Дифференциальные уравнения со случайными функциями в алгебрах обобщеных случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Белорусский государственный университет

УДК 517.9

Р Г Б ОД

2 5 НОЯ

Пазакович Николай Викторович

деФЕРЕНЦИАаЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СЛУЧАЙНЫМ ФУНКЦИЯлИ В АЛГЕБРАХ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диооертации на ооиокание ученой отепени доктора физико - математических наук

Минск, 1996

Работа выполнена ва кафедре функционального анализа Белорусского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Горбачук М.Л.

доктор физико - математических наук, профессор Смолянов О.Г.

-доктор физико - математичеоких наук, профессор, член - корреспондент АН Беларуси Янович Л.А.

Оппонирующая организация - Вильнюсский государственный университет

Защита оостоитоя 13 декабря 1996 г. в 10 часов на заоедании Совета Д.02.01.07 в Белоруооком государственном университете ( 220050, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 4, Белгосуниверситет, главный корпус, к.206 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгооунивероитета

Автореферат разослан ноября 1996 г.

;.'•'.' Ученый секретарь

'• специализированного Совета, доктор физико - математичеоких наук,

профессор ^ Корзюк В.И.

- 1 -ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Теория распределений Л. Шварца - основной инструмент исследования в современной теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Различные вопросы теории распределений и ее приложений к дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики рассматривались в работах С.Л.Соболева, В.С.Владимирова, М.Л.Горбачука, Ю.В.Егорова, О.Г.Смолянова и других. Существенным недостатком данной теории является то, что она неприменима для решения нелинейных задач. Тем не менее, уже в первых работах П.Дирака, в которых были введены распределения, появилась потребность в умножении распределений. Для математического обосновании произведения использовались различные подходы: метод регуляризации Я.Минусинского, метод, основанный на преобразовании Фурье, В. Амброза, асимптотические функции X. Христова и Б.П.Дамянова и другие.

Решающий прорыв в определении корректного произведет!« обобщенных функций был сделан в работах Ж.Коломбо и его последователей. Важнейшее отличие новых обобщенных функций от распределений состоит в том, что они определяются как клаосы эквивалентности последовательностей гладких функций и зависят от способа аппроксимации. Наиболее обширная из такого сорта алгебр была предложена и изучена Ю.В.Егоровым, общая конструкция построения алгебр обобщенных функций дана А.Б.Антоневичем и Я.В.Радцно,

Вместе с развитием теории обобщенных функций шло развитие теории обобщенных случайных процессов. Так, на основе теории распределений Л.Шварца И.М.Гельфандом создана теория обобщенных случайных процессов'. К.Урбаником предложена своя трактовка обобщенных случайных процессов, опирающаяся на секвенциальный подход Я.Микусинекого. Надо оказать, что несмотря на значимость данных теорий в современной теории олучайных процессов, они не нашли широкого использования в дифференциальных уравнениях со случайными функциями в силу неприменимости их для решения нелинейных задач.

л

— с —

В диссертации на основе алгебр обобщенных .„/нкций Ж.Коломбо и Ю.В.Егорова предлагаются две конструкции алгебр обобщенных случайных процессов и разрабатывается теория исследования решений дифференциальных уравнений со случайными функциями в этих алгебрах. Поэтому тема исследований представляется актуальной и важной.

Связь работы с крупными научными программами, темами.

Диссертационная работа - часть выполненной на . кафедре функционального анализа БГУ теми " Операторные уравнения в функциональных пространствах" ( 1986 - 1990, планы АН СССР и АН БССР, план Минвуза СССР, N 01860060981) и темы " Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных ппростанствах" <!991 - 1995, план АН Беларуси, Республиканская программа в области математики, N 019500553996). Работа была поддержана Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь.

Цель И задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка нового подхода, базирующегося на теории алгебр обобщенных случайных процессов, для исследования решений дифференциальных уравнений со случайными функциями. Данный, подход позволяет исследовать решения не только классических линейных, нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями, стохастических дифференциальных уравнений, но и многих новых задач.

Научная новизна полученных результатов. В работе на базе алгебр обобщенных случайных процессов разработан единый подход исследования решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями и стохастических дифференциальных уравнений.

На основе новых обобщенных функций Ю.В.Егорова и Ж.Коломбо введены обобщенные случайные процессы. Доказано, что множества таких случайных процееоов являются алгебрами.

В алгебре обобщенных случайных процессов по Егорову, которая является новой и для неслучайного анализа, построено пространство обобщенных стохастичеоких дифференциалов. В данном .пространстве выделены подмножества, которые на ассоциированном уровне

соответствуют стохастическим дифференциалам Ито и Стратоновича.

Доказано, что конечными сушами элементов из алгебры обобщенных случайных процессов по Егорову можно аппроксимировать как стохастические интегралы Ито, так и стохастические интегралы Стратоновича.

На основе аппарата алгебр обобщенных случайных процессов выведена классическая обобщенная формула Ито и найдена связь между стохастическими интегралами Ито и Стратоновича.

Введенные обобщенные случайные процеооы являются классами эквивалентности последовательностей классических случайных процессов о гладкими траекториями и зависят от способа аппроксимации. В диссертации на уровне сверточной алгебры дана классификация способов аппроксимации.

В алгебрах обобщенных случайных процессов по Егорову и по Коломбо доказаны теоремы существования и единственности задач Коши, соответственно, для уравнений в обобщенных дифференциалах и для дифференциальных уравнений.

В алгебре обобщенных случайных процессов по Коломбо найдены ассоциированные решения дифференциальных уравнений, зависища от обобщенного случайного процессу Пуассона.

В алгебре обобщенных случайных процессов по Егорову найдены ассоциированные в смыоле Ито и Стратоновича решения уравнений в дифференциалах. Установлено, что при аппроксимациях в сверточной алгебре они совпадают соответственно о решениями классических стохастических дифференциальных уравнений Ито и Стратоновича. Изучен также смешанный случай, который классическими методами принцийиально не может быть исследован. Описаны области Ито и Стратоновича.

Все результаты, приведенные в диссертации, являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы имеют непосредственное приложение к различным вопросам теории дифференциальных уравнений со случайными функциями. Результаты диссертации могут также найти применение в тех задачах физики, химии, биологии, экономики, где в качестве моделей используются стохастические дифференциальные уравнения или нелинейные

дифференциальные уравнения оо случайными функцк лш.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

В диссертации на основе алгебр обобщенных случайных процессов предлагается естественный о позиции неслучайного анализа единый подход исследования всех известных классов дифференциальных уравнений оо случайными Функциями. Данный подход позволяет исследовать решения новых классов дифференциальных уравнений со случайными функциями и находить новы» решения классических. Основные положения, которые выносятся на защиту ооотоят в том, что:

1. Введены и исследованы алгебры обобщенных случайных процессов.

2. Предложена конструкция обобщенного стохастического дифференциала, позволяющая • исследовать области применимости стохастических интегралов Ито и Стратоновича.

3. Доказаны теоремы о разрешимости и единственности решений уравнений в дифференциалах в алгебрах обобщенных случайных процессов.

4. Разработана теория, позволяющая исследовать решения дифференциальных уравнений в алгебрах обобщенных случайных процессов. Предложенные методы применены к исследованию решений ,нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями и стохастических дифференциальных уравнений.

Яичный вклад соискателя. Все приведенные в диссертации основные результаты получены соискателем самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались и обоуадалиоь на III Всесоюзной школа "Понтрягинские чтения " ( г. Кемерово, 1990 г.), на Международной математической конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( г. Тарту, 1990 г.), на VIII Республиканской . конференции " Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей " ( г. Киев, 1991 г.), на конференции математиков Беларуси ( г. Гродно, 1992 г.), на Воронежской веоенней математической школе " Понтрягинские чтения - IV ( г. Воронеж, 1993 г. ), на Меадународной математической

Ъ -

конференции, посвященной 25 - летию Гомельского университета имени Ф. Скорины " Проблемы математики и информатики " (г.Гомель, 1994 г.), на Республиканской научно - методической конференции, посвященной 25 - летию факультета прикладной математики и информатики ( г. Минск, 1995 г.), на Международной конференции " Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление посвященной 90 - летию со дня рождения академика Ф.Д.Гаюва ( г. Минск, 1996 г.), на городских научных семинарах по теории вероятностей под руководством проф. Й. П. Кубилюса ( г. Вильнюо, 1980 - 1985 г.г.), на научных семинарах по функциональному анализу ЕГУ под руководством проф. Я.В.Радыно ( г. Минск, 19Э0 -1996 г.г.), на семинаре Белорусского математического общества (г. Минск, 1996 г.).

ОпубЛИКОВЭННОСТЬ результатов. По теме диссертации опубликовано 25 работ. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1 - 16], приведенных в конце автореферата.

Структура И Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав о аннотациями и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 211 отраниц. Список литературы содержит 134 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении дана краткая характеристика того направления исследований, к которому относится настоящая работа и сформулированы основные результаты диссертации.

В Первой Главе предлагается естественный о точки зрения неслучайного анализа подход исследования решений стохастических дифференциальных уравнений, базирующийся на применении аппарата алгебр обобщенных случайных процессов.

Отличительной особенностью стохастических дифференциальных уравнений является то, что ети дифференциальные уравнения содержат обобщенные случайные процессы типа "белого шума". Классические методы анализа не применимы для иооледования решений подобных уравнений. Для втого разработана специальная теория.

базирующаяся на понятиях стохастических интегралов Кто, Стратоновича и их обобщениях. Тем не менее, многие авторы не отказались от попыток исследования решений стохастических дифференциальных уравнений естественным о позиций обычного анализа образом на аппроксимационном уровне. Известно, что стохастические интегралы Стратоновича аппроксимируются, как правило, обычными интегралами ( Е.Вонг, М.Закаи, Г.Суссман, П.Проттер, Н.Икэда, С.Накао, Ж.Ямато, В.Мацкявичюс и . др.), а интегралы Ито - конечными сушами ( И.И.Гихман, А.В.Скороход, С.А.Мельник, А.П.Юрачковокий и др. ).

В данной главе показывается, что как стохастические интегралы Ито, так и стохастические интегралы Стратоновича могут быть аппроксимированы конечными сушами элементов из алгебр обобщенных случайных процессов. Кроме 1гого, в терминах обобщенного стохастического дифференциала дается описание областей применимости етих интегралов.

Глава состоит из шести параграфов. В первом параграфе приводятся конструкции двух алгебр обобщенных случайных процессов, одна из которых основывается на подходах Ж.Коломбо, вторая - Ю.В.Егорова. Надо отметить, что алгебра по Егорову новая и для неслучайного анализа. Также вводится понятие обобщенного стохастического дифференциала о позиций нестандартного анализа и на языке этого понятия определяются две симметрические области -Ито и Стратоновича.

Рассмотрим множество функций

Гп(1;,и): И х Т х а —► К, !Г ее К,

таких,что

1) , ш любых п с И и г € -Т 1п(1;,(|>) - случайная величина, определенная на полном вероятноотном пространстве (й,Л,Р);

2) для любых п с N Гпи,и)€ С^СЕ) для почти всех и « 0.

Последовательности функций 3?=(Гп(1;,и)) и ) из

данного множества назовем еквивалентными, если существует п0, что для V 4 £ Ти V п > п0 1п( 1;,0) = gn(t,ы) для почти всех

U e 0.

Определение 1.1. Множество классов эквивалентных последовательностей функций вышеприведенного вида обозначим t?(T,0). Элементы множества 9(Т,0) будем называть обобщенными случайными процессами.

Для обобщенных случайных процессов

F(t,u)-[(fn(t,«J))]f 4>(t.U)»[($n(t,U))]

из положим по определению

<х P(t,ü) + р 0(t.u) = [( « fn(t,U) + р 4>n(t,u))J, V ot, р с R; JÜ ?(t,u)- [( J!* rn(t.u))J. V к « И;

dtk ír

P(t.u) f(t,u) - [( fn(t,U) ♦n(t,tt))],-

таким образом, J?(T,0) - алгебра.

Введем еще одну алгебру обобщенных случайных процеооов. Рассмотрим множество функций

ín(t,u): NxTxíl —► IR, Т ce R,

таких,что

1) для V t « Т и V п с IN fn(t,u) - случайная величина, определенная на полном вероятностном пространстве (0,Л,Р);

2) для V п с N fn(t,U) с С"(!Г) в омысле Lp(0,rf,P) для V р*1.

Последовательности функций Р в ( и 0 ■ (йд) из данного

множества назовем ' эквивалентными, если существует üq , что для vt«THVn>n0

fn(t,u) = g^t.u).

для почти всех u « Q.

Множество клаооов эквивалентных последовательностей

- а -

вышеприведенного вида обозначим 9^(1,0).

Несложно убедиться в том, что й) являетоя алгеброй с покоординатными операциями сложения и умножения.

Элементы алгебры 9^(3?, 0) также будем называть обобщенными случайными процессами.

«V

Пусть, далее, К - расширенная прямая, т.е.

К = К / Ы,

где

К «= {(ЗЕд)! V П С N х^с К}, М е {(х^еК: ЗП0 V П > П0 3^=0},

а

5? ■ С г»[(гп)) с К: V (гп)в 1; п=1,2.....а>0),

А* *

Через 9(!Руа), обозначим алгебры обобщенных случайных

М N

процессов Р(г,и) вида

' где г=.[(гп)]с5, а [(Гп(г,и))]с1?(т,0) либо [(уг.и))]«^^,»),

соответственно.

• Определение 1.2. Обобщенный случайный процеос

?(*,н)-[(гп(г,н))]в»(т,о) ( ^(т.о))

ассоциирует классический олучайный процесс, еоли для V (Гп) в Р ' ' сходится при п + « к данному процессу в В Лт) и по вероятности.

Введем на алгебрах 1?(Т,0) и ^(Т.О) понятие дифференциала.

Пусть

- 9 -

н - { й -КО] € к+\ о| гт Ьд-о },

тогда положим по определению

где т,и)=[(Гпи,0)Ш в {^(5,0)), X - С С 3 в 5,

£=((1^)] в Н, иь с?.

Выделим в Н следующие подмножества

8={1геН:11п«о (1/п), п -»■ » },

I - { Ъ. е Н : 1/п « о (1^), п -* « ).

Определение 1.3. Для любого обобщенного случайного процеооа

М N М М N

1 с »(Т,0) (&Ь(Т,0)) дифференциал Р при с Б назовем

обобщенным стохастическим дифференциалом Стратоновича, в при 1г с I обобщенным отохаотичеоким дифференциалом Ито.

Через Р(Т,0)? ^(Ф.О)? ^(Т.О)? г в М,. обозначим

Ы «V

прямое произведение алгебр 9(Т,0), Р(Т,0), »^(Т.О), »^(1,0), соответственно.

Рассмотрим еще одну конструкцию алгебры обобщенных случайных процессов, которая, на наш взгляд, может быть эффективно использована при исследовании обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями.

Пусть См(Т,й), Т е К - векторное проотранотво

- 10 -

вещественнозначных функций un _(t,ü), t e Т, и e ft, q,n « IN, таких, что

1) при фиксированных q,n,t u (t,u) - случайная величина,

Ч

определенная на полном вероятностном пространстве (й,Л,Р);

2) для почти всех и е й при фиксированных q,n u„ _(t,u)

бесконечно дифференцируема по t;

3) для . любого компакта КеТ и любого к=0,1,2,... зз 0«=0(u), m=m((J)>0, з nQ= n^u) с IN такие, что для почти воех u е й

maxi d* u„ „(t,(i))| s 0nm, n > nn. - * q,n

Через Г обозначим множество неубывающих последовательностей in « m(q) таких, что m(q) -*■ + «• при q —*■ + «..

Выделим в Gy(!P,fi) подпространство

N(T,G) = { u„ „(t.u): V КссТ, V k » 0,1,2,... з Cn>0, 3 m(q)el\ q,zi 4

, з rue IN: max l d u„ „(t.u)J s Сл n > nn для почти всех

■ и v i. ч»" ч и

Ы в Q).

■ Положим по определению

С(Г,0) = СЫ(Т,Й)/Н(Т,Й).

Утверздение 1.2. Для почти воех ы е Q пространство GM(T,ß) о

операцией поточечного умножения является алгеброй о дифференцированием, Н(!Р,Й) является идеалом в втой алгебре и фактор - пространство С(Ш,й) обладает естественной структурой алгебры о дифференцированием £>.

Второй параграф посвящен исследованию поведения второй вариации обобщенного случайного процесса броуновского движения. Заметим, что необычность конструкций построения стохастических

интегралов вызвана тем, что вторая вариация траекторий классического процесса броуновского движения на любом отрезке равна длине этого отрезка.

Пусть (0,Л,Р)-полное вероятностное пространство, Т=[0,а], а>0, { - стандартный поток а-алгебр, 5а с А. Всюду в

дальнейшем B(t,ü), t е Т, и s 0 - одномерный стандартный процесс броуновского движения.

Определение 1.7. Обобщенным случайным процессом броуновского

движения назовем элемент алгебры ff(T.O) (^(T.Q)), ассоциирующий

B(t,u), t е I, 41 с О.

Через р(в), в € IR, обозначим неотрицательную функцию

класса 0°°(R), нооитель которой содержится в отрезке [0,1] и Г1

¡ р(в) ds = 1, (1)

J0

a Pn(f) = п р(п в), и s И. В качестве обобщенного случайного процесса броуновского движения рассмотрим элемент алгебры 9(Т,Й) 0?ь(*.в))

B(t.B) ■ [( Bn(t,u))l, (2)

r1/n

где Bn(t,u) = (B*pn)(t,u) = J B(B+t,u)pn(e)de.

Пусть 0»t0<t1< • * ct < tm+1- разбиение отрезка Ф, Xm ■

= mctr(tv- t. ,). Тогда для V t«T существует р » p(t) « И, такое, 1skяп к К-1

что tp í t < tp+v Положим по определению

S*j(t,u) = I [ Bn(tJi,'u)-Bn(tk_1,u)]2+ [ Bn(t,ü)-Bn(tp,U)]2. (3)

Лемма 1.5. Если при п-»», h^ О так, что 1/п = о (ly,

то

ш|] Е [ £|!^,и)-1;]2 —О,

где из представления (1.3). •

Лемме 1.6. Если при п-н»

\ - о (1/п),

то

2

зк^ Е [ 8^.0)] —0. Замечание 1.7. Пусть Ь ■■ [(У^)] « Н, тогда условия лемм 1.5

М N

и 1.6 эквивалентны тому, что к с I, Уг « Б, соответственно.

Следует заметить, что, в том случае,- когда в качестве обобщенного случайного процесса броуновского движения рассматривается выражение, отличное от представления (2), результаты предельного поведения второй вариации могут быть иными.

В параграфах 1.3 - 1.4 исследуется вопрос аппрокоимации отохастических интегралов элементами прямого произведения алгебр обобщенных случайных процессов.

Пусть Б(1;,и)"(В1(1;,и).....Вг(1;,и)), 1; е Ф, и в О - г- мерный

стандартный процеоо - броуновского движения.

(1)[ и(В(8,и)]йВ1(в,и), I « I, I) « Й, 1 = й - (4)

/о

стохастический интеграл Ито по броуновскому движению,

С^К1*) - множество действительных I раз непрерывно ' т*

дифференцируемых на Иг функций, ограниченных вместе со своими чаотными производными до порядка I включительно.

Теорема 1.4. Пусть случайный процеоо (1(^0), 1; « Т,

• о

И е О, - непрерывно дифференцируем по 1; е Т в 1/"(0,.<4,Р), тогда

м

в алгебре ©(Ш,0) найдутся такие обобщенные случайные процессы Г и

л* л» л*

В, что для любых представителей (Гп) е X и ( Вп) «В при п-*», №—»■«> так, что X —»■ О и

- 13 -m/n —*■ О

равномерно по t с Т

ECk|iyVra)[Vtk'u)-Bn(tk_1.u)]-rt ?

Jo

равномерно по t e Т.

Теорема 1.5. Для любой функции u е Og(ff?r>) и I* мерного

стандартного процесса броуновского движения S(t,u) •» = (В1',...,Br(t,u)) найдутся такие влементы u е 9(1^) и

В <= 9(Т,Й) , что для любых представителей (iL.) с ц и

—• 1 -1 у, «V Л

(Вп) = ( (В^.....в£)) е В справедливо неравенство

Е 1 Jl J^^^Vr").....B£<Vl'ü» *

X

«[Bn(tk,w)-Bj(tk_rü)] - Е <I)J «(B1(s.«).....Br(s,u)}x

xdS1(s,u) )2 =s С m/n + 0 motz IV-t,.

J Utean K K_1

если 1/n < т1л |t,.-tv 1|.

Результаты теоремы 1.5 получены совместно о С.П.Сташуленком.

Следствие 1.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.5, Тогда,

если п —<в , m —»■ », *■ О так, что * m

m/n 0, (5)

то '

jy 4 t»

- Е (i)f u(5(s,ü))dBi(e,u) )2 —♦ о.

i=1 Jo . t

Замечание 1.9. В случае, когда t^-t^^hjj, к а 1 ,m, условие

А*

(5) равносильно тому, что h « [ (1^) ] с I. Пусть

(S)|oU(B(8,u))dBi(e,ü), t < ф, в с Q, i ■ TT? - (6)

стохастический интеграл Стратоновича.

Теорема 1-9. Для любой функции и е О^К1*) и г-мерного стан -дартного случайного процесса ^-броуновского движения Б(1;,и)

найдутся такие элементы и е »(К1*) и В е 5(5,0)г, что для любых

представителей (и^) € и и (Бп) е В справедливо неравенство

'ЕлЕ (¿1 ¿1ии^((к_1)^,и)) -

х* 1» ^

- Е (Э) Г и(В(в,и))йВ;'(в,и) \2 * С/п1/3+ 0 п2}!2 + С 11 .

3=1 -»О > 71 71

Следогвие 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.9, тогда, если р —► п —»• «> так, что

1^=0 (1/п),- " (7)

то

■5* * { Д ¿1ив^((к"1)йа-в>) -

* гг 1 Ь

- Е (Б)! и(Б(8,и))с1В')(е,и) Vй -»-0. 3=1 ■'о 1

Замечание 1.10. Условие (7) в следствии 1.2 вквивалентно тому,

что Ь в М^)] в

В разделе 1.5 рассматривается задача аппроксимации

одновременно стохастического интеграла Ито и стохастического

интеграла Стратоновича конечными сушами элементов из прямого

произведения алгебр обобщенных случайных процессов.

Без существенного ограничения общности рассмотрим случай г-=2.

а

Пусть обобщенный случайный процесс броуновского движения В(1;,о) из Р(!Г,0)2 имеет вид:

В «= [(Вп)1 = [ (В^ , В2)],

где В^.и) = (в1*рп)(г,и), В2(г,и) = (в^т.и), рпш из (1), а = Ф(п) р ( Ф(пН ), п с N. Ф : К —*■ К '- монотонно

возрастающая функция, ф(п) —»■ « при п -+• «, E(t,u) « ( B1(t,u),

о

В (t ,&?)) -двумерный стандартный процесо ^-броуновского движения, г1/п . 1/п

un(t1,t2)=j^ j^u(t1+B1,t2+B2) Pn(srs2) da^Bj,

а рд - стандартная "шапочка".

Теорема 1.10. Для любой функции u е Cg(!Rr) и двумерного стандартного случайного процесса ^^.-броуновского движения S(t,o),

t « I, u € 0, справедливо неравенство

иг Е ( Ji к1л(Бп((к"1)11п>и)5 "

-(S)|^u(l(s,ü))dB1(8,ü)-(I)|^u(B(ß.ö))dB2(a,(a)l2 * C/n1/3+ + Oy 0 rA£ + С/(Ф(п)Ип),

если 1/Ф(п) <

Следствие 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.10, тогда, еоли п —Ф(п) —»■ », hjj-»- 0 так, что

' h^ о (1/п), 1/<j.(n) - о (йд),

то

t& * { ill Ja^^V^) [^(»п.««»-^^-1^"»! -

-(S)|^u(B(e,ü))dB1(e,u)-(I)|*u(B(ß,a))dB2(B,ü) J2 —*■ О.

В шестом параграфе найден вид ассоциированной формулы №о и исследуются ассоциированные решения конкретных уравнений в дифференциалах.

Во ВТОРОЙ Главе исоледуют ся решены обыкновенных дифференциальных уравнений со случайными функциями. Как правило, подобные исследования проводятся методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений ( Г.Бункер А.Мадрецкий, Х.Фельмер и др.). В данном случае используются методы, разработанные в первой главе и базирующиеся на понятиях обобщенных стохастических дифференциалов Ито и Стратоновича. Подобный подход позволяет исследовать решения новых классов уравнений и находить новые решения классических. Учитывая то, что по теореме Леви - Хинчина елементы достаточно широкого класса классических случайных процессов предотавимы в виде "линейной комбинации" процессов Пуассона и броуновского движения, мы ограничились исследованиями решений дифференциальных уравнений, зависящих от процесса Пуассона. .

В разделах 2.1 •• 2.2 в терминах областей Ито и Стратоновича исследуется предельное поведение второй вариации обобщенного случайного процесса Пуассона и конечных сумм влементов из алгебры обобщенных случайных процессов. Обобщенные случайные процессы определяются как классы эквивалентных последовательностей классических случайных процессов о гладкими траекториями и зависят от споообов аппроксимации. При этом встает задача классификации аппроксимаций. В этих разделах в рамках сверточной алгебры приводится такая классификация.

Пусть (0,Л,Р) - полное вероятностное пространство; Т=[0,а], а > 0; { S^teT ~ станД0Ртный поток а-алгебр, с А. n(t,Q), t e с 0, одномерный стандартный процесс Пуассона.

Определение 2.1. Обобщеннным случайным процессом Пуассона n(t,<J)=[(n (t,a))] назовем элемент алгебры (^(T.ft),

G(T.Q)), ассоциирующий n(t,U).

Пусть 0 < hn< 21^ <...< пЛд s а < (m+l)^, тогда для v tel существуют такие т^е Ю.Ьд) и kt=0,1,2,... , что

t = rt + k^ .

Рассмотрим предельное при п —*■ <», m —*■ » поведение суммы к к

n^it.B) = E^n^V к hjj ,а) - nnUt+ (к-1) ï^'.u)]2,

где П (t ,а) = (Л* p_)(t,U), а р (t) * 0, р (t) € D (¡R),

J" p„(t) dt = 1, Bupp p^t) 5 [0,1/n], вир p_(t)s С nk, к a 1. R n UR n

Лемма 2.5. Пусть n » так, что

Ьд = o (1/nk), kal,

тогда

kt

Р{ U с О I вир n_6(t,U) + 0 ] • 1.

un n

Лемма 2.6. Если п ю, ■*• 0 так, что

1/11 - о (Ид)

то

kt

iy(t,U) * n(t,o) в LP(T), р а 1, для почти всех (J <г 0.

Заметим, что для случая неотрицательных "шапочек" в зависимости от их степени роста "область Ито" не меняется, т.е.

1/п = а (1^), п * » , О, а "область Стратоновича" сужается до

Ьд я а (1/пк), ка1, п ■»■ « .

В том случае, когда 1/п и ^ не попадают ни в "область Ито", ж в "область Стратоновича" вторая вариация обобщенного случайного процесса Пуассона может принимать значения, отличные

го м

от О и п(г.и). Это зависит от вида П. Так, если П = [(Пп)],

п3/2, г е [О, 1/п3],

пп<г,ы)=(п * Рп)(г,и), где н^ю = '

n3/2(n2-1), t е (1/п3, 1/п)

и Нп<-Ь> = О для остальных г «г К, рп(у) = (Нд* ¿х)(у), Фх(в) =

ф(в/Х)/Х, ф € О(К), / 4

К

а О (1/П3) ПРИ П ■♦■ со, ТО

ппх (г,и)

1 л для почти всех и € П Ъ (Т), если п —* со так, что ~ 1 /пс

" ф(в/Х)/Х, ф € D(R), J- ф(s) ds = 1, ф а О, eupp Ф с [0,1] и X =

IR

kt 1 V (t,w) * in(t,u)

( ом. пример 2.1).

Теорема 2.1. Пусть Í(х) € С1(R), тогда, найдутся такие

м м

влементы í « P(IR) и П е Р(Т,й), что для любых представителей

14 м

(ín) € f И ( Пп) € П при 11 ю

C1(R)

rn(t) —► t(t) , t с V К cdR,

nn(t,u) n(t,u)

в LP(T), pal, для почти всех и « й. Если, кроме того, m -+■ <*> так, что

= о (1/п),

то

¿WVi'8» [ПА-И> - пп< ] — t

—-f [g(n(s-0,u)+1)--g(n(B-0,u) )]dn(B,ü) О

для почти воех и « й в lP(T), р * 1, где

х

g(x) * J- Г(в) de, х с [0,n(t,u)+l]. О

Теорема 2.2. Пусть m —► о» -и п —*■ ш так, что 1/п » о ( Ъ^),

тогда для любой функции Г(х) в О1 (IR) найдутоя такие влементы

IV N N

í е R) и П « Р(Т,Й), что для любых представителей (fn) е Í и (Пп) « П

¿WVi'1» [nn<Vü> - пп< J — t

—* s í(n(e-o,a))dn(e,u) о

в LP(T), р * 1, для почти воех и с Й. Здесь ^-tjj-i"1^« k«T7m.

Заметим, что, воли отойти от классического опособа аппроксимации процесса Пуассона в алгебре 9(Т,й), то возможны результаты, отличающиеся от приведенных выше теорем.

Утверждение 2.1. Пусть f(x) - многочлен о действительными коэффициентами степени d-1, d>1 . Тогда существует такой элемент

Al Л1 N

П € У (Т,0), что для любых представителей (Пд) е П выполнено р{ ц « о | nn(t,u) —3 n(t,u) в B»(R)Ï - 1

и

ш

Е Г( Пп((к-1) t/m',o)) [ Пп(к t/m.u) - iy (k-1) t/m.u) ] —+ k=1 . t

—+ S [g(n(a-0,U)+1)-g(n(B-0,B))] 4 П(в,0) +

n(t,tt) + 0 E

в 2){r) для почти всех u е 0, если n,m —*■ » так, что

1/m = о <1/n2<d+1>/d).

Здесь g(x) = X í(e) de, х с iR+, 1=1,...,П(а,Ы) - точки

разрыва n(t,ü) при произвольных, но фиксированных u е й, 0 = =» 0(d, od_1f U).

В разделах 2.3 - 2.4 исследуются ассоциированные в смысле Ито и Стратоновича решения уравнений в дифференциалах, зависящих от обобщенного случайного процесса Пуассона.

В алгебре t?(Г,А) рассмотрим следующую задачу Коши

d„ X(t,u) = ffX(t.ü)) d„ B(t,ü) +

+ ff(X(t,o)) d„ ñ(t,u) + a(X(t,u)) d~ t, (8)

h h M rv ftl •

X l[0,h) (9)

где f, a, ' a € 5 (R), 2 (t) = [(fn(t))]. a (t) - [(¿yt))}, a (t) - í (an(t)) ], h « [ (Ьд) ) € H, B (t.B) - [(Bn(t,ü))) -

Ai

обобщенный случайный процесс броуновского лишения, n(t,u) =

/V

- ЦП (t.u))] - обобщенный случайный процесс Пуассона, t» [(tn)]e

« ï, X0(t,u) = [ (X0n(t,ü)) ] € !?(T,Q)..

Теорема 2.3. Для того, чтобы решение задачи Коши (8) -

- (9) существовало и было единственным, необходимо и

достаточно, чтобы.для любых представителей ( Х^ ), [ Вп), ( Пп),

( Хп ), ( <*п ). (с^) выполнялись следующие условия

<1 * а г

Х0п^-В'и) " -, Х0п(в»и)

4 t & г 1

г

£1

Х0п(е,ы))[Пп(]1п+в,о)-Пп(в,и)]] -

<1 t

<1 t

а г" -«пЪь^ЪЪп 0

а г

при в + 0 для почти всех и е 0 и любых I » 0,1,2,...

А 1 ' Здесь - X (1;,и) -1-я производная случайного процеооа

<11;г

Х(1;,и) в смысле сходимооти почти всюду ПО а € й.

Определение 2.2. Случайный процесс Х(1;,ы), г с Т, и с О, называется олабо ассоциированным в смысле Ито ( Стратоновича } решением задачи Кош ( 8 - 9 ), если при п —► <», ► О так,

что 1/п ■ о (• Ьд ) ( Ьд - о ( 1/п ) ) ^(г.и) сходится к Х(1,ы) в ЬР(Т), р * 1, для почти всех Ней.

Пусть функция Г с О1 (К), пи,и), I « I, О « 0, - стандарт -ный процесс Пуассона,

г

х(г,и) - х(о,и) + / г( Х(в-о,о) ) <1 п(в,и). (ю)

о

Рассмотрим в алгебре &(Т,0) следующую задачу Коши

х(?,и) - г(х(?,и)) пи,и), (11)

5 Цой " *о<*'и>« <12>

где ? « [ (I) ] € ?, £ - С (Ид) ]сН, г + 0« [(0)] с 5,

/V «V м «V

П(Ъ,(|>) - обобщенный случайный процесо Пуассона, Г с 9(К).

Теорема 2.6. Пуоть функция 1 е Оц(К) и для любых представи-' телей ( Х^ ), ( Пп)» ( ) выполняются следующие условия

d 1 d 1 d 1

-7 *>n-e'u> " -, --ДГП< *

dt 1 d t 1 d t 1

«tnn(hn+B,u)-nn(B,u)]] —* 0

при в —*■ + 0 для почти всех и е й и любых I в 0,1,2,... и sup |X°(t,U)-X(0,U)|-*■ О

[o.v ^

при п —*■ со , hjj —*■ 0 так, что 1/п « о (1^)» тогда

слабо ассоциированное в смысле Ито решение задачи Коши (11 ) --( 12 ) совпадает о решением задачи ( 10 ) для почти всех и с О. Пусть функция 1 является кусочно - линейной вида ' d.,x + х < Оу d2x + b2, о^ х < о2,

Их) =

V + Ьр, х * вр.,,

причем

с1101+Ь1 = й1+1е1+ Ь1+1' 1 = (13) Условия (13) обеспечивают непрерывность функции Г на К.

Л* N

В качестве представителей I и П будем рассматривать соответственно (Гп) и (Пп), где *п(и) = ( * * Рп )(и), и с К, Ппи,и) = (П * р )(1:,ы), г с Т, и с Й, а Рп - стандартная "шапочка" из (1).

Нэ уровне представителей задача Коши ( П )-( 12 ) имеет вид

Исследуем ассоциированные в смыоле Стратоновича решения задачи Коши ( 11 ) - ( 12 ).

Начнем наш исследования о более простой модели, а именно, со следующей задачи Коши

лп(иьп.в)-1п(*.в)-1(^(1.в))[11п(иив.в) - пп(г,£)]. ( 14 ) где Х^О.и) ^ д Х(0,и) для почти всех и € П.

Теорема 2.7. Существует единственное слабо ассоциированное

в смысле Стратоновича решение задачи Коши ( 14 ) - ( 15 ).

Теорема 2.8. Слабо ассоциированные в смысле Стратоновича

решения задач Коши ( 11 ) - ( 12 ) и ( 14 ) - ( 15 ) совпадают

для почти всех и е 0.

В разделе 2.5 показано, что как классическая обобщенная

формула Ито, так и овязь между стохастическими интегралами №го и

Стратоновича могут быть достаточно просто получены методами

теории обобщенных олучайных процессов.

В разделе 2.6 разработанные методы применяются к

исследованию решений конкретных дифференциальных уравнений со

случайными функциями.

Теорема 2.11. 1) Если

гх +

J a(r,u)dr ■€ Ехр (Т.й),

О

то задача Кош для однородного дифференциального уравнения

D u = а'и, и(0)=Ь имеет решение в 0(Т,0) вида

г*

u(t,u) = b ехр j a(t,u)dt О '

для V Ъ € Кщ. 2) Если

гх в

| a(I,U)dt е ExpB(T,ß),

О

то задача Коши для неоднородного уравнения

D и = а u +f, u(0)=b

имеет, и притом единственное решение в G(T,0) для vi« G(T,0),

v b € IR„ и вто решение имеет вид

, t t т

u(t,ü) = ö ехр |a(t,0J)dt + J i(t,w)exp J -<i(e,o)dsdt x

0 t 0 О

x ехр | a(T,u)dt.

0

Здесь ^ - Gm / Z^ Gm- { aq>n « R : э С. m > 0, r^ € N

|aq>n I * 0 nm, n > n0 }, Zm= { aq>n e Gm : 3 Cq > 0. 3 m(q) e Г. 3 nQ e IN I|aq>n| * cq /n™^) n > nQ }, а аф.+(Т,А) -

■ { u e G(T,Q): для почти всех u € ft з L>0, 0>0, n0e И такие, что для v представителя (uq n) |uq n(t, u)| * s L + 0 In n,

n > nQ , t € T }, Exp~(T,ft) = { u e G(T,ft): - u e Exp +(T,ft)}, Exp(T.ft) = Exp +(T,ft) л Exp~(T,ft), Exps(T,0) = { u e Exp(T.O) ! для почти всех 0) € ft э m = т(и) >0, 0 = 0(<i>) > О, nQ е И такие,

что для v представителя (и_ „) Г|ехр (-u_ _(t, u))| dt i Cn11 }.

Ч , П J 4, XI

В третьей главе исследуется задача аппроксимации решений многомерных- стохастических дифференциальных уравнений решениями уравнений в дифференциалах в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов. Аппроксимацией решений стохастических дифференциальных уравнений решениями конечно - • разностных или дифференциальных уравнений занимались многие авторы. Как правило, решения стохастических дифференциальных уравнений Стратоновича аппроксимируются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений (М.Ф.Аллайн, С.Ватанабе, Е.Вонг, Г.Досс, М.Закаи, Н.Иквда.А.Я.Кренер, Г.Кунита, Лин Ченг, Г.Маруяма, Е.Макшайн, В.Мацкявичюо, П.Проттер, Г.Суссман, К.Твардовская и др.), а Ито - решениями конечно - разностных уравнений ( В.В.Анисимов, И.И.Гихман, М.А.Карабаш, С.А.Мельник, Г.Н.Милыитейн, А.В.Скороход, Г.Ферейра, А.П.Юрачковский, Р.Янсен и др.). В этой главе на базе методики, разработанной в первой главе, показывается, что как решения Ито, так и решения стохастических дифференциальных уравнений Стратоновчча могут быть

о

аппроксимированы решениями соответствующего уравнения в дифференциалах в алгебре обобщенных случайных процессов.

Глава состоит из 5 разделов. В первом

доказывается теорема существования и единственности задачи Коши в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов. В разделах 3.2 - 3-4 исследуются ассоциированные решения уравнений в дифференциалах, зависящих от обобщенного случайного процеооа броуновского движения. Параллельно, в терминах обобщенного стохастического дифференциала приводится описание областей Ито и Стратоновича. Показано, что область Ито достигает своего оптимального размера лишь о введением запаздывания.

Пусть (0,Л,Р) - произвольное вероятностное пространство, 1; с Т - стандартный поток а-алгебр, ?ас Л. Рассмотрим отохаотическое дифференциальное уравнение

Х^.О) - X1 + I (1)Г о1;1(Х(в,и))(Ш;,(в,ы) + 3=1 -»о

+ Г а1Шв,и))йв, 1 = тж (16)

-■о

где X(t,o) ® £Х1(1;,и).....Х^.у)), х1 е К, о1** О^Й4), а1 с

- множеотво всех действительных ш раз непрерывно дифференцируемых на К*1 функций, ограниченных вмеоте со овоими частными производными до порядка т включительно;

» (В1(1,и),...,В1,(1,и)) - г- мерный стандартный процеоо броуновского движения ;

(1)|\113рС(в,«))ЛВ3(в,и). 1 - ТТЯ. 3 - Т&,

- отохаотичеокий интеграл Ито .

Пуоть Рп(в), в е К - стандартная "шапочка" из (1).Положим по, определению для 3 - Т7?

в^.ы) - (В3*рп)(^и) - ^(в,и)Рп(в.,)Л8 И

о

1/п,

В (в^^,и)р (в)(1в, О п

о*3 (и) = (а * рп)(2), и е в^Д = Т73, з - ЧТг.

- 25 -

c¿(u) - (a1* pn)(u), u e Rd,i « TX

где pn(u) » nd p(n u), p e C00^), supp p с [0,1}d, P * O,

| p(u) du = 1. (0;1/n]d

Иооледуем задачу аппроксимации решения уравнения ( 16 ) решениями конечно - разностных уравнений с запаздыванием

X¿(t+hn,ü)-X¿(t,u)=. z ^CV^-V"*) fBn(t+Vu)~Bn(t'u)}+ (17)

^t'e>l[^B.hB)",0.n<t',,)' iaT73' (18)

где случайный процесо X0jn(t,u) = (X^n(t,ü),...,X^fn(t,u))

согласован о потоком а - алгебр ^+1/п' г в ДР1146" БОв

его траектории являются функциями класса С06 в смысле 1?

По определению полагаем, что Хд1 (^ы) = Х01п(0,и), 1; < О

Пусть х - произвольная т< « Ю,!^) и кт= 0,1,2,..., что

Пусть х - произвольная точка из 5?. Тогда найдутся такие t^e .

t = к^.

"X

Справедлива

Теорема 3-2. Пусть О13 € с|(КА), а1 с С^К4), 1-ТД,

тогда для V а >0

вир Е || Х(Т,и)-Х (г,и) || 2* вир Е || Х0 (Г,и)-х || 2 +

+ 0)^+ С/(11пп)2,

где х = ( х1, ..., Xй ) е ||.|| - евклидова норма в а

Х(г,и) и Хп(т,и) - соответственно, решения задач (16) и (17 - 18).

Рассмотрим теперь задачу аппроксимации решения0задачи (16) решениями конечно - разностных уравнений вида

pfJ(t+hn,Q)-yJ(t,o))=ДoJ;J(Yn(t,u))[в¿(t+hn,o)-в¿(t,u)]+ (19)

+ а V

где случайный процесс Х^; „и.и) согласован с потоком о - алгебр

и у П Л

* € Ю.Ч,) и принадлежит классу С00 в смысле Ь (0,Л,Р). Справедлива

Теорема 3.3. Пусть а13 «= с|(Кй), а1 « 0^(Кй), 1=Т7с[, ;)=Т7г,

тогда для V а >0

вир Е || Х(Т,и)-У (Т,и).|| 2* вир Е || Х0 (г,и)-х || 2 + ГеТ п Тс[0 .Ъд) и'п

+ Оу- ОЛпЬд2), где || .|| - евклидова норма в а Х(г,ы) и Уп(т,и) - соответственно, решения задач (16) и (19-20).

• ~ <1

В прямом произведении алгебр рассмотрим следующую

задачу Коши

( Х^.и)- £ В;,(?,и)+ а1^?,«)) й„ (21)

! Л 3=1 11 • 1г

1 *1|£0.£> " . (22)

где а13 « [«£•)] € е(кл), а1 - [(а*)] « »(К1), В3 - [(В->)1 «

€ - обобщенные случайные процессы броуновского

движения, 1 ■ 775, 3 » Т7?, 1 - [(г)] с 5, £ ■ 1(1^)1 « Н, I +ЫТ

«VI Л1 1 М М л» л

х£и,о» - [(х^>п)]в еь(т,й), х -(х1.....Xй).

Определение 3.1. 4 - мерный случайный процесо Х(г,ы), I с I, и с 0, называется сильно ассоциированным в смысле Ито ( Страто -новича } решением задачи Коши (3.1 - 3.2), еоли при п —►

О так, что й« I ( Б ) для V (Х^и.и)) с Х^.и),

sup E || X(t,u)-X_(t,u) || 2 0, TcT 71

где ||.|| - евклидова норма в К?.

Теорема 3.4. Пусть о13 € C^R4), a1« Cg(Rd), >47? и

для любых представителей (о^ ), (а*), (Xj^n), (В^ ), (h^

задачи Коши (21) - (22) выполняются условия

ЭМ

aJ;J(x1,...Ixd) € с^К4), i - TX J - TTr. (23) .....xd)e CB(Rd), i = ТД, (24)

a1 ай a x1 ...9 uxd

a1 ad

а 'x1 ...3 uxd

для всех мультииндексов a=(a1,... ,ad), |a|=a.,+.. .+<*d и

I d 1 1 d 1 1

E | —. x5,n(Vs'a>--, X0,n(e,U) "

dt 1 d t

-I — [а«( Xq (e.B))[Bj(hB4e.e)-Bi(H.B)]] -

a t 1 ■

- — IaiPb,a(e.eObn|P — о <25>

d t

при a +0 для любых 7=0,1,2,... , pal, i=l7d, 3=l7r и n —», a »• 0 так, что

1/п = о (И*),

для V Х^п е X*, 1 = ТТсЕ

вир Е||Хо (Т,и)-х || 2 -»• 0, (26)

Т€[0,11п) и,п

тогда решение задачи Коши (21) - (22) сильно ассоциирует в смысле Ито решение системы стохастических дифференциальных уравнений (16).

Результаты теоремы 3.4 получены совместно о С.П.Сташуленком. рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

х1(г,и) « х1 + I (£)Г а1^(х(в,и))сш>!(в,и) + '

3-1 -'о

А 1

+ Г а ГХ(8»и))йа, 1 = ТД, 1; с Т, (27)

•"О

где

(Б)[^а13(Х(в,о))йВ;'(в,и)> 1 = Т?, i - ТГг, -

отохеотичеокий интеграл Стратоновича.

Исследуем задачу аппроксимации решения уравнения (27) решениями конечно - разностных уравнений

Х^и+Ид.иЬХ^и.О)- £ о^рп^'.и)) [в^и+^.оьв^и.о)]* (28)

+ О^*'®» V

1-1^,1^)" *о,п(1:'в)' 1'=т::a• * € т (29)

где олучайный процеоо Х0>п(1;,и) « (Х^п(г,и),.. ..У^^г.и)) согласован о потоком а - алгебр * € [0,^) и

принадлежит классу С* в сиыоле Ь2(0,Л,Р).

Теорема 3-5. Пусть о1^ «е О^К4), а1 « С^К*1). 1-173,

тогда для V а >0

вир Е || х(г,и)-х_(т,и) || 2* вир Е || Хо (г.и)-х || 2 + ТеТ п ТеЮ,!^) и,п

+ Сп~1/5+ С(п \)2, где Ц .Ц - евклидова норма в Л4, а Х(т,и) и Хп(г,и) - соответственно, решения задач (27) и (28 - 29).

Теорема 3.6. Пусть о13 « С^й4), а1« 0^(1^), 1-Т7Я, и

для любых представителей (а*3 ), , (Х^п), ),

задачи Кош (21) - (22) выполняются условия (23), (24), ¿25),

и при п —>■ », hjj —О так, что

\ » о (1/п)

справедливо соотношение (26), тогда решение задачи Копи (21) -(22) сильно ассоциирует в смысле Стратоновича решение оистемы стохастических дифференциальных уравнений (27).

В разделе 3.4 рассмотрен также смешанный случай. Отметим, что исследование етого случая классическими методами принципиально невозможно.

Исследуем предельное поведение решений следующей задачи Коши

xJ(t+hn,w)-xJ(t,u)=o¿1(xn(t,u))[B¿(t+hn,u)-Bl[(t,u)]+ (30) . M^^ít.U^BjlUVUbBjlt.U^^ít.U)} V

A '[0.V 3 X0,n(tȟ)' i=1'2' 1 {31)

где Bn(t,ü) = (Bj¡(t,u),Bj(t,u)), B¿(t,u) - (B1*pn)(t,u), pn из соотношений (1); B^(t,U) = (B2*p¿)(t,u), p¿(t) » Ф(n) p«>(n)t),

n « ¡N, ф: ¡R R-- монотонно неубывающая функция Ф(п) —»• « при

n-»-«; a^(u) » (а * pn)(u), aj(u) « (а1* Pn)(u), u « Rd,

и - 1.2 ; Pn(u) = n2 X p(n u), pe O^iR2); eupp p с [0,1]2, 11

p(u) * 0, f [ p(u) du=1, X0>n(t,ü) = ( X0,n(t;u) )'

, ,0 0

В =( В ,B ) - двумерный ст ндартный процесс броуновского

движения.

1 Л о ' ■

Пусть X(t,u) = (X (t,u), X (t,u)) - решение сиотемы стохастических дифференциальных уравнений

X1(t,U) = X1 + (S)f О11^3^))45^8^) +

Jo

- зо -

+• (I)ftai2(X(e,u))dB2(e,u) + Г^Шв.иПйв, J0 J0

1 Ш 1,2, t € T, X = (X1,X2) € R2,

a ^(t.U) « (x^(t,u),...,x£(t,u)) - решение задачи Коши (30-31), тогда справедлива

Теорема 3.7. Если о1* « o|(IRd), а1 е 0^(IRd), ij » 1,2 и п —»- оо, ф(п) —»■ «>, hjj—»■ О так, что

hn - о (1/п). 1/Ф(п) - о. (h/), п ~ 8/7- о (Иц) вир Е || Х0 (т,И)-х || 2 —»■ О,

ТО i

вир Е II xct.uj-x^r.u) || 2 —► О, ТсТ 71

t

где ||.|| - евклидова норма в К2.

В разделе 3.5 исследуется задача аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений от разрывных случайных процессов решениями конечно - разностных уравнений о осреднением. Аналогичный подход в неслучайном анализе использовался в работах Н.Н.Кузнецова, Б.Л.Рождественского.

- В заключение автор выражает признательность профессору Я.В.Радыно за поддержку и внимание к работе и профессору А.Б.Антоновичу за полезные обсуждения результатов данной работы.

выводы

Диссертация содержит новые научно обоснованные теоретические результаты в теории дифференциальных уравнений оо случайными функциями. Совокупность полученных результатов позволила развить направление, опирающееся на аппарат алгебр обобщенных случайных процессов. Разработанные методы применены к исследованию решений нелинейных дифференциальных уравнений оо случайными функциями и стохастических дифференциальных уравнений.

- 31 -

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лазакович Н.В. Асимптотическое разложение для плотностей суш

независимых случайных векторов из К11// Лит. мат. сб. - 1981, т.21, N 1. - С. 69 - 85.

2. Лазакович Н.В. Асимптотические разложения для функций распределения и плотностей сумм независимых случайных векторов // Лит. мат. сб. 1981, т.21, N 2. - С. 111 - 127.

3. Лазакович Н.В. Асимптотические разложения в локальных предельных теоремах для сумм независимых решетчатых случайных векторов // Лит. мат. сб. - 1981, т.21, N 4. - С. 159 - 1694. Лазакович Н.В. Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных векторов // Лит. мат. сб. - 1982, т.22, N 1. - С. 85 - 100.

5- Лазакович Н.В. Асимптотические разложения для сумм

независимых к - решетчатых случайных векторов из rV/ Известия АН БССР. Сер. физ. мат. наук. - 1982, N 3. - С. 54 - 58.

6. Лазакович Н.В. Асимптотические разложения в интегральных предельных теоремах для суш независимых О - решетчатых' случайных векторов // Вестник Белорусского университета. Сер. 1. - 1985, N 3. - С. 41 - 457. Лазакович Н.В., Соболев A.B., Черников Г.Н. Анализ вффективности систем о р - таблицей // Известия АН СССР. Техн. киберн. - 1989, N 3- - С. 133 - 137.

8. Лазакович Н.В., Юферева И.В. Аппроксимация стохастического интеграла Ито в алгебре обобщенных случайных процессов // Конференция математиков Беларуси. Таз. докл. конф. - Гродно,-1992, ч. 2. - С. 97.

9. Лазакович Н.В., Юферева И.В. Аппроксимация стохастических интегралов Ито и Стратоновича в алгебре обобщенных случайных процессов // Известия АН Беларуси. Сер. физ. - мат. наук. -1994, N 2. - С. 28 - 32.

10. Лазвкович Н.В. Стохастические дифференциалы в алгебре обобщенных случайных процесоов // Доклады АН Беларуси. - 1994, т.38, N 5. - С. 23 - 27.

11. Лазвкович Н.В. Формула Ито в алгебре обобщенных олучайных процеосов // Доклады АН Беларуси. - 1994, т.38, N 6. С. 25 -

12. Лазакович Н.В..Сташуленок С.П. Аппроксимация отохаотических интегралов от случайного процесоа Пуассона элементами алгебры обобщенных случайных процесоов // Известия АН Беларуси. Сер. физ.- мат. наук. - 1995, N 1. - С. 30 - ' 37.

13. Лазакович Н.В. Аппроксимация стохастических дифференциальных уравнений конечно-разноотными // Доклады АН Беларуси. - 1995,

т.39, N3.-0. 20 - 22.

14. Лазакович Н.В..Сташуленок С.П. Аппрокоимация отохастичеоких дифференциальных уравнений и интегралов в алгебре обобщенных случайных процеооов //Доклады АН Беларуси. - 1995, т.39, N 6. -С. 34 - 38.

15. Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Юферева И.В. Стохаотические дифференциальные уравнения в алгебре обобщенных случайных процеооов // Дифференц. уравнения. - 1995, т.31, N 12. - С. 2080 - 2082.

16. Лазакович Н.В. Конечно - разностные аппроксимации стохастического дифференциального уравнения в форме Ито // Извеотия АН Беларуои. Сер. физ.- мат. наук. - 1996, N 1. - С. 22-

РЕЗЮМЕ

Яазакович Николай Викторович

Дифференциальные уравнения со случайными функциями в алгебрах обобщенных случайных процессов

Ключевые олова: стохастический интеграл, обобщенный случайный процесс, обобщенные стохастические дифференциалы Ито и Стратоновича, слабо и сильно ассоциированные решения задачи Коши.

В теории дифференциальных уравнений со случайными функциями развито направление, опирающееся на аппарат алгебр обобщенных случайных процессов. Разработанная теория позволяет исследовать решения новых классов дифференциальных уравнений со случайными функциями и находить новые решения классических. Предложенные методы применяются к исследованию решений нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями и стохастических дифференциальных уравнений.

РЭЗШЭ

Яазаков1ч Кшпай Вшародч

Дыферзнцыяльныя раунаши з выпадковым1 функцьим 9 алгебрах абагульненых выпадковых працзсса?

Кшочавыя словы: отахастычны 1нтвграл, абагульнены выпадксвы працэс, абагульненыя стахастычныя даференцыялы 1та 1 Стратанов1ча, слаба 1 моцна асацыяваныя рашвнн1 задачи Кашы.

У теоры! дыференцыяльныл. раунанняу з выпадковым1 функциям1 распрацаваны напрамак, як1 абап1раецца на апарат алгебр абагульненых выпадковых працэсау. Распрацаваная творыя дазваляе даследаваць рашвнн! новых класау дыференцыяльных раунанняу з

выпадковым1 функциям! 1 знаходз!ць новый рашвнн! клас1чных. Прапанаваныя метады выкарыотоуваюцца для даследавання рашенняу нел1нейных дыферэнцыяльных раунанняу з выпадковым! функциям! 1 стахаотычных дыфервнцыяльных раунанняу.

SUMMARY

Lazakovich Nlkolay Vlctorovlch

Differential equations with random functions In algebras of generalized random processes

Key words: stoohaetio integral, the generalized random prooess, the generalized stoohaetio differencials of Ito and Stratonovioh, the strongly and the weakly aesooiated solutions of Oauohy problem.

In the theory of differential equations with random funotlons it has been worked out the branoh based on the set of algebras of generalized random prooesses. The theory developed permits us to investigate the solltions of new olasses of differential equations with random funotlons and to find out new solutions of the olasslo ones. The methods proposed are used for the investigation of solutions of non-linear differential equations with random funotlons and stoohaetio differential equations.

Лазакович Николай Викторович

Дифференциальные уравнения оо случайными функциями в алгебрах обобщенных случайных процессов

Подписано к печати 22.10.96. Формат 60-84 1/16. ' Бумага N 1. Объем 2,2 п.л. Заказ N 4Р9. Тира» 100 екз. Отпечатано на ротапринте Белгосунивероитета. 220050, Минск, ул. Бобруйская, 7.