Изгибания поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Р Г 8 ОД

На правах рукописи '" УДК 513.736

КАЗАРЯН НШАН САРКИСОВИЧ

ИЗГИБАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ВНЕШНЕЙ КРИВИЗНЫ С КРАЕМ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

(01.01.04 - геометрия и топология)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск • 1996

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Таганрогского госз'дарствеыного педагогического института.

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук профессор В. Т. Фоменко

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Ю. Ф. Борисов кандидат физико-математических наук доцент П. Е. Марков

Ведущая организация-

Российский государственный педагогический университет (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится " ^ " юоня_1996 года в

_16_часов на заседании диссертационного совета К 002.23.02

в Институте математики СО РАН по адресу: 630090. г. Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН. .г—

Автореферат разослан " " /¿ЛсЛ^ЫА^_1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук

А. С. Романов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.

Изучение свойств изгибаний поверхностей, а также деформаций, при которых дойны кривых на поверхности не изменяются с точностью до какого-то порядка малости, занимает важное место в теории деформации поверхностей. Деформации поверхности, при которых длины кривых на поверхности не изменяются до п-ого порядка малости называют бесконечно малыми изгибаниями п-ого .порядка, при п=1 такие изгибания поверхности называют бесконечно малыми изгибаниями первого порядка или бесконечно малыми (б.м.) изгибаниями.

Большое место в теории изгибаний поверностей занимают изгибания поверхностей с краем, при которых на краю ставятся условия . того или иного типа ( кинематического или геометрического), называемые краевыми условиями.

В работах И.Н.Векуа, а в дальнейшем и в работах В.Т.Фоменко, определен и исследовал ряд достаточных условий, налагаемых на край поверхности и внешнюю связь, при которых краевое условие является квазикорректным почти жестким с тремя степениями

а

свободы, и описаны некоторые краевые условия, при которых поверхность допускает непрерывные изгибания, зависящие от трех параметров.

Пусть Я3—трехмерное риманово пространство с метрикой сЬ2 = г^Л-Л^, (а, р = 1,2,3), где ^ е С"*» , п> 3, 0 < о < 1. Известно, что поверхность Б с положительной внешней кривизны К>ко>0, ¿0=сош1., гомеоморфная плоской области, допускает бесконечно малые изгибания с большим произволом, при этом бесконечно малые

изгибания поверхности описываются дифференциальным оператором

з

^=0, (1) где £ = —тензорное поле скоростей точек поверхности при бесконечно малом изгибаний.

В работах И. Н Векуа рассматривались бесконечно малые изгибания поверхности Б, подчиненой на краю условию обобщенного скольжения

= (2)

где {¡^)—заданное вдоль края ¿7$ ненулевое тензорное поле, а— заданная функция. Им достаточно полно изучена задача (1), (2) при условии, что тензорное поле принадлежит касательному рас-

слоению поверхности вдоль края дБ . Установлено, что однородная (а в 0) задача имеет конечное число линейно независимых решений, а неоднородная (с ¥ 0) задача разрешима при определенных условиях,"

налагаемых на тензорное поле и функцию <т.

В. Т. Фоменко и И. М. Кричевер изучали задачу (1), (2) в предположении, что = = £ , = 0,а = 1, где Е=Е(г) еС"1'",

п> з, 0<и<1, а тензорное поле мало (в смысле некоторой нормы )

отличается от тензорного поля ) = {О.ОД}. Ими доказано, что для односвязной поверхности с положительной внешней кривизной, существует константа Р такая, что для всех тензорных полей

¡;*-/0'||с1.„<ЛР>о,о<»<1 (з)

задача (1), (2), безусловно, разрешима для любой функции а, при этом однородная задача имеет три линейно независимых решения.

В приложениях, связанных с исследованием поведения тонких упругих ободочек при втулочных связях, важную роль играет знание величины Р в оценке (3). Конкретное значение величины Р в случае евклидова пространства приведено В.Т.Фоменко. В настоящей диссертации указываются аналогичные значения константы Р для ри-мановых пространств с выше указаной метрикой. Доказывается также, что при указаных внешних связях рассматриваемые поверхности допускают непрерывные изгибания, зависящие от трех параметров.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ЕЕ НАУЧНАЯ НОВИЗНА. :

Цель работы- изучить бесконечно малые и непрерывные изгибания поверхностей в римановом пространстве при условиях обобщенного скольжения и условиях втулочних связях на краю. Найти достаточные условия, при выполнении которых, внешние связи обобщенного скольжения является квазикорректными в отношении бесконечно малых изгибаний поверхностей и являются совместимыми с непрерывными изгибаниями рассматриваемой поверхности.

Новизна- 1) найдены условия, налагаемые на угол у , определяемый тензорным пблем (/'), при которых внешняя связь (2) является

квазикорректной почти жесткой с тремя степениями свободы.

2) Найдены условия, налагаемые на угол у . при которых внешняя связь совместима с непрерывными изгибаниями поверхностей , зависящими от трех параметров.

ПРИЛОЖЕНИЯ.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации являются новыми и могут быть применены к дальнейшему исследованию бесконечно малых, и непрерывных изгибаний поверхностей в римановых пространствах.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ.

В работе используются традиционные методы геометрии и теория дифференциальных уравнений. Существенную роль играет применение теорем существование решения третьей краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Применение априорных оценок решения краевой задачи позволяет использовать принцип последовательных приближений для доказательства существования решения нелиейной задачи.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях Таганрогского госпединститута (19921995), на международной научной конференции "Лобачевский и евклидова геометрия" (18-22 августа 1992г., Казань), на международной конференции по геометрии "в целом" (12-15 сентября 1995г., Черкассы).

ПУБЛИКАЦИИ.

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых находится в конце автореферата

СТУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.

Диссертаци содержит 83 страниц текста, состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы в 34 наименования.

Главы имеют следующие названия:

Гл. 1. Общие сведения теории изгибаний поверхностей.

Гл. 2. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной внешней кривизны при внешних связях.

Гл. 3. Непрерывные изгибания поверхностей в римановом пространств.

стороны положительного направлен™ края с Б, г; = х1 + у2

(л:,у) функция класса С-и(ю), 5 —длина дуги ¿О.

Показывается, что условие (2) относительно функции ТДх.у) на сО имеет вид

дц

где — производная по направлению г= , ¿(.у) еС"~1,и(сО), ст

с-Д^еС-1-"^).

В третьем параграфе исследуется краевая задача (4), (5) (третья краевая задача) путем построения сопряженной задачи и доказываются вспомогательные предложения.

В четвертом параграфе рассматривается краевая задача (4). (5)

для поверхности ^ = /"(/7=) еС"+1'"(£>), р- =хг +уг, (х,у)еД которая

исследуется методом заменой искомой функции. При этом для описания граничного условия вместо угла у вводится в рассмотрение

угол а: 7 ~ а). Доказывается ряд вспомогательных пред-

ложений.

Основными результатами главы являются следующие теоремы. ТЕОРЕМА А. Пусть угол у вдоль края 8Ъ поверхности Б

удовлетворяет условию <7~~агс1%Гг , где

■5)=Л--— <~а^п<г}, кп — нормальная кривизна края , к

—крившна края дВ области Б, п —внешняя нормаль дВ. Тогда поверхность Б, подчиненная однородному (с-О) условию обобщен-

9

ного скольжения, допускает три линейно независимых бесконечно малых изгибаний; поверхность S, подчиненная неоднородному (с^О) условию обобщенного скольжения, всегда для любой функций с допускает бесконечно малые изгибания, зависящие от трех параметров.

ТЕОРЕМА В. Пусть угол а вдоль края с&р поверхности Sp удовлетворяет условию arctga>2ys) <а < п, где аг\?)- — гf •

pe. Jр + — V-C.

Тогда поверхность Spi подчиненная однородному (ffsO) краевому условию обобщенного сколъжеииа. допускает три линейно независимых бесконечно малых, изгибания; поверхность Sp, подчиненная неоднородному (сг^о) условию обобщенного скольжения, всегда для любой функции ст дотаскает бесконечно малые изгибания, зависящие от трех параметров.

ГлаваЗ состоит из четырех параграфов. В первом параграфе

дается аналитическая запись непрерывных изгибаний поверхности S0 положительной внешней кривизны в рнмановом пространстве R3 (£). заданной уравнеием г=/(х:у), (х.у)еД где D —односвязная ограниченная выпуклая область с границей ¿~D класса CLU, /(х,у) eCri", п> 3,0 < о < 1, с краевым условием обобщенного скольжения.

Пусть при непрерывной деформации поверхность Stí переходит в поверхность S. Непрерывная деформация поверхности S0 называется непрерывным изгибанием, если сЬ^ = сЬг, где ck¡ и ск2 первые формы

поверхностей S0 и S соответственно. Показывается, что

ю

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обзор основного содержания диссертации.

Первая глава состоит из 3-х. параграфов.

В первом параграфе дается определение б. м. изгибаний поверхности и выводится уравнения, определяющие поле б. м. изгибания поверхности в римановом пространстве. Во втором параграфе дается определение непрерывного изгибания поверхности и выводится уравнение описывающее непрерывное изгибание поверхности в римановом пространстве.

В третьем параграфе приводятся некоторые виды кинематических связей на краю поверхности и рассматриваются внешние связи обобщенного скольжения.

Глава2 посвящена бесконечно малым изгибаниям поверхности положительной внешной кривизны при внешних связях. Глава2 состоит из четырех параграфов. В первом параграфе выводится уравнения бесконечно малых изгибаний поверхности с краем положительной внешней кривизны в римановом пространстве.

Пусть Л3—трехмерное риманово пространство с метрикой сЬг = Е(=)(сЬ2 + , где Щ>0, Щ еСт1'и, п>3, 0<и< 1. В качестве примера такого пространства можно взять евклидово пространство Ег, для которого = ], также пространство

Лобачевского V кривизны минус единица, если в качестве базисной поверхности полугеодезической системы координат взята орисфера. В этом случае •£(-) = ехр(2;). Такие пространства назавем пространством типа£ и обозначим через -Я3(£).

Рассмотрим в К3(е) поверхность Б положительной внешней кривизны, заданную уравнеием г=/Гх., у), (х, у) е£>, где В —односвязная ограниченная выпуклая область с границей <?£> класса С-", Лх,у)еС№и, п>3,0<и< 1. Пусть поверхность Б подвергается бесконечно малому изгибанию в пространстве/?3^). В работе показывается, что уравнения (1), описывающее б.м. изгибание поверхности Б в римановом пространстве приводится к одному уравнению

эллиптического типа относительно одной неизвестной функций и=и(х,у) е С"'", п> з, 0<о <1, (х,у) еД

г

8

оЬ'

2

Ш

■*си=о, (4)

1-1

сх,

где а* е^сеС^В).

УТВЕРЖДЕНИЕ, и = 0 тогда и только тогда, когда

^¿сД,^ {1,0,0}, £7, = {0,1,0}, (Г, = {-у, *,0},

1=1

где с, —произвольные постоянные, и = т], —тензорное поле б.и. изгибания поверхности Б.

Во втором параграфе дается аналитическая запись краевого условия обобщенного скольжения поверхности Б в

Пусть ('") = зш7,бшу,соэ^ |—единичное тензорное поле вдоль ЗЪ , не касательное к поверхности , где у = у(з)—угол между и направлением = {0,0,1} в точках края поверхности Б, отсчитываемый от до (/") против хода часов, если смотреть со

Си и(£»), если тензор-функция (£") = {£,7>С} принадлежит классу С"-и(£), п> 3,0<и< 1.

Таким образом, поставленая задача сведена к исследованию разрешимости нелинейной краевой задаче (7), (8).

Во втором параграфе дается исследование линейной краевой задачи, имеющей вид уравнении (7), (8), в которых правая часть считается известной. Указываются априорние оценки для решения

этой задачи: ИГЦНГ'+ ИГ ф. |) > где С=«**>0-

зависящая от функций Е и области £>; |(/'||11'0 = тах|[^/||_1' ,

= (^"и - + )„ е С-2- , = 1,2,3)— произвольные

постоянные.

В третьем и четвертом параграфах исследуется разришимостъ нелинейной краевой задачи (7), (8) для поверхностей Б и соответственно. Здесь доказываются ряд лемм и основные теоремы этой главы.

ТЕОРЕМА С. Пусть угол у вдоль края дЪ поверхности Б

удовлетворяет условию ~-arc^ga)1^s)<Y<^-alx:tgf' . Тогда существует константа Р>0, зависящая от функции Е угла у и области Д такая, что при выполнении условий где

ст(л) е Сг""(сЮ)— заданная функция на ¿Ю , поверхность Б, подчиненная краевому условию обобщенного скольжения или условию втулочной связи, допускает непрерывные изгибания класса Сл,и(£>),

п^ 3,0 < и < 1, зависящие от трех параметров.

12

непрерывное изгибание поверхности 50 в пространстве Л3 (Е) описывается уравнением

(6)

где Ь —дифференциальный оператор, — нелинейная функция

относительно поле деформации = 1,2,3) поверхности ¿о.

Уравнение (6) относительно тензор-функций (св)={<£,77, £} имеет вид

+г?х +В£Х =2Р12 , (.г,у) еВ , (7)

у -^'(/О

где Л = В « щ^у, С = щ-^у)(и =12) —известные

относительно своих аргументов нелинейные функции класса С",~1-0*

если тензор-функция (ь") = принадлежит классу Сл,и(Х>),

и>3,0< о<1.

Решение системы (7) определяет поле деформации (£") = {<£ класса Св,0(1>), л> 3,0< и< 1. Условие (2) относительно функции (^а)= имеет вид *

л/Ё

—8пг(х4+ут1)+а»ге-<т+9(§') на Ю, (8)

где ф— известная нелинейная функция своих.. аргументов класса

и

ТЕОРЕМА Б. Пусть угол а вдоль края поверхности 5р удовлетворяет условию агс^оз^ <а < я. Тогда существует константа Р > 0 , зависящая от функций /, Е, угла а и области В , такая,

что при выполнении условий ||ст(5)|^о < р, поверхность подчиненная условию обобщенного скольжения или условию втулочной связи, допускает непрерывные изгибания класса , зависящие от

трех параметров.

Основные результаты диссертации содержатся в теоремах А, В, С, Б.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.Т. Фоменко за постановку задачи и руководство данной работой.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

[1] Казарян Н.С. Бесконечно малые изгибания поверхностей с краем в римановом пространстве. Деп. в ВИНИТИ, 42 е., №2185-В92, 08.07.1992.

[2] Казарян Н.С. Непрерывные изгибания поверхностей с краем в римановом пространстве при втулочных связях. Деп. в ВИНИТИ, 23с., №845-В93,02.04.1993.

[3] Казарян Н.С. Некоторые результаты теории бесконечно малых изгибаний поверхностей с краем в римановом пространстве при втулочных связях. Деп. в ВИНИТИ, 17 с.,№2009-В93, 15.07.1993.

[4] Казарян Н.С. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве. Международная научная конференция "Лобачевский и современная геометрия", Тезисы докладов, 4.1, с 38, Казань, 1992.

[5] Казарян Н.С. О бесконечно малых изгибаниях поверхностей в римановом пространстве с краевым условием. Сборник научных трудов молодых ученых. Изд. ТГПИ , Таганрог, 1994, ISBN 5- 87976031-6.

[6] Казарян Н.С. Фоменко В.Т. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной внешней кривизны при внешних связях. Сборник научных работ. Деформации поверхностей с заданными рекуррентними соотношениями. Изд. ТГПИ, Таганрог, 1995, ISBN 587976-028-6.