Обобщенные решения задачи Копи для квазилинейных законов сохранения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНННА,ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ПАНОВ ЕВГЕНИЙ ПРЬЕВИЧ

УЖ 517.35

СБОКЕЗШЕ РЕШИЛ ЗАДАЧИ КОШ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫ! ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ

01.01.02 - ифференцжагьнне уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-датематических наук

Москва - 1990

/

У

/

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, (

профессор С.Н.Кружков, официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Куликовский, доктор физико-математических наук, доцент О.Г. Смолянов.

Ведущая организация - Всесоюзный центр математического моделирования АН СССР.

Зашита диссертации состоится /сР Л Н &&/>-Я 199^г. в 16 ч. 15 м. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу:

119399,ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертапией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( 14 эта* ).

Автореферат разослав //

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ, доцент

Т.П.Лукашенко.

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных вопросов теория обозленных решение задачи Кош для квазилинейных уравнения первого порядка - г ''

и. ?

о . - ' (I)

и = иа,х) , (?,х)еПт= [О ,т]х и (о,х) =и0(х) (2)

является описание классов существования и единственности решения при различных предположениях о начальноЯ функши ио(х) и функциях потока ^¡('4.) .

Построение нелокальное теории обобщенных решения ( о.р. ) задачи (I),(2) для гладких функция потока было начато в 50-х годах в работах Э.Хопфа, П.Лшсса^ О.А.ОлеЯннк, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, И.М.Гельфанда, О.А.Ладыженской, С.К.Годунова, Б.Л.Рождественского и других.

Обпая теория этоЯ задачи в классе измеримых ограниченных функция ( идеЯно тесно связанная с теорией распределения ) была построена в конце 60-х годов в работах С.Н.Крухкова

Ш,[2]. .

[1] Кружков С.Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнения первого порядка. - ДАН 0ССР,т.187,

. N1(1969),с.29-32. "' '

[2] Прутков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными.-Мат.сборник,т.81, N2(1970), с.228-255.

В случае лишь непрерывных фунодВ потока может нарушаться одно кэ характерных свойств гкпврйохжческкх уравнений - конечность области зависимости решения от начальных данных.Это обстоятельство значительно осложняет исследование задачи.

Изучение задачи Коши (1).(2) ори непрерывных функциях ^¡(и) было начато в работах [3],[4] .где локазано существование н единственность ( при выполнениии некоторых предположения ) о.р. в классе ограниченных суммируемых функций и в классе ¿(¿.¿с)* и (Пт) , га,«О - некоторая фиксированная ограниченная измеримая функция.

Представляет интерес построение теории обобщенных решение задачи Коши (1),(2) с непрерывными фунхшиш» (гс) в наиболее широких классах.

При этом. основными являются проблемы существования обобщенного решения, его единственности н устойчивости по отношение к начальным ляинж и функциям потока.

Исследование этих проблем имеет яе тольхо теоретическое, во и прикладное значение, так как задача Кош (1),(2) возникает в ряде физических молелей ( например, в механике сплошных сред ).

[3] Кружков О.Н. .ХильДебранд Ф.-Задача Коши для квазилявей-вых уравнений первого порядка в случае,когда область зависимости от начальных данных бесконечна.-Вестник МГУ, N1(1974),с.93-100.

[4] Кружков С.И. Андреяиов П.к. К нелокальной теории задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе локально-суммируема фгаклий.- дан 00СР.Т.220, N1(1975), с.23-26." '

Цель работа. Исследование задачи Кош (1),(2) в классах локально суммируемых и мерозначных функций.

Метод исследования. В диссертации применяется дальнейшее развитие методов работ [1],[2], связанное с более тонким осуществлением предельных переходов и специальнш выбором энтропийных функций.

Научная новизна. Основное результат» диссертации следу-

шие:

Теорема существования обобщенного решения в классе локально. суммируемых функций; теоремы единственности и монотонной зависимости от начальных данных.Пример неединственности.

Принцип максимума для обобщенных решений.

Теоремы разрешимости и регулярности в классе мерозначных функций.

Свойства обобщенных решений при выполнении условия (С).

Необходимое и достаточное условие сушествованхя иээнтро-пического решения,его регулярность и аналитическое представление; изэнтропичность регулярного, непрерывного при ~Ь>0 решения.

Существование и нерегулярность мёрозначного решения в случае нерегулярной ограниченной мерозначной начальной функции; существование мерозначных решений, сколь угодно близких ( в определенном смысле ) к регулярному.

Принцип максимума для мерозначных решений.

Приложения. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применение при исследовании квазилинейных законов сохранения в механике сплошных сред, в теории ударных волн и т.п.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" под руководством проф.С.Н.Црухкова, на семинаре "Системы квазилинейных уравнений и их приложения в механике сплошных сред" йбд руководством проф. С.Н.Кружкова, проф. Б.Л.Рождественского! проф. В.А.Тупчиева, на совместном заседании семинара им ! . Г. Петровского и ШО, на заседании 14-41 Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 12 параграфов.Список литературы содержит 35 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ -

В диссертация изучается- задача Коши (1),(2) с нецрерыв-нши функциями потока ^¿(и) , 1-1,..., п. в классах локально суммируемых и мерозначных функций!

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, приведена ее структура и основные результаты.

В первой главе рассматриваются локально суммируемые решения.

При этом предполагается, что функции потока <р.(и) растут на бесконечности не быстрее линейной функции: дия некоторой константы Се для всех вещественных И

Пусть и^лН ^А*).

Определение 1.1. ( см. Ш-С*] ) Локально суммируемая наПт фушишя И ("£, х.) называется обобщенным решением ( о.р.) задачи Коши (I),(2),если:

a) V к е Ш

п

* 1=1

в смысле распределения ; .

b) существует мнояество £ с[о,Т] нулевое меры Лебега,такое, что при £ —• О , бе [о,

и(-ь.х) - иа(х) в 11(ое(ЯП) ■

( Заметим, что ограничение (м) обеспечивает корректность условия а) в определении 1.1 ). Доказаны следушнэ две теоремы о монотонной зависимости решения от начальных данных:

Теорема 1.1. Пусть дяя и, т> е Я п |

где функция Ф(О-) определена и выпукла кверху на[о,+оо") , существует

и при У1> 1

$

х- г п.

<уп'х = + оо .

о

п.

Тогда,еслиис(хН%(х) п.в. в йС и и(Ь,х) х) - 0.р. задачи (1),(2) с начальными функциями и0(х) (х) соответственно, то х) п.в. в Пг .

В частности, свойство монотонной зависимости решения от начальных данных всегда выполнено при П. - 1

Теорема 1.2.Пусть тя1л1.....и. , it,** &

. IfiM-flMl f <&L(lu-*l) .где фуштшф^о-) определены в выпуклы кверавг ж [о.+°°) .причем к

при о--о Пф.(0-)=О(о К Тогда,если Mei3C)f г^/х) L-i

п.в. вЛ^и u(-t,x) ,i?(i,x) - о.р. задачи Ш,(2) с началь-нши функциями U0ix) соответственно, то

-ut-t.cc) п.в. в Лт .

Очевидно, при выполнении условдЯ теором 1.1,1.2 о,.р. задачи (1),(2) единственно.

В S3 доказана теорема существования: Теорема 1.5. Существует отображение Р , соноставдщцее каждой начальной функции U0(x) е L\ce (/Я ) оОобщвндое решение U(ijX)elitge(nr) задачи Коши (1),(2) тщс, что ввдкмь вены свойства:

1-Всли в fit*1,иU,х)=Я« „),тУЦ.хУ-РШ,

то гШ,л)$ i?(i,x) п.в. в fly.( монотонность )

2.Если ие(х)-1>0(х)б1?(&.п) , U(i,x)=F(ue) ,i>a,Xi* РШ, то для п.в. i < to,Tj

«V £" •

fLK StT

Iе

В 54 доказан L> - аналог прншша максимума:

Теореш 1.6. Пусть Uc<x)elf(Sln) ,где -ft<p *•» oo .Тогда, если - о.р. задачи Коош (1),(2),то для п.в.ie[o,T\

¿(Х-*) II.

Ио теоремы 1.6 при р = + со вытекает классические принцип максимума:

если ив(Я)е £°(ЯП) , М =И^в£эе>||^ и и(*>л) ~ задачи (1),(2),то п.в. в Пг }и(*,Х)| $ М

Следствие 1.2.Пусть ил&)*[А, п.в. в & ,где-

- некоторый,возможно вырожденный $ ) интервал; и •

- о.р. задачи (I),(2). Тогда п.в. в Пт и(£,Х)е [&, ё] .

Следствие Т.З.Пусть постоянная функция.Тогда

И(4,х)вС - единственное о.р. задачи (1),(2).

В §5 приведен пример уравнения, допускающего при соответствующем выборе начальных данных бесконечно много о.р.

Рассмотрим при ИЪ-Х задачу Коши для уравнения:

= (3)

где еС > О , р> О <°С ,оС+уЗ<4,

О .при < 0 , ЯГ^Хд.

I

ас1го ^ = £ )

— i .в остальных случаях. Оказывается,задача (3),(4) смеет континуум автомодельных о.р. гс(Ь,= Заметил,что по теореме 1.2 приеС+уЗЯ

задача Кош для уравнения (3) имеет единственное решение.

Во 2-й главе изучаются мерозначные решения ( коротко -м.р. ) задачи Коши (1),(2), введенные впервые в работах

[5]-[6].Предполагается, что начальная функция И0(х)б\^(¡К ).

Пусть &С (И - некоторая область. Ограниченная мерозиачная функция - это слабо измеримое отображение множества Л в пространство вероятностных бо-релевских мер на прямой .такое, что для некоторого М >0 для п.в&ирр С [_М, М]

Слабая измеримость У^ означает измеримость функций х — ^

для всех непрерывных Й^Я] .Мерозначные функции вида= 2

ч Ч(я)

. ^ - мера Дирака с носителем в точке и У, будем называть регулярными и отождествлять: . Таким обра-

зом, мерозначные функции включают в себя пространство {_, (£¿1) .Мерозначные функции естественно вовнегдот кш: пределы ограниченных последовательностей из 1ЛЯ) я на этом основано их использование в к&чесгае классов - существования для квазилинейных уравнений и систем.

В $1 приведено определение м.р. вадачн Кош (Х),(2). ( СИ. [5]-[бЗ ),

i5] Tartar L. Compensated oanpaotness and applications to partial differential equations.-Reeearob note» In mathematics, nonlinear analysis,and mechanics:Hsriot-Watt Sya-posiun.V.4(I979J,p.136-212. [6] DiPerna R.J. Generalized solutions to conservation lavs.in system of nonlinear partial differential aquations. -NATO ASI Scries, «dlted by J.M.Ball.D.Reidel Pub. Cto.,1963.

Определение 2.1. Ограниченная мерозначная функция V на ^——— ^ ^

^ называется мерозначным решением ( м.р. } задачи Коши С),(2),если:

п

смысле распределений;

Сю.

ласс м.р. включает в себя о.р. из 1-й главы.( еетли(1,л) _ о.р., то^и^х) является регулярным м.р. ).Таким обра-ом.в силу теоремы 1.5 сушэствует регулярное решение • задачи 1),(2).

В }2 доказывается,что при условиях теорем Г,1,1.? урада-зо (I) обладает свойством: ( см. теоремы 8.4,<?-5 ) (О) при любой ограниченной измеримой начальной функции ис(сс] &ов М.р. задачи Кош* (1),(2) регулярно. з свойства (С) еледует едннотвенноеть м.р.Действительно,ес-шЩЦ.х.) ,иг({,х.) - два различных ( регулярных по (С) ) ешения.то (переданная функция

вляется нерегулярным м.р.,что противоречит условию (С). В §3 рассмотрены свойства о.р. для уравнений . уловлетве= 1ЯПЦИХ условии (С):

Предложение 2.1. ( устойчивость по начальна» Данным.

функциям-потока ) -Пусть U (£,*)- о.р. задачи (I),(2);^ri('U)jmjl - последовг тельности непрерывных функций .при т.-»«» ^(и) — ^(Щ равномерно на любом компакте, Um(x) е lT( & ) ,прич( ЗМ>о ||timi«)B со«М к при W. — °° W гп ~* (X. в l4£c( ( Г) ;ti (i,x.) - о.р. задачи п

L=1 1

Тогда при гП — со uM(i,x)-* U(t,x) В Lloc ( Пт) Предложение 2.2. Пусть К!в(х)-,г£{а:)е1Г( Щ"') ; иИ,л) - о.р. задачи Копт (1),(2) с начальными функция U-c(Х-) , Ü0 (х) соответственно.'Готйа: I) если U0(sc)i п.в. в R"" ,то u(i.cc)*.

п.ъ.в /7Т ;

:2) если L 6IR- ) ,то для п.в.. t е [о/Г:].

вк е

Предложение 2.3 Пусть lZ„(x) L!°Г IR.*^) ,

U^Xl-^xU ЦП, itf*,«) . гЯ*.*) — o.p

задачи (I),(2) с начальными функциями -U0(осJ , t^ixj соответственно. Предположим,что для п.в. ,t е [о,Т]

\и.0(сс)-1>е(.сс)\ «¿X •

г Г

дарЦ,х.ита.х(и.а,х),П*»х.)) я%а.х)*т1л(и.а,х),Щ.х)) 1ЯЮТСЯ о.р. задачи (1),(2) с начальными функциями ,{Х) = та.х(ивСх),-0-с1х.)) , £в(а:}г »^¿«.^(х^Гзс)) ответственно.

В §4 изучаются изэнтропические решения задачи (1),(2). Определение 2.2. М.р. „ называется изэнтропическим ре-тем (и.р.) задачи (I),(2),если \//С€ Ш к

,|я- ЬЩ =о

' ' * 1*1 лс

смысле распределение.

Теорема 2.8.Пустьгг#,аО- регулярное непрерывное при£>0 веняе задачи (1),(2).Го^да. и(4,х) - изэнтропично. Теорема 2.9. чта функцщ» одтока^и) абсолютно

прерывны. Для того,чтоб« мерозначная функции бдла

р. задачи (I) ,(2), необходимо и достаточно,чтоЗД

и этом и.р. регулярно: и .

В 3-й главе изучается задача Кош для квазилинейного аввеяия первого порядка (I) с ограниченной мерозначной вальвой функцией :

Чх^. (5)

-II-

Определение..3-1- Ограниченная ыероэначная функция называется мерозначным решением ( м.р. ) задачи (1>,(5),ес-ли выполнено условие а) определения 2.1 и 3 £ с [0,Т] - множество нулевой меры Лебега, такое,что

С(1И)

^^¿^(Я) - В [^(¡Пщш Ъ-о

Данное определение согласуется с определением 2.1 в случае, когда начальная функция регулярна: = о^ (ху

Теорема 3.1. Для любой ограниченной мероэначной начальной функции существует мерозначное решение задачи Коши (1),(5).

Предложение 3.2. М.р. задачи (1),(5) с нерегулярной ме-розначной начальной функцией нерегулярно.

Теорема 3.3. ( Существование м.р., сколь угодно^близких к регулярному ) Для любого полокятелького £ сущбЗДвует №.р. з4дач4 (1К<В),такое,что

пт

Установлен следуиций аналог теоремы 1.6:

Теорема 3.4. Пусть у^ - м.р. задачи Коши (1),(5).

1) Если риг и

,то для п.в.£е[о,Т]

Я"

Ха))их * ^а))¿х. г г

2) Если при |М»0 п.в. в Г . ,10 П.В. вПт 1-ир( принцип максимума ).

- 12 -