О сопряженности задач Дарбу и Дирихле для уравнений гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.956.32

БУЛАТОВ Александр Вячеславович

О СОПРЯЖЕННОСТИ ЗАДАЧ ДАРБУ И ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Моисеев Е. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Романко В. К. кандидат физико-математических наук Косовец А. А.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита состоится «22» 1996 г. в \*\

часов 30 минут на заседании Диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 68Ь .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан " О'КЯаХф-Э- 1996 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета.

доцент у^Г) В. М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Разрешимость краевых задач с давних пор вызывает большой теоретический и практический интет г. Существование и единственность классического решения основных краевых задач для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов изучались ещё в XVIII веке. Эти вопросы актуальны и в настоящее оеия.

Решения некоторых из этих задач были найдены в явном виде. При этом выяснилось, что решение может иметь особенности в некоторых точках, т. е. может не быть классическим. Вместе с тем решение адекватно описывает изучаемое явление и потому представляет интерес» Такие решения принято называть обобщёнными. В работах К.О.Фридрихса, С.Л.Соболева, О.А.Ладыженской и многих других математиков были предложены многочисленные строгие определения обобщённого решения, доказаны соответствующие теоремы существования и единственности. Обобщённые решения играют важную роль и в вычислительной математике.

Одиим из указанных подходов является понятие сильного решения (М.И.Вишик, Л.Хермандер, Ю.М.Верезанский и др.). Сильная разрешимость некоторых краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов второго порядка изучалась A.M.Нахушевым и его учениками.

При исследовании сильной разрешимости краевых задач важную роль играет понятие сопряжённой задачи. Так, наличие априорной оценки для решений двух взаимно сопряжённых задач влечет за собой существование и единственность сильного решения этих задач.

Мм я задачи Дарбу в области без отхода от характеристики в качестве сопряжённой задачи можно взять задачу, сопряжённую по Лагранжу (обе задачи однозначно разре-•шимы). Однако для задачи Дарбу в области с отходом от характеристики этого сделать нельзя, поскольку задача, сопряжённая по Лагранжу (задача Дирихле), некорректна.

В работе Т.Ш.Кальменова и М.А.Садыбекова 1 была предложена модифицироваш!ая задача Дирихле для двумерного волнового уравнения

в области с отходом от характеристики и доказана её сопря-. жёнкость к задаче Дарбу. В диссертации М. А. Садыбе-кова 3 этот результат обобщён на случай произвольного уравнения гиперболического типа с гладкими младшими членами

—и«* + -uya+ a(x,y)ux + Ь( х, y)u„ + с(х, y)u - f(x, у) ,

а тажже на случай уравнения Лаврентьева-Вицадзе. Аналогичный результат для параболо-гиперболического уравнения был получен М. С. Салахнтдиновым и А. С. Берды-шевым 3.

^Кальмеяов Т.Ш., Садкбехов М.А. О оадаче Дкржхпе я нелегальных краевых оадалах для волнового ур&вненяя.— Даффереицгальяые уравнения, 1990, т. 26, No 1, с. 60 — 65.

аСадыб€1Сов М.А. Краевые оадалв в областях с отходом от х&рактерястххж доя уравнений гяиербоажчесхого ж смешанного т*по» второю пораджа-— Две. ... д-ра. фжз.- мат. науж.— Ташкент, 1993.

3Салах>тдхжов М.С., Бердышев A.C. Краевые оадачи дня лараболо-гжлербопятесхого уравяеяхя в облает* с отходом от х&ражтеряс-гжхж.— ДАН Россия, 1992, т. 327, No 3, с. 303 — 305.

Цель работы Создание общей схемы исследования сопряжённости краевых задач. Доказательство сопряжённости задач Дарбу и Дирихле в области с отходом от характеристики для вырождающегося гиперболического уравнения. Исследование сильной разрешимости указанных задач.

Научная новизна В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказаны однозначная сильная разрешимость и сопряжённость задач Дарбу н Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения в области с отходом от характеристики.

2. Предложена общая схема исследования сопряжённости краевых задач.

3. Предложены методы исследования сильной разрешимости краевых задач с использованием сопряжённой задачи я плотной разрешимости.

Общая методика исследования Для исследования сильной разрешимости краевых задач используется схема, изложенная в §1. Проверка соответствующих условий для конкретных краевых задач производится с помощью метода abc, а также посредством решения задачи в явном виде (сведение х интегральному уравнению) для специально подобранного множества правых частей.

Практическая ценность Предложенные в работе методы могут быть применены к исследованию однозначной сильной разрешимости и сопряжённости разнообразных краевых задач, в том числе для дифференциально-функциональных, интегро-дифференциальных уравнений к т. д.

Апробация работы Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством академика В. А. Ильина, профессоров А. А. Дезина и Е. И. Моисеева; на семинаре поп руководством профессора Б. И. Моисеева; на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ.

Публикации Все результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3]. :

Структура и объём работы Диссертация состоит из 9 параграфов. Объём работы — 111 машинописных страниц, список литературы состоит из 32 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом параграфе изложена общая методика исследования сопряжённости краевых задач. Используется поня-

1С ми •»

тие операторной сопряженности, приведенное в монографии Т.Ш.Кальыенова, которое состоит в следующем.

Пусть fi — ограниченная область в JRn. Краевой задачей называется пара (£, В), где С — некоторая дифференциальная операция (её порядок обозначим через s), а В — набор граничных условий. При этом будем предполагать, что определено пространство C'B{Ci) гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям В.

В пространстве £2(П) определим линейный оператор L0 с областью определения D(L0) = C|(f2) , действующий по правилу L0u = Си. Его замыкание обозначим через L. Тахим образом, каждой краевой задаче поставлен в соответствие линейный оператор, действующий в пространстве Две краевые задачи называются сопряжёнными^

если соответствующие им операторы являются сопряжёнными.

Предлагаемый подход к исследованию сопряжённости краевых задач основан на следующих двух утверждениях.

Теорема 1 Пусть для краевой задачи {С, В) выполнены условия

Л: Существует плотное в .£з(П) множество М функций / , для каждой из которых найдется такое и £ С'в{£1), что Си = /;

• В: Существует линейный ограниченный оператор К : = ¿з(^) такой, что для всех

и £ Сд(С2) справедливо равенство и = К(Си). Тогда соответствующий краевой задаче {С, В) оператор Ь обратим и Ь~х = К .

Теорема 2 Пусть для краевых задач и (С?, В^)

выполнены условия Л и В теоремы 1, причём соответствующие операторы К являются сопряжёнными : Кх — (Л"з)*. Тогда эти краевые задачи являются сопряжёнными.

Если решения двух краевых задач получены в явном виде, то для исследования их сопряжённости следует непосредственно применять теоремы 1 и 2. Однако проверить условия этих теорем можно и в том случае, когда решения задач неизвестны. Соответствующие теоремы доказаны в §1. Перечислим здесь наиболее важные из них.

Теорема 3 Если для двух краевых задач (С\, Вг) и (С?, В?) выполнены условия Л и В и для всех и б ы у ^

СдДП) справедливо интегральное тождество Лагранжа

(Сги, и) = (и, £аг/) , 7

то соответствующие зтим краевым задачам операторы К являются сопряжёнными.

• Теорема 4 Если для -краевой задачи {С, В) выполнено условие Л и условие

В*: И| < с|(£и|| для всех и € Св{£1) (с некоторой постоянной с > 0, не зависящей от и), то выполнено условие В .

Теорема 5 Пусть краевые задачи (С}, Вх) и (С2, Во) являются сопряжёнными. Тогда краевые задачи (.С2 Ч- а(х')Е, В2) ■и 4- а(х)Е, х?э) являются сопряжёнными при любой функции а{х) Е ¿»(О)

Указаны приложения полученных результатов к: исследованию сильной разрешимости краевых задач, в частности, к спектральной задаче.

В §2 - §3 доказаны однозначная, сильная разрешимость и сопряжённость задач Дарбу и Дирихле для волнового уравнения. Аналогичные результаты были получены ранее в уже упомянутой работе Т. Щ. Кальменова и М. А. С&ды-бекова. Отметим основные отличия результатов §2 - §3 от указанной работы.

1. В этой работе доказательство сопряжённости задач Дарбу и Дирихле опирается на априорные оценки, содержащие первые производные от рекгения, которые получены при дополнительных предположениях о границе области. В §2 - §3 эти оценки не используются. В частности, это позволяет исследовать случай касания дуг АС и А'В, а также

*а(х)Е — дифферепцкальнал операция нулевого порядх^ с кооффжцяеязож а(х).

случай касания АС и прямой {ж = —у} (обозначения см. ниже).

2. В §2 - §3 предложен алгоритм нахождения граничных условий задачи, сопряжённой к задаче Дарбу.

Второй параграф посвящен исследованию задачи Дарбу для волнового уравнения в двумерной области D с отходом от характеристики, ограниченной кривыми

АВ : {(г; 0) | 0 < х < 1} ,

ОВ:{(х;х-1)\т{1)2+1 <х<1},

АС : {(г;г/) | х + у = т(г - -у), 0 < х - у < 1} .

Введём следующее обозначение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [а; ¿] и а < f(x) < Ь при всех я. Через обозначим к — кратную композицию функции

/(а), т.е. /И(») = х, = /(/М(®)), fc = 0,1.....

Функцию, обратную к /(ж) обозначим .

Относительно функции т(х) будем предполагать, что

1. m(x) € С3[0; 1] ;

2. в(я) = т^ф € С2(0; т(1)] ;

3. 0 < тп(х) < х , г € (0; 1] ; тп(0) = 0 .

Задача Дарбу. Найти функция? и(х, у) , удовлетворяющую в области D волновому уравнению

Си = —ию + UyV = f(x, у) (1)

н граничным условиям (7)

«Ub = 0 , (2)

«Ьс = о- (3)

Задача Дарбу является одной из классических краевых задач для уравнений гиперболического типа и хорошо изучена.-Её решение имеет вид

"С®. У) = / <£Е1С*У1 ,

о

где 6

У\) = ~ У ~ Ж1 + Уь) в(х1 +Ух~ х ~У)+

оо

. +[ -V у) - X! + Уд) ©(X! + У1 - т'*'(х + у)) -

»=1

- ©(т1*-1^® - у) - X! + У!) X Х©(х1 + у1-т"(=-у))])- (4)

Поэтому мы ограничимся проверкой условий Л и В. В качестве множества гладких функций, удовлетворяющих граг ничным условиям задачи Дарбу выберем

С*ф) = {и{х, у) € С2(Я) | и\АВ = и\л6 = 0} .

В §2 доказано, что оператор £0 с областью определения действующий по правилу £0и — Си, замыкаем в пространстве

Теорема 6 Для задачи Дарбу (1) — (3) выполнены условия Л и В теоремы 1 при М — СЦ^И) и если в качестве оператора К взять интегральный оператор с ядром (4).

в(ж)=11, *>0

В третьем параграфе найден сопряжённый к К оператор К* и построена краевая задача, решение которой имеет вид оператора К*, применённого к правой части уравнения (1). Эта задача была введена в работе Т.Ш.Кальменова и М.А.Садыбекова и является одной из разновидностей задачи Дирихле. В качестве пространства гладких функций, 'удовлетворяющих граничным условиям (с£) этой задачи выберем

С1Ф) = {«(«, у) € С2(А) П С\ВС) П Сф \ {(0; 0)}),

¿=1,2,..., | и\лв = и\вс = и\лс = 0; u, Си е L2(D)},

где подобласти A¡, B¿ области D определены как

Ai : {(х + у;х-у) | * > m«(l); у < т^(1)},

Bi : {(х + у, х - у) 1 г < тМ(1); у > щМ(1)}.

В §3 покыано, что оператор L0 с областью определения Cj(D), действующий по правилу LqU = Си, замыкаем в пространстве L7(D).

Теорема 7 Для задачи Дарбу (С, d) выполнены условия Л и В теоремы 1 при М = С1(2?) и с оператором К* .

В качестве пространства гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям обычной задачи Дирихле положим

С1оФ) = {«(«, у) е с*ф) I и\АВ и\лс = и\во = 0}.

Через L¿ и L¿„ обозначим замыкания дифференциальной операции С, первоначально заданной соответственно на

С%(0) и СЦИ). Доказано, что £4 ф Ь^. Таким образом, задачи Дарбу и Дирихле ("обычная") не являются "опера-торно" сопряжёнными. В то же время эти задачи являются сопряжёнными по Лагранжу.

В четвертом параграфе рассматривается задача Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения

Си = -(-у)ти„ + и^ = /(х, у), 0 < т < 1. (5)

В двумерной плоскости {(я, у)} рассмотрим ограниченную область £>, граница которой состоит из кривых

АВ : {(х;0) | 0 < х < 1},

АС:{(Х,у)) 0<*<1±А ,-1±4Ь^ = 0>,

£ Л ~ л к>

С В : {(х; у) | < х < 1, * + ^^ = 1}>

2 к

где 0 < Л < 1 фиксированное число, а к =

Задача Дарбу. Найти функцию и(х,у), удовлетворяк>-щую уравнению (5) и граличныи условиям (7)

и)лв = 0, и\АС = 0.

Пространство О^(О) определено тал же, как и в случае волнового уравнения. Показано, что оператор Х0 с областью определения действующий по правилу = /Си, замыкаем в пространстве Х3 (.£>).

Доказано выполнение условия Л (называемого плотной разрешимостью) для задачи Дарбу. В качестве множества M выбрана линейная оболочка системы фунхций

Показано, что эта система полна в L^(D). Решение задачи Дарбу при /(ж, у) ~ Ф^ч(х,у) найдено в явном виде. Используя явное выражение для решения задачи Дарбу легко проверить, что оно принадлежит

Пятый параграф носит вспомогательный характер. В нём приводится вывод основной формулы метода abc применительно к уравнению

+ V^ + р(х, у)^ -+ q(x, y)by + г(х, у)и = f(x, у),

которая затем применяется х области D и уравнению (5). Полученные выражения для интегралов по границе области D используются далее в §6, §8 .

В шестом параграфе получена априорная оценка

Ni!,(i»+ikhi,(d)+IKIIUd) < m^wUo) (в)

(M > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от и) для всех функций п(х,у) € G*{D). Эта оценка обеспечивает выполнение условия В" теоремы 4. Оценка (6) получена методом abc в соответствии со стандартной схемой.

В седьмом параграфе рассматривается задача Дирихле для уравнения (5). Соответствующее пространство гладких функций определено как

С1Ф) = Мх, у) € С2(Л.) п <73(Д) П сф \ {(0; 0)}), 1=1,2,..., J и)лв = и)вс = и]лс = 0, £uela(D)},

где через А, и В% обозначены подобласти области D, аналогичные соответствующий областям в случае волнового уравнения. Отметим, что условие tx € £3{D) не входит в определение пространства C%(D) : это значительно усложнило бы рассуждения §7. Вместо этого мы предположим, что Cj(fi) С Х3(£)), Это включение доказано в §8. Основной результат §7 - плотная разрешимость задачи Дирихле :

Теорема 8 Множество M = {£u | u 6 C%{D)}- плотно в

La(D).

В восьмом параграфе получена априорная оценка

для функций u(x,y) G Gl(D). Оценка (7) справедлива для каждого <7 > 0; С(сг) >0 — некоторая постоянная, не зависящая от и. Эта оценка обеспечивает выполнение условия ЕГ теоремы 4, и, кроме того, используется далее при доказательстве интегрального тождества. Лагранжа, входящего в условие теоремы 3. Для доказательства оценки (7) использован метод abc. ,

В девятом параграфе доказано интегральное тождество Лагранжа :

Теорема 9 Для всех функций и 6 v € ¿иФ) вь»-

полиено равенство

dxdy = I u{£v) dxdy . D D

Отметим, что при доказательстве интегрального тождества Лагранжа существенно используются априорные оценки, содержащие первые проиэвоцные отии», Эти оценхи удается получить лишь при дополнительных ограничениях на границу области. При непосредственной проверке условий теоремы 1 такие оценки не используются (см. §2, §3). Это позволяет исследовать более широкий класс задач.

Результаты, полученные в §4 - §9, позволяют доказать сопряжённость задач Дарбу и Дирихле. Для этого непосредственно используются теоремы из §1.

Я выражаю глубокую благодарность Е. И. Моисееву за постановку задачи и руководство научной работой.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

[1]. Булатов А. В. О построении сопряжённой задачи.— Дифференциальные уравнения, 1995, т.31, N 1, с. 156- 157.

[2]. Булатов А. В. Существование и единственность сильного решения задачи Дарбу.— Дифференциальные уравнения, 1996, т. 32, No 3, с. 1 - 3.

[3]. Булатов А. В. Об одном методе исследования сопряжённости краевых задач для уравнений в частных производных гиперболического типа.— М., 1996.— 23 с.— Рукопись представлена ин-том пробл. управления РАН. .Деп. в ВИНИТИ 27.05.96 No 1712 - В96.

Sar. ZU. Тчр iO. нпу.