Особенности на некоторых многообразиях Фано

Каржеманов, Илья Вячеславович

Особенности на некоторых многообразиях Фано тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Каржеманов, Илья Вячеславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Особенности на некоторых многообразиях Фано»

Автореферат диссертации на тему "Особенности на некоторых многообразиях Фано"

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.776

Каржеманов Илья Вячеславович Особенности на некоторых многообразиях Фано

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

2 2 онт 2сз

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003480320

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Прохоров Юрий Геннадиевич доктор физико-математических наук, профессор Тюрин Николай Андреевич кандидат физико-математических наук Шрамов Константин Александрович Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинско]

Защита диссертации состоится 06 ноября 2009 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 06 октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы

На рубеже 19-20-го веков, с расцветом итальянской школы алгебраической геометрии, в математику пришло множество красивых геометрических конструкций и методов. Так, стало ясно, что геометрия проективных алгебраических многообразий существенно определяется свойствами линейных систем дивизоров на этих многообразиях. Исходя из этого наблюдения были построены бирегулярная теория неособых проективных кривых и бирациональная теория неособых проективных поверхностей. Это послужило хорошим заделом для классификации алгебраических многообразий в размерности < 2 над полем комплексных чисел (см. работы1, 2, 3, 4, 5, 6).

Однако в отношении геометрии алгебраических многообразий высших размерностей оставалось больше вопросов чем ответов. Было поставлено огромное число задач, часть из которых получила лишь интуитивные решения, не удовлетворяющие современному уровню математической строгости. Более того, некоторые доказанные утверждения были ошибочны. Тем не менее, идеи и предсказания итальянских алгебраических геометров по сей день служат большим подспорьем в решении классических задач.

1Haphen G. Memoire sur la classification des courbes gauches algebriques // J. Ec. Polyt. 1882. V. 52. P. 1-200.

2Noether M. Zur Grundlegung der Theorie der Algebraischen Raumcurven // Verlag der Königlichen Akademie der Wissenschaften, Berlin. 1883.

3Castelnuovo G., Enriques F. Sopra aleune question! fondamental nella teoria delle superficie algebriche // Ann. di Mat. pura ed app. 1901. V. 6.

4Enriques F. Le superficie algebriche // Zanichelli. 1949.

5Segre C. Recherches generates sur les courbes et les surfaces reglees algebriques // Math. Ann. 1887. V. 30. and 1889. V.

34.

6Severi F. Le superficie algebriche con curva canónica d'ordine zero // Atti del 1st. Veneto. 1909. V. 68.

7Fano G. Sopra aleune varieta algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli // Atti Ace. Torino. (1907-1908). V. 43. P. 973-977.

8Fano G. Osservazioni sopra aleune varieta non razionali aventi tutti i generi nulli // Atti Ace. Torino. 1915. V. 50. P. 1067-1071.

9Fano G. Nuove ricerche sulle varieta a]gebriche a tre dimensione a curve-sezioni canoniche // Comm. Pont. Ac. Sei. 1947. V. 11. P. 635-720.

квартики в Р4. Унирациональность общей такой гиперповерхности была доказана в работе10. С другой стороны, в работах8, 9 Дж. Фано доказал, что всякая неособая трехмерная квартика в Р4 не рациональна, тем самым отрицательно решив проблему Люрота. Однако работы8, 9 содержали много неясных и, зачастую, ошибочных утверждений (см. также работу11). Тем не менее, идеи Дж. Фано были восстановлены в работе12, где было дано доказательство нерациональности неособой трехмерной квартики в Р4 на современном уровне математической строгости.

С другой стороны, многообразия Фано интересны и сами по себе, как представители весьма специфического класса алгебраических многообразий (во второй половине 20-го века, в рамках теории минимальных моделей С. Мори было осознано, что многообразия Фано являются естественными строительными блоками для многообразий отрицательной кодаировой размерности). В частности, итальянские геометры занимались задачей классификации неособых многообразий Фано. Так, в размерности 2 было дано полное описание соответствующих поверхностей (см. работу13), и на свет появились поверхности дель Пеццо. Трехмерный случай рассматривался Дж. Фано в работах8, 9, 14. Однако полное описание трехмерных неособых многообразий Фано было получено почти полвека спустя в работах В. А. Исковских, С. Мори и С. Мукаи (см. работы15, 1б, 17), в которых были усовершенствованы идеи самого Дж. Фано, а также применены мощные средства теории минимальных моделей, развитой в работах Ю. Кавама-ты, Я. Коллара, С. Мори, М. Рида, В. Шокурова и др. (см., например, работы18, 19, 20, 21).

10Segre В. Variazione continua ad omotopia in geometría algébrica // Ann. mat. pura ed appl. 1960. P. 149-186.

11Roth L. Algebraic threefolds with special regard to problems of rationality // Springer, Berlin. 1955.

"Псковских В. А., Манин Ю- И. Трехмерные квартикн и контрпримеры к проблеме Люрота // Мат. сб. 1971. Т. 86(1). С. 140-166.

"Del Pezzo P. Suie superficie dell'nmo ordine immerse nello spazio a n dimensioni. Rend, di Palermo // 1887. V. 1.

14Fano G. Sulle varieta a tre dimensioni a curve-sezioni canoniche // Mem. R. Accad. d'italia. 1937. V. 8. P. 14-49.

"Исковских В. A. Трехмерные многообразия Фадо I // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1977. Т. 41(3). С. 516-562.

"Исковских В. А. Трехмерные многообразия Фано II // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1978. Т. 42(3). С. 506-549.

17Mori S., Mukai S. Classification of Fino 3-folds with В3 £ 2 // Manuscr. Math. 1981. V. 36. P. 147-162.

18Kollár J. et al. Flips and Abundance for Algebraic Threefolds // Astérisque. 1992. V. 211.

19Mori S. Flip theorem and the existence of minimal models for Molds // J. Amer. Math. Soc. 1988. V. 1. P. 117-253.

20Mori S. Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective // Ann. Math. 1982. V. 115(2). P. 133-176.

"Шохуров В. В. Трехмерные логмгервстройхи // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1992. Т. 56(1). С. 105-203.

образия Фано-Энриквеса. Существенно здесь то, что неособые трехмерные многообразия Фано и многообразия Фано-Энриквеса являются, в определенном смысле, "общими представителями" класса трехмерыых алгебраических многообразий, имеющих обильный антиканонический дивизор и канонические особенности. В свою очередь, класс многообразий последнего типа является, с точки зрения получения разумного описания трехмерных многообразий с обильным антиканоническим дивизором, наиболее широким.

Однако, как показывает даже случай неособых многообразий Фано, получение такого описания - весьма нетривиальная задача. Так, многообразия Фано-Энриквеса изучались в работах22, 23. В частности, Дж. Фано показал (см. также работу24), что такие многообразия всегда особы. Более того, он предположил, что особенности многообразий Фано-Энриквеса всегда являются обыкновенными двойными, и классифицировал данные многообразия при этом предположении. Однако, как оказалось, список, полученный Дж. Фано, был не полон (см. работы25, 26). Кроме того, предположение об особенностях также не верно (см. работы27, 28). Тем не менее, верно то, что многообразия Фано-Энриквеса выделяются из класса трехмерных алгебраических многообразий с обильным антиканоническим дивизором как многообразия индекса Фано 1 и с каноническими Q-горенштейновыми особенностями индекса 2. Это наблюдение позволяет с помощью несложной конструкции циклического накрытия свести изучение многообразий Фано-Энриквеса к случаю трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями и действием регулярной инволюции с конечным числом неподвижных точек. Последнее условие довольно ограничительно и позволяет в некоторых случаях получить полное описание соответствующих многообразий Фано-Энриквеса (см. работы25, 26).

22Fano G. Sulle varieta algebriche a tre dimensione le cui sezioni iperpiane sono superficie di genere zero e bigenere uno // Mem. Mat. Sei. Fis. Natur. Soc. Ital. Sei. Ser. 1938. V. 3. P. 41-68.

23Godeaux L. Sur les variétés algébriques à trois dimensions dont les sections hyperplanes sont des surfaces et de bigenre un // Bull. Acad. Belgique Cl. Sei. 1933. V. 14. P. 134-140.

24Conte A., Murre J. P. Algebraic varieties of dimension three whose hyperplane sections are Enriques surfaces // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CL. Sei. V. 12(1). 1985. P. 43-80.

25Bayle L. Classification des variétés complexes projectives de dimension trois dont une section hyperplane générale est une surface d'Enriques // J. Reine Angew. Math. V. 449. 1995. P. 9-63.

26Sano T. Classification of non-Gorenstein Q-FSmo 3-folds of index 1 // J. Math. Soc. Japan. V. 47(2). 1995. P. 369-380.

s7Knutsen A. L., Lopez A. F., Muñoz R. On the extendability of projective surface and a genus bound for Enriquea-Fano threefolds // arXiv: math. AG0605750 (2006).

"Прохоров Ю. Г. О многообразиях Фано-Эяриквеса // Мат. сб. 2007. Т. 198(4). С. 117-134.

штейновыми особенностями. Эта задача естественна также в рамках теории минимальных моделей, так как рассматриваемые многообразия Фано являются антиканоническими моделями многообразий Q-Фано (см. рабо-ту29).

Первым шагом в направлении решения поставленной задачи служит оценка антиканонической степени многообразий Фано с каноническими го-ренштейновыми особенностями. В неособом случае для этой степени из работ15, 16, 17 следует оценка ^ 64, которая достигается только на Р3. Более того, в работе30 было доказано, что в общем случае антиканоническая степень не превосходит 72, и данная оценка достигается лишь на двух взвешенных проективных пространствах Р(6,4,1,1) и Р(3,1,1,1). Это положительно решает проблему Фано-Исковских (см. работу31). Заметим также, что отсюда следует оценка на род многообразий Фано-Энриквеса. Далее, класс трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями разбивается на подклассы многообразий одной и той же антиканонической степени. Для некоторых из этих подклассов можно получить полное описание (см., например, работу30). Таков один из путей решения задачи классификации трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями. Другой способ восходит к работам8, 9,14 (см. также работы 15 и 16) и основан на детальном изучении антиканонической линейной системы на данном трехмерном многообразии Фано с каноническими горенштейновыми особенностями. При некоторых ограничениях на эти линейные системы можно получить полную классификацию соответствующих многообразий (см., например, работу32).

Разумеется, оба этих подхода были бы весьма затруднительными без огромного арсенала средств, доставляемого теориями минимальных моделей и особенностей алгебраических многообразий. Так, в рамках теории минимальных моделей изучение трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями естественно сводится к случаю трехмерных слабых многообразий Фано (т.е. нормальных проективных алгебраических многообразий с численно эффективным и объемным антиканоническим дивизором) с терминальными факториальными особенностями. Геометрия многообразий последнего типа во многом определяется строением экстремальных лучей и соответствующих экстремальных стяги-

29Alexeev V. General elephants of <J-Fbno Molds // Compositio Math. 1994. V. 91. P. 91-116.

30Прохоров Ю. Г. Степень трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями // Мат. сб. 2005. Т. 196(1). С. 81-122.

31Исковских В. А. Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий // Современные проблемы математики. Т. 12 (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ. 1979. С. 159-236.

32Пржиялковский В. В., Чельцов И. А., Шрамов К. А. Гиперэллиптические и тригональные трехмерные многообразия Фано // Изв. РАН Сер. Матем. 2005. Т. 69. С. 145-204.

ваний на этих многообразиях. Описание же экстремальных лучей происходит во многом за счет описания структуры конуса Мори соответствующего слабого многообразия Фано.

Результаты диссертации продолжают описанные выше исследования.

Цель работы

• Классифицировать трехмерные многообразия Фано с каноническими го-ренштейновыми особенностями, антиканонической степени большей или равной 64;

• Классифицировать многообразия Фано-Энриквеса, которые являются факторами трехмерных многообразий Фано X с каноническими горен-штейновыми особенностями по действию регулярной инволюции, таких, что линейная система | — Кх\ задает морфизм, не являющийся вложением.

Научная новизна

1. Доказано, что кроме многообразий Р(6,4,1,1) и Р(3,1,1,1) лишь следующие трехмерные многообразия Фано с каноническими горенштейновыми особенностями имеют антиканоническую степень большую или равную 64:

• Х-ц): образ антиканонически вложенного многообразия Р(6,4,1,1) С Р38 при бирациональной проекции из особой сБУ точки на Р(6,4,1,1). В этом случае антиканоническая степень равна 70;

• Хм: антиканонический образ Р2-расслоения Р(Ор1 (5) ф 0^(2) © Ор). В этом случае антиканоническая степень равна 66;

• Р3;

• конус в Р9 над антиканонически вложенной поверхностью Р1 х Р1;

• конус в Р9 над антиканонически вложенной поверхностью ;

• образ антиканонически вложенного многообразия Р(3,1,1,1) С Р38 при бирациональной проекции из касательного пространства в неособой точке на Р(3,1,1,1);

• образ антиканонически вложенного многообразия Р(6,4,1,1) С Р38 при бирациональной проекции из касательного пространства в неособой точке на Р(6,4,1,1);

• образ антиканонически вложенного многообразия Х^ С Р35 при бира-циональной проекции из особой сОУ точки на Х66.

Во всех случаях, кроме первых двух, антиканоническая степень равна 64.

2. Доказано, что имеется ровно 12 классов многообразий Фано-Энриквеса, которые являются факторами трехмерных многообразий Фано X с каноническими горенштейновыми особенностями по действию регулярной инволюции, таких, что линейная система | — Кх\ задает морфизм, не являющийся вложением. При этом два из этих классов содержатся в списках работ25, 26, поэтому общие многообразия Фано-Энриквеса в этих классах имеют обыкновенные двойные особенности. С другой стороны, общие многообразия Фано-Энриквеса в остальных классах имеют особенности хуже чем обыкновенные двойные.

Основные методы исследования

В работе применяются методы алгебраической геометрии33, теории (лог-)минимальных моделей алгебраических многообразий34 , 35, Зб, 37, теории особенностей алгебраических многообразий38 , 39 , 40, теория торических многообразий41.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для многомерной алгебраической геометрии, теории многообразий Фано и теории особенностей.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

33Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия // М.: Мир. 1981.

34Mori S. Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective // Ann. Math. 1982. V. 115(2). P. 133-176.

35Mori S. Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds // J. Amer. Math. Soc. 1988. V. 1. P. 117-253.

"Kollir J. et al. Flips and Abundance for Algebraic Threefolds // Astérisque. 1992. V. 211.

"Шохуров В. В. Трехмерные лог-перестройки // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1992. Т. 56(1). С. 105-203.

38Kollir J. Singularities of pairs // Proc. Symp. Pure Math. 1997. V. 62. P. 221-287.

3eReid M. Canonical 3-folds // Algebraic Geometry, Angers. 1979. P. 273-310.

40Reid M. Young person's guide to canonical singularities // Proc. Syrup. Pure Math. 1987. V. 46. P. 343-416.

41 Fulton W. Introduction to toric varieties // Princeton University Press. 1993.

• Кафедральный семинар кафедры высшей алгебры МГУ (2009);

• Конференция "Workshop for birationalists" в Университете г. Поханг (Корея, 2008);

• Семинар "Геометрия алгебраических многообразий" под руководством В. А. Псковских и Ю. Г. Прохорова в МГУ (Москва, 2006).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-3].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 4 глав (первая из которых является вводной) и библиографии (82 наименований). Общий объем диссертации составляет 116 страниц.

Краткое содержание работы

Первая глава - введение. Здесь обсуждается история изучаемых вопросов, дается обзор ранее известных результатов и формулируются основные утверждения, доказанные в диссертации.

В главе 2 мы напоминаем необходимые для доказательства основных результатов диссертации известные понятия и утверждения из теории особенностей алгебраических многообразий (см. раздел 2.2), теории минимальных моделей алгебраических многообразий (см. раздел 2.3) и теории тори-ческих многообразий (см. раздел 2.4). Мы также устанавливаем соглашения относительно обозначений и понятий, используемых в диссертации (см. раздел 2.1).

В главе 3 мы доказываем результат о классификации трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями, антиканонической степени ^ 64. В разделе 3.1 мы вводим необходимые понятия и формулируем теорему 3.1.10 о трехмерных многообразиях Фано с каноническими горенштейновыми особенностями, антиканонической степени большей 64 и меньшей 72. В этом же разделе мы приводим известные утверждения о свойствах антиканонических линейных систем на трехмерных многообразиях Фано с каноническими горенштейновыми особенностя-

ми, большой антиканонической степени. Это позволит рассматривать данное трехмерное многообразие Фано X с каноническими горенштейновыми особенностями, антиканонической степени 64 < (—Кх)ъ < 72, относительно вложения антиканонической линейной системой | — Кх |. В этом случае (—Кх)3 совпадает со степенью вложенного многообразия. Более того, таким способом вложенное многообразие Фано X оказывается пересечением квадрик. Далее, используя результаты разделов 2.2 и 2.3 в главе 2, по данному многообразию Фано X мы построим бирациональный морфизм / : Y —»- X такой, что многообразие Y имеет терминальные фактори-альные особенности, антиканонический дивизор -Ку является численно эффективным и объемным, и выполнено равенство Ку = f*(Kx) на Y. Существенно в этой конструкции то, что (—Ку)3 = (—Кх)3 и для Y имеется полное описание Яу-экстремальных стягиваний (см. работу42). В частности, при (—Кх)3 > 64 любое такое стягивание должно быть бирациональ-ным и дивизориальным. В зависимости от типа стягивания, мы разбиваем доказательство теоремы 1.3.10 на два больших случая.

В разделе 3.2 мы рассматриваем случай, когда данное /Су-экстремальное стягивание на Y приводит к многообразию Y' того же типа, что и Y. Переходя к соответствующему многообразию Фано X, мы покажем, что X является образом при бирациональной проекции антиканонически вложенного многообразия Фано X' с каноническими горенштейновыми особенностями, степени большей чем степень X (см. лемму 3.2.1). Мы докажем, что в этом случае должно быть X' = Р(6,4,1,1) и X = Х70 (см. предложение 3.2.3 и леммы 3.2.11,3.2.12). Кроме того, мы докажем, что многообразие Х70 имеет единственную особую точку, и эта точка не cDV (см. предложение 3.2.6).

Оставшаяся часть главы 3 посвящена рассмотрению противоположного случая - когда стягивание экстремального луча на Y, отрицательного относительно Ку, приводит к многообразию Y', особенности которого хуже чем особенности Y, или чей антиканонический дивизор — Ку< не является численно эффективным. Используя результаты из раздела 3.1, мы покажем в этом случае, что соответствующее многообразие Фано X либо содержит не cDV точку, либо особо вдоль прямой, либо содержит плоскость.

В разделе 3.3, рассматривая линейную систему % всех гиперплоских сечений многообразия X, которые проходят либо через не cDV точку, либо через прямую, либо через плоскость на X, мы показываем, следуя работе30, что Y и f : Y —у X можно выбрать такими, что

• для собственного прообраза Ну общего элемента в линейной системе

42Cutkosky S. Elementary contractions of Gorenstein threefolds // Math. Ann. 1988. V. 280. P. 521-525.

И на У относительно / пара (У, Ну) имеет канонические особенности;

• Ну является численно эффективным и объемным дивизором Картье;

• имеет место численное равенство Ку + Ну + Ву = 0 для некоторого эффективного дивизора Ву на У с неприводимыми компонентами отрицательной кодаировой размерности;

• для общего элемента Ьу в линейной системе | — Ку \ пара (У, Ьу) имеет канонические особенности.

Применяя лог-программу минимальных моделей к паре (У, Ну), мы приходим к расслоению Мори IV с дивизором Нцг, для которых указанные выше свойства многообразия У и дивизора Ну сохраняются. Довольно сильным условием является также то, что линейная система | — Ку/1 задает бира-циональное отображение многообразия IV на исходное многообразие Фа-но X. Далее, многообразие IV является либо расслоением на поверхности дель Пеццо, либо расслоением на коники, либо многообразием (ф-Фано. При этом, как следует из работы30, последний случай не возможен.

В разделе 3.4 мы рассматриваем случай, когда IV является расслоением на поверхности дель Пеццо. Мы докажем, что должно быть VI — Р(0р1(5) ф 0р1 (2) ф или Р(Ор1(6) ф Ор 1(2) ф 0Рг) и X = Х66 или Х70 (см. лемму 3.4.1 и предложения 3.4.2, 3.4.8). Для этого нам потребуется, с одной стороны, информация о строении линейной системы | — К\у \ при — Р(0Р1(5) ф 0Р1 (2) ф (см. лемму 3.4.3). Здесь мы воспользуемся результатами из раздела 3.4 в главе 2. С другой стороны, нам будут нужны свойства проекций антиканонически вложенных многообразий Х70 и Р(6,4,1,1) из линейных пространств малых размерностей (см. леммы 3.1.26 и 3.4.10-3.4.14). Здесь мы существенно используем то, что Х7й и Р(6,4,1,1) являются пересечениями квадрик (см. предложение 3.1.13). Кроме того, мы докажем, что особенности многообразия Xее не являются сБУ (см. предложение 3.4.5).

В разделе 3.5 мы рассматриваем случай, когда IV является расслоением на коники. Прежде всего, мы установим ограничения на размерность линейной системы (см. предложение 3.5.2). Здесь нам будут нужны свойства проекций антиканонически вложенного многообразия Р(3,1,1,1) из линейных пространств малых размерностей. В частности, мы снова существенно используем тот факт, что Р(3,1,1,1) является пересечением квадрик (см. предложение 3.1.13). Далее, следуя работе30, мы сводим рассмотрение к случаю, когда IV является Р^расслоением либо над Р2, либо над где п ^ 4 и п -ф 1. Тогда, используя теорему Римана-Роха для

векторных расслоений ранга 2 на рациональной поверхности и свойства классов Чжэня таких расслоений, мы получим противоречие с доказанной оценкой на размерность \Hw\ (см. предложения 3.5.12 и 3.5.16).

В разделе 3.6 мы выведем несколько следствий из теоремы 3.1.10. В одном из них - теореме 3.6.5 - мы докажем точную оценку < 17 на род многообразий Фано-Энриквеса. Это достигается, во-первых, путем представления данного многообразия Фано-Энриквеса U в виде фактора Х/т трехмерного многообразия Фано X с каноническими горенштейновыми особенностями по действию регулярной инволюции т на X с конечным числом неподвижных точек. Затем, в предположении, что род U больше 17, задача сводится к вопросу о существовании такой инволюции г на многообразиях Р(6,4,1,1), Р(3,1,1,1), Х7о и Хеб, для которых этот вопрос решается отрицательно. Далее, в теореме 3.6.6 мы получим классификацию трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями, антиканонической степени 64. Здесь мы следуем основным шагам в доказательстве теоремы 3.1.10, уточняя некоторые из них.

В главе 4 мы изучаем многообразия Фано-Энриквеса с изолированными особенностями. В разделе 4.1, используя представление данного многообразия Фано-Энриквеса U в виде фактора Х/т трехмерного многообразия Фано X с каноническими горенштейновыми особенностями по действию регулярной инволюции т на X с конечным числом неподвижных точек, мы сосредоточиваем наше внимание на тех U, для которых антиканоническая линейная система | — Кх | на X не задает изоморфизма. Мы формулируем результат о классификации таких многообразий Фано-Энриквеса в теореме 4.1.1. В этом же разделе мы доказываем несколько вспомогательных утверждений, которые сужают круг поиска соответствующих U и X. Так, мы докажем, что линейная система | - Кх\ не имеет базисных точек на X и задает конечный морфизм степени 2 на минимальное многообразие Y С Р", где п := dim \ - Кх\.

В разделе 4.2 мы изучаем те X, для которых Y имеет малую степень. При этом возникают 4 случая: Y является конусом над поверхностью Ве-ронезе, пересечением квадрики и квартики в Р(1,1,1,1,1,2), образом Р2-расслоений Р(Ор1(2) © 0Pi(2) © Ofi(2)) и P(CPi(2) ® 6>Pi(l) ф 0Pi(l)) при вложении их в Р" тавтологической линейной системой. Три последних случая возникают, например, в работах25, 26. Случай конуса над поверхностью Веронезе мы исключаем в лемме 4.2.3. Отсюда, согласно теореме Энриквеса о классификации минимальных многообразий, получаем, что остается разобрать случай, когда Y является образом Р2-расслоения

Р := Р(С?1р1(^1) ф СР1(й2) Ф (<^з)) относительно морфизма, заданного тавтологической линейной системой на Р. Более того, многообразие Фано X является тогда антиканоническим образом двойного накрытия многообразия Этот случай мы рассматриваем в разделе 4.3. Используя программу минимальных моделей, мы докажем (см. лемму 4.3.3), что действие инволюции т продолжается с X на Р. Это, вместе с ограничениями, полученными в разделе 4.1, и классификацией в работе32 приводит к I со специальными значениями 1 ^ г ^ 3. Обратно, в каждом из полученных случаев, выбирая подходящим образом дивизор И на многообразии Р, инвариантный относительно некоторой регулярной инволюции на Е, мы построим двойное накрытие ¥ с ветвлением в £>, антиканонический образ которого дает многообразие Фано X с инволюцией т, такое, что фактор Х/т является многообразием Фано-Энриквеса с изолированными особенностями.

Благодарности

Я благодарю моих научных руководителей д.ф-м.н., профессора

В. А. Псковских и д.ф-м.н., профессора Ю. Г. Прохорова за постановку задач и постоянное внимание к работе, д.ф-м.н., профессора И. А. Чельцова за критические замечания, к.ф.-м.н., доцента И. В. Аржанцева, к.ф.-м.н. В. С. Жгуна, к.ф.-м.н. В. В. Пржиялковского и к.ф.-м.н. Д. А. Степанова за полезные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

[1] Каржеманов И. В. О трехмерных многообразиях Фано с каноническими горенштейновыми особенностями // Мат. сб. 2009. Т. 200(8). С. 111-146.

[2] Каржеманов И. В. О некоторых многообразиях Фано-Энриквеса // Деп. в ВИНИТИ РАН. 2009. С. 1-10.

[3] Каржеманов И. В. Трехмерные многообразия Фано с каноническими горенштейновыми особенностями, большой степени // Деп. в ВИНИТИ РАН. 2009. С. 1-38.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 100 экз. Заказ № 35"

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Каржеманов, Илья Вячеславович

1.1 История поставленных задач.

1.2 Основные результаты.

1.3 Описание диссертации и используемых методов.

2 Вспомогательная часть

2.1 Основные обозначения и определения.

2.2 Особенности алгебраических многообразий.

2.3 Результаты из теории минимальных моделей.

2.4 Торические многообразия.

3 Многообразия Фано с каноническими особенностями

3.1 Формулировка основного результата, соглашения и предварительные утверждения.

3.2 Стягивания специального типа.

3.3 Общий случай: редукция к лог-расслоению Мори.

3.4 Случай стягивания на кривую.

3.5 Случай стягивания на поверхность.

3.6 Следствия.

4 Многообразия Фано—Энриквеса

4.1 Формулировка основного результата, соглашения и предварительные утверждения.

4.2 Случай малой степени.

4.3 Общий случай.

Введение диссертация по математике, на тему "Особенности на некоторых многообразиях Фано"

1.1 История поставленных задач

На рубеже 19-20-го веков, с расцветом итальянской школы алгебраической геометрии, в математику пришло множество красивых геометрических конструкций и методов. Так, стало ясно, что геометрия проективных алгебраических многообразий существенно определяется свойствами линейных систем дивизоров на этих многообразиях. Исходя из этого наблюдения были построены бирегулярная теория неособых проективных кривых и бирациональная теория неособых проективных поверхностей. Это послужило хорошим заделом для классификации алгебраических многообразий в размерности ^ 2 над полем комплексных чисел (см. [27], [56], [8], [17], [71], [72]).

Одним из ярчайших представителей итальянской геометрической школы был Дж. Фано. В своих работах он, в частности, интересовался проблемой Люрота для алгебраических многообразий в размерности ^ 3 (см. [18], [19], [20]). Это привело его к изучению неособых алгебраических многообразий, близких к рациональным, а именно, многообразий с обильным антиканоническим дивизором. Такие многообразия получили впоследствии название многообразий Фано. В случае кривых единственным многообразием Фано является Р1. В размерности 2, согласно критерию Дж. Кастель-нево, многообразия Фано рациональны. Желая построить контрпример к проблеме Люрота в размерности 3, Дж. Фано изучал геометрию неособой трехмерной кварти-ки в Р4. Унирациональность общей такой гиперповерхности была доказана в работе [70]. С другой стороны, в [19], [20] Дж. Фано доказал, что всякая неособая трехмерная квартика в Р1 не рациональна, тем самым отрицательно решив проблему Люрота. Однако работы [19], [20] содержали много неясных и, зачастую, ошибочных утверждений (см. также [68]). Тем не менее, идеи Дж. Фано были восстановлены в работе [32], где было дано доказательство нерациональности неособой трехмерной квартики в Р4 на современном уровне математической строгости.

С другой стороны, многообразия Фано интересны и сами по себе, как представители весьма специфического класса алгебраических многообразий (во второй половине 20-го века, в рамках теории минимальных моделей С. Мори было осознано, что многообразия Фано являются естественными строительными блоками для многообразий отрицательной кодаировой размерности). В частности, итальянские геометры занимались задачей классификации неособых многообразий Фано. Так, в размерности 2 было дано полное описание соответствующих поверхностей (см. [14]), и на свет появились поверхности дель Пеццо. Трехмерный случай рассматривался Дж. Фано в работах [19], [20], [21]. Однако полное описание трехмерных неособых многообразий" Фано было получено почти полвека спустя в работах В. А. Исковских, С. Мори и С. Мукаи (см. [30], [31], [53]), в которых были усовершенствованы идеи самого Дж. Фано, а также применены мощные средства теории минимальных моделей, развитой в работах Ю. Каваматы, Я. Коллара, С. Мори, М. Рида, В. Шокурова и др. (см., например, [44], [51], [52], [79]).

Далее, случай особых многообразий Фано не менее интересен. Так, естественным дополнением к классу неособых трехмерных многообразий Фано как алгебраических многообразий, содержащих неособую КЗ поверхность в качестве обильного дивизора, служат трехмерные нормальные алгебраические многообразия, содержащие неособую поверхность Энриквеса в качестве обильного дивизора. Если потребовать еще, чтобы многообразия последнего типа не являлись конусами, то мы приходим к понятию лмогообразия Фано-Энриквеса. Существенно здесь то, что неособые трехмерные многообразия Фано и многообразия Фано-Энриквеса являются, в определенном смысле, "общими представителями" класса трехмерных алгебраических многообразий, имеющих обильный антиканонический дивизор и канонические особенности (см. определение 2.2.6 и замечание 3.6.4). В свою очередь, класс многообразий последнего типа является, с точки зрения получения разумного описания трехмерных многообразий с обильным антиканоническим дивизором, наиболее широким.

Однако, как показывает даже случай неособых многообразий Фано, получение такого описания - весьма нетривиальная задача. Так, многообразия Фано-Энриквеса изучались в работах [22], [24]. В частности, Дж. Фано показал (см. также [10]), что такие многообразия всегда особы. Более того, он предположил, что особенности многообразий Фано-Энриквеса всегда являются обыкновенными двойными, и классифицировал данные многообразия при этом предположении. Однако, как оказалось, список, полученный Дж. Фано, был не полон (см. [6], [69]). Кроме того, предположение об особенностях также не верно (см. [40], [60]). Тем не менее, верно то, что многообразия Фано-Энриквеса выделяются из класса трехмерных алгебраических многообразий с обильным антиканоническим дивизором как многообразия индекса Фано 1 и с каноническими ^-горенштейновыми особенностями индекса 2 (см. определения 2.3.15, 2.2.1 и замечание 3.6.4). Это наблюдение позволяет с помощью несложной конструкции циклического накрытия (см. пример 2.2.15) свести изучение многообразий Фано-Энриквеса к случаю трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями (см. определение 2.2.1) и действием регулярной инволюции с конечным числом неподвижных точек. Последнее условие довольно ограничительно и позволяет в некоторых случаях получить полное описание соответствующих многообразий Фано-Энриквеса (см. [6], [69], а также теоремы 3.6.5 и 4.1.1).

Рассуждения предыдущего абзаца приводят к естественной и, с точки зрения получения полного описания трехмерных алгебраических многообразий с обильным антиканоническим дивизором, наиболее общей задаче классификации трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями. Эта задача естественна также в рамках теории минимальных моделей, так как рассматриваемые многообразия Фано являются антиканоническими моделями многообразий Ч^-Фано (см. [1], а также определение 2.3.8).

Первым шагом в направлении решения поставленной задачи служит оценка антиканонической степени многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями (см. определение 3.1.1). В неособом случае для этой степени из работ [30], [31], [53] следует оценка ^ 64, которая достигается только на Р3. Более того, в работе [62] было доказано, что в общем случае антиканоническая степень не превосходит 72, и данная оценка является точной. Это положительно решает проблему Фано-Исковских (см. [29]). Заметим также, что отсюда следует оценка на род многообразий Фано-Энриквеса (см. определение 3.6.3 и замечание 3.6.4). Далее, класс трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями разбивается на подклассы многообразий одной и той же антиканонической степени. Для некоторых из этих подклассов можно получить полное описание (см. [62], а также теоремы 3.1.10 и 3.6.6). Таков один из путей решения задачи классификации трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями. Другой способ восходит к [19], [20], [21] (см. также [30] и [31]) и основан на детальном изучении антиканонической линейной системы на данном трехмерном многообразии Фано с каноническими горенштейновыми особенностями. При некоторых ограничениях на эти линейные системы можно получить полную классификацию соответствующих многообразий (см. [58], а также теорему 4.1.1).

Разумеется, оба этих подхода были бы весьма затруднительными без огромного арсенала средств, доставляемого теориями минимальных моделей и особенностей алгебраических многообразий. Так, в рамках теории минимальных моделей изучение трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями естественно сводится к случаю трехмерных слабых многообразий Фано с терминальными факториальными особенностями (см. определения 2.2.6 и 2.3.15). Геометрия многообразий последнего типа во многом определяется строением экстремальных лучей и соответствующих экстремальных стягиваний на этих многообразиях (см., например, [37], а также определение 2.3.3 и теорему 2.3.7). Описание же экстремальных лучей происходит во многом за счет описания структуры конуса Мори (см., например, [37], а также определение 2.3.2) соответствующего слабого многообразия Фано.

В следующем разделе мы изложим основные результаты диссертации, позволяющие приблизиться к решению описанных выше задач.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Каржеманов, Илья Вячеславович, Москва

1. Alexeev V. General elephants of Q-Fano 3-folds // Compositio Math. 1994. V. 91. P. 91-116.

2. Арнольд В. И., Варченко А. H., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов // Наука. Москва. 1982.

3. Artin M. On isolated rational singularities of surfaces // Amer. Journal Math. 1966. V. 88. P. 129-136.

4. M. Artin. Some numerical criteria for contractability of curves on algebraic surfaces // Am. J. Math. 1962. V. 84. P. 485-496.

5. Atiyah M. Vector bundles over an elliptic curve // Proc. Lond. Math. Soc. 1957. V. 7. P. 414-452.

6. Bayle L. Classification des variétés complexes projectives de dimension trois dont une section hyperplane générale est une surface d'Enriques //J. Reine Angew. Math. V. 449. 1995. P. 9-63.

7. Borisov A. Boundedness of Fano threefolds with log-terminal singularities of given index //J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 2001. V. 8. P. 329-342.

8. Castelnuovo G., Enriques F. Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche // Ann. di Mat. pura ed app. 1901. V. 6.

9. Conte A. Two examples of algebraic threefolds whose hyperplane sections are Enriques surfaces // Algebraic geometry open problems (Ravello, 1982); Lecture Notes in Math. (Springer, Berlin, 1983). V. 997. P. 124-130.

10. Conte A., Murre J. P. Algebraic varieties of dimension three whose hyperplane sections are Enriques surfaces // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CL. Sci. V. 12(1). 1985. P. 43-80.

11. Cutkosky S. Elementary contractions of Gorenstein threefolds // Math. Ann. 1988. V. 280. P. 521-525.

12. Гриффите Ф., Харис Дж. Принципы алгебраической геометрии // М.: Мир. 1982.

13. Данилов В. И. Геометрия торических многообразий // Успехи мат. наук. 1975. Т. 33(2) С. 85-134.

14. Del Pezzo P. Sule superficie delPnmo ordine immerse nello spazio a n dimensioni. Rend, di Palermo // 1887. V. 1.

15. Dolgachev I. V. Weighted projective varieties // Lecture Notes in Math. 1982. V. 956. P. 34-71.

16. Du Val P. On isolated singularities of surfaces which do not affect tile condi-tions of adjunction, I, II and III // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1934. V. 30. P. 453-459,460465,483-491.

17. Enriques F. Le superficie algebriche // Zanichelli. 1949.

18. Fano G. Sopra aleune varieta algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli // Atti Ace. Torino. (1907-1908). V. 43. P. 973-977.

19. Fano G. Osservazioni sopra aleune varieta non razionali aventi tutti i generi nulli // Atti Ace. Torino. 1915. V. 50. P. 1067-1071.

20. Fano G. Nuove ricerche sulle varieta algebriche a tre dimensione a curve-sezioni canoniche // Comm. Pont. Ac. Sci. 1947. V. 11. P. 635-720.

21. Fano G. Sulle varieta a tre dimensioni a curve-sezioni canoniche // Mem. R. Accad. d'ltalia. 1937. V. 8. P. 14-49.

22. Fano G. Sulle varieta algebriche a tre dimensione le cui sezioni iperpiane sono superficie di genere zero e bigenere uno // Mem. Mat. Sci. Fis. Natur. Soc. Ital. Sci. Ser. 1938. V. 3. P. 41-66.

23. Fulton W. Introduction to toric varieties // Princeton University Press. 1993.

24. Godeaux L. Sur les variétés algébriques à trois dimensions dont les sections hyperplanes sont des surfaces et de bigenre un // Bull. Acad. Belgique Cl. Sci. 1933. V. 14. P. 134-140.

25. Grothendieck A. La theorie des classes de Chern // Bull. Soc. Math, de France 1958. V. 86. P. 137-154.

26. Grothendieck A. Le groupe de Brauer, Dix exposes sur la cohomologie des shemasr North-Holland // Amsterdam. 1968. P. 46-188.

27. Haphen G. Memoire sur la classification des courbes gauches algebriques // J. Ec. Polyt. 1882. V. 52. P. 1-200.

28. Iano-Fletcher A. R. Working with weighted complete intersections // Explicit Birational Geometry of 3-Folds (A. Corti and M. Reid, eds.). London Math. Soc. Lecture Note Sec. Cambridge Univ. Press. Cambridge 2000. V. 281. P. 101-173.

29. Исковских В. А. Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий // Современные проблемы математики. Т. 12 (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ. 1979. С. 159-236.

30. Исковских В. А. Трехмерные многообразия Фано I // Изв. АН СССР Сер. Ма-тем. 1977. Т. 41(3). С. 516-562.

31. Исковских В. А. Трехмерные многообразия Фано II // Изв. АН СССР Сер. Ма-тем. 1978. Т. 42(3). С. 506-549.

32. Исковских В. А., Манин Ю. И. Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота // Мат. сб. 1971. Т. 86(1). С. 140-166.

33. Iskovskikh V. A., Prokhorov Yu. G. Fano varieties. Encyclopaedia of Mathematical Sciences // Algebraic geometry V / ed. Parshin A. N., Shafarevich I. R. V. 47. Berlin: Springer-Verlag. 1999.

34. Jahnke P., Radloff I. Gorenstein Fano threefolds with base points in the anticanonical system // Сотр. Math. 2006. V. 142(2). P. 422-432.

35. Jahnke P., Radloff I. Terminal Fano threefolds and their smoothings // arXiv: math. AG06011769 (2006).

36. Kawamata Y. The crêpant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to the degeneration of surfaces // Ann. of Math. 1988. V. 127(2). P. 93-163.

37. Kawamata Y., Matsuda K., Matsuki K. Introduction to the Minimal Model Problem // Advanced Studies in Pure Math. 1987. V. 10. P. 283-360.

38. Kempf G., Knudsen F. F., Mumford D., Saint-Donat B. Toroidal embeddings // Lecture Notes in Mathematics, I. Springer-Verlag, Berlin, 1973. V. 339.

39. Клеменс X., Коллар Я., Мори С. Многомерная комлексная геометрия // М.: Мир. 1993.

40. Knutsen A. L., Lopez A. F., Munoz R. On the extendability of projective surface and a genus bound for Enriques-Fano threefolds // arXiv: math. AG0605750 (2006).

41. Kollâr J. Shafarevich Maps and Automorphic Forms // Princeton Univ. Press. 1995.

42. Kollâr J. Flops // Cambridge, Massachusetts: Harvard Univ. 1987.(Preprint).

43. Kollâr J. Singularities of pairs // Proc. Symp. Pure Math. 1997. V. 62. P. 221-287.

44. Kollâr J. et al. Flips and Abundance for Algebraic Threefolds // Astérisque. 1992. V. 211.

45. Kollâr J., Mori S. Birational geometry of algebraic varieties // Cambridge Univ. Press. 1998.

46. Kollâr J., Shepherd-Barron N. I. Threefolds and deformations of surface singularities // Invent. Math. 1988. V. 91(2). P. 299-338.

47. Kreuzer M., Skarke H. PALP: A package for analyzing lattice polytopes with applications to toric geometry // Computer Phys. Comm. 2004. V. 157. P. 87-106.

48. Laufer H. Minimally elliptic singularities // Amer. J. Math. 1977. V. 77. P. 12571295.

49. Львовский С. M. Ограниченность степени трехмерных многообразий Фано // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1981. Т. 45(6). С. 1288-1331.

50. Minagawa Т. Deformations of Q-Calabi-Yao 3-folds and Q-Fano 3-folds of Fano index 1 // J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 1999. V. 6(2). P. 397-414.

51. Mori S. Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds //J. Amer. Math. Soc. 1988. V. 1. P. 117-253.

52. Mori S. Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective // Ann. Math. 1982. V. 115(2). P. 133-176.

53. Mori S., Mukai S. Classification of Fano 3-folds with B2> 2 // Manuscr. Math. 1981. V. 36. P. 147-162.

54. Namikawa Y. Smoothing Fano 3-folds //J. Algebraic Geom. 1997. V. 6. P. 307-324.

55. Nill B. Volume and lattice points of reflexive simplices // Discrete Comput. Geom. V. 37. 2007. P. 301-320.

56. Noether M. Zur Grundlegung der Theorie der Algebraischen Raumcurven // Verlag der Königlichen Akademie der Wissenschaften, Berlin. 1883.

57. Oda T. Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer-Verlag. VIII. 1988. V. 3. 212 P.

58. Пржиялковский В. В., Чельцов И. А., Шрамов К. А. Гиперэллиптические и тригональные трехмерные многообразия Фано // Изв. РАН Сер. Матем. 2005. Т. 69. С. 145-204.

59. Prokhorov Yu. G. A remark on Fano threefolds with canonical Gorenstein singularities // Proc. Fano Conf. 2002.

60. Прохоров Ю. Г. О многообразиях Фано-Энриквеса // Мат. сб. 2007. Т. 198(4). С. 117-134.

61. Прохоров Ю. Г. О трехмерных многообразиях с гиперплоскими сечениями -поверхностями Энриквеса // Мат. сб. 1995. Т. 186(9). С. 113-124.

62. Прохоров Ю. Г. Степень трехмерных многообразий Фано с каноническими го-ренштейновыми особенностями // Мат. сб. 2005. Т. 196(1). С. 81-122.

63. Prokhorov Yu. G., Shokurov V. V. Toward the second main theorem on complements: from local to global //J. Algebraic Geom. 2009. V. 18. P. 151-199.

64. Reid M. Canonical 3-folds // Algebraic Geometry, Angers. 1979. P. 273-310.

65. Reid M. Chapters on algebraic surfaces // Complex algebraic geometry (Park City. Ut. 1993) P. 3-159.

66. Reid M. Projective morphisms according to Kawamata // Preprint Univ. of Warwick. 1983.

67. Reid M. Young person's guide to canonical singularities // Proc. Syrup. Pure Math. 1987. V. 46. P. 343-416.

68. Roth L. Algebraic threefolds with special regard to problems of rationality // Springer, Berlin. 1955.

69. Sano T. Classification of non-Gorenstein Q-Fano 3-folds of index 1 // J. Math. Soc. Japan. V. 47(2). 1995. P. 369-380.

70. Segre B. Variazione continua ad omotopia in geometria algebrica // Ann. mat. pura ed appl. 1960. P. 149-186.

71. Segre C. Recherches generates sur les courbes et les surfaces reglees algebriques // Math. Ann. 1887. V. 30. and 1889. V. 34.

72. Severi F. Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero // Atti del 1st. Veneto. 1909. V. 68.

73. Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия // M.: Мир. 1981.

74. Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. М.: Мир. 1973. 280 С.

75. Чельцов И. А. Особенности трехмерных многообразий, обладающих обильным эффективным дивизором гладкой поверхностью кодаировой размерности нуль // Матем. заметки. Т. 59(4). 1996. С. 618-626.

76. Чельцов И. А. Рациональность трехмерного многообразия Фано-Энриквеса рода пять // Изв. РАН Сер. Матем. 2004. Т. 68(3). С. 181-194.

77. Shepherd-Barron N. I. Canonical 3-fold singularities are Cohen-Macaulay // Warwick preprint.

78. Shin K.-H. 3-dimensional Fano Varieties with Canonical Singularities // Tokyo J. Math. 1989. V. 12. P. 375-385.

79. Шокуров В. В. Трехмерные лог-перестройки // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1992. Т. 56(1). С. 105-203.

80. Каржеманов И. В. О трехмерных многообразиях Фано с каноническими горен-штейновыми особенностями // Мат. сб. 2009. Т. 200(8). С. 111-146.

81. Каржеманов И. В. О некоторых многообразиях Фано-Энриквеса // Деп. в ВИНИТИ РАН. 2009. С. 1-10 (Karzhemanov I. V. On some Fano-Enriques threefolds // arXiv: math. AG0810.0487 (2008)).