Квантовые эффекты в присутствии нетривиальных классических решений

Силаев, Петр Константинович

Квантовые эффекты в присутствии нетривиальных классических решений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Силаев, Петр Константинович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Квантовые эффекты в присутствии нетривиальных классических решений»

Автореферат диссертации на тему "Квантовые эффекты в присутствии нетривиальных классических решений"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

РГВ од

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

уЗ ;0КТ ?лрл

На правах рукописи УДК 530.12:531.51

Силаев Петр Константинович

"КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПРИСУТСТВИИ НЕТРИВИАЛЬНЫХ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ"

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2000 г.

Работа выполнена на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.С.Вернов,

доктор физико-математических наук, профессор М.А.Мествиришвили.

доктор физико-математических наук, профессор Р.Н.Фаустов,

Ведущая организация:

Институт физики высоких энергий (Протвино).

Защита диссертации состоится:

2000 г. в час на заседании

Диссертационного совета Д.053.05.41 в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, физический ф-т, ауд. ?9 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " ^ " 2000 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета

доцент \ \

-^^А.Квасников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы: Квантование существенно нелинейных теорий со сложной динамической структурой, которые допускают существование нетривиальных классических решений, в последнее время привлекает все больший интерес. С одной стороны, решение проблем, связанных с последовательным учетом классической составляющей поля в рамках квантованной теории при сохранении исходных симметрии теории позволяет развивать уже существующие и создавать новые методы квантования. С другой стороны, спектр явлений, которые может описывать теория, квантованная в окрестности нетривиального классического решения, будет достаточно широк.

Среди классических полевых теорий особое место занимают теории гравитации. Эти теории по построению обладают достаточно полным набором симметрий, в некотором смысле даже более широким, чем обычные нелинейные теории поля. Разумеется, эти симметрии необходимо сохранить при квантовании. Кроме того, эти теории допускают нетривиальные классические решения, многие из которых имеют сингулярности разных типов. Более того, в теориях гравитации репараметризационная свобода приводит к тому, что даже тривиальное решение (плоское пространство) может оказаться сингулярным решением, что в рамках квантовой теории может приводить к нетривиальным следствиям.

Вопросы, связанные с поведением квантованных полей в окрестности сингулярных классических решений, в частности, вопрос о граничных условиях при наличии сингулярных решений разных типов, вопрос об устойчивости ре-

шений относительно квантовых флуктуации, к настоящему времени исследованы не слишком подробно. Между тем без решения этих вопросов невозможна корректная интерпретация сингулярных решений в рамках квантовой теории.

Одним из простейших примеров сингулярной метрики является метрика Риндлера, соответствующая равномерно ускоренной системе отсчета. Описание квантовых эффектов в метрике Риндлера требует решения спектральной задачи в базисе собственных функций оператора координаты центра масс системы, т.е. оператора буста. Представляет значительный интерес то обстоятельство, что задача описания квантовых флуктуаций в окрестности классических решений нелинейных теорий поля в рамках формализма ло-ренцковариантных групповых переменных также сводится к решению спектральной задачи в этом базисе, т.е. к спектральной задаче в быстротном пространстве. Эта задача представляет собой нелокальное конечно-разностное уравнение с мнимым шагом, свойства которого в ультрафиолетовой области существенно отличаются от свойств локальной спектральной задачи типа уравнения Шредингера.

Решения спектральной задачи в быстротном пространстве к настоящему времени известны лишь для тривиальных случаев. Даже кусочно-непрерывные потенциалы, в особенности в пределе больших потенциалов и в пределе существенной нелокальности практически не исследованы.

Цель работы: состояла в исследовании квантовых эффектов в присутствии нетривиальных классических решений в нелинейных полевых теориях и теории гравитации, а также решении связанных с этим проблем: поиску новых точных классических решений в теории гравитации, исследо-

ванию малых классических возмущений этих решений, доказательства их устойчивости и постановке для них спектральной задачи (эта задача эквивалентна задаче о диаго-нализации квантового гамильтониана, описывающего квантовые возмущения в окрестности соответствующего решения), а также в численном, приближенном аналитическом и точном аналитическом решении спектральной задачи в бы-стротном пространстве для кусочно-непрерывных потенциалов.

Научная новизна работы: заключается в том, что впервые проведено квантование в окрестности ряда нетривиальных классических решений теории гравитации методом Н.Н.Боголюбова с сохранением всех исходных симметрий теории и диагонализацией результирующего квантового гамильтониана. Исследовано поведение квантованных полей в окрестности метрик с разными типами сингулярности. Указан метод наложения граничных условий, базирующийся на общих принципах квантовой теории. Получено ранее неизвестное общее решения для скалярного поля и электромагнитного полей в теории гравитации, исследованы его малые возмущения и доказана его устойчивость. Впервые найдены численные, приближенные аналитические и точные аналитические решения для спектральной задачи в бы-стротном пространстве для случая кусочно-непрерывных потенциалов.

На защиту выносятся:

1. Метод квантования теории гравитации в окрестности нетривиального классического решения в присутствии полей материи.

2. Результаты исследования поведения квантованных полей в окрестности решения Шварцшильда, решения для скалярного поля и решения для скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации.

3. Общее статическое сферически-симметричное решение для скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации.

4. Решение (численное, приближенное аналитическое и точное аналитическое) нелокального конечно-разностного спектрального уравнения с мнимым шагом для случая кусочно-непрерывных потенциалов.

Практическая значимость работы: Полученные результаты могут быть применены при описании существенно квантовых процессов, происходящих в окрестности объектов, являющихся источниками сильных гравитационных полей. При этом процессы являются существенно квантовыми не только в отношении гравитационного поля, но и в отношении материальных полей.

Полученные точные классические решения в теории гравитации могут быть применены как модели различных астрофизических объектов с достаточно богатым спектром свойств, а результаты исследования классических возмущений в окрестности точных решений релятивистской теории гравитации описывают рассеяние и рождение частиц и гравитационных волн на объектах, существенным признаком которых является наличие полей материи наряду с гравитационным полем.

Результаты исследования спектральной задачи в бы-стротном пространстве позволяют описать спектр квантовых возмущений, рассматриваемый в ускоренной системе

отсчета вне зависимости от вида конкретного полевого лагранжиана. Они необходимы для лоренцковариантного описания квантовых возмущений классических решений нелинейных теорий поля, в частности в моделях мешков в низкоэнергетической адронной физике.

Апробация работы: материалы диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ, на Европейской конференции по физике высоких энергий в Мадриде (1989), на XII Семинаре по физике высоких энергий в Протвино (1989), на XVIII Международном семинаре по физике высоких энергий в Протвино (1995), на X Международной конференции по проблемам КТП в Алуште (1996), на XXI Международном семинаре по физике высоких энергий в Протвино (1998).

Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения, содержит 201 страницу и список цитируемой литературы, содержащий 119 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении: указана цель работы, обоснована актуальность поставленных задач. Приведены соображения, позволившие выбрать методы, используемые при их решении. Дан краткий обзор аналогичных исследований в этой области, показана научная новизна и практическая ценность диссертации.

В первой главе: Проведено квантование теории гравитации методом групповых переменных H.H. Боголюбова в окрестности решения Шварцшильда. Показано, что при

применении метода групповых переменных к квантованию теории гравитации оказывается целесообразным несколько отступить от канонической последовательности операций. Групповые переменные были введены не в квантовый гамильтониан, а в классический лагранжиан. После этого был построен гамильтонов формализм и проведено квантование уже для всех степеней свободы, в том числе и для групповых переменных (аналогичная процедура применялась Томболисом при квантовании в окрестности солито-на).

Было показано, что для реализации процедуры квантования в окрестности нетривиального классического решения необходимо уточнить понятие сильного классического поля в рамках квантовой теории. В качестве критерия сильного поля был выбран параметр, введенный Редже при построении квантовой механики в искривленном пространстве с классической метрикой — отношение массы Планка к массе рассматриваемого решения. В том случае, когда этот параметр является малым, мы имеем малые квантовые флуктуации на фоне в окрестности сильного поля, в противном случае исходное классическое гравитационное поле полностью искажается квантовыми флуктуациями.

В диссертации рассматривается случай малого параметра. При этом предположении оказывается возможным разложить классический лагранжиан (а также классический гамильтониан и квантовый гамильтониан) теории в ряд по степеням этого параметра. Для целей квантования можно ограничиться членами, квадратичными по параметру (эти члены квадратичны также и по квантовым флуктуациям

метрики). Члены старших порядков, описывающие взаимодействие, в диссертации не рассматриваются.

В классическом лагранжиане теории была проведена замена переменных, позволяющая ввести групповые переменные, затем был построен гамильтонов формализм и проведено квантование. В результате этих достаточно громоздких процедур был получен относительно компактный квантовый гамильтониан, включающий как чисто гравитационные степени свободы, так и степени свободы, соответствующие групповым переменным. При этом сохранение исходных симметрий теории гарантировано самой процедурой квантования — тем, что были введены групповые переменные. В частности, были введены трансляционные групповые переменные. Канонически сопряженные к ним импульсы, вошедшие в квантовый гамильтониан, являются компонентами полного сохраняющегося импульса системы.

Далее в диссертации изложена процедура диагонализа-ции квантового гамильтониана. Именно на этом этапе становится существенной сингулярность в классической составляющей эффективной метрики. В задаче диагонализации сингулярность проявляется как особая точка в радиальном уравнении, описывающем квантовые флуктуации. Это делает необходимым наложение граничного условия на квантовые флуктуации в окрестности особой точки радиального уравнения, которая соответствует сингулярности в фоновой эффективной метрике. До настоящего времени эти граничные условия накладывались главным образом исходя из качественных соображений. Причем в каждом конкретном случае, в зависимости от целей исследования, по-разному.

В диссертации перечислены различные граничные условия и обсуждена их корректность.

Было отмечено, что вне зависимости от убедительности тех или иных качественных соображений, применяемых при наложении граничных условий для малых классических возмущений в окрестности сингулярной фоновой метрики, переносить эти соображения на случай квантовой теории следует с осторожностью. В квантовой теории при наложении граничных условий не вызывающими сомнения являются только условия сохранения вероятности, самосопряженности гамильтониана или другие эквивалентные условия.

Именно эти условия и используются в диссертации. Это позволяет сделать несколько важных выводов: во-первых, становится очевидной устойчивость решения Шварцшильда относительно квантовых флуктуаций. Она вытекает из положительной определенности спектра уравнения Редже-Уилера, доказанной Уолдом, и из полноты соответствующей системы функций, являющейся следствием самосопряженности квантового гамильтониана. Во-вторых, в окрестности решения Шварцшильда действует закон сохранения вероятности (тоже являющийся следствием самосопряженности) . Если бы в диссертации было выбрано другое граничное условие, например, условие чистого поглощения (при этом решение Шварцшильда по определению не излучает волн и является "черным" объектом), оба эти утверждения оказались бы по крайней мере неочевидными. Полученное граничное условие позволяет провести замену, диагонализующую квантовый гамильтониан, и построить соответствующее Фоковское пространство состояний системы.

Показано, что пространство одночастичных состояний делится на два подпространства, одно из которых содержит состояния, волновые функции которых локализованы во внешней области (над горизонтом), а другое — состояния, локализованные во внутренней области (под горизонтом). Удаленный наблюдатель может обнаруживать лишь те волновые пакеты, которые построены из состояний первого типа. Соответственно, на две группы делятся и операторы рождения-уничтожения.

В диссертации построено подпространство состояний с непрерывными волновыми функциями. При этом в качестве условий непрерывности используется условие непрерывности потока, которое, как легко убедиться, в точности совпадает с обычным условием непрерывности в точках, которые не являются особыми. Были построены соответствующие операторы рождения. Действуя ими на вакуумный вектор, мы будем получать состояния с непрерывной (в смысле непрерывности потока) волновой функцией. И наоборот, доказано, что каждое состояние с непрерывной волновой функцией может быть получено действием этих операторов на вакуумный вектор.

В подпространстве таких состояний обнаружен следующий эффект: при рассмотрении движения волновых пакетов оказывается, что каждом}' волновому пакету, движущемуся во внешней области (такой пакет испытывает рассеяние на потенциале Редже-Унлера), соответствует "двойник", который движется во внутренней области. Причем этот двойник не исчезает даже в пределе классической материальной точки (при стремлении размеров пакета к нулю и волнового числа к бесконечности). Показано, что построенное

таким образом подпространство невозможно отождествить с пространством физических состояний системы, т.е. невозможно ограничиться только состояниями с непрерывной волновой функцией. Это связано с тем, что квантовый гамильтониан является несамосопряженным в этом подпространстве.

Во второй главе: Было проведено квантование теории гравитации методом групповых переменных H.H. Боголюбова в окрестности решения для скалярного поля в теории гравитации.

Метод квантования в точности совпадает с методом, изложенным в первой главе, поэтому основное внимание было уделено задаче диагонализации квантового гамильтониана, которая сводится фактически к исследованию классических возмущений решения и доказательству его устойчивости.

В начале главы дается развернутый обзор основных результатов, связанных с изучением классических возмущений точных решений в различных теориях гравитации, главным образом в общей теории относительности. При изучении возмущений используются два дополняющих друг друга формализма: формализм Редже-Уилера и формализм Ньюмена-Пенроуза. Результаты, полученные в формализме Редже-Уилера, непосредственно описывают возмущения компонент метрики, и в этом смысле более тесно связаны с постановкой спектральной задачи для возмущений. В то же время для достаточно сложных классических решений (например, для решения Керра) завершить анализ поведения возмущений удается лишь в формализме Ньюмена-Пенроуза, главным образом из-за крайней громоздкости выражений, возникающих в формализме Редже-Уилера.

Конечной целью анализа малых классических возмущении является постановка спектральной задачи для возмущений и доказательство положительной определенности их спектра. Этого достигают путем линеаризации уравнений движения теории, отделения переменных, соответствующих симметриям решения (для статического и сферически-симметричного решения отделяются время и угловые переменные), а оставшаяся система радиальных уравнений преобразуется таким образом, чтобы она свелась к набору независимых уравнений для некоторых линейных комбинаций, составленных из компонент возмущений метрики и материальных полей ("независимые компоненты возмущений"). Затем эти уравнения переписываются в форме спектральной задачи, т.е. в виде уравнения типа Шредингера, где роль энергии играет квадрат частоты.

Свойства полученного уравнения типа Шредингера тесно связаны с поведением волн (представляющих собой линейные комбинации гравитационных волн и волн полей материи) в окрестности данного решения. Так, коэффициенты прохождения и отражения одномерного потенциала из уравнения типа Шредингера описывают рассеяние волн на классическом решении, их полюса на комплексной плоскости волнового числа соответствуют резонансным частотам решения ("квазинормальные моды" решения) и характеризуют отклик решения на произвольные внешние воздействия.

К настоящему времени такое уравнения типа Шредингера получено только для решения Шварцшильда и для решения Рейсснера-Нордстрема. Уравнение Тьюкольского, описывающее возмущения в окрестности решения Керра,

уравнением типа Шредингера (задачей на собственные значения для квадрата частоты) не является.

В данной диссертации исследование возмущений было проведено при помощи формализма Редже-Уилера. В системе уравнений, описывающей возмущения гравитационного и скалярного полей, было проведено отделение угловых переменных (путем разложения по сферических гармоникам со спином) и времени, и выписана получающаяся система радиальных уравнений. Было показано, что полученная система радиальных уравнений непротиворечива только в том случае, когда возмущения скалярного и гравитационного поля одновременно отличны от нуля. Попытка "заморозить" возмущения скалярного поля приводит к противоречию.

Далее система радиальных уравнений была сведена к трем независимым радиальным дифференциальным уравнениям типа Шредингера для каждой из трех степеней свободы (точнее, для парциальных коэффициентов каждой из этих независимых степеней свободы). Иными словами, выделены независимые компоненты возмущений, а все остальные компоненты возмущений метрики выражены через них. Проведено сравнение классических возмущений решения Шварцшильда (случай отсутствия фонового материального поля) и классических возмущений при наличии фонового материального поля. Показано, что для "нечетной" и "четной" независимых компонент возмущений в окрестности решения Шварцшильда можно найти аналоги и в случае решения с ненулевым скалярным полем. Разумеется, соответствующие независимые компоненты возмущений не являются вполне гравитационными, поскольку содержат

возмущения скалярного поля. Отличаются и соответствующие уравнения, эти отличия связаны с изменением вида метрики.

Показано, что, несмотря на эту аналогию между уравнениями для возмущений решения Шварцшильда и решения для скалярного поля, свойства спектральных задач оказываются существенно разными. Это связано с тем, что сингулярность в метрике (и, следовательно, в весе, т.е. в коэффициенте при собственном значении) для невакуумного решения оказывается мягче, и асимптотика собственной функции в окрестности сингулярности перестает зависеть от собственного значения. Сингулярность перестает быть эффективной бесконечно удаленной точкой, и, как следствие, меняется кратность вырождения спектра.

Однако, несмотря на эти отличия в свойствах спектральной задачи, удалось доказать полноту системы собственных функций и положительную определенность спектра, т.е. обосновать устойчивость решения.

На основании этих результатов было проведено квантование в окрестности статического сферически-симметричного решения для скалярного поля в теории гравитации.

В третьей главе: Построено общее статическое сферически - симметричное решение для безмассового скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации. Это решение параметризуется значением массы решения, зарядом решения и величиной скалярного поля и довольно сильно отличается по свойствам от известного решения для конформного скалярного поля. В частности, характер сингулярности решения аналогичен характеру сингулярности в решении для скалярного поля, а не решения

Рейсснера-Нордстрема. В частных случаях отсутствия того или иного поля решение, разумеется, сводится к решению Шварцшильда, решению для скалярного поля и решению Рейсснера-Нордстрема.

В четвертой главе: Показано, что полученное в третьей главе решение для скалярного и электромагнитного полей устойчиво относительно малых классических возмущений. Для этого была поставлена и решена спектральная задача для этих возмущений, как полярных, так и аксиальных.

Было показано, что в случае аксиальных возмущений спектральная задача представляет собой уравнение типа Шредингера для двух независимых компонент возмущения, причем потенциал представляет собой симметричную матрицу размерности 2x2. Доказано, что, в отличие от случая решения Рейсснера-Нордстрема, диагонализовать этот потенциал невозможно, поскольку потенциал дуального уравнения также является недиагональным. Показано, что дифференциальный оператор этой спектральной задачи может быть сделан самосопряженным путем наложения соответствующего граничного условия. Была доказана положительная определенность спектра, что позволило сделать вывод об устойчивости решения относительно аксиальных возмущений.

компоненты возмущений приводит к тому, что матрица потенциала в спектральной задаче оказывается несимметричной. Тем самым корректное аналитическое доказательство устойчивости решения относительно полярных возмущений оказывается невозможным. Поэтому устойчивость решения была обоснована путем численного исследования полученной спектральной задачи.

Постановка спектральной задачи для возмущений позволила провести квантование теории в окрестности рассматриваемого решения и диагонализовать квантовый гамильтониан.

Хотя метод квантования ничем не отличается от метода, использованного при квантовании в окрестности решения Шварцшильда, его реализация оказывается гораздо более громоздкой и наталкивается на технические трудности, связанные с большим количеством степеней свободы. Кроме того, радикально отличаются результаты квантования. Было показано, что, как и в случае решения для скалярного поля, непрерывный спектр оказывается невырожденным, и поток в окрестности сингулярности тождественно равен нулю. Поэтому характер движения одночастичных пакетов в окрестности рассматриваемого решения существенно отличается от движения пакетов в окрестности решения Шварцшильда и напоминает скорее движение пакетов в задаче рассеяния для уравнения типа Шредингера в рамках обычной квантовой механики.

В пятой главе: Были изучены квантовые эффекты в ускоренной системе координат. Было показано, что поля, квантованные в двух пересекающихся областях (в частности квантованные в разных системах координат, связанных

сингулярным координатным преобразованием), оказываются разными физическими объектами. Это позволило сделать вывод, что к результатам, связанным с рождением частиц из-за гравитационных эффектов (в особенности при сингулярных координатных преобразованиях), следует подходить с осторожностью. Разумеется, нестационарная метрика в процессе эволюции рождает частицы. Но в статической метрике как правило возможна процедура квантования, которая приводит к самосопряженному гамильтониану, т.е. к гамильтониану, гарантирующему сохранение вероятности и коммутирующему с оператором числа частиц. Самосопряженность гамильтониана обеспечивается наложением граничных условий, смысл которых заключается в подавлении потока сквозь границу области, в которой квантовано поле.

В диссертации было показано, что если вместо поля, квантованного в меньшей области (у которого поток на границе области равен нулю), в формулу для оператора рождения-уничтожения подставить поле, квантованное в большей области (поток которого на границе области не равен нулю), то эффект прохода сквозь границу области превратится в эффект "рождения" частиц, что выразится в появлении перекрестных членов в преобразовании от операторов рождения-уничтожения одного поля к операторам рождения-уничтожения другого. При этом два поля существуют в двух совершенно разных ситуациях (наличие непроницаемой границы области или ее отсутствие), поэтому такое преобразование (отождествление разных операторов), просто не имеет физического смысла. Показано, что связь можно установить только между подпространствами

состояния этих полей, благодаря тому, что в пространстве состояний поля, квантованного в большей области, всегда найдется подпространство состояний с нулевым потоком на границе меньшей области.

В шестой главе: Проведено подробное исследование спектральной задачи в быстротном пространстве.

В начале главы показано, что эта задача возникает в таких на первый взгляд не связанных между собой областях, как квантование в окрестности нетривиальных решений нелинейных теорий поля и исследование квантовых эффектов в ускоренных системах координат. Показано, что при исследовании квантовых возмущений в присутствии любых подвижных пространственно-неоднородных объектов (в частности при исследованиях квантовых флуктуаций в окрестности солитонов или поведения кварков в рамках мешочных моделей) возникает в точности такая же спектральная задача, что и при исследовании квантованных полей в ускоренных системах отсчета (в частности при исследовании вопроса о возможности детектирования рождающихся частиц при ускорении детектора), а именно спектральная задача в быстротном пространстве.

Было проведено исследование спектральной задачи в быстротном пространстве, которая представляет собой нелокальное конечно-разностное уравнение с мнимым шагом, для случая кусочно - непрерывного потенциала. В рамках этого исследования было показано, что, во-первых, при малых масштабах нелокальности задачи (малом значении шага) результаты решения спектральной задачи в быстротном пространстве воспроизводят результаты решения обычной

спектральной задачи типа Шредингера, т.е. существует классический предел задачи при стремлении шага к нулю.

Во-вторых, была построена теория возмущений, позволяющая при малом значении шага и небольшом значении потенциала найти поправки к собственным значениям и собственным функциям спектральной задачи, связанные с ее нелокальностью. Ограничение на величину потенциала, которое заведомо отсутствует в локальной спектральной задаче, связано с поведением уравнения в ультрафиолетовой области. Именно, при любом значении потенциала глубина проникновения в запрещенную область не может быть меньше масштаба нелокальности уравнения (величины шага). Поэтому при больших потенциалах на экспоненциальный закон убывания (эта экспонента проникает в запрещенную область как раз на расстояние порядка параметра нелокальности) накладываются осцилляции, которые невозможны в локальной спектральной задаче.

В-третьих, были разработаны и реализованы две альтернативные вычислительные схемы, которые позволяют численно находить собственные значения и собственные функции задачи для того случая, когда теория возмущений неприменима, в частности для того случая, когда в запрещенной области возникают осцилляции.

Наконец, было построено приближенное аналитическое решение спектральной задачи для случая не слишком больших значений потенциала.

Было проведено исследование случая очень больших значений потенциала (этот случай в определенном смысле эквивалентен случаю очень узкой потенциальной ямы).

Было показано, что в этом случае результаты существенным образом отличаются от результатов классической спектральной задачи. Хотя характер убывания неклассических поправок остается прежним, т.е. масштаб делокалпзацип потенциала по-прежнему имеет величину порядка шага в разностном уравнении, но величина неклассических поправок настолько велика, что ширина ямы эффективно уменьшается как двойной логарифм величины потенциала. Это приводит к тому, что значения уровней энергии, в отличие от обычной спектральной задачи типа Шредингера, начинают неограниченно расти с ростом потенциала.

Была построена еще одна теория возмущений — уже по поправкам, связанным с делокализацией потенциала. Наконец, было построено вполне точное аналитическое решение задачи. К сожалению, это решение в определенном смысле должно быть названо формальным, поскольку представляет собой очень громоздкое бесконечное произведение или не менее громоздкий бесконечный ряд.

В заключении: сформулированы основные результаты диссертации и обоснована практическая значимость работы.

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты диссертации опубликованы в 28 печатных работах; основные публикации:

1. Свешников К.А., Силаев П.К., "Некоторые точные решения для скалярного поля в РТГ", ТМФ, 1988, т. 76, с. 477.

2. Свешников К.А., Силаев П.К., Хрусталев O.A., "Квантование гравитационного поля в окрестности решения Шварцшильда в РТГ", ТМФ, 1989, т. 80, с. 173.

3. Силаев П.К., "Статическое сферически-симметричное решение для скалярного и электромагнитного полей", ТМФ, 1992, т.91, с. 418.

4. Силаев П.К., Хрусталев O.A., "Связь полей, квантованных в пересекающихся областях и эффект Унру", ТМФ, 1992, т.91, с. 217.

5. P.Silaev, S.Turyshev, "Are the singularities stable?", GRG, 1997, v. 29, p. 417.

6. K.Sveshnikov, P.Silaev, I.Cherednikov, "UV-regulariza-tion of field discontinuities", Mod. Phys. Lett., 1997, v. A12, p. 465.

7. К.А.Свешников, П.К.Силаев, "О взаимосвязи между разрывными и гладкими решениями типа кинков в КТП", ТМФ, 1996, т. 108, с. 212.

8. К.А.Свешников, П.К.Силаев, "Трехфазовая модель кирального кваркового мешка", ТМФ, 1998, т. 117, с. 263.

9. Силаев П.К., Хрусталев O.A., "Дважды периодические решения в существенно нелинейной одномерной полевой модели", ТМФ, 1998, т. 117, с. 300.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Силаев, Петр Константинович

Введение

Глава I. Квантование теории гравитации в окрестности решения Шварцшильда.

1. Постановка задачи

2. Введение групповых переменных

3. Гамильтонов формализм и квантование.

4. Движение волновых пакетов

Глава II. Квантование теории гравитации в окрестности сферически-симметричного решения для скалярного поля в решения для скалярного поля в теории гравитации.

1. Постановка задачи

2. Уравнения для малых возмущений решения

3. Спектральная задача для нечетных возмущений

4. Спектральная задача для четных возмущений.

5. Квантование теории гравитации в окрестности решения для скалярного поля.

Глава III. Общее статическое сферически-симметричное решение для скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации.

1. Постановка задачи

2. Построение решения.

Глава IV. Квантовые эффекты в окрестности решения для скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации

1. Постановка задачи

2. Общая система уравнений для малых возмущений решения

3. Устойчивость относительно аксиальных возмущений

4. Возможность расщепления системы уравнений для аксиальных возмущений

5. Устойчивость относительно полярных возмущений.

6. Квантование теории гравитации в окрестности общего решения для скалярного и электромагнитного полей

Глава V. Квантовые эффекты в равномерно ускоренной системе отсчета и эффект Унру.

1. Связь полей, квантованных в пересекающихся областях

2. Квантование поля в равномерно ускоренной системе отсчета

3. Связь полей, квантованных в инерциальной и ускоренной системах отсчета

Глава VI. Спектральная задача в быстротном пространстве

1. Квантование с лоренцковариантцыми групповыми переменными и квантовые эффекты в ускоренной системе координат, быстротное пространство

2. Постановка задачи

3. Функция Грина

4. Условия "сшивания" для кусочно-постоянного потенциала

5. Теория возмущений для малых Ь

6. Случай большого потенциала: рекурсия для конечных матриц

7. Случай большого потенциала: итерационная процедура

8. Приближенное аналитическое решение системы.

9. Поправки к приближенному аналитическому решению системы

10. Точное аналитическое решение системы.

Введение диссертация по физике, на тему "Квантовые эффекты в присутствии нетривиальных классических решений"

Диссертация посвящена квантовым эффектам в присутствии нетривиальных классических решений.

Мы сосредоточимся главным образом на статических классических решениях в теории гравитации, поскольку квантование теории в окрестности таких решений приводит к нетривиальным результатам даже в нулевом порядке теории возмущений — т.е. в линейном приближении. Это связано с тем, что характер лагранжиана взаимодействия гравитационного и материального полей таков, что спектральная задача для малых (как квантовых, так и классических) возмущений существенным образом отличается от спектральной задачи в пространстве Минковского. Именно, наличие классического решения в нелинейной теории поля фактически приводит лишь к появлению того или иного потенциала в спектральной задаче для малых возмущений поля. И хотя даже в этом случае возникают достаточно нетривиальные проблемы при квантовании, в частности, проблема нулевых мод [1,2], но глобальные свойства спектральной задачи практически не меняются.

Совершенно иная ситуация имеет место для нетривиального решения в теории гравитации [3,4,5]. Метрика, и в особенности сингулярная метрика, меняет топологические свойства пространства, в нем появляются области, ограниченные особыми точками и проблема наложения граничных условий в этих особых точках оказывается достаточно нетривиальной. Кроме того, в спектральной задаче появляется вес (как правило сингулярный), что существенным образом меняет свойства полной ортонормированной системы функций, по которой раскладываются классические и квантовые возмущения поля. В частности, вопреки распространенному заблуждению, для достаточно хорошо изученной метрики Шварцшильда, сингулярность типа 1 /г2 появляется отнюдь не в потенциале для возмущений поля (что действительно могло бы приводить к падению частиц на центр и к несамосопряженному гамильтониану), а в весе (что приводит к совершенно другим следствиям).

Заметим, что такого рода эффекты могут возникать не только за счет ненулевой кривизны метрики, но и просто за счет выбора системы отсчета. В частности, простой переход в равномерно ускоренную систему отсчета существенно меняет топологию задачи. Что же касается спектральной задачи для этого случая, то, ввиду нелинейного характера координатного преобразования, она может претерпеть весьма значительные изменения. В частности, как мы увидим, в равномерно ускоренной системе отсчета задача на собственные значения для оператора, совпадающего с гамильтонианом в инерциальной системе отсчета, оказывается нелокальным конечно-разностным уравнением с мнимым шагом.

Как ни странно, эта задача имеет самое непосредственное отношение к задаче о лоренц-ковариантном квантовании в плоском пространстве в окрестности любого классического решения нелинейной теории поля. Дело в том, что трансляционные степени свободы классического решения как правило рассматриваются в нерелятивистском приближении. Попытка заменить галилееву группу на группу Пуанкаре немедленно приводит к возможности поворота в быстротном пространстве, т.е. к эффективному переходу в ускоренную систему координат. (Аналогичным образом квантование в окрестности решения, нарушающего сферическую симметрию, приводит к возможности обычного трехмерного вращения и, как следствие, к появлению спина [6]). Выражаясь несколько иначе, мы пытаемся перейти в систему отсчета, привязанную к решению, т.е. в систему центра масс системы, а оператором координаты центра масс является оператор поворота в быстротном пространстве, т.е. оператор буста. Переход к собственным функциям этого оператора это как раз и есть нелинейная замена координат, которая с точки зрения теории гравитации соответствует переходу в равномерно ускоренную систему координат. Так что результирующая спектральная задача для малых возмущений решения (вне зависимости от конкретного лагранжиана) окажется нелокальным конечно-разностным уравнением с мнимым шагом. Разумеется, в нерелятивистском приближении мы должны получить прежний ответ — уравнение типа Шредингера, потенциал в котором определяется видом классического решения. Однако вопрос о том, в каком смысле конечно-разностное уравнение может быть сведено к дифференциальному, крайне нетривиален и подробно исследуется в настоящей диссертации.

Мы не будем рассматривать возмущения во втором порядке — ни классические, ни квантовые. Надо сказать, что большинство работ, посвященных второму порядку теории возмущений, имеют целью не нахождение поправок к первому порядку теории возмущений как таковых, а попытку приближенного описания взаимодействия двух точных решений [7,8,9,10] и определения границ применимости такого описания [11,12]. В отсутствие аналитических решений и в отсутствие возможности провести удовлетворительный численный анализ таких процессов (в особенности для сингулярных решений), этот подход является одним из наиболее реальных. Впрочем, опыт аналогичного подхода в обычной нелинейной теории поля, а именно попытка описания взаимодействия пары кинк-антикинк в одномерной <^4-теории с помощью эффективной теории, в которой роль переменных играют возмущения кинка [13], показывает, что слишком многого в рамках этого подхода ожидать не следует. Попытка учета квантовых возмущений во втором порядке предпринята в работе [14]. Там оценивается обратное влияние квантовых флуктуаций поля на метрику, в которой они существуют. К сожалению, сама постановка задачи в определенном смысле является несамосогласованной. Действительно, реализация процедуры квантования возможна лишь при разделении порядков малости — фоновая метрика соответствует нулевому порядку, квантовые флуктуации — первому, а обратное влияние квантованного поля на метрику — второму. Так что если будет получено заметное обратное влияние на метрику, то этот ответ следует признать нарушающим принятую иерархию порядков малости, т.е. несамосогласованным. Впрочем, в [14] было показано, что заметного влияния нет.

Заметим, что задача квантования в окрестности нетривиального классического решения и задача доказательства устойчивости относительно малых классических возмущений нетривиального классического решения практически эквивалентны друг другу.

Надо подчеркнуть, что в настоящее время большинство доказательств устойчивости точных решений теории гравитации страдают неполнотой. Именно, вместо постановки спектральной задачи для всех возможных возмущений всех полей, участвующих в решении, исследуется устойчивость лишь относительно некоторых возмущений (например, сферически-симметричных) или вообще только относительно вариаций параметров решения.

Довольно очевидно, что таким способом можно доказать лишь неустойчивость решения. И действительно, для большинства "волосатых" решений для Янг-Миллсовского поля в теории гравитации неустойчивость доказана именно с помощью анализа сферически-симметричных возмущений (точнее, возмущений тех функций радиальной переменной, которые описывают статическое решение) [15,16,17, 18,19,20,21,22]. Однако ясно, что даже если мы получили доказательство устойчивости относительно этого узкого класса возмущений, у нас нет никаких оснований утверждать, что устойчивость решения доказана в строгом смысле.

Как правило для оправдания подхода, связанного с анализом только некоторого класса возмущений, приводятся два аргумента: во-первых, утверждается, что ввиду малости гравитационной константы взаимным влиянием возмущений материального и гравитационного полей можно пренебречь. Однако спектральная задача линейна, так что коэффициенту в перекрестном члене, описывающем взаимодействие полей, можно придать произвольное значение простым масштабированием. Исследование полной спектральной задачи как правило приводит к выводу, что пренебречь перекрестным членом нельзя, более того, оказывается, что "замораживание" возмущений одного из полей приводит к противоречию.

Во-вторых, утверждается, что если решение устойчиво относительно сферически-симметричных возмущений, то оно тем более устойчиво относительно возмущений с I > 0. Однако в данном случае мы имеем дело с полями со спином, поэтому структура уравнений для в,-волны может существенно отличаться от структуры уравнений для я-волны. Кроме того, из теории рассеяния мы знаем, что отсутствие резонансов в й-волне отнюдь не исключает наличия р- или (I-резонансов.

Разумеется, истинная причина исследования возмущений только некоторых степеней свободы лежит в исключительной громоздкости полного исследования. Только наиболее простые решения — Швар-цшильда, Рейсснера-Нордстрема, Керра — исследованы полностью, причем спектральная задача получена только для возмущений первых двух решений. В настоящей диссертации мы проведем полное исследование устойчивости некоторых невакуумных (с ненулевыми материальными полями) решений теории гравитации.

Следует подчеркнуть, что задача о малых классических возмущениях решения в теории гравитации, помимо решения вопроса об устойчивости, может иметь и непосредственные астрофизические приложения — если то или иное решение служит моделью астрофизического объекта, то его возмущения описывают отклик объекта на внешние возмущения. В частности, наличие резонансов в спектральной задаче (в астрофизической литературе их принято называть "квазинормальными модами") приводит к тому, что отклик решения на внешнее возбуждение (падающую волну или падающую точечную частицу) сводится к излучению на резонансных частотах, параметры которого практически не зависят от исходного возмущения, зато позволяют определить многие внутренние параметры объекта [23,24,25,26,27,28,29,30].

После того, как решена задача на классические возмущения — поставлена спектральная задача для возмущений, обоснована положительная определенность спектра и полнота соответствующего набора собственных функций, т.е. доказана устойчивость решения — задача квантования теории в действительности становится тривиальной. Именно, при наличии спектральной задачи на возмущения в форме уравнения типа Шредингера, мы просто выполняем квантование возмущений, пользуясь полной ортонормированной системой функций, возникающей в спектральной задаче. Разумеется, при таком прямолинейном подходе к квантованию будут нарушены исходные симметрии теории — как трансляционная, так и калибровочная (репараметриза-ционная). Чтобы их сохранить, мы предпримем некоторые дополнительные шаги, а именно будем пользоваться методом групповых переменных Н.Н.Боголюбова, причем мы будем вынуждены ввести как "трансляционные", так и "калибровочные" групповые переменные. Однако, в действительности результаты квантования будут практически идентичными — все отличие заключается в том, что прямолинейная процедура идет с явным нарушением исходных симметрий теории.

Структура диссертации следующая:

В главе 1 проведено квантование теории гравитации в окрестности решения Шварцшильда методом групповых переменных H.H. Боголюбова и исследованы квантовые эффекты в линейном приближении.

В главе 2 проведено исследование малых классических возмущений в окрестности решения для скалярного поля в теории гравитации, доказана его устойчивость и проведено квантование в его окрестности.

В главе 3 построено общее статическое сферически-симметричное решение для безмассового скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации.

В главе 4 исследованы малые классические возмущения в окрестности общего статического сферически-симметричного решения для скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации, полученного в главе 3, доказана его устойчивость и проведено квантование в его окрестности.

В главе 5 установлена связь между полями, квантованными в пересекающихся областях и на этой основе исследован вопрос о квантовых эффектах в ускоренных системах отсчета и исследована возможность наблюдения рождения частиц в таких системах.

В главе 6 показано, что задача на спектр малых возмущений в ускоренных системах отсчета и задача на спектр малых возмущений произвольного классического решения нелинейной теории поля в системе центра масс идентичны и сводятся к спектральной задаче в бы-стротном пространстве. Спектральная задача в быстротном пространстве представляет собой конечно-разностное уравнение с мнимым шагом, свойства которого исследованы для некоторых классов потенциалов при различных значениях параметров задачи. Получены приближенные аналитические, численные и точные аналитические решения.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Заключение.

Суммируем основные результаты, полученные в диссертации.

Было проведено квантование теории гравитации методом групповых переменных Н.Н.Боголюбова в окрестности решения Швар-цшильда. Построен квантовый гамильтониан (в квадратичном по квантовым полям приближении). Проведена его диагонализация. Исследование движение соответствующих волновых пакетов. Обнаружено, что операторы рождения и уничтожения делятся на "внешние" и "внутренние" : первые порождают состояния, локализованные во внешней области решения Шварцшильда, вторые — во внутренней области. Классический предел теории строится, разумеется, только во внешней области, т.е. все "внутренние" эффекты являются чисто квантовыми. В классическом пределе во внешней области строятся обычные волновые пакеты из гравитонов, которые движутся по нулевым геодезическим.

Показана также возможность построения одночастичного состояния с непрерывной (в смысле непрерывности потока) волновой функцией во всем пространстве (квантовый случай). Для таких состояний невозможна локализация одного пакета во внешней (или внутренней) области, неизбежно появление "двойника" в другой области.

Были исследованы классические возмущения статического сферически-симметричного решения для скалярного поля в теории гравитации.

Соответствующая система уравнений сведена к трем независимым радиальным дифференциальным уравнениям типа Шредингера для каждой из трех степеней свободы (точнее, для парциальных коэффициентов каждой из этих независимых степеней свободы). Иными словами, выделены независимые компоненты возмущений, а все остальные компоненты возмущений метрики выражены через них. Проведено сравнение классических возмущений решения Шварцшильда (случай отсутствия фонового материального поля) и классических возмущений при наличии фонового материального поля. Показано, что для "нечетной" и "четной" независимых компонент возмущений в окрестности решения Шварцшильда можно найти аналоги и в случае "невакуумного" решения. Разумеется, соответствующие независимые компоненты возмущений не являются вполне гравитационными, поскольку содержат возмущения скалярного поля. Отличаются и соответствующие уравнения, эти отличия связаны с изменением вида метрики.

Однако, несмотря на аналогию между уравнениями для возмущений решения Шварцшильда и решения для скалярного поля, свойства спектральных задач оказываются существенно разными. Это связано с тем, что сингулярность в метрике (и, следовательно, в весе, т.е. в коэффициенте при собственном значении) для "невакуумного" решения оказывается " мягче", и асимптотика собственной функции в окрестности сингулярности перестает зависеть от собственного значения. Сингулярность перестает быть эффективной бесконечно удаленной точкой, и, как следствие, меняется кратность вырождения спектра.

Было построено общее статическое сферически-симметричное решение для безмассового скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации. Это решение параметризуется значением массы решения, зарядом решения и величиной скалярного поля, и довольно сильно отличается по свойствам от известного решения для конформного скалярного поля. В частности, характер сингулярности решения аналогичен характеру сингулярности в решении для скалярного поля, а не решения Рейсснера-Нордстрема. В частных случаях отсутствия того или иного поля решение, разумеется, сводится к решению Шварцшильда, решению для скалярного поля и решению Рейсснера-Нордстрема.

Следует подчеркнуть, что в действительности может быть построено целое семейство (параметризуемое произвольной функцией) совершенно аналогичных решений, но с помощью существенно нелинейных и физически неестественных лагранжианов взаимодействия скалярного и электромагнитного полей [119]. По-видимому, на роль модели какого-либо астрофизического объекта может претендовать только рассмотренное нами решение.

Было показано, что полученное в третьей главе решение для скалярного и электромагнитного полей устойчиво относительно малых классических возмущений. Для этого была поставлена и решена спектральная задача для этих возмущений, как полярных, так и аксиальных.

Было установлено, что спектральная задача для полярных возмущений обладает совершенно иными свойствами. Именно, хотя исходная система уравнений для возмущений представляет собой формально-симметричную задачу, но выделение независимых степеней свободы (трех независимых компонент возмущений) и запись системы уравнений в форме спектральной задачи на эти три независимые компоненты возмущений приводит к тому, что матрица потенциала в спектральной задаче оказывается несимметричной. Тем самым корректное аналитическое доказательство устойчивости решения относительно полярных возмущений оказывается невозможным. Поэтому устойчивость решения была обоснована путем численного исследования полученной спектральной задачи.

Постановка спектральной задачи для возмущений позволила провести квантование теории в окрестности рассматриваемого решения и диагонализовать квантовый гамильтониан. Хотя метод квантования ничем не отличается от метода, использованного при квантовании в окрестности решения Шварцшильда, его результаты радикально отличаются от результатов квантования в окрестности решения Шварцшильда. Было показано, что, как и в случае решения для скалярного поля, непрерывный спектр оказывается невырожденным, и поток в окрестности сингулярности тождественно равен нулю. Поэтому характер движения одночастичных пакетов в окрестности рассматриваемого решения существенно отличается от движения пакетов в окрестности решения Шварцшильда и напоминает скорее движение пакетов в задаче рассеяния для уравнения типа Шредингера в рамках обычной квантовой механики.

Были изучены квантовые эффекты в ускоренной системе координат. Было показано, что поля, квантованные в двух пересекающихся областях (в частности квантованные в разных системах координат, связанных сингулярным координатным преобразованием), оказываются разными физическими объектами. Таким образом, к результатам, связанным с рождением частиц из-за гравитационных эффектов, следует подходить с осторожностью.

Разумеется, нестационарная метрика в процессе эволюции будет рождать частицы. Но в статической метрике как правило можно провести квантование, которое приведет к самосопряженному гамильтониану, т.е. к гамильтониану, гарантирующему сохранение вероятности и коммутирующему с оператором числа частиц. Самосопряженность гамильтониана обеспечивается наложением граничных условий, смысл которых заключается в подавлении потока сквозь границу области, в которой квантовано поле.

Поэтому если вместо поля, квантованного в меньшей области (у которого поток на границе области равен нулю), в формулу для оператора рождения-уничтожения подставить поле, квантованное в большей области (и поток которого на границе, разумеется, не равен нулю), то эффект прохода сквозь границу области превратится в эффект "рождения" частиц, что выразится в появлении перекрестных членов в преобразовании от операторов рождения-уничтожения одного поля к операторам рождения-уничтожения другого.

Но эти два поля существуют в двух совершенно разных ситуациях (наличие непроницаемой границы области или ее отсутствие), так что такое преобразование (отождествление разных операторов), по-видимому, просто не имеет физического смысла, и делать какие-либо выводы из полученных соотношений было бы неосторожно.

Связь можно установить только между подпространствами состояния этих полей, поскольку в пространстве состояний поля, квантованного в большей области, всегда найдется подпространство состояний с нулевым потоком на границе меньшей области.

Наконец, было проведено подробное исследование спектральной задачи в быстротном пространстве. Эта задача возникает в таких на первый взгляд не связанных между собой областях, как квантование в окрестности нетривиальных решений нелинейных теорий поля и исследование квантовых эффектов в ускоренных системах координат. Полученные результаты могут быть применены при исследовании низкоэнергетической физики адронов, в частности для исследований в рамках моделей мешков (вне зависимости от конкретной выбранной модели мешка) и при интерпретации тех или иных эффектов, получаемых при исследовании квантованных полей в ускоренных системах отсчета, в частности при исследовании вопроса о возможности детектирования рождающихся частиц (опять-таки вне зависимости от конкретного лагранжиана). Следует также отметить, что полученные результаты могут быть полезны и в такой (совершенно не связанной с кругом вопросов, обсуждаемых в диссертации) области, как теория устойчивости разностных схем.

В рамках этого исследования удалось показать, что, во-первых, при малых масштабах нелокальности задачи (малом значении шага в конечно-разностном уравнении с мнимым шагом) результаты решения спектральной задачи в быстротном пространстве воспроизводят результаты решения обычной спектральной задачи типа Шредингера, т.е. в определенном смысле существует "классический предел" задачи при стремлении шага к нулю. Заметим, что этот результат достаточно нетривиален, поскольку заранее очевидно лишь само существование решения, но отнюдь не вид решения, который может довольно сильно отличаться от "классического решения".

Во-вторых, была разработана теория возмущений, позволяющая при малом значении шага найти поправки к собственным значениям и собственным функциям спектральной задачи.

Далее, было произведено исследование случая очень больших значений потенциала (этот случай в определенном смысле эквивалентен случаю очень узкой потенциальной ямы). Оказалось, что в этом случае результаты существенным образом отличаются от результатов "классической" спектральной задачи. Именно, хотя характер убывания "неклассических" поправок остается прежним, т.е. масштаб делокализа-ции потенциала, казалось бы, должен быть по-прежнему порядка шага, в действительности величина " неклассических" поправок настолько велика, что им "становится тесно" в яме, и ширина ямы эффективно уменьшается (правда, очень медленно, как двойной логарифм величины потенциала). Это приводит к тому, что спектр, в отличие от обычной спектральной задачи типа Шредингера, начинает неограниченно расти с ростом потенциала.

Была построена еще одна теория возмущений — уже по поправкам, связанным с делокализацией потенциала. И, наконец, было построено вполне точное аналитическое решение задачи. К сожалению, это решение в определенном смысле должно быть названо формальным, поскольку представляет собой очень громоздкое бесконечное произведение (или не менее громоздкий бесконечный ряд).

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить коллектив кафедры квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета МГУ за обстановку, способствующую успешной работе, и в особенности О.А.Хрусталева и К.А.Свешникова за многочисленные плодотворные дискуссии.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Силаев, Петр Константинович, Москва

1. Н.Н. Боголюбов, "Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантованным полем", УМЖ, 1950, т.2., N 2, с. 3-24.

2. Н.Н. Боголюбов, "Избранные труды", т.2., Киев.: "Наукова думка", 1970, с. 499-520.

3. А.А.Логунов, М.А.Мествиришвили, "Релятивистская теория гравитации", М.: Наука, 1989.

4. А.А.Логунов, М.А.Мествиришвили, "Основы релятивистской теории гравитации", М.: МГУ, 1986.

5. А.А.Логунов А.А., М.А.Мествиришвили, ЭЧАЯ, 1986, т. 17., с. 5-159.

6. R.Jackiw, C.Rebbi, "Spin from isospin in gauge theory", Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36. p. 1116-1121.

7. R.H.Price, J.Pullin, "Colliding black holes: the close limit", Phys. Rev. Lett., 1994, v. 72, p. 3297-3300.

8. P.Anninos, R.H.Price, J.Pullin, E.Seidel, W.M.Suen, "Head-on collision of two black holes: comparison of different approaches", Phys. Rev., 1995, v. 52D, p. 4462-4480.

9. A.Abrahams, R.H.Price, "Applying black hole perturbation theory to numerically generated spacetimes", Phys. Rev. D, 1996, v. 53, p. 1963-1971, p. 1972-1976.

10. W.Kriven, R.H.Price, "Formation of a rotating black hole from a close limit head-on colliion", Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 1358-1361.

11. R.Gleiser, O.Nicasio, R.H.Price, J.Pullin, "Evolving the Bowen-York initial data for spinning black holes", Phys. Rev. D, 1998, v. 57, p. 3401-3407.

12. R.Gleiser, O.Nicasio, R.H.Price, J.Pullin, "The collision of boosted black holes: second order close limit calculations", Phys. Rev. D, 1999, v. 59, 044024.

13. P.Anninos, S.Oliveira, R.A.Matzner, "Fractal structure of quasibreather spectrum", Phys.Rev. D, 1991, v. 44, p. 1147.

14. B.E.Taylor, W.A.Hiscock, P.R.Anderson, "Semiclassical charged black holes with a quantized massive scalar field", Phys. Rev. D, 2000, v. 61, 084021.

15. N.Straumann, Z.Zhou, "Instability of YM black hole", Phys. Lett. B, 1990, v. 243, p. 33-52.

16. N.Straumann, Z.Zhou, "New solution of EYM equations", Nucl. Phys., 1991, v. 360, p. 180-195.

17. K.Lee, V.Nair, E.Weinberg, "New magnetically charged black holes", Phys. Rev. Lett., 1992, v. 68, p. 1100-1104.

18. B.Greene, S.Mathur, C.O'Niell, "Breakdown of the semiclassical approximation at the black hole horizon", Phys. Rev. D, v. 47, 1993, p. 2242-2258.

19. K.Maeda, T.Tachizawa, T.Torii, T.Maki, "Stability of non-abelian black holes", Phys. Rev. Lett., 1994, v. 72, p. 450-453.

20. T.Torii, K.Maeda, T.Tachizawa, "Non-abelian black holes and catastrophe theory I" Phys. Rev. D, v. 51, 1995, p. 1510-1524.

21. K.Maeda, T.Tachizawa, T.Torii, "Non-abelian black holes and catastrophe theory II" Phys. Rev. D, v. 51, 1995, p. 4054-4066.

22. E.Winstanley, N.E.Mavromatos, "Instability of hairy black holes in spontaneously broken E-YMH system", Phys. Lett. B, 1995, v. 352, p. 242-257.

23. S.Detweiler, "Quasi-normal modes of Kerr black hole", Ap.J., 1980, v. 239, p. 292-295.

24. B.D.Gaiser, P.V.Wagoner, "Resonate modes of Schwarzshild black hole", Ap.J., 1980, v. 240, p. 648-656.

25. V.Ferrari, R.Ruffini, "QNM of rotating black hole", Phys. Lett. B, 1981, v. 98, p. 381-387.

26. V.Ferrari, B.Mashhoon, "New approach to the quasi-normal modes of a black hole", Phys. Rev. D, 1984, v. 30 p. 295-302.

27. E.W.Leaver, "Resonate mode estimation for a black hole", Phys. Rev. D, 1986, v. 36, p. 384-397.

28. S.Iyer, C.M.Will, "New approach to numerical computation of QNM", Phys. Rev. D, 1987, v. 35, p. 3621-3626.

29. Z.Andrare, R.H.Price, "Excitation of the odd-parity quasi-normal modes of compact objects", Phys. Rev. D, 1999, v. 60, 104037.

30. V.Ferrari, M.Pauri, F.Piazza, "Quasi normal modes of charged dilaton black holes", http://xxx.lanl.gov, gr-qc/0005125.

31. М.П.Бронштейн, "Квантование гравитационных волн", ЖЭТФ, 1936, т.6, с. 195-208.

32. P.A.M.Dirak, "Generalized hamilton dynamics", Proc. Roy. Soc., 1958, v.A246, N 3, p. 326-333, p. 333-343.

33. Dirak P.A.M., "Fixation of the coordinates in the hamiltonian theory of gravitation", Phys. Rev., 1959, v. 114, p. 924-932.

34. П.А.М.Дирак, "Лекции по квантовой механике", М.: Мир, 1968.

35. R.Arnowitt, S.Deser, C.W.Misner, "Energy and mass definition in general relativity", Phys. Rev., 1959, v.116, p. 1322-1334.

36. B.S.DeWitt, "Quantum theory of gravitation", Phys. Rev., 1967., v.160, p. 1113-1130.

37. L.D.Faddeev, V.N.Popov, Phys. Lett. B, 1967, v. 25, p. 29.

38. T.Regge, C.Teitelboim, "Role of surface integrals in the hamiltonian formulation of general relativity", Ann. Phys., 1974, v. 88, p. 286-318.

39. G.W.Gibbsons, S.W.Hawking, "Energy in general relativity", Phys. Rev. D, 1977, v. 15, p. 2752-2764.40. p^S.DeWitt, "Gauge in general relativity", Phys. Rev., 1967, v. 162, p. 11951209, p. 1239-1257.

40. D.Gross, M.J.Perry, A.Yaffe, "Instability of the flat space at finite temperatures", Phys. Rev. D, 1982, v. 25, p. 330-355.

41. J.I.Kapusta, "Nucleation rate for black holes", Phys. Rev. D, 1984, v. 30, p. 831-835.

42. B.Allen, "Euclidean Schwarzshild negative mode", Phys. Rev. D, 1984, v. 30, p. 1153-1165.

43. T.Regge, "Gravitation fields and quantum mechanics", Nuov. Cim., 1958, v.7, p. 215-219.

44. Соловьев В.О., Тверской В.Б., Преобразование Боголюбова в релятивистской теории гравитации: Препринт ОТФ 87-8. Серпухов: ИФВЭ, 1987.

45. Соловьев В.О., Гамильтонов подход в релятивистской теории гравитации и общей теории относительности: Препринт ОТФ 86-190. Серпухов: ИФВЭ, 1986.

46. T.Regge, J.A.Wheeler, "Stability of Schwarzshild black hole", Phys. Rev., 1957, v. 108, p. 1063-1069.

47. S.A.Teukolsky, "Perturbations of a rotating black holes", Ap. J., 1973, v. 185, p. 635-647.

48. S.A.Teukolsky, "Equations for perturbations of a rotating black holes", Phys. Rev. Lett., 1972, v. 29. p. 1114-1117.

49. V.Moncrief, Phys. Rev. D, 1974, v. 9, p. 2707.

50. V.Moncrief, Phys. Rev. D, 1974, v. 10, p. 1057.

51. V.Moncrief, "Gauge-invariant perturbations of Reissner-Nordstrom black hole", Phys. Rev. D, 1975, v. 12, p. 1526-1535.

52. S.Chandrasekhar, "On the equations governing the perturbations of the Schwarzshild black hole", Proc. Roy. Soc., 1975, v. A343, p. 289-298.

53. R.H.Price, "Nonspherical perturbations of relativistic gravitational collapse", Phys. Rev. D, 1972, v. 5, p. 2439-2454.

54. F.J.Zerilli, "New approach to the perturbations of a Schwarzshild black hole", Phys. Rev. Lett., 1970, v. 24, p. 737-740.

55. F.J.Zerilli, "Gravitational radiation of a black hole, induced by material point", Phys. Rev. D, 1970, v. 2, p. 2141-2160.

56. G.t'Hooft, M.Veltman, "Perturbation theory in general relativity", Ann. inst,. Poincare., 1974, v. 20, p. 245-256.

57. S.Deser, P. van Nieuwenhuizen, "Perturbation theory in quantum gravity", Phys. Rev. D, 1974, v. 10, p. 401-419.

58. Е.Вейнберг, "Ультрафиолетовые расходимости в квантовой теории гравитации", в сб. "Общая теория относительности", под ред. С.Хокинга и В.Израэля, М.: Мир. 1983.

59. С.Хокинг, "Интегралы по траекториям в приложении к квантовой гравитации", в сб. "Общая теория относительности", под.ред. С.Хокинга и В.Израэля, М.: Мир. 1983.

60. C.M.Kruskal, "Coordinate transformations for Schwarzshild black hole", Phys. Rev., 1960, v. 119, p. 1743-1752.

61. R.A.Matzner, "Scattering of massless scalar field by a Schwarzshild singularity", Journ. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 163-170.

62. E.Tomboulis, "Canonical quantization of nonlinear waves", Phys. Rev. D, 1975, v. 12, p. 1679-1687.

63. П.А.М.Дирак, "Принципы квантовой механики", М.: ГТШ, 1932.

64. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков, "Введение в теорию квантованных полей", М.: Наука, 1976.

65. E.T.Newman, R.Penrose, "Spin-weighted spherical harmonics", J. Math. Phys., 1966, v. 7, p. 863-870.

66. J.N.Goldberg, A.J.Macfarlane, E.T.Newman, F.Rohrlish, E.C.G. Sudarshan, "Spin-s spherical harmonics", J. Math. Phys., 1967, v. 8, p. 2155-2161.

67. А.В.Разумов, Преобразование Боголюбова и квантование солитонов: Препринт ОТФ 76-52. Серпухов: ИФВЭ, 1976.

68. E.W.Leaver, "Solution to a generalized spheroidal wave equation: Teukolsky's equation in general relativity and the two-center problem in molecular quantum mechanics", J. Math. Phys., 1986., v. 27, p. 1238-1265.

69. E.D.Fackerell, R.G.Crossman, "Spin-weighted angular spheroidal functions", J. Math. Phys., 1977, v. 18, p. 1849-1854.

70. Н.Данфорд, Дж.Т.Шварц, "Линейные операторы", М.: Мир, 1966.

71. Р.Рихтмайер, "Принципы современной математической физики", М.: Мир, 1982.

72. С.V.Vishveshwara, "Stability of the Schwarzshild metric", Phys. Rev. D, 1970, v. 1, p. 2870-2879.

73. R.M.Wald, "Positive definiteness of Regge-Wheeler spectrum", J. Math. Phys., 1979, v. 20, p. 1056-1058.

74. E.T.Newman, R.Penrose, "An approach to gravitational radiation by a method of spin coefficients", J. Math. Phys., 1962, v. 3, p. 566-581.

75. V.Moncrief, Ann. Phys., 1974, v. 88, p. 323-330.

76. C.Cunningham, R.Price, V.Moncrief, "Equations governing the perturbations of RN solution", Ap. J., 1979, v. 230, p. 870-879.

77. U.H.Gerlach, U.K.Sengupta, Phys. Rev D, 1979, v. 19, p. 2268-2274.

78. U.H.Gerlach, U.K.Sengupta, "New approach to the description of gravitational radiation", Phys. Rev D, 1980, v. 22, p. 1300-1307.

79. A.Abrahams, A.Anderson, Y.Choquet-Bruhat, J.W.York, "Einstein and Yang-Mills theories in hyperbolic form without gauge fixing", Phys. Rev. Lett., 1995, v. 75, p. 3377-3381.

80. O.Brodbeck, M.Heusler, O.Sarbach, "The generalization of the Regge-Wheeler equation for self-graviting matter fields", Phys. Rev. Lett., 2000, v. 84, p. 3033-3037.

81. L.A.Edelstein, C.V.Vishveshwara, "Equations for perturbations of the Schwarzshild black hole", Phys. Rev. D, 1970, v. 1, p. 3514-3518.

82. S.Chandrasekhar, S.Detweyler, "The quasi-normal modes of the Schwarzshild black hole", Proc. Roy. Soc., 1975, v. A344, p. 441-452.

83. С.Чандрасекар, "Математическая теория черных дыр", 2 т. М.: Мир, 1986.

84. S.Chandrasekhar, "On the equations governing the axisymmetric perturbations of the Kerr black hole", Proc.Roy.Soc., 1975, v. A345, p. 145-157.

85. C.W.Mizner, "Amplification of waves by Kerr metric", Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 994-1001.

86. Я.Б.Зельдович, "Усиление волн при отражении от вращающейся черной дыры", Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 14, с. 270-272.

87. S.W.Hawking, "Particle creation by black holes", Comm. Math. Phys., 1975, v. 43, p. 199-220.

88. S.W.Hawking, "Black hole explosions?", Nature, 1974, v. 248, p.30-31.

89. R.M.Wald, "On particle creation by black holes", Comm. Math. Phys., 1975, v. 45, p. 9-34.

90. К.А.Свешников, П.К.Силаев, "Некоторые точные решения для скалярного поля в РТГ", ТМФ, 1988, т. 76, с. 477-480.

91. Г.Н.Шикин, К.А.Бронников, "Солитоноподобное решение для скалярного поля с учетом гравитации", ТМФ, 1988, т. 76, с. 304-313.

92. T.Damour, A.M.Polyakov, "String theory and gravity", GRG, 1994, v. 26, p. 1171-1176.

93. T.Damour, G.W.Gibbons, G.Gundlach, Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64, p. 123-127.

94. П.К.Силаев, "Статическое сферически-симметричное решение для скалярного и электромагнитного полей", ТМФ, 1992, т. 91, с. 418-425.

95. G.W.Gibbons, Nucl. Phys. B, 1982, v. 207, p. 337-342.

96. G.W.Gibbons, K.Maeda, "Instability of YM black hole solution", Nucl. Phys. В., 1988, v. 298, p. 741-749.

97. D.Garfinke, G.T.Horowitz, A.Strominger, Phys. Rev. D, 1991, v. 43, p. 314320.

98. J.H.Horne, G.T.Horowitz, "Black holes coupled to a massive dilaton", Phys. Rev. D, 1992, v. 46, p. 134-169.

99. S.J.Poletti, D.L.Wilshire, "Global properties of static spherically symmetric charged dilaton spacetimes with a Liouville potential", Phys. Rev. D, 1994, v. 50, p. 7260-7270.

100. C.F.E.Holzhey, F.Wilczek, "Self-interaction correction to black hole radiance", Nucl. Phys. B, 1992, v. 380, p. 447-463.

101. Ph.Jetzer, D.Scialom, "Asymptotic behaviour of complex scalar fields" Phys. Lett., 1992, v. 169A, p. 12-20.

102. L.Parker, Phys. Rev., 1969, v. 183, p. 1057-1063.

103. L.Parker, "Particle creation in curved space-time", Phys. Rev. Lett., 1971, v. 3. p. 346-355.

104. W.Rindler, Amer. J. Phys., 1966, v. 34, p. 1174-1181.

105. P.C.W.Davies, "Accelerated detector and creation of particles", J. Phys., 1975, v. A8, p. 609-611.

106. W.G.Unruh, "Detector excitations in Rindler metric", Phys. Rev. D, 1976, v. 14, p. 870-875.

107. W.G.Unruh, R.M.Wald, Phys. Rev. D, 1984, v. 29, p. 1047-1051.

108. C.A.Manoque, "Particle creation by strong external fields", Ann. Phys., 1988, v. 181, p. 261.

109. П.К.Силаев, Хрусталев О.А., "Связь полей, квантованных в пересекающихся областях и эффект Унру", ТМФ, 1992, т. 91, с. 217-233.

110. Г.Бейтмен, А.Эрдейи, "Высшие трансцендентные функции", т. 2, М.: Наука, 1966.

111. К.А.Свешников, "Квантовая динамика протяженного объекта в групповых переменных Н.Н.Боголюбова", ТМФ, 1988, т. 75, с. 218-224.

112. К.А.Свешников, "Классическое решение уравнений движения в квантовой теории Ферми-полей", ТМФ, 1988, т. 76, с. 31-46.

113. K.Sveshnikov, "Finite-difference effects and quantization of classical solutions", Phys. Lett., 1989, v. A136, p. 1-5.

114. К.А.Свешников, "Конечно-разностные эффекты в квантовой теории поля", ТМФ, 1990, т. 82, с. 55-66.

115. K.Sveshnikov, P.Silaev, I.Cherednikov, "UV-regularization of field discontinuities", Mod. Phys. Lett., 1997, v. A12, p. 465-478.

116. К.А.Свешников, П.К.Силаев, "О взаимосвязи между разрывными и гладкими решениями типа кинков в КТП", ТМФ, 1996, т. 108, с. 212-248.

117. К.А.Свешников, П.К.Силаев, "Трехфазовая модель кирального кваркового мешка", ТМФ, 1998, т. 117, с. 263-299.

118. P.Silaev, S.Turyshev, General spherically-symmetric solution for coupled scalar and electromagnetic fields: ITPM preprint 94-05, Moscow: ITPM, 1994.1.