Краевые задачи для обобщенного голоморфного вектора в пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

МИНИедрСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 1 !) ЛШ К^СПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.956

КАРАЕВ Худояр

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ГОЛОМОРФНОГО ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе — 1993 г.

Работа выполнена в Душанбинском ордена Дружбы народов Государственном педагогическом университете им. К. Ш. Джураева

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Яиушаускас А. И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, проф. Умбетжаноп Д-.У. кандидат физико-математических наук, доц. Нурублоев М.

Ведущая организация:

Институт математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан

Защита состоится «£¡0» ЛЛ-ЛО^У) 1993 г. в 12 часов на заседании специализированного совета К 065.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук при Таджикском государственном университете (Душанбе, пр. Рудакн, 17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТГУ.

Автореферат разослан ^ла^Л^О 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

О. X. ХОСАБЕКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теин: Теория краевых задач дая эллиптических уравнений п систем является одной из основных частей теории уравнений с частными производными, внимание многих математиков в связи с решением задач гидродинамики, теории упругости, физики,, механики и др,, что обусловливает ее интенсивное развитие в последние годы.

Задача Рикав8-1кльбер?э

• OLll + gl^f на г

яхн системы Кош Ривдна-

я дая систвш с шшдшии членами в области с границей jf достаточно полно исследовано' при по?лоаи аппарата аналитических функций комплексного переменного в работах А.И.Цусхелишвили, И.Н.Векуа, Ф.Д.Тахова и других математиков. Сложнее обстоит дело о аналогами задача Ринава-Гальберта, для трехмерного я чэ-тнрехмервого odortqemS састемн Кош-Риыава. Известно, что аналог задача Римана-Гильберта для. четырехмерного обобщения састемн Кош-Рикана, которому удовлетворяет компоненты голоморф- i ноте кватерниона, и деке для более общих систем не удовлетворяет условия Шзпиро-Лопатавского, что праводат к нарупешгв не-теровоста этой задача. Аналог задачи Римава-ГЫьбертв дет грех-йерзого обобщения системы Rora-Рикана, которое, принято пазыкать системой Цойсшш-Тбодороско, шкет .хек удовлетворить так i во удовлетворять усяовао Сппаро-1опэтансхогс, т.е. эта гздз-га шкет быть как нотеровоЗ так в ввнатеровсЗ, В олучзо вет»-ромсти «налога задачи Рвмзиэ-Гваберта "хя иствш ВоЗсдхз-

Теодореско эту задачу можно свести к исследованию уравнений Фредгольма методом Булигана-Жиро. А.В.Бипадзе в 1955 году рассмотрел аналог задачи Римана-Гильберта для системы Мойсила-Тео-дореоко в случае полупространства и постоянных коэффициентов специального вида в краевой условии В.И.Шевченко (1964) и Д.ЬЬфтааоев.(1983) получили более общие результаты в этом направлении. А.Д.Дяураев подучил формулы Гильберта для система Мойсила-Теодореско, а Е.И.Оболаяшили (1975) рассматривала систему с младшими членами, коэффициенты которой постоянна и имеют специальный вид. В общем случае задачи Римана-Гильберта для обобщения системы Мойсила-Теодореско исследованы очень мало.

В качестве обобщения системы Мойсила-Теодореско можно рассматривать систему

-аи.л+6иа-«.г+ОО,.-о,

которая имеет тот же характеристический определитель, что и. система Мойсила-Теодореско, и при 0-~8 = С-—0 совпадает системой Мойсила-Теодореско.

Предлагаемая диссертация посвящена исследованию задачи Рима н з-Гильбарта

С=17г

для системы .(I) в области ф , где (ХцбцСь (¿¡. - за-

данные на границе Р области функции.

Цадь работы; состоит исследование ветеровости аналогов задачи Римана-Гильберта для- обобщения система Мойсила-Теодорвс-зко.

Методика исследования. Основными методами исследований является лрадставление ресений рассматриваемых систем через гармонические функции и применение интегральных уравнений Фред-тольма методом ,Вуяигана-2иро.

Научная новизна. В диссертационной работа методом Вулигавэ-2иро исследован аналог , задачи Раманэ-Гйльберта для обобщенной системы Мойсила-Теодореско. При помощи представления решений системы (I), задач (2) сводится к задаче типа задачи о наклонной производной, найдены достаточные условия, гарантирупцие сводимость задачи к системе интегральных уравнений Фредгольма.

Теоретическая и практическая ценность работы.'Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретическое 'значение. Полу-"ченвые результаты могут бять -применены дает дальнейшего развития теории граничных .задач для многомерных эллиптических систем первого, порядка. ' •

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах отдала дифференциальных уравнений Института математики и кибернетика Республика 1итвы (г.Вильнюс), на семинаре "Дифференциальные уравнвгкя о честными производными" Института математика имени В.И. Римановского АН Республики Узбекистен (руководители: академик« АН Республики Узбекистан К.С. Салагигинов я Т.ДДжгрее»), я« семинаре "Комплексный анализ и егэ приложения" кофадры математического

анализа и теории функций Тадашкского госувиверситата имэйИ В.И.Ленина (руководитель чл.-к. АН Республики Таджикистан Н.Р.Радаабов), на республиканской научно-практической конференция молодых ученых и специалистов (г.Душанбе 1989 г., г.Ле-нинзбад, 1990), на республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Куляб, 1991), на научном семинаре кафедры математического анализа Душанбинского госпединститута имени К.Ш.Днураева (1987-1991 гг.).

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 78 страницах машинописного текста и состоит из введения и трех глав. Главы подразделены на семь параграфов, имеющих сквозную нумерацию. Библиография насчитывает 50 наименований. ,

. - СОДЕИАНИЕ ДИССЕРТАЩШ

Во введении дается краткий исторический обзор по теме диссертации, обосновывается актуальность работы. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В первой главе рассмотрены граничные- задачи типа задачи о наклонной производной для регулярных в полупространстве гармонических функций трех' переменных методом Булигана-Зиро &1 В первом параграфе рассмотрена следующая граничная задача:

^ Янушэускас А.И. Задача о наклонной производной теории по» тенцзэла. Новосибирск: Наука, 1985. - 262 с.

найти регулярную в иолулросгранотвэ '0: {£>0^ гармоническую " функцию II (X), Х=(Х7У, 2) дифференцируемую в замкнутом полупространстве ^ и удовлетворяющую на границе полупространстве условию

где ^ р^ у и ^ - гзданнне на дифференцируемые функции, исчезающие на бесконечности. Задача сводится методом Еулг-гэзг-Жиро к интегральному уравнению Фредгольма.

■ ^ М]/ ^=ш

Во втором параграфе этог метод обобщается нэ сдедухщую граничную задачу: найти две регулярные в области 50 непрерывно дифференцируемые замкнутой области 53 гармонические функции и ^ удовлетворяющие ва границе р условиям

АЪ+к % +ь&+ад*

' Дц /с непрерывные по Гвльдеру •

функции исчезающие ва бесконечности. Считая коэффициенты граничного условия постоянными, рассмотрим зэдачу в полупростравст-

вв £:{л1х+хгу+л32>0}

Реионие задачи (4) будем искать в виде

ХхН

Г ' <5>

Р

тдз х = (х, а, й) точку полупространстве Е, Л=(хо, У0 ? 20) точку плоскости -искомые функции, а ядра

б--1Н} ? ^—2 регулярные гармонические решения уравнения

где Ц - внутренняя относительно $ нормаль р , а

Подставив (5) в (4) в силу-соотношений С6) и теоремы о скачке потенциала двойного слоя получим

Таким образом исследование задачи (4) приводится к системе интегральных уравнений Фредгольма (7). Далее найдены достаточные условия, гарантирующие сводимость задачи (4) к уравнениям Фредгольма, в том случае, когда область есть полупространство. Эти условия выражаются через коэффициенты

-граничного условия (4), хотя и громоздки. Например, для полупространства Е:(Е>0\ эти условия имеет1 вид

-Во второй главе ( § 3 - § 5) рассмотрена задача Римана-Тильбертэ для системы (I). В § 3 для системы (I) получены ■представления решений через две гармонические функции Ч? и У двух видов \

(9)

■ (10)

причём коэффициенты й,б) С системы предполагаются постоянными. В § 4 при помощи представления (9) решений системы (I) задача (2) приводится к задача (4) для пэры гзрмовическпх функций. Если область £) является полупространством то условия (8) для задачи (2) заменятся условиями

яцсг а^Н^-б^г+6 (а^- аг й) -»-+ас.(а1с!г- аД)+ с^с,- а^)' + 2фЛ--и^еМгсЛ)^,

а-гб1-а1б2-ьс1с(г-е2(^1+с[б2с11- Ма (а*

С12б1-аАбг+с(агс1- а^^+а.^ (аг4г -ЙЛг Ьс^Ф а[а(аД- (а^- лг с^]

Результат этого параграфа формулируется в виде

Теорема I. Если выполнены условия (II), то задача (2) в полупространстве £ нетерова, причем разность между числом необходимых я достаточных условий разрешимости неоднородной задачи и числом линейно независимых решений соответ-ствущей однородной задачи неотрицательна.

Задача (4) для пари гармонических функций эквивалентным образом приводится к^системе интегральных уравнений Фредголь-

ма. Однако в представлении (9), входят производные функций

« /

^Р и т которые определяются в результате решения задачи (4). Решейием однородной задачи, соответствущей (4), является пары постоянных функций-, которым формулы (9) сопоставляют нулевое решение системы (I), поэтому из фредгольмовости задачи (4) следует только нетеровость задачи (2).

В § 5 утвервдение теоремы I обобщается и на задачу (2) с переменными коэффициентами.

Далее задачи (2) с переменными коэффициентами исследованы и для сист&мы

; да)

^.переменными коэффициентами С<(Х) ^ 2) Построенные

выше ядра при исследовании и системы с постоянными коэффициентами используются в качестве замены функции Лева при сведении задачи (2) для системы (12) к интегральным ■ уравнениям Фред-гольма.

В случае 0_=6 -0 условия (II) принимает вид

+с[6Д-бА+2(а2сГа1с2)]+сг(а1вГаг1б^о;

а + аз)

Справедлива следущая

Теорема 2. Если на границе- Г* полупростран-

стве £ выполняются условия (13), то задача (2) с переменными ■ коэффициентами для системы (12) нетерова. .

В третьей главе (§6, § 7) -"рассматриваются различные частные случаи задачи (2), кото'рне могут -и не удовлетворять условиям сводимости к уравнениям Фредгольма и для которых может нарушаться нетеровость. Простейшей такой задачей является задача, обобщающая задачу восстановления йналитической функции по ее вещественной части.

В § 6 исследуется задача Шварца для системы (I). Найти регулярное в области ^ с достаточно гладкой границей Г

решение 5,1Ц системы (I), удовлетворяющее не грани-

це р условиям

(14)

Исследование этой задачи при помощи (9) сводится в задаче (4) с граничными условиями .

^-сУэ-а^^^^^^Ь - (15)

не р Если области ф является тгудроетравством

Ц^ЛАХ+ЛеУ + Лвг^оУ..

то задача (15) фредгольмова при выполнении "условия

^-СЛг-О-Хз ФО • ^

Задачи (15) и (14) в случве постоянннз: коэффициентов можно решать при помощи сведения к отысканию гармонических решений уравнений

тле я регулярные в области Ч) гармонические функции, удовлетворял^в на границе р условиям

А.",

Решения обоих уравнений (16} определяется с точность» до произвольного решения уравнения -

такого, что функция

С*)(СЛ+У>&Я-+2) регулярна в области . Решение задачи (15) определяется о точностью до пары решений уравнения (17), а решения задачи (14) о точностью до градиенте рвавши уравнения (17). Таким обрезом, еолг про-

О

ходящие через точки области прямые — CMtSi ^

CL£+2=QQftSl не заполняют все пространство, то обе задачи (14) я (15) не могут быть нетеровнми, так как соответствующие им однородные задачи имеют бесконечное множество линейно независимых решений.

Аналогично задача для системы (I) с граничными условиями ,

(14а)

при помощи представления (10) решений, сводится к отысканию гармонических решений уравнений

Решения этих уравнений определяются с точностью до произвольных регулярных в проекции области ф на плоскость Л=0 гармонических функций с( (У^ 2) и соответственно.

Все решения однородной задачи соответствующей (14) даются формулами

В силу гармоничности Л и £ имеем ^

т^У-ШМ»)

следовательно существует гармоническая функция X й) такая что

Таким образом компоненты § и Ц решения задачи (14а) оп-

раделявтся с точностью до градиента гармонической функции двух переменных. Задача (14а) также не может быть ветеровой ни в какой области Щ , проекция которой на плоскости £■= О имеет внешние точки. В частности задача (14) и (14а) не мспут быть нетеровими ни в какой ограниченной области.

Общая, задача Риыава-Гильберта (2) с постоянными коэффициентами сводится к исследованию системы двух ургзнений

1=1,г

с гармоническими правыми частями. Эти уравнения имеет гармонические решения, если

С11 б,

<М2

= 2"

Результатом втого параграфа является

Теорема 3. Если' коэффициентн граничного условия (2) удовлетворяю условии

то эта задача с постоянными коэффициентами не может быть ве-теровой, ни в какой ограниченной области с достаточно гладкой границей Р .

В § 7 рассмотрена для параболической системы

с(20)

ГД0 С=»С0иЗ£<О следующая краевая задача: найти.регулярное в полупространстве Е решение ^НуТ^ системы

(20), удовлетворяющее одному из граничных условий

2=„чм, '»ичм . (2П • *

либо (

4м

.; (22)

Доказано, что задачи (21) и (22) всегда разрешимы я имеют единственное решение.

Далее рассмотрен аналог задачи (2) для системы (20) Таким образом справедливо следующее утварадение. Теорема 4. Если выполнено условие

а±с!2-а2^4= о

то задача (2) для системы (20) фрадгольмбва.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Караев X. Задача Риманаг-Гальберта^ддя обобщения системы Мойсила-Теодореско.1 - Тез. докл. Республ.научно-практи-чесяой конф. молодых ученых и специалистов (секция матем. и информатики). - Душанбе, 1989. - С. 35-37.

2. Караев X. К задаче Риыана-Тильберта для обобщения системы Мойсила-Теодореско. - Дэп. в Тада.НШНТЙ 22 ноября 1989 г., й 57-Та 89, 13 с.

3. Караев X. Задача Римзна-йльберта для обобщения сис-

теш Мойсила-Теодореско. - Дифференциальные уравнения и их применение. - Вильнюс, 1990. - Вып. 45. - С. 34-49.

4. Еараев £. ¿налог задачи Еимана-йльберга дня трехмерной параболической системы первого порядка. - Тез.докл. Рвспубл.научно-практической конф. молодых ученых и специалистов. - 1енин?бад, 1990. - С. 56-57.

5. Караев I. 'К вадаче о наюгонвой щюизвозшой для звр-монических функций. - В кн.: Диффвренциазшяые и интегральные уравнения и их приложения. - Душанбе, 1991. -. С. 34-3&.

6. Караев X/ Об одной граничной задаче для пары тармо-нических функций. - Тез .докл. Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их применений".. — Куляб, 1991. -С. 84-85.

Б заключении автор выражает свою искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Янушаускасу А.И. за постановку задачи, ценные советы, постоянное внимание при выполнении работа.