Новые варианты характеристических задач для псевдопараболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА 1. О задаче Гурса.

§ 1. Уравнение третьего порядка.

1.1. Вывод формулы решения.

1.2. О решении в квадратурах.

§ 2. Уравнение четвертого порядка.

2.1. Формулы решения.

2.2. Частные случаи.

§ 3. Уравнение высокого порядка.

ГЛАВА 2. Характеристические задачи типа г,.

§ 4. Задачи для уравнения (1).

§ 5. Уравнение четвертого порядка.

ГЛАВА 3. Задачи с нормальными производными высокого порядка.

§ 6. Задачи типа Г^ для уравнения третьего порядка.

§ 7. Аналогичные задачи для уравнения (2).

Работа посвящена исследованию характеристических задач для уравнении и

1(и) = ихху + аиа + Ъич + сих + йиу + еи = 0

1)

2)

Ц») = иххуу + а^и^ + аХ1ит + аииху + а20ихх + + а02иуу + а10их + атиу + а00и = О где (х,у) - декартовы координаты, а коэффициенты удовлетворяют определенным условиям гладкости.

К видам (1) - (2) относятся уравнения Аллера щ = (аих + Ьих{\ и Буссинеска - Лява

Первое из них встречается при изучении процесса поглощения влаги корнями растений [31], [22, с. 261-262], а второе описывает продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции [26, формула (20)].

Обсуждаемые уравнения исследовались в статьях ШикИРа и М. 81ес1юг'а [24], М.Х. Шханукова и А.П. Солдатова [31], [32], [26], О.М. Джо-хадзе [8]. В частности, в этих работах получено решение задачи Гурса, которую можно считать основной характеристической задачей. Областью определения решения в этой задаче является прямоугольник В={х0<х<х1,

У о < У < л} > а граничные условия Гурса (например, для уравнения (1)) имеют вид

Фо,у) = <р{у\ их{хо> у) = <РАу)> Цх^о) = Их) (3)

Для построения решения авторы развивают классический метод Римана, хорошо известный [1], [2J, [27J, [3], [4J для уравнения и^ + а(х, у)их + b(x, у)иу + с(х, у)и = 0. (4)

При этом, например, для уравнения (1) функция Римана V(x, у; rj) определяется [32] тоже как решение задачи Гурса:

L'(V)- ^ -Ю. -(Ы) + (cV\ +{dV) -eV = 0, (5) exp

J a(%j)dt v 0)(х, Г}),

6)

В свою очередь со(х, 77) есть решение задачи Коши: со^ - Ь(х, ц)(ох + г^со = 0, а>(4,ч) = 0, сох(£г/) = 1.

Доказаны существование и единственность V. Вопрос о явном построении функции Римана указанными авторами не рассматривался. Отметим еще, что А.П.Солдатов и М.Х.Шхануков [26] распространили этот способ на случай аналогичного (1) - (2) уравнения высокого порядка со старшей производной п+пи/3стфп.

В предлагаемой диссертации функция Римана V для уравнения (1) вводится иначе: как решение интегрального уравнения

J л

V(x,y)-\ a(x,r)V(x,t)dT-j [b(t,у)-(х-t)d(t,y)]v(t,y)dt + 17 f у

7) J J [c{t,t)-(x-t)e(t,T))v(t,T) = l.

Решение уравнения (7) существует и единственно [16, с Л54, 164]. Изменяется и сама схема получения решения. Следовательно, можно говорить о новом варианте решения задачи Гурса. Вывод формулы решения существенно опирается на тождество ии - +к^ - +[«к -

- - (ак)х - (ЬЯ)у + - [Ц^ - (М)х + сЖ)]у + (8) установление которого представляет собой эвристическую задачу. Заметим, что идея определять функцию Римана с самого начала как решение интегрального уравнения принадлежит В.И. Жегалову, который вместе с В.А. Севастьяновым [9], [10], [13], [14], [25] развивал ее для пространственных аналогов уравнения (4) ( с некратным дифференцированием по каждой из переменных). Обратим еще внимание на то, что решение V уравнения (7) не совпадает с V - из [24], [26], [31], [32]. Например для решения (7) имеем Д(х,у;х,у) = 1, а в указанных работах (см, предпоследнюю формулу (6))Л(х,у;х,у) = 0.

Только что описанный способ решения задачи Гурса изложен в п. 1.1 §1 первой главы.

Введение функции Римана как решения интегрального уравнения позволило выделить целый ряд случаев, когда эта функция (а, следовательно, и решение задачи) может быть записано в явном виде. Изложению этих случаев посвящен п. 1.2. Отметим, что выделением случаев явной записи функции Римана (для других уравнений) довольно интенсивно ранее занимались несколько математиков из Самары (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Захаров, И.Н. Родионова и др.). Обзор их результатов можно найти в [6],[7].

В § 2 первой главы способ решения задачи Гурса из § 1 распространен на случай уравнения (2).

В последнем, третьем параграфе этой главы предпринята попытка реализовать ту же схему рассуждений для уравнения высокого порядка со старшей производной ¿7**" и / дктдуп. Аналог тождества (8) приобретает при этом 5 довольно сложный вид, но все же его удалось получить. Решение задачи Гур-са строится путем интегрирования указанного тождества, но для этого одно из слагаемых в нем требует преобразования в другую форму, причем установление этой формы оказалось непростой задачей. Для малых т, п удалось прийти к ней аналитическим путем и спрогнозировать ее вид в общем случае. Затем к доказательству указанной гипотетической формулы были применены компьютерные методы. Таким образом, получается некоторый синтез компьютерных методов с аналитическими. К сожалению, компьютерная составляющая ведет к накоплению погрешности при вычислениях, поэтому окончательную формулу решения задачи Гурса можно считать доказанной с точностью до 1СГ6 только для т< 25, п< 25.

Таково содержание первой главы. Здесь нет формулировок теорем существования и единственности, поскольку они известны из работ других авторов. Речь идет лишь о новом подходе к решению задачи Гурса, представляющемся автору диссертации достаточно интересным.

В последующих главах, которые автор считает основными, формулируются и изучаются новые варианты характеристических задач для уравнений (1) и (2).

В главе II речь вдет о задачах, играющих в смысле их постановок ту же роль по отношению к задаче Гурса, какую играет в теории эллиптических уравнений задача Неймана по отношению к задаче Дирихле. Если говорить об уравнении (1), то рассматриваемые задачи получаются заменой в постановке задачи Гурса хотя бы одного из условий (30, (Зг) на первое, а (З3)- на второе из иЛх0 >у) = <рг (у), иу(х,у0) = (9)

Таким образом, одно или два значения из (3) заменяются на значения следующей нормальной производной. Автор называет их задачами типа Ц.

Подобные задачи для уравнения (4) и его многомерных аналогов изуча6 лись ранее. Вероятно, впервые граничное условие такого рода встречается в работе J1.M. Невоструева [23], где речь идет о задаче для уравнения смешанного типа, а ситуация с обсуждаемым условием играет вспомогательную роль для основной задачи. В работах С.С. Харибегашвили [28], [29] изучены в характеристических и нехарактеристических областях для уравнения (4) задачи с граничными условиями вида аих + риу +уи = /. (10)

Очевидно, что на характеристических участках при у = 0 и либо а- 0, ¡5 = 1, либо а = 1, /3=0 (10) совпадают с условиями из задач Г\. Но в общности условия (10) как бы теряются некоторые специфические особенности задач типа Ц. Применяемые в [28], [29] и др. работах С.С. Харибегашвили методы направлены, главным образом, на доказательство теорем существования и единственности. Задачи типа Ц для уравнения (4) изучались в работе В.И.Жегалова [12], где были сформулированы условия на а,Ь,с, обеспечивающие определенный уровень их содержательности, поскольку, например, при а = Ь = с = 0 нормальные производные на характеристиках могут принимать лишь постоянные значения. Применявшийся при этом метод редукции задач типа Г\ к задаче Гурса позволил не только доказать существование решения, но и записать его либо в терминах резольвент интегральных уравнений (в общем случае) либо в явном виде (в частных случаях). При этом сформулированы не только условия однозначной разрешимости, но и разрешимости с точностью до определенного количества произвольных констант. А.Н.Миронов развил методику этой работы в направлении ее распространения на случай многомерных уравнений [17] - [21]. Основной целью главы II является исследование возможностей применения методики работы [12] к задачам типа Г\ для уравнения (1). Как и в случае уравнения (4) эти задачи не всегда имеют смысл. Например, общее представление решений уравнения ихху = 0 имеет вид и = /\(х) + х/2(у) + /3(у) с произвольными /к, где без ограничения общности можно считать, что /}(0) = 0, /2(0) = 0. Требуя выполнения условий 0,= и(х, 0) = 0, и^ (0, у) = со(у), получим /з(у) = 0, (0) = а>(у), /1(*) = 0. Таким образом, <я(у) может быть лишь равной нулю. При этом функция вида лу|П(>>) с произвольной будет решением задачи. Подобные ситуации могут возникать и при отличных от нуля коэффициентах уравнения (1). Таким образом речь, как и в [12], идет о выяснении условий на коэффициенты уравнения (1), обеспечивающих определенный уровень содержательности задач.

Сначала рассмотрены случаи, когда в (3) заменено лишь одно из условий (задачи 2.1-2.3). Выяснено, что тогда соответствующие граничные значения Гурса определяются единственным образом. Например, в случае задачи 2.1 (когда третье соотношение (3) заменено на иу{х,у0) = щ{х)) получено интегральное уравнение Вольтерра для ^(л). Характер его разрешимости зависит от групп условий:

1)а(х,уо)*0;

2)а(х,у{^) ф 0 и выполнено хотя бы одно из тождеств А(х)^ 0, В(х)-хЛ(х) = 0;

3) а(х, >>0) = 0, с2(х, д>0) + е2(х, у0)ф 0.

В первом случае у/{х) записывается через резольвенту указанного уравнения

Вольтерра, а в двух последующих дается явными формулами. Аналогичные результаты сформулированы для задач 2.2-2.3. Затем рассмотрены задачи 2.42.5, когда в (3) заменены два условия. Здесь приходится исследовать на разрешимость уже два интегральных уравнения, а сама картина этой разрешимости приобретает существенно более разветвленный характер. Например, если а(х,у0)ф 0, е(х0,у0)# О, выполнено хотя бы одно из тождеств А(х)г 0, В(х)-хА(х)~0, ¿(х0,у)фО и аеС2+0(П, Ь,с Ь,с1 еС0+1(Лир), то данные Гурса ^ определяются явно и однозначно. Если же е(х0,у0) = 0 при выполнении всех остальных только что указанных условий, то <р, у/ зависят от одной произвольной постоянной.

Второй вариант условий: а(х,у0) ф 0, с(х, у0) ф 0, с1(х0,у) = 0, е(х0,у)фО и ЬеС0+2(Вир), а,е еС0+1(Оир), еС2(р),

1 еС1+0(£Юд), Ь,с еС2+0(1)ид), у/х еС3(#). Здесь редукция задачи 2.4 к задаче Гурса осуществляется явно и однозначно.

Всего выделено по восемь подобных вариантов редукции для каждой из задач 2.4-2.5. Для компактной записи всех этих вариантов в рассмотрение были введены специальные матрицы-строки, элементами которых являются блоки из условий на коэффициенты, обеспечивающих тот или иной характер разрешимости соответствующих задач.

В следующем §5 этой же главы речь идет об уравнении (2). Для него применяется тот же подход. Число вариантов редукции к задаче Гурса может достигать шестнадцати. Все они тоже описаны в терминах аналогичных матриц-строк.

В главе III дается распространение схемы рассуждений из предыдущей главы на случаи, когда хотя бы одно значение из В^ъ^х^у), у0),

ГУ2 , / = 1,2.) участвующих в задаче Гурса заменяются соответственно на Ву+1*и(х,у0), N >2. Здесь к- О, 1, а 5 зависит от уравнения: для (1) 5 = 0, а для (2) 5=0, 1. При этом числа к + N (я+А^) указывают высший порядок производной по х (по у), не исключая возможности участия в постановке задачи производных более низкого порядка. По аналогии с предыдущей главой можно ввести для указанных случаев термин "задачи типа Гдг". §6 этой главы посвящен изучению задач для уравнения (1). Первоначально рассматриваются задачи, в которых одно условие (3) заменяется на производную более высокого порядка. По сравнению с задачами предыдущей главы, здесь дополнительно возникают случаи, когда заменяются либо оба условия Гурса на одной характеристике, либо вообще все условия. Снова выявлены варианты однозначной редукции и случаи появления произвольных констант. Сформулированы три теоремы о достаточных условиях редукции к задаче Гурса. Приведем наиболее простую из них, относящуюся к задаче 3.1 (когда первое соотношение (3) заменено на О"и(х0,у) = <рп(у))'.

Теорема 3.1. Если коэффициенты уравнения (1) принадлежат классу искомых решений и, кроме того, коэффициент при (р{у) в левой части соотношения к , 4^1 -А 1 П-2-2/Н-1 а -Е i

2 П(-1)*Х п-2-2р+% а,;а л\Ох - "'

У))<Р(У) отличен от нуля, и р), у е С"(ч)> то задача 3.1 в терминах резольвент однозначно редуцируется к задаче Гурса.

Здесь а01 = й, ап = Ъ, Я0 = ¥, ^ = ар равен либо 0, либо 1,

Б(п-4,Ь)= I С1^(ь(х0,у)), п~ 4

В §7 способ решения характеристических задач Гдг распространен на уравнение (2).

Заметим, что для более простого уравнения (4) задачи типа Г2 ранее изучались (несколько другими методами) М.П. Котуховым [15].

В заключение сформулируем основные результаты, выносимые на защиту:

- Постановка новых характеристических задач Ц, Гу и исследование вопросов их разрешимости.

- Разработка нового варианта метода Римана решения задачи Гурса для уравнений (1)-(2) и выделение случаев построения функции Римана в явном виде.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах [35]-[45].

Весь материал, по мере его получения, обсуждался на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета, часть доложена на итоговых научных конференциях ЮГУ (за 1997 и 1998г.г.).

Кроме того, были сделаны доклады на конференции, посвященной 100-летию проф. Б.М. Гагаева (Казань, 1997 г,) и на VII межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1997 г.).

1. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.-M.-JL-ГТТИ.-1948.-296 с.

2. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.,Наука,- 1981.-448 с.

3. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики .- 2-е изд. М., "Наука".1982.-336 с.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики .- 3-е изд. М.Наука" .- 1976.- 527 с.

5. Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка снелокальным условием A.M. Пахушева// Дифференциальные уравнения.- 1983.-Т. 19.-№1.- С.163-166.

6. Волкодавов В.Ф., Лернер М.Е., Николаев Н.Я., Носов В.Я. Таблицы некоторых функций Римана, интегралов и рядов,- Куйбышевск. гос. пед. инт.- 1982.-56 с.

7. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы функций Римана и Римана Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. Самара1994 - 31с.

8. Джохадзе О.М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами// Дифференциальные уравнения.-1996.- Т.32.-Ш.- С.523-535.

9. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса// Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа .- Новосибирск: СО АН СССР.-1990.-С.94-98.

10. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве/'/ Дифференциальные уравнения.- 1996.- Т.32.-№10.-С.1429-1430.

11. Жегалов В.И., Котухов М.П. Об интегральных уравнениях для функцииРимана// Изв. вузов. Математика. -1998. 1 .-С.26-30.136

12. Zhegaiov V.l. Relation between the Boundary Values of Goursat Problem andthe Normal Derivatives// Conditionally Well-Posed Problem. TVP Sei. Publ.-1994.-P.346-349.

13. Жегалов В.И., Севастьянов В.И. Задача Гурса в п- мерном пространстве//Редакция СМЖ- Новосибирск, 1997.- 4с,- Деп. В ВИНИТИ 08.07.97, № 2290- В97.

14. Жегалов В.И. О трехмерной функции Римана/У Сиб. матем. журн.-1997.Т.38.-№>5.-С. 1074- 1079.

15. Котухов М.П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных// Изв. Вузов. Математика.- 1996.-№5.- С.59-62.

16. МюнтцГ. Интегральные уравнения.- T.I .-М.,ГТТИ.- 1934.- 330 с.

17. Миронов А.Н. К характеристическим задачам с нормальными производными // Алгебра и анализ: Тез. докл. научн. школы-конф., поев. 100-летию Б.М. Гагаева, 16-22 июня 1997 г.- Казань, 1997.- С. 146-147.

18. Миронов А.Н. Дифференциальные свойства граничных значений задачиГурса (в соавторстве с Жегаловым В.И.)// III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: тез. докл, науч. конф, 22-27 июня 1998 г. 4.4- Новосибирск, 1998.- С. 17.

19. Миронов А.Н. Об одной задаче с нормальными производными на характеристиках // Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы: Сборник научн. трудов междунар. конф. 22-25 сентября 1998 г. Стерлитамак, 1998.- С. 50-51.

20. Миронов А.Н. Задачи типа Гурса с производными в граничных условиях//Казан, ун-т.- Казань, 1998.-15 е.- Деп. В ВИНИТИ 27.11.98, № 3497-В98.

21. Миронов А.Н. О связи граничных значений задачи Гурса с нормальнымипроизводными третьего порядка// Изв. вузов. Математика.- 1999.-№10.-С.23-26.

22. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М., Высшая школа.- 1995,- 301 с.

23. Невоструев Л.М. Задача Неймана для общего уравнения ЛаврентьеваБицадзе /'/ Дифференциальные уравнения.- 1973.- Т.9.-№2.-С.320-324.

24. Randeil W., Stecher М. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation// Proc. Amer. Math Soc. Vol.63.- №1.-1977.-P.77-81.

25. Севастьянов В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка// Изв. Вузов. Математика.- 1997.-№5.- С.69-73.

26. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальнымусловием A.A. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка// ДАН СССР.-1987.-Т.297.-№3.-С547-552.

27. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики .- 5-еизд.- "Наука"-1977.- 735 с.

28. Харибегапшили С.С. Об одной граничной задаче для гиперболическогоуравнения второго порядка // ДАН СССР.-1985.-Т.280.-М6.-С1313-1316.

29. Харибегашвили С.С. Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Тбилиси.- 1986.- 31с.

30. Чуриков B.C., Мащенко И.П. Построение функции Римана для уравненияи^ + ф{х)у/{у)и = 0// Научные труды Краснодарского политехническогоинститута.- 1970.-Вып.30.-С. 19-25.н

31. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка , возникающих при моделировании фильтрации жидкости в noiseристых средах// Дифференциальные уравнения .- 1982.- Т. 18.- № 4,-С.689-699.

32. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравненийтретьего порядка//ДАН СССР.- 1982.-Т. 265.-№6.-С. 1327-1330.

33. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений// ДАН СССР.- 1982.- Т. 267.- №3.- С. 567-570.

34. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решения/7 Дифференциальные уравнения.- 1983.-Т.19.-Ш.- С.145-152.

35. Уткина Е.А. Некоторые видоизменения граничных условий одной задачиГурса// Алгебра и анализ. Материалы конференции, посвященной 100-летию Б.М. Гагаева.- Казань 1997.- С.221-222.

36. Уткина Е.А. Вариант метода Римана для одного уравнения третьего порядка // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой межвузовской конференции, Ч.Ш.- Самара, 1997,- С.32-34. (в соавт. с В.И. Жегаловым)

37. Уткина Е.А, Случаи явного решения задачи Гурса для одного псевдопараболического уравнения третьего порядка // Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды третьей международной конференции .-Саранск.-1998.-С.27. (в соавт. с В.И. Жегаловым)

38. Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении четвертого порядка// Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (1прпш -98), посвященный памяти С.Л. Соболева. Тезисы докладов.- Новосибирск.-1998.- С.42.

39. Уткина Е.А. К характеристическим задачам для псевдопараболическихуравнений третьего и четвертого порядка/7 Казанский ун-т.- Казань,1999.- 31с. Деп. в ВИНИТИ 29.01.99, Ш77-В99.

40. Уткина Е.А. К решению одной задачи Гурса// Казанский ун-т,- Казань,1999.- 35с. Деп. в ВИНИТИ 26.02.99, №578-В99.

41. Уткина Е.А. О явной редукции характеристических задач с нормальнымипроизводными высокого порядка к задаче Гурса// Казанский ун-т.- Казань, 1999.- 27с. Деп. в ВИНИТИ 17.03.99, №818-В99.

42. Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка// Ред. ж. "Дифференц. уравнения".- Минск, 1999.- 13с. Деп. в ВИНИТИ 28.06.99, №2059-В99.

43. Уткина Е.А. Г раничные свойства решений задачи Гурса для одного уравнения четвертого порядка // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды IX межвуз. конф. 25-27 мая 1999 г. Ч.З.- Самара, 1999.-С134-139.

44. Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка// Изв. вузов. Математика.- 1999.- №10.- С.73-76. (в соавт. с Жегало-вым В.И.)