Краевые задачи в областях с отходом от характеристики для уравнений гиперболического и смешанного типов второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1>Г6 0.1

] 5 НОИ 1&&&ДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

САДЫ БЕКОВ Махмуд Абдысаметович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТЯХ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент 1993

Работа выполнена в Казахском химико-технологическом институте, город Шымкент.

Научный консультант: член-корр. HAH Республики Казахстан, доктор физико-математических наук, профессор Т.Ш.КАЛЬМЕНОВ.

Официальны^ оппоненты: член-корр. АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Ш.А.АЛЩОВ; доктор физико-математических наук, профессор Е.И.МОИСЕЕВ; доктор физико-математических наук, профессор А.П.СОЛДАТОВ.

Ведущая организация: Новосибирский государственный университет.

Защита состоится " Н-С vSCoft^b 1993 года в часов на заседании специализированного совета Д OI5.I7.2I в Институте математики им. В.И.Романовского Академии наук Республики Узбекистан по адресу: 700143, Ташкент 143, ул. Ф.Ходзнаева 29.

С диссертацией мошо ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан

года.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

Актуальность темы. Известно, что в основе математических моделей многих явлений, имеющих место в жидкой среде, и таких явлений, как сверхзвуковое и околозвуковое течение газов, а также в основе моделей ряда других процессов механики лежат уравнения в частных производных второго порядка гиперболического и смешанного типов.

Задачи Гурса и Дарбу вместе с задачей Кош и смешанной задачей являются основными локальными краевыми задачами для уравнений гиперболического типа второго порядка о двумя независимыми переменными.Именно задача Дарбу получила существенное обобщение и развитие в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов. Эта теория в силу ее прикладной и теоретической важности и благодаря исследованиям Ф.Трикоми , С.Геллерсгэдта ,М.А.Лаврентьева , А.В.Бицадзе, Ф.И.Франкля, К.И.Бабенко, И.Н.Векуа стала одним из центральных разделов современной теории уравнений в частных производных. Среди работ, посвященных краевым задачам для уравнений гиперболического и смешанного типов особо следует отметить работы А.В.Бицадзе , в которых изучен целый ряд важных краевых задач, в двумерном и пространственном случаях, которые стимулировали исследования в этом направлении и привлекли к этой тематике многочисленных математиков.

Значительный вклад в теорию уравнений гиперболического и смешанного типов внесли исследования А.М.Нахушева.К.Фридрихса, П.Лакса-Н.Филлипса, К.Моравец, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова, В.Н.Врагова, В.Ф.Волкодавова. Среди работ, посвященных методике постановки корректных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов важное место занимают работы А.М.Нахушева, Т.Ш.Кальменова и М.Отелбаева .

В теории уравнений с частными производными гиперболичес-•кого и смешанного типов краевые задачи с данными на всей границе области служат примером некорректно поставленных задач. Однако многие весьма важные задачи безмоментной теории оболочек, движения жидкости во вращающемся сосуде, некоторые случаи безвихревого течения идеального газа в сопле приводят к задаче Дирихле для уравнений гиперболического и смешанного типов.

Решение задачи Дарбу для волнового уравнения с данными на двух нехарактеристических прямых содержится еще в известной монографии Э.Гурса и достаточно подробно описано в монографии А.В.Бнцадзе. К началу сороковых годов задаче Дирихле для уравнения струны были посвящены работы Дж.Адамара, А.Губера, Д.Бургина, Р.Дюффина и Ф.Джона, содержащие ряд результатов по разрешимости и единственности решения соответствующей неоднородной задачи. В конце сороковых годов Р.А.Александряном была рассмотрена задача на собственные значения. В последствии задача с косой производной для системы, эквивалентной уравнению струны, была впервые исследована С.Л.Соболевым и развита Н.Н.Вахания. Ю.М.Березанским указаны области, в которых имеет место соответствующее энергетическое неравенство и поэтому задача Дирихле оказывается слабо разрешимой.

В пооледнее время интенсивно изучаются локальные краевые задачи для гиперболических уравнений в областях с нехарактеристической границей. Отметим прежде всего работы С.С.Харибегаш-вили, результаты которого наиболее близки по тематике к первой главе нашей диссертации, а также работы 3.0.Мельника, М.Е.Лер-нера , А.С.Бердышева .

Исследования по краевым задачам для уравнений смешанного типа в области с отходом от характеристики берут свое начало с основополагающих работ А.В.Бицадзе и.К.И.Бабенко. Ими исследо-

вана обобщенная задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и для уравнения Геллерстедта при некоторых ограничениях геометрического характера на границу области. Позже в работах В.В.Коврижкина , А.П.Солдатова , В.Н.Врагова эти ограничения были существенно ослаблены. Особо отметим результат А.П. Солдатова, который доказал корректность обобщенной задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, не накладывая никаких ограничений геометрического характера на границу эллиптической ч'асти области.

Исследованию краевых задач для уравнений смешанного эл-липтико-гиперболического и параболо-гиперболического типов, близких по тематике ко второй главе нашей диссертации, посвящены работы Т.Ш.Кальменова, К.Фридрихса, К.Моравец, М.Протерра, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Дкураева, Е.И.Моисеева, А.Г.Кузьмина, В.А.Елеева, Н.Ю.Капустина, А.С.Бердышева и других математиков. Из всех этих исследований, в частности, следует некорректность задачи типа Дирихле для уравнений смешанного типа в смысле обычных (регулярных) решений.

В отличие от теории разрешимости, спектральные вопросы задач для уравнений гиперболического и смешанного типов являются малоизученными. Отметим, что общеизвестные методы (в частности, абстрактная спектральная теория линейных операторов), являющихся мощным инструментом при изучении эклиптических операторов, оказываются малоприспособленными в применении к краевым задачам для уравнений гиперболического и смешанного типов в о0лаоти, часть которой совпадает с характеристическим конусом. По этой причине многие актуальные проблемы уравнений гиперболического и смешанного типов требуют специальных исследований и привлечения новых средств и методов. Одними из таких задач, в частности, являются вопросы спектра и сильной разре-

шимости локальных и нелокальных неэллиптических задач. Систематическое изучение спектральных вопросов уравнений смешанного типа начато сравнительно недавно с работ Т.Ш.Кальменова, Е.И.Моисеева, С.М.Пономарева. В работах Т.Ш.Кальменова также доказана полнота собственных функций наоамосопряжэнной краевой задачи со смещением для волнового уравнения. Насколько нам известно,-до сих пор не было примера несамосопряженной задачи для уравнения Лаврентьева-Еицадзе в области, гиперболическая часть которой является характеристическим треугольником, обладающей полной системой корневых функций.

В случае граничных задач для уравнений гиперболического и смешанного 'типов при исследовании задач в слабом смысле возникают существенные затруднения при выяснении отношения между обобщенными и классическими решениями и, как следствие, отсутствие доказательства единственности решения, отсюда однобокое исследование задач. В связи о атим важное значение приобретает вопрос: при каких условиях слабые решения являются классическими. В более точной постановке, коцца обобщенной решение Ы граничной задачи для уравнения может быть приближено

последовательностью классических решений, в том смысле,

что ип —* Ы и 1_Иг, ~' в некоторой метрике, как правило, по норме 1_ 1 . Обобщенные решения, обладающие последним свойством называют полусильными. Если же каждый элемент последовательности Ып ^ ( для уравнений второго порядка), то такие решения называют сильными. Понятия сильных и полусильных-решений тесно овязано с замыканием в г дифференциальных операторов; соответствующих краевым задачам.

Принципиальные, известные к настоящему моменту, результаты. по темам, близким к рассматриваемым.в настоящей диссертации, и весьма исчерпывающая библиография содержится в монографиях

Ф.Трикоми, А.В.Бицадзв, Л.Берса, М.М.Смирнова,. М.С.Салахитди-нова, Т.Д.Джураева, А.М.Нахушева, Е.И.Моисеева, Т.Ш.Кальменова.

Цель работы. Основными целями работы являются:

1) Постановка и исследование корректно поставленных, гра-

■ ничных задач для двумерного гиперболического уравнения в области с отходом от характеристики, в том числе задач Дарбу и Дирихле; доказательство сопряженности задач Дарбу и Дирихле.

2) Исследование однозначной разрешимости обобщенной задачи Трикоми и задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области с отходом от характеристики; доказательство сопряженности указанных задач.

3) Исследование спектральных вопросов краевых задач для уравнения гиперболического и смешанного типов в областях, не-допускающих метод разделения переменных.

Общая методика исследования. Исследуемые краевые задачи эквивалентно редуцируются к интегро-функциональным уравнениям либо к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом некар-лемановского ^типа. Используются, как известные методы: теория регулярных расширений линейных операторов в гильбертовом пространстве, теория- сингулярных интегральных уравнений, теория функциональных уравнений, методы комплексного анализа и априорных оценок; так и новые методы. В частности, предложен метод, позволяющий- устанавливать базисность системы корйевых функций нелокальных краевых задач для волнового уравнения и уравнения Лаврентьева-Бицадзе, в областях, не допускающих метод разделения переменных.

Научная новизна. Основные.новые научные результаты:

I. Доказана корректность краевой задачи Дирихле для гиперболического уравнения в плоской области внутри характеристического треугольника. Обоснована сопряженность задач Дарбу

и Дирихле. Полученные результаты в определенном смысле имеют законченный характер.

2. Сформулированы нелокальные граничные задачи нового типа для гиперболических уравнений. Одно из краевых условий в этих задачах связывает значение функции на отрезке характеристики уравнения со значением предела функции в специальной угловой точке по специальной подпоследовательности.

3. Найден 1фитерий сильной разрешимости одного класса краевых задач типа Трикоми в области с отходом от характеристики и установлена зависимость корректности этих задач как

от углов подхода эллиптической части границы к линии изменения типа уравнения, так и от геометрических характеристик гиперболической части области.

4. Найдены новые условия однозначной разрешимости краевой задачи М (обобщенной задачи Трикоми) и впервые доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Установлено, что задачей, сопряженной к задаче М , является задача Дирихле. Указан класс единственности решения задачи

М без ограничений геометрического характера на границу области.

Б. Доказана полнота и базисность Рисса корневых функций одного класса нелокальных краевых задач со смещением для волнового уравнения и для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в областях, гиперболическая часть которых совпадает с характеристическим треугольником и не допускает метод разделения перемен--ных. Впервые указана несамосопряженная граничная задача в нетривиальной постановке для уравнения смешанного типа второго порядка, обладающая полной системой корневых функций.

Теоретическая и практическая ценность.Результаты работы представляют прежде всего теоретический интерес. Они могут быть применены к исследовании других краевых задач и их спектров для широкого класса дифференциальных уравнений в частных производных, а также к изучению математических вопросов газовой динамики, теории распространения волн, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. Помимо самостоятельного интереса в первую очередь, исследования по гиперболическим задачам являются подготовительными при изучении уравнений смешанного типа.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научных семинарах академика РАН

B.А.Ильина, академиков АН РУз.М.С.Салахитдинова и Т.Д.Джураева,

»

член-корр.АН РУз.Ш.А.Алимова, члвн-корр.АН Туркм.М.М.Мередова, проф.Е.И.Моисеева, проф.В.Н.Врагова, членов-корреспондентов HAH РКаз. М.Отелбаева и Т.Ш.Кальменова; обсуждались в личных беседах, с профессорами А.А.Дезиным, А.М.Нахушевым, А.П.Солдатовым,

C.С.Харибегашвили, В.Ф.Волкодавовым.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата, а также в 9 тезисах докладов на научных конференциях, список которых приведен в диссертации. Из совместных работ приводятся те их части, результаты которых принадлежат автору.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, где дается краткое содержание работы и трех глав, разбитых на 18 параграфов. Нумерация формул (утверждений) - тройная: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер параграфа, а третья - на номер формулы (утверкдения) в нем.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

Глава I. Краевые задачи в области о отходом от характеристики для гиперболического уравнения.

Первая глава состоит из шести параграфов и в ней исследуются краевые задачи в области с отходом от характеристики для линейного гиперболического уравнения

1_и = ихх - иуу + аЫд+ Ьиу*си ^(хд^) (ол)

Пусть .О.с - конечная область, ограниченная отрезком АЬ'-О^ЗСН оси у =0 , а при у <0 - гладкой кривой АС.' у=-^(сс); О&Х^С. (У(0)~0 ) и отрезком характе-

ристики Е)С: Х-У уравнения (ОЛ). Будем предполагать,

что О, Ь е са(а), с еС4(Д).

Задача Дарбу. Найти решение уравнения (ОЛ), удовлетворяющее условиям

^АЬШ"0'

Задача Дирихле. Найти решение уравнения (ОЛ), удовлетворяющее условиям

и|А»и*си»с"а

г

Через СП) обозначим пространство С.Л.Соболева со скалярным произведением (' , и нормой II ' II [ , ^г(0.)5Ц(а), а через - часть области -О. , для

которой Х-у>£ Обозначим Н£ (-П.) весовое про-

странство функций с нормой

С.--Ни С

Очевидно, что Нц (о.) при С4 < ¿г.

В области £2. рассмотрим ломанную 1ч с началом в точке С , состоящую из отрезков характеристик уравнения (0.1) со счетным множеством вершин, лежащих последовательно на А Б и А^ Через обозначим множество функций и е\Х/1 (П),

удовлетворяющих условиям (0.2), а через XV* - множество функций, принадлежащих (О.) П С (Пе) П С1 (ЛП-\ К.) Для всех £ >0 , первые производные которых ограничены в ,0.\К и могут иметь в точке А особенность первого порядка, и удовлетворяющих краевым условиям (0.3).

Функцию и 6 1_г(£1) называют сильным решением задачи Дарбу, если существует последовательность Ып ё такая, что ип и 1_ип сходятся в соответственно к и и "Р

Решение уравнения (0.1), принадлежащее 11/* назовем квазирегулярным решением задачи Дирихле. Функцию и 6 1.г(£\) назовем полусильным решением задачи Дирихле, если она есть предел в норме ЦСП) последовательности Кп£АС (П.) такой, что 1_и„ сходится К { В

Относительно кривой

АС предположим, что - дважды

непрерывно дифЗ^еренцируемая и функции X V (х) и ОС -- монотонно возрастают; О < У (о) <4 и > О , ОС > О.

В первом параграфе главы рассматривается задача Дарбу (0.1), (0.2). Вообще говоря, корректность задачи Дарбу - ранее известный результат: регулярная разрешимость задачи следует из результатов С.С.Харибегашвили, сильная разрешимость задачи при дополнительном условии 04 У следует из работ В.В.Ковриж-

кина и В.Н.Врагова. Однако полное доказательство нигде не опубликовано и для полноты изложения доказыется следующий результат.

Теорема 1.1.1. (а) Для любой регулярное решение

задачи Дарбу (0.1)-(0.2) существует, единственно, принадлежит классу

сЧЛ) и для всех £ > - У удовлетворяет неравенству

и Ии * С

(0.4)

(б) Для любой ■/* € существует и единственно сильное

решение задачи Дарбу (0.1)-(0.2). Это решение принадлежит классу С (о.) Я (Х1) Оля всех С>-4 и удовлетворяет неравенству (0.4)

Из этой теоремы, в частности, следует, что задача Дирихле является некорректной в смысле сильного решения. Однако, если расширить класс функций, в котором ищется решение задачи ( например , в смысле квазирегулярного или полусильного решений ), то, как мы показываем в §§ 1.2-1.3, решение задачи Дарбу - не единственно, а задача Дирихле оказывается корректной. Сразу отметим, что указанное расширение класса решений происходит, в главном, за счет отказа от непрерывности решения в точке Д а не за счет оникения его гладкости внутри области.

Во втором параграфе главы рассматривается задача Дирихле (0.3) для волнового уравнения

гихх- иу^ (О.Б)

Показывается существование и единственность квазирегулярного и полусильного решений задачи; доказывается критерий непрерывности производных решения задачи Дирихле внутри области, откуда следует , что для плотного в [_г {-О-} линейного многообразия функций £ решение задачи Дирихле (О.Б)ДО.З) будет принадлежать классу С1 (.О.).

В третьем параграфе, основываясь на результатах §1.2, ио-следуется корректность задачи Дирихле (0.3) для общего линейного гиперболического уравнения (0.1). Сформулируем основной результат параграфа.

Teopeua I.3.I. (а) Для любой feC'fc) квавирегулярное решение задачи Дирихле (0.1),(0.3) существует, единственно и удовлетворяет неравенству

П1-1 П,^ (0.G)

для всех I >0.

(б) Для любой существует и единственно полуси-

льцое решение задачи Дирихле (0.1), (0.3). Это решение принадлежит классу Loa Ö^-) ^ С (Д с ) для всех €>0 и удовлетворяет неравенству (0.6).'

В §§ 1.2, 1.3 обосновывается, что задачи Дарбу и Дирихле являются сопряженными краевыми задачами.

Через [_ обозначим 'замыкание в 1_Ь(!П.) дифференциального оператора, заданного равенством'(0.1) на линейном многообразии

W , а через L+ - замыкание в La(Tl) дифферен- . циального оператора, заданного на А С1 (Л) выражением

Ltu=uürijw-(au)E-(feu)y+cu = f (о.?)

Операторы L и L+ '- плотно определены; из теорем I.I.I и I.3.1 следует, что их области определения состоят из сильных решений задачи Дарбу и полусильных решений задачи Дирихле соответственно, существуют вполне непрерывные операторы. и L + f определенные на всем L г С^-) •

Теорема 1.3.2. Оператор L+ совпадает с сопряженншл к оператору L в L2 Cd).

Следствие. Задачи Дарбу (0.1), (0.2) и Дирихле (0.7), (0.3) являются сопряженными краевыми задачами. Задачи Дарбу и Дирихле - волътерровы.

Следующий, четвертый параграф главы посвящен описанию всех регулярных расширений полумшшмального оператора 1_0 (где |_0 - замыкание в Оч^-) дифференциального оператора, заданного на линейном многообразии функций из С , удовлетворяющих условиям (0.3) ) в случае О с ОС. ^ .

Определение. Оператор 1_ называется регулярным расширением оператора /с , если выполняющая условия:

(а) ¿„с ¿С С , то есть д (¿„) С Ы1) С СсШ - ¿.10 при НО и ы =и где !)(') - область определения._

(б) - имеет ограниченный обратный оператор /_ ' , определенный на всем (£1).

В этом параграфе показано, что все корректные граничные ¡задачи определяют регулярные расширения и поэтому задача описания всех регулярных расширений в терминах граничных условий является важной. Класс всех регулярных расширений оператора |_0 обозначим 11_ | . Отметим, что для абстрактного описания достаточно знать Кег г{и: и £ Ь (1-»),

5 О J и один элемент из -При этом, одному и тому

же регулярному расширению • вообще говоря, соответст-

вует целый класс корректных краевых условий вида Г^ и = эквивалентных друг другу. При описании в терминах гра-

ничных условий мы указываем только один представитель этого класса. Следует отметить, что проверка: является ли наперед заданное условие краевым условием некоторого регулярного расширения - представляет собой трудную задачу. Однако применение метода регулярных расширений позволяет находить новые

корректные постановки задач.

Основным результатом параграфа является описание регулярных расширений |Ц| с гладкой областью определения

1>а)с °

Тоореыа 1.4.3. (а) Если /_ € и Ъ(1.) с (-О-),

£ > о , то существует линейный ограниченный оператор к ,

О ^ в у

отображахщий (0,О и (о, ->) такой, что любой элемент удовлетворяет краевым условиям (0.2) и

{ЕЛ)[к.и{еЛ4'-к[иШ1

(0.8)

где С - единичный оператор, а [оЛ)} - последовательность точек из .О. , сходящихся к точке А ' }

Х-1Г'Оп],0*1*1, а=0'*)/ (1 + *); 9,Ц)бЬС.

б) Обратно, если к - линейный ограниченный оператор из I(0,4) в Со, О , то сужение I. оператора ¡-о на подмножество фунщий'из ¡) ) I) И^ (О.) , . удов-

летворяющих условиям (0.2) и (0.8)-, является регулярным расширением оператора ¿-0.

В этом же параграфе конкретным выбором оператора Ь. показана регулярность некоторых ранее рассмотренных задач, в том числе задачи Дарбу (0.5), (0.2) и задачи Дирихле (0.5), (0.3).

Теорема 1.4.3 приводит к рассмотрению краевой задачи совершенно нового типа. Пусть теперь опять V (х)- произвольная гладкая функция и СС+У(ос), X-V(<е) - монотонно возрастают. Обозначим через ел*) - последовательность точек из ,

сходящихся к точке А : (Т) = [х+ у = О* (г), У = а"(0,),

а $ х & * , где а = а СО, ап Со) - о [апн Сс)], а°(х)=т;

Э0Сс) е ЬС . Пусть к - линейный ограниченный оператор из (О и) в Ф{ Со; О-

Задача £> ^ Найти решение уравнения (О.Б), удовлетво-рящее краевым условиям (0.2) и

(Е*О[{¡¡д,и(е,(х))] *I [и(е.(г))], ск<г<ч,

где £ - единичный оператор.

■ Пусть -111 ■ - линейное многообразие функций и 6 Н'Дд), для которых существует обобщенная по О.Л.Соболеву смешанная производная = 4 € (-О.) . Решение уравнения

(0,5), принадлежащее М£ при некотором £ ,-назовем обобщенным решением уравнения (О.Б).

Отметим, что в зависимости от выбора оператора Л , решение задачи может не принадлежать никакому классу,"лучшему" по гладкости, чем Н£ (XI) , С>0 , даже при с С, (-Г1.) . • Поэтому в данном параграфе доказывается корректность задачи лишь в смысле обобщенного ( почти всюду ) решения, а вопросы сильной и'полусильной разрешимости задачи не рассматриваются.

Теорема 1.5.1. Для любой ■£■€ ¡.¿(¡П) существует и единственно обобщенное решение и (х,У) задачи $ | . Это решение принадлежа! классу ¿/ £ /// (р) Л С I) Ь„ (¿1) и удов-

летворяет неравенству (0.6) ? О о.

В чаотном олучае, когда оператор к совпадает о оператором умножения на число: (х), задача 8 £ совпадает с задачей , исследованной в § 1.2.

Задача Навгш решение уравнения (0.6), удовлетво-

ряющее краевым условиям (О.Б) и

Ли {ъЛ)) + Ы)Ъти(еп(хЛ=о,

п-мо

где I ; Л е С.

Отметим, что при с( = 0 и задача совпадает

с задачей Дарбу и Дирихле соответственно.

Теорема 1.2.5. (а) Для любой существует единст-

венное нвазирегулярное решение Ц задачи и оно удовлет-

воряет неравенству (0.6).

(б) Для любой те

ил) существует единственное полусильное решение задачи . Это решение для любого С > ° принадлежит классу (И) О С /) (Х1) и удовлетворяет неравенству (0.6).

(б) Задача - самосопряженная, если и только если

Л

(г) Задача 5«/ является волътерровой краевой задачей, если и только если

Л (-1 - Л) = О

В § 1.6 формулируется один аналог краевой задачи со смещением А.М.Нахушева для волнового уравнения в области с отходом от характеристики. Пусть теперь 1-4 , то эсть

, точки О и С совпадают, а отрезок характеристики (¡)С -отсутствует; 0С + У(х) и х-Г(х) - монотонно возрастают. Через Г обозначим кривую, задаваемую уравнением у = -У (х) ) О 4 ОС г Л.

Задача ^У Найти решение уравнения (0.5), удовлетворяющее краевым условиям У¡д^ -О и

где В0 (Ь) и 0-1 - точки, пересечения с кривой Г характеристик Х~у и Х + у = ( соответственно} 0„ , е С.

Теорема 1.6.1. Решение задачи 5 у единственно если и только если 0о 0 у . При выполнении этого условия: (а) для любой

/б с*СИ)

существует единственное регулярное решение задачи и оно принадлежит ; (б) для

любой -р С 1_2 (.-Г!) существует единственное сильное решение водами ,5-у , оно принадлежит классу удовлетворяет неравенству |и|4« сШо ; (в) задача является волыперровой краевой задачей, если и только если-0-о 0-1 = О ; (г) задача Зу является самосопряженной краевой ваданей, если и только если |0-о|-1 Q-.il .

Глава 2. Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области с отходом от характеристики.

Вторая глава диссертации состоит из семи параграфов и в ней исследуются краевые задачи в области с отходом от характеристики для- уравнения Лаврентьева-Бицадзё

Пусть XI с К - конечная область, ограниченная при кривой ^ с концами в точках

А Со, о) и В и, о)

, а при

^ < о - гладкой кривой АС : *)=-ТЯ5*) , О < ос * I ( "У(р)= О , ) , и отрезком характеристики

ВС : ^=00-1 , ¿¿ifc.il уравнения (0.9). Относительно кривой предполо-

жим, что 6 - кривая Ляпунова и оканчивается сколь угодно малой длины дужками

ААл

и В ^ А некоторых окружностей, обращенных вогнутостью к области XI ^ =-£2 Л ->° 1 , а внутренние по отношению к XI ± углы в точках А и & (обозначим их через и соответственно) отличны от нуля; в частности, А А^ и 6ч могут быть прямолинейными отрезками. Кривую & с указанными выше свойствами будем называть кривой класса : б £ . Через соС.^"}

обозначим конформное отображение области -О., на полукруг I 2 - < I < 4 , Зго > О такое, что отрезок Л Ь переходит в себя и и>(о) = 0 , и)60 = Л .

Первый параграф главы посвящен исследованию сильной и полусильной разрешимости одной локальной краевой задачи в области с отходом от характеристики.

Задача И< . Найти решение уравнения (0.9), удовлетворяющее краевым условиям

и[в=0, ич|дС <оло>

Краевые задачи такого типа были впервые сформулированы и исследованы Т.Ш.Кальменовым, который при помощи найденного им аналога принципа экстремума А.В.Бицадзе доказал однозначную разрешимость задачи в классе регулярных решений. Отметим, что в случае, когда кривая А С совпадает с характеристикой ЗС + у = 0, задача 14 < является задачей Трикоми, сильная разрешимость которой исследована в работах Т.Ш.Кальменова и А.Б.Базарбекова в случае симметричных контуров

¿>€ £ • Заметим также, что в постановке задачи допускается случай совпадания точек Ь и С - случай I = •{

Относительно кривой АС предположим, что £ С'СЬ,?];

ОС + - монотонно возрастает;

при 0<Х<

< .В случае, когда = -I (случай УОО=0 ) и У'(-0 = --( дополнительно потребуем существование таких чисел С>0, &>0, что в некоторой окрестности точки ОС - А имеет место-оценка

Г1 < < + * г

Через W и обозначим множества функций, удовлет-

ворякшщх краевым условиям (0.10) и принадлежащих классу и в

и и с С'&О Л Сг(а2) (] с'(о. и ас) а с (Л) , соответственно. Функцию и € Ц(А) назовем сильным (полусильным) решением задачи • , если существует последовательность

(ип| функций 11л 6 и/ (11п € м, ) таких, что Ы„ и л сходятся в и (XI) соответственно к Ы и "Р Здесь и далее

Основным результатом § 2.1 являются следующие теоремы:

Теорема 2.1.2. Задача Л/у однозначно сильно разрешила для любой правой части / С 1-г (-О-) , если и только если выполнены, условия

при I <

Ч и * > при 1 = V (V

при1-Ч, V'(4)>Ч.

Теорема 2.1.3. Для любой / гт (-О) полусильное решение задачи 1*1 ^ существует* единственно, принадлежит классу НУ/(о) О С (О.) и удовлетворяет неравенству ЦЫИ4 £ С /////0.

Таким образом показано, что полусильная разрешимость задачи М< ■ не зависит от геометрических характеристик области, а сильная разрешимость задачи" (в отличие от результатов Т.Ш.Кальменова и А.Б.Базарбекова по задаче Трикоми в симметричных областях) по разному зависит от углов подхода о( и Р в точках А и Ь , а также зависит от геометрических характеристик гиперболической чарти области. В этом же параграфе построен пример, показывающий существенность требования 6 е 0 Более точно, показано, что если 6 £ ¿о .то задача о сильной разрешимости не решается в терминах углов подхода кривой 6 к отрезку

А'Ь -

Следующие четыре параграфа главы посвящены исследованию корректности обобщенной задачи Трикоми ( названной в работах А.В.Бицадзе задачей И ) и задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. (0.9).

Задача М Найти решенью уравнения (0.9), удовлетворяющее краевым условиям

ы|б1МС--0. (О.Ю)

Задача Дирихле. Найти решение уравнения (0.9), удовлетворяющее краевым условиям

и1б1Мсшьс=0- (0Л1)

Относительно кривой АС предположим, что ОС +• У (&) и СС- ЧТО*) - монотонно возрастают. Тогда в характеристических переменных ^ = Х-у уравнение кривой АС может быть

записано в виде ^ = 0 (7) .Пусть О (ц) £ С'Го.-в^ а (ос) ОС, ОС^О.

При исследовании задачи М наибольшую трудность представляет доказательство единственности ее решения. А.В.Бицадзе неоднократно указывал на важность доказательства корректности задачи М , накладывая на кривые б и АС как можно меньше ограничений геометрического характера. Наиболее полный результат в этом направлении принадлежит А.П.Солдатову.

Теореыа (А.П.Солдатов ). Пусть кривая В удовлетворяет условию Ляпунова, а кривая Л С - неравенствам 0 е й'(о)<-1 и О (к) £ ОС О'(ос), О ± СС ¿1 . Тогда любое решение одно-

родной задачи М иа класса С (-О) О С '(-О-) > допускающие обращение своей производной в точках Д и Ь в бесконечность порядка ниже единицы, тождественно равно нулю.

Из этой теоремы, в частности, следует некорректность постановки задачи Дирихле в классе регулярных решений. На этот

факт, по видимому, впервые было обращено внимание в работах А.р.Еицадзе.

Мы исследуем однозначную разрешимость задачи M и задачи Дирихле при некоторых ограничениях на кривые 6 и АС .которые, в том числе, могут и не удовлетворять условию А.П.Солдатова.

Через W обозначим линейное многообразие функций из класса U C С'СРч) П Cî(Hi)AC4^\(AUbc})nCe[û)) О

удовлетворяющих краевым условиям (ОАО); а через - линейное многообразие функций из класса Це C'fn^) f) С 1 (-0_.,\ К) 1}

первые производные которых могут иметь в точке 4 особенность первого пфядка и удовлетворяющих условиям (0.11). Здесь К -ломаная со счетным числом звеньев, определенная в первой главе.

Функцию' U € W , обращающую уравнение (0.9) в тождество, называют регулярным решением задачи И • Функцию U Р W* обращающую уравнение (0.9) в-тождество, назовем квазирегулярным решением задачи Дирихле. Функцию U ê Lj ^Cl) назовем полусильным решением задачи M ( задачи Дирихле ), если существует последовательность l^h] функций Uh С W (U* € W* ) такая,что Un и

Lu, сходятся в L^^-O-) к U и ~f соответственно.

Сформулируем основной результат §§ 2.2, 2.4, 2.5.

Теорема 2.5.1. Пусть 6> G ¿t0 и кривая АС такая, что С»'(о)Ч ; Ci(o) -0 и Q(x)<T при ХФО ; и выполнено одно иа следующих трех условий:

о-««;

или

или

оЧ*)*^ , О^ОС^

_L_ . УДО ftofofxtiFs-toM

o'(x) W'(Q(IJ\) Livlx) J ï-iv(a(oc)J ( o^ cc-î-i;

где ft = 1 г,tu и -У < т <-^р -У при Ы ^ */г .

Тогда: (а) Для любой / полу аильное решение

задачи М существует, единственно, принадлежит классу U € Wf (D-) f) СС(3.) , Ос f < Vv и удовлетворяет неравенству. И Ulli & С /////„.

(б) Для любой -f е С(£1г) квазирегулярное решение задачи Дирихле существует, единственно и удовлетворяет неравенству II U //^ f ¿С // для всех £ > О

(в) Для любой -f С 1_г (&) полусильное решение задачи Дирихле существует, единственно, принадлежит классу /V/^Qj/J fiC(si\ {а]) и удовлетворяет неравенству HuHit ¿с "

"О )

для всех t > О.

В пятом параграфе главы обосновывается, что задача М и задача Дирихле являются сопряженными краевыми задачами. Через LM и Lj обозначим замыкания в дифференциальных

операторов, заданных выражением (0.9) на IV и W* соответственно. Операторы Lм и Lj - плотно определены ( так что 1*1*-

существуют Lм и L^ ), их области определения состоят из полусильных решений задач М и Дирихле соответственно. При выполнении условий теоремы 2.5.1. существуют обратные операторы L м и Lj , определенные на всем и вполне неп-

рерывные .

Теореыа 2.5.2. [L^

T-L $ и

А , то есть

задача М и задана Дирихле являются сопряженными краевыми задачами.

Следствие. Операторы LM и L ^ образуют, фредгольмову пару. Задача М и задача Дирихле - фредгольмовы.

В § 2.3 доказывается единственность решения задачи М в специальном классе функций, не накладывая на кривые б" и

АС

никаких ограничений геометрического характера. Единстве-

нность решения доказывается в класое

Теорема 2.3.1. Пусть бе ¿Сс и кривая АС такая, что 0<-а'(р)<1 ;а(0)-0 ; О(х)<0С. при Осс Тогда суще-

ствует такое число 0* , что решение задачи М единственно в классе Ив (-0-) для всех © £

■ В § 2.6 диссертации формулируется один аналог известной краевой задачи со смещением А.М.Нахушева для уравнения Лаврен-тьвва-Вицадзе в случае области о отходом от характеристики и доказывается корректность етой задачи в смысле регулярных и полусильных решений. Относительно функции Х(<х) здесь предполагается, что 0С+У (эс) и Х-У(х) - монотонно возрастают, У(о) = у(-0-О ( У(х) € Сг Го, -(] ( примером такой функции может служить У(ос)=а$1и Лх , где о<а< Ул ). В данном случае точки С и Ь совпадают. Обозначим через Г дугу, опи-оываемую уравнением У = ~У(&), О¿£¿<1 . Через ©0 (0 и ©-Г СЛ) обозначим точки пересечения кривой Г с характеристиками и 0С+ соответственно.

Задача. МБ Найти решение уравнения (0.9), удовлетворяющее краевом условиям =О и

(0.12)

зде с/ _ произвольное действительное число.

Отметим, что при с/г0 задача совпадает с задачей М^ , рассмотренной нами в § 2.1.

Известный принцип экстремума А.В.Бицадзе применительно к задаче М 3 формулируется следующим образом.

Леша 2.6.1. Положительный максимум и отрицательный минимум регулярного решения уравнения

удовлетворяют/его краевому условию (0.12), достигается лить на кривой Q

Из этой леммы, очевидно сразу следует единственность регулярного решения задачи M.S .

Сформулируем основной результат параграфа. Теорема 2.6.1 (а) Для любой П С* (£1^)

регулярное решение задачи М S существует, единственно и удовлетворяет неравенству Hull.; * с /////„.

(б) Для любой / £ /.¿^О) существует единственное полу- ■ сильное решение задачи М 5 . Это решение принадлежит классу П С и удовлетворяет неравенству llull^ & С II fll0. В следующем параграфе, § 2.7 сформулирована нелокальная задача типа задачз! Бицадзе-Самарского для уравнения (0.9) в области с отходом от характеристики и доказана ее корректность в смыоле регулярных и полусильных решений.

Через Ь обозначим здесь длину дуги 6 , а через . и А < - точки на б с координатами дуги 5 - и.

S = t-8^ соответственно, для некоторых > О . Пусть 6( некоторая кривая, целиком лежащая в области , за исклю-

чением концов, принадлежащих строго внутренностям отрезков АД., и В ; а функция 9 (&) е С4 [Sf ,l-8z] отображает 6$- = * 6 \ ¡AA<Ubft,} диффеоморфно на Ь,

■ Задача & 5 . НаЮти решениё уравнения (0.$)удовлетворяющее условия.?. (0.12) и

.U|AA,UbB« =0, u(s) = и

Задачи такого типа, когда значение решения на части границы области связывается со значением решения на некотором

многообразии внутри области, на котором уравнение выполняется, называются задачами типа Бицадзе-Самарского. Впервые задачи такого типа для уравнения Лапласа были введены и изучены в работе А.В.Бицадзе и А.А.Самарского. Исследованию корректности постановки задач типа Бицадзе-Самарского для уравнения Лаврен-тьева-Бицадзе в односвязных и многосвязных областях посвящены работы А.К.Уринова.

Сформулируем основной результат параграфа. Теорема 2.7.1. (а) Для любой { е С* (-Q-2.)

существует единственное регулярное решение задачи Ь S и оно удовлетворяет неравенству ы, ? с т..

(б) Для, любой /с 1, (Xl) существует единственное полусильное решение задачи Ь S . Это решение принадлежит классу ; W' (п.) п с (Л) и удовлетворяет неравенству llull^Cllfl

Глава 3. Спектральные вопросы краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов.

Третья глава диссертации"состоит из пяти параграфов и в ней исследуются спектральные свойства краевых задач для волнового уравнения, уравнения Лаврентьева-Бицадзе и для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа первого рода.

В первом параграфе главы доказывается базисность Рисса системы корневых функций общей краевой задачи со смещением для волнового уравнения. Напомним, что базис, получаемый из орто-нормированного Оазиса с помощью ограниченного обратимого преобразования, называется базисом Рисса, или базисом, эквивалентным ортонормированному.

Пусть XI с К 1 - конечная область, ограниченная отрезком АЕ>: 0«ОС£<1 оси у-О и при у <0 характеристиками АС: х + угО и ЬС : ОС-М = волнового уравнения (0.6).

Задача. 5М .. Найти решение уравнения (0.5), удовлетворяющее краевым условиям 011х + & Му |Ле> -О и

и (е. (О) = Ли (е.м), о * Ь (0.14)

где ©„ Н) - ; - "г"), ("О " ^ )О, ^ - произвольные комплексные числа.

Задача является обобщением простейшей краевой зада-

чи со смещением, исследованной А.М.Нахушевым для "Р-О и с неоднородными краевыми условиями. В работах Т.Ш.Кальменова установлен следующий результат: пусть О Ь г О , тогда при о( =0 задача является вольтерровой, а при с< * ■() £ О имеет полную

систему собственных функций в (-- Доказательство основано на продолжении решения задачи в область _0_* .симметричную .О. относительно оси у = 0 и нахождении собственных функций в явном виде в квадрате и .О* методом разделения переменных.

Имеет место следующий критерий корректности задачи ЭМ-

Теорема 3.1.1. Пусть выполнено условие

0-о0[0+°0а - О-««)ь]*о (0Л5)

Тогда для любой "/"С Ь г (XI) существует и единственно сильное решение задачи 5 М. Это решение принадлезкит классу Ц// С^Х) ^ Л С^П) и удовлетворяет неравенству Ци II^ * С Ц-f.il„ Вели условие (0.15) не выполнено, то решение задачи 5М - не единственно.

Из этой теоремы следует, что оператор L, соответствующий задаче, обратим и - определен.на всем ^(-П)

И вполне непрерывен. Поэтому опектр оператора 1_ ^ состоит только иэ собственных значений.

На основании предложенного нами нового метода установления беэионости корневых функций задач, не допускающих метод разделения переменных, доказан следующий результат.

-Теорема 3.1.2. Задача БМ при о(~0 является волътер-ровой краевой задачей, а при с1 Ф О система собственных и присоединенных функций задачи полна и образует базис Рисса

в 1г{П.) .

В § 3.2 в той же области _0_ для волнового уравнения (О.Б) рассматривания две взаимно сопряженные краевые задачи.

. Задача К;. . Найти решение уравнения (О.Б), удовлетворяющее краевым условиям

Чаь = иО^'О,

■ где точка (с± Л. £ 4/г) лежат, на . АС и имеет координаты

' Ы,-ы) -

Задача.

Г, . Найти решение уравнения (О.Б), удовлетворяющее краевым условиям

. и (х,-0с)--{■ б(*-х) ] [и^иу] (ЫсН, 0*Х*'Д

■ и условиям "склеивания"

и,1 =и«\ , 2с/.

Здесь ^ = Х + у, у - Х.-у, при Ь >0 и в(Ь)-0 при{<0.

Легко видеть, что при Л = О задачи К^ и Г^ совпадают с задачами Кош и Гурса соответственно.

Необходимо отметить результаты работы Т.Ш.Кальменова и

>

Е.Н.Еиярова, в которой" для волнового уравнения (0.5) формулируется задача Т^ с краевыми условиями и - о, и (Э„ (О) = о(и 0-44-/ и доказывается ее корректность

и вольтерровость при Л2 $ -/ . Задача является первым

примером нелокальной, но вольтерровой краевой задачи для уравнения (0.6).

•■ В этом параграфе доказывается, что задачи К^ "и .Г/ обладают при Л >0 следующими свойствами: ...

(а) задача К^ является, локальной краевой ¡задачей, а сопряженная ей задана (задача Г<д ) является нелокальной;

- (б) задача ¡(¿. является сильноразрешимой, а сопряженная задача (задача Г* ) не яВляетая сильноразрешимой

■ (в) задача является локальнойно иеволътерровой

краевой задачей;

(г) задача Кл является нетривиальным примером краевой задачи, система корневых векторов которой неполна в ¿2 (XI) При этом найдены в явном виде' все собственные значения и собственные функции задач К^ л

В § 3.3 формулируется одна краевая задача со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (0.9), доказываются критерий ее корректности и базисность Рисса системы корневых функций задачи.

Пусть XI с Я - конечная область, ограниченная при у?о отрезками прямых ДА,: Х'О, АЛ:У = -<, ЬЬ,» хм , а при V) <0 характеристиками АС: + 0 и ВС:сс-у=-( уравнения Лаврентьева-Бицадзе (0.9). .

Задача. Найти решение уравнения (0.9), удовлетво-

ряющее краевым условиям (0.14), ^и

Ы (о,у) г^ыО.у), их (о> ч) ' у), 0<Ч<<,

где - произвольное комплексное число.

Теорема 3.3.1. Пусть о[ и 'выполнено условие-

(•»-«о О-е^фо, (0.16).

где рь -2 [^Л +11лс{]1 к е 2 . Тогда'для-любой ¿е1г(£1) существует, единственное сильное решение задачи■ 5 I- . Это решение принадлежит классу Л С (-П^) и удовлетво-. ряет неравенству II Ы//, £ С II4II0 • Условие. (0.16) является существенным. В случае нарушения (0.16) при некотором 1> е 2 решение задачи - неединственно.

Из этой теоремы следует, что при условии (0.16) оператор обратим, его обратный оператор 1. определен на всем

пространстве 1_г(.П) и вполне непрерывен. Поэтому спектр может состоять только из. собственных значений конечной кратности. Методом, развивающим мет.од § 3.1 доказан следующий результат.

Теорема 3.3.2. Пусть выполенцы условия теоремы 3.3.1. Тогда система корневых (собственных и присоединенных) функций задачи БЛ полна и образует базис Риссса в 1~2

Насколько нам известно, это первый пример несамосопряженной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лавретьева-Би-цадзе в нетривиальной постановке, имеющей, полную систему корневых функций.

В следующих двух параграфах 3.4 и 3.5 рассматриваются вопросы существования собственных значений двух краевых задач типа Трикоми в области с отходом от характеристики для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа первого рода (линия изменения типа не является характеристикой уравнения).

Пусть XX с. Я1 - конечная область, ограниченная при у >0

отрезками АА„ , А0Е>„, 6„Е>, А г (о,о), А„=(о,-0, В. = 0Д

Ь = О,О) , а при у < О - гладкой кривой АС-' у --У(х),

(где 7 , ¥(о)=01 У (?)=■•/ ), расположенной

внутри характеристического треугольника: О ~ Х + У 4 Х-у ^ и отрезком ВС' у-ХЧ , I - X * характеристики уравнения

, У >0

= ^ М (0.17)

Задача Т< . Найти решение уравнения (0.17), удовлетворяющее краевым условиям

ЧмАА =0, (0-18)

их~ич|Лсг°- (0Л9)

Задача Тг . Найти решение уравнения (0.17), удовлетворяющее краевым условиям (0.18) и

их + ич1 , - о. (0.20)

х "I АС и ЬС

Задачи X и Т, - аналоги задачи (§2.1), сформу-

лированной и исследованной Т.Ш.Кальменовым для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе. Классическая разрешимость задачи была доказана А.С.Бердышевым.

Относительно кривой АС предполагается, что У (х) е С* [о, I] и ЭС+У(.х) монотонно возрастает яри исследовании задачи и Х- У(х) - монотонно возрастает при изучении задачи Т2

Отметим, что в постановке задач допускаются случаи: - случай Ь-О - Тогда АС: у = - ОС - характеристика и задача

(в этом случае и|дс = О ) рассматривалась в работах В.А.Елеева (классическая разрешимость), Н.Ю.Капустина (сильная

разрешимость ) и К.Б.Сабитова ( единственность решения задачи для уравнения с комплексными коэффициентами). — случай £ -. Тогда У (о) - У (-0 = О , то есть точки Ь и С совпадают, и краевые условия (0.19) и (0.20) задаются на всей гиперболической части границы области. В этом случае через Г . о<Зозначим кривую, описываемую уравнением Г-' У =

Для сокращения объема сформулируем здесь одновременно результат по сильной разрешимости задач TJ> .: , И = 2. .

Творена 3.4.I+3.6.I. Для мобой /е L2(£±) существует едия-

- отвенное сильное решение U задачи ~Тп (1 - А 2 ). Это решение принадлежит классу U £ №jYa) Л ^ f-il/] fl/ >o/J fl С (Л) удовлетворяет неравенству Hull, ¿с/////. и представило в виде

U (*.У) = К« *«.У<) f ,(0.21)

/(„ е Сл> А), П =

Отметим, что в ходе доказательства этих теорем ядра -- выпиоываютсяв явном виде через резольвенты некоторых интег-

- ральных уравнений типа Вольтерра второго рода.

Из этой теоремы следует, Что операторы L« и L^ , соответствующие задачам Т^ и Т2 » обратимы; L/ и -определены на всем |_г(-£1). и вполне непрерывны. Поэтому их спектр может состоять только из собственных значений.

Используя представления (0.21), критерий А.Б.Нерсесяна вольтерровооти интегральных операторов Гильберта-Шмидта, результат В.Б.Лидского о совпадении матричного й спектрального следов ядерного- оператора и формулу Гаала вычисления следа ядерного оператора, представийого в виде произведения двух операторов Гильберта-Шмидта, доказываются следующие результаты о существовании собственных значений задач Т, и Tt.

Теорема 3.4.2. Обратный оператор I.* краевой задачи Т, , определяемый формулой (0.21) при я - •/ , Шляется волътзрровым ( то есть вполне непрерывным и квазинильпотеншым).

Следствие. Для любого А € С уравнение Ц и -АIV = Ф однозначно разрешимо при всех 4 € (-О-) . То есть задача не имеет собственных значений.

Теорема 3.5.2. Пусть К ф О . Тогда существует Л 6 С такое, что уравнение = А Ы имеет нетривиальное решение

и е 3) (Ц.

Следствие. Задана 7Г имеет собственные значения.

Отметим, что наиболее интересным, по нашему мнению, является случай ? = ■/ , когда при у < 0 область XI ограничена гладкой кривой Г: у = - У(х)1 03 X £■ ^ / У(о) - V С4-) У (ос) € С , ОС + У (х) и X _ V (х) одновременно монотонно возрастают. Тогда задачи:

Задача "П (Т->) . Найти решение уравнения (0.17), удовлетворяющее краевым условиям (0.18) и

= о (их+и„|г=о)

одновременно являются сильно разрешимыми, а вольтерровость или существование собственных значений задачи целиком зависит только от направления задания производной в краевом условии на кривой Г

В заключение, пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность моему дорогому учителю Тынысбеку Шариповичу Кальме-нову, под влиянием которого сформировались мои математическая культура и вкус, воспитавшего меня со студенческих лет и создавшего все условия для научной работы в последующие годы.

Основные результаты дисоертации опубликованы в работах:

I Садабеков М.А.' О задаче Дирихле для волнового уравнения//'

Дифференц. уравнения, функц.анализ и его прил.- Алма-Ата, КазГУ.-.1988.- С.61-70. &. Садабеков М.А., Кальменов Т.Ш. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения// Дифференц.уравнения.- 1990.- Т.26, JH.- С.60-65. fc. Садабеков М.А.', Егисбаев Н.О. О сопряженной к обобщенной , задаче Трикоми для .уравнения Лаврейтьева-й^цадзе. Рукопись деп.в КазНИИНТИ 25.03.90. JM0I6.- 14с.

4. Садабеков М.А., Тойжанова Г.Д. О спектральных свойствах

одного аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического тйпа//Известия АН КазССР, сер.физ.- мат.наук.- 1990.- JJ8.- С.54-59.

5. Садабеков М.А. О сопряженной'задаче Дарбу//Доклада АН

СССР.-. 1990.- Т.314. JE2.- C.2II-2I4.

6. Садабеков М.А., Бердашев A.C. Об одном аналоге нелокальной

краевой, задачи'со смещением для параболо-гиперболического уравнения в области в отходом от характери-стики//Узбекский матем.журнал.- 1991.- J66.-C.I4-I9.

7. Садабеков М.А.', Егисбаев Н.О. О сопряженной к обобщенной

задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе// Дифференц.уравнения.- 1992.- Т.28, JH.- С.75-81. ■ 8. Садабеков М.А., Тойжанова Г.Д. Спектральные сво'йства одного класса краевых задач для параболо-гиперболического уравнбнйя//Дифференц.уравнения.- 1992.- Т.28, JH.- С.176-179.

9. Садыбеков М.А., Ерканов Н.Е. Критерий сильной разрешимости

одного класса краевых задач для уравнения Лавренть-ева-Бидадзе в области с отходом от характеристики.-Рук.деп.в КазНИИНКИ. 04.02.92, .№3616.- 42 с.

10. Садыбеков М.А., Ержанов Н.Е. Критерий сильной разрешимости

задачи Трикоми для общего уравнения Лаврентъева-Бицадзе.- Рук.деп.в КазНИИНКИ.22.04.92, .№3690.-440.

11. Садыбеков М.А., Орынбасаров Е.М. Базисность системы корне-

вых функций краевой -задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе//Доклады АН России,- 1992.-Т.324, Кб.- С.ПБ2-ЫБ4.

12. Садыбеков М.А., Орынбасаров Е.М. БазисЬость системы собст-

венных и присоединенных функций краевой задачи со смещением для волнового уравнения//Математические заметки.- 1992.- Т.61, вып.Б.- С.86-89.

13. Садыбеков М.А., Сандыкбаев Б.Т. Об одном аналоге краевой

задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области о отходом от характеристики// Известия АН Респ.Казахстан, серия физ.- мат.наук. - 1993.- С.39-42.

ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЧЕКИНГАН СОХ,АЛАРДА ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ГИПЕРБОЛИК ВА АРАЛАШ ТИПДАГИ ТЕИГЛАМАЛАР УЧУН ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛАЛАР.

Диссертацияда олинган асосий илыий натижалар:

1. Текисликда характеристик учбурчак ичидаги со^ада гиперболик тенглама учун Дирихле масаласининг корректлиги исботланган, ^амда Дирихле ва Дарбу масалаларининг узаро ^ушма эканлиги асосланган. Олинган натижалар маълум маънода якунланган.

2. Гиперболик тенглама учун янги турдаги нолокал чегаравий масала-лар урганилган. Бу масалаларда чегаравий шартлардан бири функ-циянинг характеристик кесмадаги 1$ийматини унинг махсус бурчак ну^таларга интилувчи махсус кетма-кетликнинг лимити билан боглайда.

3. Характеристикадан чекинган со^ада бир туркум Трикоми масаласи типидаги чегаравий масалаларнинг кучли ечилишининг критерийси топилган ва бу масалаларнинг корректлиги эллиптик со^а чегара-

.сининг тенглама типи узгариш чизиги билан ташкил 1$илган бурча-гига ^амда со^а гиперболик ^исмининг геометрик хуоусиятига бог-лш^лиги асосланган.

4. Умумлашган Трикоми ( М- масала ) масаласининг бир ^ийматли ечиш-нинг янги шарти топилган ва биринчи бор Лаврентьев-Бицадзе тенгламаси учун Дирихле масаласининг коррект эканлиги исботланган. Умумлашган Трикоми ( М- масала ) масаласига 1£ушма масала Дирихле маоаласи эканлиги курсатилган. Со^а чегарасининг геометрик хуоусиятига боглш$ булмаган '^олда М- масаланинг ягона ечимлар синфи курсатилган.

Б. Тулг^ин тенгламаси ва Лаврентьев-Бицадзе тенгламаси учун со^анинг гиперболик 1^исми характеристик учбурчак билан устма-уст тушувчи ва Фурье усулини ^уллаб булмайдиган соз^ада бир туркум нолокал чегаравий силжишли масалаларнинг илдизли функцияларининг тула ва .Рисс базиси эканлиги исботланган. Биринчи бор иккинчи тартибли аралаш турдаги тенглама учун тула илдизли функциялар системасига эга булган уз-узига цушма булмаган нотривиал чегаравий масала курсатилган.

The new scientific results:

1 ) We have proved, the correctness of the Dirichlet boundary value problem for a hyperbolic equation in a plane domain inside a characteristic triangle. The adjointness of the Darboux and Dirichlet problems has been grounded. In certain sense the obtained results have the complete character.

2) We have formulated the new type of nonlocal boundary problems for hyperbolic equations. In these problems one of the boundary conditions connects the value of a function on a segment of the equation characteristics with the value of the function's limit in the special angle point by the special subcon-sistency.

3) We have discovered the criterion of a strong solution of one class of the boundary value .Tricomy type problems in the domain with the displacement from the characteristics and have established that the correctness of these problems depends both on the approach's angles of the elliptical part of the bound to the line of change of the equation type and on the geometrical characteristics of the domain's hyperbolic part.

4) We have found new conditions of the eigenvalue solvability of the boundary value problem M (the generalized Tricomy problem) and for the first time we have proved the correctness of the Dirichlet-problem for the Lavrentjev-Bltsadse eguation. We have determined that the Dirichlet problem is adjoint to the problem M. The class of the uniqueness of the solution of the problem M without the geometrical character limitation on the boundary of the domain is shown.

5) We have proved the completeness and the Rissa basisnesB of the root functions of one class of the nonlocal boundary value problems with the displacement for a wave equation and for the Lavrentjev-Bitsadze equation in domains, the hyperbolic part of which coinsides with the characteristic triangle and doesn't assume the method of the variables' separation. For the first time we have shown a non-adjoint boundary value problem possessing the full system of the root functions in the non-trivial decision for the second order mixed type equation.