Проблемы вхождения и сопряденности слов и продгрупп в некоторых классах групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

¿0. » <£3 У^у^г

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им.Л.Н.ТОЛСТОГО

/

' /

На правах рукописи

БЕЗВЕРХНИЙ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

УДК 519.41

ПРОБЛЕМЫ ВХОЖДЕНИЯ И СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ И ПОДГРУПП В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГРУПП

01.01.06. Математическая логика, алгебра и теория чисел

I т г г ,.> 1 , ; уДиссертада ученой степени

(решение от

зико-^та^хических наук

присудил ученую^ степень ДОКТО '

_е&Я'ЭЭ -.. .

Начальник управления ВАК Рос см. д.

—-——------Тула-1997

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Специальное множество и его применение к решению

проблемы вхождения в некоторых классах групп......22

§ 1. Специальное множество в HNN-группах и процесс

приведения произвольного множества к специальному § 2. Решение проблемы вхождения в HNN-группах..........79

ГЛАВА II. Исследование проблемы вхождения в группах Артина

конечного типа....................................102

§ 1. Основные понятия и утверждения ....................IC2

§ 2. Неразрешимость проблемы вхождения в Д, ............IIb

§ 3. Неразрешимость проблемы вхождения в 1)с ............122

§ 4. Неразрешимость проблемы вхождения в tbi Е7 Еа -v-p.

ГЛАВА III. О сопряженности и пересечении подгрупп в

HNN-группах ....................................... IE4

§ 1. Решение проблемы сопряженности подгрупп в

HNN-группах.......................................

§ 2. О пересечении подгрупп в HNN-группах .............. 162

ГЛАВА

IV. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп ..................................

ГЛАВА V. Обобщенная сопряженность слов в С(р} & 77^)-группах

§ 1. Понятие полосы в ^-диаграммах....................245

§ 2. Специальные кольцевые Я -диаграммы...............-¿Ы

§ 3. С~п -слойные и п -слойные кольцевые £ -диаграммы

§ 4. А -преобразование кольцевых /? -диаграмм..........

§ 5. Кольцевые Й -диаграммы с ненулевой кривизной .....

БОС

§ 6. Построение нормализатора элемента ...............

§ 7. Построение централизатора конечно порожденной

подгруппы.......................................... 31?

§ 8. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов .... 323 § 9. Еще одна теорема о нормализаторе элемента.........

ГЛАВА VI. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов

в группах Артина большого типа .............. ............ооЪ

§ 1. Группы Артина с двумя образующими ..................................¿3?

§ 2. Группы Артина с числом образующих больше двух ..........с5€

§ 3. Кольцевые А? -диаграммы с ("¿'-¿;-областями ...........

§ 4. С~п -слойные и п -слойные кольцевые /\ -диаграммы 378

§ 5. Параметр кольцевой диаграммы ............................................звс

§ 6. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов .... с ¿3

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М.Деном в одной из его работ в 1911 г., являются проблемы равенства и сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.

Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из самых активно развивающихся направлений современной математики - комбинаторной теории групп.

Среди работ, связанных с исследованием проблем М.Дена, наиболее выдающимися являются работы П.С.Новикова, доказавшего неразрешимость проблемы равенства слов в конечно определенных группах [42]; им же доказана неразрешимость проблемы изоморфизма групп.

С.И.Адяном в статье [1] определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознать выполнимость свойства р, представляющего собой объединение нетривиального наследственного и инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие свойством р.

Из этого результата следует неразрешимость большого класса алгоритмических проблем, включая и основные проблемы теории групп.

Отрицательное решение проблемы равенства слов явилось причиной изучения проблем Дена в определенных классах групп.

Для групп с разрешимой проблемой равенства слов возникает более общая проблема - проблема вхождения (Нильсен, Магнус),

впервые рассмотренная Нильсеном в свободных группах и Магнусом в группах с одним определяющим соотношением для так называемых магнусовых подгрупп.

Аналогично для групп с разрешимой проблемой сопряженности слов обобщением являются проблема обобщенной сопряженности слов и проблема сопряженности подгрупп.

Известно, что проблема вхождения в классе всех конечно определенных групп неразрешима, это непосредственно следует из связи между проблемой вхождения и проблемой равенства слов.

Поэтому естественен интерес к изучению рассматриваемой проблемы для каких-то фиксированных классов групп. Как было отмечено выше, положительное решение проблемы вхождения в классе свободных групп следует из результата Нильсена.

К.А.Михайловой этот результат был обобщен в статье [37] на свободное произведение групп, а именно, было доказано, что если в группах /\ и В разрешима проблема вхождения, то она разрешима в их свободном произведении.

В отличие от свободного произведения, прямое произведение групп, как доказала К.А.Михайлова [38], не наследует свойства сомножителей иметь разрешимой проблему вхождения, а именно: в прямом произведении двух свободных групп ранга два проблема вхождения неразрешима. В этой же статье приведен пример группы, являющейся прямым произведением групп с разрешимыми проблемами вхождения, в которой проблема вхождения также разрешима.

Таким образом, было установлено, что класс групп ш0> состоящий из всевозможных прямых произведений групп с разрешимыми проблемами вхождения, содержит как группы, в которых разрешима, так и группы, в которых неразрешима данная проблема.

Класс групп Щ0 содержится в более общем классе тл каждая группа которого является расширением некоторой группы А^ с помощью группы В* . В.П.Классен [24] выделил некоторый подкласс из/72, в котором положительно решается рассматриваемая проблема, а именно: подгруппы, являющиеся расширением группы с разрешимой проблемой вхождения и обладающие условием максимальности с помощью группы, являющейся свободным произведением циклических или конечных групп.

Г.Г.Щепиным, рассматривавшим данную проблему для нильпо-тентного произведения групп [51], установлено, что нильпотент-ное произведение групп в общем не наследует свойства сомножителей "иметь разрешимой проблему вхождения".

Обозначим через $ класс амальгамных групп. Автором в [5], [7] был выделен подкласс групп вида ^ *, где />^,/;7-сво-бодные группы соответственно рангов /7, /7, объединенные по конечно порожденной подгруппеН.. В статье [5] доказано, что в группах

£ ^¿т *^ , где С- бесконечная циклическая подгруппа, проблема О

вхождения разрешима, тем не менее, во всем подклассе ^-неразрешима [7].

В [7] указан пример группы вида * где Н<Е*-конеч-но порожденная подгруппа ранга 4, т- изоморфизм сомножителей, проблема в которой неразрешима.

1. Обозначим через Ж класс, состоящий из групп, каждая из которых является НШ-расширением. Первая глава настоящей работы посвящена изучению разрешимости проблемы вхождения в группах данного класса [53], [56], [57].

Очевидно, в общем случае в НШ-расширениях проблема вхождения неразрешима, поэтому возникает естественная необходимость в ограничении этого класса.

В первом параграфе главы I вводится основное понятие (определение 1) специального множества слов в НШ-группе [53], обобщающее понятие, введенное автором для групп ^ в [5], и являющееся, в некотором смысле, аналогом нильсеновского множества в свободных группах. Доказывается, что в группе НШ-расширении группы р- с помощью ассоциированных подгрупп ¿^ Л и фиксированного изоморфизма ^ если подгруппы 17/, V-, обладают свойством максимальности, то для любого конечного мно-

п *

жества слов из Ц- существует конечное специальное множество, в которое можно преобразовать исходное (теорема 1). Затем, устанавливаются условия, налагаемые на О, и ассоциированные подгруппы, наличие которых обеспечивает существование алгоритма, позволяющего любое конечное множество слов из преобразовать в специальное (теорема 2).

Важную роль при доказательстве в теореме 2 сходимости алгоритма играет понятие вспомогательного ряда (определение 7), связанного с преобразуемым множеством слов и ограничивающего сверху его на каждом шаге преобразования.

Во втором параграфе с помощью понятия специального множества доказывается

Теорема 13 [56], [57]. Пусть

древесное произведение групп с ассоциированными подгруппами [/¿;

о

и фиксированным набором изоморфизмов { • и ПУСТЬ

дан конечный набор изоморфных подгрупп

и фиксированный набор изоморфизмов \ У^СЧ^-Ур^. Тогда, если подгруппы обладают свойством максимальности и в сомножителях ¡41 разрешимы: (1) проблема вхождения, (2) проблема пересечения смежного класса любой конечно порожденной подгруппы

Н<&1 с любой из подгрупп "[/¿^, ¥ск> (3) существует алгоритм, выписывающий образующие подгрупп НПЦ^, НПУ£К> где Н~ конечно порожденная подгруппа то в группе

система правильных проходных букв) разрешима проблема

вхождения.

Теорема 15 показывает, что условие максимальности, налагаемое на ассоциированные подгруппы в теореме 13, существенно. Из теоремы 13 получаем ряд интересных следствий, в частности, разрешимость проблемы вхождения в группах с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром, в фундаментальных группах двумерных замкнутых многообразий, в фуксовых группах, а также в группах ¿гг, ¿гг, определенных в пункте 2.2 параграфа 2. И, наконец, с помощью теоремы 13 доказывается

Теорема 22. Существует группа С, являющаяся расширением группы А с помощью группы Ву с разрешимой проблемой вхождения в группах £ и А и неразрешимой проблемой равенства слов в В.

2 Вторая глава посвящена исследованию разрешимости проблемы вхождения в неприводимых группах Артина конечного типа.

Группа Артина - это группа заданная копредставлением с системой образующих ^-¿^еI и соотношениями С[с О; (^¿У'

О *" О Л

¿,^'в/, где слова, стоящие слева и справа, состоят каждое из 191 ¿^

чередующихся букв €(¿,0. ] при этом Щ^.-элементы некоторой матри-

/ у

цы Коксетера М-С^-^ех. Определенные таким образом группы являются естественным обобщением групп кос.

Добавляя к определяющим соотношениям группы Артина £ соот-

2. — ношения №¿=1, ¿€1, получим копредставление группы Коксетера

Таким образом, группа Коксетера представляется как фактор группа группы Артина.

_ о _

V

Группа Артина ¿т называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Коксетера £ конечна. Данный класс групп был рассмотрен Брискорном и Сайто [15], доказавшими разрешимость в них проблемы равенства и сопряженности слов.

Известно, что каждая группа Артина конечного типа является либо одной из неприводимых групп: А^, ВП) Е6,Е^Ев/Ц*, 5г у^гСр) ( р^-^у р- простое), либо прямым произведением неприводимых групп.

Основным результатом данного раздела является доказательство неразрешимости проблемы вхождения в неприводимых группах Артина конечного типа: 8% > !Г4;Н4> Е6, Е?>

С помощью теоремы 13 показывается, что в группах }

02(р) проблема вхождения разрешима.

Заметим, что неразрешимость проблемы вхождения в группах кос Ап> при П^-4, доказана Т. А. Маканиной [34].

3. В третьей главе применение понятия специального множества позволяет исследовать разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в НШ-группах и в свободном произведении с объединением, а также для указанных классов групп выясняются условия, при которых пересечение конечно порожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа.

Впервые проблема сопряженности подгрупп рассматривалась В.Н.Ремесленниковым [46], доказавшим ее положительное решение в классе конечно порожденных нильпотентных групп. Для свободных групп М. Д. Гриндлингером [21] был указан алгоритм, решающий сопряженность подгрупп ранга 2, затем этот результат был обобщен Д.И.Молдаванским [39], доказавшим, что для любых конечно порожденных подгрупп свободной группы можно эффективно выяснить, сопряжены ли они.

Для свободных произведений групп Д.И. Молдаванским [40] и автором [13] независимо была доказана разрешимость данной проблемы при условии, что в сомножителях разрешимы проблема вхождения и сопряженности подгрупп.

В статьях [11], [12] автором доказаны алгоритмическая разрешимость проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения свободных групп с циклическим объединением и ее неразрешимости в свободном произведении свободных групп рангов два, объединенных по подгруппе ранга четыре [10].

Рассмотрим некоторое множество !Р0 ¿61} групп

Образуем из этого множества класс групп Я*, удовлетворяющий условиям: (2) если группы то и группа С~А

н

являющаяся их свободным произведением с объединением по конечной подгруппе Н, принадлежит (3) если А6то группа

<А,Ь> гее А,

являющаяся НШ-расширением А с помощью конечных изоморфных подгрупп и,,17-, и фиксированного изоморфизма принадлежащий

Основными результатами первого параграфа Щ главы является

Теорема 1. Пусть группа

геб Ь'1и, £= </>(и,)>

есть НШ-расширение 0 с помощью конечных изоморфных подгрупп 17;, II;-УЩ) и фиксированного изоморфизма ^ Тогда, если в £ разрешима (1) проблема вхождения, (2) проблема сопряженности подгрупп, то в ¿г* разрешима проблема сопряженности подгрупп. Теорема 2. Пусть группа

свободное произведение групп С(1, &2 с объединением по конечным изоморфным подгруппам Ц де £^<¿¡>,¿¿/<£2. Тогда, если

в сомножителях разрешимы (1) проблема вхождения, (2)

проблема сопряженности подгрупп, то в ¿5 разрешима проблема сопряженности подгрупп.

Из теорем 1, 2 и теоремы 13 главы I следует, что, если в каждой из групп разрешимы проблемы (1), (2), то в каж-

дой группе из класса разрешима проблемы сопряженности подгрупп.

Условие конечности, налагаемое на ассоциированные подгруппы в теоремах 1,2, существенно.

В статье [10] автором доказано, что в группе *где

н~н V }

Н<Г2,ЫпдН-Ц» У- изоморфизм сомножителей, проблема сопряженности подгрупп неразрешима. В статье [36] приведен пример группы ■£ являющейся НШ-расширением свободной группы />7 с ассоциированными подгруппами ££, -Х 2ап^(Ц)<со> в которой неразрешима проблема сопряженности слов, а следовательно, и проблема сопряженности подгрупп.

Во втором параграфе Щ главы исследуется свойство Хау-соновости в НШ-группах и в свободном произведении групп с объединением. А. Хаусоном в [49] было доказано, что пересечение двух конечно порожденных подгрупп свободной группы есть конечно порожденная подгруппа. Вопрос о нахождении образующих пересечения подалгебр данной алгебры впервые был сформулирован А.И.Мальцевым в 1958 г. в [31] и решен им для конечно порожденных нильпотентных групп [32].

Для свободных групп данная проблема была решена автором в

[8].

Будем говорить, что группа £ обладает свойством Л (Хау-сона), если пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа. Б.Баумслагом [4] теорема

Хаусона была обобщена на свободное произведение групп. Им было доказано, что если группы А> В обладают свойством 3£, то их свободное произведение наследует данное свойство сомножителей.

Конструктивное доказательство теоремы Б.Баумслага, опубликованное в [9], позволило ее авторам решить указанную проблему А.И.Мальцева для свободного произведения групп, а именно: доказана

Теорема. Пусть Ц~Сг,*Стг и 1-1,обладает свойством«^?. Тогда, если: (1) существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп £¡¿,£,=1,2, выписывать образующие их пересечения; (2) существует алгоритм, позволяющий для любого элемента №£¡^¿¿-1,2, и любых двух конечно порожденных подгрупп Н, Н2 из установить, пусто или нет множество Ито в группе £ разрешима проблема (1).

В статье [14] доказано, что если в сомножителях , £~1Л2 группы разрешима проблема (2), то и в группе £ раз-

решима проблема (2).

Теорема Б.Баумслага получает дальнейшее обобщение в теоремах 12 и 14 второго параграфа [64].

В теореме 12 утверждается, что в группе

^; Ъ^^Ц)}, являющейся НШ-расширением £ с

помощью конечных ассоциированных подгрупп 1Л ,111=Ц)(и7Х, пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа тогда и только тогда, когда этим свойством обладает группа

В теореме 14 утверждается, что в группе Q-(G*G¿)Ze£Q¿ свободным произведе-

нием с объединением групп Сг1,Сгл с конечными ассоциированными подгруппами пересечение любых двух конечно по-

lo -

рожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа тогда и только тогда, когда этим свойством обладают группы Çf)G2.

Из теорем 12 и 14 следует, что если каждая группа об-

ладает свойством^, то любая группа из Ф обладает свойством Как показано в доказательстве теоремы 15, в группе

гДе П>2, пересечение конечно по-

рожденных подгрупп не всегда есть конечно порожденная подгруппа. Отсюда следует, что условие конечности, налагаемое на ассоциированные подгруппы в теоремах 12 и 14, является существенным.

Решение проблемы А.И.Мальцева для HNN-расширений и свободного произв�