Гиперболичность периодических решений некоторого класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

□□ЗОВ2Б59

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Журавлев Николай Борисович

ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003062659

Работа выполнена на факультете физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Скубачевский Александр Леонидович,

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Власов Виктор Валентинович,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Красносельский Александр Маркович,

Ведущая организация • Воронежский государственный университет

Защита состоится " иаЯ^ 2007 г в 14. 3Û

на заседании диссертационного совета К 501 001 07 при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу

119992, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан «/6 '< Cth/e/f 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, * /

В M Говоров

Актуальность темы

Гиперболичность периодических решений является специальным типом поведения траекторий (здесь и далее имеются в виду траектории решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в пространстве начальных данных) в окрестности соответствующей периодической орбиты Актуальность исследования поведения траекторий в окрестности периодических орбит подтверждается как большим количеством публикаций, так и многочисленными приложениями в таких областях, как теория искусственных нейронных сетей1, теория управления с последействием, биофизика, экономика2, изучение свойств лазеров с запаздывающей обратной связью3 Наряду с устойчивыми периодическими решениями особый интерес представляют неустойчивые и, в частности, гиперболические решения3

Один из первых результатов по устойчивости периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений получили J L Kaplan и J A Yorke в 1975 году4 Поведение траекторий вблизи периодических орбит исследовали H-О Walther5, S N Chow6, X Xie7, Ch Ou и J Wu8, Ю Ф Долгий и С H Нидченко9, J К Hale и S M Verduyn Lunel, J Mallet-Paret и R D Nussbaum, P Dormayer, A F Ivanov, В Lam-Wayda

Известно10, что поведение траекторий в окрестности периодической орбиты определяется расположением мультипликаторов Флоке относительно единичной окружности С помощью мутьтипликаторов Флоке исследовались бифуркация из ветви периодических орбит семейства дифференциально-разностных уравнений11 12 13, экспоненциальная устойчивость6 7 9, гиперболичность14, существование и структура глобального аттрактора15 J Mallet-Paret и G Sell16 исследовали кратности упорядоченной последовательности мультипликаторов Флоке S N Chow, О Diekmann и J Mallet-Paret17 исследовали расположение мультипликаторов Флоке для определения свойств медленно осциллирующих решений интегрального уравнения Проводились также численные исследования мультипликаторов Флоке18

Преимуществом использования мультипликаторов Флоке является сведение нелинейной задачи к линейной Трудность заключается в том, что в случае функционально-дифференциальных уравнений оператор монодромии является бесконечномерным (в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений) Одним из методов исследо-

1 Herz А V M Models of Neural Networks 1994 V 3 Springer Verlag New York

2Brunovsky P , Erdélyi A , Walther НОЛ Dynam Differential Fquations 2004 V 16 B2 P 393-432

3Verduyn Lunel S M , Krauskopf В Fundamental Issues of Nonlinear Laser Dynamics, AIP Conference Proceedings 548 American Institute of Phisics Publishing/ Krauskopf В and Lenstra D (eds ) Melville New York 2000 P 66-86

4Kaplan, J L , and J A Yorke SIAM J Mathematical Analysis 1975 V 6 P 268 282

5WaltIier H -О Discrete and Continuous Dynamical Systems 2001 V 7, № 2 P 259 274

6Chow S N, and Walther H О Transactions of the A M S 1988 V 307 P 127 142

7Xie X J Dynamics Differential Equations 3 (1991), 515 540

sOu Ch , Wu J J Dynam Differential Equations 2004 V 16 J» 3 P 605 628

»Долгий Ю Ф , Нидченко С H Известия УрГУ 2005 ¥ 38 С 50-68

10Diekmann О , van Gils S , Verduyn Lunel S M , and Walther II -O Delay Equations Functional-, Complex- , and Nonlinear Analysis Springer, New York, 1995

nWaltherH-0 Mathematische Zeitschrift 1983 V 182 P 269-289

12Dormayer P , Ivanov A F , Lani-Wayda B Tohoku Math J 2002 V 54 P 419-441

"RSst G J "Functional Differential Equations" 2006 V 13 PP 19-36

"Waither H О Memoirs of the A M S 1989 V 79 №402

lsKrisztin T , and Walther H -O J Dynamics and Differential Equations 2001 V 13 P 1 57

'•Mallet Paret J , and Sell G J Differential Equations 125 (1996) 385 440

I7Chow S N , Diekmann О , and Mallet Paret J Japan J Applied Mathematics 1985 V 2 P 433-469

18Dormayer P , Lam-Wayda В Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik 1995 V 46 X» 6 P 823 858

вания мультипликаторов Флоке является построение характеристической функции При этом исследование спектра оператора монодромии сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей спектральный параметр До последнего времени такой переход использовался только для случая, когда период исследуемого решения кратен запаздыванию6 9 11 12

Существенный прорыв в этом направлении удалось сделать А Л Скубачевскому и X -О Вальтеру (Walther) Они построили характеристическую функцию в случае произвольного рационального периода (результаты, полученные в случае, когда период больше, чем запаздывание19, отличаются от результатов, полученных в случае, когда период меньше, чем запаздывание20) Затем A JI Скубачевский и X -О Вальтер обобщили этот метод на случай произвольного иррационального периода21

Цель работы

Целью диссертационной работы является 1) снятие дополнительных ограничений, использовавшихся в работах других авторов для перехода от задачи на собственные значения оператора монодромии к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, 2) обоснование предположения о существовании рациональной аппроксимации, использовавшегося ранее для упомянутого выше перехода в случае, когда период исследуемого периодического решения является иррациональным числом (не соизмерим с запаздыванием), 3) обобщение результатов на случай нескольких запаздываний

Новизна результатов

1 В диссертации впервые без использования каких-либо дополнительных ограничений осуществляется переход от задачи на собственные значения оператора монодромии к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в случае произвольного периода, соизмеримого с запаздываниями В частности, удалось освободиться ог ограничения, составлявшего принципиальное отличие случая, когда период исследуемого решения больше, чем запаздывания, от случая, когда период меньше максимального запаздывания

2 В диссертации предчожено конструктивное доказательство существования рациональной аппроксимации для произвольного периодического решения исходного уравнения Предположение о рациональной аппроксимации играет основополагающую роль при обобщении подхода к исследованию мультипликаторов Флоке, исползующего характеристическую функцию, на случай, когда период не соизмерим с запаздываниями При этом до настоящей диссертационной работы никаких результатов о существовании рациональной аппроксимации известно не было

3 Все результаты получены для уравнений, содержащих произвольное конечное число положительных рациональных запаздываний x'(t) = f(x(t),x(t — n), , x(t - r„)) Ранее близкие результаты были получены только для уравнений вида х (t) = f(x(t),x(t - 1)) Указанное обобщение необходимо для получения новых результатов в том числе и для изучавшихся ранее уравнений

19Вальтер X -О , Скубачевский А Л Труды Московского Математического Общества 20СЗ Т 64 С 3-53

20Вальтер X-О , Скубачевский А Л Функц анализ и его приложения 2005 Т39 вып 1 С 82 85

21Skubachevskn A L , Walther H -О J Dynam Differential Equations 2006 V 18 № 2 P 257 355

4 Самостоятельный интерес может представлять следующий результат при построении рациональной аппроксимации было доказано, что, используя произвольную непрерывно дифференцируемую периодическую функцию и фиксированное количество ее запаздываний, можно функционально выразить любую другую непрерывно дифференцируемую периодическую функцию с тем же периодом

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы (47 наименований) Общий объем диссертации — 104 страницы

В первой главе изучаются условия гиперболичности периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в случае, когда период исследуемого решения является рациональным числом Задача на собственные значения оператора монодромии сводится к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, что позволяет исследовать расположение мультипликаторов Флоке на комплексной плоскости В терминах фундаментальной матрицы полученной системы уравнений описывается действие резольвенты оператора монодромии, что позволяет при некоторых дополнительных ограничениях доказать совпадение алгебраической кратности собственных значений оператора монодромии и кратности нулей характеристического уравнения Выделяются условия, при которых указанная фундаментальная матрица выписывается в явном виде Строится пример, в котором выполнены эти условия, и устанавливается гиперболичность исследуемого решения Уравнение относительно корневых функций оператора монодромии сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, что приводит к критерию простоты собственных значений оператора монодромии Это позволяет получить необходимые и достаточные условия гиперболичности периодических решений рассматриваемого класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений

Во второй главе изучаются условия гиперболичности периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в сл>чае, когда период исследуемого решения является иррациональным числом В правую часть исходного уравнения добавляются формальные запаздывания неизвестной функции, от которых правая часть уравнения фактически не зависит Рассматривая исследуемое периодическое решение исходного уравнения как решение нового уравнения (содержащего формальные запаздывания), мы получаем другой оператор монодромии Далее рассматривается связь спектров исходного и полученпого операторов монодромии, что позволяет обобщить введенное ранее понятие рациональной аппроксимации Затем доказывается, что, используя произвольную гладкую периодическую функцию и фиксированное количество ее запаздываний, можно функционально выразить любую другую гладкую периодическую функцию с тем же периодом Благодаря такому представлению гладких периодических функций удается построить рациональную аппроксимацию (в смысле обобщенного определения) для произвольного периодического решения исходного уравнения На основании построенной рациональной аппроксимации, результатов первой главы и операторного обобщения теоремы Руше выводится критерий гиперболичности для периодических решений исходного уравнения, имеющих иррациональный период

Содержание диссертации

В диссертации исследуются мультипликаторы Флоке, ассоциированные с периодическим решением х уравнения

x'(t) = f(x(t),x(t-n), x(i-r2), , r(t-rn)) (1)

с рациональными запаздываниями (0 = r0 < ri < < тп) и непрерывно дифференцируемой функцией / R"+1 -> R Предполагается, что само решение х нам известно

Оператор монодромии М отображает пространство С([—г„,0],С) непрерывных на отрезке [—гП)0] комплекснозначных функций в себя С([—г„, 0], С) является банаховым пространством с нормой = max \4>(t)\ Действие оператора монодромии определяется

t€l~rni0]

формулой

Мф(1) = ьф{Ь + Т) (t е [—г„,0]), где v* [—г„, оо) —> С — решение начальной задачи

«,W = Ea*(iMt-rt), (2)

к—0

ro = 0eC([-rn,O],C), (3)

для г = 0, 1, , п использовано обозначение

ai№ = fy,{ya(t), Vi{t), ,yn(t))\ (4)

Уравнение (2) является линеаризацией уравнения (1) в окрестности периодического решения х

Пусть В — комплексное банахово пространство, и А — линейный ограниченный оператор в В Через тп(А, Л) обозначим алгебраическую кратность собственного значения Л оператора А Если А не является собственным значением оператора А, то положим т(А, А) = О При кТ > гп операторы Л4к являются компактными операторами Поэтому все точки А ф 0 спектра <т(М) оператора монодромии являются изолированными собственными значениями и их алгебраические кратности тп{М, А) конечны Эти собственные значения называются мультипликаторами Флоке Сужение функции х' на отрезок [—г„,0], очевидно, является собственной функцией оператора монодромии, которой соответствует собственное значение А = 1

Определение 1 Периодическое решение х уравнения (1) называется гиперболическим, если собственное значение А = 1 оператора монодромии является простым и на единичной окружности нет других собственных значений

Если у отображает множество А, содержащее отрезок [2 — rn,i], в множество В, то функция yt [-г„,0] В задается формулой yt(s) = y(t + s) Если у А R есть решение уравнения (1), то траекторией этого решения мы будем называть множество {Уи [i _ Гц, i] £ А] С С([-гП10],С) Траектории, близкие к периодической орбите гиперболического решения и соответствующие решениям уравнения (1), определенным на всей числовой прямой, экспоненциально стремятся к этой орбите либо при t оо, либо при t —> —оо (см сноску 10)

Глава 1. Критерий гиперболичности в случае рационального периода

В первой главе диссертации предполагается, что исследуемое решение имеет рациональный период Т, разрабатывается конструктивный подход к отысканию мультипликаторов Флоке и строится критерий простоты собственных значений оператора монодромии В частности, это позволяет сформулировать критерий гиперболичности таких решений 1 Рассмотрим уравнение

Мф - Хф = 0, (11)

Это уравнение небходимо решать совместно с уравнениями (2) и (3), причем уравнение (2) рассматривается только на интервале (О, Т)

Пусть т\ = Их/Ми , тп = йп1Мп и Т = й0/М0, где ЙиМх £N,1 = 0, п Определим число М как наименьшее общее кратное чисел Ма, ,Мп Тогда N = ^М/Мо 6 N и М, = Л/.М/М, £N,1 = 1, ,п Положим т = 1 /М Тогда Г = Ыт, г, = Мгт Положим так же М0 = 0 (при этом г0 = М0т = 0) и ЛГ = тш{Л'1 Мп}

Рассмотрим краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

к=О

4, = тт{р е N г - M|C+pN > 0}, г = 1, ,ЛГ, (12) «1(0) = и„{т)/Х, и,{0) = щ-^т) {г = 2, (13)

В §1 1 диссертации доказывается эквивалентность краевой задачи (1 2), (1 3) и уравнения (1 1)

Лемма 1 1 Пусть А ф 0 Тогда пространство решений краевой задачи (1 2), (1 3) изоморфно пространству решений уравнения (11)

Общее решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1 2) имеет вид [/(¿) = 5д(^)с, где — фундаментальная матрица системы (1 2), для которой £д(0) = Е Для отыскания вектора с произвольных постоянных используем краевые условия (1 3) Запишем соответствующую систему линейных алгебраических уравнений в векторном виде <2(А)с = 0, где

( еЛ1(0) - еХм(т)/Х \

<г(А)= е«(0)-вЛ1(т) _

\ елгу(0) -еллг_1(т) /

через елг обозначается г-ая строка матрицы

Лемма 1 1 и невырожденность матрицы обеспечивают подход к исследованию расположения мультипликаторов Флоке и размерности соответствующего собственного подпространства Я{М — XI)

Теорема 1 1 Пусть X £ С \ {0} Тогда 6ипМ(М - XI) = N - гапк<2(А) В частности, имеем а{М) \ {0} = {А 6 С \ {0} <1е«Э(А) = 0}

Замечание 1.1 Для получения аналогичного результата в работах А Л Скубачевско-го и X -О Вальтера19 21 предполагается дополнительно, что первые N — М столбцов матрицы С? (А) линейно независимы

2 Рассмотрим теперь уравнение

(М - XI)2ф — 0 (14)

и краевую задачу для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и,(0 = +(г- 1 )т) [----^-1 ,

к=О 4 '

4 = тш{рбН г-Мк+рК >0},г = 1, ,2N,te(0,т), (15)

и1(0) = 2илг(г)/А - и2Лг(г)/А2 и,(0) = и1_1(г) (г = 2, ,2ЛГ) (16) В §1 5 диссертации устанавливается связь уравнения (1 4) с краевой задачей (1 5), (1 6)

Лемма 1.2 При А ф 0 пространство решений уравнения (1 4) изоморфно пространству решений краевой задачи (1 5), (1 6)

Пусть [0, т] —> £2Nx2N — фундаментальная матрица системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1 5) Обозначая у-ю строку матрицы 5д через ёх3, определим матричнозначную функцию ф(А) € С2Мх2М по формуле

<3(А) =

/ . (п, 2ел^(т) ёл,2;у (г) \ елг(О) - еЛ1(т)

V ел,2^(0) — ёл,2лт-1(г) }

Лемма 1 2 и невырожденность матрицы 5л обеспечивают подход к исследованию размерности нуль-пространствг оператора (М — XI)2

Лемма 1.3 Пусть ХфО Тогда ¿ипА[((М - XI)2) = 2И - гапкО(А)

Поскольку т(М, А) = 1 тогда и только тогда, когда ¿1т(ЛГ(М — XI)2) = 1, мы получаем критерий простоты для мультипликаторов Флоке

Теорема 1.2 Алгебраическая кратность ненулевого собственного значения А оператора монодромии равна единице тогда и только тогда, когда гапк<3(А) = 2ЛГ — 1

При помощи теорем 1 1 и 1 2 устанавливается критерий гиперболичности

Теорема 1 3 Решение х уравнения (1) является гиперболическим тогда и только тогда, когда {X € € \ {0} |А| = 1, <1е1С}{X) = 0} = {1} и гапк<3(1) = 2.ЛГ - 1

\

Условие 1 1 Пусть существуют два числа г € {N — N* + 1, , Лг} и v £ {0, , А/"}, для которых выполнено неравенство Q'(X)Bll ф 0, где Q'{X) — г-ая строка матрицы <3(А), присоединенной к матрице Q(X), {В0, , Вм-} — множество линейно независимых векторов из образа оператора L(А) С([—г„, 0],С) —> CN, действующего по формуле

I

ьш =

' S\{т) Г S:1(s)b(i>,s)ds]

\ \ j0 ) n-1

координаты вектор-функции b(ip,t) определены по формуле

Mh+jN - l)r)

+Н5л(г) Г s]ds

(sÀ(r) £ S;l(s)b{iP,s)ds

n dkx-l k-\ j=0

l)r)-

(i=l, ,N)

В работах А Л Скубачевского и X -О Вальтера19 20 21 (при п = тп = 1) при помощи другого подхода (отличного от того, который используется в теоеме 1 2) доказывается, что алгебраическая кратность мультипликаторов Флоке совпадает с кратностью нуля характеристической функции д(А) = с!е!;(3(А) При этом дополнительно предполагается, что выполнено условие 1 1 Получаемые при помощи такого подхода условия гиперболичности отличаются от критерия, полученного в теореме 13 В §1 2 диссертации этот подход обобщается на случай произвольного конечного числа положительных рациональных запаздываний

Замечание 1 2 Полученные А Л Скубачевским и X-О Вальтером19 20 21 необходимые условия гиперболичности отличаются от достаточных условий дополнительным требованием в виде условия 1 1

Глава 2 Критерий гиперболичности в случае иррационального периода

Во второй главе мы исследуем Г-периодические решения уравнения (1) при Т ф Мы будем требовать, чтобы правая часть уравнения / принадлежала пространству С1(КП+1,К) непрерывно дифференцируемых функций, ограниченных по норме

1Д) :

sup 1/Ы1, sup

df(y)

дуг

, sup

dm

дуп+i

При исследовании поведения решений уравнения (1), траектории которых не покидают некоторой окрестности периодической орбиты решения х, дополнительное требование ограниченности функции / в С1(К'1+1,1Й) не является существенным, т к этого всегда можно добиться умножением на соответствующую срезающую функцию 1 Рассмотрим уравнение

x'(t) = G(x(f),i(i-r1), ,x(i-r„J),

(2 1)

где пА £ N — некоторое число, пА ^ п, функция С 6 С1(К"Л+1,К) опредечена по формуле

@(Уо, ,Упл) = /(У о> ,Уп)

Очевидно, каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (2 1) при любых положительных значениях запаздываний г, (г = гг + 1, , пА)

Пусть г = тах{г,, г — 1, , пА} Обозначим через оператор монодромии, ассоциированный с решением £ уравнения (2 1) Тогда оператор .Мс С([-г, 0], С) -> С([-г, 0], С) действует по формуле МаФ(() = уа+ * е [—0], где г>£ - решение уравнения (2) удовлетворяющее начальному условию

«(0 = *(*) (*е[-г,0])

В §2 1 диссертации доказывается связь спектра оператора Мс со спектром оператора Л'!

Лемма 2 4. Множество собственных значений А ^ 0 оператора М совпадает с множеством собственных значений А ^ 0 оператора Мс с учетом кратности

Лемма 2 4 делает естественным обобщение понятия рациональной аппроксимации, введенного ранее А Л Скубачевским и X -О Вальтером21, в котором не было формальных запаздываний

Определение 2.1. Мы будем говорить, что решение х уравнения (1) допускает рациональную аппроксимацию в обобщенном смысле, если рациональную аппроксимацию допускает решение х уравнения (2 1) Другими словами, для некоторого числа па е N (п ^ па) найдутся такие числа 0 < г, € <2 (г = п + 1, ,пА) и такая последовательность {(5*}^! С С1(КГ"1+1Д), что

- С||счк"д+1д) 0 пРи к->оо,

и уравнения

х'[Ь) =ак(х{Ь),х{Ь-г{), ,х(г-г„Л)^ (2 2)

имеют Тк-периодические решения 5^(4) такие, что

Р*|[-г,о] - 5|[-г,0]||с([-г0]д) о и \Тк - Т| 0 при к со,

где — рациональные числа, г = шах{г,, г — 1, ,Па]

Отметим, что появление дополнительных (формальных) запаздываний увеличивает свободу выбора функций в к, которая используется при построении рациональной аппроксимации При применении рациональной аппроксимации, понимаемой в смысле определения 2 1, используются (даже в случае п — гп = 1) результаты, полученные в первой главе именно для случая произвольного числа положительных рациональных запаздываний Обозначим через г>д решение начальной задачи

па

= (¿>0), V (4) = ФМ (*е[-г, 0]),

где

Oh3(t) = j-Gk(y0,yu ,упл)

aVl Уа = xk{t), , уПА = xk(t- гПА)

Определим линейные ограниченные операторы Мк С([-г, 0], С) -> С([—г, 0], €) по формуле

M^(t)=vf(t + Tk) (t е [-г, 0]) Определим операторы V, V* С([-г, 0], С) С ([—г, 0], С) по формуле

V = Ma, Vk = М? ,

где m = min{s G N sT > г} Отметим, что сужения функций х' и х'к на отрезок [- г, 0] являются собственными функциями операторов V и 14 соответственно Им отвечает собственное значение Ао = 1

Суть рациональной аппроксимации заключается в следующем утверждении

Теорема 2 4 Если Т-периодическое решение х уравнения (1) допускает рациональную аппроксимацию в смысле определения 2 1, то ||14 — V|| —» 0 при к —> оо

2 Обозначим через Ст пространство непрерывно дифференцируемых функций ( зависящих от одной вещественной переменной) с минимальным периодом Т В §2 2 диссертации доказывается следующее свойство таких функций

Теорема 2 5. Для любой функции х & Ст (х ф const) найдутся такие числа 1 < А 6 R, По е N, 0 < 9, 6 Q (г = 2, ,п0), при которых для любой функции х 6 Ст существует такое семейство функций W(, , ,р, ¡5) е Cl(R"°,R), что для любой пары (f3,p) € [l,ft>] х ® имеет место соотношение

W(x(l3t),x([3t-I3q2), ,x(/3t-f3qno),pJ)=x(f3t-l3p) (ге R)

и оператор W R х [1,/?о] —t C^R"0,®), действующий по формуле W{p, ¡¡){у\, ,упа) = W{yi, ,Упо,Р,Р), непрерывен

Независимый интерес может представлять следующий частный случай теоремы 2 5

Теорема 2 6 Любой функции у е Ст (у Ф const) можно поставить в соответствие такие числа п* € N и 0 < g, € Q (г = 2, ,п*), что для любой другой функции у £ Ст найдется функция V € Cl(R"*,K), удовлетворяющая равенству

3 На основании теоремы 2 5 в §2 3 построена рациональная аппроксимация (в смысле определения 2 1) без каких-либо дополнительных требований относительно уравнения (1) и его решения х

Пусть числа п0 £ К, 0 < д, £ ф, г = 2, ,п0 и 1 < А е 8, а также семейство функций Ц;( , , ,г,/3) е С1^"0,®) определены в соответствии с теоремой 2 5 Определим семейство функций ^ ( , , ,р, /3) £ С^К'^К) по формуле

Из теоремы 2 5 следует, что дня любого г £ {1, ,п}

,х^-1по),гг,Р) = х{0г~г,)-х(0ь-рт,) (сек), , . , П. /5)||с'(1К"0Д) -> 0 при /3 1

Каждому числу к £ N поставим в соответствие такое число /Зк £ [1, Д>] П (1,1 + 1/А;), что ДТ £ <0 При помощи формул хк{{) = х{рк{) и

<2* (2/1,21, ,г„,г/2 ,3/п0) =

Поэтому при каждом к £ N функция хк имеет период Т*, = ДТ € О и удовлетворяет уравнению

Лемма 2 5 При пА = п0 + п — 1 и 0 < г, = 91-п+1 (г = я + 1, ,п4) функции определенные по формуле (2 3), удовлетворяют определению 2 1

Из леммы 2 5 непосредственно вытекает следующее утверждение Теорема 2 7 Любое периодическое решение уравнения (1) допускает рациональную аппроксимацию, понимаемую в смысле определения 2 1

4. Доказательство критерия гиперболичности периодического решения в случае иррационального периода, полученно1 о в §2 4, основано на связи спектральных свойств оператора V и операторов V*

Пусть числа Пл £ N и 0 < г, £ О (г = п + 1, , пА) и последовательности {Т*}^ С <0>,

С С1(1ГЛ+\К) и С С1 (К,Е) определены так же, как в лемме 2 5

Поскольку при каждом значении 0 < к £ N решение хк уравнения (2 2) имеет рациональный период Тк £ 0>, мы можем использовать результаты главы 1 Представим рациональные числа Тк (к £ М) и г, (г = 1, ,Пд) в виде дробей Тк — ЛГо/с/А/оь г, = ¿У,/А/, Обозначим через Мок наименьшее общее кратное чисел Мок, М\ , МПя и положим тк = 1/Мок При этом ЛГ* = тЙокМок/Мок £ N и Мк% = МгМок/М, € N Тогда тТк = Атктк и г, = Мкгтк Рассмотрим две системы обыкновенных дифференциальных уравнений

= + -Р(«/ъ ,Упо>П,0к), ,2„ + Р(уи ,Упо>гп,0к)) (2 3)

определим функции хк и Ск Тогда

= - п), ,х{вк1 - г„))

где = тт{р 6 N г — Мк] -4- рЛ^ > 0} Обозначим соответственно через Экх и §к\ такие фундаментальные матрицы этих систем, что 5^(0) = 5^(0) = Е Через екх, и ёкхг обозначим г-ые строки матриц Бк\ и §к\ соответственно Опредечим матрицы (¿к(\) и О)с(А) по формулам

QkW =

( \

е*лг(0) - екХ1(тк)

V - ekx,Nk-i{rk) J

Qk( A) =

A A2

ё*лг(0) - hxi {тк)

V etA,2jvt(0) ~ h\3Nk-x{Tk) J

Обозначим через Nkq множество Nkq = {A e С \ {0} detQ*:(A) = 0} Из теоремы 1 1 и леммы 1 3 вытекает следующее утверждение

Лемма 2 6 Пусть А ф 0 Тогда dimAf(Vfc - А/)2 = 2Nk - rankQ^A) и u(Vk) \ {0} = Nkq

Обозначим через А, множество чисел А е С\{0}, удовтетворяющих следующим условиям для любого е > 0 существует такое К € N, что для всех к ^ К имеем NkqnBe(\) ф 0 В частности, А (Е Aq, если А е Nqt для всех к ^ К

Для каждого А е <r(V) \ {0} обозначим через ех такое число, для которого (cr(V) U {0}) П BSx(\) = {А} Оператор V является компактным, поэтому для каждого А 6 u(V)\{0} такое число £гл существует Положим Nkxt = Nkq П Вс{А)

Теорема 2 8 Пусть х S Ст — решение уравнения (1) Тогда имеет место равенство <r(V) \ {0} = Л, и для любых значений Ао е ff(V) \ {0} и е е (0,ело) существует такое Ко — Л"о(Ао,е) € N, что для всех к > Кц мы имеем

m(V,A0)= ]Г m(VbA) (2 4)

Доказательство первого утверждения теоремы 2 8 опирается на формулу 2 4, которая выводится из теоремы 2 4 и операторного обобщения теоремы Руше22

На основе теорем 2 6 и 2 8 в §2 4 доказан критерий простоты собственного значения А0 ф 0 оператора V

Теорема 2 9 Если для некоторого 0 ф Ао 6 С имеет место включение

Ао € o-(V)p| ( P| ct(V*) j ,

W N /

rto собственное значение Ао оператора V является простым тогда и только тогда, когда существуют такие числа 0 < е* е R и е N, что для всех k ^ К\ выполнены условия Лиое- = {Л} и rankQfc(Ao) = 2Nk - 1

Благодаря компактности оператора У = Л4д, лемме 2 4 и теореме о спектре функции от оператора в §2 4 доказано, что операторы М и V имеют на единичной окружности одинаковое количество собственных значений с учетом алгебраической кратности Поэтому следующий критерий гиперболичности выводится из теорем 2 8 и 2 9

22Гохберг И Ц , Сигал Е И Мат сборник 1971 Т 84, Л« 4 С 607-629

/

Теорема 2.10. Периодическое решение х 6 Ст уравнения (1) с иррациональным периодом Т является гиперболическим тогда и только тогда, когда Aq П Гх(0) = {1} и существуют такие числа е* > 0 и Ki = Ki{e') £ N, что для всех k ^ К\ выполнены условия Nkw = {1} « rankQt(l) = 2Nk - 1

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством акад Е И Моисеева и проф И С Ломова, на семинарах механико-математического факультета МГУ па семинаре под руководством проф А Г Костючеико, проф В В Власова и проф К А Мирзоева и на семинаре под руководством проф В А Кондратьева, на семинаре кафедры "Прикладная математика 1" МИИТ под руководством проф А Д Мышкиса, на семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа факультета "Математика" ВГУ под руководством проф В Г Звягина, на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством проф A JI Скубачевского

Результаты диссертационной работы докладывались также на международных конференциях "The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations"(MaTeMaTii4ecKHfl институт РАН им В А Стеклова, Москва, 2005), Крымских осенних математических школах-симпозиумах (Симферополь, 2005, 2006), XVII всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2006), Все>краинской научной конференции молодых ученых и студентов в области дифференциальных уравнений и их приложений, посвященной 100-летнему юбилею Я Б Ло-патинского (Донецк, 2006)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, библиографическое описание которых дается ниже

Литература

1 Журавлев ИБО гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями// Тезисы докладов XLII всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии Москва 2006 С 17

2 Журавлев Н Б О гиперболичности медленно осциллирующих периодических реше-пий некоторого класса функционально-дифференциальных уравнений// Proceedings of the sixteen Crimean Autumn Mathematical School-Symposium Simferopol 2006 V 16 P 135-141

3 Журавлев H Б Рациональная аппроксимация периодических решений с иррациональным периодом// Тезисы докладов Всеукраинской научной конференции молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их применениям, посвященной 100-летнему юбилею Я В Лопатинского Донецк, ДонНУ, 2006 С 62

4 Журавлев Н Б Критерий гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с рациональным периодом// Функц анализ и его приложения Март 2007 Т 41 вып 1, Стр 90-92

5 Журавлев Н Б Критерий гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями// Современная математика Фундаментальные направления Март 2007 Т 21 С 37-61

6 Zhuravlev N В On the Hyperbohcity of Rapidly Oscillating Solutions of Functional Differential Equations with several delays// Abstracts of The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, 2005 PP 87-88

7 Zhuravlev N В On the spectrum of the monodromy operator for slowly oscillating periodic solutions of functional differential equations with several delays// J "Functional Differential Equations" 2006 V 13 No 2, PP 323-344

л

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИДК 00510 от 01 12 99 г Подписано к печати 11 04 2007 г Формат 60x90 1/16 Услпечл 1,0 Тираж 100 экз Заказ 181 Тел 939-3890 Тел/Факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им М В Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к

Введение

1 Критерий гиперболичности в случае рационального периода.

1.1 Спектр оператора монодромии.

1.2 Резольвента оператора монодромии.

1.3 О вычислении фундаментальной матрицы

1.4 Пример.

1.5 Критерий гиперболичности.

2 Критерий гиперболичности в случае иррационального периода.

2.1 Рациональная аппроксимация.

2.2 Представление гладких периодических функций

2.3 Построение рациональной аппроксимации.

2.4 Критерий гиперболичности.

1. Выбор темы для настоящей диссертации связан с актуальностью исследования динамики, порождаемой нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями. В диссертации изучаются условия гиперболичности периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений вида я'й = / (*(*), х{1 - п), х{г - г2), гп)) (1) с положительными рациональными запаздываниями 0 < г\ < . < гп (положим го = 0), где функция / : Мп+1 —у К непрерывно дифференцируема. Строгое определение гиперболичности в терминах собственных значений оператора монодромии (мультипликаторов Флоке) будет дано в определении 1. Здесь отметим, что гиперболичность периодического решения эквивалентна тому, что все траектории в пространстве начальных данных, близкие к периодической орбите, стремятся к ней либо при £ +оо, либо при £ —> —оо (см. [26, теорема 10.3.1]).

Важность исследования асимптотического поведения решений таких уравнений в окрестности периодических решений подчеркивается в теории искусственных нейронных сетей [28] и в теории управления с последействием. При изучении лазеров с запаздывающей обратной связью [40] особый интерес представляют неустойчивые (и, в частности, гиперболические) периодические решения. Неустойчивые негиперболические решения тоже встречаются в приложениях (см., например, [17]).

Один из первых результатов по устойчивости периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений получили в 1975 году J. L. Kaplan и J. A. Yorke [30]. Ядром доказательства являлась лемма о пересечении траекторий (здесь имеются ввиду траектории в пространстве R2), в которой развивается идея сравнения решений, использовавшаяся еще в книге А. Д. Мышкиса (см. [14, теорема 20]). J. L. Kaplan и J. A. Yorke рассматривали уравнение вида =-1)), где / — непрерывно дифференцируемая строго монотонная функция, проходящая через начало координат и ограниченная снизу, и исследовали поведение только, так называемых, медленно осциллирующих решений (т. е. решения, нули которых расположены на расстоянии, большем, чем запаздывание). Вопросы существования и единственности периодических медленно осциллирующих решений рассматривали J. L. Kaplan и J. A. Yorke [29], R. D. Nussbaum [36], Y. Cao [18] и другие. При аналогичных ограничениях на правую часть уравнения Н.-О. Walther доказал [41], что все начальные данные, которым соответствуют ограниченные решения, принадлежат замыканию множества начальных данных, которым соответствуют медленно осциллирующие решения. Несмотря на дальнейшее развитие этих результатов и внедрение других методов исследования устойчивости периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений отмеченные выше ограничения на правую часть уравнения и на исследуемое решение (а также требование четности или нечетности правой части) часто остаются существенными для построения доказательств (см., например, [18, 20]). Ограничения на функцию / часто ужесточаются при переходе к быстро осциллирующим решениям (см., например, [32]) и при появлении дополнительного аргумента x(t) в правой части уравнения (см., например, [6]).

В 1977 году в книге J. К. Hale [26] была изложена схема доказательства того, что поведение траекторий, близких к орбите периодического решения, в пространстве начальных данных определяется расположением мультипликаторов Флоке относительно единичной окружности. Полное доказательство этого факта было изложено в [27], а затем другое, более лаконичное, доказательство было дано в книге [21]. С помощью мультипликаторов Флоке исследовалась бифуркация из ветви периодических орбит семейства дифференциально-разностных уравнений [23, 38, 42], экспоненциальная устойчивость [20, 6], гиперболичность [1, 2, 3, 4, 39, 43], существование и структура глобального аттрактора [32]. S. N. Chow, О. Diekmann, and J. Mallet-Paret исследовали расположение мультипликаторов Флоке для определения свойств медленно осциллирующих решений интегрального уравнения [19]. J. Mallet-Paret и G. Sell изучили кратности упорядоченной последовательности мультипликаторов Флоке [34]. При помощи мультипликаторов Флоке X. Xie исследовал устойчивость периодических решений уравнений рассматриваемого типа, содержащих малый параметр [45]. P. Dormayer и В. Lani-Wayda для исследования повторных бифуркаций из ветви периодических решений провели численный анализ мультипликаторов Флоке [24].

При работе с мультипликаторами Флоке трудность заключается в том, что в случае функционально-дифференциальных уравнений оператор монодромии является бесконечномерным (в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений). Одним из методов исследования мультипликаторов Флоке является построение характеристической функции. При этом исследование спектра оператора монодромии сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей спектральный параметр. Этот шаг используется во многих работах и до настоящего времени [23]. Во всех этих работах исследуется решение с полупериодом Т/2 в два раза большим, чем запаздывание г [20, 6], или в три раза больше чем запаздывание [16]. (Иногда отмечается, что подобный шаг можно сделать при Т/г £ N.) Отметим, что в свете работы R. D. Nussbauma [35] такие периодические решения могут рассматриваться как исключительные. В случае произвольного T/r Е Q такой шаг был сделан только в работах Х.-О. Вальтера (Walther) и A. JI. Скубачевского, что позволило им построить характеристическое уравнение в случае периодического решения с произвольным рациональным периодом [1, 2, 3, 39] (при запаздывании г = 1) и даже получить первые подобные результаты в случае иррационального периода [4, 39].

В последние годы появился ряд работ (см., например [37, 44, 45]) по устойчивости и гиперболичности периодических решений уравнений вида (1), где используется дополнительное предположение о близости правой части уравнения к ступенчатой функции.

Отметим, что в последнее время А. Д. Мышкис опубликовал ряд работ по существованию и устойчивости периодических решений дифференциально-разностных уравнений (см. например [15]). Однако, он исследовал, так называемые, системы с релаксацией, в которых определение решения дается иначе, чем в перечисленный выше работах.

2. Новизна результатов. В диссертации задача отыскания мультипликаторов Флоке и проверка простоты (алгебраическая кратность равна единице) отдельно взятого мультипликатора Флоке сводится к исследованию краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей спектральный параметр. Подобный переход использовался ранее во многих работах и является одним из наиболее эффективных средств исследования поведения траекторий, близких к орбите периодического решения нелинейного дифференциально-разностного уравнения, в пространстве начальных данных. При этом допускается произвольный рациональный период исследуемого периодического решения, что было достигнуто ранее только в работах Х.-О. Вальтера и А. Л. Скубачевского [1, 2, 3, 39].

В настоящей диссертации впервые подобный переход совершается в отсутствии каких-либо дополнительных ограничений. Это достигается благодаря явному выписыванию оператора, осуществляющего изоморфизм между собственным подпространством оператора монодромии и пространством решений построенной краевой задачи. Становится ясно, что для тривиальности ядра этого оператора не требуется использовавшихся ранее дополнительных ограничений. Кроме того, используется другой подход к исследованию условий простоты собственных значений оператора монодромии.

В работах Х.-О. Вальтера и А. Л. Скубачевского [4, 39] впервые переход к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений был сделан для иррационального периода (в случае запаздывания, равного единице). При этом предополагалось, что исследуемое периодическое решение с иррациональным периодом допускает рациональную аппроксимацию (в работах [4, 39] это определение является новым).

В настоящей диссертации в отсутствии дополнительных ограничений приводится конструктивное доказательство того, что любое периодическое решение допускает рациональную аппроксимацию. Само определение рациональной аппроксимации несколько изменяется. При этом удается воспроизвести использованную в работах [4, 39] идею перехода к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводимое в настоящей диссертации построение рациональной аппроксимации содержит переход от исходного дифференциально-разностного уравнения (даже в случае одного запаздывания, равного единице) к уравнению, содержащему несколько рациональных запаздываний. Поэтому изначально все результаты выводятся для уравнения, содержащего несколько рациональных запаздываний.

Отметим, что при построении рациональной аппроксимации доказывается и используется интересное свойство гладких периодических функций. А именно, используя произвольную гладкую периодическую функцию и фиксированный набор ее запаздываний, можно выразить конечным образом любую другую гладкую периодическую функцию с тем же периодом.

3. Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Вальтер Х.-О., Скубачевский А. Л. О спектре оператора мо-нодромии для медленно осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений. //Доклады Академии Наук. 2002. Т.384. № 4. С. 442-445.

2. Вальтер Х.-О., Скубачевский А. Л. О мультипликаторах Флоке для медленно осциллирующих периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. //Труды Московского Математического Общества. 2003. Т.64. С. 3-53.

3. Вальтер Х.-О., Скубачевский А. Л. О гиперболичности быстро осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений. //Функц. анализ и его приложения. 2005. Т.39. вып.1. С. 82-85.

4. Вальтер Х.-О., Скубачевский А. Л. О гиперболичности решений с иррациональными периодами некоторых функционально-дифференциальных уравнений. //Доклады АН. 2005. Т.402. №2. С. 151-154.

5. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше// Мат. сборник. 1971. Т. 84, № 4. С. 607-629.

6. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием. Известия УрГУ. 2005. № 38. С. 50-68.

7. Журавлев Н. Б., Скубачевский A. JI. О гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями// Труды Матем. инст. им. В. А. Стек-лова. 2007. Т. 256. С. 148-171.

8. Журавлев Н. Б. О гиперболичности медленно осциллирующих периодических решений некоторого класса функционально-дифференциальных уравнений// Proceedings of the sixteen Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol. 2006. V. 16. P. 135-141.

9. Журавлев Н. Б. Критерий гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями// Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 21. С. 37-61.

10. Журавлев Н. Б. Критерий гиперболичности периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с рациональным периодом// Функц. анализ и его приложения. 2007. Т. 41. вып.1, Стр. 90-92.

11. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

12. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва. 1951.

13. Brunovsky P., Erdelyi A. Walther H.-O. On Model of a Currency Exchange Rate Local Stability and Periodic Solutions// J. Dynam. Differential Equations. 2004. V. 16. № 2. P. 393-432.

14. Cao Y. Uniqueness of periodic solutions for differential delay equations// J. Differential Equations. 1996. V. 128. P. 46-57.

15. Chow S. N., Diekmann O., and Mallet-Paret J. Stability, multiplicity and global continuation of symmetric periodic solutions of a nonlinear Volterra integral equation// Japan J. Applied Mathematics. 1985. V. 2. P. 433-469.

16. Chow S. N., and Walther H.-O. Characteristic multipliers and stability of symmetric periodic solutions of x(t) = g(x(t — 1)))// Transactions of the A.M.S. 1988. V. 307. P. 127-142.

17. Diekmann O., van Gils S., Verduyn Lunel S. M., and Walther H.-O. Delay Equations: Functional-, Complex- , and Nonlinear Analysis. Springer, New York, 1995.

18. Dieudonne J. Foundations of Modern Analysis. Academic Press, New York, 1960.

19. Dormayer P., Ivanov A. F., Lani-Wayda B. Floquet multipliers of symmetric rapidly oscillating solutions of differential delay equations// Tohoku Math. J. 2002. V. 54. P. 419-441.

20. Dormayer P., Lani-Wayda B. Floquet multipliers and secondary bifurcations in functional differential equations: Numerical and analytical results, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik. 1995. V. 46. № 6. P. 823-858.

21. Dunford N., and Schwartz J. T. Linear Operators. Part I: General Theory. Interscience Publishers. New York. 1958.

22. Hale J. K. Theory of functional differential equations. Springer. New York. 1977.

23. Hale J. K., and Verduyn Lunel S. M. Introduction to Functional Differential Equations. Springer. New York. 1993.

24. Herz A. V. M. Global analysis of recurrent neural networks// In Domany E., van Hemmen J. L., and Schulten K. (eds.). Models of Neural Networks. 1994. V. 3. Springer-Verlag. New York.

25. Kaplan J. L., and Yorke J. A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of delay differential equations// J. Mathematical Analysis and Applications. 1974. V. 48. P. 317-324.

26. Kaplan J. L., and Yorke J. A. On the stability of a periodic solution of a differential delay equation// SI AM J. Mathematical Analysis. 1975. V. 6. P. 268-282.

27. Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators. Springer. New York. 1966.

28. Krisztin T., and Walther H.-O. Unique periodic orbits for delayed positive feedback and the global attractor// J. Dynamics and Differential Equations. 2001. V. 13. P. 1-57.

29. Mallet-Paret J., and Nussbaum R. D. Global continuation and asymptotic behaviour for periodic solutions of a differential-delay equation// Annali di Matematica Pura ed Applicata. 1986. V. 145. P. 33-128.

30. Mallet-Paret J., and Sell G. Systems of differential delay equations: Floquet multipliers and discrete Lyapunov functions// J. Differential Equations 125 (1996), 385-440.

31. Nussbaum Ft. D. The range of periods of x'(t) = —af(x(t — 1))// J. Mathematical Analysis and Applications. 1977. V. 58. P. 280-292.

32. Nussbaum R. D. Uniqueness and nonuniqueness for periodic solutions of x'{t) = —g(x(t 1))// J. Differential Equations. 1979. V. 34. P. 25-54.

33. Ou Ch., Wu J. Periodic Solutions of Delay Differential Equations wich a Smal Parameter: Existence, Stability and Asymptotic Expansion// J. Dynam. Differential Equations. 2004. V. 16. № 3. P. 605-628.

34. Röst G. Bifurcation of periodic delay differential equations at points of 1:4 resomamce// J. "Functional Differential Equations". 2006. V. 13. PP. 19-36.

35. Skubachevskii A. L., Waither H.-O. On the Floquet multipliers of periodic solutions to nonlinear functional differential equations// J. Dynam. Differential Equations. 2006. V. 18. № 2. P. 257-355.

36. Walther H.-O. Density of slowly oscillating solutions of x(t) = —f(x(t — 1))// J. Mathematical Analysis and Applications. 1981. V. 79. P. 127140.

37. Walther H.-O. Bifurcation from periodic solutions in functional differential equations// Mathematische Zeitschrift. 1983. V. 182. P. 269289.

38. Walther H.-O. Hyperbolic periodic solutions, heteroclinic connections and transversal homoclinic points in autonomous differential delay equations// Memoirs of the A.M.S. 1989. V. 79. № 402.

39. Walther H.O. Contracting return maps for monotone delayed feedback// Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2001. V. 7, № 2. P. 259274.

40. Xie X. Uniqueness and stability of slowly oscillating periodic solutions of delay equations with bounded nonlinearity// J. Dynamics Differential Equations 3 (1991), 515-540.

41. Zhuravlev N. B. On the spectrum of the monodromy operator for slowly oscillating periodic solutions of functional differential equations with several delays// J. "Functional Differential Equations". Israel. 2006. V. 13. No 2, PP. 323-344.