Метод тонких оболочек в физике черных дыр и космологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



На правах рукописи

Смирнов Алексей Леонидович

Метод тонких оболочек в физике черных дыр и космологии

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ 2 ДЕК 2010

Москва-2010

004615028

На правах рукописи

Смирнов Алексей Леонидович

Метод тонких оболочек в физике черных дыр и космологии

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук — Институте ядерных исследований РАН, Москва

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор

доктор физико-математических наук професср

Ведущая организация: Учреждении Российской академии наук Физический институт имени П.Н.Лебедева

О Г) < Г} С;Г>,Т)

Защита состоится «_» Ц ¿1, < с,, &1ГЫ 2010 года

в_часов на заседании диссертационного совета Д 002.119.01

Учреждения Российской академии наук Института ядерных исследований РАН (117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯИ РАН.

Автореферат разослан _ 2 9.1 0.2010 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

В. А. Березин

Д.В.Гальцов (МГУ) К. А. Бронников (РУДН)

БАТулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Уравнения общей теории относительности - это нелинейные уравнения второго прядка в частных производных. Как следствие, получение точных решений является сложной проблемой. Ещё более сложную проблему представляет изучение поведения гравитационного поля с полным учетом динамики гравитирующей материй. В этом случае известно лишь небольшое количество моделей, доступных для изучения аналитическими методами.

Одной из них является модель тонкой самогравитирующей оболочки. Она использовалась при изучении большинства явлений в теории гравитации, где обратное влияние материи на геометрию пространства-времени является ключевым фактором.

Так, например, теория тонких оболочек была использована в космологии при изучении фазовых переходов в ранней Вселенной. С другой стороны, теория тонких оболочек оказалась чрезвычайно полезной в физике черных дыр. В частности, Израэль и др. применили такую модель для изучения внутренней структуры черной дыры Райсснера-Нордстрема с учетом обратной реакции. В случае теории квантовых чер1 ных дыр модель самогравитирующей тонкой оболочки была прокванто-вана, был получен спектр квантовой черной дыры.

Данная диссертация посвящена решению нескольких задач. Этими задачами являются: изучение эволюции фантомной материй на полном многообразии Шварцшйльда, поиск законов сохранения в системе пересекающихся тонких оболочек, имитация черных дыр и, наконец, изуче-

3

ние глобальной геометрии в моделях мембранных вселенных с дополнительным числом пространственных измерений.

Эволюция фантомной материи обычно изучается в контексте космологических проблем. Однако, не менее интересным представляется изучение эволюции такой материи с точки зрения теории гравитации. Свойство фантомной энергии нарушать световое энергетическое условие может сделать недействительной теорему о топологической цензуре и, следовательно, делает фантомную энергию естественным кандидатом для образования таких экзотических объектов как лоренцевы кротовые норы. Кроме того, поведение горизонтов черных дыр при аккреции на них фантомной материи априори может отличаться от поведения при аккреции обычной материи.

В частности, в некоторых работах делались попытки рассмотреть стационарную, сферически-симметричную аккрецию фантомной материи на шварцшильдову черную дыру. По расчетам авторов этих работ,-при такой аккреции масса черной дыры будет уменьшаться. Однако, этот результат был получен без учета обратной реакции материи на гравитационное поле. Поэтому интересен вопрос об аккреции фантомной материи на черную дыру с учетом обратной реакции. В случае, если материя представлена в виде тонкой оболочки, возможен полный анализ такой задачи.

Ещё одна задача, представляющая значительный интерес - это законы сохранения в системе нескольких пересекающихся тонких оболочек.

Йз работ по квантованию тонких оболочек известно, что движение

одной, сферически-симметричной самогравитирующей оболочки можно описывать как движение релятивистской частицы с гамильтонианом, кинетическая часть которого неквадратична по импульсу. Более того, в случае пылевой оболочки (о)-компонента уравнений Израэля может быть интерпретирована как закон сохранения энергии для такой частицы

Ат = аи№у/р + К - ^ (1)

Эта аналогия позволяет предположить, что в системе с несколькими оболочками возможно сформулировать также закон сохранения, который можно интерпретировать как закон сохранения импульса. С другой стороны, если пространство является асимптотически-плоским, то можно также получить закон сохранения энергии, аналогичный (1).

Эти рассуждения подкрепляются другими результатами. В частности, случай пересекающихся сферически-симметричных световых оболочек впервые был рассмотрен в работах Дрея и т'Офта в 1985 году, где было получено выражение для метрических коэффициентов

И-1' <2)

которое можно интерпретировать как некий закон сохранения. Естественно ожидать, что подобный закон может существовать в случае вре-мени-подобных пересекающихся оболочек.

Такая общая задача стала актуальной сравнительно недавно, в связи с попытками квантования системы с несколькими оболочками, а также с появлением космологических моделей с дополнительным числом

измерений, в которых возможно столкновение мембран (т. н. экпироти-ческая/пиротехническая космологическая модель).

Ещё одной интересной проблемой, для изучения которой можно применять метод тонких оболочек, является "имитация" черной дыры. Рассмотрим систему, состоящую из сферически-симметричной черной дыры Шварцшильда или Райсснера-Нордстрема и окружающей её тонкой оболочки, расположенной на некотором фиксированном расстоянии от черной дыры. Считаем, что оболочка обладает идеальной теплопроводностью, т. е. отсутствует поток тепла через оболочку. Эффектом от введения оболочки является отличие температуры системы Т^уя на бесконечности от температуры Хокинга "голой" черной дыры Твн• Причина заключается в том, добавление массивной оболочки ведет к тому, что что временная координата внутри оболочки будет отличаться от координаты снаружи некоторым константным множителем. Следовательно, энергетический масштаб также изменится. Используя непрерывность метрики на оболочке, можно вычислить эту константу, которая и изменяет температуру на бесконечности так что, Тзуэ < Твн• Имитация черной дыры - это выполнение условия Тзуэ — Твн(твн + т. е. температура системы на бесконечности должна быть равна температуре Хокинга для "фиктивной" черной дыры, масса которой равна суммарной массе реальной черной дыры и оболочки. Значит, с точки зрения гравитационной физики, наблюдатель на бесконечности не в состоянии отличить реальную черную дыру от системы черной дыры, окруженной оболочкой, в которой выполнено условие имитации.

Главной задачей в изучении имитации является, конечно, выяснение условий, при которых имитация возможна. Оказывается, что в случае описанной выше модели, имитация действительно возможна как для случая черной дыры Шварцшильда, так и для случая дыры Райсснера-Нордстрема.

Актуальной задачей является также изучение возможных расширений модели для того, чтобы исправить её очевидное ограничение - необходимость искусственного удержания оболочки на фиксированном радиусе. Оказывается, что возможно создать тонкую оболочку, способную удерживаться на фиксированном радиусе только посредством гравитационного взаимодействия. Такие оболочки были названы оболочками с орбитальными составляющими. Используя такую оболочку в модели, можно попытаться реализовать естественную имитацию черной дыры без введения искусственных внешних сил.

Наконец, интерес к глобальной геометрии в моделях с дополнительным числом измерений связан, прежде всего, с тем фактом, что увеличение количества измерений ведет к увеличению числа геометрических степеней свободы. А именно, в 4-мерном пространстве-времени, в определении глобальной геометрии существенным фактором является наличие 2-мерной сферической симметрии. Это позволяет использовать "2+2"-разложение метрики на 2-мерную пространственно-временную часть и метрику на 2-мерной сфере. Однако, уже при добавлении хотя бы одного пространственного измерения возрастает количество симметрий для которых мы можем ввести "2+((3-2)"-разложение и, соответственно, ввести

понятия Я-, !Г-областей, определяющих причинную структуру и глобальную геометрию пространства-времени. В случае космологических моделей, требования однородности и изотропии на оболочке (бране) предполагают, что кроме сферической геометрии, необходимо рассматривать также гиперболическую и плоскую геометрии. Как следствие, классификация возможных типов эволюции оболочки (браны) даже в простых моделях должна быть существенно нетривиальной.

Такая классификация должна быть полезной при квантовании браны. С этой точки зрения, наиболее интересными являются случаи, когда объемлющее ^+1)-мерное пространство-время имеет вне браны геометрию кротовой норы Эйнштейна-Розена. Тогда естественным расширением модели могло бы стать добавление второй браны, за горизонтом. В такой расширенной модели эволюция первой браны классически не отличается от эволюции в модели с единственной браной, однако квантово-механически браны могут взаимодействовать. Как следствие, после квантования спектры наблюдаемых на бране будут зависеть от второго квантового числа, описывающего вторую оболочку. Гипотетически, это может иметь отношение к объяснению иерархии взаимодействий.

Цели работы: изучение глобальной геометрии в системе, состоящей из черной дыры Шварцшильда, окруженной оболочкой фантомного типа, получение законов сохранения импульса и энергии в системе пересекающихся тонких оболочек, изучение имитации черных дыр, классификация возможных глобальных геометрий в (К+1)-мерном пространстве-времени в котором эволюционирует К-мерная брана.

Научная новизна и практическая ценность.

В диссертации впервые получена полная классификация типов эво-люций оболочки фантомного типа с уравнением состояния 5ц = с к > 1 на полном многообразии Шварцшильда с учетом обратного влияния материи на метрику. Из полученной классификации следует, что при движении фантомной материи в "нашей" Я+-области (в которой должен находиться физический наблюдатель) такие патологии, как уменьшение горизонта черной дыры при аккреции или нарушение асимптотической плоскостности при неограниченном расширении оболочки, не могут возникнуть:

Впервые показано, что существующий в системе сферически-симметричных пересекающихся оболочек закон сохранения, частным случаем которого является формула Дрея-т'Офта, можно интерпретировать как закон сохранения импульса. Новым результатом является также получение закона сохранения энергии для такой системы в случае, когда пространство-время является асимптотически-плоским.

Впервые изучена возможность имитации черной дыры. Получены ограничения на возможность естественной имитации.

Впервые дана классификация глобальных геометрий и получены космологические решения для (N4- 1)-мерного пространства-времени с топологией М^1 х М2, которое содержит ^-мерную брану.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены в 2005-2010 гг. на научном семинаре ИЯИ РАН, ХШ-Й Международной школе "Частицы и космология" (Приэльбрусье,

2005), Х1У-Й Международной ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва, 2009).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 5 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав основного текста и Заключения, содержит 116 страниц машинописного текста, в том числе 61 рисунок и список литературы из 97 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждаются эффекты в общей теории относительности, для которых обратная реакция материи на гравитационное поле играет ключевую роль, и возможность применения метода тонких оболочек для исследования таких эффектов. Кратко изложено содержание диссертации.

В Главе 1 дано подробное изложение формализма тонких оболочек в общей теории относительности. Особое внимание уделено случаю тонкой сферически-симметричной оболочки. Описаны методы построения диаграмм Картера-Пенроуза в случае, когда пространство-время содержит тонкую оболочку.

Раздел 1.1 посвящен выводу уравнений Израэля в «¿-мерном пространстве-времени. Эти уравнения имеют вид

№}-бЦк\}) = 8тг су, ^ + = 0,

+ И = 0. (3)

Здесь К3{' тензор внешней кривизны, - поверхностный тензор энергии-импульса. Описаны два варианта вывода этих уравнений.

В первом случае оболочка с необходимостью рассматривается как сингулярная, т.е. в тензоре энергии-импульса для оболочки £, который имеет вид

Т* = + ...,

поверхностный тензор энергии-импульса ^ 0.

Во втором случае, оболочка необязательно должна быть сингулярной и, следовательно, необходимо учитывать несингулярные слагаемые тензора энергии-импульса:

х) = ®)г(п) + х)6{п) + Т'^п, х), (4)

где

[Т,ш] |п=о =0,

При этом появляются дополнительные уравнения, которые нетривиальны вне оболочки. В случае отсутствия сингулярных оболочек и/или ударных волн (условие [К^] 0) эти уравнения есть просто "(с!-1)-(-1-разло-жение" уравнений Эйнштейна.

В разделе 1.2 вводятся основные понятия глобальной геометрии для случая сферически-симметричного пространства-времени, которые необходимы для изучения уравнений Израэля сферически-симметричной тонкой оболочки.

Глобальная геометрия сферически-симметричного пространства-времени М = К2 х В*1-2 характеризуется двумя инвариантами: радиусом г(£, q) и квадратом нормали к поверхностям постоянного радиуса Д. Это дает возможность представить пространство-время как набор так называемых Д- и Т-областей, разделенных горизонтами видимости. В Т-области Д > 0, здесь невозможно выполнение условия г = 0. То есть, в Т-области условия т < 0 или г > 0 являются инвариантными относительно непрерывных координатных преобразований. Область, где г < 0, названа -областью (область необратимого сжатия), а область, где г > 0, названа Т+-областью (областью необратимого расширения). В Я-области Д < 0. Аналогично, знак г1 не зависит от выбора координат в Д-области. Д+-областью называется Д-область, где г' > 0, а Д_-областью - Д-область, где г' < 0. Т- и Д- области отделены друг от друга поверхностями Д = 0, которые являются горизонтами видимости.

Компоненты тензора внешней кривизны также можно выразить через инварианты г и Д и, следовательно, записать уравнения Израэля через эти инварианты

Здесь р(т) - радиус оболочки в собственном времени, а = ±1 - знак производной г„ по нормали к оболочке. В случае, если оболочка движется в Д-области эта величина - интеграл движения и, соответственно, а = +1 в Д+-области и а = — 1 в Д_-области.

К\

Р

(5)

(6)

В разделе 1.3 описаны методы построения диаграмм Картера-Пенроуза и диаграмм погружения и их расширения на случай пространства-времени, в котором движется оболочка. В частности, в подразделе 1.3.1 изучены варианты диаграмм Картера-Пенроуза для некоторых асимптотически-плоских пространств. Показано, что диаграммы Картера-Пенроуза можно рассматривать как графическое представление асимптотически-простых (в слабом смысле) пространств. В подразделе 1.3.2 изучены диаграммы Картера-Пенроуза для пространств де Ситтера и анти-де Сит-тера.

В Главе 2 построена полная классификация типов эволюции оболочки фантомного типа на полном многообразии Шварцшильда с уравнением состояния Sq — kS$ при к > 1.

Раздел 2.1 посвящен общему описанию модели. Уравнение неразрывности позволяет определить поверхностную плотность энергии на оболочке как функцию её радиуса p:'Sg = CpW-». Таким образом, параметрами модели являются внутренняя и внешняя шварцшильдовы массы min, m0 ut и параметры Сяк. Для построения классификации движений оболочки необходимо знать, где меняют знак величины ¡?{р) и р{р). Эти величины определяют точки поворота, финитность или инфинитность движения оболочки. Область пространства-времени, в которой происходит эволюция оболочки, определяется параметрами crjn, <r0ut- Оболочки с уравнением состояния Sq = kS$ образуют однопараметрическое семейство по параметру С. Корни уравнений р2(р) = 0 и р(р) = 0 также зависят от С. Таким образом, для классификации возможных движений

оболочки можно переопределить пространство параметров, т. е. вместо поиска условий на р, можно искать условия на параметр С.

В разделе 2.2, используя метод диаграмм Картера-Пенроуза и диаграмм погружения, описанный в разделе 1.3, дана полная классификация типов эволюции фантомной оболочки на полном многообразии Шварцшильда.

В случае, когда полная масса оболочки Am = mout — mtn > 0 существуют следующие варианты эволюции оболочки:

1.

С2 > С2

Точки поворота отсутствуют, и возможно только инфинитное движение. Движение оболочки всегда происходит за мостом Эйнштейна-Розена.

2.

С\ <С2< С\

Существуют точки поворота, и aout меняет знак в Т-области. Движение оболочки всегда происходит за мостом Эйнштейна-Розена.

3.

С2 <с\

Существуют точки поворота, и знак aout меняется в запрещенной для движения части /ï-области. В этом случае существует вариант эволюции оболочки, при котором она причинно связана с наблюдателем. Этот случай - процесс превращения белой дыры в чер-

ную посредством выброса фантомного вещества с его последующим коллапсом. Диаграмма Картера-Пенроуза имеет вид:

Г = О ,+

Значение Со определяется, фактически, условием р2{ро) = 0 для некоторого р0) а С1 определяется условием сг01й(Р1) = 0 для некоторого р\. Доказано, что всегда С\ < Сд. Следует заметить также, что при Дш > О всегда сгт = +1.

Аналогично рассматривается случай Атп < 0. Возможные варианты эволюции могут быть проклассифицированы следующим образом:

Точки поворота отсутствуют, и возможно только инфинитное дви-

г = о

г

1.

С2 > Со

жение;

2.

С22<С2<С02

Существуют точки поворота, и ит меняет знак в Т-области;

3.

С2 < с2

Существуют точки поворота, и знак <тт меняется в запрещенной для движения части Я-области. Здесь значение Сг определяется условием от{р2) — 0 для некоторого fc. При этом всегда <7out — —1 и, следовательно, движение оболочки всегда происходит в области, причинно несвязной с физическим наблюдателем.

В Главе 3 изучены законы сохранения импульса и энергии в системе нескольких пересекающихся тонких оболочек.

В разделе 3.1 рассмотрена достаточно общая модель N пересекающихся оболочек на d-мерном пространстве-времени с топологией M2 х JV*d_2. В такой модели существует закон сохранения, который является условием самосогласованности координатных преобразований.

Из-за ограничения на топологию метрика в областях между оболочками может быть записана в изотропных координатах в виде

ds2 = Ha(Ub,Va)dUadVa - R2a{Ua, V;)5odxW, (7)

здесь индекс а пробегает значения от 1 до N и нумерует области пространства-времени между оболочками, До-масштабный фактор, а г, j = 2.....d.

С другой стороны, вблизи точки пересечения можно ввести непрерывные изотропные координаты (u,v), в которых метрика имеет вид

ds2 = h{u,v)dudv — r2{u,v)gijdxldxP, (8)

а функции h(u,v), r(u,v) непрерывны в точке пересечения.

Поэтому можно записать преобразования координат Ua к координа-

там иа+\ через координату и

'ЪА + ЬЛ ) ] 01 - + ]

и аналогично для координат К, 14+1. Закон преобразования в матричной форме

Таким образом, закон сохранения может быть записан как условие самосогласованности для матриц ТаА+1 при обходе вокруг точки пересечения

В разделе 3.2 рассмотрено применение результатов предыдущего раздела к случаю двух пересекающихся сферически-симметричных световых оболочек. При этом закон сохранения совпадает с формулой Дрея-т'Офта (2).

С другой стороны, из работ по гамильтонову формализму для оболочки известно, что выражение для импульса канонически сопряженного радиальной координате для расширяющейся оболочки

(10)

(11)

для коллалсирующей оболочки

Соответственно, для оболочек, одна из которых коллапсирует до и после пересечения, а вторая расширяется до и после пересечения, закон сохранения импульса

РъфЬг = АиАи,

т.е. формула Дрея-т'Офта (2). Значит, закон сохранения, введенный ранее, действительно можно рассматривать как мультипликативную форму закона сохранения импульса для световых оболочек.

В разделе 3.3 рассмотрена интерпретация результатов раздела 3.1 для N пересекающихся времени-подобных сферически-симметричных оболочек. Закон сохранения в этом случае приводится к виду

П™ (/% + ^+1)1/2 + (Та+1Ра _ 1 М0ч

о=1 (К + + °ара

Опять, используя результаты гамильтонова формализма, можно записать импульс для времени-подобной оболочки в виде

для расширяющейся оболочки и

(3 = ехр(-^) = (14)

л; р+(Т,пУ/^тж

для коллапсирующей оболочки. Таким образом, для пересекающихся времени-подобных оболочек закон сохранения полученный в разделе 3.1, также можно интерпретировать как закон сохранения импульса.

В конце данного раздела получен также закон сохранения энергии для системы двух пересекающихся времени-подобных оболочек в случае,

18

когда пространство-время является асимптотически-плоским. Шварц-шильдовские массы в областях между оболочками - это m 1, тг, тз, m4. Масса гаг описывает пространство-время между оболочками до пересечения, а масса 7П4 описывает пространство-время после пересечения. Тот факт, что пространство-время описывается двумя массовыми параметрами вместо четырех, следует из теоремы единственности Биркхо-фа. Если мы используем определение полной энергии пылевой оболочки Лт = rriout - тгп, тогда

Дт6, + Дтб, = Дта, + Дтаз. (15)

Здесь

Дть1 = тп2 — Ш\

является полной энергией первой оболочки до пересечения и т. д. Уравнение движения для оболочки дают

/- GM2

Дm = meut ~ min = ainM\¡¡P- + Fin---—,

2P

тогда тривиальное тождество (15) становится нетривиальным законом сохранения.

В разделе 3.4 рассмотрен закон сохранения в системе пересекающихся световой и времени-подобной оболочек. В этом случае существует две физически различные ситуации, обусловленные различным поведением световой оболочки. В первом случае, который можно назвать "отражением", коллапсирующая (расширяющаяся) световая оболочка после взаимодействия с времени-подобной начинает расширяться (коллапси-

ровать). Во втором случае смены типа движения световой оболочки не происходит.

Закон сохранения в гибридной системе пересекающихся оболочек является тривиальным расширением результатов разделов 3.2, 3.3

В Главе 4 изучена имитация черных дыр.

В разделе 4.1 дан вывод температуры Хокинга для черной дыры Шварцшильда и Райсснера-Нордстрема. Используя принцип эквивалентности, можно рассматривать наблюдателя, покоящегося вблизи горизонта, как ридлеровского наблюдателя и, значит, измеряющего некоторую температуру Т^. В искривленном статическом прострастве-времени инвариантом является величина Ту/^оо — const. Поэтому в асимптотически-плоском пространстве-времени на бесконечности температура постоянна. Легко показать, что температура Т^у/доо есть температура Хокинга.

В разделе 4.2 рассмотрена система, состоящая из сферически-симметричной черной дыры Шварцшильда или Райсснера-Нордстрема, и окружающей её тонкой оболочки расположенной на некотором фиксированном расстоянии от черной дыры. Добавление оболочки будет изменять температуру, измеряемую наблюдателем на бесконечности. Т. е., вместо температуры Хокинга Твн наблюдатель будет измерять температуру системы _

TSYS = Tbh\(-тгЧ <ТВН-у \ Fin J r=ro

Этот эффект называется "экранированием" температуры. Таким образом, в общем случае удаленный наблюдатель может отличить черную

дыру от черной дыры окруженной тонкой оболочкой. Однако, можно подобрать параметры системы так, что будет выполнено условие

7Ьу5 = 7Ыт + Дтп). (16)

Другими словами, наблюдатель вблизи бесконечности, обладающий знаниями общей теории относительности и термодинамики в искривленном пространстве-времени, будет измерять температуру черной дыры с массой Ш5У5 — ш + Дт. Однако, в реальности, изучаемая система не является черной дырой. Такая ситуация и называется имитацией черной дыры.

Очевидно, что имитация черной дыры возможна только при достаточно жестких условиях на параметры модели. В частности, оболочку необходимо удерживать на фиксированном радиусе. В общем случае, такое движение оболочки негеодезично, и необходимы внешние силы для её удержания. Радиус оболочки является также параметром, который определяет возможность/невозможность имитации. В данном разделе эти радиусы найдены как для случая черной дыры Шварцшильда, так и для случая черной дыры Райсснера-Нордстрема.

Заключительная часть раздела посвящена попытке реализовать естественную имитацию черной дыры без введения искусственных внешних сил. В этом случае оболочка должна удерживаться на фиксированном радиусе только посредством гравитационного взаимодействия. Естественным кандидатом является оболочка с орбитальными составляющими.

В ньютоновой гравитации орбитой точечной массы, движущейся в

21

центральном поле, является эллипс, в одном из фокусов которого находится .центральная масса, создающая гравитационное поле. Если теперь рассмотреть ансамбль частиц с одинаковым отношением углового момента к массе, то эти частицы будут иметь одинаковые значения пе-рицетра и апоцетра. Представим, что в начальный момент времени все эти частицы распределены однородно по поверхности сферы с радиусом, равным расстоянию от гравитирующего центра до точки перицентра и начинают двигаться одновременно (с одинаковым абсолютным значением скорости, но в разных плоскостях). Тогда такой ансамбль будет образовывать сферически-симметричную тонкую оболочку, осциллирующую между перицентром и апоцентром. Такая оболочка называется оболочкой с орбитальными составляющими. Подчеркнем, что полный угловой момент для такой оболочки равен нулю. Аналогичные рассуждения будут справедливы для релятивистского случая с тем отличием, что орбиты не являются замкнутыми кривыми.

Однако, чтобы такая оболочка покоилась в минимуме эффективного потенциала, необходимо, чтобы уравнение состояния 2-мерного газа частиц составляющих оболочку, подчинялось неравенству

+ 2Б1 < 0. (17)

С другой стороны, прямое вычисление компонент тензора 5/ показывает, что

¿о + 25| > 0. (18)

Таким образом, естественная имитация с помощью оболочки с орбиталь-

ными составляющими невозможна.

В Главе 5 рассмотрено применение формализма тонких оболочек для изучения глобальной геометрии в космологических мембранных теориях с дополнительным числом пространственных измерений. Общим свойством таких теорий является представление 4-мерной наблюдаемой Вселенной как оболочки в п-мерном пространстве-времени.

В разделе 5.1 описывается исследуемая модель. В качестве модели рассмотрена ^мерная времени-подобная оболочка/брана, погруженная в объемлющее (N-1- 1)-мерное посгранство-время. Геометрия (N+1)-мерного пространства-времени является вакуумной геометрией с положительной или отрицательной космологической постоянной. Геометрия на бране имеет космологическую симметрию (однородность, изотропность). Предполагается также, что (И+1)-мерная геометрия не содержит сингулярностей и других бран. Кроме того, предполагается, что геометрия (М+1)-мерного пространства-времени не зависит от положения браны. В такой модели можно ввести или глобальную гауссову систему координат, или метрику в виде

(1з2=-уАВ(х)(1хАс1хв-Я2(х)с111 А,В = 0,1,

где (й\ - линейный элемент Робертсона-Уокера. Поэтому можно использовать инварианты Д, Я и ввести понятия Й-, Т-областей. Решение уравнений Эйнштейна, записанных через Д и Я, дает

. , Ют 2 , ,,„ч

и, как следствие, на бране в нормальных гауссовых координатах

Кроме того, уравнения Эйнштена на бране дают

<21)

. (22)

При этом условие отсутствия сингулярностей для (N+l)-MepHoro прост-ранствагвремени требует тп = 0, а получающаяся в результате Зг-симметрия дает £Т+ = —а— На бране /(<) = a t, где a(t) - масштабный фактор.

Из (19) следует, что глобальная (К+1)-мерная геометрия зависит от (К-1)-геометрии Робертсона-Уокера (посредством параметра fc). Сами решения совпадают с решениями Ишихары-Томиты-Нариаи, но получены более простым, инвариантным методом, проясняющим геометрию объемлющего пространства-времени.

При решении уравнения (20) возникает дополнительная функция времени (¡)(t). Эта функция определяется через тензор энергии-импульса на бране. В диссертации рассмотрен случай вакуумной браны Sq = Sf, ПРИ этом <p(t) — фо — const, и задача становится точно решаемой.

В разделе 5.2 дана классификация возможных глобальных геометрий (N+l)-MepHoro пространства-времени, в котором движется вакуумная брана.

В подразделе 5.2.1 описаны все возможные глобальные геометрии при

Л > 0. Параметрами классификации в этом случае является тип (N-1)-

мерной пространственной геометрии и знак йд-

В подразделе 5.2.2 проклассифицированы возможные геометрии при Л < 0. В этом случае, как показывает уравнение (21), необходимо рассматривать отдельно браны с положительной и отрицательной индуцированной плотностью энергии Т^. Врана с Ту^ > 0 была названа "тяжелой". Брана с Т^1 < 0 была названа "легкой". Таким образом, к параметрам классификации предыдущего подраздела добавляется знак

гг,(Ш)

1оо •

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Для защиты выдвигаются следующие результаты, полученные в диссертации:

1. Изучена аккреция фантомной материи на черную дыру Шварц-шильда с учетом обратной реакции на гравитационное поле в случае, когда материя представлена в виде тонкой оболочки. Показано, что такая система является замкнутой в том смысле, что на физически интересной стороне моста Эйнштейна-Розена эволюция фантомной материи всегда происходит в конечном объеме. Как следствие, масса черной дыры в такой системе не может уменьшаться.

2. Получен закон сохранения импульса в системе нескольких пересекающихся тонких сферически-симметричных оболочек. Для этого были использованы результаты, полученные ранее в гамильтоно-

25

вом подходе к механйке одной самогравитирующей тонкой оболочки. Также получен закон сохранения энергии в случае, когда' обла-стй пространства-времени между оболочками - это части пространства-времени Шварцшильда.

3. Исследована возможность имитации черной дыры в системе черной дыры и окружающей её тонкой оболочки, покоящейся на определенном расстоянии от неё. Показано, что существует значение радиуса, при котором имитация возможна/Этот результат справедлив как для черной дыры Шварцшильда, так и для черной дыры Райсснера-Нордстрема. Исследована также возможность естественной имитации черной дыры с помощью оболочки с орбитальными составляющими. Показано, что в этой модели имитацию нельзя осуществить, так как уравнение состояния 2-мерного газа частиц составляющих оболочку должно быть более жестким чем уравнение состояния для 2-мерного фотонного газа. Другими словами, физика не запрещает возможности естественной имитации, но в рамках модели оболочки с орбитальными составляющими это невозможно,

4. Получены космологические решения уравнений Эйнштейна в (N (1). .. мерном пространстве-времени с материей, сосредоточенной на

мерной бране. Построена классификация возможных типов эволюции К'-мерной оболочки/браны, движущейся в объемлющем (N+1)-. мерном пространстве-времени.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

26

1. V. A. Berezin and A. L. Smirnov. Crossing thin shells -Gravitation and Cosmology -No. 4 (36) -2003 -pp. 229-236

2. V. Berezin, V. Dokuchaev, Yu. Eroshenko, A. Smirnov The phantom shell around a black hole and global geometry

-Class, and Quantum Grav. 22 -No 21 -2005 -pp. 4443-4455

3. V. Berezin, A. Smirnov. Black hole masked -Gravitation and Cosmology -No. 1 (49) -2007 -pp. 43-45

4. V. Berezin, A. Smirnov. On the possibility of natural imitation of black holes

-In: Proc. of 15th Int. Sem. "Quarks-2008" -2010. -2. -p.55-58.

5. В. А. Березин, A. JI. Смирнов. О черных дырах и замаскированных черных дырах

-Лекционные заметки по теоретической и математической физике -КГУ -2010 -стр. 281-319

Ф-т 60x84/8. Уч.-издл. 1,1 Зак. №22092 Тираж 100 экз. Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

Введение

ГЛАВА 1. Общая теория

1.1 Общая теория тонких оболочек. Уравнения Израэля

1.2 Теория сферически-симметричных тонких оболочек.

1.3 Диаграммы Картера-Пенроуза.

1.3.1 Определение черной дыры. Диаграммы Картера-Пенроуза для асимптотически плоских пространств. Диаграммы погружения

1.3.2 Диаграммы Картера-Пенроуза для асимптотически простых пространств не являющихся асимптотически плоскими

ГЛАВА 2. Эволюция фантомной материи с учетом обратного влияния

2.1 Описание модели.

2.2 Полная классификация типов эволюции фантомной материи в модели.

ГЛАВА 3. Пересекающиеся тонкие оболочки.

3.1 Закон сохранения для пересекающихся оболочек.

3.2 Закон сохранения импульса для сферически-симметричных пресекающихся изотропных оболочек.

3.3 Законы сохранения энергии и импульса для пресекающихся времени-подобных оболочек.

3.4 Закон сохранения импульса для пресекающихся изотропной и времени-подобной оболочек.

ГЛАВА 4. Имитация черных дыр

4.1 Температура Хокинга.

4.2 Экранирование температуры и имитация черных дыр.

ГЛАВА 5. Глобальная геометрия в моделях с дополнительными пространственными измерениями

5.1 Построение модели.

5.2 Классификация глобальных геометрий.

5.2.1 Решения в модели при А > 0.

5.2.2 Решения в модели при А < 0.

Уравнения общей теории относительности - это нелинейные уравнения второго прядка в частных производных. Как следствие, получение точных решений является сложной проблемой. Ещё более сложную проблему представляет изучение поведения гравитационного поля с полным учетом динамики гравитирующей материи. В этом случае известно лишь небольшое количество моделей, доступных для изучения аналитическими методами.

Одной из самых эффективных (с точки зрения полученных результатов) является модель тонкой самогравитирующей оболочки [1, 2]. Она использовалась при изучении большинства явлений в теории гравитации, где обратное влияние материи на геометрию пространства-времени является ключевым фактором. Так, например, теория тонких оболочек была использована в космологии при изучении фазовых переходов в ранней Вселенной [3-7]. С другой стороны, теория тонких оболочек оказалась чрезвычайно полезной в физике черных дыр. В частности, Израэль и др. применили данную модель для изучения внутренней структуры черной дыры Райсснера-Нордстрема с учетом обратной реакции [8, 9]. В случае теории квантовых черных дыр, модель самогравитирующей тонкой оболочки была проквантована, был получен спектр квантовой черной дыры, а также был предложен вариант механизма излучения Хокинга [10-15].

Цитированные выше работы позволяют говорить, что наиболее эффективным метод тонких оболочек становится, когда в задаче присутствуют дополнительные симметрии, в частности, сферическая симметрия. В этом случае становится возможным изучать глобальную структуру пространства-времени. Под глобальной структурой здесь понимается следующее. Как было впервые показано в работе [16], в случае сферической симметрии возможно представить пространство-время в виде множества областей, названных Я- и Т-областями, смежными границами которых являются горизонты видимости, плюс конформные бесконечности, плюс возможные сингулярности. Свойства Я- и Т-областей определяются поведением двух инвариантов: радиуса г и квадрата нормали к поверхностям постоянного радиуса.

В последние годы в связи с прогрессом в космологии, а также с возобновлением интереса к теориям с дополнительными пространственными измерениями, появились задачи, идеально подходящие для изучения с помощью метода тонких оболочек. В частности, данные наблюдений сверхновых типа 1а [17, 18], а также данные наблюдений космического микроволнового излучения [19, 20] показывают, что во Вселенной присутствует т. н. "темная энергия" необычным свойством которой является отрицательное давление. Для анализа эволюции темной энергии'обычно используется параметризация с помощью уравнения состояния р/е = ш. Тогда условие ш < —1/3 будет необходимым для объяснения наблюдаемого расширения Вселенной, а условие со = — 1 соответствует космологической постоянной [21]. Однако, данные наблюдений не исключают условие ш < — 1 [22, 23]. Более того, в работе [24] показано, что условие —1.2<о;<—1 является наиболее предпочтительным для описания Вселенной в настоящую эпоху. В этом случае световое энергетическое условие нарушается, е + р < 0. Следовательно, нарушаются также слабое и доминантное энергетические условия. Следует подчеркнуть, что плотность темной энергии положительна е > 0. Материю, для которой выполняется условие ш < — 1, называют фантомной материей.

Эволюция фантомной материи обычно изучается в контексте космологических проблем. Однако, не менее интересным представляется изучение эволюции такой материи с точки зрения теории гравитации. Свойство фантомной энергии нарушать световое энергетическое условие может сделать недействительной теорему о топологической цензуре [25] и, следовательно делает фантомную энергию естественным кандидатом для образования таких экзотических объектов как лоренцевы кротовые норы [26-30]. Кроме того, поведение горизонтов черных дыр при аккреции на них фантомной материи, априори может отличаться от поведения при аккреции обычной материи [31]. В частности, в работе [32] была сделана попытка рассмотреть стационарную, сферически-симметричную аккрецию фантомной материи на шварцшильдову черную дыру. По расчетам авторов, при такой аккреции масса черной дыры будет уменьшаться. Однако, этот результат был получен без учета обратной реакции материи на гравитационное поле.

Пусть у нас есть неизлучающая гравитирующая система, состоящая из черной дыры и окружающей её материи, для которой нарушено световое энергетическое условие. Если такая система замкнута, в том смысле, что тензор энергии-импульса на бесконечности исчезает, то это ведет к асимптотической плоскостности пространства-времени и, следовательно, к хорошо определенному понятию полной массы, которая является интегралом движения, связанным с симметриями вблизи бесконечности. В зависимости от того, вблизи какой из бесконечностей, пространственно-подобной г° или световой Х+ она определяется, мы получаем или массу Арновита-Дезера-Мизнера, или массу Бонди, соответственно [33, 34], хотя в шварцшильдовом случае они совпадают.

Если система не является замкнутой, то все равно возможно определить понятие квазилокальной массы-энергии. В частности, если система сферически-симметрична, то можно использовать определение массы, данное Кохилом и Маквитти в [35].

В любом случае, так как нулевое энергетическое условие нарушено, то можно ожидать, что поток массы-энергии аккрецирующей материи может становиться отрицательным. Это может приводить к различным патологиям в эволюции гравитирующей системы. Например, как говорилось выше, при аккреции фантомного вещества на черную дыру с фиксированной геометрией Шварцшильда, возможно уменьшение массы черной дыры. Другая патология - это переход к отрицательным значениям массы и, как следствие, появление голых сингулярностей.

С другой стороны, эти рассуждения не учитывают нестабильность, возникающую в 3-мерном распределении материи, обусловленную отрицательностью давления. В частности, в случае сферической симметрии, отрицательное радиальное давление приводит к тому, что слой конечной толщины будет стремиться сжаться. Значит, можно предполагать, что естественной свободной от нестабильности конфигурацией фантомной материи будет топкая оболочка. Возможно ли исчезновение описанных выше патологий в этом случае ? Ответ на этот вопрос дан в работе [36]. Оказывается, что в этом случае, не возникает патологий в эволюции системы, и аккреция фантомной материи напоминает аккрецию обычного вещества с увеличением массы черной дыры. Доказательство основано на построенной полной классификации возможных эволюционных сценариев для оболочки.

Другой интересной задачей является изучение моделей, в которых гравитирующая материя представлена более, чем одной тонкой оболочкой. В этом случае возможно пересечение оболочек. Впервые такая задача была рассмотрена в работах [37, 38]. Авторы изучали пересекающиеся изотропные оболочки и получили соотношение между доо-компонентами метрик для областей, которые ограничивают пересекающиеся оболочки:

Интерес к изучению пересекающихся оболочек возник опять в связи с некоторыми космологическими моделями с дополнительными измерениями, а также попытками квантования системы с несколькими оболочками [39-41].

Так, например, экпиротическая/пиротехническая космологическая модель [42, 43] предполагает, что видимая вселенная представлена (3+1)-мерной браной/оболочкой в объемлющем 5-мерном пространстве-времени. Эта брана неупруго сталкивается с другой (3+1)-мерной браной, движущейся через объемлющее пространство-время. В момент столкновения некоторое количество релятивистской материи (излучения) рождается на видимой бране за счет кинетической энергии двигавшейся браны. Таким образом, начальные условия для горячей Вселенной Фридмана получаются за счет столкновения бран, и первоначально плоская видимая Вселенная начинает расширяться.

С другой стороны, в цитированных выше работах по квантованию оболочки, квантование производилось в системе отсчета, связанной с оболочкой. В связи с этим возникает вопрос: каким образом можно получить какую-либо физическую информацию о гравитационном поле вне оболочки ? Введение в рассмотрение второй оболочки должно, в принципе, играть роль пробной массы в поле первой оболочки. В сферически-симметричном случае это действительно так, потому что оболочка может влиять только на часть пространства-времени. Если квантовая модель системы двух оболочек будет построена, тогда, вероятно, можно будет получить информацию о гравитационном поле первой оболочки, например, из квантового состояния исходящей на бесконечность второй оболочки.

Однако прежде, чем пытаться квантовать модель, необходимо изучить законы сохранения, работающие в классической системе, которые будут нетривиальными из-за наличия нескольких оболочек. Изучение этих законов сохранения одна из целей данной работы.

Из [10] известно, что движение одной сферически-симметричной са-могравитирующей оболочки можно описывать как движение релятивистской частицы с гамильтонианом, кинетическая часть которого неквадратична по импульсу. Это позволяет предположить, что в системе с несколькими оболочками возможно сформулировать закон сохранения, который можно интерпретировать как закон сохранения импульса. В диссертации показано, что такой закон сохранения импульса действительно выполняется и формула Дрея-т'Офта (1) является его реализацией в случае двух изотропных оболочек. С другой стороны, если пространство является асимптотически-плоским, то можно также получить закон сохранения энергии. По тем же причинам, о которых сказано выше, свойство асимптотической плоскостности необходимо для того чтобы понятие массы-энергии было хорошо определено.

Ещё одной интересной проблемой, для изучения которой можно применять метод тонких оболочек, стало исследования свойств изучения Хокипга [44, 45]. Как уже упоминалось выше, модель квантованной оболочки была использована для изучения механизма такого излучения. Однако, возможно также применить модель классической тонкой оболочки для исследования поведения излучения и температуры Хокинга на макроскопическом уровне. В частности, можно поставить вопрос о возможности "имитации" черной дыры. Под имитацией понимается следующая конструкция.

Рассмотрим систему, состоящую из сферически-симметричной черной дыры Шварцшильда или Райсснера-Нордстрема и окружающей её тонкой оболочки, расположенной на некотором фиксированном расстоянии от черной дыры. Считаем, что оболочка обладает идеальной теплопроводностью, т. е. отсутствует поток тепла через оболочку. Эффектом от введения оболочки является отличие температуры системы Т$уз на бесконечности от температуры Хокинга "голой" черной дыры Твн• Причина 'заключается в том, добавление массивной оболочки ведет к тому, что что временная координата внутри оболочки будет отличаться от координаты снаружи константным множителем. Следовательно, энергетический масштаб также изменится. Используя непрерывность метрики на оболочке можно вычислить эту константу, которая и изменяет температуру на бесконечности так что, ТдуБ < Гвн■ Имитация черной дыры -это выполнение условия Т5У5 = Твн(твн + тБ), т- е- температура системы на бесконечности должна быть равна температуре Хокинга для "фиктивной" черной дыры, масса которой равна суммарной массе реальной черной дыры и оболочки. Значит, с точки зрения гравитационной физики, наблюдатель на бесконечности не в состоянии отличить реальную черную дыру от системы черной дыры окруженной оболочкой, в которой выполнено условие имитации.

Главной задачей в изучении имитации является, конечно, выяснение условий, при которых имитация возможна. Оказывается [46], что в случае описанной выше модели, имитация действительно возможна как для случая черной дыры Шварцшильда, так и для случая дыры Райсснера-Нордстрема.

С другой стороны, можно попытаться расширить модель, исправив её очевидное ограничение - необходимость искусственно удерживать оболочку на фиксированном радиусе. Оказывается, что возможно создать тонкую оболочку, способную удерживаться на фиксированном радиусе только посредством гравитационного взаимодействия [47]. Такие оболочки были названы оболочками с орбитальными составляющими.

В ньютоновой гравитации орбитой точечной массы, движущейся в центральном поле, является эллипс, в одном из фокусов которого находится центральная масса создающая гравитационное иоле. Если теперь рассмотреть ансамбль частиц с одинаковым отношением углового момента к массе, то эти частицы будут иметь одинаковые значения пе-рицетра и апоцетра. Представим, что в начальный момент времени все эти частицы распределены однородно по поверхности сферы с радиусом, равным расстоянию от гравитирующего центра до точки перицентра и начинают двигаться одновременно (с одинаковым абсолютным значением скорости, но в разных плоскостях). Тогда такой ансамбль будет образовывать сферически-симметричную тонкую оболочку, осциллирующую между перицентром и апоцентром. Такая оболочка и будет называться оболочкой с орбитальными составляющими. Подчеркнем, что полный угловой момент для такой оболочки равен нулю. Аналогичные рассуждения будут справедливы для релятивистского случая с тем отличием, что орбиты не являются замкнутыми.

Используя такую оболочку в модели, можно попытаться реализовать естественную имитацию черной дыры без введения искусственных внешних сил. Оказывается, однако, что естественная имитация в этой модели невозможна [48]. Проблема кроется в том, что значение "радиуса стационарности" т. е. радиуса на котором оболочка может находиться неограниченно долго, зависит от уравнения состояния двумерного газа частиц составляющих оболочку. В случае, если радиус стационарности совпадает с радиусом на котором становится возможной естественная имитация, уравнение состояния для оболочки становиться более жестким чем уравнение состояния для фотонного газа, что невозможно в случае модели с орбитальными составляющими.

Наконец, как уже упоминалось выше, интересно изучение моделей тонких оболочек когда размерность пространства-времени больше четырех. Первоначально интерес к таким теориям возрос в связи с возможностью объяснения в некоторых из этих моделей проблемы иерархии взаимодействий [49-54]. В последствии эти модели стали изучаться и с точки зрения космологии [55-85]. Ковариантный формализм был рассмотрен в работах [58, 86, 87].

Интерес к глобальной геометрии в таких моделях связан, прежде всего, с тем фактом, что увеличение количества измерений ведет к увеличению числа геометрических степеней свободы. А именно, в 4-мерном пространстве-времени, в определении глобальной геометрии существенным фактором является наличие 2-мсрной сферической симметрии. Это позволяет использовать "2+2"-разложение метрики на 2-мерную пространственно-временную часть и метрику на 2-мерной сфере. Однако, уже при добавлении одного пространственного измерения возрастает количество симметрий для которых мы можем ввести "2+((1-2)"-разложение и, соответственно, определить понятия Я-, Т-областей. В случае космологических моделей, требования однородности и изотропии на оболочке (бране) предполагают, что кроме сферической геометрии необходимо рассматривать также гиперболическую и плоскую геометрии. Как следствие, классификация возможных типов эволюции оболочки (браны) даже в простых моделях должна быть существенно нетривиальной. Важность изучения такой классификации следует из следующих соображений.

В работе [88] было проведено квантование оболочки в 5-мерном пространстве-времени с отрицательной космологической постоянной. Один из интересных результатов этой работы является условие квантования для эффективной 4-мерной космологической постоянной

А(з+1) = -^2, (2) где £-плотность массы-энергии на оболочке/бране, а п = 1, 2, .-квантовое число. Естественным расширением модели [88] могло бы стать добавление второй браны, причинно несвязной с первой (т.е. браны отделены друг от друга горизонтами). Для того, чтобы выяснить возможно ли это, важным предварительным этапом должно стать построение классификации возможных типов эволюции одной браны, что и сделано в диссертации для случая вакуумной оболочки.

Если описанная конструкция реализуема, то эволюция первой браны классически не отличается от эволюции в модели с единственной браной, однако квантово-механически браны могут взаимодействовать. Как результат, спектр уже не будет описываться выражением (2), а будет зависеть от второго квантового числа, описывающего вторую оболочку. Отсюда следует, что такую конструкцию можно попытаться применить для объяснения иерархии взаимодействий т.к. плотность энергии на бране может включать в себя постоянную тонкой структуры.

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучена аккреция фантомной материи на черную дыру Шварц-шильда с учетом обратной реакции на гравитационное поле в случае, когда материя представлена в виде тонкой оболочки. Показано, что такая система является замкнутой в том смысле, что на физически интересной стороне моста Эйнштейна-Розена эволюция фантомной материи всегда происходит в конечном объеме. Как следствие, масса черной дыры в такой системе не может уменьшаться.

Получен закон сохранения импульса в системе нескольких пересекающихся тонких сферически-симметричных оболочек. Для этого были использованы результаты, полученные ранее в гамильтоно-вом подходе к механике одной самогравитирующей тонкой оболочки. Также получен закон сохранения энергии в случае, когда области пространства-времени между оболочками - это части пространства-времени Шварцшильда.

Исследована возможность имитации черной дыры в системе черной дыры и окружающей её тонкой оболочки, покоящейся на определенном расстоянии от неё. Показано, что существует значение радиуса, при котором имитация возможна. Этот результат справедлив как для черной дыры Шварцшильда, так и для черной дыры Райсснера-Нордстрема. Исследована также возможность естественной имитации черной дыры с помощью оболочки с орбитальными составляющими. Показано, что в этой модели имитацию нельзя осуществить, так как уравнение состояния 2-мерного газа частиц составляющих оболочку должно быть более жестким чем уравнение состояния для 2-мерного фотонного газа. Другими словами, физика не запрещает возможности естественной имитации, но в рамках модели оболочки с орбитальными составляющими это невозможно. Получены космологические решения уравнений Эйнштейна в (N+1)-мерном пространстве-времени, с материей сосредоточенной на ]М-мерной бране. Построена классификация возможных типов эволюции ^мерной оболочки/браны, движущейся в объемлющем (N+1)-мерном пространстве-времени.

1. W.1.rael. Singular hypersurface and thin shells in general relativity // -Nuovo Cimento. -1966. -44B. -p.l.

2. W.Israel // -Nuovo Cimento. -1967. -48B. -p.463.

3. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, I. I. Tkachev. Dynamics of bubbles in general relativity // -Physical Review D. -1987. -36. -p.2919.

4. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, I. I. Tkachev. New vacum formation in the universe // -Physical Letters B. -1983. -130. -p.23-27.

5. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, I. I. Tkachev. Random (chaotic) inflation and global geometry of the universe // -JETP Lett. -1985. -41. -p.547.

6. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, I. I. Tkachev. Wormhole cretion via classical fluctuations and inflating worlds // -Physical Letters B. -1988. -210. -p.64-67.

7. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, I. I. Tkachev. Could the metasnable vacuum burn? // -Physical Letters B. -1983. -124. -p.479-483.

8. E. Poisson, W. Israel. Internal structure of black holes // -Phys. Rev. D. -1990. -41. -p.1796-1809.

9. C. Barrabes, W. Israel. Thin shells in general relativity and cosmology: The lightlike limit // -Phys. Rev. D. -1991. -43. -p.1129-1142.

10. V. A. Berezin, A. M. Boyarsky, Y. Neronov. Quantum geometrodynamics for black holes and wormholes // -Physical Review D. -1998. -57. -p.1118.

11. V. A. Berezin. On a quantum mechanical model of a black hole // -Physical Letters B. -1990. -241. -p.194.

12. V. A. Berezin. Quantum black hole model and hawking's radiation // -Phys. Rev. D. -1997. -55. -p.2139-2151.

13. V. A. Berezin, A. M. Boyarsky, Y. Neronov. On the mechanism of hawking radiation // -Gravitation and Cosmology. -1999. -5. -p.16-22.

14. K. C. Hajcek P. Embedding variables in the canonical theory of gravitating shells // -Nucl. Phys. B. -2001. -603. -p.531.

15. H. P. Unitary dynamics of spherical null gravitating shells // -Nucl. Phys. B. -2001. -603. -p.555.

16. V. A. Novikov // -Comm. Shternberg Astron. Inst. -1964. -132. -p.3.

17. S. Perlmutter, M. S. Turner, M. White. Constraining dark energy with sne ia and large-scale structure // -Physical Review Letters. -1999. -83. -p.670.

18. M. Carmelli. Title: Accelerating universe, cosmological constant and dark energy // -astro-ph/0111259.

19. J. S. Alcaniz. Testing dark energy beyond the cosmological constant barrier // -Physical Review D. -2004. -69. -p.083521.

20. S. M. Carroll, M. Hoffman, M. Trodden. Can the dark energy equation-of-state parameter w be less than -1? // -Physical Review D. -2003. -68. -p.023509.

21. U. Alam, V. Sahni, T. D. Saini, A. A. Starobinsky. s there supernova evidence for dark energy metamorphosis ?, 2003.

22. J. L. Friedman, K. Schleich, D. M. Witt. Topological censorship // -Phys. Rev. -1995. -75. -p.1872.

23. M. Visser. Lorentzian Wormholes. From Einstein to Hawking. -Springer, 1996.

24. F. S. N. Lobo. Phantom energy traversable wormholes // -Physical Review D. -2005. -71. -p.084011.

25. F. S. N. Lobo. Stability of phantom wormholes // -Physical Review D. -2005. -71. -p.124022.

26. S. V. Sushkov. Wormholes supported by a phantom energy // -Physical Review D. -2005. -71. -p.043520.

27. F. S. N. Lobo. Chaplygin traversable wormholes // -Physical Review D. -2006. -73. -p.064028.

28. G. E. S.W Hawking. The Large Scale Structure of Space-time. -Cambridge University Press, 1973.

29. E. Babichev, V. Dokuchaev, Y. Eroshenko. The accretion of dark energy onto a black hole // -JETP. -2005. -127. -p.597.

30. W. Robert. Genral Relativity. -The University of Chicago Press, Chicago, 1972.

31. L. Szabados. Quasi-local energy-momentum and angular momentum in gr // -Living Reviews in Relativity. -2007. -7. .

32. M. E. Cahill, G. C. McVittie. Spherical symmetry and mass-energy in general relativity i. general theory // -Journal of Mathematical Physics. -1970. -11. -p.1382.

33. V. Berezin, V. Dokuchaev, Y. Eroshenko, A. Smirnov. Phantom shell around black hole and global geometry // -Classical and Quantum Gravity. -2005. -22. -p.4443.

34. G. t. T. Dray. The effect of spherical shell of matter on the schwarzschild black hole // -Commun. Math. Phys. -1985. -99. -p.613-625.

35. G. t. T. Dray. The gravitational shock wave of a massless particle // -Nucl. Phys. B. -1985. -253. -p.173.

36. P. Hajicek, I. Kouletsis. Pair of null gravitating shells i. space of solutions and its symmetries // -Classical and Quantum Gravity. -2002. -19. -p.2529.

37. P. Hajicek, I. Kouletsis. Pair of null gravitating shells ii. canonical theory and embedding variables // -Classical and Quantum Gravity. -2002. -19. -p.2551.

38. I. Kouletsis, P. Hajicek. Pair of null gravitating shells iii. algebra of dirac's observables // -Classical and Quantum Gravity. -2002. -19. -p.2567.

39. J. Khoury, B. A. Ovrut, P. J. Steinhardt, N. Turok. Ekpyrotic universe: Colliding branes and the origin of the hot big bang // -Phys. Rev. D. -2001. -64. -p.123522.

40. R. Kallosh, L. Kofman, A. Linde. Pyrotechnic universe // -Phys. Rev. D. -2001. -64. -p.123523.

41. H. S. W. Black hole explosions? // -Nature. -1974. -248. -p.5443.

42. D. N. Page. Particle emission rates from a black hole: Massless particles from an uncharged, nonrotating hole // -Phys. Rev. D. -1976. -13. -p.198-206.

43. V. Berezin, A. Smirnov. Black hole masked // -Gravitation and Cosmology. -2007. -49. -p.43-45.

44. V. Berezin, M. Okhrimenko. A theory of thin shells with orbiting constituents // -Classical and Quantum Gravity. -2001. -18. -p.2195.

45. V. Berezin, A. Smirnov. On the possibility of natural imitation of black holes // -Proceedings of 15th International Seminar on High Energy Physics "Quarks-2008". -2010. -2. -p.55-58.

46. I. Antoniadis, N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali. New dimensions at a millimeter to a fermi and superstrings at a tev // -Physics Letters B. -1998. -436. -p.257.

47. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter // -Physics Letters B. -1998. -429. -p.263.

48. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali, N. Kaloper. Infinitely large new dimensions // -Physical Review Letters. -2000. -84. -p.586.

49. L. Randall, R. Sundrum. A large mass hierarchy from a small extra dimension // -Physical Review Letters. -1999. -83. -p.3370.

50. L. Randall, R. Sundrum. An alternative to compactification // -Physical Review Letters. -1999. -83. -p.4690.

51. V. A. Rubakov. Large and infinite extra dimensions // -USP.FIZ.NAUK. -2001. -171. -p.913.

52. R. A. Battye, C. van de Bruck, A. Mennim. Cosmological tensor perturbations in the randall-sundrum model: evolution in the near-brane limit // -Physical Review D. -2004. -69. -p.064040.

53. E. E. Flanagan, S. H. H. Tye, I. Wasserman. Cosmological expansion in the randall-sundrum brane world scenario // -Physical Review D. -2000. -62. -p.044039.

54. E. E. Flanagan, S. H. H. Tye, I. Wasserman. A cosmology of the brane world // -Physical Review D. -2000. -62. -p.024011.

55. H. Kodama, A. Ishibashi, O. Seto. Brane world cosmology gauge-invariant formalism for perturbation // -Physical Review D. -2000. -62. -p.064022.

56. A. Kehagias, E. Kiritsis. Mirage cosmology // -JHEP. -1999. -9911. -p.022.

57. S. Kobayashi, K. Koyama, J. Soda. Quantum fluctuations of bulk inflaton in inflationary brane world // -Physics Letters B. -2001. -501. -p.157.

58. T. Kobayashi, H. Kudoh, T. Tanaka. Primordial gravitational waves in inflationary braneworld // -Physical Review D. -2003. -68. -p.044025.

59. K. Koyama. Cosmic microwave radiation anisotropies in brane worlds // -Physical Review Letters. -2003. -91. -p.221301.

60. K. Koyama, J. Soda. Evolution of cosmological perturbations in the brane world // -Physical Review D. -2000. -62. -p.123502.

61. K. E. Kunze. Stochastic inflation on the brane // -Physics Letters B. -2004. -587. -p.l.

62. D. Langlois. Brane cosmological perturbations // -Physical Review D. -2000. -62. -p.126012.

63. D. Langlois. Evolution of cosmological perturbations in a brane-universe // -Physical Review Letters. -2001. -86. -p.2212.

64. J. Garriga, T. Tanaka. Cosmological perturbations in the 5d big bang // -Physical Review D. -2002. -65. -p.103506.

65. U. Gen, A. Ishibashi, T. Tanaka. Brane collisions and braneworld cosmology // -Progress of Theoretical Physics. -2003. -148. -p.267.

66. C. Germani, C. F. Sopuerta. String inspired braneworld cosmology // -Physical Review Letters. -2002. -88. -p.231101.

67. G. F. Giudice, E. W. Kolb, J. Lesgourgues, A. Riotto. Transdimensional physics and inflation // -Physical Review D. -2002. -66. -p.083512.

68. J. P. Gregory, A. Padilla. Exact braneworld cosmology induced from bulk black holes // -Classical and Quantum Gravity. -2002. -19. -p.4071.

69. M. Gogberashvili. Our world as an expanding shell // -Europhysics Letters. -2000. -49. -p.396.

70. D. Ida. Brane-world cosmology // -JHEP. -2000. -0009. -p.014.

71. G. Huey, J. E. Lidsey. Inflation, braneworlds and quintessence // -Physics Letters B. -2001. -514. -p.217.

72. K. Ichiki, M. Yahiro, T. Kajino, M. Orito, G. J. Mathews. Observational constraints on dark radiation in brane cosmology // -Physical Review D. -2002. -66. -p.043521.

73. A. R. Liddle, A. J. Smith. Observational constraints on braneworld chaotic inflation // -Physical Review D. -2003. -68. -p.061301.

74. A. R. Liddle, A. N. Taylor. Inflaton potential reconstruction in the braneworld scenario // -Physical Review D. -2002. -65. -p.041301.

75. J. E. Lidsey, T. Matos, L. A. Urena-Lopez. The inflaton field as self-interacting dark matter in the braneworld scenario // -Physical Review D. -2002. -66. -p.023514.

76. R. Maartens. Cosmological dynamics on the brane // -Physical Review D. -2000. -62. -p.084023.

77. A. R. Liddle, L. A. Urena-Lopez. Curvaton reheating: an application to braneworld inflation // -Physical Review D. -2003. -68. -p.043517.

78. R. Maartens, V. Sahni, T. D. Saini. Anisotropy dissipation in braneworld inflation // -Physical Review D. -2001. -63. -p.063509.

79. R. Maartens, D. Wands, B. Bassett, I. Heard. Chaotic inflation on the ^ brane // -Physical Review D. -2000. -62. -p.041301.

80. A. Mazumdar. Interesting consequences of brane cosmology // -Physical Review D. -2001. -64. -p.027304.

81. M. Minamitsuji, Y. Himemoto, M. Sasaki. Geometry and cosmological perturbations in the bulk inflaton model // -Physical Review D. -2003. -68. -p.024016.

82. S. Mukohyama. Brane-world solutions, standard cosmology, and dark radiation // -Physics Letters B. -2000. -473. -p.241.

83. Т. Shiromizu, К. ichi Maeda, M. Sasaki. The einstein equations on the 3-brane world // -Physical Review D. -2000. -62. -p.024012.

84. G. W. Gibbons, D. L. Wiltshire. Spacetime as a membrane in higher dimensions // -Nuclear Physics B. -1987. -287. -p.717.

85. A. Boyarsky, A. Neronov, I. Tkachev. Quantum cosmology of the brane universe // -Physical Review Letters. -2005. -95. -p.091301.

86. V. Berezin, A. Smirnov. Crossing thin shells // -Gravitation and Cosmology. -2003. -4(36). -p.235-242.

87. Березин В. А. Эволюция тонких оболочек в общей теории относительности и фазовые преходы в ранней Вселенной. -Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук, 1987.

88. P. R. Techniques of Differential Topology in Relativity. -Society for Industrial and Applied Mathematics, Pennsylvania 19103, 1972.

89. L. D. Landau, E. M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. -Pergamon Press, Oxford, 1975.

90. C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler. Gravitation. -W. H. Freeman, San Francisco, 1973.

91. D. Langlois, K. ichi Maeda, D. Wands. Conservation laws for collisions of branes (or shells) in general relativity // -Physical Review Letters. -2002. -88. -p.181301.

92. A. Neronov. Brane collisions in anti-de sitter space // -JHEP. -2001. -0111. -p.007.

93. W. G. Unruh. Notes on black hole evaporation // -Physical Review D. -1976. -14. -p.870.

94. H. Ishihara, K. Tomita, H. Nariai. Some higher demensional vacuum solutions of einstein equations with a cosmological constant // -Progress of Theoretical Physics. -1984. -71. (4) -p.859-861.