения задачи Дарбу.— Дифференциальные уравнения, 1996, т. 32, No 3, с. 1 - 3.

[3]. Булатов А. В. Об одном методе исследования сопряжённости краевых задач для уравнений в частных производных'гиперболического типа.— М., 1996.— 23 с.— Рукопись представлена ин-том пробл. управления РАН. Деп. в ВИНИТИ 27.05.96 No 1712 - В96.

За r.HJTup М.ипч.