Нахождение внутренних оценок множеств решений уравнений с интервальными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КУПРИЯНОВА РГ£ ОД

Людмила Викторовна * п

н / 7 ИПП 20

НАХОЖДЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ОЦЕНОК МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2000

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент

ЗЮЗИН Владимир Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук.

Заслуженный деятель науки и техники РФ. профессор МЕНЬШИКОВ Григорий Григорьевич,

кандидат физико-математических наук, доцент

НЕСТЕРОВ Вячеслав Михайлович

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий

Сибирского отделения РАН

Защита состоится " " 2000г. в

" " часов на заседании диссертационного совета К 063.57.16 по защитам диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург. 10-я линия В.О., д.33. ауд.88.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034. Санкт-Петербург. Университетская набережная. 7/9.

Автореферат разослан " " 2000 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета К 063.57.16 В.Ф.Горьковой

ОЗ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Разработка интервальных методов решения задач с неточно заданными параметрами сама по себе является актуальной задачей. Возникнув как подход к решению задачи получения гарантированного результата, интервальный анализ находит своё применение в исследованиях, объекты которых имеют изначально интервальную природу. В настоящее время интенсивно развиваются методы решения интервальных уравнений и систем интервальных уравнений. Интервальные системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) можно рассматривать как обобщение вещественных систем линейных алгебраических уравнений, при этом наличие интервальных коэффициентов часто делает невозможным применение известных методов решения вещественных систем. Кроме того, для интервальных уравнений и систем уравнений возможны различные постановки задач, различные виды решений, и. соответственно, различные методы их отыскания. Наиболее распространено понятие решения ИСЛАУ как множества, состоящего из решений вещественных систем линейных алгебраических уравнений, элементы матрицы и правой части которых пробегают всевозможные значения из заданных интервалов (объединённое множество решений). При этом обычно рассматривалась так называемая "внешняя задача", т.е. нахождение интервального вектора, охватывающего это множество. Разработкой методов решения "внешней задачи" занимались Мур P.E., Ноймайер А., Алефельд Г., Херцбергер Ю., Добронец Б.С., Шайдуров В.В., Шарый С.П. и др. Задача внутренней оценки объединённого множества решений рассматривалась Чартересом Б.А., Картеусом В., Шарым С.П. В последнее время активно разрабатываются методы нахождения других видов решений, в частности, допустимого множества решений и алгебраического интервального решения (или просто интервального решения). Классификация различных видов решений впервые была дана Шарым С.П., им же были введены термины "допустимое множество решений" и "объединённое множество решений", а также определено понятие "обобщённого множества решений". Каждое из этих множеств имеет сложную структуру, и их точное нахождение требует больших вычислительных затрат и является малоэффектив-

ным. Существует, однако, класс задач, для которых достаточно найти какое-либо подмножество множества решений. Это, например, классическая линейная задача о допусках, задача стабилизации с возможностью управления (в другой терминологии, это задача обеспечения живучести системы, или задача обеспечения устойчивости функционирования), задача управления при наличии ограниченных возмущений, задача идентификации и др. В связи с этим актуальным становится нахождение внутренних интервальных оценок множеств решений. В данной работе решение этой задачи сводится к нахождению интервального решения подходящего уравнения в интервальном метрическом пространстве. Для нахождения интервального решения используется расширенный интервальный анализ Каухера. Е.Каухером впервые было рассмотрено расширенное множество интервалов (1973г.), им были введены арифметические операции над элементами этого множества и доказаны основные теоремы о его свойствах. В дальнейшем расширенная интервальная арифметика разрабатывалась Gardenes Е., Trepat А. (197982гг.) и др. В настоящее время методы, использующие расширенную интервальную арифметику, интенсивно развиваются. В области нахождения оценок множеств решений и нахождения интервальных решений ИСЛАУ арифметику Каухера используют Шарый С.П., Марков С.М., Зюзин С.П., Захаров A.B.

Цель исследования. Диссертация посвящена исследованию связи множеств решений уравнений и систем линейных алгебраических уравнений, параметры которых принимают значения из заданных интервалов, с интервальными решениями соответствующих интервальных уравнений и интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Целью работы является внутреннее оценивание трудно описываемых множеств решений более простыми множествами - интервалами и интервальными векторами. Методика исследования. Используются общие результаты интервального анализа vi численных методов алгебры, теоремы о свойствах интервальных расширений вещественных непрерывных функций, принцип сжимающих отображений, а также некоторые элементы теории функции вещественного переменного.

Научная новизна. В диссертации разработан подход, позволяющий находить внутренние интервальные оценки объединённого множества решений ИСЛАУ, а также допустимого и объединённого множеств решений интервальных нелинейных уравнений путём нахождения интервального решения в расширенном интервальном пространстве. Доказаны теоремы о связи упомянутых множеств с интервальными решениями для ИСЛАУ и нелинейных уравнений общего вида. Наиболее важным рез)'льтатом является теорема о максимальной внутренней оценке объединённого множества решений. Разработан метод нахождения интервального решения ИСЛАУ, определены условия, при которых соответствующий оператор является оператором сжатия, а также предложен выбор начального приближения, при котором обеспечивается получение двусторонних оценок искомого решения: интервального вектора, включающего искомый, и вектора, включающегося в него. Получены решения квадратных интервальных уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы могут быть использованы в любой области деятельности, где решаются задачи с интервальной неопределенностью данных, сводящиеся к решению интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Наиболее ценно то, что с помощью предлагаемого подхода мы получаем максимальные по включению внутренние оценки. Кроме того, нахождение интервального решения ИСЛАУ имеет и самостоятельный теоретический интерес.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на совещаниях по интервальной математике в Красноярске (1986,1988гг.), на семинаре по интервальной математике в Саратове (1990г.), а также на международных конференциях 1ГЧ-ТЕЯУАЬ-92 в Москве и ЮТЕЫУАЬ94 в Санкт-Петербурге. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата. Структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на 12 параграфов, списка литературы из 50 наименований. Объём диссертации -106 страниц. Имеется 5 рисунков.

Краткое содержание работы.

Во введении формулируются цели исследования, главные проблемы, возникающие при решении уравнений в интервальных пространствах, обсуждается место, которое занимает данное исследование в интервальной математике, а также основные известные результаты, используемые в диссертации, иллюстрируется различие между двумя видами интервальной неопределённости. Там же приводится краткая аннотация глав работы.

Глава 1 посвящена описанию метрического пространства 1*(Я"). Расширенная интервальная арифметика впервые была предложена Каухером. им же были доказаны основные теоремы о её свойствах. Более детально расширенная интервальная арифметика была разработана в статьях Сагенее, Тгера! и др., где были введены также некоторые понятия и доказаны новые важные свойства. В этой главе приводятся необходимые для дальнейшего изложения свойства. Правила умножения, полученные нами для работы с границами интервалов, приводятся с доказательством. А также с доказательством приводятся свойство изотонности по включению для интервальных арифметических операций и свойство субдистрибутивности, необходимые для дальнейшего изложения.

Расширенным множеством интервалов назовём [*№):= {х=[х,х] I х,хеЯ},

Будем называть интервал х&1 (Я) правильным, если х<х, и неправильным, если х>х. Интервал, являющийся одновременно и правильным, и неправильным, будем называть вырожденным интервалом или вещественным числом. \у(х) := х - х называется шириной интервала. Для элементов 1(1<) определяются унарные операции:

-х:=[-х,-х]; р>"(х) - если *-пРавильныЧ

орр(х) :=[-х,-х|; ЦЛЖ], если х-неправильный;

с/иа1(х) :=[х.х];

рг(х) назовем правильной проекцией интервала х. Отношения порядка определяются следующим образом:

(хсу)оО;<х & х<у),

если хотя бы одно из неравенств строгое, т.е. (х с у) & (х Ф у), будем писать «х с у».

(х<у) <=> ((Vге /ФШуе рг(у)) х<у,

Пусть a, ei*(R), Va := snpQ а = [inf< g , , sap< a , ],

' i ;

A a, := infç, л = [sup< a , , inf< a ,] ' i i

определяются на ограниченном множестве а,, мощность множества индексов - любая.

Обозначим aY-jV' если ^-правильный;

[А, если .г-неправильный;

Для a,be / (R) определяются арифметические операции a*/r.= Çl" Çlb а *Ь , *е {+,-,-,/}, при делении 0 g pr(b).

ае pr{ä) be pr(b) .

Теорема 1.1. (об изотонности по включению).

Интервальные арифметические операции, введенные определением 1.8. изотопны по включению, т.е.

(a çb & xçzy) (a*xçb*y), где *е{+,-■,/}■

Теорема 1.2. (о субдистрибутивности). Пусть a,b,c е I*(R), если а - правильный интервал, то a(b+c) cab+ac, если а - неправильный интервал, то а(Ь+с) з ab+ac.

В п. 1.2 вводится метрика на множестве интервалов и интервальных векторов. Множество интервальных векторов есть f(R") :=.{.x=(xh ... ,х„)т I xiei(R), i^TJi}

Для х,уе Î(R) р(х,у):~ maxf\x - у\, |х - у\}. Для x,yeI*(R'1) р(х,у):= тах р(х,у),

1<!< П

Даются основные свойства метрики.

Включение на /(^определяется: (xczy) (Vi XiQyi) и (хсу) <=> ((хау) &(3ixi<zyi))

Отрезком <v,w> в / (R") назовем множество интервальных векторов х. удовлетворяющих неравенству v с: х с w.

В п. 1.3 приводятся определения интервальных расширений вещественных функций и необходимые в дальнейшем теоремы об интервальных расширениях.

Общее определение интервального расширения для I (R").

Определение 1.15. Пусть fiDcR" ->R"\ назовем F: Dcf (R" )->!*( R"') интервальным расширением/', если DczD и для деI) имеет место равенство flt;) = F(^)

Пусть z - (zi, ... , z,,)Te 1 (R") - множество аргументов, на которых мы хотим определить интервальное расширение. Разобьем его на два подмножества аргументов, из правильных аргументов составим правильный интервальный вектор х=(х/ , ... ,хр) , а из неправильных - неправильный интервальный вектор }'=()'i, .. где p+q=n.

Определение 1.16. Пусть f(¿j„ rj) - вещественная функция, где

...Лр)Т> V~(71i>V2>--- >*h)> непрерывная по каждой из переменных ■■■ если x=(xj , ... ,хр)Т ~ правильный интервальный вектор, а y=(yi,...,yq)T - неправильный интервальный вектор, определим для / следующие интервальные расширения

f ix.y):~ v Л f&V), Г(х,у):= д V ММ

rjsclual(y) r\edual{y) ^ех

В общем случае /с/

Основные используемые теоремы1.

Теорема 1.3. f*(x,y)=dual(f(dual(y),dual(x)).

Теорема 1.4. Если/ Y-V.yJ - правильный интервал, то

(V х е х)(3уе pr(y)) / (х, у) е /* (х, у).

*

Если/ (х,у) - неправильный интервал, то

1 Gardenes Е„ Trepat А., Mielgo Н. Present Perspective ofthe SIGLA Interval System II Freiburger Intervall-Berichte. - Freiburg, 1982. - p.2-54

(Ухе х)(Уяе рг(/*(х,у)))(3уе рг(у)) /(х,у) = г.

Глава 2 посвящена исследованию интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ). П.2.1 содержит основные используемые нами определения множеств решений ИСЛАУ и постановку задач внутренней оценки объединенного и допустимого множеств решений уравнений в интервальных пространствах.

Рассматривается вещественное уравнение относительно

(1)

где /• «=(«,,..., а/, /3=Г/3,.....Д,/, .....£ „)г.

Пусть теперь

ос!€а1:=[а!,сч I а=~й), $:=[ Ь^Ь,-] (]=1.т).

Пусть Г: Ос 1( К')х К И") —> ¡(К'") является интервальным расширением для /. Сопоставим уравнению (1) интервальное уравнение

(2)

Определение 2.1. Объединённым множеством решенгш уравнения (2) будем называть множество вещественных векторов

Хээ:={$ I (3 осе а) (ЭреЬ)Да, §)=/5}. (3)

В общем случае Х33 не является интервальным вектором и может иметь сложную структуру. Традиционно в интервальном анализе рассматривалась задача нахождения легко описываемого множества (интервального вектора), включающего в себя это множество решений, так называемая внешняя задача. Значительно меньше работ посвящено задаче нахождения внутренней оценки множества (3). И в целом задача оставалась нерешенной.

Постановка задачи внутренней оценки объединённого множества решений Найти максимальный по включению интервальный вектор х, удовлетворяющий условию

х)(Заеа)(ЭреЬ)

Очевидно, такой интервальный вектор не содержит "лишних точек", т.е. точек, не являющихся решениями ни одного из уравнений (1).

Впервые эта задача была поставлена В.А.СЬаПегей'ом для систем линейных алгебраических уравнений. У.КаЛЬеиэ отметил неединственность максимальных внутренних оценок относительно порядка по включению. Он также предложил свой способ решения задачи, основанный на градиентном методе для максимизации объема интервального вектора, при этом решение существенно зависит от выбора начального приближения.

Несколько большее количество работ посвящено другой внутренней задаче - нахождения внутренней оценки допустимого множества решений.

Определение 2.2. Множество вещественных векторов

Х*э:= { % I (Уаеа) (ЗрвЬ) Да,^)=Р1 будем называть допустимым множеством решений уравнения (2).

Первоначально допустимое множество решений рассматривалось Н.Веек'ом для интервальных систем линейных алгебраических уравнений, который показал, что его пересечение с каждым ортан-том является выпуклым и поэтом}' его покрытие можно найти с помощью линейного программирования. ,1.11о1ш и Е.Т^исЦгщ упрощают этот подход, показывая, что это множество само по себе выпукло. Внешними оценками этого множества занимался также Внутренняя задача для этого множества рассматривалась Ноймайе-ром, Шайдуровым, Шарым, Хлебалиным, Захаровым.

Постановка задачи внутренней оценки допустимого множества решений

Найти максимальный по включению интервальный вектор х, удовлетворяющий условию

{Щех) (¥аеа)(ЭреЬ)/(а,$)=р.

Определение 2.3. Интервальный вектор х, удовлетворяющий уравнению (2), т.е. интервальный вектор, при подстановке которого в (2) это уравнение превращается в тождество, будем называть интервальным решением этого уравнения.

Впервые это решение рассматривали Nickel К., Ratchek Н., Sauer (1982г.) для п=1, и Зюзин B.C. для ИСЛАУ. Здесь предложен новый способ решения обеих внутренних задач.

П.2.2 содержит теоремы о включении правильных интервальных решений исходной системы и системы уравнений с дуальной матрицей соответственно в допустимое и объединенное множества решений исходного уравнения.

Уравнение

А-х—Ь, (4)

где А - тхп-матрица с элементами cilf eI*(R), х и b — »-векторы, хi ,b¡&l (R), а умножение матрицы на вектор понимается в обычном смысле (А л-]; - ' хк > где вместо операций над вещественными числами стоят соответствующие интервальные операции, определенные в 1.1, назовем интервальной системой линейных алгебраических уравнений.

Замечание. Уравнение (4) в общем случае не является линейным. Даже для n=m=¡ a-x=b, где a,xeí (R). Для произвольных вещественных a,ß и интервалов х,у в общем случае, в силу теоремы 1.2, выполняется включение

a(ax+ßy)caax+ßayb если «-правильный, a (ax+ßy) з aax+ßay, еели а - неправильный.

Для уравнения (4) объединенное и допустимое множества решений есть

Хзэ :={х|(ЗЛе A)(lh<=b) Ax = b}

XV3~{x\(\fA^A)(3beb)Ax = b}

Замечание. Понятия объединенного и допустимого множеств решений можно определить только для уравнений с операторами, являющимися интервальными расширениями вещественных функций на множестве правильных интервалов. В частности, для (4) эти множества определимы только в случае, когда А и b состоят из правильных интервалов.

Шарый С.П. показал, что правильное интервальное решение уравнения (4) является максимальной по включению внутренней оценкой допустимого множества решений.

Интервальное решение уравнения

dual(A)-x = b, (5)

где (dual(A))ij:= dual(ciij), обозначим через х .

Следующая теорема впервые доказана автором в [6].

Теорема 2.2. Если xd является интервальным решением уравнения (5) и все его компоненты - правильные, то xd включается в объединенное множество решений уравнения (4)

ЛгХзз

П.2.3 посвящен доказательству наиболее важной теоремы данной диссертации - теоремы о максимальной внутренней оценке объединенного множества решений, он содержит четыре леммы и теорему [6].

Теорема 2.3. (Основная теорема о максимальной внутренней оценке) Если xd является интервальным решением уравнения (5) и все его компоненты - правильные, то х является максимальной по включению внутренней оценкой для объединенного множества решений уравнения (4), с матрицей А, удовлетворяющей условию (Vjefl,...,nJ) (3ie{l,...,nj) 0 £ a;j. Т.е.

(xda Хээ)&((УХ=>х) х £ Хзэ). Приводятся примеры, иллюстрирующие результат теоремы.

В п.2.4 дается итерационный метод нахождения интервального решения, первоначально предложенный Зюзиным B.C. для уравнений в I(R"). Метод Зюзина B.C. обобщен на случай I (It"). Показано, что алгоритм сохраняет свои свойства и в общем случае, и может иметь более универсальное применение, чем задача внутреннего оценивания. Уравнение (4) приводится к виду

х=В(х), где B{x)i =(hjQ^l=lalkxk)/.au,i=l,n (6)

k^i

(xQy:-x+opp(y); x/.y:-x/(dual(y)))

Не нарушая общности, можно считать, что Og рг(ан). В самом деле, если (VAe pr{A)) det(yí) ^ 0, то с помощью простой перестановки

строк мы всегда можем добиться, чтобы правильные проекции интервалов главной диагонали pr(a¡¡) не содержали нулей. Неподвижная точка оператора вычисляется по следующей итерационной схеме

хк+1 = В(х) (к=0,1, ... ) Доказана следующая теорема.

Теорема 2.5. Если интервальная матрица А такова, что

п

(V / = In) ]Г | а!к | < min{| ай |,¡ an |} , k=l

то оператор В из (6) является оператором сжатия.

В п.2.5 предложен выбор начального приближения, при котором итерационный метод дает двусторонние оценки искомого решения, выбор основан на свойстве антитонности оператора В (6).

Определение. Оператор В: f(R")->f(R"') назовем антитонньш по включению (или просто анпттониым), если (xQy)=>(B(x)'3B(y)).

Теорема 2.6. Оператор В из (б) является антитонным оператором.

а

Обозначим а ~ max (I //. «¡¡I- У I а,,. I), В:= max I/?;/,«„!, t:=B/(L~a),

1 <i<n ^ Л 1<1<И

ы

В качестве начального приближения выбирается w такой, что :=[-г,г]. Показано, что отрезок X=<opp(>v0), w" > оператором В

переводится в себя. Затем вычисляются двусторонние приближения по следующей схеме

vk=B(wk), \v +1=B(vk), (k=0,l,...).

В силу антитонности В, имеем

0 12 * 2 10 V С V С V С...СХС... CWCW С w

*

где х - неподвижная точка оператора В.

В главе 3 рассматриваются решения квадратных интервальных уравнений. В п.3.1 рассматриваются задачи отыскания интервалов, включающихся в объединенное и допустимое множества решений одного уравнения с интервальными коэффициентами. Показано, что такими интервалами являются интервальные решения соответствующих интервальных уравнений. Доказаны теоремы о связи объединённого и допустимого множеств решений с интервальным решением для интервального нелинейного уравнения с операторами Í и / .

Пусть ((«;>сб....,«,„- рациональное выражение, составленное из символов соединенных знаками арифметических операций +, -, -, /. Рассмотрим уравнение относительно ç

f(a,, а2,..., a,„Ç)=5, (7)

о параметрах которого известно, что они изменяются в некоторых интервалах, ajea¡, ос;в аг,...,сс,,в а,„ Sed, {a¡,ci2,,...,a„,del (R)), в которых соответствующие арифметические операции определены, т.е. не встречается деление на ноль. Обозначим a:=(a¡, 0,2,..., (х „)т -вещественный вектор и o:=(a¡,a2,...,a,¡)T - интервальный вектор. Для краткости будем писать f(a,^) вместо flot}, ai,..., а,„ Ç) и осе а вместо a ¡eu i, i = \,n.

Следующие теоремы показывают связь между введенными множествами решений уравнения (7) и интервальными решениями соответствующих интервальных уравнений. Теорема 3.1. Если правильный интервал х является максимальным по включению интервальным решением уравнения

f(dual(a),x)-d, (8)

то х* является максимальной внутренней оценкой объединенного множества решений уравнения (7), т.е. обладает свойством

(х* Я Х33) &((Vx з х*) х 2 Хээ)

Следствие 3.1. Если правильный интервал х* является максимальным по включению интервальным решением уравнения

f*(a,dual(x))=dual(d), (9)

то х является максимальной внутренней оценкой объединенного множества решений уравнения (7).

Следствие 3.2. Любое интервальное решение уравнения (8) (и, следовательно, (9)), не обязательно максимальное, содержит решения всех вещественных уравнений (7) для всех возможных значений его параметров.

Теорема 3.2. Если правильный интервал л является максимальным по включению интервальным решением уравнения

/V а,х)=с1, (10)

то он является максимальной внутренней оценкой допустимого множества решений уравнения (7).

Следствие 3 .3. Если правильный интервал х является максимальным по включению интервальным решением уравнения

/*((1иа1(а),с1иа1(х))=скш1(с1), (11)

то он является максимальной внутренней оценкой допустимого множества решений уравнения (7).

Следствие 3.4. Любое интервальное решение уравнения (10) (и, следовательно, (11)),. не обязательно максимальное, обладает свойством

Т.е. выбирая значения из интервалов х и л,- , ¡=1,2,...,п, можно получить любое заданное значение из интервала с/.

Полученные теоремы позволяют сводить задачи отыскания внутренних оценок объединенного и допустимого множеств решений уравнений с интервальной неопределенностью в параметрах к задаче отыскания правильных интервальных решений интервальных уравнений в пространстве 7 (/?), что дает возможность использовать общую теорию решения операторных уравнений.

В п.3.2 результаты п.3.1, полученные для нелинейного уравнения общего вида, применяются к уравнению второй степени. Интервальная квадратичная функция рассматривается как результат применения операции интервального расширения к вещественной квадратичной функции. Показана связь объединенного и допустимого множеств решений с интервальными решениями уравнения с неправильными интервальными коэффициентами и уравнения с

правильными коэффициентами при положительных степенях и неправильным свободным членом. Соответственно, п.3.3 и п.3.4 посвящены нахождению решений первого и второго упомянутых уравнений.

Рассмотрим квадратное интервальное уравнение относительно х

х2+Ь-х+с=0, (12)

где х,Ь,се1*(Л), а левая часть есть формальная запись для соответствующего интервального расширения ¿> на интервалах х,Ь,с вещественной функции g(l;,p,y):=¿;2+p%+y. Нас интересуют правильные решения х этого уравнения с неправильными Ь, с, а также с правильным Ь и неправильным с.

Квадратом интервала х называется интервал х2 := I2

рг(х)

Квадратным корнем из интервала называется интервал, квадрат которого равен данному интервалу. Минимальный по включению неотрицательный квадратный корень из интервала .г обозначается ЛГ . Комплексные корни не рассматриваются.

Обозначения для дискриминантов уравнения (3.12):

О ■= [Ь2 -4б'.Л2 -4с]; /), -\Ь2 - 4с,Ь2 -4с];

с! :=[Ь2 -4с,52-4с]; с!х ~[Ь2-4с,Ь2-4с]; и далее, везде, где берется квадратный корень из дискриминанта, будем предполагать, что соответствующий дискриминант неотрицателен.

В пп.3.3 и 3.4 доказываются теоремы о решениях квадратных интервальных уравнений. Кратко их можно представить в виде следующей таблицы, где решения для неправильных Ь и с существуют без дополнительных условий (только с условием неотрицательности соответствующих дискриминантов), а решения для правильного Ь и неправильного с существуют при дополнительных условиях, которые приводятся после таблицы (в скобках после решений указаны номера приведённых после таблицы условий, при которых данное решение существует).

с>0 с<0 саО

Ъ>0 орр(Ъ)-4о 2 -ь+М (8) оррф)-Л) т 2 (>РРФ)+4Щ {П) 2 К ' оррф)-Л) 2 (3)

Ь<0 (7) 2 v оррф)+л[1^ 2 Ы оррф)-4о 2 орр{Ь)+т]1\ 2 ^ -¿-лД" 2 7 оррФ) + 4Ц~

Ь=>0 орр(Ь)—Л) п 2 °РРФ) + -у/А" оррф)-4Т) 2 °ррф) + л/^Г (О) оррф)—1о ш 2 (5 или 6) оррф)+^Щ 2 ^ ; + (9 или 10)

1><=0 если с=0, то 0 с х с [-6,-6] оррф)—Ш ^ 2 <>РРФ)+4Ё\ р-. 2 ^

Условия для правильного Ь. 1) п (/>) < и (ЛТ): кф) <

2) 3)

4)

5)

6) ¿2 < 0 и У>ф) <71Г+л/л~;

7) - <н-(6)< +Ж;

8) - \v\4l)) < пф) <Ш+V/)";

9) +■у/Ж < яф) < Ш +

-Ш+^ЛТ Ю) /)] < о и и>{Ь)<т[Ш+-Л);

В некоторых особых случаях уравнение имеет множество решений, которые также приведены в диссертации.

Приводятся примеры решения квадратных интервальных уравнений.

Автор выражает искреннюю благодарность Зюзину B.C., Ша-

рому С.П., Меньшикову Г.Г., Нестерову В.М.

Список работ по теме диссертации

1. Куприянова Л.В. Нахождение сегментных решений квадратных сегментных уравнений // Диф. ур-ния и теория функций. - Саратов. 1989. - (Межвуз. научн. сб. / Изд-во Саратов, ун-та; Вып. 8). - с.61-72

2. Куприянова JI.B. Комплексные корни квадратного интервального уравнения // Инф.-операт. материал (интервальный анализ). -Красноярск, 1989. - (Препр. / ВЦ СО АН СССР ; N 9). - с. 18-20

3. Куприянова Л.В. Решение квадратных интервальных уравнений // Труды семинара по интервальной математике, 29-31 мая 1990. -Саратов, 1990. - с.82-88

4. Kupriyanova L. A Method of Square Root for Solving Interval Linear Algebraic System // INTER VAL-94 Conference, March 710, 1994, St-Petersburg, Russia, Abstracts. - p.68-68

5. Kupriyanova L. Inner estimation of the united solution set of interval linear algebraic system // A supplementum to the international journal of Reliable Computing. - El-Paso, 1995. - p. 114-115

6. Kupriyanova L. Inner estimation of the united solution set of interval linear algebraic system // Reliable Computing. 1995. -Vol.1. -N 1. -рЛ5-32

7. Kupriyanova L. Interpretation of Algebraic Interval Solution of Interval Equations // SCAN-98, Volume of extended abstracts, Sept.22-25, 1998, Budapest, Hungary. - p.81-82

8. Kupriyanova L„ Zyuzin V. Solution of the quadratic interval equations // SCAN-90, International Symposium on Computer arithmetic, Scientific Computation and Mathematical Modelling, Albena, Bulgaria, September 24-28, 1990

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Метрическое пространство /*(ТО.

1.1. Некоторые свойства расширенного множества интервалов

1.2. Метрическое пространство над множеством интервальных векторов

1.3. Интервальные расширения.

ГЛАВА 2. Решение интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

2.1. Постановка задач внутренней оценки множеств решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

2.2. Теоремы о связи интервального решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений с объединенным и допустимым множествами решений.

2.3. Основная теорема о максимальной внутренней оценке объединенного множества решений.

2.4. Нахождение интервального решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

2.5. Выбор начального приближения для получения двусторонних оценок

ГЛАВА 3. Решение квадратного интервального уравнения.

3.1. Интерпретация интервальных решений уравнений в 1(11).

3.2. Объединенное и допустимое множества решений квадратных интервальных уравнений.

3.3. Интервальные решения квадратных интервальных уравнений с неправильными интервальными коэффициентами.

3.4. Интервальные решения квадратных интервальных уравнений с правильными коэффициентами при положительных степенях и неправильным свободным членом.

Данная работа посвящена исследованию уравнений с операторами, действующими в интервальных метрических пространствах, заданных на расширенном множестве интервалов - I (Я) и интервальных векторов -1*(Яп). Целью работы является внутреннее оценивание трудно описываемых множеств решений уравнений и систем с интервальными параметрами более простыми множествами с легко вычислимой мерой, а именно, интервалами и интервальными векторами. Оригинальность предлагаемого подхода состоит в дуализации коэффициентов исходного уравнения и нахождении решения полученного уравнения в 1*(Яп), при этом найденное решение, если оно существует, является максимальной по включению внутренней оценкой для множества вещественных решений исходного уравнения. Автором доказаны соответствующие теоремы для интервальных уравнений и интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Существование решений уравнений в интервальных метрических пространствах заслуживает отдельного рассмотрения и не является предметом представленной работы.

Расширенное множество интервалов 1*(Я) впервые было рассмотрено Каухером [32] в 1973 году, им была предложена арифметика этого множества (арифметика Каухера) и доказаны основные теоремы о её свойствах [32,33,34]. В дальнейшем расширенная интервальная арифметика разрабатывалась Гареденесом, Трепатом, Джэнером, Миелго [27,28,29,30], которыми были введены также некоторые понятия и доказаны новые важные свойства.

Главными трудностями при решении уравнений в интервальных пространствах являются нелинейность умножения на вещественные числа и невыполнение дистрибутивного закона для интервальных арифметических операций, в связи с чем даже оператор умножения вещественной матрицы на элемент хе 1*(Яп) не является линейным оператором.

Чтобы охарактеризовать место, которое занимает данное исследование в интервальном анализе, и возможные области приложения, заметим, что с интервальным анализом связаны три направления научной и технологической деятельности [23]:

- математическое - включающее исследование математических проблем интервального анализа;

- компьютерное - рассматривающее вопросы создания и использования компьютерных средств для выполнения интервальных вычислений;

- прикладное - связанное с применением результатов интервальной математики и соответствующих компьютерных средств в различных областях науки и технологии.

Данная работа относится к первому из этих направлений.

Возникнув как подход к решению задачи получения гарантированного результата, интервальный анализ находит свое применение в исследованиях, объекты которых имеют изначально интервальную природу. Например, состояние человеческого организма характеризуется такими параметрами, как температура тела, давление крови в сосудах, содержание в ней определенных веществ и т.д. Для этих параметров существуют некоторые интервалы, в пределах которых любое их значение является допустимым для нормального функционирования организма. Любая система подвержена влиянию разнообразных факторов, которые в количественном выражении могут изменяться в каких-то границах, при этом система остается жизнеспособной (отвечает своему целевому назначению), если ее параметры не выходят за границы допустимых значений [2]. В связи с этим возникают два вида интервальной неопределенности. С одной стороны интервал [ос,|3] есть множество вещественных чисел, и соответствующий параметр может принимать любые вещественные значения из данного интервала, с другой стороны - это приближенные оценки, верхняя и нижняя границы, одного единственного вещественного числа. Математически это различие выражается употреблением кванторов всеобщности V или существования 3: в первом случае - V ^е [а,(3], во втором - 3 \ е [а,(3]. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:

- интервалы и интервальные векторы обозначаются латинскими буквами а,Ь,с, .(с индексами и без них);

- интервальные матрицы - большими латинскими буквами А,В, С, .;

- вещественные векторы и матрицы - латинскими буквами с точкой снизу а, Ъ ,с ,.,А,В ,С.\ концы интервалов и интервальных векторов - а, а (нижний и верхний конец, соответственно), Ь,Ь,.;

- вещественные числа - греческими буквами аДу, ., а также малыми латинскими с точкой снизу или с чертой.

Приведем простейший пример двух типов неопределенности. Пусть имеется вещественное уравнение относительно х: а.+ х = Ъ , где а, Ь,х - вещественные числа. Даны интервалы их изменения, а, Ь и х, соответственно. В интервальной постановке возможны различные задачи, например:

1) найти интервал хтакой, что а + х = Ь; этот интервал х характеризуется парой свойств

Ухе х)(Уа.е а)(3 Ь е Ь) а+ х = Ъ и (\/Ь е Ь)(3 ае а)(3 хе х) а+ х = Ъ ;

2) найти интервал х такой, что х = Ъ - а; этот интервал х характеризуется парой свойств аеа)(У Ь е Ь)(3 хе х) а+ х = Ъ и (Ухе х)(3ае а)(ЗЬе. Ь) а+х = Ь.

Решение первой задачи является подмножеством решения второй.

Так как значительная часть настоящей работы посвящена интервальной системе линейных алгебраических уравнений, имеет смысл привести пример из [19], иллюстрирующий принципиальное различие между двумя типами неопределенности. Рассмотрим структурную схему линейных статических систем следующего вида: у- Ах р г

А - вещественная тхл-матрица, х,у - вектора соответствующей размерности. Интервальная неопределенность элементов а матрицы А может быть двух типов, которым соответствуют: первому - параметры, которые нашей воле неподвластны и могут изменяться в пределах соответствующих интервалов как следствие внешних непредсказуемых возмущений (это соответствует \/а • •€ <я/7);

• и и второму - параметры, которые мы можем изменять в пределах заданных интервалов по своей воле, т.е. управлять ими (это соответствует 3 а у<Е а у).

Интервалы выходных откликов системы >',■ можно интерпретировать либо как

- коридоры стабилизации системы, в пределах которых нам требуется обеспечить ее функционирование вне зависимости от значений возмущаемых параметров (соответствует 3 у е у-,), либо как

- множества достижимости системы, каждое значение которых должно быть накрыто в результате подходящего выбора управляющих параметров (соответствует V у -е уг).

Характер неопределенности исходных данных и результата зависят, таким образом, от конкретной задачи. Классификация различных множеств решений для интервальных уравнений дана С.П.Шарым в [22].

В данной работе расширенный интервальный анализ Каухера [32] применяется для нахождения решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений и интервального уравнения второй степени в пространстве 1*(Я). Основным результатом данной работы являются теоремы о связи интервальных решений уравнений в интервальном метрическом пространстве с решениями вещественных уравнений и систем уравнений с интервальной неопределенностью коэффициентов. Наиболее важным результатом является теорема о максимальной внутренней оценке объединенного множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений, которую дает интервальное решение уравнения с дуальным оператором. Кроме того, дается итерационный метод решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений в метрическом пространстве Рассматриваются условия сходимости метода и условия, при которых соответствующий оператор является оператором сжатия. Для интервальных решений уравнений второй степени в пространстве 1*(Я) получены их явные выражения через коэффициенты этого уравнения.