Разработка и применение методов, алгоритмов интервальной математики и символьных вычислений на ЭВМ к задачам управления динамическими системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ зм. Я.Г.ЧЕРЕЕЕВСКОГО

На правах ругоипсп

Ллегслпдр Владлыпрозич

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ, АЛГОРИТМОВ ИНТЕРВАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ! И СИМВОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ЭВМ К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Специальность: 01.01.09. - Матаыатячесзгя кл&грнетнза

Автореферат диссертации на сопсхаяпе ученой степенп кандидата фнпиЕо- математических науг.

Саратов - 1994

оя

' 5 ОД щ

ЗАХАРОВ

Работа выполнена в Саратовском филиале института машиноведения им. А .Л .Благояравова РАН

Научный руководитель: дохтор технических наук, профессор

В.М. Панкратов ■

Официальные оппоненты: доктор техннчесжнх вауг

Е.К. Корпоушевза, кандидат фиопш-матеиатичесжпх ееуе, додсит B.C. Зюодгб

Ведущая организация: С.-Петербургсгтг государственный

уццьерсктет

Заашта диссертации состоит«; "1984 г.,

в час. на оаседаниЕ Сдескалиоироваппого Совета

К 003.74.04 по . присуждению ученой, стеиетз кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.09 - Математическая ХЕбернетика ври Саратовском государственном университете вал. H.F. Чернышевского по адресу:

410071, г. Саратов, ул. Астраханская, S3, С.&ратоссыш государственный университете, механиео-ыатематичеегка ф-г^ультет.

С диссертацией мешно оанахомитььг в Научной бн&щотеге Саратовского государственного университета.

Автореферат ргюоелан " /У " с/^Уу^/сг 3934 г.

Учёный секретарь специааыпвррвашгаго Совета кандидат фжшЕо-математпчесшкх

Еаук, - доцеят ikhprf^ П.Ф. Еедоретов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы. Xapasrepsosi чертой современ-к условий рзоработхн алгоритмов управления динамическими :темамн является требование обеспеченна работоспособности чавляемых систем в чгарогой облает»1 вариаций ах параметров параметров критериев качества аунхпиоЕИрованаь. данных тем. Ото оярео,еляет соответствующее требования к ыате-гпчссхнм моделям систем, яспольоуемых при сиатеое законов мпгхмпш. Ддз адекватного ознсаанч свойств объектов упраэ-:ид :) млтематичесхях моделях я критериях хачествз фунх-эннроааиая нелзеообраояо аспольооаать с одной стороны — шределеггаость, содержащуюся з параметрах моделей динанн-:хюс систем, с другой стороны — нелинейности, являющиеся >т"ьемлемон частью формализуемых моделей.

3 данной иаботе придерживаемся той точжл зрения, что если гное численное оналеяне неготового параметра неизвестно шга ;аётсл с погрешностью, то тагне параметры я математические хеля, ;i;c вкяючающзе, рассматриваются sax хштервальпо -щределёшше. Наличие кнтервалыго - неопределённых н&рамет-i (интервальных члеел) з математической модели длнагллческой тема д°лает зевеомомньш применение известных методов asoa я с.интсяа стаягоггарных систем управления. 1Тсэтому ьненлхат разработка. интервальных вариантов методов аналпоа синтеса стационарных дпнаыячеехтгх систем с интервальной 'пределённостью является актуальной научной н практической дчен.

Наряду с кс с лед о и агагея линейных систем управления а овнях неопределённости важное научвоз я ярактняеехое знаке Lveer автоиатЕОчрсвгннсе хоютьютерное нроехтзрованке гватных нелиЕетгаых математических моделей механических тем, а тагжа алгоритмов управления наложение:.! з нрост-¡стзе, дзнжением и стгбяляоации. Б свяси со сложностью сенатячесз.пх моделей нелинейных систем управления н гро->ц*имн аычЕСченшши при проектировании алгоритмов унрав-

вручную актуальной является peopaôo-rsa соохв-е-гстпуютоыг

технологических средств, включающих алгоритмическое п про-грашлгое обеспечение, разработанное на баое методов и спсте;.: коипыотерной алгебры.

Работа по тематике диссертации выпояЕалась п соответствии с разделен 1 программы фундаментальных исследований РАН "ПоБшпсЕке надежности систем "машина - человек - среда" на IS89 - 2000 г.г., в райках основных оадашш к плану научно - Ессд-здэЕательскЕХ работ Саратовского филиала ЙЕстгтз'та мапгоЕон^ониг ем. A.A. Бяагонр'авова РАН: "Компьютерное конструирование к разработка символьных алгоритмов моделей механического дввжевкв слоклых сЕСтем для прецизионного иашгЕостроеш«:'' (N. гос. per. 01.9.10000300).

Цель it оадачн работы :

1. Расриботка ьетодав с' алгоритмов анализа устоячпвагтЕ ляпейнигс днсиретных рассхгюсроятаовапЕъхх по фапоаыь: ноор-ПЕнатаг югторБально - нсопнздетённых ДЕпгыичгсЕЕХ систем и Еатервааьнш: взряавтог аналитически: методов сянтеоа рогупя-"sopor- рлг л'наёпьг^ непреркзных нитервакьпо - неопределённы;: систем озтоматЕчссюго уПрйЬЛйНИС.

2. Разработка мегодагс л г^горк-гма определеЕиг диапазонов ока^астЕ параметре:; пахжаьшаого гпроскшв п в^зошостк от ßoaycsar; на геометричеедгя параметр:- ГЕрсс=;дпфсра.

3. Разработка' ыетоджи:, кэ алгоритип^-с-сис п програш-саас. обеспечение для сннтеос. cii.oaoii автоношшго управления двффереЕЦпруемымп непЕнейншш дошшчгскшш скс-текгьш.

Уезоавназ цепь достигается постановкой п решением следующих оадач:

1) сформулировать к докапать условий устойчивости дискретной интервалы:о - неопределённой динамической системы с рассшпфолпаащкга по фазовым координатам;

2) получить условия существования и алгоритм вычисления алгебраического интервального решения системы линейных алгебраических уравнений с пятервгльнышг козффяцпе!,">•;> ;:;

3) разработать интервальные варианты аиалатнчесзих методов сннтеоа регуляторов для линейных стационарных интерваяьно - неопределённых динамических систем унраавгиия па основе алгебраического интервального ретекял систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами;

4) разработать методику определения диапазонов значений параметрсл жшлавгового гиросаопа в оазистлостя от допусков па геометрические параметры гирсдеилфера, испольоуя методы расширенной интераальноя арифметяжи и вычисления в рамхах системы компьютерно.-'! алгебры REDUCE;

5) раоработать методику, алгоритмы и программы дял пинтеоа оакояоз автономного управления нелинейными дянашпгс-5ими системами на основе применения метода баоисоз Грёбнсра i систем компьютерной алгебры;

6) на основе систем хомпыотернон алгебры REDUCE я Matfa-imatica разработать программный комплекс для ПЭВМ PC/AT I целях апробации а реализация раоработанных алгоритмов и ьетодоз.-

Методы нсследозаназ. При доказательстве утверждений об стойчивостп линейных дискретных интервальпо - неопределённых затем управления зснольоуютсз. методы интервальной мате-атихи а нелинейного фунхзщслаяьного ааагшэа. Разработка атераальных вариантой методов сплтеоа регуляторов с допусзса-s на хсоффзцаезты усиленна дли линейных интерваяьно - неоире-■лёикых динамических систем ведётся с зсиолъасааиием. аппарата :орпи линейных неравенств, теории упразлешш. дгшаминесалми ■.стенами, интервального аяаяяеа, линейной алгебры, фуяклио-. •яьлого ааапипа. Для построения алгоритм® синтеза сазонсэ топсмнсго управления .иснольеукэтся катоды и алгсритгш ффереипиальнсй геометрии, теории управлении дпнаметесиеьш стемашх. В методике о:Ш!-дет:еппп дпапгоспаз внаяений нара-троз поплавкового гпрссполл в оависйкости от допусков на гаетрячесгпс параметры гиродекифера, пепалъоухател методы ¡знпревнел интервальной арифиэтизп н символьные пытаспеята

ЭВМ. Исполытуемые для апробатцш аэяутенпых метсдсз и

Ъ

алгоритмов программы для ЭВМ рзоработаны на ПЭВМ PC /А' на ангоритмичесжих «оыках ФОРТРАН - 77, REDUCE к MatL ematicr..

науч-кан вовмоеь .

1} Впервые сформулированы и докапаны условид сильно абсолютной устойчивости дискретной линейной кнтерва.тъно неопределённой диЕамичссьой свстемьг с рассншсрониоалпей п фааоЕЫМ Еоорщгиатаы.

-) Сформулирована и доказана теорема о сушествоЕашг алгебр&кческога интервального решений систем лквейпкк алгес ранчесг.кх уравнений с интервальными коэффЕДвентаыЕ. Вперьы построены комбинаторные алгоритмы вычисления алгебраически-интервального решения системы .пшенных: интервальных уравн? нии в обычной к расширенной интервальные арифметиках.

3) Предложены интервальные варианты метода синтеза рс гуляторов с допусЕами ка коэффициенты усиления для линейны стапионарных шгтервально - неопределённых систем управлени й метода синтеза корректирующих устройств в параметрически инвариантной компенсационной схеме САУ на основе раоработ?.:: ного метода вычисления алгебраического интервального рехпешх системы линейных алге бракческпх уравнений с интервальным: коэффициентами.

4) На основе сочетания символьных и интервальных вы чнсванхш в системе компьютерной алгебры REDUCE впервы раоработаны алгоритм и методика вьгчпслзншг диапазонов она чений параметров поплавкового гироскопа в зависимости о1 допусков иа геометрические параметры гиродемпфера.

5) Разработана методика, включающая алгоритмы и програы мы построения автономных оаконов управления в цепи обратно свяои САУ для дифференцируемых нелинейных динамически систем. При втом создан комплекс алгоритмов и программ ориентированный на раовитые системы компьютерной алгебр! REDUCE и Mathematics.

Практическая ценность : предлагаемые метод определения устойчивости дискретных лянейньет ллтервалько - неопределённых систем и интервальные варианты методов аштеоа регулдтороз хля лнпейпых: днламачесхнх систем улраалешм псойоллгот учесть шекшщесл во многих прахтичеехтг задачах интервалы вио-ложных оначеязш параметров и коэффициентов математических ¿оделен ;и.наулг:есх1гх систем. В оадачз определения ус-: йчявоста федлагаемьш метод позволяет определить дояуези па гсоффл-щенты динамической матрицы математической цодеда сгстемк •правления, при которой система остается сильно абсолютно сторчплол. В оадачах евнтгза предлагаемые интервальные арпаяти методов позволяют строить грубые мкогооелсямнкс егуляторы с постоянными настройками а гарантированными опусхами ла хеффнпнепты усиления. Такие регуляторы сбес-ечивзют лселаемое качество фуплцлошгроганхд САУ :;о осей ятервалг; неопределённости параметров математических модален ннашпеехпх систем.

В оадаче о гчроскопе разработанная методггса псарсляет дгнзть злиязне ргобросз гесметрнчесглкт параметров глродемн-ера со ступенчатой формой рабочего оасора чз величину 1апаоона оначеннл леэффидзента. дештфироБзггзя пгоослспа.

Разработанные алгоритм1« спнтеоа яз^онсыпьес салонов уп-»злеязя нетннейяъши дтаампчоскт^гз системами прч? дссга-зчном коллчестве степечея .--обедм з матечнтлчестотх модаш жагппгсгоз системы псог.ол.то-? для классов роботсь - манапу-;тороз размещать лсепаемьпл в пт>сы пристав лспсчное

"есо манипулятора са игда^ссс спс-мг л с трсбуегшм качеством реходпьс: процессов пс о^йп&пшгг координатам иояедз. ул. стой раарабоггпм алгоритмы ч лоотсаи?.ш 1»лл ПЭВМ-океялкггопе пр^ставчть огтшд а?л оис.Ть'чегтго тпрагязтшд з обегаг^зажяэзм ньипя-дгглйлсо л1дГ"ксл""язд упраелг-

лего сигнала.

АьроСэчул работы. Осноыпдз результаты рдссерташш дох-тыэалнех» и обеулотагшеь па научных сегияара^ Саратовского знала япстятута .чаавзопедазля РАН ли. А.А. еяагоЕравояа,

Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского, Красноярского филиала ВЦ СО АН СССР, на 1,2,3,4,5 Всесоюзных совещаниях по интервальному анализу (Красноярск, 1984-1988), на конференции "Интервальная математика" (Саратов, 1989), на международной летней школе по математическому моделированию в научным вычислениям (Болгария, Албена, 1990), на Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики" (Саратов, 1991), на Всесоюзной научно-технической конференции "Интеллектуальные системы в машиностроении" (Самара, 1991), на Всесоюзном совещании "Компьютерные методы небесной механики" (С.-Петербург, 1991), па конференции "Технологические средства создания систем управления" (Эстонка, Кпэрпку, 1892), на третьей научной школа "Автоматизация создания математического обеспеченна в архитектуры систем реального времени" (Саратов, 1332), на Мез;дудародном конгрессе (С.-Петербург, 1993).

, Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 12 статей, список которых приводится в конце автореферата. Материалы диссертации замещены в 4 отчётах по НИР (N. гос. per. 01.9.10000;300).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав,. заключения, списка литературы п 10 приложений. Основная часть работы изложена на 149 страницах машинописного текста, содержит 2 таблицы н 5 рпсунков. Список литературы включает 115 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе впервые ставится и решается задача определения условий устойчивости линейных дискретных иптервально

- неопределённых динамических систем с малой фаяовой расснн-хр оптацией вида:

Хг(Т,Ш) = а „х,^) +.. - + а1Л(^)

.................. (1)

х»^1} = а „,ХДГ*) + ..-. + а^х^Г*),

где - интервальные коэффициенты исследуемой системы;

х = (х^Г*), ..., хп(Г*)) — вектор фаоовых координат. Требуется получить такие условия на ковффяциеиты ,

чтобы траектории исходной динамической системы (1) при

некотором (заданном начальном значении фазовых координат х° — (х1(7'0'), ..., хп(2^*)) сходились к точке устойчивого положения равновесия. Предполагается, что последовательность моментов переключения Т* фаоовых координат является допустимой, то есть Т"+1 > Т* и Т* —+ оо одновременна для всех », »"=1,п. В работе рассматривается случай малых фаоовых рассогласований а (1) с постоянным порядком переключений 3,...,»я: Т* — кИ + г;, 0 < т^ < Т}а < ... < < Л.

Определение: систему (1) назовём сильно абсолютно устойчивой, если при любой допустимой невырожденной последовательности Т* траектории процедуры (1) сходятся к положению равновесия.

В диссертации показано, что для описания функционирования дискретной системы (1) целесообразно использовать гетератон-ный на множестве интервальных Еекторов УП(1(Н)) банахова пространства В.3я оператор А = А~, где А+ £ Мпп(1(Н+)), А~ 6 Мпп(1(Л-)), а /(На), 7(И_) обозначают множества неотрицательных и неположительных яптервалов соответственно. Полагая, что оператор А допускает диагональное представление: ах = А(х.х), предлагается для доказательства сформулированных а работе утверждений испольоовать сопутствующий оператор вида

А(г/,ш) = А+р + А~ш, где х,х/,а/€ у„(1(И)), < > -конусный отреоок.

Известно, что если у динамической системы есть полохоит равновесия, то оно может быть не единственным. В дисссртаци рассматривается вопрос о 5 устойчивом положении равиовеси системы, то есть шцетсл неподвижная точка оператора ¿ «еГйОйсментшлх связей системы (i).

Существование устойчивого положения равновесия систем! (1) определяет следующая лемма.

Лемма 1.2.1: пусть оператор А гетеротонной систем! (1) имеет инвариантный искусный отрезок < iP,uQ >. Тогд; у системы (1) существует единственное нулевое погажень« равновесия х' 6< v°,ui° > и любаг невыролсдедная траектории сгодится к х* независимо от начального ножжеиия х° t< >

Устойчивость ннтервальво - неопределённой системы с рас-стпфонноациеи вида (1) определяется следующей теоремой.

Теорема 1.2.1. Пусть спектральный радиус матрицы

• ^ I

Moni! ••• Ю/

удовлетворяет условию р(5) < 1. Тогда система (1) сильно абсолютно устойчива.

Следствие 1.2.1 Если динамическая система (1) с е J(R) сильно абсолютно устойчива, то для коэффициентов £ aijf в,у € R, i,j = 1,п, система (1) также сильно абсолютно устойчива.

Следствие 1.2.2 Пусть в системе (1) т; =Q,i = 1,п и спектральный радиус матрицы S удовлетворяет условию p(S) < 1. Тогда система (1) абсолютно устойчива.

Во второй главе даны теоремы существования алгебраического интервального решения для систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами и па его основе разработаны интервальные варианты метода егштеоа регулсгоров в вгще обратной сшгон с допусками на коэффициенты успдашся для пнтервальво - неопределённых динамических систем (раздел 2.3), а так лее метода спнтша параметрически инвариантной

гомпенсацкониой системы (ПИКС) для интервадьпо - неопределённых динамических систем (раодел 2.4). Первая оадача синтеза (раодел 2.1) впервые была поставлена профессором Алексапдровам А.Г. н решалась Хлебалиным H.A. (Хлебалкн H.A. Аналитический метод синтеоа регуляторов в условиях псопределнности параметров объекта // Аналитические методы синтеоа регуляторов: Межиуо. научн. сб./Саратов, 1981.- С.107 - 123). Основное отличие р&оработапного интервального варианта метода синтеза от предложенного Хлебалиным I1.A. оажлючается в способе решения системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами относительно вектора Коэффициентов усиления регулятора САУ. То есть, для системы уравнений в диссертация предлагается вычислять аглебраическое интервальное решение, что в оадаче синтеоа сювачает регулятор с допусками на коэффициенты усиления. Вторая оадача синтеоа ПИКС для систем с вещественными коэффициентами впервые поставлена Соколовым Н.И. (Соколов Н.И. Некоторые вопросы построения параметрически инвариантных САУ: Научный Совет по .комплексной проблеме Кибернетика АН СССР [Информационные материалы].- М.: Иод-во АН СССР, 1970, N. 7(44), С. 74 - 86), где было предложено использовать методы нелинейного программирования при синтеое косффициентов корректирующих цепей САУ. В диссертационной работе предложено для данного класса мвргорежимных моделей САУ испольоовать интервальпо -неопределённые .математические модели, что пооволяет синтеоиро-вать грубые мпогорежимяые САУ с допусками на коэффициенты в корректирующих цепях, при отом отпадает необходимость в испсльоовашш методов нелинейного программирования.

В раодеж 2.2 описаны раоличные виды "решений" системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициент аил:

Лх = Ь, (2)

где А € Д7

nt*

(/(Ii)), b€Fn(i(R)); M„„(/(fl)V V„tf(R)), (ЦЩ) - множества интервальных пхп матриц, п - сезторов а чпссп соответственно. Среди решений системы (2) выделены

1) множество точечных решений: ж* = {х б В." Ах = Ъ, ЗА' 6 А, ВЬ £ Ь}; 2) множество точечных включений: хс = {? е К" Ах = Ь, УА € А, ЗЬ € Ь}; 3)алгебраическое интервальное решение.

Определение 2.2.3.1 Алгебраическим интервальным решением системы уравнений (2) наоывается интервальный вектор г0, удовлетворяющий системе (2).

Между этими "решениями" установлена свясь: хл С гд С х* (теорема 2.2.4.1). В раоделе 2.2 похаоано. что х* и же -замкнутые множества (свойства 2.2.1.1 и 2.2.2.1 соответственно), что множество хс для системы уравнении (2) выпукло и связно (свойства 2.2.2.3 и 2.2.2.4 соответственно). Похаоано также, что для. "р эшений" системы уравнений (2) имеют место свойства: А о х* 3 Ь (свойство 2.2.1.3) и А о хс С Ь (раздел 2.2.2). Основные отличия предложенного в диссертации метода вычисления алгебра'яческого интервального решения системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами вида (2) от работ профессора Шайдурова В.В. и Шарого С.П. по решению систем = линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами оаключается в следующем. I) В работах Шайдурова В.В. и Шарого С.П. ( Шайдуров В.В., Щарьгс С.П. Решение интервальной алгебраической оадачи о допусках // Препринт ■ ВЦ СО • АН СССР,- Красноярск, 1988.- N. 5.- 27с.; Шарый С.П. О некоторых методах решения линейной оадачн о допусках // Препринт ВЦ СО АН СССР.- Красноярск, 1989.- . N. 6.- 45с.) решается "оадача о допусках", то есть ищется интервальный вектор х1 £ УЯ(/(Н.)), такой, чтобы выполнялось , х'Сжд и для системы (2) было сЕраьсдяяво Ах'СЬ. С другой стороны, в данной диссертации предложен конструктивный алгоритм вычисления алгебраического интервального решения ха е У„(1(Щ) для системы вида (2), для которого справедливо Ад. г Ь. 2) В диссертации мной дан также конетруктчвйзда алгоритм вычисления алге^шческого интервального репкдаа дяз ещетешл (2) в райках расширенной

интервальной арифметики 7*(R). В работе Шарого С,П. ( ШарыГ; С.П. Об одной интервальной оацаче линейной алгебры // препринт ВЦ СО АН СССР- Красноярск, 1987- N. 2.- С. •15 - 46.) приведены беэ доказательства "достаточные условия разрешимости в расширенном пространстве" Vn(I*(R)) системы Лх=Ь, где А е Mnn(I(R)), Ь € V„(i*(R)).

В диссертации для системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами вида (2) раоработаны прямые методы вычисления алгебраического интервального реше-ппл ха п обычной п расширенной интервальной арифметиках. С другой стороны, в работах Згоонна B.C. преложены итерационные методы. В первой работе (Зюзин B.C. Об одном способе отыскания двухсторонних интервальных приближений решения системы линейных интервальных уравнений // Дифференциальные уравнения и теория функций- Саратов, 1987.- Выи. 7, С. 28 - 32.) с применением расширенной интервальной арифметики Маркова строятся последовательности двухсторонних интервальных приближении решения а во второй работе

(Зюзин B.C. Итерационный метод решения системы алгебраических сегмептвых уравнений первого порядна // Дифференциальные уравнения и теория функции- Саратов, 1989.- Вып. 8, С. 72 -82.) предложен двусторонний метод отыскания алгебраического сегментного решения системы алгебраических уравнений первого порядка с сегментными коэффициентами.

В раоделе 2.2.3 диссертации покапано, что система интервальных уравнений (2) может быть формально представлена, полагая что х € K„(/(R)), системой алгебраических уравнеипй с вещественными коэффициентами (3). Введём дополнительные эбооначення: пусть! = {(1,1), (1,2), ..., (n,n)} = 5jUS? = S.US4, где Sj - множество пар индексов (il,j) такое, что ~

если (»,/) € Si, Si - множество пар индексов (i,j) таюе, iTO mm(g. .,hi}.) =- h^., если (¿,j) £ S3, Sj - множество пар гадексов (i,j) такое, что — и^, если (*,i) € -

множество пар индексов (»',;') такое., что тпах(и^,у^) = если

6я»,'«¡у. Гц ев. ({¿Ьтн К + ЦЫъ (<}3€т„) £+

¿ет»

+ (!>;+ + (4Ьет3, {а^Ьет.)

+ {Е Ч»*!? = Ь,

}<£Тг

где "Г - множество такое, что 2* = {1,...,п} — Т^иТ^иТ^-, 7\

- ¿¿лохестззо индексов такое, что х,' > 0 при г € Г1\. 7'3

- множество индексов такое, что < 0 при г е -множество индексов такое, что 0 6 при } £ Т3.

Теорема 2.2.3.1 Пусть ТиТ-иТ5 ч ^,53,53,6'4 такие, что система ураввепиы (3) раореппша а дал решения этой системы , (х, х)а справедливо:

1) 5 < 5, то есть-х=--е У„(/(Н)):

2) ьшаялзстзз Г3", Т{, 2?, где ТГ Т: = Т,

Т" - множество пар лздексоь такое, что х; > 0 при i с 'Г;*,

- инакество пар илдехсоз такое, что х, < О прн г £ Г/, Г5* - икожсстзо л?р ЕЕделсоа т<аое, что 0 6 хс при I £ 7\*, ^о<"Г}.зензые длг- вга^ааасго :: удордетворялт ~ Т*,} 6 {1,2,3};

;:> мизке-тва 5*, гдг? 5* и 8Т, = 57 и 5* =

- УЕСйхество пар .лндегсоа (г,*) ■;-,г.ае. тго ттил(а;.- ~

('»/) - -V, -з " ".с пар уедсхсов тыле.

.п.'О = х™ 6 - лнож<?ство

ЕЛ» •дидслоо? (/,;} -тяхое. эте тог(яц = если

ЛЬ.'' п - ыаета.сгво такое, что

rnax(v°ti Xj, а?- Щ]) = а?- x,-, если (s,¿) e S¡, построенные для найденного x удовлетворяют Sk = 5*. fe € {1,2,3,4}. Тогда алгебраическое интервальное решение ха системы (1) существует.

Для определения алгебраического интервального решения системы (2) в рамжах расширенной интервальной арифметики J"(R) получены аналогичные условия (раздел 2.2.5).

Критерий существования алгебраического интервального ре-птошхя системы линейных интервальных уравнений вида Ax + d = Ь определяется теоремой 2.2.3.2: "пусть у системы интервальных уравпепг.п Ах =■ с существует алгебраическое ннтерЕальнос решение. Алгебраические интервальные решеная систем Ах = с ii Ах ~ á ~ Ь эквивалентны тогда и тольго тогда, еегда с = ib — d, Ь — di." Здесь с, d, b £ Vn(i(R)).

В рандеву 2,5 длз гнродемпфера поплавг.ового гиросьопа с непелызозанвем олехтрпчссгих схем замещения в расширенной интервальной арифметики построена кнтервально - неопределённая математическая модель прпбора н разработана ыетодгпа, включающая алгоритмы и программы для РС/АТ для определения оавнснмости демпфирующих свойств гироскопа от температуры рабочей ясвдеостп я допусков на геометрические . параметры элементов прнбора.

В третьей главе разрабатываются алгоритмы синтеза н анализа салонов управления дифференцируемыми пшгааейиымЕ динаюгчесгпмк састемамп вида

¿(í)-A(x(í), i) + B(z{t),t) tx(í)

(4)

где z(t) - н всг.тср фаоовых координат, y(t) ~ та вегтор выхода, A(x(í),t) ~ динамическая матрица, B{x{t),i) -- п>-'ш матрица эффективности упрапвлення, ti(í) - m вектор управление динамической системой. Предлагаются машннно - ориентированные алгорп гмы построения в символьном виде -на ЭВМ уравнении Лагранжа 2-го рода бео испольоованна операция

дифферепцированв;®. Раоработаны алгоритмы спктеоа автономного уираплзния а обратной саноя:

u(t) = F(s(t),i) + G(x(t),t) u(i),

rjic dim F(s(i),i) - тгЛ, aim G(z{t),t) = mx'm, w{t) - m вестор

n."vr;ai3inrz входных воздействий',- для глздего: стационарных и 1:сг:тац1-оггарных яелзнсшгьгх динамических систем (4), сбеспечи-независимое функцкотфогалке контуров САУ. Предло-алгоритм автономного з'нравлегпхя схватсм (конечным овеном • poiara - манипулятора на осзтог.з символьного решения обратной sniicwaanss методом бааисов Грсбпера, что позволяет ::птг-з кровать » символьном виде алгоритмы автономного уц-jtnzemxz «впгсгагск, псдэлйжео!.: п ориентацией в пространство ;анс"^пг.го о г. тс а матсгпуллтар;;, сс-гранлг г. »asouax управления » :гпа?.* саггепмссть ст rccs 1етрлч-гсг,с;: пг.рамстрсв робота г гсзлпгст'дзг пере-'.'спиы::, спрсдсллюа;:::: ясамкепве аяглтч в тастргшстге. Рглрг.боташг алгоритм» окр^елсаш: слокиоса;; snrensorr л~г аетг<*зп?усш.пг пакспзг» уар&елгшиг дкаашпсс-таш сяста:г>М1. п- социальное математическое обеспечение длл ■одспфоглтщг пз^п'-ути: контуров систем упраклеши:. Дог е5л:шат!,п"- ещетглш; алгоритмов п« PC/AT г- рамках сиг»см змпьютерпяй алгебры REDUCE и Matbemaiica разработан ЙГГП-ПЗЬПгПг прчгра?п«пьш ЕОМПЛ5КС, структура которого ПрП5С<еНН лдк.

ОСНОВНЫЙ. РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вппрвые сформулированы п доказаны теоремы о саяыюп солютной устойчивости линейных дискретных пнтервальпо -определённых динамических систем с малой фаоовой расат-опиоацпеи по фадовым координатам.

2. Сформулированы н докапаны теоремы существования и горитмы вычисления алгебраического интервального решения :тем линейных алгебраических уравнений с Ентервальнымл

коэффициентами, как. в обычной, так и в расширенной интервальной арифметике. Исследованы свойства решений системы линейных интервальных уравнений, а также сформулированы и докапаны теоремы о связи раоличнкт решений системы мшенных алгебраических уравнений с интервальными хооффилиевтами: множества точечных решений, множества точечных включении и алгебраического интервального решения.

3. На основе алгебраического интервального решения систем ¡швейных алгебраических интервальных уравнений построены интервальные варианты методов синтеоа коеффидиентов усиления САУ для динамических снтем управления в условиях интервальной неопределенности их матгматичгских моделей.

4. Разработана методика, алгоритмическое и программное обеспечение для PC/AT б системе компьютерной алгебры REDUCE для расчёта диапазонов значений коэффициента демпфирования поплавка гироскопического прибора с использованием расширенной интервальной арпфметики и аппарата алектричесхих схем оамещения.

5. Разработаны алгоритмы и программы для настроения в символьном виде на. ЭВМ математических моделей механических систем, а также алгоритмы и программы синтеоа и анализа струхтуры нелинейных динамических систем средствами систем компьютерной алгебры REDUCE и Mathematics, поевол-яхлцие конструировать законы управления для автономного управления подсистемами во всей области определения диффеоморфизма. Разработана методика синтеза алгоритмов автономного управления подсистемами в математических моделях роботов - машшу-ллтерев с применением символьного решения на ЭВМ обратной з?"\а '.и кинематики на основ«; метода базисов Грёбнера, что пооаолгет получить е апаиислэтескш ~нде выражения для законов автоиоиното управления, содержащих параметрические зависимости от координат положения i: yrr.es ориентации а пространстве ijr.^'fflarci зьена манипулятора.

б . Показала целесообразность н эффективности сочетании сшэо.тьных а численных, s частности, татервагькых, в;,гчясдян»ш на ЭВМ а рамка:; систем гомп.чюгчрной алгебры REDUCE и

Mathematica при практический реализации интервальных вариантов методов еннтеоа САУ для ннтервально - неопределённых динамических систем, при синтезе.. алгоритмов автономного упраглетгая гладЕзмн нелинейными динамическими системами, а такле при определении влияния раоброса геометрических параметров гироскопического прибора' на выходные характеристики гпродемпфера.

Основные реоультаты диссертация опубликованы з сл^уюппгх работах:

1. Захаров A.B. Решения системы линейных интервальных уравнений Ах = b н их свойства /.- Саратов, 1938.- 26с. - Деп. в ВИМИ 16.02.89. N. Д07755.

2. Захаров A.B. Интервальные и символьные вычисления в задаче сиптеоа регуляторов систем упраг-лення // Информационно - оперативный материал (интервальный анализ): Лрепршзт ВЦ СО АН СССР- Красноярск, 3989,- N. 9.- С. 15 - 17.

3. Захаров A.B. Устойчивость линейных дискретных интервальных систем при фаоовой расскпхроакзащш // Труды семинара по интервальной математнт.с: материалы научного сез,шяар;..- Саратов, 1990 - С. 48 - 54.

4. Захаров A.B. Построение шггерьалышго алгебраического решения в расширенной интервальной арифметике // Актуальные проблемы прикладной математики. "Часть 3; Материалы Всесеюопой конференция- Саратов, 1991.- С. 313 - 317.

5. Захаров A.B. Компьютерное проехткроваиие систем управления роботами - манипуляторами п сякнольные сьгчисгпнна // Интеллектуальные системы б машиностроении. Часть 2: Материалы Всесоюонов научно - технической конферсЕПИн.-Самара, СФ ИМАП1 АН СССР, 1991.- С. 42 - 44.

6. -Захаров A.B. Компьютерная алгебра и декомлооация динамических систем // Компьютерные иетещы Еебсспоп махаг EEKin Материалы Всесоюзного совещание- С. - Петербург, ИТА АН СССР, 1991 - CL37.

. 7. Захаров А.В, Компьютерное проектирование алгоритмов управления ледгшейкыми динамическими, системами // Автоматизация соодання математического обеспеченна а архитектуры састем реального времени. Третья научная школа: Тшисы докладов.- Саратов: 1992- С. 95 - 97.

8. Захаров А.В., Шокин Ю.И. Алгебраическое интервальное решение систем линейных интервальных уравнений Ах = b и Ax + d=b.- Красноярск, 1987.- 17с.- (Препринт/ВЦ СО АН СССР: N 5) . '

Э. Оахирсв А.о., Шокнн Ю.И. Сяптео систем управления в условиях интервальной неопределённости параметров математической модели объекта управления- Красноярск, 1987.- 22с.-(Препркнт/ВЦ СО АН СССР, N 6).

10. Zakharov A.V. Linear Discrete Interval Systems Stability Under Small РЬьзе Desynchronization // Mathematical modelling and Scientific Computations (Selected papers) Bulgarian Academy of Sciences, Sofia,. 1991, P. 82 - 90.

11. Zakharov A.V., Zarfcov A.Yu. Robot coat" .i algorithms computer design // Техводогическне средства соодання систем управления: Доклады конференция,- Таллинн, 1S92.- Р. 132 - 143.

12. Zakharov A.V., Zarfcov A.Yu. Simbolic - interval computations in computer algebra system REDUCE // International Conference on Interval and. Computer - Algebraic Methods in Science and Engineering, [Si-Petersburg, Russia], 7-10 March 1994.- St-Peteraburs, 1924.- P. 250 - 252.

j .

Задки Щ - • Подвхаю.1 печати ЗО. OS ► ^ QSs& 1 кеч. tecnt. 'IkpaK tuQ era. Тбзюгра-фзя кэдатезьсгаа СГУ