Бирациональные свойства разрешений трехмерных терминальных особенностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК512.7

Степанов Дмитрий Анатольевич

БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАЗРЕШЕНИЙ ТРЁХМЕРНЫХ ТЕРМИНАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Псковских и доктор физико-математических наукЮ. Г. Прохоров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Н. А. Тюрин

кандидат физико-математических наук А Г. Кузнецов

Ведущая организация:

Владимирский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 2005 г. В 16 ч. 15.

мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Д501.001.84 в МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор

В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Особенности алгебраических многообразий интенсивно изучаются начиная с середины XX века. Одной из первых работ, тематика которой близка нашей, стала статья П. Дю Валя [1]1. В ней были определены и классифицированы особенности алгебраических поверхностей, называемые теперь дювалев-скими, или каноническими, а также описаны их минимальные разрешения. Позже изучение этих особенностей было возобновлено в работах представителей арнольдовской школы, см. [2]2, где их называют A-D-E-особенностями. Однако истинная роль дювалевских особенностей и их обобщений в алгебраической геометрии стала ясна только в начале 80-х годов с появлением программы минимальных моделей (ПММ).

ПММ представляет собой обобщение теории минимальных моделей алгебраических поверхностей, развитой в основном усилиями итальянской школы в начале XX века, на алгебраические многообразия высших размерностей. Основные идеи ПММ были высказаны Ш. Мори и М. Ридом в статьях [З]3 и [4]4. ПММ называют также программой Мори. В работах Ш. Мори, М. Рида, Ю. Каваматы, Я. Коллара, В. В. Шокурова и других математиков ПММ была завершена для алгебераических многообразий размерности 3 над полем характеристики 0. Предполагается, что ПММ верна во всех размерностях и для полей произвольной характеристики.

ПММ состоит в выделении в каждом классе бирационально изоморфных многообразий представителя, наделённого некоторыми экстремальными свойствами. Он и называется минимальной моделью. Например, в размерности 2 ПММ приводит к классическим минимальным моделям поверхностей. Одним из самых существенных отличий ПММ в размерности 3 является тот факт, что минимальная модель оказывается, вообще говоря, особым многообразием. Однако особенности, возможные на минимальной модели, не произвольны, а относятся к довольно узкому классу так называемых терминальных особенностей (это понятие и термин были введены в самой ПММ). Подробнее об особенностях алгебраических многообразий, возникающих в связи с ПММ, см. обзор В. А. Псковских [5]5.

'[1] Du Val, P. On the singularities which do not affect the condition of «(junction // Proc. Camb. Phil. Soc 30 (1934). C. 453-491.

'[2] Арнольд, В. И., Варченио A. IL, Гусейи-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, IМ.: Неука. 1982.

*[3] Mori, S. Threefolds who» canonical bundles are not numerically еЯесйте // Ann. of Math. 116 (1982), C. 133-178.

4[4| Heid, M. Canonical 3-fblds // Jornia de Géométrie Algébrique d'Angers, A. Beauville, editor. Sljtbofif and Noordhoff, Alpen aan den Rijn. 1980, C. 273-310.

'[5] Исховсхих, В. A. Особенности на минимальных моделях алгебраических многообразий // Труды

РОС НАЦИОНАЛЬНА» ¿ БИБЛИОТЕКА

СП «rerttartjV » 09

Терминальные особенности размерности 3 над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до аналитического изоморфизма В. И. Даниловым, М. Ридом, Ш. Мори, Я. Колларом и Н. Шепард-Барроном ([6J®, [7]7, [8]8, [9]®). Оказалось, что все такие терминальные особенности разбиваются на конечное число семейств. Горенштейновы терминальные особенности (т. е. такие, канонический класс которых в окрестности особой точки является дивизором Картье) — это в точности изолированные составные дювалевские точки (сБУ-точки), т. е. особенности, общее гиперплоское сечение которых — поверхность с дювалевской особенностью. Негоренштейновы терминальные особенности представляют собой факторы изолированных cDV-точек по некоторым циклическим группам (подробнее см. [8]). Далее мы рассматриваем только трёхмерные терминальные особенности, определённые над полем С комплексных чисел.

Ещё О. Зарисским было показано, что любая особенность трёхмерного многообразия над полем характеристики 0 допускает разрешение (см. [10]10). Но о разрешениях трехмерных терминальных особенностей до сих пор известно мало. В. И. Данилов в [6] построил так называемое экономное разрешение для терминальных особенностей, являющихся факторами гладких точек по циклическим группам. Все исключительные дивизоры такого разрешения — рациональные поверхности. М. Ридом в [4], следствие 2.14, было установлено, что исключительные дивизоры разрешения произвольной трёхмерной терминальной особенности являются бирационально-линейчатыми поверхностями. С другой стороны, ясно, что для любой кривой С можно построить такое разрешение данной трёхмерной особенности, что на нём есть исключительный дивизор Е, который как поверхность бирационально изоморфен поверхности

Изучение исключительных дивизоров становится более интересным, если ограничиться только существенными дивизорами. Это понятие было введено Дж. Нэшем в работе [И]11. Пусть (JC, о) — росток особенности алгебраического многообразия или аналитического пространства и пусть некоторое разрешение. Допустим, что исключительное множество морфизма п содержит простой дивизор Е. Дивизор Е называется существенным (для

семинар» под рук. И. Р. Шафареата, 1996-1998. Отдел алгебры МИРАН. М. 1998. С. 41-61.

*[в| Данилов, В. И. Бкрацюналывд геоыетрм тормчесмх ¿-мерных многообразий // Изв. АН СССР. Сер. шкы. 46 (1983), С. 973-981.

т[7] Heid, М. Minimal Modela of Canonical 3-foids // Algebraic Varieties and Analytic Varieties, Adv. Studies in Pure Math. Kinolnmiya and North-Holland. 1983. V. 1. C. 131-180.

*[8] Mori S. On ^dimensional terminal angularities // Nsgoya Math. J. 98 (198S). C. 43-66.

*[9| Kollár, J., Sbepard-Barron, N. Threefold! and deformations of surface singularities // Inv. Math. 91 (1988). C. 399-338.

lo[10] ZariaH, 0. Reduction of the singularities of algebraic three-dimensional varieties // Ann. of Math. 45 (1944). С. 473-843.

"(11] Nash, J. F. Arc structure of singularities // Duke Math. J. 81 (199S). C. 31-38.

особенности (Х,о)), если centery(i/£) — дивизор для произвольного разрешения ж':Y' -* X, где иц — дискретное нормирование поля рациональных (мероморфных) функций С(Х), соответствующее дивизору Е. Грубо говоря, существенный дивизор — это дивизор, который входит в любое разрешение данной особенности. Дивизор Е называется дивизориалъно сущесивен-ным, если centery'(i/£) — дивизор для любого дивизориального разрешения У -* X, т. е. разрешения, исключительное множество которого имеет чистую коразмерность 1.

Критерий, выделяющий существенные дивизоры среди других, неизвестен. Но для терминальных особенностей есть простое достаточное условие, гарантирующее, что данный дивизор Е существен. А именно, если дискре-пантность а(Е,Х) < 1, то дивизор Е существен. Если center;r(/5) = о и а(Е,Х) < 1, дивизор Е дивизориально существен. Существование дивизоров с а(Е,Х) < 1 над терминальной особенностью (Х,о) было показано Ю. Каваматой в [12]и и Д. Г. Маркушевичем в [13]и. Позднее В. В. Шокуровым было доказано, что дискрепантности терминальных особенностей индекса m принимают все значения

Оказалось, что бирациональный тип дивизоров с дискрепантностью а < 1 над терминальными особенностями допускает гораздо более точное описание, чем данное М. Ридом в [4]. Ю. Г. Прохоровым в [15]18 было установлено, что если (X, 0) — терминальная особенность типа сА/т, m > 1, то все дивизоры Е над X с center;r(J2) = он а[Е,Х) ^ 1 рациональны как алгебраические поверхности. Особенности этого типа принято рассматривать как „наиболее часто встречающиеся" (см. [2]). В то же время известно, что над терминальными особенностями других типов есть нерациональные дивизоры с дискрепантностью а < 1. Задача, которой посвящена наша диссертация, как раз и состоит в описании нерациональных дивизоров с дискре-пантностью над трехмерными терминальными

особенностями типа, отличного от

Изучение разрешений терминальных особенностей не только интересно само по себе, но и имеет связи с другими современными исследованиями в алгебраической геометрии. Описание раздутий с нерациональными исключительными дивизорами полезно в классификации plt-раздутий терминальных особенностей, которой посвящены статьи Ю. Г. Прохорова и С. А.

"[12] Kawamata, Y. Appendbc to V. V. Shokurov "3-fbld log fliprf' // Изв. РАН. Сер. шпи 56 (1992) JM. С. 105-201.

"[13) Mtrkuabevtch, D. Mrnimal Diacrepaocy fot a Terminal eOV Stngularfty bl f/J. Math. Sd. Unhr. Tokyo. 3 (1996). C. 445-466.

"[14] Shokurov, V. V. Senl-etable 3-Ш ffipe // Изв. РАН Сер. имен. 57(2) (1993). С. 165-232.

"[15] Прохоров, Ю. Г. Замечаем о разрешат трехмерных тершгаалыпа оеобепвкпй // Успеет шаен. ваук. 57 (2002). ЛЧ. С. 187-188.

1,[1в] Prokhorov, Yu. G. Blow-upe of canonical etaguíaritie» // Proceedlnga of the International Algébrale

Кудрявцева [17]17. Это, в свою очередь, требуется для классификации стягиваний Мори методом теории дополнений В. В. Шокурова ([18]18, [19}1®). Отметим также близкую по тематике серию работ М. Кавакиты [20]20, [21]21, [22]я и работы Т. Хаякавы [23|м и [24]®*. М. Кавакита классифицировал ди-визориальные стягивания из трёхмерного терминального многообразия У в терминальную, в частности гладкую, точку (Х,о). Т. Хаякава описал все дивизориальные стягивания из терминальных мно-

гообразий в негоренштейновы терминальные особенности, где дивизор Е имеет минимальную дискрепантность.

Цель работы

Целью работы является изучение бирациональных свойств разрешений трёхмерных терминальных особенностей, определённых над полем С комплексных чисел, а именно, описание нерациональных дивизоров малой дискрепантности в таких разрешениях.

Основные методы исследования

В работе используются методы теории особенностей гладких отображений, торической геометрии и некоторые результаты из программы минимальных моделей.

Научная новизна

Результаты работы являются новыми. Основные из них следующие.

1. Получено полное описание нерациональных дивизоров малой дискре-пантности (а = 1) в разрешениях терминальных особенностей типа cD. Описаны нерациональные дивизоры малой дискрепантности (а = 1)

conference on tba Oecaiat of the 90th birthday of A. G. Kuroah. Moacow, Riaaia, May 25-30,1998. (3000). С. 301-317.

"[17| Кудрявцев, С. А. О чисто логтермюшльвьк раздутиях j j Метем, зииш 69 (2001). С. 814-619. "(18) Shoknror, V. V. Complement! on aurfeea // J. Math. Sd. 102:2 (2000). С. 3876-3932. l,|l»| Prokhoror, Yu. G. El-blowing ops of terminal elngularitiee // 3. Moth. Sd. 115 (2003). N. 3. C. 2396-2427.

"|20| Kawaldta, M. DMaorial contraction« in Omnwtoa three which contract divisors to smooth pointa // Invent. Math. 145 (2001). C. 105-119.

n(21] Kawaldta, M. DMaorial contraction» in dimenmon three which contract divisors to compound a\ point» // Compoaitio Math. 133 (2002). C. 95-116.

"(22] Kawaldta, M. Three-fold diriaorial contractiaaa to aisgulaiitlea of higher huficea // e-print: arXhrmath.AG/030e0e5.

**[23j Hayalmra, T. Blowing upa of Mimenalonal Thninal Singularity // Publ. RIMS, Kyoto Univ. 35 (1999). C. 515-570.

M[24| Hayakawa, T. Blowing npa of S-dimenalonal Tfenninal SingularMea, П // Publ. RIMS, Kyoto Шт. 36 (2000). С. 423-456.

в разрешениях невырожденных терминальных особенностей типа сЕ. Мы называем особенность невырожденной, если она аналитически изоморфна особенности в С*, которая задана невырожденной по Хованскому (невырожденной по отношению к своей диаграмме Ньютона) функцией некоторого стандартного вида. Описаны нерациональные дивизоры малой дискрепантности в разрешениях негоренштейновых терминальных особенностей. Для особенностей типов сАх/4, cD/3 — 3, cD/2 — 2, сЕ/2 это описание получено при дополнительном предположении невырожденности.

2. Все нерациональные дивизоры в разрешениях трёхмерных терминальных особенностей типов, упомянутых выше, реализуются как исключительные дивизоры некоторых взвешенных раздутий и псевдораздутий. Как алгебраические поверхности эти дивизоры бирационально изоморфны поверхностям вида С X Р1, ГДв С — некоторая кривая (это результат М. Рида, [4]),. Для каждого из исследованных типов терминальных особенностей нами получены оценки для рода кривой С и выяснено, когда эта кривая является гиперэллиптической.

3. Приведены многочисленные примеры нерациональных дивизоров малой дискрепантностями над терминальными особенностями. В частно-ти, показано, что род кривой С может быть произвольным; приведены примеры терминальных особенностей, над которыми существует два нерациональных дивизора малой дискрепантности; приведены примеры нерациональных дивизоров малой дискрепантности над терминальными особенностями, для которых кривая С негиперэллиптическая.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в задачах теории особенностей, геометрии торических многообразий, программы минимальных моделей.

Апробация работы

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре „Геометрия алгебраичесих многообразий" (в 2003 и 2004 гг.) (рук. В. А. Исковских, Ю. Г. Прохоров и С. А. Кудрявцев) на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова, на XXVI Конференции молодых учёных мехмат, факультета МГУ (Москва, 2004 г.), на конференции GAEL XII (CNRS, Марсель, Франция, 2004 г.) и на Международной алгебраической конферен-

ции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004).

Публикации

Результаты работы опубликованы в работах [1-5], список которых приводятся в конце реферата.

Структура и объём работы

Работа состоит из введения (глава 1), трёх глав, разбитых на части, и списка литературы. Объём диссертации — 72 страницы, список литературы содержит 35 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении (Глава 1) приводится обзор работ по тематике, близкой диссертации, ставится задача и перечисляются основные результаты автора.

В Главе 2 приведены все необходимые для дальнейшего определения и факты. В части 2.1 даётся определение терминальных и канонических особенностей, дювалевских особенностей поверхностей и составных дюва-левских особенностей трёхмерных многообразий. Рассмотрим росток особенности нормального многообразия X, канонический дивизор Кх которого - Q-дивизор Картье. Если tt:Y—*X — некоторое разрешение особенностей, - его исключительный дивизор, — простые дивизоры, то канонические дивизоры многообразий X и Y связаны формулой

Kr^ir'Kx + Y^OiEi,

где число di = a{Ei,X) G Q называется дискретнтностъю многообразия X в дивизоре Ei

Определение 2.1.1. Если все Щ > 0, то особенно^Г^называется терминальной, а если все <Ц ^ 0, то канонической.

Определение 2.1.2. Дювалевской особенностью мы называем росток поверхностной особенности (S, о), который аналитически изоморфен одной из следующих особенностей в пространстве С3:

А,: я2 + у2 + ■гп+1 = 0, п>1; Dn:x2 + ylz + ^-l = 0, Е«:з? + 1? + гА = 0] fy: xi + yi + yz> = 0; Eg: + + = 0.

Трёхмерная особенность называется составной дювалевской (сокращённо cDV-точкой), если она аналитически изоморфна гиперповерхности X С

в

С С4, 0 € X, общее гиперплоское сечение H Э 0 которой — поверхность с дювалевской особенностью.

После этого приводится аналитическая классификация трёхмерных терминальных особенностей Рида, Мори, Коллара и Шепард-Баррона (теоремы 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5). Уравнения негоренштейновых особенностей из теоремы 2.1.4 мы называем стандартными. В леммах 2.1.6 и 2.1.8 мы выводим стандартные уравнения для терминальных особенностей типов cD и сЕ. Например, уравнение терминальной особенности типа сЕ6 может быть приведено к виду

х2 + у3-+ z4 + ait11 + ovzih + o3z2tb,+ + atyzë* + aey^t4« + (...) = О,

где а члены, заключённые в скобки, не

влияют на диаграмму Ньютона функции, определяющей особенность. Такое уравнение и называется стандартным уравнением

В части 2.2 главы 2 определяются взвешенные раздутия и псевдораздутия — основные технические средства нашей работы. Сначала вводятся обозначения и напоминаются некоторые факты торической геометрии

обозначим N решётку 2П в векторном пространстве V = R";

т = R-Jo = {(®ь • • • » х„) € К" | Xi > 0 Vt} - неотрицательный октант;

W = V*, M = N\ т* - соответствующие двойственные объекты,

общее торическое многообразие задается веером в пространстве

аффинное пространство представляется как торическое многообразие Хт = Spec С [г* П ЛГ*] (его веер состоит из конуса Т и всех его граней);

факторпространство представляется как торическое многообразие

решётка инвариантов действия группы Zm;

Определение 2.2.1. Пусть w = ¡(wi,щ,...,wn) € N' П Int(r) - примитивный вектор решетки N' из внутренности г, w, € Z. Рассмотрим тори-ческий морфизм aw\ С„ С/Ъщ, определенный разбиением октанта г на конусы, имеющие луч R^jw одной из своих граней. Соответствующий веер Е' состоит из конусов ai = (t«,e2,-..,e„), сь = (е1,ги,ез,...,е„), сп = (ei,..., вп-i, w) и всех их граней, е, = (0,..., 1,..., 0), = N1).

ж|28| Данилов, В. И. Геометрия торическях многообразие // Успеха патан, наук S3 (1978). С. 97-154.

Если векторы' w, ei, еп порождают решётку N', то морфизм ow называется взвешенным раздутием с весом w. Если же эти векторы порождают только некоторую подрешётку N" С N1, то <rw называется псевдораздутием свесом w.

В этой же части сформулированы леммы, позволяющие вычислять дис-крепантности взвешенных раздутий. В части 2.3, следуя ßöj26, мы описываем вложенное торическое разрешение Варченко-Хованского невырожденных особенностей.

В части 2.4 описывается метод вычисления геометрического рода некоторых особых кривых.

Глава 3 посвящена изучению разрешений горенштейновых терминальных особенностей типов cD и сЕ. В части 3.1 доказывается Теорема 1. Пусть трёхмерная терминальная особенность {X, о) имеет тип cDn+i, n^Zuic:Y—*X— произвольноеразрешение. Тогда намно-гообразии Yесть не более одного нерационального дивизора Е с центо-ром center* (25) = о и дискрепантностью,(Е,Х) = 1. Если особенность (Х,о) изоморфна особенности в С4, заданной стандартным уравнением ((2.1.2) или (2.1.3)), то при n — 2k-l нерациональный дивизор реализуется как один из исключительных дивизоров взвешенного раздутия с весом {к, А: — 1,1» 1), а при п — 2к — как один из исключительных дивизоров взвешенного раздутия свесам$$,к, 1,1). В обоих случаях Е представляет собой бирационально-линейчатпую поверхность над гиперэллиптической кривойродад ^k— 1.

В части 3.2 рассматриваются особенности типа сЕ и доказываются следующие две теоремы.

Теорема2. Пусть (Х,о) — терминальная точка типасЕ, изоморфная особенности бС4, определённой одним из стандартныхуравнений (2.1.4), (2.1.5) или (2.1.6). Кроме этого, предположим, что это уравнение невырожденно по отношению к своей диаграмме Ньютона. Тогда для любого разрешения —» X существует не более одного нерационального исключительного дивизора с дискрепантностью

centerx(U) = о.

Теорема 3. В условиях теоремы 2 предположим, что Е — нерациональный дивизор наЗХ са(Е,Х) = 1 и center.*(Е) = о. Тогда Ебирационально изоморфен исключительному дивизору взвешенного раздутия,,,, где все возможные веса w перечислены ниже.

(i) Если X имеет тип сЕ1ц, то вес w — один из следующих: e[J6] Varebenlto, А. N. Zeta-function of monodromy «od Newton'» diagnun // Invent. Math. 37 (1976). С.

1) IV = (2,2,1,1); 2) и> = (3,2,2,1); ^ и = (4,3,2,1). Во всех случаях £ ~ С х Р1, где С — кривая рода 1.

(и) Если X имеет тип сЕг, то вес и/ — один из следующих: 1)п = ( 3,2,2,1); и = (4,3,2,1);

3) VI = (5,3,2,1); 4) VI = (6,4,3,1).

В случаях 1), 2), 4) поверхность Е ыС хР1, гдеС — кривая рода 1. В случае 3) род д{С) < 3 и С может быть негиперэллиптической.

(Ш) Если X имеет тип сЕ&, то вес ю — один из следующих: 1) и} = (3,2,2,1); 2)хи = (4,3,2,1); 3) и> = (5,3,2,1);

4) и = (6,4,3,1); 5) и> = (7,5,3,1); 6) и, = (8,5,3,1); 7) и> = (9,6,4,1); 8)т = (12,8,5,1).

В случае 6) поверхность Е о! С х Р1, где д(С) <4 и С может быть негиперэллиптической. В остальных случаях д(С) = 1.

Кроме этого, в главе 3 приводятся некоторые примеры нерациональных дивизоров малой дискрепантности над терминальными особенностями. Пример 3.1.1. Рассмотрим особенность^ С С4 типа С-Ог*» к>\, заданную уравнением

При раздутии с весами (к, к — 1,1,1) в качестве исключительного дивизора Е вклеивается бирационально-линейчатая поверхность над кривой

С = {у*г + г2*'1 + ^ = 0} С Р(к -1,1,1).

Очевидно, это квазигладкая кривая, ее род д(С) = к — 1. Дискрепантность а(Е,Х) = £ + А:-1+1 + 1-1-(2*;-1) = 1по лемме 2.2.2. Этот пример показывает, что нерациональный исключительный дивизор Е может быть бирационально-линейчатой поверхностью над гиперэллиптической кривой произвольного рода.

Пример 3.2.6. Пусть особенность X С С4 определенауравнением

х2 + У3 + 25 + 415 = 0.

Очевидно, X имеет тип сЕ$. Раздуем её с весом (8,5,3,1) (см. теорему 3, (ш) 6)). Тогда мы получаем исключительный дивизор

{у3 + г5 + = 0} С Р(8,5,3,1).

Это конус над негиперэллиптической кривой рода 4.

Глава 4 посвящена изучению разрешений негоренштейновых терминальных особенностей. В ней доказываются следующие теоремы.

Теорема 4. Пусть ж: У —*Х — разрешениеЗ-мернойнегоренштейновой терминальной особенности (Х,о). Если (Х,о) имеет тип сАх/4, сБ/3—3, сБ/2 — 2 или сЕ/2, то дополнительно предположим, что стандартное уравнение особенности (X, о) (см. теорему 2.1.4) невырожденно по отношению к своей диаграмме Ньютона. Тогда на У существует не более двух нерациональных дивизоров В1 со свойствами 7г(2%) = 0« а{Е,,Х) ^ 1 Теорема 5. Пусть Е — нерациональный дивизор из теоремы 4. Тогда Е реализуется как исключительный дивизор одного из взвешенных раздутий или псевдораздутий (см. определение 2.21), перечисленных ниже. Во всех случаях поверхность Е бирационально изоморфна поверхности Су.р1 В следующем списке для каждого типа негоренштейновых терминальных особенностей (отличного от ) мы приводим все возможные нерациональные раздутия соответствующие дискрепантности и оценки для рода g кривой С.

(сАх/4) Пусть (X, о) имеет шип сА^х/А (см. часть 4Л).

1)и = Шк + 1,4*; + 3,1,2), к < п/2, к € о = 1/4; д < 2к;

2) и = А(4к + 3,4А + 5,3,2), к^(п-1)/2, к € о = 3/4;

(2т-1, к-Зт, 2т + 1, к = Зт +1, 2т+ 2, & = Зт + 2.

3) V = ¿(4* + 5,4к + 3,1,2), к < (п -1)/2, к € 2>0; а = 1/4; д < 2к+1; ^«¡(4* + 3,4* + 1,3|2), к п/2, к € а = 3/4;

^ |2т, к = 9 ^ |2т + 1, Л = Зт +1 или к = 3т+ 2.

Для всех раздутий кривая С гиперэллиптическая.

(сАх/2) Пусть особенность (Х,о) имеет тип сА-аех/2 (см. часть 4.2).

Тогда если к чётное, то

v = 1(к, А:+ 1,1,1); в = 1/2; д^к- 1;

если к нечётное, то

у = +1,М, 1)/а = 1/2; <К * -1.

В обоих случаях кривая С гиперэллиптическая. Если нерациональный дивизор Е существует, то он единствен.

(сО/3-1) В этом случае нерациональных дивизоров с а < 1 и

с&Аегх(Е) — о нет.

(сО/3-2)

г/=|(2,1,4,3); а = 1/3; 5 = 1.

В данном случае если нерациональный дивизор Е существует, то он единствен. (cD/3-3)

1)и = |(5,4,1,6); а = 1/3; g = 1; «> = i(2,4,l,3);a = l/3;p = l; 5;«/ = ¡(4,5,2,6); а = 2/3; з = 1.

(cD/2-l) В этом случае нерациональных дивизоров с а < 1 и centerx(iJ) = о нет.

(cD/2-Z) Пусть особенность (X, о) имеет тип cDnf 2-2 (см. часть 4.4.2).

1) v = |(l,m,2,m), m = 2fc-1, п — 1;а= 1/2;g ^ к-1;

2) i/ = |(1,m - 1,2,m +1), т = 2к, т < п -1; а = 1/2;g < Л; í; v = (1, А:, 2, к), ifc < (п -1)/2; а = 1;

^ Гfc/2, А; - чётное, 9 ^ л

l(fc —1)/2, А; — нечёткое;

^ I/ = (1, к - 1,1, к), к < п/2; а = 1;

^ í(fc-2)/2, к —чётное, 9 ^ \

—1)/2, к —нечётное.

Во всех случаях кривая С гиперэллиптическая. (сЕ/2)

1) V — |(2,3,1,3); а = 1/2; g = 1;

2) и = |(2,1,3,3); а = 1/2; <? = 1; fyv — 3,1,5); а = 1/2; g = 1; 4) v = 3, li 7); а = 1/2; g < 3; ^ " = |(6,5,1,9); а = 1/2; g = 1; 6) v~ (2,2,1,3); а = 1; # = 1; 7;^ = (3,2,1,4);а = 1;р = 1.

В случае 4) кривая Сможет быть негиперэллиптической.

Эти теоремы доказываются отдельно для каждого типа негоренштейно-вых терминальных особенностей в частях 4.1-4.5. Также в главе 4 приведены некоторые примеры нерациональных дивизоров. Пример 4.5.3.

{и2 + х3 + yV + у6 + z6 = 0} С i(0,1,1,1).

Исключительный дивизор раздутия — ^(2,3,1,3):

{u2 +13 + z6 = 0} С Р(2,3,1,3),

И

раздутия щ ~ 5(2,1,3,3):

Они оба являются конусами над эллиптическими кривыми.

Автор глубоко признателен В. А. Исковских и Ю. Г. Прохорову за постановку задачи и научное руководство. По ходу работы очень полезными были беседы с В. В. Шокуровым и С. А. Кудрявцевым.

t

Публикации автора по теме диссертации

1. Степанов, Д. А. О разрешении 3-мерных терминальных особенностей // Матем. заметки 77 вып. 1 (2005). С. 127-140.

2. Степанов, Д. А. О нерациональных дивизорах над невырожденными cDV-точками // ВИНИТИ РАН. 2004. №1528-В2004 Деп. Сдана в Ма-тем. сборник.

3. Степанов, Д. А. О нерациональных дивизорах над негоренштейновыми терминальными особенностями // ВИНИТИ РАН. 2004. №1529-В2004. Деп. Сдана в труды Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры.

4. Stepanov, D. A. On resolution of terminal singularities // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры. Тезисы докладов. М.: 2004. С. 284.

5. Степанов, Д. А. О разрешениях терминальных особенностей // XXVI Конференция молодых учёных механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Тезисы докладов. М.: 2004. С. 118.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать №.01.05' Формат 60x901/16. Усл. печ. л.

Тираж 100 экз. Заказ 3

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

1 Введение

2 Предварительные сведения

2.1 Терминальные особенности.

2.2 Взвешенные раздутия.

2.3 Вложенное торическое разрешение.

2.4 Род кривой на взвешенной проективной плоскости.

3 Горенштейновы терминальные особенности

3.1 Терминальные особенности типа cD.

3.1.1 Случай cD2k

3.1.2 Случай сД *+1.

3.1.3 Примеры

3.2 Терминальные особенности типа сЕ.

3.2.1 сЕ6.

3.2.2 c£V.

3.2.3 сЕ8.

3.2.4 Примеры

4 Негореншетейновы терминальные особенности

4.1 Терминальные особенности типа сАх/4.

4.2 Терминальные особенности типа сАх/2.

4.3 Терминальные особенности типа cD/3.

4.3.1 cD/3 - 1.

4.3.2 cD/3 - 2.

4.3.3 cD/3-3.

4.4 Терминальные особенности типа cD/2.

4.4.1 cD/2 - 1.

4.4.2 cD/2 - 2.

4.5 Терминальные особенности типа сЕ/2.

Глава 1 Введение

Если в классический период развития алгебраической геометрии математики предпочитали работать с неособыми многообразиями, то, начиная с середины XX века, особенности также подвергаются тщательному изучению. Одной из первых работ, тематика которой близка нашей, стала статья П. Дю Валя [10]. В ней были определены и классифицированы так называемые канонические, или дювалевские, особенности алгебраических поверхностей, а также описаны их минимальные разрешения. Позже изучение этих особенностей было возобновлено в работах представителей арнольдовской школы, см. [1], где их называют A-D-E-особенностями. Однако истинная роль дк>-валевских особенностей и их обобщений в алгебраической геометрии стала ясна только в начале 80-х годов с появлением программы минимальных моделей (ПММ).

ПММ представляет собой обобщение теории минимальных моделей алгебраических поверхностей, развитой в основном усилиями итальянской школы в начале XX века, на алгебраические многообразия высших размерностей. Основные идеи ПММ были высказаны Ш. Мори и М. Ридом в статьях [24] и [29]. ПММ называют также программой Мори. В работах Ш. Мори, М. Рида, Ю. Каваматы, Я. Коллара, В. В. Шокурова и других математиков ПММ была завершена для алгебераических многообразий размерности 3 над полем характеристики 0. Предполагается, что ПММ верна во всех размерностях и для полей произвольной характеристики. Доступное изложение этой теории содержится в [23].

ПММ состоит в выделении в каждом классе бирационально изоморфных многообразий представителя, наделённого некоторыми экстремальными свойствами. Он и называется минимальной моделью. Например, в размерности 2 ПММ приводит к классическим минимальным моделям поверхностей. Одним из самых существенных отличий ПММ в размерности 3 является тот факт, что минимальная модель оказывается, вообще говоря, особым многообразием. Однако особенности, возможные на минимальной модели, не произвольны, а относятся к довольно узкому классу так называемых терминальных особенностей (это понятие и термин были введены в самой ПММ). Подробнее об особенностях алгебраических многообразий, возникающих в связи с ПММ, см. обзор В. А. Псковских [4].

Терминальные особенности размерности 3 над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до аналитического изоморфизма В. И. Даниловым, М. Ридом, Ш. Мори, Я. Колларом и Н. Шепард-Барроном ([3], [30], [25], [20]). Оказалось, что все терминальные особенности разбиваются на конечное число семейств. Горенштейновы особенности (т. е. такие, канонический класс которых в окрестности особой точки является дивизором Картье) — это в точности изолированные составные дюва-левские точки (cDV-точки), т. е. особенности, общее гиперплоское сечение которых — поверхность с дювалевской особенностью. Негоренштейновы терминальные особенности представляют собой факторы изолированных cDV-точек по некоторым циклическим группам. Подробную классификацию мы приводим ниже, см. гл. 2, часть 2.1, теоремы 2.1.3, 2.1.4 и 2.1.5. Далее мы рассматриваем только трёхмерные терминальные особенности, определённые над полем С комплексных чисел.

Ещё О. Зарисским было показано, что любая особенность трёхмерного многообразия над полем характеристики 0 допускает разрешение (см. [35]). Описание минимальных разрешений было существенной частью изучения дювалевских особенностей. Но о разрешениях трёхмерных терминальных особенностей до сих пор известно мало. В. И. Данилов в [3] построил так называемое экономное разрешение для терминальных особенностей, являющихся факторами гладких точек по циклическим группам. Все исключительные дивизоры такого разрешения — рациональные поверхности. М. Ридом в [29], следствие 2.14, было установлено, что исключительные дивизоры разрешения произвольной трёхмерной терминальной особенности являются бирационально-линейчатыми поверхностями. С другой стороны, ясно, что для любой кривой С можно построить такое разрешение данной трёхмерной особенности, что на нём есть исключительный дивизор Е, который как поверхность бирационально изоморфен поверхности С х Р1. Поэтому результат М. Рида даёт полное описание бирационального типа исключительных дивизоров в разрешениях трёхмерных терминальных особенностей.

Изучение исключительных дивизоров становится более интересным, если ограничиться только существенными дивизорами. Это понятие было введено Дж. Нэшем в работе [26]. Пусть (X, о) — росток особенности алгебраического многообразия или аналитического пространства и пусть 7Г: Y —* X — некоторое разрешение. Допустим, что исключительное множество морфизма тг содержит простой дивизор Е. Дивизор Е называется существенным (для особенности (X,о)), если centery(^) — дивизор для произвольного разрешения 7г': Y' —> X, где ue — дискретное нормирование поля рациональных (мероморфных) функций С(Х), соответствующее дивизору Е. Грубо говоря, существенный дивизор — это дивизор, который входит в любое разрешение данной особенности. Дивизор Е называется дивизориалъно существенным, если centery'(ve) ~ дивизор для любого дивизориального разрешения У: Y' —> X, т. е. разрешения, исключительное множество которого имеет чистую коразмерность 1. Заметим, что если дивизоры Е\ и Еъ над (Х,о) определяют одно и то же дискретное нормирование поля С(Х), то как многообразия Е\ и Е2 бирационально изоморфны.

Критерий, выделяющий существенные дивизоры среди других, неизвестен. Но для терминальных особенностей есть простое достаточное условие, гарантирующее, что данный дивизор Е существен. А именно, если дискре-пантность а(Е,Х) < 1, то дивизор Е существен. Если center^i?) = о и а(Е,Х) < 1, дивизор Е дивизориально существен. Оба утверждения легко следуют из рассмотрения „домика Хиронаки" для двух разрешений теми-нальной особенности. Существование дивизоров с а(Е, X) <1 над негорен-штейновой терминальной особенностью (X, о) было показано Ю. Каваматой в [19]. Существование дивизоров с а(Е,Х) = 1 над горенштейновой терминальной особенностью (X, о) было показано Д. Г. Маркушевичем в [22] (1 — минимальное возможное значение дискрепантности над горенштейновой терминальной особенностью). Позднее В. В. Шокуровым было доказано, что дискрепантности терминальных особенностей индекса т принимают все значения к/т, ft = 1,., m ([33]).

Оказалось, что бирациональный тип дивизоров с дискрепантностью а ^ 1 над терминальными особенностями допускает гораздо более точное описание, чем данное М. Ридом в [29]. Ю. Г. Прохоровым в [8] было установлено, что если (Х,0) — терминальная особенность типа сА/т, га ^ 1 (обозначения см. ниже в теореме 2.1.4), то все дивизоры Е над X с center^fi?) = о и а(Е,Х) < 1 рациональны как алгебраические поверхности. Особенности этого типа принято рассматривать как „наиболее часто встречающиеся" (см. [1]). В то же время известно, что над терминальными особенностями других типов есть нерациональные дивизоры с дискрепантностью в < 1. Многочисленные примеры таких дивизоров приведены нами ниже в

главах 3 и 4. Задача, которой посвящена наша работа, как раз и состоит в описании нерациональных дивизоров с дискрепантностью а(Е,Х) < 1 и centeix(E) = о над трёхмерными терминальными особенностями типа, отличного от с А/т.

Изучение разрешений терминальных особенностей не только интересно само по себе, но и имеет связи с другими современными исследованиями в алгебраической геометрии. Описание раздутий с нерациональными исключительными дивизорами полезно в классификации plt-раздутий терминальных особенностей, которой посвящены статьи Ю. Г. Прохорова [27) и С. А. Кудрявцева [б]. Это, в свою очередь, требуется для классификации стягиваний Мори методом теории дополнений В. В. Шокурова ([32], [28]). Отметим также близкую по тематике серию работ М. Кавакиты [16], [17], [18] и работы Т. Хаякавы [12] и [13]. М. Кавакита классифицировал диви-зориальные стягивания из трёхмерного терминального многообразия Y в терминальную, в частности гладкую, точку (X, о). За небольшим числом исключений, все они оказываются тороидальными морфизмами. Из ПММ следует, что для любого геометрического дискретного нормирования v поля к(Х) с дискрепантностью а ^ 1 существует такое дивизориальное стягивание a: (Y D Е) —» (X э о), что Y имеет канонические особенности и дивизор Е задаёт нормирование v. Поэтому, если бы классификация Кавакиты покрывала и случай стягиваний из канонических многообразий, то сё, в принципе, можно было применить для решения нашей задачи. Однако известны примеры дивизориальных стягиваний из канонических многообразий в терминальные, которые не являются тороидальными морфизмами. Т. Хаякава описал все дивизориальные стягивания а: (У D Е) —> (X э о) из терминальных многообразий в негоренштейновы терминальные особенности, где дивизор Е имеет минимальную дискрепантность. Многие из найденных им раздутий встречаются и у нас. Остальные раздутия Хаякавы нам не интересны, ибо они дают только рациональные исключительные дивизоры, и в то же время ряд наших раздутий не встречаются у Хаякавы, ибо мы описываем нерациональные дивизоры с дискрепантностью а ^ 1, а не только с минимальной.

Нами получены следующие результаты.

Теорема 1. Пустъ трёхмерная терминальная особенность {Х,о) имеет тип cDn+i, ji^SuttiY-^X — произвольное разрешение. Тогда на многообразии Y есть не более одного нерационального дивизора Е с центо-ром center;к{Е) = о и дискрепантностью а(Е,Х) — 1. Если особенность (Х,о) изоморфна особенности в С4, заданной стандартным уравнением ((2.1.2) или (2.1.3)), то при n — 2k — l нерациональный дивизор реализуется как один из исключительных дивизоров взвешенного раздутия с весом (к, к — 1,1,1), а при п — 2к — как один из исключительных дивизоров взвешенного раздутия с весами (к, к, 1,1). В обоих случаях Е представляет собой бирациональпо-линейчатую поверхность над гиперэллиптической кривой рода g ^ к — 1.

Для терминальных особенностей типа сЕ мы дополнительно предполагаем, что особенность (X, о) изоморфна стандартной особенности в С4, уравнение которой невырожденно по отношению к своей диаграмме Ньютона. Известно, что в некотором смысле почти все особенности невырожденны (см. [34]), таким образом, нами рассмотрен общий случай.

Теорема 2. Пусть (Х,о) — терминальная точка типа сЕ, изоморфная особенности в С4, определённой одним из стандартных уравнений (2.1.4), (2.1.5) или (2.1.6). Кроме этого, предположим, что это уравнение невырожденно по отношению к своей диаграмме Ньютона. Тогда для любого разрешения 7г: Y —> X существует не более одного нерационального исключительного дивизора Е С Y с дискрепантностью а(Е,Х) = 1 и centerх(Е) = о.

Теорема 3. В условиях теоремы 2 предположим, что Е — нерациональный дивизор над X с а(Е,Х) — 1 и centerх(Е) = о. Тогда Е бирационально изоморфен исключительному дивизору взвешенного раздутия aw, где все возможные веса w перечислены ниже. i) Если X имеет тип cEq, то вес w — один из следующих:

1)w= (2,2,1,1);

2)w = { 3,2,2,1);

3) w= (4,3,2,1).

Во всех случаях Е ~ С х Р1, где С — кривая рода 1. ii) Если X имеет тип сЕ7, то вес w — один из следующих: l)w=(3,2,2,1);2) w = (4,3,2,1);

Я; ш= (5,3,2,1);^™ = (6,4,3,1).

В случаях 1), 2), 4) поверхность Е ~ С xF1, где С — кривая рода 1. В случае 3) род д(С) < 3 и С может быть негиперэллиптической. iii) Если X имеет тип сЕ%, то вес w — один из следующих: l)w = (3,2,2,1); 2) w = (4,3,2,1); 3) w = (5,3,2,1);

4) w = (6,4,3,1); 5) w = (7,5,3,1); 6) w = (8,5,3,1); 7) w = (9,6,4,1); 8) w = (12,8,5,1).

В случае 6) поверхность E ~ С x¥l, где g{C) <AuC может быть негиперэллиптической. В остальных случаях д(С) = 1.

Пусть теперь (X, о) — негоренштейнова терминальная особенность. В некоторых случаях для описания нерациональных дивизоров мы снова накладываем ограничение невырожденности. Наши результаты собраны в следующих двух теоремах.

Теорема 4. Пусть тг: Y X — разрешение 3-мерной негоренштейновой терминальной особенности (Х,о). Если (Х,о) имеет типсАх/4, cDf 3—3, cDj2 — 2 или сЕ/2, то дополнительно предположим, что стандартное уравнение особенности (X, о) (см. теорему 2.1.4) невырожденно по отношению к своей диаграмме Ньютона. Тогда на Y существует не более двух нерациональных дивизоров Е{ со свойствами 7Г(Е{) — о и a(Ei,X) ^ 1.

Теорема 5. Пусть Е — нерациональный дивизор из теоремы 4- Тогда Е реализуется как исключительный дивизор одного из взвешенных раздутий или псевдораздутий (см. определение 2.2.1), перечисленных ниже. Во всех случаях поверхность Е бирационально изоморфна поверхности С хР1. В следующем списке для каждого типа негоренштейновых терминальных особенностей (отличного от сА/т) мы приводим все возможные нерациональные раздутия и, соответствующие дискрепантности а = а(Е, X) и оценки для рода g кривой С. сАх/4) Пусть (X, о) имеет тип сА2Пх/4 (см. часть 4-1)

1) v = Шк + l,4fc + 3,1,2), к ^ п/2, к G Z>0; a = l/4;g^ 2к;

2) v = |(4fe + 3,4к + 5,3,2), к < (п - 1)/2, к е а = 3/4;

2т — 1, к = Зга, g < 2m + 1, к = 3m + 1, 2т + 2, к = Зт + 2.

3)и = Шк + Ъ,4к + ЗА, 2), к^(п- 1)/2, к е Z>0; а = 1/4; g ^ 2к +1;

4) v = |(4fc + 3,4& + 1,3,2), А; < п/2, к е а = 3/4;

0 < <

2т, к = Зт,

2т+ 1, к — Зт + 1 или к = Зт +

Длл всех раздутий кривая С гиперэллиптическая. сАх/2) Пусть особенность (Х,о) имеет тип сА2кх/2 (см. часть 4-2).

Тогда если к чётное, то v = & + 1,1,1); а = 1/2; д^к-1; если к нечётное, то v = \(k + 1,1,1); а = 1/2; д^к-1.

В обоих случаях кривая С гиперэллиптическая. Если нерациональный дивизор Е существует, то он единствен. cD/3-l) В этом случае нерациональных дивизоров с а < 1 и centerх(Е) = о нет. cD/3-Z)

1/ = £(2,1,4,3); а =1/3; 0 = 1.

В данном случае если нерациональный дивизор Е существует, то он един ствен. cD/3-3) l)v = \( 5,4,1,6); а = 1/3; g = 1; v = 4(2,4,1,3); а = 1/3; g = 1; 3) и = |(4,5,2,6); а = 2/3; <7=1. cD/2-l) В этом случае нерациональных дивизоров с а ^ 1 и centerxC^) = о нет. cD/2-2) Пусть особенность (X, о) имеет тип cDn/2—2 (см. часть 4-4-Ю-1) и = |(1,771,2,т)} т = 2к — 1, т < п — 1; а — 1/2; р < к — 1; jgJ v = 1(1, ш - 1,2,771 + 1), т = 2к, т < п — 1; а = 1/2; £ < fc; 3) v = (1, jfe, 2, к), к^{п- 1)/2; а = 1; сЕ/2)

1) v = \(2,3,1,3); а = 1/2; <7 = 1 ^i/ = i(2,1,3,3); а = 1/2; <? = 1 3> = ±(4,3,1,5);а = 1/2;<7 =

4)v = |(4,3,1,7); а = 1/2; <7^

5)v = ±(6,5,1,9); а = 1/2; <7=

6) v = (2,2,1,3); а = 1; <7 = 1; 7> = (3,2,1,4); а = 1; <7 = 1.

В случае 4) кривая С может быть негиперэллиптической.

Результаты теоремы 1 опубликованы в [al] и [а5], теорем 2 и 3 — в [а2] и [а4], теорем 4 и 5 — в [аЗ].

Коротко опишем идею доказательств. Нерациональные дивизоры с дис-крепантностью а ^ 1 присутствуют в любом дивизориальном разрешении данной терминальной особенности. Поэтому для того, чтобы показать, что таких дивизоров не более одного (или двух), достаточно построить одно дивизориальное разрешение и описать нерациональные дивизоры с малой дискрепантностью на нём. Для особенностей типа cD мы сначала выполняем взвешенное раздутие, которое реализует нерациональный дивизор, а к/ 2, к — чётное, к — 1)/2, к — нечётное;

4) v = (1, к - 1,1, к), к < п/2; а = 1; к — 2)/2, к — чётное, (к — 1)/2, к — нечётное.

Во всех случаях кривая С гиперэллиптическая. затем исследуем особенности на раздутом многообразии и показываем, что их можно разрешить, вклеив с дискрепантностью а ^ 1 только рациональные исключительные дивизоры. При этом проявляется следующая закономерность. Если данная особенность является в некотором смысле общей, то раздутое многообразие имеет только очень простые циклические факторо-собенности. Они тороидальны, следовательно, их можно разрешить тори-ческими методами. Очевидно, при этом появятся только рациональные исключительные дивизоры. Такую ситуацию иллюстрирует пример 3.1.1. Но встречаются и некоторые исключительные случаи, когда раздутое многообразие имеет более сложные особенности, иногда даже худшие, чем исходная особенность (см. пример 3.1.2). Тогда приходится подниматься на второй и более высокие ,^тажи" разрешения и применять некоторый индуктивный процесс.

Если в случае cD нерациональное раздутие однозначно определяется типом особенности, то в случае сЕ оно более сложным образом зависит от диаграммы Ньютона её определяющего ряда. Контролировать особенности, появляющиеся после взвешенного раздутия данной сЕ-точки, становится сложно, особенно в случаях сЕ? и сЕ%. Поэтому мы накладываем дополнительное ограничение невырожденности и исследуем нерациональные дивизоры вложенного торического разрешения Варченко-Хованского. Все эти дивизоры соответствуют граням диаграммы Ньютона определяющего ряда особенности. Начальный отрезок этого ряда известен, поэтому подробное описание нерациональных дивизоров с малой дискрепантностью становится возможным.

В доказательствах теорем о негоренштейновых особенностях мы комбинируем эти два метода. Для некоторых типов особеннотей возможно сразу „выдуть" нерациональный исключительный дивизор и показать, что других нет, для остальных типов особенностей приходится предполагать невырожденность и исследовать вложенное торическое разрешение.

Благодарности. Автор глубоко признателен В. А. Псковских и Ю. Г. Прохорову за постановку задачи и научное руководство. По ходу работы очень полезными были беседы с В. В. Шокуровым и С. А. Кудрявцевым.

План работы

Диссертация состоит из настоящего введения

глава 1) и трёх глав. Во второй главе приведены все необходимые для дальнейшего определения и факты. В части 2.1 главы 2 даётся определение терминальных и канонических особенностей (определение 2.1.1), дювалевских особенностей поверхностей (определение 2.1.2) и составных дювалевских особенностей трёхмерных многообразий. После этого приводится аналитическая классификация трёхмерных терминальных особенностей Рида-Мори-Коллара-Шепард-Баррона (теоремы 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5). Затем в леммах 2.1.6 и 2.1.8 мы выводим стандартные уравнения для терминальных особенностей типов cD и сЕ.

В части 2.2 главы 2 мы вводим понятие взвешенного раздутия (определение 2.2.1). Взвешенное раздутие — основное техническое средство исследования особенностей в нашей работе. Кроме этого, определяется ещё один класс морфизмов, являющийся небольшим обобщением взвешенных раздутий — псевдораздутия. Приводится формула для вычисления дискре-пантности взвешенного раздутия (лемма 2.2.2) и формула для вычисления дискрепантности дивизора Е над особенностью X, когда известна его дис-крепантность над некоторым раздутием сг: Y —* X (лемма 2.2.4).

В части 2.3 приводятся необходимые сведения о вложенном торическом • разрешении Варченко-Хованского невырожденных особенностей, даётся определение функции (ряда), невырожденной по отношению к своей диаграмме Ньютона (определение 2.3.1). Также вычисляется дискрепантность исключительных дивизоров вложенного разрешения (лемма 2.3.2). В конце доказывается лемма 2.3.5, которой мы часто пользуемся, чтобы установить рациональность исключительных дивизоров раздутий терминальных особенностей.

В части 2.4 приводится формула для вычисления рода квазигладкой кривой на взвешенной проективной плоскости. В лемме 2.4.1 показано, как вычислять род некоторых особых кривых.

Глава 3 посвящена доказательству теорем 1, 2 и 3. Теорема 1 доказывается в части 3.1, причём доказательство распадается на два случая — когда данная особенность имеет тип cD2k и c.D2fc+i- Они разобраны соответсвоенно в пунктах 3.1.1 и 3.1.2. В пункте 3.1.3 рассмотрены некоторые примеры раздутий cD-особенностей с нерациональными исключительными дивизорами.

В части 3.2 главы 3 доказываются теоремы 2 и 3. Доказательство проводится отдельно для каждого типа особенностей сЕв, cE-j и cEg в соответствующих пунктах 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3. На рисунке 3.1 схематически изображена диаграмма Ньютона особенности типа cEq, а на рисунке 3.2 — для особенности типа сЕ7. В пункте 3.2.4 приведены некоторые примеры нерациональных раздутий с£?-особенностей.

В главе 4 доказываются теоремы 4 и 5. Доказательство проводится отдельно для каждого типа негоренштейновых терминальных особенностей из теоремы 2.1.4 в соответствующих частях 4.1-4.5. Случай особенностей типа сА/т был полностью исследован Ю. Г. Прохоровым в [8], поэтому мы его не рассматриваем. По ходу дела приводятся многочисленные примеры нерациональных раздутий, в частности, примеры особенностей, имеющих два нерациональных дивизора с дискрепантностью а ^ 1. См., скажем, пример 4.5.3.

Глава

Предварительные сведения

2.1 Терминальные особенности

Рассмотрим росток (X, о) особенности нормального многообразия X, канонический дивизор Кх которого — Q-дивизор Картье. Последнее означает, что найдётся такое натуральное число т, что тКх — дивизор Картье. Минимальное число т с этим свойством называется индексом особенности (Х,о). Если 7г: Y —> X — некоторое разрешение особенностей, Е = Yli Е{ — его исключительный дивизор, Е{ — простые дивизоры, то канонические дивизоры многообразий X и Y связаны формулой

Ку = ir*Kx + YlaiEi> i где число (ц = а(Е{, X) G Q называется дискрепантностью многообразия X в дивизоре Е{.

Определение 2.1.1. Если все щ > 0, то особенность (X, о) называется терминальной, а если все щ ^ О, то канонической.

Это определение не зависит от выбора разрешения 7Г ([4]).

Определение 2.1.2. Дювалевской особенностью назывется росток поверхностной особенности (5, о), который аналитически изоморфен одной из следующих особенностей в пространстве С3:

An:x2+y2 + zn+1 = 0, n^l; Dn: х2 + y2z + zn~x = 0, п^4;

Е6: x2 + yz + zA = 0; Е7: х2 + уъ + yz2 = 0; Е8: х2 + у3 + z5 = 0.

Трёхмерная особенность называется составной дювалевской (сокращённо cDV-точкой), если она аналитически изоморфна гиперповерхности X С С4, 0 Е X, общее гиперплоское сечение Н Э 0 которой — поверхность с дювалевской особенностью. Мы будем говорить, что 0 6 X имеет тип сАп, п> 1, cZ)n, n > 4, cEq, cEt> cE&), если (H, 0) — дювалевская особенность типа An (Dn, Еб, E7, Eg соответственно). В аналитической окрестности точки 0 особенность X типа сА„ (cD„, cEq, сЕ7, cEg) может быть задана уравнением вида f(x, у, z) + tg{x, y,z,t) = 0, (2.1.1) где д — некоторый степенной ряд и / — соответствующий многочлен из определения 2.1.2.

Следующие три теоремы дают аналитическую классификацию трёхмерных терминальных особенностей. Для них понадобятся следующие обозначения. Пусть циклическая группа Zm действует на пространстве С" по правилу: Xi —> e^Xi, i = 1,., п, где ж, — координаты на С", е — примитивный корень из 1 степени га, аг- £ Z, г £ Zm — вычет по модулю га. Тогда фактор-пространство C"/Zm мы будем обозначать через Cn/Zm(ai,a2,. ,а„) или ^(ai, аг,., ап). Мы всегда предполагаем, что группа действует без квазиотражений.

Теорема 2.1.3. ([30]) 3-мерные терминальные особенности индекса 1 — это изолированные cDV-точки и только они.

Теорема 2.1.4. ([25]) Пусть X — росток 3-мерной терминальной особенности индекса ^ 2. Тогда X может быть так вложено в что выполнено одно из следующих утверждений: cA/m) X ~ {xy+f(z,u) = 0} С ^(а, —си, 1,0), где целое число а взаимно просто cm и f(z,u) £ С{z,u} — инвариант группы Zm. сАх/4) X ~ {ж2 + у2 + f(z, и) = 0} С |(1,3,1,2), где f(z, и) £ С{z, и} -полуинвариант группы Ъ±ии<^ f(z,u) (моном и не входит в ряд f). сАх/2) X ~ {x2+y2+f{z,и) = 0} С |(0,1,1,1), где f(z,и) £ (z, u)4C{z, и} — инвариант группы Z2. cD/3) X ~ {^(я, 2/, it) = 0} С |(1,2,2,0), где ip имеет одну из слудую-щих форм: cD/3-l) <р = и2 + ж3 + + 2), cD/3-2) ср = u2+xz+yz2+xy4\(y^)+y&ix(yi), где \(уъ), ptf) £ €{у3} u4A3 + 27ц cD/3-3) <р = и2 + ж3 + у3 + + xzA(5(zz) + yz5^(z2) + 26ф3), где a(*3), £(z3), 7(z3), tf(^) £ С{г3}. cD/2) X ~ {у?(аг, у, z, и) = 0} С |(1,1,0,1), где <р имеет одну из следующих форм: cD/2-1) (p = и2 + xyz + x2a + y2b 4- zc, где cD/2-2) <p = и2 + y2z + Ayx2a+l + g(x, z), гдеЛ 6 С, a ) 1, g(x, z) e cE/2) X ~{u2 + x3 + g(y, z)® + ft(y, z) = 0} С J(0,1,1,1), где g(y, z) € e (y, z)4C{y, z}, Л(у, г) e (у, z)4C{y, z} \ (y, z)5C{y, z}.

Индекс особенности X равен порядку циклической группы Zm.

Теорема 2.1.5. ([20]) Пусть X — одна из особенностей р(х, у, и) = 0} с C4/Zm, перечисленных в теореме 2.1.4• Допустим, что (р(х, у, z, w) = 0 определяет изолированную особенность в 0 и что действие группы Zm на X свободно вне 0. Тогда X терминальна.

Для работы с cDV-точками типов cD и сЕ нам потребуется несколько упростить их определяющие уравнения. Введём следующие обозначения.

Пусть С{x,y,z,t} — кольцо сходящихся степенных рядов с комплексными коэффициентами от четырех переменных и пусть с каждой переменной связано некоторое положительное рациональное число w(x), w(y), w(z), w(t), называемое её весом. Тогда можно определить вес любого монома М = xaybz°td как w(M) — aw(x) + bw(y) -I- cw(z) + dw(t) и вес любой функции (ряда) g G С {ж, у, z, £}, g = YliaiMi, где а/ е С, М/ — мономы, как w(g) = min(ги(М/) | а/ ф 0}

Через gw=n(x,y,z,t), где п — рациональное число, мы будем обозначать многочлен ^2Ml:w(MI)=n aiMi — часть g веса п, а через gw>n{x,y,z,t) — РЯД Ем,:ш(м,)>пйЛ- В случае, когда веса совпадают с обычной степенью (w(x) = w(y) = w(z) = w(t) = 1), будем писать просто gn(x,y,z,t), g>n{x,y, z,t).

Согласно [7], особенность типа cD\ аналитически изоморфна гиперповерхности в С4 с уравнением x2 + g(y,z,t) = 0, (2.1.2) где ряд g начинается с членов степени 3 и уравнение <?з(у, z,t) = 0 определяет приведённую кубику в Р2. Особенность типа cDn+1, п ^ 4, аналитически изоморфна гиперповерхности в С4 с уравнением x2 + y2z + g(y,z,t) = 0, (2.1.3) где ряд д начинается с членов степени 4 или больше. Как видно из леммы 2.1.6, можно считать выполненными следующие условия. Присвоим переменным такие веса: w(x) = п/2, w(y) = (п — 1)/2, w(z) = w(t) = 1. Тогда а) вес функции д равен w(g) = щ б) если п = 2к — 1, к > 2, то многочлен y2z + gw=2k-i(y, z,t) определяет в Р(к — 1,1,1) приведённую кривую.

Лемма 2.1.6. Пусть 3-мерная терминальная особенность (Х,0) С С4 типа cDn+1, п ^ 4, задана уравнением (2.1.3) Присвоим переменным следующие веса: w(x) = п/2, w(y) = (п —1)/2, w(z) — w(t) = 1. Тогда существует такая аналитическая замена координат, что в новых переменных уравнение особенности имеет тот же вид, вес новой функции g равен w(g) = п и многочлен y2z +gw=n(y,z,t) не содержит в своём разложении на неприводимые кратных множителей.

Доказательство. Напомним, что если cDV-особенность имеет тип cDn+i, то все её гиперплоские сечения имеют тип Dn+i или хуже (т. е. Ду, где N > п +1, или En- См. также [22]). Пусть сначала w(g) = к. Ясно, что если к <п,т:о gw=k имеет вид gw=k = t) + h{z, t) (если n — чётное, то / = О или h = 0). Если gw=k делится на я, g^k = z(yfi -f h{), и квадрат, то замена вида у\ = у + a(z, t) сохраняет вид уравнения особенности, но вес функции g увеличивается. Продолжая таким же образом, мы придём в одну из следующих ситуаций: 1) к = w(g) < п и либо gw=k не делится на г, либо у2 + yf\ + h\ не квадрат, или 2) w(g) ^ п. Но ситуация 1) невозможна. Действительно, рассмотрим сечение t = az для достаточно общего а. Уравнение сечения имеет вид x2+y2z+g'{y, z) = 0, w(g') = к < п. Применив стандартные методы теории особенностей ([1]), получим, что это сечение имеет тип Dk+1, к < п — противоречие. Но и случай w(g) > п невозможен, ибо тогда наша особенность имела бы тип cDn+ч или хуже. Следовательно, w(g) = п. Если бы при этом многочлен gw=n делился на z и соответствующий многочлен у2 + yfi + hi был полным квадратом, то мы снова могли бы сделать замену переменных и получить w(g) > п, что невозможно. Лемма доказана. □

Если особенность (Х,о) С С4 задана уравнением (2.1.3), для которого выполнены условия а и б, то мы будем называть (X, о) стандартной cD-особенностью. Кроме этого, часто удобно считать, что переменная у входит в ряд g в уравнении (2.1.3) только в степени < 1. Этого легко добиться обычными методами теории особенностей, см., например, доказательство леммы 2.1.8.

Стандартные уравнения для с-Е-особенностей приведены в лемме 2.1.8. Но сначала напомним определение диаграммы Ньютона степенного ряда.

Определение 2.1.7. ([1]) Пусть f — атхт — степенной ряд, Г+(/) — те Z£ выпуклая оболочка множества (J (т + в Диаграммой Нъюто

От¥= О на Г(/) ряда / называется объединение всех компактных граней полиэдра г+(/).

Лемма 2.1.8. Пусть (Х,0) С (С4,0) — росток изолированной сЕ-тонки. Тогда после подходящей замены координат особенность (X, 0) С (С4,0) определена одним из следующих уравнений. х2 + у3 + z4 + aith + a2ztb2 + a3z¥3+ (2.1.4) a4ytbi + a5yztb5 + aQy^tb& + (.)= 0, если X имеет тип cEq. Здесь i — 1 + Ьг- ^ 4 для i = 1,2,3. ж2 + y3+yz3 + axtbl + a2zth + • • • + akzk~Hbk + ak+lzk+ (2.1.5) ak+2ytbk+1 + ak+zyztbk+* + (.)= 0, если X имеет тип cE7. Здесь k — некоторое целое число ^ 5. х2 + у3 + z5 + aitbl + a2zth + а3г¥3 + aAz3th+ (2.1.6) +a5ytb5 + a6yztb6 + aiyzH1*7 + a8yz4b* + (.) = 0, если X имеет тип cE$. Здесь i — 1 -f- 6г- ^ 5 для i = 1,2,3,4.

Заключённая в скобки часть каждого уравнения не влияет на его диаграмму Ньютона.

Доказательство. Мы докажем лемму для с#б-особенностей. В других случаях доказательство аналогично.

Итак, предположим, что X задано уравнением f = x2 + y3 + z*+tg(x,y,z,t) = 0.

Расположим мономы ряда tg в возрастающем порядке по отношению к grlex-упорядочению (см. [5], гл.

§2). Допустим, что аа^хау^z1^ — первый из мономов tg, содержащий переменную х. Если a = 1, то сделаем замену координат х <— x—^^-y^z^t6, у у, z z,t«— t. Если же а > 2, то замену х ч— х/ у/1 + у у, и т. д. В обоих случаях мы уничтожаем моном аар7бХауРz^t6, но предыдущая часть ряда tg не изменяется. Повторяя эту процедуру, мы увеличиваем число min{deg xay^z1t6 | G tg,a > 1}

Напомним, что данная особенность (X, 0) изолирована. Следовательно, она конечно определена ([14], теорема 3.3) и мы можем привести её уравнение к виду x2 + y3 + z4 + tg(y,z,t) = 0.

Нам следовало бы писать д' вместо д, но здесь использование того же обозначения не должно привести к путанице.)

Аналогично, используя мономы у3 и z4, мы удаляем мономы с у13, /3 > 2, и г7, 7 > 3 из ряда tg и приводим уравнение к виду (2.1.4). Если бы в / был моном z46 с 7 + <5 < 3, то / определял бы особенность типа cD\ или сА; это доказывает условие г — 1 + 6,- > 4 для г = 1,2,3. По построению, мономы из части (.) уравнения (2.1.4) не влияют на его диаграмму Ньютона. □

2.2 Взвешенные раздутия

Нам будут необходимы основные понятия торической геометрии (см. [2]). Фиксируем обозначения и напомним некоторые факты: обозначим N решётку Zn в векторном пространстве V = Мп; т = М^о = {(жх,., хп) Е Rn | Xi ^ 0 Уг} - неотрицательный октант;

W = V*, М = N*, т* - соответствующие двойственные объекты, (•,•): N х М —» Z - спаривание. общее торическое многообразие Х(Е) задается веером Е в пространстве V; аффинное пространство С" представляется как торическое многообразие Хт = Spec С [т* П N*) (его веер состоит из конуса г и всех его граней); факторпространство <Cn/Zm представляется как торическое многообразие Xr(N') = Spec € [г* П N'*], где М' = N'* — решётка инвариантов действия группы Zm; если веер Е' вписан в Е, то определен бирациональный морфизм торических многообразий Х(Е') Х(Е).

Определение 2.2.1. Пусть w = ^(wi,w2,. .,«;„) Е Nf П Int(r) - примитивный вектор решетки N' из внутренности т, Wi Е Z. Рассмотрим тори-ческий морфизм aw: —► Cn/Zm, определенный разбиением октанта т на конусы, имеющие луч Е^оw одной из своих граней. Соответствующий веер Е' состоит из конусов <7i = (w,e2, .,е„), а2 — (еь w, е3,. ,е„), ., 0n = (е 1, • • •, е„1, w) и всех их граней, е»- = (0, — ,1, —, 0), = Х(Е', N').

Если векторы w, ei, .еп порождают решётку N', то морфизм ow называется взвешенным раздутием с весом w. Если же эти векторы порождают только некоторую подрешётку N" с N', то aw называется псевдораздутием с весом w.

Замечание. Случай раздутия пространства Сп (га = 1) в определении 2.2.1 не исключён.

Сначала остановимся подробнее на случае взвешенного раздутия gw : —> Cn/Zm. Каждый из конусов сг^ определяет аффинное торическое многообразие Щ = Ха{, изоморфное многообразию

Cn/ZWi{~wi,., -Wi-i, га, -Wi+ь • • -, -wn).

Поэтому можно покрыть аффинными картами U{, причем координаты Xj в C"/Zm связаны с координатами yj в <Сп/Ж,Wi формулами ч = %°'/т> *i = УМ>'т,(2-2.1)

Исключительный дивизор Е взвешенного раздутия aw изоморфен взвешенному проективному пространству Р(гУь гиг,., wn). Пусть теперь

X = {f(xu. • •, хп) = 0} С Cn/Zm гиперповерхность, 0 G X, f = ^ атхт, хт — мономы ряда /, ат G С. Будем обозначать ограничение раздутия aw на собственный прообраз Y многообразия X той же буквой crw и называть его взвешенным раздутием многообразия X. Тогда исключительный дивизор Y П Е задаётся в пространстве P(wi,., wn) уравнением e(®il.,®n) = 0, (2.2.2) где Xj теперь имеют смысл координат во взвешенном проективном пространстве, а fw — ^ ] CLmX w{xm)=w{f),an^ где w(xm) = (w,m); w(f) = min{w;(a;m) | am Ф 0}.

Пусть теперь ow — псевдораздутие пространства Cn/Zm(ai,., a„). Положим a = • • ,«„). Рассмотрим проекцию p: V —> W — V/(w). Обозначим Nw С W — образ решётки N (а равно и решётки N"), N'w — образ решётки N' при проекции р. Ясно, что

N'JNW ~ (N'/(w))/(N"/(w)) ~ N'/N" конечная группа порядка т/к для некоторого к\т. Эта группа циклическая, ибо N'/N" — факторгруппа циклической группы N'/N по подгруппе N"/N порядка к. Построим такую решётку N\t N С. N\y что N]/N ~ N'/N" и образ N\ bV совпадает с N^. Для этого положим

Ni = (ei,.,e„,w/), где w' = а 4- (к — 1 Так как можно считать, что w — ^а — z, z Е N, имеем: vJ — — (аь., ап) + (к — 1)—(ai — kzi,., a„ — kzn) = m m — («1 -(к- l)zu., an - (к - 1 )zn).

Очевидно, p{w') = p{a). Следовательно, Ni накрывает N'w. Кроме этого, порядок группы Ni/N делит число т/к, поэтому N\/N ~ N'w/Nw. Этот изоморфизм канонический, он задаётся сопоставлением w\ —» р(а).

Теперь рассмотрим веер Е С V, Е = т\т°, т. е. положительный октант без внутренности, он состоит из положительных октантов координатных плоскостей и всех их граней. Соответствующие торические многообразия — это

X(E,iV) = Cn\{0}

Введём ещё веер Е' — образ веера Е при проекции р. Тогда Х(Е', Nw) —

P(wi,., wn). Имеем коммутативную диаграмму:

Х(Е ,N)где морфизмы между торическими многообразиями задаются естественными отображениями вееров и решёток. Из неё следует, что исключительный дивизор исходного псевдораздутия изоморфен торическому многообразию

Х(Е', К) = Р(юь., WnJ/Z^/fcK, .,<), где w' — ., w'n). Если мы выполняем псевдораздутие гиперповерхности X, то его исключительный дивизор определяется в факторпространстве Р(г^1,., wn)/Zт/ь тем же уравнением (2.2.2).

Аффинная карта Xi ^ 0 многообразия P(wi,., wn)/Tjm/k(w[,., w'n) — это

Cn-l/Z(m/k)wi(WiW[ - w\w 1,. . . , WiWrn - w'jVJn) . Действительно, отношения

И" (ж,-)-* определены как раз по модулю действия этой группы.

Теперь вычислим дискрепантность исключительного дивизора взвешенного раздутия <jw.

Лемма 2.2.2. Пусть X — {/(жь., хп) — 0} — нормальная гиперповерхность в С1/7,т} ^w ~у Cn/Zro — взвешенное раздутие с весом w, D Y — собственный прообраз X, Е — исключительный дивизор aw. Предположим, что Y тоже нормальна и Е\у — Q ~~ простые дивизоры, mi — их кратности в Е\у. Тогда дискрепантность a(Ei, X) =rrii(wi-\-----b wn — 1 — w(f)).

Доказательство. См. [22], 2.3, или [12], 3.9. □

Замечание 2.2.3. Как известно, гиперповерхность в С" нормальна тогда и только тогда, когда её особенности лежат в коразмерности 2. Нормальность сохраняется при факторизации по конечной группе, следовательно, то же верно для гиперповерхностей в <Cn/G. Все многообразия, которые мы будем рассматривать, являются гиперповерхностями в €,n/G и, как будет ясно, их особенности лежат в коразмерности 2. Поэтому далее мы не будем всякий раз отдельно проверять условия применимости леммы 2.2.2.

Часто необходимо вычислить дискрепантность а(Е, X) некоторого дивизора Е над особенностью X, когда известна его дискрепантность а(Е, Y) над некоторым раздутием а: Y —> X.

Лемма 2.2.4. Пусть aw: Y —» X — такое же взвешенное раздутие, как в лемме 2.2.2, и Ку = о^Кх + 2SU Пусть еще ir: Z —>Y — некоторое разрешение, Fj — его исключительные дивизоры и выполнены равенства

Kz = V*KY + £ bjFj, тс*Ei = Е[ + ^ rriijFj, i — 1,., n, где Е\ — собственный прообраз Е{. Тогда a(Fj, X) — bj + J2iaimij

Замечание. тг*Ку и 7Г*Е{ определены, ибо в условиях леммы 2.2.2 Ку и Ei — Q-Картье дивизоры.

Доказательство. Сравнить Kz и 7Г*{crlJKx)- См. также [12], 5.3 и [28], 2.15.

Замечание 2.2.5. Это замечание понадобится нам в части 3.1. Пусть в обозначениях лемм 2.2.2 и 2.2.4 осбенность (Х,0) терминальна, дивизор Е\у приведён и a(Ei,X) = 1 для любой его компоненты Е{. Известно ([31], 6.4), что общий член F линейной системы | — Кх\ — поверхность с дювалевской особенностью. Тогда по теореме об обращении формулы присоединения ([21], 17.6) пара (X,F) логтеминальна. Учитывая, что Kx + F = 0, получаем, что пара (X, F) канонична и a{Ei,X,F) = 0. Но тогда и пара (У, F'), где F' — собственный прообраз F, канонична. Поэтому многообразие Y имеет не хуже чем канонические особенности.

2.3 Вложенное торическое разрешение

Пусть f(x 1,., хп) = J2 атХт — степенной ряд с диаграммой Ньютона Г(/). Для любой грани р диаграммы Г(/) обозначим через fp = Ylm&p а™$т соответствующую часть ряда /.

Определение 2.3.1. ([34]) Ряд / называется невырожденным по отношению к своей диаграмме Ньютона (далее просто невырожденным), если для любой грани р диаграммы Г(/) гиперповерхность я1,.,я;11)=0}с(СТ неособа.

Пусть / = /(жъ Х2,., хп) — сходящийся степенной ряд, причём /(0) = 0, ({/ = 0},0) С(СП,0) — изолированная особенность. Если / невырожден, то для особенности ({/ = 0},0) существует вложенное торическое разрешение Варченко-Хованского (см. [34]), т. е. такой торический морфизм 7г: С" —* Сп, что Сп и собственный прообраз Y многообразия X неособы, и исключительное множество морфизма 7г|у — дивизор с нормальными пересечениями. Однако, если на Сп действует группа Zm и / — её полуинвариант, то конструкция вложенного разрешения практически без изменений переносится и на факторособенность (X, о) =({/ = 0},0)/ZmC Cn/Zm. При этом все необходимые торические многообразия и морфизмы строятся исходя из решётки N', двойственной к решётке М' инвариантных мономов группы Zm, М' С Zn. На это простое обобщение нам указал С. А. Кудрявцев.

Вложенное торическое разрешение тт : Y —► X особенности (X, о) строится как ограничение торического морфизма, соответствующего определённому разбиению положительного октанта R"0. Если Е — соответствующий этому разбиению веер, то положим Cn =Х(£, N') — торическое многообразие, построенное по вееру Е, тг: С" —> Cn/Zm — естественный бирациональный морфизм. Тогда 7г — это ограничение морфизма тг на собственный прообраз Y особенности X.

Исключительные дивизоры морфизма ж взаимно-однозначно соответствуют одномерным конусам веера Е. Возьмём такой конус т, его исключительный дивизор Ет С С" и положим Ет\у = Y1 mjEj' Кроме этого, положим w = (tui,., wn) — примитивный вектор решётки N' вдоль конуса т. Диаграмма Г(/) лежит в пространстве (Мп)*, двойственном к I" = М 0 Zn, соответствующее спаривание мы обозначаем через (•,•). Вычислим дискре-пантность a(Ej,X).

Лемма 2.3.2. Предположим, что группа Ът действует па X свободно в коразмерности 1. Тогда a{Ej,X) = mj(wi -f w2 Н-----Vwn- 1 - w(f)), где w(f) = min{(w, v) \ v G Г(/)}.

Доказательство. Аналогично [34],

§10, у общей точки дивизора ЕТ в С" есть аффинная окрестность U ~ Сп с такими координатами у у,. ,уП) что уравнение yi = 0 определяет Ет Г) U и тг\и' U —> Crt/Zm задан формулами

Xi=y?yf.-Vah

Хп = У\ПУ2* — 'Ут? для некоторых аг =. (а\,., агп) G N' П Е>0. С помощью этих формул легко вычислить полный прообраз тт*Х многообразия X. Имеем: У1{/)/'(Уи--,Уп), где ряд /' не делится на у\. Поэтому rX=w(f)ET + Y, где Y — собственный прообраз многообразия X.

Теперь рассмотрим сечение (dx\ А ■ • • A dxn)®m пучка где Со — множество гладких точек многообразия Cn/Zm. Поднимем это сечение на Сп: r(dXl А . A dxnfm = {dy^yf . tf? A . A dy^yf . y<Tm = (Syri+-+Wn~1. • )m(dyi Л . A dynfm, где 8 — отличный от нуля определитель матрицы, составленной из векторов w, а1. Отсюда следует, что канонические дивизоры многообразий Cn/Zm и С" связаны формулой Tr*KCn/Zm + (wi + -- + wn- 1 )ЕТ.

Теперь по формуле присоединения получаем

Ку = ir*Kx + mj(wi + w2 Н-----hwn-l- w(f))Ej.

Внизу" на Cn/Zm формула присоединения применима благодаря тому, что действие группы на X свободно в коразмерности 1. □

Замечание 2.3.3. Формулы для дискрепантности из лемм 2.2.2 и 2.3.2 совпадают. Однако доказательство леммы 2.3.2 неприменимо для леммы 2.2.2, ибо в ней особенность {/ = 0} не предполагается невырожденной. С другой стороны, вектор w в лемме 2.3.2 может задавать и псевдораздутие, а не только взвешенное раздутие, как в лемме 2.2.2.

Следствие 2.3.4. Если a(Ej,X) < 1, mo W\ Н-----h wn — 1 — w(f) ^ 1.

Заметим, что исключительные дивизоры Ej бирационально изоморфны дивизорам Ewj соответственно, ]Г) Ewj = Ew\Xw, где Xw — собственный прообраз многообразия X при взвешенном раздутии vw:CZ-+Cn/Zm.

Это следует из того, что у любых двух разбиений неотрицательного октанта есть общее подразбиение. Исключительный дивизор Ew взвешенного раздутия vw изоморфен взвешенному проективному пространству P(tui,., wn), а дивизор J2 Ewj задан в F(wi,., wn) уравнением fp(w) O^l J • • • J = где fp — часть ряда /, соответствующая грани p(w) = {v€T(f)\(w,v) = w(f)}.

Если в классический период развития алгебраической геометрии математики предпочитали работать с неособыми многообразиями, то, начиная с середины XX века, особенности также подвергаются тщательному изучению.Одной из первых работ, тематика которой близка нашей, стала статья П. Дю Валя [10]. В ней были определены и классифицированы так называемые канонические, или дювалевские, особенности алгебраических поверхностей, а также описаны их минимальные разрешения. Позже изучение этих особенностей было возобновлено в работах представителей арнольдовской школы, см. [1], где их называют A-D-Б-особенностями. Однако истинная роль дк>валевских особенностей и их обобщений в алгебраической геометрии стала ясна только в начале 80-х годов с появлением программы минимальных моделей (ПММ).ПММ представляет собой обобщение теории минимальных моделей алгебраических поверхностей, развитой в основном усилиями итальянской школы в начале XX века, на алгебраические многообразия высших размерностей.Основные идеи ПММ были высказаны Ш. Мори и М. Ридом в статьях [24] и [29]. ПММ называют также программой Мори. В работах Ш. Мори, М. Рида, Ю. Каваматы, Я. Коллара, В. В. Шокурова и других математиков ПММ была завершена для алгебераических многообразий размерности 3 над полем характеристики 0. Предполагается, что ПММ верна во всех размерностях и для полей произвольной характеристики. Доступное изложение этой теории содержится в [23].ПММ состоит в выделении в каждом классе бирационально изоморфных многообразий представителя, наделённого некоторыми экстремальными свойствами. Он и называется минимальной моделью. Например, в размерности 2 ПММ приводит к классическим минимальным моделям поверхностей. Одним из самых существенных отличий ПММ в размерности 3 является тот факт, что минимальная модель оказывается, вообще говоря, особым многообразием. Однако особенности, возможные на минимальной модели, не произвольны, а относятся к довольно узкому классу так называемых терминальных особенностей (это понятие и термин были введены в самой ПММ).Подробнее об особенностях алгебраических многообразий, возникающих в связи с ПММ, см. обзор В. А. Псковских [4].Терминальные особенности размерности 3 над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до аналитического изоморфизма В. И. Даниловым, М. Ридом, Ш. Мори, Я. Колларом и Н. ШепардБарроном ([3], [30], [25], [20]). Оказалось, что все терминальные особенности разбиваются на конечное число семейств. Горенштейновы особенности (т. е. такие, канонический класс которых в окрестности особой точки является дивизором Картье) — это в точности изолированные составные дювалевские точки (cDV-точки), т. е. особенности, общее гиперплоское сечение которых — поверхность с дювалевской особенностью. Негоренштейновы терминальные особенности представляют собой факторы изолированных cDVточек по некоторым циклическим группам. Подробную классификацию мы приводим ниже, см. гл. 2, часть 2.1, теоремы 2.1.3, 2.1.4 и 2.1.5. Далее мы рассматриваем только трёхмерные терминальные особенности, определённые над полем С комплексных чисел.Ещё О. Зарисским было показано, что любая особенность трёхмерного многообразия над полем характеристики О допускает разрешение (см. [35]).Описание минимальных разрешений было существенной частью изучения дювалевских особенностей. Но о разрешениях трёхмерных терминальных особенностей до сих пор известно мало. В. И. Данилов в [3] построил так называемое экономное разрешение для терминальных особенностей, являющихся факторами гладких точек по циклическим группам. Все исключительные дивизоры такого разрешения — рациональные поверхности. М. Ридом в [29], следствие 2.14, было установлено, что исключительные дивизоры разрешения произвольной трёхмерной терминальной особенности являются бирационально-линейчатыми поверхностями. С другой стороны, ясно, что для любой кривой С можно построить такое разрешение данной трёхмерной особенности, что на нём есть исключительный дивизор Е, который как поверхность бирационально изоморфен поверхности СхР^. Поэтому результат М. Рида даёт полное описание бирационального типа исключительных дивизоров в разрешениях трёхмерных терминальных особенностей.Изучение исключительных дивизоров становится более интересным, если ограничиться только существенными дивизорами. Это понятие было введено Дж. Нашем в работе [26]. Пусть (X, о) — росток особенности алгебраического многообразия или аналитического пространства и пусть тпУ—^Х — некоторое разрешение. Допустим, что исключительное множество морфизма тг содержит простой дивизор Е. Дивизор Е называется существенным (для особенности (Х,о)), если centery/(z^£;) — дивизор для произвольного разрешения 7г': Y' —* X, где UE — дискретное нормирование поля рациональных (мероморфных) функций С(Х), соответствующее дивизору Е. Грубо говоря, существенный дивизор — это дивизор, который входит в любое разрешение данной особенности. Дивизор Е называется дивизориально существенным, если centery'(i/£;) — дивизор для любого дивизориального разрешения тг': У —> X, т. е. разрешения, исключительное множество которого имеет чистую коразмерность 1. Заметим, что если дивизоры Ei и Е2 над {Х,о) определяют одно и то же дискретное нормирование поля С{Х), то как многообразия El и Е2 бирационально изоморфны.Критерий, выделяющий существенные дивизоры среди других, неизвестен. Но для терминальных особенностей есть простое достаточное условие, гарантирующее, что данный дивизор Е существен. А именно, если дискрепантность а(Е,Х) < 1, то дивизор Е существен. Если center^rC^') = о и а{Е,Х) < 1, дивизор Е дивизориально существен. Оба утверждения легко следуют из рассмотрения „домика Хиронаки" для двух разрешений теминальной особенности. Существование дивизоров с а{Е, X) <1 над негоренштейновой терминальной особенностью (X, о) было показано Ю. Каваматой в [19]. Существование дивизоров с а{Е,Х) = 1 над горенштейновой терминальной особенностью (X, о) было показано Д. Г. Маркушевичем в [22] (1 — минимальное возможное значение дискрепантности над горенштейновой терминальной особенностью). Позднее В. В. Шокуровым было доказано, что дискрепантности терминальных особенностей индекса т принимают все значения к/т, к=1,...,т ([33]).Задача, которой посвящена наша работа, как раз и состоит в описании нерациональных дивизоров с дискрепантностью а{Е,Х) < 1 и cenieTx{E) = о над трёхмерными терминальными особенностями типа, отличного от сЛ/т.Изучение разрешений терминальных особенностей не только интересно само по себе, но и имеет связи с другими современными исследованиями в алгебраической геометрии. Описание раздутий с нерациональными исключительными дивизорами полезно в классификации plt-раздутий терминальных особенностей, которой посвящены статьи Ю. Г. Прохорова [27| и А. Кудрявцева [6]. Это, в свою очередь, требуется для классификации стягиваний Мори методом теории дополнений В. В. Шокурова ([32], [28]).Отметим также близкую по тематике серию работ М. Кавакиты [16], [17], [18] и работы Т. Хаякавы [12] и [13]. М. Кавакита классифицировал дивизориальные стягивания из трёхмерного терминального многообразия Y в терминальную, в частности гладкую, точку {Х,о). За небольшим числом исключений, все они оказываются тороидальными морфизмами. Из ПММ следует, что для любого геометрического дискретного нормирования и поля к{Х) с дискрепантностью а ^ 1 существует такое дивизориальное стягивание а: {Y D Е) —» (X э о), что Y имеет канонические особенности и дивизор Е задаёт нормирование v. Поэтому, если бы классификация Кавакиты покрывала и случай стягиваний из канонических многообразий, то сё, в принципе, можно было применить для решения нашей задачи. Однако известны примеры дивизориальных стягиваний из канонических многообразий в терминальные, которые не являются тороидальными морфизмами.Т. Хаякава описал все дивизориальные стягивания а\ {Y D Е) -^ {X э о) из терминальных многообразий в негоренгатейновы терминальные особенности, где дивизор Е имеет минимальную дискрепантность. Многие из найденных им раздутий встречаются и у нас. Остальные раздутия Хаякавы нам не интересны, ибо они дают только рациональные исключительные дивизоры, и в то же время ряд наших раздутий не встречаются у Хаякавы, ибо мы описываем нерациональные дивизоры с дискрепантрюстью о $^ 1, а не только с минимальной.Нами получены следующие результаты.Теорема 1. Пусть трёхмерная терминальная особенность {Х,о) имеет тип cDn+i, n'^SuTTiY-^X — произвольное разрешение. Тогда на многообразии Y есть не более одного нерационального дивизора Е с цеитором CQi\iQVx{E) = о и дискрепантностью а{Е,Х) = 1. Если особенность {Х,о) изоморфна особенности в G^, заданной стандартным уравнением ((2.1.2) или (2.1.3)), то при п = 2к — 1 нерациональный дивизор реализуется как один из исключительных дивизоров взвешенного раздутия с весом {к, к — 1,1,1), а при п — 2к — как один из исключительных дивизоров взвешенного раздутия с весами {к, к, 1,1). В обоих случаях Е представляет собой бирациональнО'Линейчатую поверхность над гиперэллиптической кривой рода д ^к — 1.Для терминальных особенностей типа сЕ мы дополнительно предполагаем, что особенность {X, о) изоморфна стандартной особенности в С^, уравнение которой невырожденно по отношению к своей диаграмме Ньютона.Известно, что в некотором смысле почти все особенности невырожденны (см. [34]), таким образом, нами рассмотрен общий случай.Теорема 2. Пусть (X, о) — терминальная точка типа сЕ, изоморфная особенности в С^, определённой одним из стандартных уравнений (2.1.4), (2.1.5) или (2.1.6). Кроме этого, предположим, что это уравнение невыроэюденно по отношению к своей диаграмме Ньютона. Тогда для любого разрешения iriY—^X существует не более одного нерационального исключительного дивизора Е G Y с дискрепантностью а{Е,Х) = 1 и centeTxiE) = о.Во всех случаях Е с^С х¥^, где С — кривая рода 1. (ii) Если X имеет тип сЕт, то вес w — один из следующих: l)w =(3,2,2,1); 2) w==(A,3,2,l); 3)w=(b,3,2,l);4)'w = (Q,A,3,l).В случаях 1), 2), 4) поверхность £7 с^ : С х Р^, где С — кривая рода 1.В случае 6) поверхность £? С x P^, где g(C) <4uC может быть негиперэллиптической. В остальных случаях д(С) = 1.Пусть теперь (Х,о) — негоренштейнова терминальная особенность. В некоторых случаях для описания нерациональных дивизоров мы снова накладываем ограничение невырожденности. Наши результаты собраны в следующих двух теоремах.Теорема 4. Пусть тг: У —> X — разрешение 3-мерной негоренштейновой терминальной особенности (X, о). Если {X, о) имеет тип сЛх/4, cD/3—З, cD/2 — 2 или сЕ/2, то дополнительно предполооюим, что стандартное уравнение особенности {Х,о) (см. теорему 2.1.4) невырожденно по отношению к своей диаграмме Ньютона. Тогда на Y существует не более двух нерациональных дивизоров Е{ со свойствами '7r{Ei) — о и a{Ei,X) ^ 1.Для всех раздутий кривая С гиперэллиптическая. (сАх/2) Пусть особенность {Х,о) имеет тип сА2кх/2 (см. часть 4-2).Тогда если к чётное, то и = \(к,/г + 1,1,1);а = 1/2; д^к-1; если к нечётное, то 1/ = 1{к-\-1, А;, 1,1); а = 1/2; д^к-1.В случае 4) кривая С мооюет быть негиперэллиптической.Результаты теоремы 1 опубликованы в [al] и [а5), теорем 2 и 3 — в [а2] и [а4], теорем 4 и 5 — в [аЗ].Коротко опишем идею доказательств. Нерациональные дивизоры с дискрепантностью о ^ 1 присутствуют в любом дивизориальном разрешении данной терминальной особенности. Поэтому для того, чтобы показать, что таких дивизоров не более одного (или двух), достаточно построить одно дивизориальное разрешение и описать нерациональные дивизоры с малой дискрепантностью на нём. Для особенностей типа cD мы сначала выполняем взвешенное раздутие, которое реализует нерациональный дивизор, а затем исследуем особенности на раздутом многообразии и показываем, что их можно разрешить, вклеив с дискрепантностью а ^ 1 только рациональные исключительные дивизоры. При этом проявляется следующая закономерность. Если данная особенность является в некотором смысле общей, то раздутое многообразие имеет только очень простые циклические факторособенности. Они тороидальны, следовательно, их можно разрешить торическими методами. Очевидно, при этом появятся только рациональные исключительные дивизоры. Такую ситуацию иллюстрирует пример 3.1.1. Но встречаются и некоторые исключительные случаи, когда раздутое многообразие имеет более сложные особенности, иногда даже худшие, чем исходная особенность (см. пример 3.1.2). Тогда приходится подниматься на второй и более высокие ,ртажи" разрешения и применять некоторый индуктивный процесс.Если в случае cD нерациональное раздутие однозначно определяется типом особенности, то в случае сЕ оно более сложным образом зависит от диаграммы Ньютона её определяющего ряда. Контролировать особенности, появляющиеся после взвешенного раздутия данной сЕ-точкщ становится сложно, особенно в случаях сЕ-г и сЕ^,. Поэтому мы накладываем дополнительное ограничение невырожденности и исследуем нерациональные дивизоры вложенного торического разрешения Варченко-Хованского. Все эти дивизоры соответствуют граням диаграммы Ньютона определяющего ряда особенности. Начальный отрезок этого ряда известен, поэтому подробное описание нерациональных дивизоров с малой дискрепантностью становится возможным.В доказательствах теорем о негоренштейновых особенностях мы комбинируем эти два метода. Для некоторых типов особеннотей возможно сразу „выдуть" нерациональный исключительный дивизор и показать, что других нет, для остальных типов особенностей приходится предполагать невырожденность и исследовать вложенное торическое разрешение.Благодарности. Автор глубоко признателен В. А. Исковских и Ю. Г. Прохорову за постановку задачи и научное руководство. По ходу работы очень полезными были беседы с В. В. Шокуровым и А. Кудрявцевым.План работы Диссертация состоит из настоящего введения (глава 1) и трёх глав. Во второй главе приведены все необходимые для дальнейшего определения и факты. В части 2.1 главы 2 даётся определение терминальных и канонических особенностей (определение 2.1.1), дювалевских особенностей поверхностей (определение 2.1.2) и составных дювалевских особенностей трёхмерных многообразий. После этого приводится аналитическая классификация трёхмерных терминальных особенностей Рида-Мори-Коллара-Шепард-Баррона (теоремы 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5). Затем в леммах 2.1.6 и 2.1.8 мы выводим стандартные уравнения для терминальных особенностей типов cD и сЕ. В части 2.2 главы 2 мы вводим понятие взвешенного раздутия (определение 2.2.1). Взвешенное раздутие — основное техническое средство исследования особенностей в нашей работе. Кроме этого, определяется ещё один класс морфизмов, являющийся небольшим обобщением взвешенных раздутий — псевдораздутия. Приводится формула для вычисления дискрепантности взвешенного раздутия (лемма 2.2.2) и формула для вычисления дискрепантности дивизора Е над особенностью X, когда известна его дискрепантность над некоторым раздутием a:Y—^X (лемма 2.2.4).В части 2.3 приводятся необходимые сведения о вложенном торическом разрешении Варченко-Хованского невырожденных особенностей, даётся определение функции (ряда), невырожденной по отношению к своей диаграмме Ньютона (определение 2.3.1). Также вычисляется дискрепантность исключительных дивизоров вложенного разрешения (лемма 2.3.2). В конце доказывается лемма 2.3.5, которой мы часто пользуемся, чтобы установить рациональность исключительных дивизоров раздутий терминальных особенностей.В части 2.4 приводится формула для вычисления рода квазигладкой кривой на взвешенной проективной плоскости. В лемме 2.4.1 показано, как вычислять род некоторых особых кривых.Глава 3 посвящена доказательству теорем 1, 2 и 3. Теорема 1 доказывается в части 3.1, причём доказательство распадается на два случая — когда данная особенность имеет тип cD2k и cD2k+i' Они разобраны соответсвоенно в пунктах 3.1.1 и 3.1.2. В пункте 3.1.3 рассмотрены некоторые примеры раздутий с£)-особенностей с нерациональными исключительными дивизорами.В части 3.2 главы 3 доказываются теоремы 2 и 3. Доказательство проводится отдельно для каждого типа особенностей сЕв, сЕ-г и сЕ^ в соответствующих пунктах 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3. На рисунке 3.1 схематически изображена диаграмма Ньютона особенности типа CEQ^ а на рисунке 3.2 — для особенности типа с£77- В пункте 3.2.4 приведены некоторые примеры нерациональных раздутий с£?-особенностей.В главе 4 доказываются теоремы 4 и 5. Доказательство проводится отдельно для каждого типа негоренштейновых терминальных особенностей из теоремы 2.1.4 в соответствующих частях 4.1-4.5. Случай особенностей типа сА/т был полностью исследован Ю. Г. Прохоровым в [8], поэтому мы его не рассматриваем. По ходу дела приводятся многочисленные примеры нерациональных раздутий, в частности, примеры особенностей, имеющих два нерациональных дивизора с дискрепантностью а ^ 1. См., скажем, пример 4.5.3.Глава 2 Предварительные сведения

1. Арнольд, В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде М. Особенности дифференцируемых отображений, I. М.: Наука. 1982.

2. Данилов, В. И. Геометрия торических многообразий / / Успехи матем. наук 33 (1978). 97-154.

3. Данилов, В. И. Бирациональная геометрия торических 3-мерных многообразий / / Изв. АН СССР. Сер. матем. 46 (1982), 972-981.

4. Исковских, В. А. Особенности на минимальных моделях алгебраических многообразий / / Труды семинара под рук. И. Р. Шафаревича, 1996-1998. Отдел алгебры МИРАН. М. 1998. 41-61.

5. Кокс, Д., Литтл, Дж., О'Ши, Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М.: Мир, 2000.

6. Кудрявцев, А. О чисто логтерминальных раздутиях / / Метем, заметки 69 (2001). 814-819.

7. Маркушевич, Д. Г. Канонические особенности трехмерных гиперповерхностей / / Изв. АН СССР, сер. матем. 49 (1985). 334-368.

8. Прохоров, Ю. Г. Замечание о разрешении трехмерных терминальных особенностей / / Успехи мат. наук. 57 (2002). X 4^. 187-188.

9. Artin, М. On the Solutions of Analytic Equations / / Inventiones math. 5 (1968). С 277-291.

10. Du Val, P. On the singularities which do not affect the condition of adjunction / / Proc. Camb. Phil. Soc 30 (1934). С 453-491.

11. Dolgachev, I. Weighted projective spaces / / Group Actions and Vector Fields. Lecture Notes in Math., vol. 956. Springer-Verlag. 1982. С 34-71.

12. Kawakita, M. Divisorial contractions in dimension three which contract divisors to smooth points / / Invent. Math. 145 (2001). C. 105-119.

13. Kawakita, M. Divisorial contractions in dimension three which contract divisors to compound Ai points / / Compositio Math. 133 (2002). C. 95-116.

14. Kawakita, M. Three-fold divisorial contractions to singularities of higher indices / / e-print: arXiv:math.AG/0306065.

15. Kawamata, Y. Appendix to V. V. Shokurov "3-fold log flips" / / Изв. PAH. Сер. матем. 56 (1992) №1. 105-201.

16. Kolldr, J., Shepard-Barron, N. Threefolds and deformations of surface singularities / / Inv. Math. 91 (1988). С 299-338.

17. KoUdr, J. (ed.) Flips and abundance for algebraic threefolds / / Asterisque no. 211, Soc. Math. France, Paris 1992.

18. Markushevich, D. Minimal Discrepancy for a Terminal cDV Singularity is 1 / / J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 3 (1996). C. 445-456.

19. Matsuki, K. Introduction to Mori's Program, Springer-Verlag.

20. Mori, S. Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective / / Ann. of Math. 116 (1982), C. 133-176.

21. Mori S. On 3-dimensional terminal singularities / / Nagoya Math. J. 98 (1985). C. 43-66.

22. Nash, J. F. Arc structure of singularities / / Duke Math. J. 81 (1995). C. 31-38.

23. Prokhorov, Yu. G. Blow-ups of canonical singularities / / Proceedings of the International Algebraic conference on the Occasion of the 90th birthday of A. G. Kurosh. Moscow, Russia, May 25-30, 1998. (2000). C. 301-317.

24. Prokhorov, Yu. G. El-blowing ups of terminal singularities / / J- Math. Sci. 115 (2003). N. 3. С 2395-2427.

25. Reid M. Canonical S-folds / / Jornees de Geometric Algebrique d'Angers, A. Beauville, editor. Sijthoff and Noordhoff, Alpen aan den Rijn. 1980, C. 273-310.

26. Reid, M. Minimal Models of Canonical 3-folds / / Algebraic Varieties and Analytic Varieties, Adv. Studies in Pure Math. Kinokuniya and North-Holland. 1983. V. 1. С 131-180.

27. Reid, M. Young person's guide to canonical singularities / / Proc. Symp. Pure Math. 46(1) (1987). С 345^14.

28. Shokurov, V. V. Complements on surfaces / / J. Math. Sci. 102:2 (2000). С 387G-3932.

29. Shokurov, V. V. Semi-stable 3-fold flips / / Изв. PAH Сер. матем. 57(2) (1993). 165-222.

30. Varchenko, A. N. Zeta-function of monodromy and Newton's diagram / / Invent. Math. 37 (1976). С 253-262.

31. Zariski, O. Reduction of the singularities of algebraic three-dimensional varieties / / Ann. of Math. 45 (1944). С 472-542.