К теории квантовых черных дыр тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Березин Виктор Александрович К теории квантовых черных дыр

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

55599

-6 ОКТ 2011

Москва-2011

4855599

На правах рукописи

Березин Виктор Александрович теории квантовых черных дыр

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-20 И

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт ядерных исследований РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН,

профессор Воловин Игорь Васильевич (МИАН)

доктор физико-математических наук,

профессор Гриб Андрей Анатольевич (РГПУ)

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН,

профессор Новиков Игорь Дмитриевич (АКЦ ФИАН)

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики им.Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна)

Защита диссертации состоится г±жтр& ¿0112. в часов мин. на заседании диссертационного совета Д 002.119.01 Учреждения Российской академии наук Института ядерных исследований РАН по адресу: 117312 Москва, проспект 60-летия Октября, дом 7а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института ядерных исследований РАН.

Автореферат разослан о7? [£, Ь ,

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 002.119.01 кандидат физико-математических наук

Б. А. Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. С момента первого упоминания в научной литературе о "темных звездах" в 1784 году наука о черных дырах превратилась в самостоятельную и широко разветвленную отрасль теоретической физики. Естественно, вначале все внимание было приковано к астрофизическим проявлениям черных дыр, позволяющих, в принципе, их обнаружить. Эта работа далеко не закончена, более того, она получила новый импульс после обнаружения черных дыр не только звездной массы, но и гигантских - в активных ядрах галактик и даже в центре нашей Галактики Млечный Путь.

Параллельно астрофизическим исследованиям, постепенно прояснялась и сложная причинная структура пространства-времени, содержащего черную дыру. Трудность состояла в том, что в решении уравнений Эйнштейна для точечной гравитирующей массы, найденного К.Шварцшильдом в 1916 г., почти сразу же после окончательной формулировки уравнений общей теории относительности А.Эйнштейном и Д.Гильбертом, имелась явная сингулярность при некотором значении радиуса, пропорциональном массе источника. И хотя этот радиус (известный под именами "радиус Шварцвальд" и "гравитационный радиус") совпал с размерами темных звезд Дж.Мичелла (1984 г.), вычисленным П.-С.Лапласом в 1799 году, людям трудно было представить себе столь радикальные изменения в структуре пространства-времени, которые принесло углубленное изучение многообразия Шварцшильда. Прорыв в понимании этого произошел в конце 50-х - начале 60-х годов прошлого столетия и связан с именами Д.Финкельштейна, Ч.Фронсдала, М.Крускала и И.Д.Новикова. А в работах Р.Пенроуза и С.Хокинга было дано математическое определение горизонта событий, который и служит пространственно-временной границей черной дыры.

Но, проникнув, конечно,теоретически, внутрь черной дыры, ученые

обнаружили, что на нулевом радиусе имеется истинная сингулярность ( в отличие от координатной сингулярностии Шварцшильда), где тензор кривизны Римана становится бесконечным, что вызывает бесконечные приливные силы. Аналогия с нерелятивистской теорией подсказывала, что там сосредоточен источник тяготения. Но сингулярность оказалась очень необычной - она пространственно-подобная. Это означает, что (при подходящем выборе временной координаты) она существует мгновение в начальный момент, затем исчезает и возрождается, как Феникс, на мгновение в конечный момент. Полное пространство-время Шварцшильда с точечным источником называется "весной черной дырой". Но даже если источник распределенный, и мировая линия его границы времени-подобна, то вне источника эта сингулярность никуда не исчезает. Долгое время появление сингулярности в "центре" черной дыры, так же как и начальной сингулярности в космологии, считалось просто артефактом высокой степени симметрии в соответствующих решениях уравнений Эйнштейна. Но после доказательства знаменитых теорем Р.Пенроузом и С.Хокингом выяснилось, что сингулярности являются неотъемлемым атрибутом общей теории относительности при выполнении достаточно естественных условий энергодоминантности для тензора энергии-импульса, означающих просто, что гравитация является только притягивающей силой. Дж.А.Уилео считал, что неизбежность сингу-лярностей есть проявление величайшего кризиса классической физики. Надежды стали возлагать на квантовую теорию гравитации.

В настоящее время существуют три квантовых теории, в которых гравитационное поле рассматривается как фундаментальное или компонентой более общего фундаментального взаимодействия. Это каноническая квантовая теория, известная также как квантовая геомет-родинамика, теория струн и петлевая квантовая гравитация. В первой из них основными объектами служат трехмерные геометрии на

некотором пространственно-подобном сечении четырехмерного псепвдо-евклидового многообразия, в двух других - своеобразные протяженные конструкции. Во всяком случае, ясно, что вводимая квантовой теорией нелокальность - млм в виде волновой функции (функционала от геометрий), или же напрямую в виде струн и петель, поможет, в конце концов, решить проблему сингулярностей. Для нас важно другое: вся история квантовой механики свидетельствует о том, что квантовые эффекты проявляются на всех доступных расстояниях. Для больших черных дыр ( с массами и размерами гораздо больше планковских, 10-5гр и 10_33см, соответственно), которые можно считать квази-классическими, естественной границей служит классическая граница черной дыры - горизонт событий (в нашем частном случае - сфера Шварцшильда). Это значит, что черные дыры можно рассматривать как единый квантовый объект. Нужно также помнить, что в любой релятивистской теории гравитации свойства материи неизменно отражаются в свойствах пространства-времени, и наоборот. Можно предположить, по аналогии с теорией конденсированных тел, существование "гравитационных фононов", из которых и состоит квантовая черная дыра.

Не только квантовая теория должна играть важную роль в теории черных дыр, но и наоборот, черные дыры должны играть фундаментальную роль в квантовой теории других полей. Это следует из идей М.А.Маркова, высказанных им в 1965-1966 годах. Он высказал предположение, что существует частица массы Планка, 10 5гр, названный им "максимоном", является одновременно и верхним пределом масс элементарных частиц, и мощным регуляризатором присущих квантовой теории поля расходимостей на малых расстояниях. Поскольку комптоновский радиус максимона того же порядка, что и его гравитационный радиус, он должен считаться квантовой частицей и в то же время квантовой черной дырой. Но тут возникает концептуальная трудность. Дело в том,

что само понятие горизонта событий, границы черной дыры - глобальное, для его определения необходимо знать всю историю, как прошлую, так и будущую. И если это, теоретически, возможно в классической теории, то как быть в квантовом случае? Таким образом, определения квантовой черной дыры в настоящее время не существует. Но есть надежда, что исследование квантовых моделей и, в их рамках, квази-классических черных дыр поможет перекинуть мостик от классических черных дыр к квантовым и сформулировать такое определение. При этом глобальная структура пространства-времени, содержащего черную дыру, будет играть значительную, если не решающую, роль, поскольку, как мы знаем, поведение волновых функций в квантовой механике особенно чувствительно именно к глобальной структуре, определяющей необходимые граничные условия (пример тому - известная задача о двойной потенциальной яме).

Глобальность горизонта событий, из-под которого не может вырваться на бесконечность даже свет, имеет еще одно важное последствие. Исследование многих ученых на протяжении примерно двух десятков лет завершилось работами Дж.Бекенштейна (1973 г.) и С.Хокинга (1974 г.), ознаменовавшими возникновение новой науки - термодинамики черных дыр. Оказалось, что волновые функции квантованного безмассового скалярного поля на фоне метрики Шварцшильда ведут себя так же, как и температурнае волновые функции, а черная дыра вследствие квантовых эффектов испускает чернотельиое излучение с планковским спектром. При этом изменение массы (энергии) черной дыры общего вида (а не только шварцшильдовой) можно записать в виде первого закона термодинамики, а второе начало - неубывании энтропии, соответствует одному из основных законов классических черных дыр - неубыванию площади поверхности горизонта событий. Из вычислений следовало, что энтропия черной дыры равна одной четверти этой площади (обезразме-

ренной комбинацией мировых констант: гравитационной постоянной и скоростью света). Это замечательно простое соотношение было позднее подтверждено прямыми подсчетами числа квантовых состояний на горизонте как в петлевой квантовой гравитации, так и в теории струн. Следует заметить, что в теории струн появляются классические решения с горизонтами событий, которые ничего общего не имеют с обычными пространственно-временными черными дырами, но для вычисления энтропии это не имеет значения. Для нас важно то, что в самосогласованной картине при учете обратного влияния материи на структуру пространства-времени существование такого квантового излучения отражает квантовую структуру даже квази-классических черных дыр. А естественная квантованность (дискретность) энтропии как меры (скрытой) информации приводит к дискретному спектру масс черных дыр. Что еще раз подтверждает необходимость рассматривать их как единый квантовый объект. Испаряясь, черные дыры становятся все меньше, квантовые эффекты становятся все больше, и только они "решают", исчезнут ли черные дыры, превратясь в излучение, или же процесс остановится приблизительно на планковской массе. Результат очень важен для космологических сценариев. В последнее время появилось множество теорий, рассматривающих гравитационное взаимодействие не как фундаментальное, а эффективное, наподобие сил Ван-дер-Ваальса, т.е., как результат действия других, фундаментальных полей. Среди них следует отметить гипотезу А.Д.Сахарова, получившую позднее название "индуцированная гравитация" - в ней гравитационное поле есть не что иное как натяжения вакуума всех остальных полей, а также совсем недавнюю идею Э.Верлинде об энтропийной силе. Интересным представляется и открытие так называемого АйБ — С/^Т-соответствия, связывающего некоторые решения для черных дыр в пространстве-времени с отрицательной гравитационной постоянной (анти-де Ситтер) со свойствами некой

конформной теории поля (СТТ), "живущей" на его границе (с числом измерений, на единицу меньшим, идея Ж.'т Офта о голографическом экране). Отсюда следует, что квантовые свойства таких черных дыр и соответствующих им теорий поля должны быть самосогласованными. Я не упомянул еще о многомерных черных дырах, изучение которых стало популярным в связи с мембранными космологическими моделями, а также возможной т.н. Тэвной гравитацией в теориях типа Калуцы-Кляйна и ожидаемом рождении черных дыр на Большом Адроном Коллайде-ре. Это отдельная и очень сложная наука и потому требуется отдельное исследование квантовых свойств таких черных дыр.

Но, какой бы ни получилась в будущем полная теория всех взаимодействий, в ней обязательно будут присутствовать черные дыры, хотя бы потому, что они уже присутствуют в нашей реальности. А квантовые свойства черных дыр будут служить мостиком между будущим теориями и существующими сейчас, служа своеобразными правилами отбора. Теория квантовых черных дыр еще не создана. Это новый путь, неизведанный. Отсюда и название диссертации "К квантовой теории черных дыр".

Цель диссертации Целью настоящей диссертации является построение и детальное изучение моделей квантовых черных дыр. Актуальность выбранной темы исследований была обусловлена всем предыдущим развитием физики черных дыр, о чем подробно сказано выше. Следует подчеркнуть, что все полученные результаты являются совершенно новыми, а опубликованные работы - пионерскими.

Научная новизна и практическая ценность.

- Впервые произведено квантование самогравитирующей сферически симметричной пылевой оболочки, основанное на классическом пред-гамильтониане, т.е., выражении для полной энергии системы

как функции радиуса оболочки и его производной по собственному времени. В результате для волновой функции получено стационарное уравнение в конечных разностях со сдвигом аргумента вдоль мнимой оси. Разработан метод получения асимптотических решений в особых точках линейных уравнений в конечных разностях.

- Впервые сформулирован критерий, которому должны удовлетворять решения уравнений подобного типа: решения должны быть однозначными аналитическими функциями на римановой поверхности, количество листов которой и положение разрезов определяется видом асимптотик. С использованием данного критерия получен дискретный спектр масс (энергий) для связанных состояний самогравитирующих сферически симметричных пылевых оболочек - релятивистское обобщение формулы Ридберга для атома водорода. Практическая ценность этого результата в том, что данный критерий может быть применен к любому линейному конечно-разностному уравнению, коэффициенты которого - аналитические функции.

- Впервые получено общее решение волнового уравнения в конечных разностях с кулоновским потенциалом. При этом использован оригинальный метод преобразования обратного интеграла Фурье для перехода из импульсного представление в координатное в интеграл по конечному разрезу в комплексной плоскости импульсов. Исходное же уравнение, после ряда преобразований, сводится, по существу, к одному из рекуррентных соотношений для гипергеометрической функции Гаусса. Этот метод эффективно использует основные свойства линейных конечно-разностных уравнений и поэтому может найти широкое применение. В этом его практическая ценность.

- Показано, что для данного уравнения существует только одно

супер-фундаментальное решение, из которого строится общее решение. Изучение его аналитических свойств и использование вышеупомянутого критерия отбора приводит к дискретному спектру, который совпадает с полученным ранее при исследовании асимптотик. При этом гипергеометрический ряд обрывается, и возникают новые, неизученные ранее, полиномы. Для этих новых полиномов найдена производящая функция.

- Детально изучен полученный спектр. Новым результатом является выделение состояния, соответствующие квантовым черным дырам. Все другие состояния описывают или не коллапсирующие оболочки (аналогично электрону в атоме водорода), или же полузамкнутому миру.

- Предложен новый способ решения квантовой релятивистской задачи Кеплера. Найдено каноническое преобразование, позволяющее извлечь квадратный корень, появляющийся в лоренц-факторе, без квадрирования исходного уравнения или введения спиноров. Проведено квантование такой модели и получено релятивистское уравнение Шредингера в конечных разностях. Показано, что это квантовое уравнение может быть исследовано методами, предложенными ранее. В результате получен дискретный спектр для связанных состояний. Он оказался аналогичным известному спектру Зоммер-фельда для уравнения Клейна-Гордона. Для данного уравнения получен и исследован спектр масс квантовых черных дыр. Практическая ценность в том, что подобный метод может быть применен и к другим одномерным и сферически симметричным релятивистским задачам.

- Впервые построена классическая геометродинамика (формализм Арновитта-Дезера-Мизнера) для сферически симметричной гравитации, источником которой служит тонкая пылевая самогравити-

рующая оболочка. Найдено каноническое преобразование (аналогичное преобразованию Кухажа для вечной черной дыры), которое позволяет чрезвычайно упростить уравнение связи и разрешить их, оставив только два: для импульсной и гамильтоновой связей на оболочке.

- Выдвинута и реализована идея аналитического продолжения ветвящихся функций и заданы правила обхода точек ветвления. Это позволяет использовать единый гамильтониан в геодезически полном пространстве-времени Шварцшильда. Практическое значение в том, что этот способ может быть реализован и в других случаях, когда пространство-время имеет сложную причинную структуру.

- Требование аналитичности решений на подходящей римановой поверхности и сравнение поведения асимптотик на обеих бесконечностях и в точках ветвления позволило получить дискретный спектр для связанных состояний, зависящий от двух квантовых чисел. Появление второго квантового числа не имеет аналога в обычной квантовой механике и является следствием существования второй бесконечности, которую обязательно "чувствует" квантовая оболочка. Практическое значение этого результата в том, что впервые показало влияние глобальной геометрии на квантовые состояния системы, что особенно важно при исследовании гораздо более сложных ситуаций, когда необходимо качественно представлять поведение квантовых систем.

- Впервые вычислена квази-классическая волновая функция как решения уравнения в конечных разностях для световой оболочки. Показано, что требование его аналитичности и однозначности на римановой поверхности, учитывающей все точки ветвления, приводит к тому, что под горизонтом событий черной дыры, помимо подающей (сходящейся) волны, существует и выходящая (расши-

ряющаяся), но амплитуда последней экспоненциально подавлена. Показано, что при некоторых, физически приемлемых, предположениях, снаружи черной дыры появляется поток излучение. Применение распределения Гиббса позволило вычислить температуру этого излучения, которая совпала с температурой Хокинга. Этим доказано, что излучение Хокинга может быть интерпретировано как процесс квантового туннелирования, что и определяет практическую ценность результата.

- Впервые матричным методом исследованы асимптотики конечно-разностного уравнения Шредингера для массивной оболочки в случае двойного вырождение собственных значений главной матрицы. Показано, что уравнения для бесконечных матриц сводятся к бесконечной системе уравнений второго порядка. Найден дискретный спектр для связанных состояний, который в точности совпадает с полученным ранее из приближенного уравнения. Таким образом, спектр един как для больших, так и для малых черных дыр. Этот результат имеет практическое значение, так как позволяет в сложных случаях ограничиваться гораздо более простыми приближенными уравнениями.

- В рамках модели с тонкой оболочкой изучен процесс квантового сферически симметричного гравитационного коллапса. Показано, что, в отличие от классического, он обязательно идет с излучением и рождением вещества внутри первоначальной оболочки. Поскольку такой процесс может идти различными неконтролируемыми путями, то он сам является источником энтропии результирующей квантовой черной дыры. Это качественно новое явление.

- С помощью компьютерного моделирования и качественным иссле-

- дованием спектра показано, что процесс квантового коллапса останавливается в особой точке спектра, когда главное квантовое число

равно нулю. В этом состоянии оболочка не чувствует ни внешней, ни внутренней массы, она чувствует только самое себя. Это состояние названо состоянием "беспамятства", оно напоминает главное свойство классической черной дыры - отсутствие "волос". Сформулировано определение квантовой черной дыры как набора оболочек (в нашей модели), каждая из которых находится в состоянии "беспамятства". Это первое операционное определение, что такое квантовая черная дыра.

- Впервые предложено исследовать свойства больших квантовых черных дыр (= квази-классических) на классических моделях, которые получили название "классические аналоги квантовых черных дыр". С этой целью сформулировано свойство "беспамятства" на языке непрерывных распределений материи. Практическое значение идеи состоит в предложении изучать квантовые эффекты в физике черных дыр.

- Впервые построена конкретная сферически симметричная модель самогравитирующей идеальной жидкости, обладающей свойством "беспамятства" и удовлетворяющей уравнениям Эйнштейна. Оказалось, что плотность энергии (массы) и давления подчиняются закону обратных квадратов. Условие отсутствия сингулярности в тензоре кривизны Римана выделяет одно-параметрическое семейство решений с универсальным численным коэффициентом в распределении материи и предельно жестким уравнением состояния. В этой аналоговой модели есть температура, причем все статические наблюдатели внутри распределения материи находятся в тепловом равновесии друг с другом. Эта температура вдвое ниже температуры Хокинга.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

Глава 3.

1. Произведено квантование конкретной модели самогравитирующей сферически симметричной пылевой оболочки, основанное на классическом пред-гамильтониане, т.е., выражении для полной энергии системы как функции радиуса оболочки и его производной по собственному времени. В результате для волновой функции получено стационарное уравнение в конечных разностях со сдвигом аргумента вдоль мнимой оси.

2. Разработан метод получения асимптотических решений в особых точках линейных уравнений в конечных разностях.

3. Сформулирован критерий, которому должны удовлетворять решения уравнений подобного типа: решения должны быть однозначными аналитическими функциями на римановой поверхности, количество листов которой и положение разрезов определяется видом асимптотик. Показано, что обычный критерий отбора подходящих решений путем наложения граничных условий не позволяет получить дискретный спектр для связанных состояний.

4. С использованием данного критерия получен дискретный спектр масс (энергий) для связанных состояний самогравитирующих сферически симметричных пылевых оболочек - релятивистское обобщение формулы Ридберга для атома водорода.

5: Получено общее решение волнового уравнения в конечных разностях с кулоновским потенциалом. При этом использован оригинальный метод преобразования обратного интеграла; Фурье для перехода. из импульсного представление в координатное в интеграл по конечному разрезу в комплексной плоскости импульсов. Исходное же уравнение, после ряда преобразований, сводится, по существу, к одному из рекуррентных соотношений для гипергеометрической функции Гаусса. •

6. Показано, что для данного уравнения существует только одно

супер-фундаментальное решение, из которого строится общее решение. Изучение его аналитических свойств и использование вышеупомянутого критерия отбора приводит к дискретному спектру, который совпадает с полученным ранее при исследовании асимптотик. При этом гинергеометрический ряд обрывается, и возникают новые, неизученные ранее, полиномы.

7. Для этих новых полиномов найдена производящая функция.

8. Вычислена волновая функция основного состояния, удовлетворяющая в нуле бесконечному ряду граничных условий, необходимых для эрмитовости гамильтониана на действительной полуоси.

9. Детально изучен полученный спектр. Его особенности позволили выделить состояния, соответствующие квантовым черным дырам. Все другие состояния описывают или не коллапсирующие оболочки (аналогично электрону в атоме водорода), или же полузамкнутому миру. В предельном случае нулевой полной массы получен дискретный спектр значений голой массы оболочки, образующий замкнутый мир.

10. Показано, что спектр масс для (в общем случае) заряженной сферически симметричной черной дыры согласуется с существованием излучения Хокинга.

11. Рассмотрена релятивистская задача Кеплера. Найдено каноническое преобразование, позволяющее извлечь квадратный корень, появляющийся в лоренц-факторе, без квадрирования исходного уравнения или введения спиноров. Проведено квантование такой модели и получено релятивистское уравнение Шредингера в конечных разностях.

12. Показано, что это квантовое уравнение может быть исследовано методами, предложенными ранее. В результате получен дискретный спектр для связанных состояний. Он оказался аналогич-

ным известному спектру Зоммерфельда для уравнения Клейна-Гордона.

13. Для данного уравнения получен и исследован спектр масс квантовых черных дыр.

Глава 4.

1. Построена классическая геометродинамика (формализм Арновитта-Дезера-Мизнера) для сферически симметричной гравитации, источником которой служит тонкая пылевая самогра-витирующая оболочка.

2. Найдено каноническое преобразование (аналогичное преобразованию Кухажа для вечной черной дыры), которое позволяет чрезвычайно упростить уравнение связи и разрешить их, оставив только два: для импульсной и гамильтоновой связей на оболочке.

3. Получен явный вид гамильтоновой связи на оболочке для /?—области. В общем случае потенциальная часть содержи две точки ветвления, соответствующие горизонтам внутренней и внешней метрик Шварцшильда.

4. Реализована идея аналитического продолжения ветвящихся функций и заданы правила обхода точек ветвления. Это позволяет использовать единый гамильтониан в геодезически полном пространстве-времени Шварцшильда.

5. Произведена процедура квантования и получено стационарное конечно-разностное уравнение Шредингера для волновой функции, покрывающей все многообразие Шварцшильда и тем самым учитывающей его сложную причинную структуру.

6. Подробно исследован случай больших черных дыр (масса гораздо больше массы Планка). В этом случае в теории появляется малый безразмерный параметр, и предел больших масс одновременно означает переход, к квази-классическому режиму, когда вместо

16

конечно-разностного уравнения можно ограничиться дифференциальным уравнением второго порядка. Матричным методом вычислены асимптотики решений в особых точках уравнения- в нуле, на обеих бесконечностях и точках ветвления.

7. Для простоты рассмотрен случай, когда внутри оболочки нет других источников полей тяготения. Показано, что для оболочек типа черной дыры волновая функция для связанных состояний на "нашей стороне" моста Эйнштейна-Розена имеет экспоненциальное спадание, а на другой стороне - гораздо более быстрое, гауссово, спадание. В Т_-области (неизбежное сжатие) лидирующей является падающая сходящаяся волны, а в Г+-области - расходящаяся, что подтверждает правильность выбора обхода точек ветвления.

8. Требование аналитичности решений на подходящей римановой поверхности и сравнение поведения асимптотик на обеих бесконечностях и в точках ветвления позволило получить дискретный спектр для связанных состояний, зависящий от двух квантовых чисел. Появление второго квантового числа не имеет аналога в обычной квантовой механике и является следствием существования второй бесконечности, которую обязательно "чувствует" квантовая оболочка.

9. Получено и исследовано квантовое уравнение для расширяющейся световой (изотропной) оболочки, моделирующей излучение из черной дыры или же из полузамкнутого мира (непроходимой кротовой норы). В этом случае отсутствует главное квантовое число, но второе, новое, остается.

10. Найден дискретный спектр излучения. Оказывается, энергия излучаемых квантов не совпадает с разностью энергетических уравнений источника. Показано, что черная дыра или кротовая нора с массой, меньшей, примерно, планковской, не может излучать, т.е.,

существует нижний предел массы для испарения черных дыр.

11. Исследована квази-классическая волновая функция как решения первоначального полного уравнения в конечных разностях для световой оболочки. Показано, что требование его аналитичности и однозначности на римановой поверхности, учитывающей все точки ветвления, приводит к тому, что под горизонтом событий черной дыры, помимо подающей (сходящейся) волны, существует и выходящая (расширяющаяся), но амплитуда последней экспоненциально подавлена.

12. Показано, что при некоторых, физически приемлемых, предположениях, снаружи черной дыры появляется поток излучение. Применение распределения Гиббса позволило вычислить температуру этого излучения, которая совпала с температурой Хокинга.

13. Матричным методом исследованы асимптотики полного конечно-разностного уравнения Шредингера для массивной оболочки. Показано, что, вследствие двойного вырождение собственных значений главной матрицы, уравнения для бесконечных матриц сводятся к бесконечной системе уравнений второго порядка. Найден дискретный спектр для связанных состояний, который в точности совпадает с полученным ранее из приближенного уравнения. Таким образом, спектр един как для больших, так и для малых черных дыр.

14. В рамках модели с тонкой оболочкой изучен процесс квантового сферически симметричного гравитационного коллапса. Показано, что, в отличие от классического, он обязательно идет с излучением и рождением вещества внутри первоначальной оболочки. Поскольку такой процесс может идти различными неконтролируемыми путями, то он сам является источником энтропии результирующей квантовой черной дыры.

15. С помощью компьютерного моделирования и качественным исследованием спектра показано, что процесс квантового коллапса останавливается в особой точке спектра, когда главное квантовое число равно нулю. В этом состоянии оболочка не чувствует ни внешней, ни внутренней массы, она чувствует только самое себя. Это состояние названо состоянием "беспамятства", оно напоминает главное свойство классической черной дыры - отсутствие "волос". Сформулировано определение квантовой черной дыры как набора оболочек (в нашей модели), каждая из которых находится в состоянии "беспамятства".

Глава 5.

1. Предложено исследовать свойства больших квантовых черных дыр (= квази-классических) на классических моделях, которые получили название "классические аналоги квантовых черных дыр". С этой целью сформулировано свойство "беспамятства" на языке непрерывных распределений материи.

2. Построена конкретная сферически симметричная модель самогра-витирующей идеальной жидкости, обладающей свойством "беспамятства" и удовлетворяющей уравнениям Эйнштейна. Оказалось, что плотность энергии (массы) и давления подчиняются закону обратных квадратов. Условие отсутствия сингулярности в тензоре кривизны Римана выделяет одно-параметрическое семейство решений с универсальным численным коэффициентом в распределении материи и предельно жестким уравнением состояния.

3. Единственным параметром модели является полная масса, пропорциональная граничному значению радиуса. При этом граничный радиус вдвое больше радиуса Шварцшильда классической черной дыры той же массы. Оказалось, что двумерное сечение (при фиксированных сферических углах) есть не что иное как пространство-

время Риндлера. Т.е., у нашей аналоговой модели есть температура, причем все статические наблюдатели внутри распределения материи находятся в тепловом равновесии друг с другом. Эта температура вдвое ниже температуры Хокинга.

4. Построена термодинамика этой модели. Вычислены все термодинамические потенциалы. Энтропия системы автоматически квантуется (дискретный эквидистантный спектр). Вычислена функция распределения при простых физических предположениях о спектре элементарных возбуждений и найдено соотношение между фундаментальной частотой возбуждений, температурой и полной энтропией.

5. Исследована энергетика процесса квантового излучения. Показано, что учет работы сил поверхностного натяжения приводит к удвоению температуры излучения (до температуры Хокинга). Кроме того, пропорциональность частоты элементарных возбуждений температуре с коэффициентом к^З, диктуемый свойствами классических квази-нормальных мод, приводит к тому, что квант энтропии равен к^2, что желательно с точки зрения теории информации.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах Отдела теоретической физики ИЯИ РАН, Теоретического отдела ФИАН, семинарах ГАИШ и Института им.Л.Д.Ландау, на семинарах кафедры теоретической физики Физического факультета и кафедры дифференциальной геометрии Механико-математического факультета МГУ, на семинарах в Институте Энрико Ферми Чикагского университета и Отдела астрофизики ФНАЛ, физических факультетов Университета Брауна в Провиденсе и Университета Тафте в Бостоне (США), Отдела релятивистской астрофизики и космологии Обсерватории Париж-Медон (Франция), Института теоретической

физики Бернского университета и физического факультета Цюрихского университета (Швейцария), Отдела прикладной математики и теоретической физики (Кембридж, Англия), физических факультетов университетов Тель-Авива, Бар-Илана, Иерусалима, Хайфы и Беер-Шевы (Израиль), Института высших исследований (Бюр-сюр-Иветт, Франция), Университета ЛЮМИНЕ (Марсель, Франция), Института Нильса Бора (Копенгаген, Дания), физического факультета Карлова университета (Прага, Чехия), Института Эйнштейна (Гольм, Германия), Института Спинозы Утрехтского университета (Нидерланды), физического факультета Университета "Сапиенса" (Рим, Италия), Института теоретической физики Макса Планка и физического факультета Мюнхенского университета (Германия), физического факультета Университета г.Тур (Франция), физического факультета Неанольского университета (Италия), на 4-ом, 5-ом и 6-ом Международных семинарах "Квантовая теория гравитации" (Москва), Международном семинаре "Кварки-2010" (Коломна), 2-й, 3-й и 4-й Сахаровских конференций по физике (Москва), на Всероссийской гравитационной конференции (Великий Новгород), 2-й Международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск), Международных конференциях "КОСМИОН" (Москва), конференции "Время в физике, космологии и религии" (Ленинград), 2-й Международной конференции "Математическая физика и ее приложения" (Самара), Международных конференциях "Физика высоких энергий и квантовая теория поля" (Москва), Международной конференции "Новейшее развитие физики черных дыр" и международной конференции, посвященной 100-летию Д.И.Блохинцева (Дубна), на международных конференциях им.Марселя Гроссмана - 8-й (Иерусалим, Израиль), 9-й (Рим, Италия) и 12-й (Париж, Франция), 2-й, 3-й и 4-й международных конференциях "Динамика со связями и квантовая гравитация" (Италия), Международной конференции "Квантовая теория поля во внешних усло-

виях" (Лейпциг, Германия), международно конференции, посвященной 100-летию Э.Шредингера (Потсдам-Бабельсберг, ГДР), Международной конференции "Квантовая гравитация и черные дыры" (Утрехт, Нидерланды), Международной конференции "Черные дыры в теории струн и общей теории относительности" (Вели Лошинь, Хорватия), представлены в лекциях на 4-х международных школах в Казани, в 3-х в Санкт-Петербурге, 3-х в Дубне, в Ульяновске и Школе им.Софуса Ли в Норд-фьордэйде (Норвегия).

Публикации и личный вклад автора. По результатам диссертации опубликовано 32 работы. Список работ приведён в конце автореферата. Вклад автора в полученные результаты является определяющим.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из Введения, пяти Глав и Заключения. Общий объём диссертации 256 страниц. Диссертация содержит 22 рисунка и список литературы из 177 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении приведены факты из истории физики черных дыр, начиная с первого о них упоминания, до наших дней. Особое внимание уделено сложностям процесса постепенного узнавания сложной причинной структуры пространства-времени Шварцшильда, не имеющей аналога ни в ньютоновской картине мира, ни в специальной теории относительности. Подчеркивается необходимость учета глобальной геометрии, что чрезвычайно важно при построении квантовой теории как на фоне заданной нетривиальной геометрии, так и решении задач квантовой гравитации, когда сама геометрия пространства-времени становится полноправным (и наиболее важным) объектом квантования. Описано, как основное глобальное свойство - существование горизонта событий, которое, в сущности, и является современным определением черной дыры,

приводит к совершенно новому и неожиданному эффекту: появлению температурного поведения волновых функций безмассового скалярного поля на фоне статической метрики Шварцшильда в присутствии горизонта событий и, как следствие, испарения черных дыр. Причина этого - особые граничные условия на горизонте: волны уходят под горизонт, но оттуда ничего не выходит. Это открытие привело к созданию, нового научного направления - термодинамики черных дыр и введению в обиход таких понятий как температура и энтропия черных дыр. Черно-тельное излучение черных дыр - сугубо квантовый эффект, означающий, что даже большие черные дыры (с размерами и массами гораздо больше планковских - соответственно, 10~33с.м и 10-5г) должны рассматриваться как квази-классические объекты и иметь дискретный спектр масс, поскольку энтропия естественным образом, как мера скрытой информации, квантуется. Эти и другие описанные во Введении факты последовательно приводят нас к пониманию необходимости исследовать черные дыры как единый квантовый объект. Детально описаны особенности предлагаемых нами подходов к этой проблеме и основные, прежде всего, качественные, результаты. Последнее сделано с определенной целью - чтобы (возможный) читатель мог получить представление и физической стороне проблемы и составить мнение об основных выводах, не вдаваясь в математические детали (хотя они и представляют самостоятельный интерес).

В Главе 1 даны необходимые в дальнейшем определения из дифференциальной геометрии, исследована глобальная структура произвольного (четырехмерного) сферически симметричного пространства-времени и произведена соответствующая редукция уравнений Эйнштейна. Редукция основана на том факте, что такое многообразие локально представимо в виде прямого произведения двумерной сферы 52 и дву-

мерного псевдо-евклидового пространства-времени Мг с метрикой

ds2 = 7ABkdxAdxB - R2(x)da2

где da2 — d#2+sin2 6d(j> - линейный элемент единичной двумерной сферы, R - радиус этой сферы, площадь которой равна 4irR2, А, В = 0,1.

Показано, что локальная геометрия определяется двумя инвариантными функциями двух переменных, R и Д, где

есть не что иное как лорентцев квадрат нормали к поверхностям постоянного радиуса R = cjnst (запятая обозначает частную производную по соответствующей координате). Получены уравнения Эйнштейна в векторном виде для этих двух инвариантов:

(R (Д + 1)\А = 8тг GR2 {TgД,л - T$R,B) .

Третье уравнение для А ф В - по существу, скалярное:

Щлв = -4тг GRTab.

Оно может быть получено также как условие интегрируемости для векторного уравнения с использованием тождеств Бианки (или уравнения неразрывности) и оставшегося ©-скалярного уравнения Эйнштейна. Уравнение же неразрывности теперь принимает вид:

грВ _ <2

лл\в — 2 ■

Функция Д является носителем нетривиальной качественной информации о структуре сферически симметричного пространства-времени. Действительно, в плоском пространстве-времени Минковского Д = 1, следовательно, все поверхности R = const времени-подобны, и радиус может быть выбран в качестве пространственной координаты q = R на

24

всем многообразии. В искривленном пространстве-времени Д не является более постоянной величиной и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Область, в которой Д < 0, называется R-областью; в такой области радиус R может быть, в принципе, выбран в качестве пространственной координаты q. В той же области, в которой Д > 0, поверхности R = const пространственноподобны, и радиус может быть выбран в качестве временной координаты t. Такие области называются Т-областями. Понятия R- и Т-областей были введены И.Д.Новиковым. Но это ещё не всё. В Т-областях Д > 0, поэтому R ^ О, и производная по времени не может менять знак. Следовательно, в Т-области или R > 0 (такая область необратимого расширения называется Т+-областью), или R < 0 (необратимое сжатие, Т_-область). Аналогично, R-области делятся на два класса: те, для которых R' > 0 они называются R+-областями, а те, для которых R! < 0 ^..-областями), эти R- и Т- области отделены друг от друга поверхностями Д = 0, называющимися горизонтами видимости. Горизонты видимости могут быть как изотропными (в этом случае они совпадают с горизонтом событий), так и времени-подобными или пространственно-подобными поверхностями. Таким образом, искривленное пространство-время может иметь, в общем случае, довольно сложное строение и состоять из набора R±- и Т±-областей, разделенных горизонтами видимости Д = 0.

Показано, как вводятся запаздывающие о опережающие координаты Финкельштейна, позволяющие проникнуть под горизонт событий и исследовать геометрию геодезически полного пространства-времени Шварцшильда. С их помощью построены диаграммы Картера-Пенроуза, чрезвычайно полезные при выяснении причинной структуры многообразий, а также диаграммы вложения, удобные для наглядного представления геометрии пространственных сечений. Особо отмечается, что геометрия пространственного сечения представляет собой мост Эйнштейна-

Розена или, иначе, непроходимую кротовую нору, различные части которой причинно не связаны между собой.

Глава 2 посвящена изложению формализма тонких оболочек в общей теории относительности. Выведены уравнения Израэля для сшивания решений уравнений Эйнштейна с двух сторон тонкой сингулярной оболочки. Они связывают поверхностный тензор энергии-импульса оболочки 5,-; со скачком тензора внешней кривизны [А"у], определяющим вложение (й— 1)-мерной гиперповерхности в объемлющее ¿-мерное многообразие:

Подробно исследован необходимый в дальнейшем случай четырехмерной сферической симметрии, где уравнения Израэля представлены в удобной форме, легко допускающей их физическое толкование:

Здесь появляется знаковая функция а = ±1, которая определяет, возрастают ли радиусы в направлении внешней нормали, ил же убывают. Мы уже знаем, что в Я-областях знак пространственной производной от радиуса не может меняться. Отсюда следует, что а определяет, в какой из них движется оболочка, в R+ - тогда а = +1, или же в Я_ - тогда а = — 1. Вообще говоря, а не является интегралом движения и может меняться в Т-областях. Поскольку мы будем рассматривать оболочки, внутри которых - вакуум, т.е., метрики Шварцшильда с разными массами, то знаки Gin внутри и aout снаружи определяют, как именно соединяются две геометрии вдоль оболочки, с какой стороны соответствующего

e(lK{]-6i{Kti) = 8nGSi;

а

- а у/р2 - Д = 4тгGpS%, ( - = 4тгС (2S22 - 50°) ,

¿о + - (So - S22) + [ЭД = 0.

2 p

моста Эйнштейна-Розена, т.е., они полностью определяют глобальную геометрии полного многообразия. В простейшем случае, когда внутри - плоское пространство-время Минковского, aln, а знак aout определяет тип оболочки: имеем ли мы дело с черной дырой, если ami = +1, или же с кротовой норой (полузамкнутым миром), если crin = —1. Выбор, где (in), а где (out), разумеется, условен. У нас (ont) означает, "нашу" сторону моста Эйнштейна-Розена, т.е., откуда мы все то наблюдаем.

В конкретном случае вакуумных метрик (Шварцшильда) снаружи и внутри и тонкой пылевой оболочки показано, что достаточно иметь только одно уравнение - т.н. уравнение связи

/.„ 2 Gmin 2Gmout GM lp2 + 1---Стоим/P2 + 1--= —~

где М - голая масса оболочки, которая в нашем случае пылевой оболочки есть просто сумма масс составляющих пылинок и является интегралом движения. Это уравнение досконально исследовано для всех возможных вариантов движения оболочки в зависимости от начальных условий. Построены диаграммы Картера-Пенроуза для полных геометрий с оболочкой и диаграммы погружения.

В Главе 3 построена наша первая (хронологически) модель квантовой тонкой сферически симметричной оболочки. Создана схема получения квантового уравнения прямо из известного классического выражения для энергии системы. Именно, использовано сквадрированное первое из уравнений Изразля (уравнение связи), в котором, для простоты, положено шш = 0, т.е., наша оболочка является единственным источником поля тяготения. Поэтому внутри - плоское пространство-время Минковского, а снаружи - метрика Шварцшильда с массой т^ = Дт (М -голая масса оболочки, р(т) - ее радиус, г - собственное время наблюда-

теля на оболочке):

„ пт-- GM2

т = M\J р1 -)-1---— .

¿р

Мы рассматриваем это выражение для полной энергии системы как пред-гамильтониан, из которого восстанавливается лангранжиан, находится канонически сопряженный радиусу импульс и строится гамильтониан:

„ ,. , р кМ2~е2 Н - М cosh -f---.

М 2 р

Квантование производится обычным образом. В координатном представлении импульс заменяется на дифференциальный оператор П = —id/dx (х = Мр), в результате чего получается следующее стационарное уравнение Шредингера в конечных разностях для волновой функции Ф(я) (е~*&Ф(а:) = Ф(аг - г)):

М (, т, л т, GM2 - е2 т \ — i (Ф(х + г) + Ф(ж-г)----Ф(х) 1 = тФ(х).

Такое конечно-разностное линейное уравнение второго порядка обладает очень важным свойством: при умножении какого-либо решения Фа на функцию е2гкх (к — 1,2,...) (более общо, на любую периодическую функцию с чисто мнимым периодом г) мы снова получим решение. "Правильные" волновые функции должны быть интегрируемые с квадратом, а гамильтониан при этом - эрмитовым оператором.

Нас, прежде всего, интересует дискретный спектр масс (энергий) связанных состояний. В обычной квантовой механике, когда уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка, цель достигается путем наложения определенных граничных условий на волновые функции в особых точках, у нас - в нуле и на бесконечности. Для этого нужно узнать асимптотическое поведение решений. Как это сделать в нашем случае? Самым удобным оказался матричный метод. Идея состоит в том, что волновая функция со сдвинутым аргументом

формально разлагается в ряд Тэйлора по производным, который обрывается на произвольном члене (для нашего конкретного уравнения это член четного порядка 2N), затем дифференциальное уравнение конечного порядка преобразовывается в систему уравнений первого порядка и записывается в матричном виде. С этими матрицами производятся многочисленные манипуляции (подробно описанные в диссертации), и в результате получаются следующие асимптотики:

Ф = хп х -» О, п = 0,1,2,....

ф = х-*оо

cos А = е..

Здесь мы уже перешли к пределу N —> со. Заметим, что собственные значения А определяются с точностью до слагаемого 2лik(k = 0,1,2...), воспроизводя при этом основное свойство решений, указанное выше. В усеченном же уравнении в асимптотиках вблизи нуля последним появляется член (1 + x2Nlogx). Именно избавление от него приводит к тому, что число необходимых условий, накладываемых на волновую функцию, превышает' на единицу число свободных констант и, как следствие, к дискретному спектру энергий (масс). Теперь же подобный член "растворяется" в бесконечности. Появление дискретного спектра в усеченных уравнениях также не служит гарантией его существования после предельного перехода. Как же быть? Ответ, оказывается, уже содержится в самом уравнении. Вспомним, какие требования предъявляются к решениям обыкновенного дифференциального уравнения - они должны быть достаточное число раз дифференцируемыми. Следовательно, решения конечно-разностного уравнения должны быть бесконечно дифференцируемыми. Более того, поскольку у нас сдвиг аргумента происходит

29

вдоль мнимой оси, решений должны быть аналитическими функциями на некоторой римановой поверхности. Так как в особых точках уравнения асимптотики, как правило, имеют точки ветвления, а число листов римановой поверхности должно быть одинаковым на обоих концах соответствующего разреза, то ранг точек ветвления может отличаться лишь на целое п. Так у нас появляется квантовое число. Итак, имеем:

Этот спектр масс, во-первых, является релятивистским обобщением известной формулы Ридберга и, во-вторых, частью знаменитого дираков-ского спектра для атома водорода (после соответствующих замен параметров), если в последнем положить равным нулю так называемое радиальное квантовое число.

Основное свойство линейных конечно-разностных уравнений позволило нам развить метод получения общего решения. Здесь мы опишем его очень кратко - подробности даны в диссертации. Сначала нужно получить уравнение для Фурье-образа Фр или, что эквивалентно, записать наше уравнение в импульсном представлении:

где б = cos А, а = GM2 = 2/3 sin А. Решение получается очень легко:

Оно обладает очень важным свойством - периодично с чисто мнимым периодом 27И. Интересно и важно отметить, что в импульсном представлении есть только одно решение (с точностью до нормировочного

GM2 2 sin А

г—(cosh р — cos А)ФР = /3 sin АФ;

др

f¡

множителя). Но это если рассматривать его как функцию х. При замене р —> р+2~п{к мы получаем счетное множество функций р, что при обратном Фурье-преобразовании дает множитель е~2лкх, обеспечивая основное свойство решений в координатном представлении. Это означает, что, на самом деле, нам достаточно найти только одно частное решение, которое можно назвать супер-фундаментальным, общее же решение получится умножением последнего на произвольную периодическую функцию с чисто мнимым периодом г.

Указанный выше сдвиг в импульсах эквивалентен сдвигу оси интегрирования при обратном преобразовании Фурье. Это ключевое наблюдение, позволяющее получить супер-фундаментальное решение. Заметим, прежде всего, что наше решение имеет счетное число точек ветвления в комплексной плоскости импульсов, которое может быть разбито на пары (гЛ + 27гкг, —г'А + 27г(А;-|-1)г),А; = 0, ±1, ±2,.... Соединяя точки ветвления в каждой паре разрезами, мы получаем комплексную плоскость со счетным числом разрезов. На соответствующей римановой поверхности наше решение является однозначной аналитической функцией комплексного переменного. Мы выберем следующий контур интегрирования. Сначала будем интегрировать вдоль действительной оси слева направо (т.е., от — оо до +оо), затем вдоль короткой кривой на правой бесконечности (р —> р+2т,р -> +оо), далее вдоль прямой линии у — 2т, параллельной действительной оси, справа налево и, наконец, вдоль короткой кривой на левой бесконечности обратно к действительной оси. Интегрирование по коротким кривым на бесконечностях между прямыми линиями дает нулевой вклад при положительных значениях х (для отрицательных х можно выбрать прямую линию-у = —2т вместо у — 2т). Интегрирование же вдоль каждой из прямых линий дает нам решение, линейная комбинация которых опять есть решение. Таким образом, интеграл обратного преобразования Фурье вдоль такого замкнутого контура приво-

дит нас к решению уравнения в координатном представлении. Предлагаемый контур можно превратить в контур вокруг разреза (Ai, (27г — А)г) для х > 0 (или вокруг разреза (—Аг, — (2к — А)г) для х < 0). Опуская многочисленные важные и очень любопытные детали, приведем ответ:

Ур(х) = (-4тг/3е-а sin A) xe~XxF (l - ix, 1 - /3; 2; 1 - e~2iA).

где F(a, b; с; z) - гипергеометрическая функция Гаусса при следующих значениях параметров:

а = 1 - гт, Ь = 1-0\ с = 2; z = l- e~2iX,

Мы видим, что аргумент в гипергеометрической функции превратился у нас в параметр решения. И, наоборот, аргумент решения входит в один из параметров гипергеометрической функции. Интересно отметить, что само наше первоначальное конечно-разностное уравнение является следствием одного из рекуррентных соотношений для гипергеометрической функции.

Исследование поведения найденного супер-фундаментального решения в особых точках показывает, что, при правильном поведении в нуле, на бесконечности имеются как экспоненциально спадающие, так и экспоненциально растущие слагаемые. Последние исчезают, только если ¡3 = п, когда гипергеометрический ряд обрывается, и получаются новые, ранее не известные, полиномы. Мы нашли рекуррентные соотношения для этих полиномов, а также производящую функцию. Кроме того, удалось вычислить волновую функцию основного состояния при п = 1, удовлетворяющую всем необходимым граничным условиям.

Излишне говорить, то полученный таким способом спектр масс совпадает с найденным ранее.

По аналогии со случаем атома водорода, к которому наш спектр сводится в нерелятивистском пределе, мы можем заключить, что оболочка

не коллапсирует без излучения энергии. В классической физике, однако все немного иначе. Электрон в классическом атоме водорода коллапсирует, непрерывно излучая энергию, тогда как гравитационный сферически симметричный коллапс происходит вовсе без излучения, поскольку сферически симметричного гравитационного излучения не существует. Но без коллапса не может образоваться горизонт событий и, значит, черная дыра. Более того, если мы вычислим среднее значение радиуса оболочки, используя найденную волновую функцию, то получим, что, по крайней мере, для больших значений главного квантового числа оно значительно превосходит классический гравитационный радиус, так что оболочка проводит большую часть своей "жизни" вне классической черной дыры. Следовательно, чтобы получить решение для квантовой черной дыры, нужны какие-то новые критерии, и необходимо более детальное изучение найденного нами спектра масс. Рассмотрим зависимость полной массы т от голой массы М , зафиксировав квантовое число п. Это аналогично фиксации радиуса точки поворота в классической динамике. Видно, что есть две ветви, возрастающая, если 1 > Ц > и убывающая в противоположном случае. Возрастающая ветвь соответствует оболочке "типа черной дыры", а убывающая - типу "кротовой норы". Используя "квази-классическую" аргументацию, мы можем сказать, что для состояний, удовлетворяющих вышеприведенному неравенству, среднее значение радиуса лежит вне горизонта событий "на нашей" стороне моста Эйнштейна-Розена (заменяя таким образом понятие "классическая точка поворота" на понятие "среднее значение радиуса"). Для убывающей ветви то же самое происходит "на другой" стороне моста Эйнштейна-Розена. Теперь ясно, почему значение отношение полной массы к голой массе в квантовом случае больше соответствующего классического значения. Причина этого как раз в замене классической точки поворота средним значением радиуса - последнее всегда меньше, что и приводит

к возрастанию полной массы. Рассуждая таким образом и далее, следует предположить, что максимально возможное значение полной массы т при фиксированных главном квантовом числе п соответствует ситуации, когда среднее значение радиуса оболочки лежит вне горизонта событий, делая возможным ее коллапс. Дальнейшее же возрастание голой массы М приведет к образованию полузамкнутого мира (оболочки типа "кротовой норы") с меньшей полной массой.

Обобщая, мы можем ввести следующее определение состояний квантовой черной дыры: ири заданном значении главного квантового числа п квантовая черная дыра обладает максимально возможной массой т. Окончательно, для спектра масс черных дыр получаем

т = -~\/пМр1.

Глава 4 посвящена строгому каноническому мини-суперпространственному квантованию той же физической системы. Только такой подход обеспечивает полный учет нетривиальной причинной структуры пространства-времени Шварцшильда.

Канонический формализм для общей теории относительности и был разработан Арновиттом, Дезером и Мизнером (АДМ). Это сложная га-мильтонова система со связями - последние есть отражение ковариантности теории относительно произвольных преобразований координат. В частности, гамильтониан системы равен нулю на уравнениях связи -отсюда произвол в его выборе, что особенно важно при квантовании. Лишь в простейших случаях удается разрешить все связи. Один из них - сферически симметричная вечная черная дыра Шварцшильда, т.е., вакуумное пространственно-временное многообразие с сингулярностя-ми при нулевом радиусе, где и сосредоточен гравитирующий источник. При каноническом квантовании гравитации динамическими переменными служат компоненты трехмерного метрического тензора на некоторой

34

пространственно-подобной гиперповерхности (поверхности одновременных событий при подходящем выборе временной координаты), а сопряженными импульсами - компоненты тензора внешней кривизны, определяющего вложение этой гиперповерхности в объемлющее пространство-время.

Процедура мини-суперпространственного квантования означает, что рассматриваются только многообразия с заданной симметрией. Для вечной черной дыры Шварцшильда такое квантование было произведено Кухажем в АДМ-формализме и Каструпом и Тимманном в переменных Аштекара (в этих переменных уравнения связи резко упрощаются, но за все приходится платить). Авторы изобрели красивые и полезные математические приемы, позволившие полностью решить поставленную задачу. Но физический результат тривиален: мини-суперпространство оказалось двумерным, координатами его служат шварцшильдова масса и сопряженный ей импульс. Фактически - квантовая теорема Биркгоффа. Это и понятно, потому что источник тяготения в вечной черной дыре очень необычен - это две пространственно-подобные гиперповерхности в прошлом и будущем (в промежутке он вовсе не существует), которые рассматриваются как сингулярные части полной границы многообразия. Другими словами, в вечной черной дыре отсутствуют динамические степени свободы (следствие того, что не бывает сферически симметричных гравитационных волн).

Отсюда вывод: нужно ввести в физическую систему реальную динамическую переменную. Наше предложение: рассмотреть простейшее обобщение "точечного" источника - тонкую сферически симметричную пылевую оболочку. Тогда единственной динамической переменной будет радиус этой оболочки (как функция времени). В результате получаем следующую физическую систему: тонкая пылевая оболочка плюс куски многообразий Шварцшильда по обеим сторонам, внутренней с мас-

сой m,„ и внешней с массой rnout. Эти массы с необходимостью различны, поскольку наша цель - получить самосогласованное решение с полным учетом обратного влияние гравитирующего источника на метрику пространства-времени. В результате, значительные усилия привели к построению классической геометродинамики, в которой разрешены все связи, кроме одной - гамильтоновой связи на оболочке. Стандартная процедура квантования дала уравнение для волновой функции типа уравнения Шредингера, которое, как и в предыдущей Главе, оказалось конечно-разностным, но гораздо более сложным:

rriout, S + iÇ) + Ф(ш!П, тш, 5 - ¿С) =

Fm + Fout-M2/ArnlutS OtnOW-ргг- /-ТГ—-, 4/{min, rriout, b)

V^inV^out

где 5 = nR2 2 безразмерный квадрат радиуса в единицах Шварцшиль-

ZKjTfïoxit

да внешнего решения а = ±1, F = I — Щг1, a M - голая масса оболочки. Основное отличие от квантового уравнения, исследованного в предыдущей Главе, помимо более хитрого потенциала, - то, что оно явным образом чувствует горизонты - нули функций F. Но это же создает проблемы.

Чтобы в них разобраться, в диссертации подробно изучен частный случай, когда т*п = 0. Уравнение теперь принимает вид {mmt = Щ Fin = 1, Pin — +1) ^out = F, amt = a):

т/ о т/ о .rt 1 + F - M2/4m2S T, .

Ф(ш, S + iÇ) + Ф(т, S-г Ç) = a--Ф(т, S),

VF

Теперь y нас всего два варианта: а = +1 для оболочки типа черной дыры, и а — — 1 для оболочки типа кротовой норы. Уравнение это явным образом справедливо только в Я-области. Но его необходимо продлить не только в Т-области, но и в Я=область на другой стороне моста Эйнштейна-Розена, абсолютно запрещенную для классической траектории, но вполне доступную для квантовой оболочки. Наша идея: сделать

замену

и будем рассматривать это как функцию комплексного переменного. Тогда точки горизонта, где F = О, становятся точками ветвления, и нам необходимо иметь правило их обхода. Мы предположим, что

ф — 0 в Я+-область

ф — п/2 в Т_-область

ф = 7г в Д_-область

ф = -7г/2 в Т+-область

для случая черной дыры, и

ф — 7г в /2 ^область

ф = —7г/2 в Т_ -область

ф = 0 в -область

ф = 7г/2 в Т+-область

для случая кротовой норы. Мотивация для такого аналитического продолжения - это возможность получить единое уравнение для волновой функции Ф, которая покрывала бы все четыре части полной диаграммы Картера-Пенроуза для пространства-времени Шварцшильда. Некоторые следствия из этого факта скоро станут очевидными.

Вначале мы рассмотрели большие черные дыры (пг три С "С 1). С одной стороны, этот случай более прост математически, т.к. можно разложить левую часть уравнения по производным, например, до второго порядка, а с другой стороны - проще физически, поскольку черные дыры, фактически, уже квази-классические, и нам легче интерпретировать поведение волновой функции. Мы исследовали асимптотическое поведение решений в особых точках - ноль, обе бесконечности и горизонт, применив матричный метод, отработанный в предыдущей Главе. Приведем здесь

только основные результаты, без подробностей. Для оболочки типа черной дыры в Я+-области поведение волновой функции на бесконечности такое же, как и в нерелятивисткой квантовой механике - экспоненциальной спадание, но в Д_-области, запрещенной классически, спадание гораздо более сильное, гауссово. В Т_-области существуют две волны, сходящаяся и расходящаяся, но последняя существенно подавлена, в Т+-области ситуация, естественно, обратная, это наглядно показывает, как формируется одиночная волна в классическом пределе. Требование аналитичности волновой функции на римановой поверхности приводит к неожиданному результату: сравнение асимптотик на горизонте и двух бесконечностях дает два квантовых условия, вместо одного в обычной квантовой механике. Появляется новое квантовое число, неизвестное ранее. Спектр имеет следующий вид:

Появление нового квантового и второго квантового условия означает, что в рассмотренной модели задание квантового состояния полностью фиксирует как полную массу, так и голую массу оболочки. Ясно, что построенная нами система слишком жесткая, и ее необходимо расширить за счет ненулевой массы внутри оболочки. Если эта масса фиксирована, то квантовое состояние остается неизменным, и ни о каком гравитационном коллапсе не может быть и речи. Понятно поэтому, что даже в случае сферической симметрии, в отличие от классической теории, процесс квантового коллапса невозможен без включения излучения. При этом, чтобы удовлетворить двум квантовым условиям, необходимо пред-

то =

положить, что это излучение идет не только наружу, на бесконечность, но и вовнутрь, увеличивая тем самым массу внутри оболочки. Ясно, что подобный процесс может проходить множеством различных способов. И в этом источник появления энтропии образующейся в конечном счете черной дыры.

Была исследована квази-классическая волновая функция как решение первоначального полного уравнения в конечных разностях для световой оболочки. Показано, что требование его аналитичности и однозначности на римановой поверхности, учитывающей все точки ветвления, приводит к тому, что под горизонтом событий черной дыры, помимо подающей (сходящейся) волны, существует и выходящая (расширяющаяся), но амплитуда последней экспоненциально подавлена. Показано, что при некоторых, физически приемлемых, предположениях, снаружи черной дыры появляется поток излучение. Применение распределения Гибб-са позволило вычислить температуру этого излучения, которая совпала с температурой Хокинга. В наших расчетах был использован тот факт, что в промежутке между внутренним и внешним горизонтами канонически сопряженный импульс приобретает мнимую часть. Тем самым была доказана возможность интерпретации излучения Хокинга как процесс туннелирования.

Матричным методом исследованы асимптотики полного конечно-разностного уравнения Шредингера для массивной оболочки. Показано, что, вследствие двойного вырождение собственных значений главной матрицы, уравнения для бесконечных матриц сводятся к бесконечной системе уравнений второго порядка. Найден дискретный спектр для связанных состояний, который в точности совпадает с полученным ранее из приближенного уравнения. Таким образом, спектр един как для больших, так и для малых черных дыр.

Теперь квантовые условия выглядят следующим образом:

2(Дт)2-М2 _ 2т2р1 у/М2 - (Дт)2 _ Дт +

М2 - (Дт)2 = 2(1 + 2р)тр1

Здесь Дт - полная масса оболочки, М - ее голая масса, а полная масса системы равна т = тои< = Дт + тш. Для оболочки типа черной дыры М2 < 4тДт, или

После включения процесса излучения, управляемого начинается квантовый коллапс. Компьютерная симуляция показывает, что процесс идет в "правильном" направлении, то есть, мы подходим, в результате, все ближе и ближе к порогу, отделяющему черную дыру от полузамкнутого мира (кротовой норы). И процесс останавливается точно при равенстве нулю главного квантового числа п = О!

Точка п = 0 в нашем спектре совершенно особая. Лишь в таком состоянии оболочка "не чувствует" не только внешние области (что естественно для сферически симметричной конфигурации), но она ничего не знает и о том, что делается внутри. Она "чувствует" только себя самое. Эта ситуация напоминает классический (несферический) коллапс. В конце концов, когда все оболочки ( как первоначальная, так и вновь рожденные) окажутся в соответствующих состояниях щ = 0, вся система не будет "помнить" свою собственную историю - Иван, родства не помнящий. Это и есть квантовая черная дыра. В такой ситуации массы всех оболочек удовлетворяют соотношению

Дт,- = ~=М{.

Л

В Главе 5 рассматриваются классические модели - аналоги квантовых черных дыр. Цель - исследовать свойства квази-классических черных дыр, используя обычные (локальные) законы термодинамики и, что самое важное, учитьшая обратное влияние распределения материи на метрику пространства-времени. Дело в том, что все до сих пор известное о термодинамике и испарении черных дыр основано на расчетах, в которых метрика, содержащая горизонт - фоновая, а также на общих качественных рассуждениях. Но мы знаем, что само понятие горизонта - глобальное, и любое событие (в прошлом и будущем) влияет на него. Кроме того, использование вакуумной метрики как фоновой чревато неприятностями, так как уравнения Эйнштейна нелинейны.

В последнее время большое внимание привлекает развитие аналитических методов расчета квази-нормальных частот, которые характеризуют распад возмущений вокруг черной дыры и, тем самым, процесс ее образования. Эти частоты -комплексные, спектр мнимой части которых эквидистантен, а действительная часть стремится на конечной стадии формирования черной дыры к пределу, прямо пропорциональному ее температуре. Для черной дыры Шварцшильда коэффициент пропорциональности оказывается равным но в общем случае это не так. Кроме того, простые соображения, основанные на принципе соответствия Н.Бора, связывают это значение с квантом энтропии, делая его равным 1п 3. А это уже серьезно, поскольку квант энтропии - вещь универсальная. Дж.Бекенштейн и В.Муханов показали, что он должен быть равен 1пк(к = 2,3,4,...). Теория информации склоняет нас к значению 1п2. Но это еще не все. Вычисление энтропии черной дыры Шварцшильда в рамках петлевой квантовой гравитации связывает значение этого кванта с фундаментальной группой, лежащей в основе всей теории. Вот почему возник ажиотаж вокруг квази-нормальных частот. Мы назвали это "загадкой 1п 3".

Что сделано в диссертации?

Построена конкретная сферически симметричная модель самограви-тирующей идеальной жидкости, обладающей свойством "беспамятства" и удовлетворяющей уравнениям Эйнштейна. Оказалось, что плотность энергии (массы) и давления подчиняются закону обратных квадратов. Условие отсутствия сингулярности в тензоре кривизны Римана выделяет одно-параметрическое семейство решений с универсальным численным коэффициентом в распределении материи и предельно жестким уравнением состояния, е = р — 16я1Сг2. При этом голая и полная масса связаны соотношением М = \/2т - точно таким же, как и для квантовых оболочек в состоянии "беспамятства" Единственным параметром модели является полная масса, пропорциональная граничному значению радиуса. При этом граничный радиус вдвое больше радиуса Шварцшильда классической черной дыры той же массы. Оказалось, что двумерное сечение (при фиксированных сферических углах) есть не что иное как пространство-время Риндлера. Т.е., у нашей аналоговой модели есть температура, причем все статические наблюдатели внутри распределения материи находятся в тепловом равновесии друг с другом. Эта температура вдвое ниже температуры Хокинга.

Построена термодинамика этой модели. Вычислены все термодинамические потенциалы. Энтропия системы автоматически квантуется (дискретный эквидистантный спектр). Вычислена функция распределения при простых физических предположениях о спектре элементарных возбуждений и найдено соотношение между фундаментальной частотой возбуждений, температурой и полной энтропией:

е70 = е*-1.

Исследована энергетика процесса квантового излучения. Показа-

42

но, что учет работы сил поверхностного натяжения приводит к удвоению температуры излучения (до температуры Хокинга). Кроме того, пропорциональность частоты элементарных возбуждений температуре с коэффициентом log3, диктуемый свойствами классических квазинормальных мод, приводит к тому, что квант энтропии равен log 2, что желательно с точки зрения теории информации.

И это только первые шаги, показывающие, что идея классических аналогов квантовых черных дыр весьма плодотворна.

В Заключении представлены выводы и сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev Dynamics of bubbles in General Relativity Phys.Rev. D36 (1987) 2919-2944

2. V.A.Berezin, N.G.Kozimirov, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev On the quantum mechanics of bubbles Phys.Lett. B212 (1988) 415-417

3. V.A.Berezin On a quantum mechanical model of a black hole Phys.Lett. B241 (1990) 194

4. V.A.Berezin Quantum mechanics and black holes. Proc. Fourth Seminar on Quantum Gravity, Moscow, 28 May - 1 June, 1990.p.342-357 "Quantum Gravity" World Scientific, Singapore, Eds.M.A.Markov, V.A.Berezin, V.P.Frolov

5. V.A.Berezin Quantum Black Holes and Hawking's Radiation Preprint IHES/P/91/76 Nov. 1991, 27pp.

6. V.A.Berezin On a quantum black hole mass spectrum Proc. 2nd Intern. Sakharov Conf. in Physics, "Moscow 1996, Physics" (1996) 220-223

7. V.A.Berezin Quantum Black Hole Model and Hawking Evaporation Proc. 6th Moscow Quantum Gravity, Moscow, Russia, 12-19 June, 1995 IJMP D5 (1996) 679-706

8. V.A.Berezin On quantization of black holes Proc. 9th Russian Grav.Conf. "Theoretical and experimental Problems of Relativity and Gravitation" Novgorod, Russia, 24-30 June, 1996 Grav.Cosmol. 2 (1996) 277-288

9. V.A.Berezin Quantum Black Hole Model and Hawking's Radiation Phys.Rev. D55 (1997) 2139-2151

1

10. V.A.Berezin Square-root quantization: application to quantum black holes Talk given on the Second Conference on Constrained Dynamics and Quantum Gravity, Santa Margherita, Ligure, Italy, 17-21 September 1996 Nucl.Phys.Proc.Suppl. 57 (1997) 181-183

11. V.A.Berezin, A.M. Boyarsky, A, Yu. Neronov Quantum geometrodynamics for black holes and wormholes Phys.Rev. D57 (1998) 1118-1128

12. V.A.Berezin, A.M.Boyarsky. A.Yu.Neronov Towards the mass spectrum of quantum black holes and wormholes Talk given on the Second international conference "Quantum field theory and gravitation", July 28 -August 2, 1997, Tomsk, Russia

13. V.A.Berezin Quantum black holes:unexpected results Talk given at the Birthday Conference dedicated to A.Arvilski, 17th of February, 1997 gr-qc/9710067

14. V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov Quantum Mechanics of Self-Gravitating Particles and Quantum Black Hole Models. Preprint INR RAS, 1999

15. V.A.Berezin Markov's inaximon and quantum black holes Phys.Part.Nucl. 29 (1998) 274-277

16. V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov Black hole mass spectrum vs spectrum of Hawking radiation Phys.Lett. B455 (1999) 109-114

17. VA.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov Quantum black hole spectrum: What is it? Grav.Cosmol. 5 (1999) 11-15

18. V.A. Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu. Neronov On the Mechanism of Hawking Radiation Grav.Cosmol., Vol. 5 (1999), pp. 16-22 ArXiv: gr-qc/0605.099

19. V.A. Berezin, A.M. Boyarsky, A.Yu. Neronov On the spectrum of relativistic Schroedinger equation in finite differences arXiv:gr-qc/9902028, 16 pages, 1 figure

20. V.A.Berezin Something about quantum black holes 4th Int. Conf. on Cosmology, Relativistic Astrophysics: Cosmoparticle Physics in Honor of 80th Birthday of Isaak M.Khalatnikov (COSMION 99) Moscow, Russia, 17-24 Oct. 1999 Grav.Cosmol. 6 (2000) 72-77

21. V.A.Berezin Notes on quantum gravitational collapse Proc. 9th Marcel Grossmann Meeting on Recent Developments in Theoretical and experimental General Relativity, Gravitation and Relativistic field theories (MG9), Rome, Italy, 2-9 July 2000 "Rome 2000, Recent..., Pt.B", (2000) 1513-1514 gr-qc/0101004

22. VA.Berezin Quantum black hole: What is it? Nucl.Phys.-Proc.Suppl. 88 (2000) 34-39

23. V.A.Berezin Vector-like Einstein's equations for D-dimensional spherical gravity with (D-2)-dimensional sphere arXiv:gr-qc/0010083

24. V.A. Berezin Towards a Theory of Quantum Black Hole Talk given at the Fifth Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions, Leipzig, 10-14 Sept., 2001 Int.J.Mod.Phys. A17 (2002) 979-988

25. VA.Berezin, A.L.Smirnov Towards a theory of thin self-gravitating crossing shells Grav.Cosmol. 8 (2002) 25-40 arXiv:gr-qc/0210084

26. V.A. Berezin What can we learn studying quantum black holes? 65 pp.,11 Figs. Published in Int.Journ.Mod.Phys.A (2002) as a review article, gr-qc/0212100

27. V.A.Berezin Quantum gravitational colapse and quantum black holes Phys.Part.Nucl. 34 (2003) 523-553

28. V.A.Berezin Black Hole Thermodynamics without a Black Hole? Nucl.Phys. B661 (2003) 409-422 ArXiv: gr-qc/0302.066

29. V.A.Berezin On Classical Analogs of Quantum Schwarzschild and Reissner-Nordstrom Black Holes. Solving the "Mystery of log(3)" Combined and extended version of talks given at the "4th International Sakharov Conference on Physics", Lebedev Institute, Moscow, Russia, May 18-23, 2009, Joint workshop "Frontiers in Black Hole Physics in Dubna", Dubna, Russia, May 25-30, 2009 and "Twelfth Marcel Grossmann Meeting MG12", Palais d'UNESCO,Paris, France, July 1218, 2009 ArXiv: gr-qc/1001.3996

30. V.A.Berezin Quantum Black Holes. Black Hole Temperature without a Black Hole 7 pages, Talk given at Workshop "Black Holes in General Relativity and String Theory", August, 24-30, 2008, Veli Losinj, Croatia ArXiv: gr-qc/ 0812.4515. PoS. BHs, GRandStrings. 2008:019.2008

31. V.A.Berezin Classical analog of Quantum Schwarzschild black hole: local vs global, and the mystery of log 3. 20 pages, Preprint IHES, 2010. Int.J.Mod.Phys. A26 (2011) 161

32. V.A.Berezin Notes on classical analogs of quantum black holes. Contr.Paper, p.66-79. Petrov Centenary Symposium. Kazan, 1-6 November, 2010

Ф-т 60x84/8. Уч.-изд.л. 2,5 Зак. № 22174 Тираж 100 экз. Бесплатно Печать цифровая Учреждение Российской академии наук Институт ядерных исследований РАН Издательский отдел 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

Введение

Глава 1. Классическая черная дыра Шварцшильда.

1.1 Общие сведения.

1.2 О сферически симметричной гравитации.

1.2.1 Инварианты и глобальная структура.

1.2.2 Векторное уравнение.

1.2.3 Конформные диаграммы Картера-Пенроуза.

1.2.4 Диаграммы погружения.

1.3 Черная дыра Шварцшильда.

1.3.1 Решение.

1.3.2 Источник.

1.3.3 Глобальная геометрия и построение диаграммы Картера-Пенроуза.

1.3.4 О причинной структуре мнрогообразия Шварцшильда.

Глава 2. Теория тонких оболочек

2.1 Уравнения Израэля.

2.2 Сферически-симметричные тонкие оболочки.

2.3 Начальные условия и динамика.

2.4 Глобальные геометрии.

Глава 3. "Наивное" квантование.

3.1 Уравнение Шредингера в конечных разностях.

3.2 Асимптотики.

3.3 Решение уравнения Шредингера в импульсном представлении.

3.4 Переход к координатному представлению. Фундаментальное решение.

3.5 Исследование фундаментального решения.

3.6 Граничные условия и сохраняющийся ток.

3.7 Дискретный спектр. Полиномы и производящая функция.

3.8 Волновая функция основного состояния.

3.9 Квантовые черные дыры.

3.10 Квантовые черные дыры и излучение Хокинга.

3.11 Релятивистская задача Кеплера.

3.12 Обсуждение.

Глава 4. Каноническое квантование

4.1 Введение.

4.2 Предварительные сведения.

4.3 Канонический формализм для сферической гравитации с тонкой оболочкой.

4.4 Переменные Кухажа.

4.5 Канонические переменные и гамильтонова связь на оболочке.

4.5.1 Динамические переменные для оболочки.

4.5.2 Связь на оболочке. Специальный случай.

4.5.3 Уравнение связи на оболочке. Общий случай.

4.6 Квантованная сферическая гравитация с оболочкой.

4.7 Большие черные дыры.

4.8 Излучение и динамика квантового коллапса.

4.9 О механизме излучения Хокинга.

4.9.1 Квантовая механика само-гравитирующих безмассовых частиц.

4.9.2 Квази-классическая волновая функция.

4.9.3 Квантовые состояние внутри и вне горизонтов.

4.9.4 Спектр излучения Хокинга.

4.10 Релятивистское уравнение Шредингера в конечных разностях.

4.10.1 Асимптотические решения.

4.10.2 Спектр масс.

Глава 5. Классический аналог квантовой черной дыры Шварцшильда

5.1 Введение и предварительные подробности

5.2 Термодинамика черных дыр.

5.3 Пространство-время Риндлера.

5.4 Температура пространства-времени Риндлера.

5.5 Принцип эквивалентности: Риндлер-Шварцшильд.

5.6 Дискретный спектр масс. Феноменология.

5.7 Квантовые тонкие оболочки.

5.8 Классический аналог квантовой шварцшильдовой черной дыры

5.9 Термодинамика.

5.10 Решение загадки log 3.

Первое, из найденных до сих пор, упоминание о черных дырах относится к 1784 году (для справки: знаменитые "Математические начала натуральной философии" Исаака Ньютона были опубликованы в 1687 г.). Некий священник Дж.Мичелл, размышляя, как и положено служителю Бога, о вечном, т.е., о природе небесных явлений, сообразил, что если вторая космическая скорость на поверхности какой-нибудь звезды равна или больше скорости света, то такую звезду достаточно удаленный наблюдатель не сможет увидеть. Он назвал такие объекты темными звездами и опубликовал свои научные наблюдения в небольшой статье [1]. Это сообщение не вызвало особенного интереса - оказывается, могут существовать невидимые звезды - любопытно! Такое отношение вполне объяснимо. В то время господствовала корпускулярная теория света, скорость которого не имела никакого фундаментального значения для физики.

Следующий шаг был сделан П.-С.Лапласом [2]. В 1799 году он опубликовал простой (для нашего времени) расчет размеров темных сфер, или звезд, основанный, разумеется на ньютоновской теории гравитации. По определению, при второй космической скорости энергии тела как раз хватает для преодоления гравитационной энергии тяготения и ухода на бесконечность. В ньютоновской теории гравитационный потенциал равен Г где г - расстояние до центра тяготеющего тела, М - его масса, О - гравитационная постоянная. Произвольная аддитивная постоянная выбрана равной нулю для потенциала на бесконечности, а знак "минус" означает притяжение. Из определения второй космической скорости следует: тУ2 Мт

До - радиус звезды. Как и положено, эта скорость не зависит от массы 7тг световых корпускул, что было замечено еще Галилеем, наблюдавшим падение различных тел с Пизанской башни. Полагая V = с (с - скорость света), получаем

2 2 вМ До откуда

2ОМ

-*Ч) — -о- — Щ

С1

Яд называется гравитационным радиусом. И, снова, этот результат рассматривался как технический, не имеющий фундаментального значения. Формула(0.0.1) современников не впечатлила. Но она поражает нас, потому что в точности совпадает с радиусом релятивистской черной дыры! Известно, что комбинациями мировых констант - скорости света с, гравитационной постоянной 6? и постоянной Планка К - можно получить величину любой заданной размерности, поэтому удивлять должно только совпадение численных коэффициентов, но оно здесь совершенно случайно. При ближайшем рассмотрении вывод, предложенный Лапласом, в наше время представляется лихой кавалерийской атакой. Во-первых, при второй космической скорости полная энергия (кинетическая + потенциальная) световых корпускул равна нулю. Если же полная энергия отрицательна (радиус звезды меньше До), то, хотя звезда и не видна удаленному наблюдателю (на бесконечности), она остается видимой для наблюдателя, достаточно близкого. Истинно невидимой в ньютоновской теории может быть только материальная точка. Во-вторых, во времена господства корпускулярной теории никого не смущала переменность скорости света - вплоть до нуля в точке поворота. Вскоре волновая концепция природы света вытеснила корпускулярную, свет стал рассматриваться как колебания всемирного эфира, нечто совсем отдельное от остальной материи, и потому не подчиняющееся другому всемирному закону - закону тяготения.

Новый этап истории черных дыр начался в 1905 году, когда появилась специальная теория относительности [3], хотя тогда этого никто не заметил. Основным постулатом этой теории является проверенное на опыте постоянство скорости света - независимо от выбора инерциаль-ной системы отсчета Из нее следует также, что эта скорость является предельной в том смысле, что никакое тело, обладающее ненулевой массой покоя, нельзя разогнать до скорости света. В последний год 19 века появилась работа М.Планка, в которой, фактически, доказывалось, что свет испускается и поглощается порциями - квантами, и предлагалась знаменитая формула для их энергии Е — Ни (Ь - постоянная Планка, ш - круговая частота). Но только после работ А.Эйнштейна по фотоэффекту [4, 5] стало ясно, что свет - это набор фотонов, частиц с нулевой массой покоя. Еще одна замечательная идея Эйнштейна 1905 года [6] -эквивалентность массы и энергии, которая затем воплотилась в поистине революционной формуле Е — тс2 [7]. Что это означает для-нас? Прежде всего, то, что в энергию любого тела, а, значит, и в его массу, дают вклад не только массы покоя составляющих частиц, но и кинетическая энергия движения, и потенциальная энергия их взаимодействий, включая обмен виртуальными (как мы теперь знаем) фотонами, осуществляющих электромагнитное (основное!) взаимодействия между молекулами и атомами (яркий пример - ядро гелия). Следовательно, свет в виде фотонов подвержен закону всемирного тяготения, а вместо массы га нужно использовать ее эквивалент Предположим, мы, приняв специальную теорию относительности, т.е., релятивистское пространство-время Мин-ковского, оставили нетронутым ньютоновский закон тяготения, заменив лишь массу на энергию. Тогда для темных звезд получим максимальное значение радиуса Я = Яд, лишь вдвое меньшее нужного значения, что несущественно. Важно другое. Поскольку для света нет точек поворота, то полностью потерять начальную энергию Ео — ^о квант, испущенный с предельной поверхности, может только на бесконечности о;(оо) = 0. И это не зависит от начального значения частоты. Другими словами, если тело сжато до размеров, меньших Вд, вокруг него образуется область пространства, откуда свет не может "вырваться" наружу и, следовательно, достичь бесконечности. Мировая поверхность границы такой области называется горизонтом событий. Получается, что гравитирующие тела меняют глобальную причинную структуру постулированного в специальной теории относительности пространства-времени Минковского. Значит, объединение релятивистской теории с ньютоновской теорией гравитации. внутренне противоречиво. Положительный же результат тот, что теперь мы уже должны иметь дело не с самими поверхностями гравитирующих тел, а с целыми областями пространства-времени, с причинными "дырками" в них, которые можно с полным правом назвать "черными дырами".

Современная история "темных звезд" началась в 1916 году статьей Карла Шварцшильда. Понять важность и революционность открытия Шварцшильда, о чем сам он и не подозревал, невозможно без краткого экскурса в крайне драматическую историю создания общей теории относительности. Работа началась вскоре после появления специальной теории относительности, объединившей пространство и время ньютоновской механики в четырехмерный континуум и установившей особую роль скорости света, определяющей причинную связь между различными событиями. Эйнштейн сформулировал физические принципы, которым должна удовлетворять будущая релятивистская теория гравитации: принцип эквивалентности (локальный) гравитационного поля и поля ускорений, восходящий к открытой Галилеем пропорциональности инертной и гравитационной масс, определение источника полей тяготения - тензор энергии-импульса как релятивистское обобщение плотности массы в нерелятивистском уравнении Пуассона, выяснение роли метрического тензора как релятивистского обобщения ньютоновского гравитационного потенциала - тензорный характер теории диктовался требованием' ковариантности относительно произвольных четырехмерных преобразований координат. Друг Эйнштейна, математик МТроссманн обучил его методам дифференциальной геометрии и помог сформулировать ставшие затем знаменитые уравнения. А.Гильберт получил те же уравнения из принципа наименьшего действия, что возвело общую теорию относительности, начинавшуюся как "некая эвристическая точка зрения" (по выражению самого Эйнштейна) в ранг строгих математических теорий. Все это было окончательно разработано к концу 1915 года и опубликовано в 1916 году. Здесь нам важно то, что релятивистская теория гравитации- оказалась теорией' пространства-времени. Именно; как всем известно, пространство-время специальной теории относительности определяется следующим линейным элементом - квадратом "расстояния" между двумя близлежащими точками (по одинаковым верхним и нижним индексам подразумевается суммирование): = дЛ,2 — (1х2 — ¿у2 — (1г2 = дц1/(х)(1х1Лс[х" и неявным предположением, что метрический тензор д,хи не меняется при параллельном переносе векторов. Другими словами, пространство-время Минков-ского является-плоским - тензор кривизны Римана равен нулю. Мы уже видели на примере темных звезд, что геометрия Минковского и ньютоновская гравитация несовместимы. Следовательно, нужно отказываться от плоского пространства-времени. Кроме того, в работах Эйнштейна и Гроссманна было показано, что* коэффициенты метрического тензора являются естественным обобщением нерелятивистского гравитационного потенциала. Эйнштейн был физиком до мозга костей и потому пользовался физическим "принципом наименьшего действия", т.е., его целью было построение физической теории, которая имела бы "хороший" предельный переход к нерелятивистской гравитации (уравнению Пуассона) при минимальных усилиях (которые в действительности*оказались гигантскими). Поэтому Эйнштейн ходил по коридорам Берлинской (Прусской) Академии наук, хватал математиков за пуговицу пиджака или мундира и говорил: дайте мне симметричный тензор второго ранга, линейный по вторым производным метрики. И Гроссманн указал ему такой - это тензор Рич-чи, получающийся из тензора кривизны Римана свертыванием верхнего и одного из нижних индексов, но при условии, что связность, определяющая в дифференциальной геометрии параллельный перенос, является метрической (т.е., метрический тензор при этом остается неизменным). При таком минимуме предположений Эйнштейну удалось написать свои уравнения. Гильберт, напротив, был математиком до мозга костей. Он задался целью получить уравнения физической теории (впервые в истории!) из сугубо математического принципа наименьшего действия! вариационными методами. Для этого ему нужен был лагранжиан. Воодушевленный ранними попытками Эйнштейна и Гроссманна по созданию релятивистской теории гравитации, он выбрал для лагранжиана скалярную кривизну - свертку тензораРиччи, и метрическую связность. Выбор последней, видимо, был обусловлен минимальным физическим предположением, что единственно гравитационные потенциалы, т.е., компоненты метрического тензора, являются динамическими переменными теории. В конце концов, в результате гигантских усилий, Гильберт получил те же уравнения, что и Эйнштейн. Более сложные лагранжианы, например, в виде нелинейной функции от скалярной кривизны, приводят, при сохранении условия метричности связности, к уравнениям четвертой степени по производным метрического тензора и, как следствие, к неустойчивости решений. Впоследствии оказалось, что, варьируя независимо метрику и связность (т.н. метод Палатини), можно сохранить ограничение на порядок производных метрики, но ценой отказа от метричиости связности* и заменой ее более общей связностью Вейля. И только в случае линейности по кривизне лагранжиана, удовлетворяются оба эти требования. В дальнейшем мы будем использовать ортодоксальную общую теорию относительности, поскольку, вообще говоря, непонятно, откуда брать независимую связность - возможно, в будущем это станет ясным, после должного развития теории струн или все еще гипотетической М-теории.

Доклад о новых уравнениях гравитационного поля был прочитан Эйнштейном на заседании Прусской академии наук 25 ноября 1915 года, опубликован в Сообщениях этой академии. И уже через 2 месяца, в 1916 году там же появилась статья Шварцшильда [8], в которой было приведено первое точное решение этих уравнений, ставшее впоследствии столь знаменитым. К этому времени Шварцшильд был уже крупным ученым, академиком, профессором и директором обсерватории в Геттингене, в городе, где работали. Гильберт и Минковский. После начала первой мировой войны в 1914 году он пошел добровольцем в армию, воевал на западном, затем на восточном* фронте, там заболел неизлечимой болезнью пузырчаткой, из-за чего попал в госпиталь. Вернулся в Германию инвалидом и умер в 1916 году. Находясь в госпитале в России, Шварц-шильд написал 3 научных работы, две из которых были «посвящены точным решениям уравнений Эйнштейна (сейчас они называются внешним и внутренним решениями Шварцшильда), а третья - методу квантования Бора-Зоммерфельда. И вот первое решение, как стало ясно гораздо позднее, и оказалось первой в истории математической моделью черной дыры. Вообще, получение точных решений упавнений Эйнштейна - задача нетривиальная в силу их нелинейности и общековариантности.

Нелинейность - неизбежное "зло", поскольку основополагающий принцип "любая энергия тяготеет" распространяется и на энергии самого гравитационного поля. Эта энергия не входит в тензор энергии-импульса материи в правой части уравнений, а "зашифрована" в их левой, части, чисто геометрической. Следовательно, возникает задача отделения физических эффектов от координатных, и их правильная интерпретации. Метрика Шварцшильда есть решение вакуумных уравнений Эйнштейна, т.е., когда тензор энергии-импульса материи равен нулю, в предположении сферической симметрии. Очевидно, что это релятивистское обобщение закона всемирного тяготения Ньютона вне сферически симметричного источника, в пределе - точечной частицы. Условие сферической симметрии в случае искривленного пространства-времени требует пояснения. Подробности будут изложены в последующих Главах, а здесь скажем лишь, что квадрат интервала (линейный элемент), определяемый метрическим тензором g ¡л,, должен иметь вид ds2 = gik(x)dxidxk - R2(x)da2 , (0.0.1) где da2 = d'à2 + sin2 'ûdip2 - линейный элемент единичной сферы, $ и ср

- сферические углы, R(x) - радиус, определенный так, чтобы площадь поверхности сферы равнялась Атг R2, a Qik - метрический тензор двумерного пространства-времени (г, к = 0,1), ортогонального сфере. Разумеется, используя свободу выбора временной, х° = и пространственной х1 = q (иначе - радиальной) координат, всегда можно сделать метрику ортогональной (дох = 0), и у нас еще останется одна степень свободы

- можно, например, записать двумерную метрику в конформно-плоском виде. Шварцшильд, как первопроходец, шел более извилистым путем: потребовал, помимо сферической симметрии, чтобы пространство-время было статическим, т.е., чтобы существовала система координат, в которой все метрические коэффициенты не зависели от времени, а на пространственной бесконечности получалась бы диагональная метрика Минков-ского. Первое из этих требований - физическое, оно отражает отсутствие сферических гравитационных волн, второе же, фактически, определило выбор радиальной координаты ( с точностью до перемасштабирования <7 = Далее он-"честно" решал уравнения Эйнштейна. В результате появилась, всюду демонстрируемая в настоящее время, метрика Шварц-шильда: = (1 - ^г) <** - ^¿г - г2 И2 + анад V) • с-г г

Здесь в качестве радиальной (пространственной) координаты выбран радиус сферы. Нетрудно показать, что, если потребовать это с самого начала, то статичность метрики оказывается следствием уравнений Эйнштейна. Казалось бы, все чудесно, Но есть один "изъян" - явная сингулярность при значении радиуса г = гд = Щр, которое получило имена "гравитационный радиус" и "радиус Шварцшильда", а сфера такого радиуса -"сфера Шварцшильда". От шварцшильдовой сингулярности долгое время пытались просто отмахнуться. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц даже писали в первых изданиях второго тома курса теоретической физики "Теория поля" [9], что эта сингулярность нефизическая , поскольку размеры всех обычных тел значительно превосходят размеры их гравитационных радиусов. По иронии судьбы, именно одно из открытий Ландау позволило опровергнуть такое общепринятое заблуждение.

В 1932 году Ландау открыл релятивистский эффект "смягчения" уравнения состояния вырожденного газа фермионов при больших плотностях [10]. Именно, если при малых скоростях частиц давление пропорционально плотности числа частиц в степени 5/3, то при скоростях, приближающихся к скорости света, степень понижается до 4/3. Это позволило дать элементарное объяснение "чандрасекаровскому пределу" для массы белого карлика [11] - сферически симметричной звезды, исчерпавшей запасы термоядерного топлива и состоящей преимущественно из ядер железа. При больших массах не существует устойчивого равновесного состояния, происходит сжатие и нейтронизация вещества. Образуется нейтронная звезда В 1939 году Оппенгеймер и Снайдер [12], используя эффект Ландау, показали, что и для сферически симметричной нейтронной-звезды существует верхний, предел массы. При больших массах происходит гравитационный коллапс. В то время еще не были открыты гипероны - нейтроны считались самыми массивными из фермионов. Но,- в любом случае, для каждой из "гиперонных" звезд существует свой предел массы. Роадс и Руффини [13]. показали, что, заменяя неизвестное нам уравнение состояния вещества при сверхвысоких плотностях максимально жестким (при котором скорость звука равна скорости света), мы получим универсальный предел массы для равновесного состояния сферически симметричной "холодной" звезды, равный 3, 2М0. Оказывается, соответствующие предельные радиусы уменьшаются, а гравитационные радиусы, пропорциональные массе, напротив, растут. Следовательно, в конце концов звезда, имеющая слишком большую массу, при сжатии "уйдет" под сферу Шварцшильда. Глубинная причина неизбежности гравитационного коллапса в любой релятивистской теории гравитации при любом физически допустимом уравнении состояния вещества была вскрыта в работах Д.А.Уилера с сотрудниками, полный обзор которых можно найти в книге [14]. Этот эффект был назван "самоусилением давления". Мы уже говорили о том, что в релятивистской теории гравитации тяготеет не масса, а энергия, причем любая, т.е., энергия покоя, кинетическая энергия и потенциальная энергия взаимодействия, включая энергию самого гравитационного поля. Отсюда следует, что давление, которое является проявлением движений и столкновений (взаимодействий) составляющих вещество частиц, тоже тяготеет. Поэтому оно играет двоякую роль: и создает силы отталкивания, и вносит вклад в гравитационное взаимодействие. И чем сильнее это отталкивание, тем больше вклад в притяжение. В конце концов, при громадных плотностях в центре сферически симметричного распределения вещества достаточно большой массы суммарное притяжение, зависящее от плотности и давления, превзойдет отталкивание, вызванное одним лишь давлением, давление в центре, необходимое для поддержания равновесия, достигает бесконечного значения. Результат - катастрофическое сжатие, называемое гравитационным коллапсом, при котором с неизбежностью граница вещества достигает сферы Шварц-шильда.

А что дальше? Существует теорема Биркгофа [15], утверждающая, что, с точностью до координатных преобразований, решение Шварц-шильда единственно как вне, так и под гравитационным радиусом. Это означает, что, имея некое распределение вещества, мы должны сшить метрику пространства-времени внутри с внешней метрикой Шварцшиль-да (пользуясь при этом подходящей системой координат). В координатах Шварцшильда (еще называемых координатами кривизн), в которых записана приведенная выше метрика, под гравитационным радиусом знаки метрических коэффициентов (в двумерии) меняются на противоположные, следовательно, переменная Ь из временной превращается в пространственную, а радиус г, наоборот, играет роль времени. Заметим, что при этом пространство и время вовсе не меняются местами, как утверждается во многих популярных лекциях и передачах - время по-прежнему остается одномерным, а пространство - трехмерным, путаница возникает из-за неявного и привычного отождествления радиуса с пространственной координатой. Поскольку —оо<^<оо,аО<г<г5 = ^г*, то под сферой Шварцшильда мы имеем бесконечное пространство вне вещества, но существующее конечное время (заметим, что объем, в отличие от площади, не является инвариантом, поэтому эти утверждения справедливы при конкретном выборе системы координат). Кроме того, очевидно, что пространство-время под сферой Шварцшильда существенно нестатично, и потому площадь поверхности границы вещества и вакуума уменьшается при сжатии до нуля (разумеется, возможно и отражение во времени, т.е., решение с расширяющейся границей из нуля). Поверхность постоянного радиуса при г < гд пространственно-подобна, это относится и к

1 поверхности г = 0, которая уже не точка, а бесконечная линия, существующая одно мгновение - начальное в случае расширения и конечное в случае сжатия Мы видим, что точечный источник в том смысле, в каком его понимал Шварцшильд, в релятивистской теории гравитации не существует вовсе Получаем следующую картину: вне гравитационного радиуса пространство-время статично, а внутри все нестатично. Сфера Шварцшильда является границей между этими областями. В этом существенное отличие от рассмотренной выше ситуации, когда мы пытались соединить специальную теорию относительности с ньютоновской гравитацией. Эта граница очень похожа на горизонт событий. Действительно, подробные исследования свойств геодезических кривых - аналогов прямых линий в плоском пространстве-времени- показали (см. напр., [133]), что свободно падающим пробным частицам и свету, чтобы достичь сферы Шварцшильда, требуется бесконечное координатное время (измеряемая статическим наблюдателем). Если же частицы или свет двигаются не строго по радиусу, то они, приближаясь к г = гд, совершают бесконечное число оборотов. При этом координатная скорость массивных частиц стремится к скорости света, а энергия (частота) фотонов - к бесконечности.

Если же "повернуть время вспять", то это означает, что фотоны, стартующие в точности со сферы Шварцшильда, приходят на бесконечность с нулевой энергией (частотой), это доказывает, что звезда размером с ее собственный гравитационный радиус становится "черной". Граница между видимым и невидимым с необходимостью является световой гиперповерхностью - требование любой релятивистской теории гравитации, а поскольку на ней нельзя "стоять", то она не может быть твердой поверхностью. Другими словами, это просто дырка в пространстве-времени -отсюда и название "черная дыра". Кто изобрел этот термин - неизвестно, но популяризатором стал Уилер, который впервые употребил его в популярной лекции "Наша Вселенная : известное и неизвестное" ("Our Universe: the Known and Unknown") 29 декабря 1967 года, опубликованной в журналах студенческих общества "Phi Beta Kappa" [17] и "Sigma Xi" [18].

Осознание того, что сингулярность Шварцшильда - не истинная, где тензор кривизны обращается в бесконечность, а координатная (хотя и необычная с точки зрения привычного ньютоновского пространства и времени), приходило постепенно, история эта изложена в книге [133]. Оказалось, что свободно и радиально падающий наблюдатель достигает горизонта событий за конечное собственное время, а тензор кривизны, определяющий силы притяжения (точнее, ускорение), конечен. Системы координат "проникающие" под гравитационный радиус, были построены А.Эддингтоном (1924) [19] и Ж.Леметром (1933) [20], а затем фактически переоткрыты Д.Финкелыптейном, но они не покрывали полное пространство-время Шварцшильда [21]. "Полное" здесь означает "геодезически полное", т.е., пространственно-временное многообразие, в котором все времени-подобные и световые геодезические начинаются и заканчиваются либо на бесконечности (по собственному времени или афинно-му параметру), либо в сингулярностях. Неполнота координат Эддингтона и Леметра была открыта Дж.Сингом (1950)[22], а Фронсдал (1955) [23], не зная о работе Сннга, определил глобальную структуру геометрии Шварцшильда с помощью диаграмм погружения и вычислений. Полная система координат, основанная на световых геодезических и которой мы пользуемся до сих пор, была открыта независимо М.Крускалом (1960)[24] и Дж.Шекересом (1960) [25]. №. Д.Новиков (1963) [26] построил полную-систему координат, связанную со свободно падающими наблюдателями. Столь большой разброс во времени между "первооткрывателями" и их "последователями" связан, разумеется, с тем, что в промежутке все внимание физиков теоретиков было поглощено квантовой механикой и ядерной физикой. Те же, кто занимался общей теорией относительности, были похожи, по образному выражению Дж.Синга, на средневековых ученых, запершихся в башне из слоновой кости [27].

До сих пор молчаливо предполагалось, что черные дыры могут возникать только при коллапсе достаточно массивных звезд, исчерпавших ядерное горючее. Однако, развитие теории космологических возмущений, начавшееся с работы Е.М.Лифшица [28], показало, что рост флуктуа-ций в ранней Вселенной должен приводить к образованию черных дыр малой массы, названных "первичными черными дырами". Подробное изложение этих вопросов можно найти, напр., в книге Я.В.Зельдовича и И.Д.Новикова [29]. Современная квантовая теория поля требует существования сложной структуры вакуума. Спонтанное нарушение симметрии, т.е., переход от более к менее симметричному вакууму обеспечивает появление ненулевых масс покоя элементарных частиц. В горячей вселенной в процессе ее охлаждения, как показали Д.А.Киржниц и А.Д.Линде [30] [31], этот эффект проявляется в виде фазового перехода первого рода, приводящего к возникновению пузырей нового вакуума с нарушенной симметрией в океане старого. Стенки этих пузырей могут сталкиваться и образовывать черные дыры, массы которых соизмеримы с массой Земли [32, 33]. Оказалось также, что черные дыры в тысячи раз увеличивают вероятность распада вакуума, т.е., работают в качестве гравитационного катализатора [34, 35, 36, 37]. Раз образовавшись, черные дыры увеличиваются в размерах и массе за счет поглотцения окружающего вещества - аккреции [29]. Их масса может достигать гигантских величин вплоть до масс галактик и их скоплений. В настоящее время считается твердо установленным существование как черных дыр звездных масс (от 3 до 1000 солнечных масс), так и сверхмассивных черных дыр (105 — Ю10Мо) в центрах галактик, включая и нашу галактику Млечный Путь [38].

В фантастических романах и фильмах, а также в средствах массовой информации черные дыры представлены как некие космические монстры, поглощающие все и вся, и потому представляющие опасность для отдельного человека и всего человечества. Поэтому интересно сопоставить массы и размеры черных дыр и оценить реальность катастрофы, для чего полезно знать численный коэффициент, связывающий их. Это проще всего сделать следующим образом: из трех мировых физических констант, ньютоновской гравитационной постоянной С, постоянной Планка К и скорости света с можно составить величины любой размерности - на это, видимо, первым обратил внимание Дж.А.Уилер [39]. Действительно, размерность массы получается комбинацией т = - так называемая планковская масс гар/ ~ 10~5г, планковская длина равна комптоновской длине, соответствующей массе Планка 1Р1 = ~ 1033см, а планковское время - Ьр\ — у^г ~ 10-43сек. Теперь нетрудно оценить искомый коэффициент: [/] = -^¡[т] ~ 10-28см/г, откуда следует, что черная дыра с массой Земли « 1029г должна быть размером « 10см, а Солнце (масса ~ 1033г) придется сжать до ~ 1км. Ясно, что масса "опасной" черной дыры должна быть по меньшей мере порядка 0,1М® ~ 1032г, чтобы нормальный человек" мог в нее влезть. Но его подстерегает другая опасность - приливные силы. Оказывается, этот "нормальный человек" будет разорван на границе черной дыры, если масса последней не превышает Мсти ~ ЮООМ© ( результат взят из-книги [133]). Это означает, что, пересекая гравитационный радиус сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики» (« 105 - 106Мо), мы ничего пе почувствуем, но о возвращении думать будет уже поздно С другой стороны, когда размеры черных дыр меньше "размера", например, протона « 10~14см, пролет ее сквозь человеческое тело вовсе не может быть замечен - это соответствует массам т < 1014г - 100 миллионов тонн. Поистине, черные дыры не перестают нас удивлять!'

Ясно,что верхний предел масс черных дыр ограничен только временем^ аккреции: чем дольше - тем больше. А что можно сказать о нижнем пределе? В 1962 году Я.Б.Зельдович построил модель [40], на примере которой было показано, что классическая физика допускает, в принципе, существование черных дыр сколь угодно малой массы. А в 1965 году появилась статья М.А.Маркова [41], в которой была высказана и обоснована потрясающая ( особенно в то время) идея, что черная дыра массы Планка, тр1 = должна играть существенную роль в квантовой теории поля. Основанием для такой уверенности служил тот факт, что гравитационный радиус такой черной дыры практически совпадает с комптоновской длиной волны ^ квантовой частицы той же массы. М.А.Марков рассматривал черную дыру планковской массы, которую он назвал "максимоном", как естественный предел масс элементарных частиц [42], а планковскую длину - как естественный кандидат на роль фундаментальной длины, введение в теорию которой не нарушает принцип причинности (поскольку необходимо учитывать внутреннюю пространственно-временную структуру такого объекта и, прежде всего, световой характер поверхности Шварцшильда) и одновременно поможет устранить ультрафиолетовые расходимости в квантовой теории поля. С другой стороны, черная дыра планковской массы должна рассматриваться как чисто квантовый нелокальный объект. Следовательно, квантовая теория дает нам нижний предел массы для черной дыры Шварцшильда. Ниже мы кратко опишем общий класс черных дыр - электрически заряженных и/или вращающихся. Здесь же отметим, что, существование второго параметра приводит к появлению ограничения на минимальную массу черной дыры уже в классической физике. Именно, черная дыра существует, только если ее массы превышает определенную величину при

2 \ е2 -г заданном другом параметре: т > для электрически заряженной (е

- заряд) и га2 > ^ для вращающейся черной дыры (7 - безразмерный, угловой момент вращения). Если мы подставим в эти формулы заряд электрона и его спин, соответственно, то получим для минимальной массы черных дыр опять же величину порядка массы Планка.

Максимон - совершенно необычная частица. Его нельзя представлять как привычный нам протяженный объект. Уже упоминалось о том, что внутри сферы Шварцшильда вне распределения вещества объем пространства бесконечен. Но это еще не все. Оказывается, геометрия геодезически полного пространства-времени Шварцшильда содержит, помимо областей необратимого сжатия и расширения, еще одну область, изомет-ричную "нашей" с точно такой же бесконечностью [43]. Пространственное сечение в какой-либо момент времени в экваториальной плоскости представляет собой трубу с расширяющимися до бесконечности раструбами в обе стороны. Сечение минимального размера называется "горловиной", и находится она как раз на гравитационном радиусе, т.е., на сфере Шварцшильда (подробности будут изложены в соответствующей Главе, см. также [133] [43] [44]). Такая геометрия называется "мостом Эйнштейна

Розена" [45] - в 1935 году они показали, что уравнения общей теории относительности допускают подобное решение, соединяющее две асимптотически плоские бесконечности пространства-времени. Позднее, в 1950-х годах Дж.А.Уилер использовал это решение для построения удивительных физических (и одновременно геометрических) моделей, получивших экзотические названия "заряд без заряда" и "масса без массы". Он же придумал название "wormhole", широко употребляемое в настоящее время. Дословный перевод на русский язык не слишком благозвучен - "червоточина" - поэтому появился русский термин "кротовая нора",введенный в обиход Н.Коноплевой при переводе книги Дхс.А.Уилера "Гравитация, нейтрино и Вселенная" Мое г Эйнштейна-Розена в пространстве-времени Шварцшильда является пространственно-подобной гиперповерхностью, и потому непроходимым - скорость "путешественника" должна превышать скорость света. Но если» черная дыра обладает электрическим зарядом и/или моментом вращения (подробнее о них - чуть ниже), то, помимо непроходимых кротовых нор, появляются и проходимые, времени-подобные. Последние, в принципе, могут быть использованы для создания машины времени [46], но для поддержания их стабильности требуется экзотическая, материя. В любом случае, они должны появляться в промежуточных состояниях в (будущей) квантовой теории гравитации. Мы будем иметь дело только с непроходимыми кротовыми норами. О.Кляйн доказал [47], что "по ту сторону" моста Эйнштейна-Розена можно поместить материю в виде пыли, в полном соответствии с уравнениями Эйнштейна и условиями сшивки внутреннего и внешнего решений. Подобные конструкции получили имя "полузамкнутые миры". В.П.Фролов и М.А.Марков получили решение для полузамкнутого мира, заполненного электрически заряженной пылью [48], и назвали их "фридмонами" (в память об А.А.Фридмане) [49]. Внутри полузамкнутых миров может поместиться сколь угодно много материи, при этом внешний размер, видимый с "нашей стороны" моста Эйнштейна-Розена, будет оставаться предельно малым, вплоть до планковских размеров. М.А.Марков назвал это "микро-макросимметрической вселенной" [50]. Все вышеизложенное могло бы показаться "игрой ума" сумасшедших физиков-теоретиков, но, оказывается, в современных космологических сценариях т.н. хаотической инфляции, предложенных А.Д.Линде [51], вся видимая часть нашей Вселенной находится, с необходимостью, внутри такого полузамкнутого мира [52] [53]. Теперь мы имеем представление о чрезвычайно необычной и сложной структуре пространства-времени, содержащего черную дыру. Ясно, что квантовая теория черных дыр должна все это учитывать, потому что квантовая механика и квантовая теория поля учат нас, что изменения граничных условий в соответствующих уравнениях приводит к весьма существенным последствиям. Примеры тому: двойная яма в квантовой механике, эффект Казимира и эффект Хокинга.

До этого момента, говоря о черных дырах, мы рассматривали черную дыру Шварцшильда, единственным параметром которого является масса. Оказывается, уравнения Эйнштейна допускают и другие решения с горизонтами событий. Это, прежде всего, решение Рейсснера-Нордстрема [54]* [55] для метрики вне сферически симметричного распределения вещества, имеющего электрический заряд - его еще называют электро-вакуумным решением. В координатах кривизн эта метрика внешне напоминает метрику Шварцшильда: з2 = Р(г)(И2 --^Г- г2йа2 , г (г) но теперь р где т, как и прежде, масса/энергия системы, измеряемая наблюдателем на бесконечности, а е - электрический заряд. Известны и решения более общего вида - стационарные с осевой (аксиальной) симметрией. Это знаменитые решения Керра [56] и Керра-Ньюмена [57]. В решении Кер-ра имеется два параметра: масса и угловой момент, а в метрике Керра-Ньюмена - плюс еще и электрический заряд. Существуют теоремы единственности В.Израэля [58] [59] и Б.Картера [60]; утверждающие, что, при достаточно слабых условиях, черная дыры общего вида должна быть стационарна, аксиально симметрична и описываться максимум тремя па- 4 раметрами - массой, зарядом и угловым моментом. Одним из условий этих теорем является асимптотическая плоскостность на бесконечности.

При добавлении! к стандартной теории так называемого космологического А-члена получаются решения с одним и более «горизонтами событий : решение де Ситтера, черная дыра Шварцшильда-де Ситтера (А > 0) и Шварцшильда-анти де Ситтера (А < 0), решения с электрическим зарядом и т.д., и т.п., но все они не являются асимптотически плоскими, и мы не будем их рассматривать в дальнейшем. Кроме того, вместо электромагнитного поля Максвелла, исследовались и электро-вакуумные решения для нелинейной электродинамики [61] [62] и различные варианты неабелевых калибровочных теорий. Мы не буде подробно описывать эти решения не только из-за недостатка времени и места, но и потому, что они чрезвычайно трудоемки для исследования, а интересующие нас свойства горизонтов событий и черных дыр качественно те же, что и в сферически симметричных метриках Шварцшильда и Рейсснера-Нордстрема.

Из приведенных выше формул видно, что уравнение -Р(г) = 0 имеет два действительных положительных корня, г±, г± = Сгп ± л/О1 га2 — Се2 , если Сга2 > е2 - это черная дыра Рейсснера-Нордстрема. Подробные исследования показали [63],. что поверхности г = г± являются световыми, причем г+ - это горизонт событий, аналогичный гравитационному радиусу в решении Шварцшильда, а г - так называемый горизонт Ко-ши, за которым эволюция уже не определяется однозначно начальными на пространственно-подобной гиперповерхности, исходящей из пространственной бесконечности. В данной работе нас будет интересовать только горизонт событий г+. Если Gm'2 < е2, то оба- горизонта - отсутствуют, и мы имеем^ голую- сингулярность, на которой и сосредоточен источник массы и заряда. Промежуточный случай Gm2 = е2, когда два горизонта совпадают, г+ — г- — Gm, называется экстремальной черной дырой. Появление второго параметра существенно обогащает и углубляет наше понимание свойств черных дыр - из черной дыры с более чем одним параметром. можно извлекать энергию. Впервые это было продемонстрировано Р.Пенроузом [64] на примере квантового распада частицы в так называемой эргосфере метрики Керра. Суть этого и других подобных эффектов можно понять, рассматривая более простую черную дыру Рейсснера-Нордстрема. Дело в том, что полная масса т в этой метрики, включает в себя и массу /энергию внутри горизонта событий, и распределенную массу/энергию электростатического кулоновского поля вне черной дыры. Именно эту часть массы можно уменьшить за. счет уменьшения полного заряда. Можно представить себе распад нейтральной частицы на две противоположно заряженные или же рождение пары частица-античастица в электрическом поле. Одна частица из пары - с зарядом того же знака, что и черная дыра, отталкиваясь, улетает на бесконечность, унося с собой и энергию (массу), и заряд, другая же, естественно, падает на черную дыру. Как много энергии можно забрать таким способом? Функцию F(r) в метрике Рейсснера-Нордстрема можно переписать в виде, похожем на метрику Шварцшильда, но с переменной ("бегущей") массой именно такой ее смысл следует из структуры уравнений! Эйнштейна): F(r) = 1 — 2G™['); rn(r) = т — ф. Второе слагаемое есть не что иное как энергия кулонова поля вне сферы радиуса г. Следовательно, т(г) - это масса (энергия), заключенная внутри этой сферы. Внутри черной дыры, г < г+, заключена масса тггг — т(г+). Поскольку из-под горизонта событий ничего извлечь нельзя, естественно предположить, что в любых (классических) процессах вне черной дыры горизонт событий может только увеличиваться или оставаться неизменным, поэтому тггг - это минимальная масса черной дыры Рейсснера-Нордстрема, которая может быть достигнута путем уменьшения заряда до нуля и превращения тем самым в черную дыру Шварцшильда. Д.Кристодулу и Р.Руффини [65] [66], исследовавшие такие процессы, назвали ее неприводимой массой. Они же показали, что следствием является закон неубывания площади поверхности, А = 47тчерной дыры dABH > 0, общее доказательство которого было найдено Стивеном Хокингом [67] [68] примерно в то же время.

Наконец, следует сказать несколько слов о черных дырах, т.е., о решениях с горизонтом событий, в других теориях - вне рамок стандартной общей теории относительности в четырех измерениях. Прежде всего, это черные дыры в мембранных космологических теориях, когда все материальные (не гравитационные) поля предполагаются сосредоточенными на тонкой четырехмерной оболочке, помещенной в пространство-время большего числа измерений (см. недавний обзор [69]). Благодаря этим дополнительным измерениям черные дыры на самой мембране приобретают новые свойства. Например, сферически симметричный четырехмерный коллапс сопровождается гравитационным излучением, метрика незаряженной черной дыры имеет свойства решения Рейсснера-Нордстрема; черные дыры могут "отпочковываться", вызывая нарушения закона сохранения энергии с точки зрения наблюдателя, сидящего на мембране, и т.д., и т.п. Затем, это бурно развивающаяся наука о многомерных черных дырах (см., напр., [70] [71]), где обнаружен целый "зоопарк" решений с горизонтами событий, имеющими самые причудливые геометрические и-топологические свойства и дополнительные "скрытые" симметрии. В теории струн также появляются решения с горизонтами событий. Хотя они ничего общего не имеют с реальными, пространственно-временными, черными дырами, само появление горизонтов, оказывается, придает им общие черты с последними [72] [73]. Необходимо также упомянуть о "петлевой квантовой гравитации", активно развиваемой А.Аштекаром, его учениками и последователями (см., напр.,[74] [90] [76] [77]). В этой'теории есть проблемы не с квантованием, а, наоборот, с переходом к квазиклассическому и» классическому пределам. И черные дыры, оказывается, служат прекрасным* мостом, связывающим петлевую кванртовую гравитацию с ортодоксальной общей теорией относительности.

Классическое определение черной дыры базируется на существовании горизонта событий - границы пространственно-временной области, откуда свет не может вырваться и достичь бесконечности [43]. Само понятие горизонта событий - оно требует знания всей истории эволюции рассматриваемой системы, как прошлого, так и будущего. Классическая "черная дыра не имеет волос" [78] - для ее описания нужно знать лишь несколько параметров: массу, заряд кулонов типа и угловой момент. Это напоминает термодинамическое описание состояния тела в тепловом равновесии. "Облысение" занимает бесконечное время, что, опять же, похоже на процесс установления теплового равновесия. Образование черной дыры происходит путем распада всех возмущений - отклонений от точной окончательной симметрии:, скалярных; векторных, спинорных и тензорных. .Часть из них поглощается черной дырой, другая излучается на бесконечность. Эволюция возмущений описывается волновым? уравнением типа уравнения Шредингера, выписанного впервые в работе Т.Редже. и Дж.А.Уилера [79]; Результаты длительных (в течение двух десятилетий) исследований были сведены в четкую картину в книге [80]. Оказалось, что такие возмущенные моды, имеют дискретный спектр с комплексными частотами ги. Они: стали называться "квази-нормальными - модами" и "квази-нормальными частотами", соответственно [81]. Мнимая часть спектра эквидистантна; указывающая на то, что распадающиеся моды - это как последние угасающие тона (с бесконечным количеством обертонов) колокольного звона, причем, чем выше обертон; тем короче его звучание: Действительная часть квази-нормальных частот стремится к конечному пределу, зависящему от типа черной дыры и (вообще говоря) от типа возмущений. Для шварцшильдовой черной дыры, которая нас сейчас, и интересует, 0.0437123 - ^ + 0 + 0[(/г + 1)""1/2], п-> оо где т - масса, а ^ гравитационная постоянная; Все это показывает, что черным дырам можно приписать некоторую частоту. Следовательно, они. не "мертвые", а ведут какую-то "частную жизнь", проявления которой "закодированы" в свойствах их горизонтов событий. Очевидно, что это тоже глобальное свойство, не зависящее от того, что делается внутри черной дыры. • .

Исследование процессов вблизи горизонтов событий показало, что они : могут быть, как и в термодинамике, обратимыми и необратимыми [65, 66]. Поглощение точечной (классической) частицы не-экстремальной черной дырой обратимо, если она "впрыскивается" в горизонт событий в начал ьном состоянии покоя, т.е., точно в точке поворота своей траектории. В этом случае площадь черной дыры (ее горизонта) остается неизменной, а изменение других параметров (массы, заряда и углового момента) могут быть возвращены» к первоначальным значениям другим, тоже обратимым, процессом. Во всех других ситуациях площадь горизонта А возрастает.

Новая эра в физике черных дыр началась с чрезвычайно плодотворной работы Дж.Бекенштейна [82], в которой были представлены серьезные аргументы в пользу того, что черной дыре Шварцшильда нужно приписать определенное значение энтропии, пропорциональное площади горизонта событий. Такая прямая пропорциональность могла бы показаться просто игрой с символами, поскольку этом случае есть только один параметр, масса черной дыры, но затем такая четкая зависимость была подтверждена Дж.М.Бардиным, Б.Картером и С.У.Хокингом [83], которые доказали справедливость четырех законов термодинамики для общего класса черных дыр Керра-Ньюмена. Более того, в цитируемой работе было показано, чтороль температуры должна играть, с точностью до численного множителя, так называемая поверхностная гравитации ус (точное определение будет дано в соответствующей Главе, а "на пальцах" - ускорение свободного падения), вычисляемая на горизонте событий, вдоль которого она постоянна - "нулевой" закон термодинамики. И только после открытия Стивеном Хокингом явления испарения черных дыр [84] эта термодинамическая аналогия стала рассматриваться как физическая реальность. С.Хокинг исследовал квантовую теорию безмассового скалярного поля в фоновой статической метрике Шварцшильда и обнаружил, что специфические граничные условия - существование только падающих (входящих) волн на горизонте событий - приводят к температурному поведению волновых функций, как для физических тел, помещенных в тепловую баню, и ненулевому потоку энергии на бесконечности. Что важно, спектр излучения оказался планковским с температурой гр

1 7Г где хя - значение поверхностной гравитации на горизонте событий. Отсюда следует, что энтропия черной дыры в точности равна одной четверти безразмерной площади горизонта,

1 А где £ре — 0 - планковская длина, (/г - постоянная Планка, с скорость света, а (3 - гравитационная постоянная). Всюду далее мы будем пользоваться системой единиц, в которой К = с = к = 1{к- постоянная Больцмана, служащая для перевода эгнергетических единиц для температуры в градусы Кельвина), так что £Ре = а для массы Планка имеем тРе = у^ — V

Испаряясь, черные дыры становятся все меньше и меньше и, в конце концов, достигают планковских размеров, где важную роль должна играть (неизвестная до сих пор) квантовая гравитация. При столь малых массах уже нельзя не учитывать изменение массы черных дыр при испарении. Так как излучение квантовано, масса/энергия черных дыр также должна быть квантована, т.е., спектр квантовых черных дыр должен быть дискретным. Разумеется, соотношение не столь прямое, поскольку черная дыра, излучая квант энергии, не обязательно преобразуется в черную же дыру. Вклад в массу черных дыр дают не только массы покоя частиц и их кинетические энергии, включая сюда угловые моменты, но также энергия электрических, магнитных и других калибровочных полей зарядов и токов, заключенных под горизонтом событий. Но общее свойство для всех черных дыр - это энтропия и ее универсальная связь с площадью горизонта. Таким образом, квантование черных дыр есть квантование энтропии. Более того, термодинамическое описание справедливо, только если скачок температуры, вызванный скачком значения массы при излучении, пренебрежимо мал в сравнении с абсолютным ее значением, в то время как понятие энтропии как меры информации, скрытой или игнорируемой, все еще имеет смысл. Это последнее соображение привело к всеобщей уверенности, что квантование не только малых, но и больших, квази-классических, черных дыр, может пролить свет на структуру будущей квантовой гравитации или, по крайней мере, даст нам некоторые правила отбора в попытках построить такую теорию. Квантование черной дыры как единого объекта было предложено Дж.Бекенштейном довольно давно [85].

Его идея основана на замечательном наблюдении: горизонт событий неэкстремальной черной дыры является адиабатическим инвариантом. Следовательно, правило квантования Бора-Зоммерфельда предсказывает существование эквидистантного дискретного спектра для площади горизонта и, таким образом, для энтропии черной дыры. Мысленные эксперименты дали доказательства того, что, вследствие квантовых эффектов, минимальный прирост площади горизонта в процессах поглощения нейтральных [86] и электрически заряженных [87] частиц приблизительно равен

АД™«4

Это предполагает для энтропии черной дыры

5^ = 70^, N = 1,2,. где коэффициент 70 порядка единицы. В знаменитой работе по спектроскопии черных дыр Дж.Бекенштейн и В.Ф.Муханов [88] связали количество энтропии с числом возможных микро-состояний дп, соответствующих данному внешнему макро-состоянию, используя известную формулу статистической физики дп = exp[<Ss#(n)], т.е., дп - степень вырождения п-го собственного значения площади горизонта. Так как дп должно быть целым числом, то

7о = log /с, к = 2,3,.

Отметим здесь, что в духе идей теории информации и известного лозунга Дж.А.Уилера"К from Bit" значение log 2 кажется наиболее приемлемым.

Логарифмическое поведение коэффициента 70, определяющего расстояние между состояниями в спектре, получается также в так называемой "петлевой квантовой гравитации" - альтернативе более стандартным каноническому и лагранжеву подходам к квантованию общей теории относительности. В работах группы А.Аштекара с сотрудниками [89], [90] было показано, что энтропия черной дыры Шварцшильда пропорциональна горизонту событий с точностью до неопределенного численного множителя - параметра Барберо-Иммирзи, естественным образом входящего в эту теорию. Чтобы получалась формула Бекенштейна-Хокинга , этот свободный параметр должен быть равен log 2/(7г\/3), если фундаментальная группа, лежащая в» основе петлевой квантовой гравитации - SU(2), тогда 7о = log 2 и log3/(27r\/2) если это группа SU(3), тогда 7о = log3. Эквидистантный спектр получается в этой теории автоматически, так как оператор площади, как оказалось, имеет дискретный спектр, в пределе больших, по сравнению с планковскими, площадей переходящий в эквидистантный. Выбор значения 70 влияет на минимально возможное значение изменение массы черной дыры. В работе Щ.Хода [91] показано, что, если применить знаменитый принцип соответствия Нильса Бора (1923): "Частоты переходов между уровнями с большими квантовыми числами должны быть равны частотам классических колебаний", то действительная часть комплексных квази-нормальных частот для черной дыры Шварцшильда должна быть пропорциональна log к: И, действительно,

Gin Re w = 0.0437123 = •

• ' • ■ • ' 8-7Г , • ■■.•■.

Очевидно, значения 70, ишараметра Барберо-Иммирци,; и, следовательно; выбор г фундаментальной группы в петлевой; квантовой гравитации -вещи универсальные:, Неудивительно поэтому, что многие исследователи пытались найти аналитические методы, вычисления: квази-нормальных частот для различных типов черных дыр: Л.Мотль и А.Нейцке показали [92]; [93], что для скалярных и тензорных возмущений; вокруг черной; дыры Шварцшильда значение log3 является точным. Соответствующие вычисления;для более общего вида черных дыр были выполнены в работе [94]. Оказалось, что такое простое'выражение для 7о'ни в-коей мере не универсально, а, наоборот, исключительное. Вот почему мы в дальнейшем будем говорить о "загадке Iog3".

Появление в теориичерных дыр целого числа п вследствие естественной дискретности энтропиш означает, что чёрные дыры являются предметом; квантования как целостный» объект. Поскольку классические; черные дыры можно рассматривать, как; "кусок" пространства-времени, изучение их квантовых свойств дает нам, представление о квантовых свойствах пространства-времени как такового и, следовательно; о допустимой структуре квантовой теории гравитации, которой, несмотря на гигантские усилия, так до сих пор и нет. Постоянное внимание к построению такой теории вызвано не только вечным стремлением ученых создать единую теорию всего сущего. Сильным стимулом явилось и. открытие врутренней неполноты общей теории относительности Эйнштейна. Эта неполнота проявилась, прежде всего, в сингулярностях кривизны (т.н: "истиных сингулярностях") в решениях для черных дыр Шварцшильда и Рейсснера-Нордстрема и в космологических решениях Фридмана. Долгое время считалось, что появлеие сиигулярностей связано с высокой симметрией указанных решений. Обнако, доказательство знаменитых теорем о Р.Пенроузом и С.Хокингом' [95] внесло ясность: сингулярности являются неотъемлемой чертой любой релятивистской теории, в которой материя существует лишь в форме, вызывающей гравитационное притяжение, а не отталкивание. Появление же сиигулярностей рассматривалось как крах классической теории тяготения, а выход из тупика - в квантовой теории пространства-времени.

В настоящее время можно говорить о трех различных вариантах квантовой теории равитации, единой чертой которых является признание гравитационного взаимодействия как фундаментального. Это квантовая гео-метродинамика, петлевая теория гравитации и теория струн.

Основные идеи квантовой геометродинамики были высказаны Дж.А.Уи-лером, а их последовательному развитию и превращению в полноценную теорию мы обязаны Б.ДеВитту [96]. В этой теории динамическими переменными служат трехмерные геометрии на пространственно-подобных сечениях четырехмерного псевдо-эвклидового многообразия и сопряженные им импульсы, описываемые тензором внешней кривизны вложения трехмерных гиперповерхностей в объемлющее пространство-время. Сама процедура квантования нетривиальна, поскольку классическая теория инвариантна относительно четырехмерных диффеоморфизмов, и, следовательно, ее каноническое представление оказывается гамильтоновой теорией со множеством связей. Результатом долгого развития явилось знаменитое уравнение Уилера-ДеВитта - функциональное обобщение уравнения Шредингера в квантовой механике.Применение такой конструкции к описанию квантовых эффектов в пределе слабых полей, когда вакуумным состоянием можно считать плоское пространство-время Минковско-го, или же к квантованию малых возмущений около других точных решенийклассических уравненийЭйнштейна (напр.,,мира де Сйтттера) .огра-ничиавется тем фактом, что в.рамках теории возмущенрий (привычной1 в, квантовой электродинамике и.электро-слабой теории Вайнбёрга-Салама) теория гравитации оказывается неиеренормируемой'вследствие того, что константавзаимодействия, т.е.,.гравитационная постоянная; не является; безразмерной. Об одном важном случае, допускающем неиертурбатив-ный подход; будет подробнее сказано ниже; Помимо канонического квантования, развит также и ковариантный метод, основанный на построении континуального итеграла. Особенно популярен он- в так называемой5 эвклидовой квантовощгра,врггации, где в квазиклассичепском приближении. получен ряд важных результатов, в частности; "правильные" термодинамические соотношения'для; черных дыр (температура, энтропия, свободная энергия)[9Т].

Развитие другого направления - петлевой квантовой гравитации - тесно связано с именем А.Аштекара. Истоки ее также находятся в, классической общей теории отосительности. Аштекар заметил;что особые свойства группыЛи;С/(4): как- прямого произведение двух групп 5£/(2) позволяют: ввести особую ¡комплексную связность, и тем самым- разрешить все связи, возникающие в каноническом, формализме; кроме одной - га-мильтоновой' (но при этом.; появляется; дополнительное условие действительности). Дальнейшее развитие этого» формализма многочисленными учениками и последователями ("гуру") Аштекара привели к построению новых объектов - петель, квантовый аналог которых можно, в принципе, рассматривать как "атомы"пространства-времени [74] [90]; К сожалению, в теории имеется внутренний произвол - свободный параметр: Иммирзи [98] , который может быть фиксирован сравнением, например,, физических результатов для квази-классических черных дыр, полученных и другими способами, в частности, вычислением энтропии черных дыр. Отмотим, что петлевая квантовая гравитации с самого начала строится как непертурбативная теория.

В теории струн гравитационное взаимодействие не является самостоятельным, а входит составной частью в единое взаимодействие "всего со всем". Нам нет здесь нужды останавливаться на этом сколько-нибудь подробно. Отметим лишь, что в некоторых теориях струн появляются решения с горизонтами событий - они также называются черными дырами, хотя к реальным, классическим черным'дырам никакого отношения не имеют. Однако, в некоторых моделях удалось вычислить энтропию, связанную с такими горизонтами, путем прямого подсчета числа возможных возмущений в виде топологических ручек [99], и результат в точности совпал с классическим - энтропия равна одной четверти безразмерной площади горизонта, что, ксати, говорит об универсальности этого соотношения.

Помимо этих фундаментальных квантовых теорий гравтации, существуют и другие, расматривающие гравитацию как эффективное взаимодействие, возникающее в результате сложного переплетение других -фундаментальных - взаимодействий как на классическом уровне, так и на квантовом. Начало такого подхода было-положено работой А.Д.Сахарова [100], где было предложено считать гравитационное поле проявлением напряжений вакуумных флуктуаций других физических полей. Эффективный лагранжиан в этом случае возникает при перенормировании квантово-полевых расходимостей и содержит, помимо лагранжиана Эйнштейна-Гильберта, квадратичные и, вообще говоря, более высокие степени скаляра * кривизны. В дальнейшем идея А.Д.Сахарова получила название "индуцированная гравитация". В индуцированной гравитации широко используется метод континуального интеграла, особенно в эвклидовой области. Так, А.О.Барвинский и Г.Кунстаттер, исследуя модель индуцированной гравитации в теории скалярного поля, получили таким способом дискретный спектр масс для черной дыры Шварцшиль-да [101]. Мы не будем описывать здесь эффективные теории гравитации, связанные с новейшми исследованиями: термодинамическое представление уравнений Эйнштейна, голографический принцип в теори черных дыр, энтропийная сила и AdS-CFT-соответствие, поскольку все это не имеет прямого отношения к теме диссертации. Скажем лишь, что эквивалентность отдельных решений в общей теории относительности для черных дыр в пространстве-времени с отрицательным космологическим членом некоторым теориям поля в пространстве-времени > на единицу меньшей размерности даст, несомненно, множество интересных результатов как для теории квантовых черных дыр, так и для традиционных теорий поля.

В настоящей работе мы будем использовать каноническое квантование. Точнее, его урезанный вариант - мини-суперпространственное квантование. Последнее означает, что сначала мы наложим условия на симметрию рассматриваемых пространственно-временных многообразий, а затем будем производить процедуру квантования. Разумеется, получаемая таким способом картина далеко не полна; но опыт многочисленных исследователей показавает, что, тем не менее, удается ухватывать ряд существенных особенностей квантовых моделей, проливающих свет на принципиальные проблемы. Здесь мы имеем в виду проблему времени в квантовой геометродинамике и проблему сингулярностей. Проблема времени возникает вследствие тоо, что гамильтониан, будучи одним из уравнений связи в каноническом формализме общей теории относительности (АДМ-формализме), равен нулю, поэтому уравнение Уилера-ДеВитта, по определению, стационарно. При исследовании квантовых космологических моделей с высокой степенью симметрии, именно, однородных и изотропных космологии со скалярным полем в качестве источника (см., напр:, [102] [103], было показано, как появляется: глобальное космологическое время-и локальое время наблюдателя; Помимо этого, было обнаружено, что вселенная- может возникать "из ничего и что; начальной космологическоЙ1Сингулярности можно избежать. Это - качественные (а не количественные) результаты, и потому принципиально важные. Скаляров поле в качестве источника в случае: квантового гравитационного коллапса (в квази-классическом режиме) рассматривалось и в работе В:П.Фролова и Г.А.Вилковыского [104], где было показано^, что; есть возможность избежать сингулярности при нулевом радиусе. Кроме того, оказалось, что; через большое (космологическое) время коллапсирующее вещество может- вновь, появиться из-за горизонта событий: Полное гео-метродинамическое исследование пустого (вакуумного) сферически симметричного пространства-времени без космологического члена было проведено К.Кухажем [105]. В случае, когда это многообразие асимптотически плоское, он. нашел каноническое преобразование4 к новым, переменным? (т.н. шварцшильдованзатц),вжоторых все связи,разрешаются тривиально: Оказалось, что? мини-супер-пространство двумерно,^ а его координатами» являются шварцшильдова масса и сопряженный ей импульс. Фактически, это - квантовое обобщение теоремы Биркгоффа. (такой; же результат был получили Т. Тиманн. и М.А.Каструп [106];с использовани-г ем переменных Аштекара). Физически; результат тривиален, и причина этого-в том, что в классической общей теории?относительности нет сферически симметричных гравитационых волн (а также дипольных - все* начинается с квадруполя), и поэтому нет реальных поперечных гравитонов - ситуация, аналогичная кулоновскому полю в электродинамике;. По; существу, квантовать-то и нечего: Поэтому, чтобы получить физически важные резульаты для'квантовых черных дыр, необходимо ввести какойнибудь модельный источник. Тогда появится одна (или несколько, в зависимости от вида источника) реальная динамическая переменная, а соответствующее уравнение Уилера-ДеВитта превратится в уравнение типа уравнения Шредингера для волновой функции. При этом квантование пространства-времени осуществляется через квантование источника, для чего очень важно, чтобы задача решалась самосогласованно, с полным учетом обратного влияния материи источника на геометию пространства-времени:

Наш подход, проповедуемый в данной диссртации, заключается в построении точно решаемых моделей и детальном исследовании их свойств. Причина этой приверженности ясна: мы еще ничего толком не знаем о квантовых черных дырах, а точные решения вырабатывают у нас физическую интуицию, что помогает лучше понять гораздо более сложную и запутанную ситуацию. Важно подчеркнуть, что в общей теории относительности выражение "точно решаемые" имеет особый смысл. Решения уравнения поля должны быть самосогласованными, т.е., с полным учетом обратного влияния материальных источников' на метрику пространства-времени, поскольку это может существенным образом изменить глобальную геометрию многообразия. Последнее обстоятельство чрезвычайно важно в квантовой теории, так как оно оказывает влияние на граничные условия, накладываемые на волновую функции и приводит к наблюдаемым последствиям (например, расщепление энергетических уровней в задаче о потенциале с двумя ямами).

Уже говорилось о том, что источник тяготения вечной черной дыры Шварцшильда сосредоточен на прстранственно-подобных сингуляр-ностях в прошлом и будущем с нулевым значением радиуса. Это означает, что, по сути, источник существует лишь одно, начальное, мгновение в прошлом и одно,конечное, мгновение в будущем. Поэтому отсутсвуют динамические степери свободы, и квантовать, фактически, нечего. Следуя изложенной выше логике, мы, чтобы получить точно решаемую модель, выберем простейший вид источника. Таковым является сферически симметричная тонкая пылевидная оболочка (термин 11 пылевидная"означает, что натяжение материи, составляющей оболочку, равно нулю) Подобная оболочка есть простейшее обобщение точечной частицы. Так в модели появляется динамическая переменная - радиус оболочки. Общая теория тонких оболочек как источника гравитирующей материи в уравнениях Эйнштейна, была разработана В.Израэлем [107] и многократно применялась для исследования черных дыр [108] [109] и процессов космологичеа-ких фазовых переходов в ранней вселенной [144] . Использование тонких оболочек оказалось также решающим фактором в решении долго не поддававшейся задачи нахождения источника вращающейся черной» дыры Керра [111]. В последнее время стали очень популярными теории мембранных космологических моделей, в которых вся наша Вселенная - всего лишь тонкая оболочка в объемлющем пространстве-времени большего числа измерений [112] [113]. В отличие от теорий типа Калуцы-Клейнп, дополнительные измерения не компактифицируются искусственно, а глобальная геометрия тесно связана с локальной геометрией на тонкой оболочке (бране) [114]. Общий вывод таков: использование тонких оболочек, чрезвычайно упрощая проблему, тем не менее позволяет "ухватить" важные и существенные свойства изучаемого объекта

Нашей целью является построение моделей квантовых черных дыр и исследование их свойств, прежде всего - спектра масс. Квантовая теория, как известно, гораздо сложней и запутанней классической, не говоря уже о неоднозначности самой процедуры квантования. Поэтому, чем проще исходная классическая модель, тем легче будет понять природу тех или иных особенностей квантовых объектов. Исходя из этого, а также, чтобы обойти излишние математические трудности (именно излишние, потому что их и так оказалось множество), мы ограничились подробным исследованием самой простой из возможных оболочек, внутри которой нет других гравитирующих источников, т.е., внутри оболочки - плоское пространство-время Минковского, а снаружи - метрика Шварцшильда. Так как наша оболочка - пылевая, то ее поверхностый тензор-энергии-импульса зависит лишь от радиуса и голой массы оболочки (голая масса равна сумме масс пылинок), причем последняя является интегралом движения. Второй интеграл движения - полная масса (=энергия) всей системы. В специальной теории относительности (с ньютоновской гравитацией) соотношение между голой массой и энергией системы (^полной массой) определяет тип движения: оно инфинитное, если полная! масса больше голой, или финитное, если полная масса меньше голой. Это свойство сохраняется и в общей теории отосительности Но есть и нечто новое. Это новое связано со сложной причинной структурой многообразия Шварцшильда (в нашем случае - внешнего по отношению к оболочке, геометрия внутри - тривиальная). Дело в том, что при финитном движении точка поворота может находиться «как на "нашей", так и на "другой" стороне моста Эйнштейна-Розена. В первом случае мы будем (условно) называть оболочку - типа черной дыры, во втором - типа кротовой норы. Поскольку классическая черная дыра, по определению - ограниченная область пространства, то нас будет интересовать лишь финитное движение. В силу сферической симметрии и простейшей структуры тензора энергии-импульса динамика оболочки, фактически, определяется только одним уравнением - проинтегрированным вдоль внешней нормали к оболочке уравнением связи общей теории отосительности. В нем зашифрована и глобальная геометрия пространства-времени, т.е., тип оболочки, который, в конце концов, определяется соотношением полной и голой масс. Именно, если голая масса меньше удвоенной полной массы (=пол-ной энергии), то у нас оболочка типа черной дыры, в противном случае - это тип кротовой норы. Уравнение связи имеет сложный вид, содержащий квадратные корни. Чтобы решить его, от них нужно избавляться двойным квадрированием, но при этом исчезает информация о глобальной геометрии. Оказывается, ее можно восстановить. Для* этого нужно исследовать зависимость полной массы от голой массы при постоянном радиусе точки поворота. Если эта функция возрастающая, то оболочка - первого типа, если убывающая - то второго. Именно такого вида -качественное, а не количественное, условие, как выяснилось, можно распространить и на квантовый спектр масс.

Единственное оставшееся уравнение Израэля можно разрешить относительно полной массы (энергии). Полученное выражение ничем не отличается от аналогичного в специальной теории относительности для ньютоновского потенциала, если использовать собственное время на оболочке вместо привычного координатного. Поэтому появляется искушение забыть на время все сложности, связанные с действительной причинной структурой пространства-времени Шварцшильда, и заняться квантованием классической модели, описываемой именно этим (квадрирован ным) уравнением. Это получило название "наивное квантование". Идея состояла в том, чтобы рассматривать выражение для энергии как пред-гамильтониан, которой превращается в гамильтониан после замены радиуса и "быстроты"(производной радиуса по собственному времени) на канонические переменные - радиус и сопряженный ему импульс. Результатом этого превращения оказался гамильтониан с непривычной экспоненциальной зависимостью от импульса. Ясно, что это - плата за извлечение квадратного корня в известном гамильтониане для одномерного движения частицы в специальной теории отосительности. В квантовой механике такой квадратный корень становится нелокальным оператором, а попытка сделать его локальным привела П.А.М.Дирака к знаменитому спинорному уравнению для электрона. В нашем случае для введения в модель спиноров, разумеется, нет никаких физических оснований. Вместо этого появляется уравнение Шредингера в конечных разностях, т.е., нелокальное уравнение [115].

Уравнением можно было долго любоваться, но как к нему подступиться, как исследовать? Прежде всего, нужно проверить, воспроизводятся ли в нерелятивистском пределе известные результаты. Сделать это было несложно, потому что сдвиг аргумента в нашем конечно-разностном уравнении оказался, во-первых, чисто мнимым и, во-вторых, пропорциональным комптоновскому радиусу оболочки. В пределе малого сдвига можно функции от смещенного аогумента разложть в ряд Тэйлора по производным, и если ограничиться вторым порядком, то получается нерелятивистское уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом и формула Ридберга для энергий связанных состояний. Стало ясно, что и полное уравнение должно давать дискретный спектр масс (энергий) для связанных состояний. Но как его получить? В первой же, уже цитированной, работе [115] мы предположили, что, как и в нерелятивистком пределе, "правильная" волновая функция должна иметь вид произведения экспоненциально спадающего множителя на некоторый полином. В результате был, по сути, угадан дискретный спектр масс,в нерелятивистском пределе переходящий в формулу Ридберга. Позднее выяснилось, что такое же конечно-разностное уравнение, но для электрона в атоме водорода, было получено более, чем двадцаться годами ранее В.Г.Кадышевским и Р.Мир-Касимовым [116], которые руководствовались совсем иными соображениями, и они также "угадали" спектр. Интересно отметить, что этот же спектр был получен Л.Хорвицем и А.Аршанским [117] примерно в то же время, что и нами, но они строили теорию пятимерного электрона, следуя идее Г.Вейля о пятом измерении - собственном времени, и использовали мощный аппарат теории групп.

Разумеется, встал вопрос о единствености множества предложенных нами "правильных" решений. Был разработан метод вычисления асимптотических решений вблизи особых точек - обобщение матричного метода для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений конечного порядка на уравнения в конечных разностях. Оказалось, что обычный способ получения дискретных спектров путем наложения нужных граничных условий на волновую функцию здесь не годится. Необходимо было найти нечто более сильно действующее. Правильным оказалось требование аналитичности решений. Это тебование вполне естественное, поскольку сдвиг аргумента волновой функции в нашем уравнении - вдоль мнимой оси. Далее, нужно сравнить порядок ветвления асимптотических решений в особых точках (в нашем случае - в нуле и на бесконечности). Условие аналитичности означает, что количество листов соответствующей римановой поверхности в особых точках должно быть одним и тем же, для этого необходимо, чтобы порядок ветвления в них различался» на целое число. Так в теории нашего уравнения появляется главное квантовое число [118]. Полученный таким способом спектр совпал с ранее угаданным. Позднее был разработан оригинальный метод для получения точных решений, который может быть, в принципе, обобщен и на другие линейные конечно-разностные уравнения [119]. Удалось доказать, что в конкретном случае нашего уравнния с кулоновским потенциалом существует только одно решение, названное супер-фундаменталльным, из которого получаются все остальные. Это решение, помимо экспоненциального множителя и степенной функции, содержит гипергеометрическую функцию Гаусса, аргумент которой равен параметру нашего уравнения, а один из параметров - аргумент уравнения (радиус). При этом конечно-разностное уравнение становится следствием одного из рекуррентных соотношений для гипергеометрической функции. "Правильные" же решения, действительно, свелись к найденным ранее полиномам и давали наш спектр.

Хорошо известно, что гамильтониан классической теории и, следовательно, квантовое уравнение, зависят от выбора временной координаты. А что случится, если использовать координатное время вместо собственного? Нам удалось найти каноническое преобразование, позволяющее перейти "напрямую" от стандартного гамильтониана частицы в специальной теории относительности, содержащего квадратный корень, к неполиномиальному по импульсам гамильтониану. В квантовой теории снова получилось уравнение Шредингера в конечных разностях, но уже другое. Тем не менее, его удалось исследовать теми же методами и получить^ дискретный спектр [120]. Оказалось, что это хорошо известный спектр Зоммерфельда, полученный также в работе [121] с использованием дважды квадрированного уравнения Израэля и квантового уравнения Клейна-Гордона. Этот спектр во многом, хотя и не во всем, схож с нашим.

Полученный нами спектр, как и спектр Зоммерфельда для оболочки, отличается от привычных дискретных спектров. Дело в том, что они, помимо главного квантового числа, зависят еще от непрерывного параметра. - голой массы. Голая масса здесь играет двоякую роль: одновременно и заданной массы электрона, и квантованного электрического заряда. Зависимость полной массы от голой при фиксированном главном квантовом числе (заменяющим фиксированную точку поворота для классических оболочек) имеет две ветви: возрастающую и убывающую. Возрастающая ветвь, естественно, соответствует стационарным связанным состояниям оболочек, которые вовсе не коллапсируют. Убывающая ветвь, как и в классической теории, описывает состояния оболочек типа кротовой норы. Где же здесь место для квантовой черной дыры? Мы предположили, что квантовым черным дырам соответствуют максимумы этих кривых (для разных значений квантового числа). В этом случаве воспроизводится спектр квантовых чреных дыр, предсказанный Бекенштейном. Коэффициенты, получающиеся из нашего спектра и из спектра Зоммерфель-да, различны, но очень близки. Важной особенностью является существование минимальной массы для квнтовой черной дыры, близкой по величине к массе Планка. Возможно, это простейшая модель максимо-нов М.А.Маркова [41] [122]. Мы уже говорили о том, насколько важен в квантовой теории учет глобальной геометрии пространства-времени. Этого можно, в принципе, достичь, проделав всю процедуру заново, стартуя с оригинального уравнения Израэля (а не с квадрированной его версии) [123]. Однако, есть в таком подходе один изъян. При восстановлении лагранжиана и, следовательно, гамильтониана в результате интегрирования возникает неопределенность в виде произвольной функции от радиуса. Это не влияет на классические уравнения движения, но меняет квантовую картину из-за некоммутитивности радиуса и сопряженого ему импульса. Поэтому метод хорош,когда исходный лагранжиан неизвестен. Но в нашем случае мы знаем и лагранжиан Эйнштейна-Гильберта, и канонический гамильтониан, и тензор энергии-импульса оболочки и имеем возможность построить классический канонический формализм (АДМ) для сферически симметричного пространства-времени с оболочкой в качестве источника гравитационного поля.Что и было проделано в совместной работе с А.Боярским и А.Нероновым [124]. Длительные усилия привели, в конце концов, к уравнению Шредингера в конечных разностях, совпадающего с полученным в работе [123] при специальном выборе произвольной функции радиуса. Вся информация о сложной причинной структуре пространства-времени Шварцшильда оказалась зашифрованной в квадратном корне из инвариантной функции 1 — Щр1 (уже встречав-, шейся выше) , положительною в асимптотически плоских областях по обе стороны, моста Эйнштейна-Розена вне горизота событий и отрицательной в областях необратимого расширения и; сжатия?под горизонтом. Расшифровка состояла в аналитическом: продолжении квадратного корня в комплексную плоскость (Р со следующими правилами5 обхода точки ветвления на горизотах: (Р)1/2 = л/^Р на "нашей" стороне и (^1)1//2;= —\/Р\\и "другой!1 стороне моста Эйнштейна-Розена, (Р)1/2 = в области необратимого'сжатия; и ^ )ч" = —г в области необратимого расширения. Такой,! выбор - для оболочек типа черной дыры, а для оболочек типа кротовой» норы обход: нужно* производить, в обратном направлении. Эта идея позволила получить единое уравнение для всех четырех областей1 пространства-времени Шварцшильда и тем самым обеспечить покрытие единой волновой функцией геодезически полного многообразия. Кроме того, исследование нерелятивистского < предела и одновременно ¡ предела больших, по сравнению с планковскими, масс, показало, что волновая функция спадает экспоненциально на "нашей" стороне моста Эйнштейна-Розена, дает сходящуюся волну в области необратимого сжатия и расходящуюся- в области необратимого расширения; и гауссово (т.е., гораздо более быстрое,- чем просто экспоненциальное) спадание на "другой" стороне моста- Эйнштейна-Розена. Именно такое поведение волновой функции и следовало ожидать в, "хорошей" физической модели;

Исследование асимптотик решений вблизи особых точек уравнения: в нуле, точках ветления на горизинтах и на обеих бескорнечностях, подтвердило все эти свойства и позволило подробно изучить, поведение волновых функций вблизи горизонта (где уже не действует квазиклассическое приближение), показавшее, что, помимо сходящейся волны, в области сжатия есть и расходящаяся волна, но ее амплитуда сильно подавлена. Это подсказывает, как именно в нашей модели возможно формирование излучения Хокинга. Строгое рассмотрение квази-классической волновой функции для безмассовой (световой) оболочки с полным учетом обратного влияния источника на метрику пространства-времени и подбарьерного туннелирования в области между двумя горизонтами показало, что, действительно, требования аналитичности и однозначности приводят к появлению выходящего излучения. Более того, интерпретация квадрата отношения амплитуд входящего и выходящего излучения как распределения Гиббса позволило вычислить температуру, которая совпала с температурой Хокинга [125] Как и в модели "наивного квантования", сравнение аналитического поведение асимптотик в особых точках приводит к появлению в теории целых чисел и дискретному спектру масс. Но теперь у нас есть две бесконечности с различными асимптотиками, и квантовая оболочка, в отличие от классической, "чувствует" обе, поэтому мы получаем два квантовых условия и два квантовых числа вместо одного в обычной, квантовой механике. Второе квантовое число - новое явление, и оно должно иметь серьезные последствия.

Одним из этих последствий является квантование излучения коллап-сирующих оболочек (и, в конечном счете, квантование излучения черных дыр). Дело в том, что; хотя в этом случае главное квантовое число отсутствует, есть новое, второе квантовое число. Мы получили спектр излучения сферически симметричных волн. Оказалось, что объекты с массой, примерно равной планковской, вовсе не могут излучать, что говорит в пользу существования минимальной массы квантовой черной дыры [126] [127].

Другое, гораздо более важное и интересное следствие - это изменение нашего взгляда на динамику квантового гравитационного коллапса. Чтобы понять, в чем тут дело, вспомним, какими параметрами описывается наша полная модель (пылевая сферически симметричная оболочка плюс, обязательно различные, метрики Шварцшильда внутри и снаружи). Это голая масса оболочки М, шварцшильдовы массы внутри, тгп, и снаружи, тои!. Два квантовых условия с двумя (целыми) квантовыми числами дают нам два соотношения для трех параметров, которые можно записать в виде: тои1 = т^Дш^, п, р), М = М(ггцп,п,р). Отсюда следует, что, при фиксированной внутренней массе тгп, задание стационарного > квантового состояния квантовыми числами пир полностью определяет не только полную массу тоиг, что вполне естественно, но и голую массу М. Это означает, что для данной оболочки (с данной голой массой) стационарное состояие устанавливается за счет излучения не только наружу, на бесконечность, но и вовнутрь, изменяя внутреннюю массу тгп. Поэтому квантовый сферически симметричный коллапс, в отличие от классического, идет с излучением. Ясно, что подобный процесс млжет проходить множеством различных способов. И в этом источник появления энтропии образующейся в конечном счете черной дыры.

По мнению Козьмы Пруткова, есть только три дела, которые, единожды начав, невозможно закончить: это вкушать вкусный обед, разговаривать с другом, вернувшимся из дальних странствий, и чесать, где чешется. Очевидно, гравитационный коллапс в их число не входит. Так как же можно его остановить? Предыдущий опыт "наивного квантования" дает нам подсказку - это переход от одного типа оболочки к другому, т.е., образование полузамкнутого мира. Дело в том, что переход через мост Эйнштейна-Розена, категорически запрещенный в классической теории, но вполне, казалось бы, возможный в квантовом мире, означает "включение" бесконечного объема, вероятность чего, по крайней мере в квази-классичпеском режиме, равна нулю. Мы с М.Охрименко провели компьютерное моделирование квантового гравитационного коллапса с учетом дискретного спекта излучения и обнаружили, что процесс идет с уменьшением главного квантового числа п и останавливается, когда оно в точности равно нулю.

Точка п = 0 в нашем дискретном спектре - совершенно особенная. В этом состоянии оболочка не "чувствует" ни то, что творится снаружи, ни то, что - внутри. Она "чувствует" только самое себя, и это сильно на-помиает основное свойство классических черных дыр: "черная дыры не имет волос". При этом голая масса М и ее полная масса Ат = т^ — связаны жестким соотношением М = л/2 Ат. Мы назвали такое состояние "беспамятством". О гсюда только один шаг до определения (в нашей оболочечной модели) квантовой черной дыры: это множество оболочек, каждая из которых, и исходная, и рожденные в процессе квантового коллапса, находятся в своем собственном состоянии "беспамятства". Другими словами, квантовая черная дыра - это "Иван, родства не помнящий".

Предположим теперь, что квантовая черная дыра имеет массу настолько большую, что число "ново-рожденных" оболочек намного превышает единицу. Такая черная дыра уже может считаться квази-классической, а квадрат волновой функции можно итерпретировать как плотность числа частиц или плотность массы (энергии), в зависимости от нормировки. Возникла идея построить классическую модель - аналог квантовой (точнее, квази-классической) черной дыры. Для чего? Поначалу цель была очень скромной. Дело в том, что само понятие классической черной дыры - глобальное, для определения горизонта событий необходимо знать всю историю, и прошлую, и будущую. Термодинамика черных дыр, а это уже квази-классика - тоже глобальная, так как без горизонта температура в пустом пространстве появиться не может. Поэтому хотелось иметь классическую модель, напоминающую реальую черную дыру, но локальную, которую гораздо гфоще исследовать и* понять, какие именно свойства нашей оболочечной модели! квантовой- черной дыры являются, на самом» деле, общими, а какие лишь артефактом; сделанных упрощений:

Каким должно; быть такое рапределение материи? Во-первьтх, оно должно быть сферически симметричным,, т.к. невращаютпаяся черная; дыра именно такова. Во-вторых, оно должна- быть- статичным; т.к. наши квантовые волновые функции стационарны. В третьих, должны быть выполнены уравнения^¡Эйнштейна: 'Дляюбеспеченияестатичности; необходимо ввести ■ некое эффективное давление: Мы предположим также; что это давление -изотропно» (т.е., паскалево). В результате получается; идеальная;, жидкость. Чтобы такое распределение не разлеталось, на границе с внешним решением Шварцшильда, нужно расположить, тонкую' оболочку с нулевой поверхностной плотностью;энергии; и - ненулевым натяжением, имитирующим?поверхностое натяжение в: реальной жидкости: Конечно, таких рапределений великое множество. Как выделить- именно аналоги квантовых, черных дыр? Тут нам на помощь приходит условие "беспамятства", 'которым обладает, наша; квантовая модель,на конечной! стадии» гравитационного; коллапса. Его только остается, "перевести" на язык; непрерывного распределения: Структура уравнений ¡Эйнштейна для статических сферически симметричных;многообразий подсказала ответ: полная' масса '(энергия) внутри; каждой: сферы должна быть пропорциональна радиусу этой сферы. Иг этого оказалось достаточно для решения всей системы нелинейных дифференциальных- уравнений [175]; Семейство решений обладает следующими свойствами. И плотность энергии, и давление обратно пропорциональны квадрату радиуса; но с различными коэффициентами, зависящими от одного-параметра, радиаль-, ная компонента метрического тензора - константа, тогда; как временная; пропорциональна радиусу в некоторой степери, зависящей от того же параметра. Вторым параметром является величина граничного радиуса, на котором* происходит сшивка внутреннего и внешнего решений: Из условия/ сшивки определяются и полная шварцильдовская масса, и коэффициент пропорциональности во временной компоненте метрики. Но это еще не искомый аналог квантовой черной дыры, т.к. необходимо как-то выделить особое одно-параметрическое семейство. Для этого следует обратить.внимание на поведение решений при стремлении радиуса к нулю. Оно явно сингулярно: плотности энергии и« давления стремятся к^. бесконечности, а временная компонента метрического тензора - к нулю. Но, возможно, это координатная сингулярность, поскольку особенность в плотности энергии интегрируема - масса внутри сферы уменьшающегося радиуса стремится к нулю, сила, действующая на поверхность сферы и равная произведению давления на площадь, всегда конечна, а сингулярность в метрическом тензоре может оказаться типа сингулярности4 Шварцшильда на горизонте событий. Чтобы во всем разобраться, нужно вычислить тензор кривизны Римана. Оказалось, что этот тензор, вообще говоря, расходится в нуле; кроме одного случая, когда коэффициенты в распределениях плотности энергии и давления'равны. Это - полностью определяет внутреннее решение, которое становится универсальным с наиболее жестким уравнением состояния, когда скорость звука равна скорости света. Более того, соотношение между полной* и голой массами совпадает с тем, что было у нас для оболочек в состоянии "беспамятства".

Итак, нам удалось естественным образом получить одно-параметрическое семейство решений. Но это еще не все. Оказалось, что двумерное пространство-время (при фиксированных сферических углах) внутри^нашего универсального распределения не что иное как пространство-время, Риндлера. Оно локально плоское, имеет горизонт событий, находящийся на нулевом радиусе, и обладает температурой. Поистине подарок судьбы!

Но эта температура (температура Унру) оказалась вдвое меньше температуры Хокннга. Мы построили локальную термодинамику нашей модели. В предположении, что энтропия системы равна энтропии черной дыры Шварцшильда той же массы, их свободные энергии совпали. Стало ясно, что половинная температура Хокинга не случайна, т.е., не является следствием неправильной постановки задачи. Это разногласие в "показаниях термометра" удалось уладить следующим образом. Рассмотрим процесс излучения (имеющего, естественно, квантовую приироду - классически наша система не излучает) сферических "фотонов". Пусть при этом в энергию излучения превращается слой вещества определенной толщины. Энергия, переходящая в "фотоны", равна полной энергии (массе) этого слоя плюс работа сил поверхностного натяжения в результате его смещения. Расчеты показывают, что эта работа численно равна энергии слоя. Следовательно, энергия "фотонного слоя", а, значит, и его температура, ровно вдвое больше, чем полная энергия исчезнувшего слоя. Поскольку "фотоны" термализованы, эта лишняя энергия гасится по пути в бесконечность. Не вдаваясь здесь в подробности, отметим, что этот же процесс необходим и для "примирени" еще одного противоречия - между желаемым значением log 2 для кванта энтропии и "зловещим" коэффициентом log 3 в действительной части комплексных квази-нормальных частот. Получается, "и волки сыты, и овцы целы".

Целью настоящей диссертации является построение и детальное изучение моделей квантовых черных дыр. Актуальность выбранной темы исследований была обусловлена всем предыдущим развитием физики черных дыр, о чем подробно сказано выше. Следует подчеркнуть, что все полученные результаты являются совершенно новыми, а опубликованные работы - пионерскими.

Диссертация состоит из Введения, пяти Глав и Заключения.

Заключение

В заключение перечислим основные результаты, полученные в диссертации. /'

Глава 3.

1. Произведено квантование конкретной модели самогравитирующей сферически симметричной пылевой оболочки, основанное на классическом пред-гамильтониане, т.е., выражении для полной энергии системы ка функции радиуса оболочки и его производной по собственному времени. В результате для волновой функции получено: стационарное уравнение в конечных разностях со сдвигом аргумента вдоль мнимой оси.

2. Разработан метод получения асимптотических решений в особых точках линейных уравнений в конечных разностях.

3. Сформулирован критерий, которому должны удовлетворять решения уравнений подобного типа: решения должны быть однозначными аналитическими функциями на римановой поверхности, количество листов которой и положение разрезов определяется видом асимптотик. Показано, что обычный критерий отбора подходящих решений путем наложения граничных условий не позволяет получить дискретный- спектр для связанных состояний.

4. С использованием данного критерия получен дискретный спектр масс (энергий) для связанных состояний самогравитирующих сферически симметричных пылевых оболочек - релятивистское обобщение формулы Ридберга для атома водорода.

5. Получено общее решение волнового уравнения в конечных разностях с кулоновским потенциалом. При этом использован оригинальный метод преобразования обратного интеграла Фурье для перехода из -импульсного представление в координатное в интеграл по; конечному разрезу- в комплексной плоскости импульсов. Исходное же уравнение, после ряда> преобразований; сводится, по существу, к одному из рекуррентных соотношений для гипергеометрической функции Гаусса.

6. Показано, что * для данного уравнения существует только одно супер-фундаментальное решение, из которого строится общее решение. Изучение его аналитических свойств и использование вышеупомянутого критерия отбора приводит к дискретному спектру,. который совпадает с полученным ранее при исследовании асимптотик. При этом гипергеометрический ряд обрывается; и возникают новые, неизученные ранее, полиномы^. :

7. Для этих новых полиномов: найдена производящая функция.

8. Вычислена. волновая функция основного состояния^ удовлетворяющая в, нуле бесконечному ряду граничных условий, необходимых: для эрмитовости гамильтониана1 на действительной полуоси.

9. Детально изучен полученный спектр.: Его особенности позволили выделить состояния, соответствующие квантовым- черным'дырам. Все другие состояния описывают или не коллапсирующие оболочки (аналогично г электрону в: атоме водорода), или же полузамкнутому миру. В предельном случе нулевой; полной массы получен дискретный спектр значений: голой массы оболочки, образующий замкнутый мир.

10. Показано, что спектр масс для (в общем случае) заряженной сферически, симметричной черной дыры согласуется с существованием излучения Хокинга.

11. Расмотрена релятивистская задача Кеплера. Найдено каноническое преобразование, позволяющее извлечь квадратный корень, появляющийся в лоренц-факторе, без квадрирования исходного уравнения или введения спиноров. Проведено квантование такой модели и получено релятивистское уравнение Шредингера в конечных разностях.

12. Показано, что это квантовое уравнение может быть исследовано методами, предложенными ранее. В результате получен дискретный спектр для связанных состояний. Он оказался аналогичным известному спектру Зоммерфельда для уравнения Клейна-Гордона.

13. Для данного уравнения получен и исследован спектр масс квантовых черных дыр.

Глава 4.

1. Построена классическая геометродинамика (формализм Арновитта-Дезера-Мизнера) для сферически симметричной гравитации, источником которой служит тонкая пылевая самогравитирующая оболочка.

2. Найдено каноническое преобразование (аналогичное преобразованию Кухажа для вечной черной дыры), которое позволяет чрезвычайно упростить уравнение связи и разрешить их, оставив только два: для импульсной и гамильтоновой связей на оболочке.

3. Получен явный вид гамильтоновой связи на оболочке для Я—области. В общем случае потенциальная часть содержи две точки ветвления, соответствующие горизонтам внутренней и внешней метрик Шварцшильда.

4. Реализована идея аналитического продолжения ветвящихся функций и заданы правила обхода точек ветвления. Это позволяет использовать единый гамильтониан в геодезически полном пространстве-времени Шварцшильда.

5. Произведена процедура квантования и получено стационарное конечно-разностное уравнение Шредингера для,волновой функции, покрывающей все многообразие Шварцшильда и тем самым учитывающей его сложную причинную структуру.

6. Подробно исследован случай больших черных дыр (масса гораздо больше массы Планка). В этом случае в теории появляется малый безразмерный параметр, и предел больших масс одновременно означает переход- к квази-классическому режиму, когда вместо конечно-разностного уравнения можно ограничиться дифференциальным уравнением второго порядка. Матричным методом вычислены асимптотики решений в особых точках уравнения- в нуле, на обеих бесконечностях и точках ветвления.

7. Для простоты рассмотрен случай, когда внутри оболочки нет других источников полей тяготения. Показано, что для оболочек типа черной дыры волновая функция для связанных состояний на "нашей стороне" моста Эйнштейна-Розена имеет экспоненциальное спадание, а на другой стороне - гораздо более быстрое, гауссово, спадание. В Т-области (неизбежное сжатие) лидирующей является падающая сходящаяся волны, а в Т+-области - расходящаяся, чо подтверждает правильность выбора обхода точек ветвления.

8. Требование аналитичности решений на подходящей римановой поверхности и сравнение поведения асимптотик на обеих бесконечностях и в точках ветвления позволило получить дискретный спектр для связанных состояний, зависящий от двух квантовых чисел. Появление второго квантового числа не имеет аналога в обычной квантовой механике и является следствием существования второй бесконечности, которую обязательно "чувствует" квантовая оболочка.

9. Получено и исследовано квантовое уравнение для расширяющейся световой (изотропной) оболочки, моделирующей излучение из черной дыры или же из полузамкнутого мира.(непроходимой кротовой норы). В этом случае отсутствует главное квантовое число, но второе, новое, остается.

10. Найден дискретный спектр излучения. Оказывается, энергия излучаемых квантов не совпадает с разностью энергетических уравнений источника. Показано, что черная дыра или кротовая нора с массой, меньшей, примерно, планковской, не может излучать, т.е., существует нижний предел массы для испарения черных дыр.

11. Исследована квази-классическая волновая функция как решения первоначального, полного уравнения в конечных разностях для световой оболочки. Показано, что требование его аналитичности и однозначности на римановой поверхности, учитывающей все точки ветвления, приводит к тому, что под горизонтом событий черной дыры, помимо подающей (сходящейся) волны, существует и выходящая (расширяющаяся), но амплитуда последней экспоненциально подавлена. г

12. Показано, что при некоторых, физически приемлемых, предположениях, снаружи черной дыры появляется поток- излучение. Применение распределения Гиббса позволило вычислить температуру этого излучения, которая совпала с температурой Хокинга.

13. Матричным методом' исследованы асимптотики полного конечно-разностного уравнения Шредингера для массивной оболочки. Показано, что, вследствие двойного вырождение собственных значений главной матрицы, уравнения для бесконечных матриц сводятся к бесконечной системе уравнений второго порядка. Найден дискретный спектр для связанных состояний, который в точности совпадает с полученным ранее из приближенного уравнения. Таким обраг зом, спектр един как для больших, так и для малых черных дыр.

14. В рамках модели с тонкой оболочкой изучен процесс квантового сферически симметричного гравитационного коллапса. Показано, что, в отличие от классического, он обязательно идет с излучением и рождением вещества внутри первоначальной оболочки. Поскольку такой процесс может идти различными неконтролируемыми путями, то он сам является источником энтропии результирующей квантовой черной дыры.

15. С помощью компьютерного моделирования и качественным исследованием спектра показано, что процесс квантового коллапса останавливается в особой точке спектра, когда главное квантовое число равно нулю. В этом состоянии оболочка не чувствует ни внешней, ни внутренней массы, она чувствует только самое себя. Это состояние названо состоянием "беспамятства", оно напоминает главное свойство классической черной дыры - отсутствие "волос". Сформулировано определение квантовой черной дыры как набора оболочек (в нашей модели), каждая из которых находится в состоянии "беспамятства".

Глава 5.

1. Предложено исследовать свойства больших квантовых черных дыр (= квази-классических) на классических моделях, которые получили название "классические аналоги квантовых черных дыр". С этой целью сформулировано свойство "беспамятства" на языке непрерывных распределений материи.

2. Построена конкретная сферически симметричная модель самогра-витирующей идеальной жидкости, обладающей свойством "беспамятства" и удовлетворяющей уравнениям Эйнштейна. Оказалось, что плотность энергии (массы) и давления подчиняются закону обратных квадратов. Условие отсутствия сингулярности в тензоре кривизны Римана выделяет одно-параметрическое семейство решений с универсальным численным коэффициентом в распределении материи и предельно жестким уравнением состояния.

3. Единственным параметром модели является полная масса, пропорциональная граничному значению радиуса. При этом граничный радиус вдвое больше радиуса Шварцшильда классической черной дыры той же массы. Оказалось, что двумерное сечение (при фиксированных сферических углах) есть не что иное как пространство-время Риндлера. Т.е., у нашей аналоговой модели есть температура, причем все статические наблюдатели внутри распределения материи находятся в тепловом равновесии друг с другом. Эта температура вдвое ниже температуры Хокинга.

4. Построена термодинамика этой модели. Вычислены все термодинамические потенциалы. Энтропия системы автоматически' квантуется (дискретный эквидистантный спектр). Вычислена функция распределения при простых физических предположениях о спектре элементарных возбуждений и найдено соотношение между фундаментальной частотой возбуждений, температурой и полной энтропией.

5. Исследована энергетика процесса квантового излучения. Показано, что учет работы сил поверхностного натяжения приводит к удвоению температуры излучения (до температуры Хокинга). Кроме того, пропорциональность частоты элементарных возбуждений температуре с коэффициентом к^З, диктуемый свойствами классических квази-нормальных мод, приводит к тому, что квант энтропии равен к^2, что желательно с точки зрения теории информации.

1. J.Michell. Phylosophycal Transactions of the Royal Society, 74 (1784) 35

2. P.-S.Laplace. Le Systeme du Monde. Vol.11, Paris (1799)

3. A.Einstein. Annalen der Physik, 17 (1905) 891-925

4. A.Einstein. Annalen der Physik, 17 (1905) 132-148

5. A.Einstein. Annalen der Physik, 20 (1906) 199-206

6. A.Einstein. Annalen der Physik, 18 (1905) 639-641

7. A.Einstein. Annalen der Physik, 23 (1907) 371-384

8. K.Schwarzschild. Sitzber Deut.Akad. Wiss. Berlin, Kl.Math.-Phys. Thech. (1916) 189 Английский перевод: physics.hist.-ph/9905030

9. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. "Теория поляМ., Гостехиздат, 1948 г.

10. Landau L.D. Phys.Zs.Sowjetunion, 1 (1932) 285

11. Chandrasekhar S. Astrophys.Journ., 72 (1931) 81

12. Oppengeimer J.R., Snyder M. Phys.Rev., 56 (1939) 455

13. Rhoades C., Ruffini R. Phys.Rev.Lett., 32 (1974) 324

14. Birkhoff G.D. Relativity and Modern Physics, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1923

15. Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.А.Уилер. Гравитация, изд."МирМ., 1977

16. American Scholar, 37 (1968)

17. American Scientist, 56 (1968)

18. Eddington A.S. Nature, 113 (1924) 192

19. Lemaitre G. Ann.Soc.Sci.Bruxelles, A53 (1933) 51

20. Finkelstein D. Phys.Rev., 110 (1958) 965

21. Singe J.L. Proc.Roy.Irish Acad., A53 (1950) 83

22. Fronsdal C. Phys.Rev., 116 (1959) 778

23. Kruskal M.D. Phys.Rev., 119 (1960) 1743

24. Szekeres Z. Publ.Mat.Demrecen, 7 (1960) 825

25. И.Д.Новиков. Кандидатскаия диссертация, ГАИШ, M., 1963

26. Singe G.L. Relativity: The General Theory, North-Holland, Amsterdam Русский перевод: Синг Дж. ОЛбщая теория относительности., ИЛ, М., 1963

27. Е.М.Лифшиц. ЖЭТФ, 16 (1946) 587

28. Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков. Строение и эволюция вселенной, изд-во "Наука 1975

29. Д.А.Киржниц Письма в ЖЭТФ 15 (1972) 145

30. D.A.Kirzhnitz, A.D.Linde Phys.Lett. 42В (1972) 214

31. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev Phys.Lett. B120 (1983) 91-96

32. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev Phys.Rev. D36 (1987) 29192944

33. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev Phys.Lett. B207 (1988) 396-403

34. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev IJMP 5 (1990) 4639-4659

35. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev Phys.Rev. D43 (1991) R3112-R3116

36. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev Black holes and vacuum phase transitions in: "Moscow 1991, Proceedings, Sakharov memorial lectures in physics, vol.2"(1991) 1095-1103

37. А.М.Черепащук. Поиски черных дыр, УФН (2003) 173

38. Wheeler J.A. "Neutrino, gravitation and geometry Rend.Scola Intern. Fis."Enrico Fermi 1960

39. Я.Б.Зельдович. ЖЭТФ, 42 (1962) 641

40. Markov M.A. Progr.Theor.Phys., Suppl.Extra Number (1965) 85

41. М.А.Марков. ЖЭТФ, 51 (1966) 878

42. Hawking S.W., Ellis G.F.R. The Large Structure of Space-time, Cambridge Univ.Press, Cambridge, England, 1973

43. Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков. Релятивистская астрофизика, М." Наука 1967

44. Einstein A., Rosen N. Phys.Rev., 48 (1935) 73

45. Morris M.S., Thorne K.S. Amer.Joun.Phys., 56 (1988) 395

46. Klein O. Werner Heisenberg und die Physik unserer zeit. Braunschweig: Vei weg, 1961

47. М.А.Марков, В.П.Фролов. ТМФ, 3 (1970) 3

48. М.А.Марков. Препринт/ОИЯИ; Р2-5289, Дубна, 1970

49. М.А.Марков. Теоретико-групповые методы в физике. М.,"наука"(1986) 7

50. А.Д.Линде. Письма в ЖЭТФ, 38 (1983) 149

51. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev. Sov.Phys.JETP 66 (1987) 654658

52. V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev. Phys.Lett. B210 (1988) 64-67

53. Reissner H. Ann.Phys.(Germany), 50 (1916) 106.

54. Nordstrom G. Proc.Kon.Ned.Akad.Wet. 20 (1918) 1238

55. Kerr R.P. Phys.Rev.Lett., 11 (1863) 237

56. Newman E.T., Couch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A.,m Torrence R. Journ.Math.Phys., 6 (1965) 918

57. Israel W. Phys.Rev., 164 (1967) 17761.rael W. Commun.Math.Phys., 8 (1968) 145

58. Carter B. Phys.Rev.Lett., 26 (1970) 331

59. B.A.BepesHH, M.A.MapKOB. TM® 12 (1972) 153

60. Born M., Infeld L. Proc.Roy. Soc., A144 (1934) 425

61. Graves J.C., Brill D.R. Phys.Rev., 120 (1960) 1507

62. Penrose R. Nuovo Cimento, 1 (1969) 252

63. D. Cristodoulou. Phys. Rev. Lett. 25 (1970) 1596.

64. D.Cristodoulou, R.Ruffini. Phys. Rev. D4 (1971) 3552.

65. Hawking S.W. Phys.Rev.Lett., 26 (1971) 1344

66. Hawking S.W. Commun.Math.Phys., 25 (1972) 152

67. Maartens R., Ragame K.Living Reviews i Relativity, Irr-2010-5

68. Emparan R., Reall H.S. Living Reviews in Relativity, Irr-2008-6

69. Frolov V.P. arXiv: gr-qc/l-l-.1792

70. Strominger A., VafaC/ Phys.Lett. B379 (1996) 99

71. Strominger A. JHEP (1998) 9802009, arXiv: hep-th/9712251

72. Rovelli C. Living Reviews in Relativity, Irr-2008-5

73. Ashtekar A., Baez J., Krasnov K. Adv.Theor.Math.Phys., 4 (200) 1-91

74. Ashtekar A., Lewandowski Class.Quant.Grav., 21 (2004) R53-R152

75. Thiemann T. arXiv: hep-th/0608210, gr-qc/1010/2426

76. R. Ruffini, J.A. Wheeler. Physics Today 24 (1971) 30.

77. T.Regge, J.A.Wheeler. Phys. Rev. 108 (1957) 1036.

78. S.Chandrasekhar. The Mathematical Theory of Black Holes, Oxford

79. University Press, New York, 1983.

80. W.H.Press. Astrophys. J. 170 (1971) L105.

81. J.D.Bekenstein. Lett. Nuovo Cim. 4 (1972) 737; Phys. Rev. D7 (1973) 2333, D9 (1974) 3292.

82. J.M.Bardeen, B.Carter, S.W.Hawking. Commun. Math. Phys. 31 (1973) 161.

83. S.W.Hawking. Nature 248 (1974) 30; Commun. Math. Phys. 43 (1975) 199.

84. J.D. Bekenstein. Lett. Nuovo Cim. 11 (1974) 467.

85. J.D.Bekenstein. Phys. Rev. D7 (1973) 2333.

86. T.Damour, R.Ruffini. Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 463.

87. J.D.Bekenstein, V.F.Mukhanov. Phys. Lett. B360 (1995) 7.

88. A.Ashtekar, J.Baez, A.Corichi, K. Krasnov. Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 904.

89. A.Ashtekar, J.Baez, K. Krasnov. Adv. Theor. Math. Phys. 4 (2000) 1.

90. S.Hod. Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 4293.

91. L.Motl. arXiv:gr-qc/0212096].

92. L.Motl, A.Neitzke. Adv. Theor. Math. Phys. 7 (2003) 307.

93. R.Schiappa. arXiv:hep-th/0411267].

94. S.W.Hawking, R.Penrose Proc.Roy.Soc.London A314 (1969) 529

95. B.S.DeWitt Phys.Rev. 160 (1967) 1113, 162 (1967) 1196, 1239

96. G.W.Gibbons, S.W.Hawking Phys.Rev.D15 (1976) 2752

97. G.Immirzi Nucl.Phys.Proc.Suppl. 57 (1997) 65

98. G.Horowitz, D.A.Lowe, J.M.Maldacena Phys.Rev.Lett. 77 (1996) 430

99. A.^-CaxapoB £AH 177 (1967) 70

100. A.O.Barvinsky, S.Das, G.Kunstatter Class.Quant.Grav. 18 (2001) 4845

101. V.A.Rubakov Phys.Lett. B148 (1984) 290

102. A.Vilenkin Phys.Rev. D37 (1988) 888

103. V.P.Frolov, G.A.Vilkovisky Phys.Lett. B106 (1981) 307

104. K.Kuchar Phys.Rev.D50 (1994) 3961

105. T.Thiemann, H.A.Kastrup Nucl.Phys. B399 (1993) 211

106. W.Israel. Nuovo Cim. B44f(1966) 1, B48 (1967) 463.

107. B.n.OpojiOB >K3TO 38 (1974) 393

108. D.G.Boulware Phys.Rev. D8 (1973) 2363

109. A.Burinskii J.Phys.A:Math.Gen. 39 (2006) 6209

110. V.A.Rubakov, M.E.Shaposhnikov Phys.Lett. B125 (1983) 136

111. L.Randall, R.Sundrum Phys.Rev.Lett. 83 (1999) 3370, 4690

112. V.A.Berezin Brane Universe: Global Geometry 23 pages, 34 figures, Talk given at the "Invisible Universe International Conference Paris, June 29 -July 3, 2009 ArXiv:gr-qc/0912.4838

113. V.A.Berezin, N.G.Kozimirov, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev. Phys. Lett. B212 (1988) 415.

114. В.Г.Кадышевский ДАН 7 (1963) 2356 1031 Р.Мир-Касимов ЖЭТФ 22 (1966) 629, 807, 25 (1967) 348

115. R.Arshansky, D.Serzion, L.P.Horwitz J.Math.Phys. 32 (1991) 1778

116. V.A.Berezin Preprint IHES P/91/76

117. V.A.Berezin Int.J.Mod.Phys. A17 (2002) 979

118. V.A.Berezin Nucl.Phys.Proc.Suppl. 57 (1997) 181

119. P.Hajicek, B.S.Kay, K.Kuchar Phys.Rev. D46 (1992) 5439

120. В.А.Березин ЭЧАЯ 29 (1988) 274

121. V.A.Berezin. Phys. Lett. B241 (1990) 194.

122. V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov. Phys. Rev. D57 (1998).

123. V.A. Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu. Neronov Grav.Cosm. Vol. 5 (1999), pp. 16-22

124. V.A. Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu. Neronov Grav.Cosm. Vol. 5 (1999), pp. 16

125. V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov Phys.Lett. B455 (1999) 109-114

126. V.A.Berezin. Nucl. Phys. B661 (2003) 409.

127. И.Д.Новиков. Сообщения ГАИШ 132 (1964) 3

128. V.A.Berezin arXiv: gr-qc/0010083

129. V.A.Berezin, A.L.Smirnov. Grav.Cosm. 4 (2003) 235

130. I.D.Novikov, Comm.Shternberg Astron.Inst. Moscow 132, 3 (1964); ibid. 132,43 (1964).

131. C.W.Misner, K.S.Thorne, J.A.Wheeler, Gravitation, Freeman (1973).

132. I.D.Novikov, V.P.Frolov, Physics of Black Holes, Kluwer Academic Publishers (1989).

133. W.Israel, Nuovo Cimento 44B, 1 (1966); ibid. 48B, 463 (1967). See also K.Kuchar, Czeck.J.Phys. B18, 435 (1968).

134. W.Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equatS.^^^^

135. John Wiley and Sons, Inc. (1965)

136. I.S.Gradstein, I.M.Ryzhik, Tables of Integrals, Sums, Series cx-nd Products, State Physics and Mathematics Publishing CoHrjp»;^^ Moscow, 1963

137. P.Hajicek, Commun.Math.Phys.150, 545 (1992)

138. F.W.J.Olver, Asymptotics and Special Functions, N.Y.L.: Acacl«-^^.^ Press, 1974

139. V.F.Mukhanov, JETP Lett.44(l), 63 (1986)

140. S.W.Hawking, Nature 248, 30 (1974); Commun.Math.Phys. 43 3 lgg (1975)

141. V.de la Cruz, W.Israel, Nuovo Cimento 51, 744 (1967); J.D.Bekensiein Phys.Rev. D4, 2185 (1971); J.E.Chase, Nuovo Cimento 67B, l36 (1970); D.G.Boulware, Phys.Rev. D8, 2363 (1973); V.P.BV^^ Sov.Phys.JETP 38, 393 (1974).

142. M.B.Voloshin, I.Yu.Kobzarev, L.B.Okun', Sov.J.Nucl.Phys. 2Q3 644 (1975); S.Coleman, Phys.Rev. D15, 2922 (1977); K.Lake,

143. J.M.Bardeen, B.Carter, S.W.Hawking, Comm.Math.Phys. 31, 161 (1973)

144. J.Bekenstein, PhD Thesis, Princeton University (1972), Lett.Nuovo Cim. 4, 737 (1972), Phys.Rev. D7, 2333 (1973), D9, 3292 (1974)

145. V.A.Berezin. gr-qc /9710067

146. A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov, I.I.Tkachev. Phys.Rev.Lett. 95 (2005) 091301

147. B.H.AoKyqaeB, C.HepHOB. >K9T0 111 (2010) 570

148. G. 't Hooft. Class. Quant. Grav. 16, 395-405 (1999); gr-qc/9805079.

149. A. Achucarro, P.K. Townsend. Phys. Lett. B 180, 89 (1986); E. Witten. Commun. Math. Phys. 104, 207 (1986).

150. Susskind. J. Math. Phys. 36, 6337 (1995).

151. S. Carlip, "Black Hole Entropy from Conformal Field Theory in Any Dimension", hep-th/9812013.

152. S.N. Solodukhin, "Conformal Description of Horizon's States", hep-th/9812056.

153. A. Ashtekar, J. Baez, A. Corichi and K. Krasnov, "Quantum Geometry and Black Hole Entropy", gr-qc/9710007.

154. M. Banados, "Three-Dimensional Quantum Geometry and Black Holes", hep-th/9901148.

155. A. Gorsky and N. Nekrasov. Nucl. Phys. B436, 582 (1995), hep-th/9401017.

156. H.-J. Matschull and M. Welling. Class. Quant. Grav. 15, 2981-3030 (1998), gr-qc/9708054.

157. V.A. Berezin. Phys. Rev. D 55, 2139 (1997).

158. A.Yu. Neronov. Phys. Rev. D 59, 044023 (1999).

159. V.A. Berezin, A.M. Boyarsky and A.Yu.Neronov, "Black Hole Mass Spectrum vs. Spectrum of Hawking Radiation", gr-qc/9808027.

160. J.L. Friedman, J. Louko and S.N. Winters-Hilt, "Reduced Phase Space Formalism for Spherically Symmetric Geometry with a Massive Dust Shell", Phys. Rev. D 56, 7674-7691 (1997).

161. P. Kraus and F. Wilczek, Nucl Phys. B 433 403 (1995)./

162. J. Bekenstein and V. Mukhanov, Phys. Lett. B 360, 7 (1995)

163. V.A. Berezin, A.M. Boyarsky and A.Yu. Neronov, "Quantum Mechanics of Self-Gravitating Particles and Quantum Black Hole Models", preprint INR RAS, 1999.

164. V.A. Berezin, A.M. Boyarsky and A.Yu. Neronov, "On the Exact Spectra of Relativistic Schroedinger Equation in Finite Differences", gr-qc/9902028.

165. S.W. Hawking, Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975); Nature 248, 30 (1974).

166. J.B. Hartle and S.W. Hawking, Phys. Rev. D13, 2188 (1976).

167. W. Wazov, "Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations", J. Wiley & Sons Inc., 1965.

168. J.D.Bekenstein, Black Holes as Atoms, gr-qc/9710076

169. J.D.Bekenstein, V.F.Mukhanov, Phys.Lett., B 360, 7 (1995)

170. V.A.Berezin,Phys.Rev D 55 2139 (1997)

171. M. Cavaglia, V. de Alfaro and A.T. Filippov Int. J.Mod.Phys. D 4 661 (1995)

172. W.G. Unruh. Phys. Rev. D14 (1976) 870.

173. L.Landau, E.Lifshitz. Statistical Physics. Oxford University Press, 1938.

174. V.A.Berezin. Nucl. Phys. B661 (2003) 409.

175. Ya.B.Zel'dovich. Zh. Eksperim. i Teor. Fiz. 42 (1962), 641 Soviet Phys. JETP 15 (1962) 446].

176. G. 'tHooft. Nucl. Phys. B256 (1985) 727.