Дискретные группы изометрий гиперболического пространства

Маслей, Александр Викторович

Дискретные группы изометрий гиперболического пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Маслей, Александр Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Дискретные группы изометрий гиперболического пространства»

Автореферат диссертации на тему "Дискретные группы изометрий гиперболического пространства"

На правах рукописи

С^¿СисЛв/Дг*

Маслей Александр Викторович

Дискретные группы изометрий гиперболического пространства

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о 4 СЕН 2014

Новосибирск — 2014

005552221

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирском национальном исследовательском государственном университете».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, Веснин Андрей Юрьевич Официальные оппоненты: Тетенов Андрей Викторович,

доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Горно-Алтайский государственный университет» физико-математический факультет, кафедра математики и методики преподавания математики, профессор, Шварцман Осип Владимирович, доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"», факультет математики, профессор Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится «22» сентября 2014 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук: http://math.nsc.ru/. Автореферат разослан «15» августа 2014 г.

Ученый секретарь Л]хл

диссертационного совета Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Объектом исследования в диссертационной работе являются дискретные группы сохраняющих ориентацию изометрий трехмерного гиперболического пространства Н3. Теория дискретных групп преобразований восходит к мемуарам А. Пуанкаре и Ф. Клейна конца XIX века. С самых истоков эта тематика элегантно сочетает в себе идеи анализа, теории групп, топологии и геометрии. В последние сорок лет интерес к ней во многом связан с программой геометризации У. Терстона, в которой гиперболические многообразия и орбифолды играют ключевую роль.

Хорошо известно, что группа всех сохраняющих ориентацию изометрий пространства Н3 изоморфна группе РЭЬ(2, С). Элемент д £ РБЦ2, С), где д = {±М} и М £ 8Ь(2,С), называется эллиптическим, параболическим или локсодромическим, если 1т2(М) е [0; 4), и2(М) = 4 или ^2(М) е С \ [0;4] соответственно. Нетривиальный непараболический элемент оставляет инвариантной единственную геодезическую в Н3, которая называется его осью. Для такого элемента определены величина сдвига вдоль оси и угол поворота вокруг оси.

Дискретные подгруппы Р8Ц2, С) действуют собственно разрывно в Н3. Этим объясняется интерес к ним с точки зрения теории униформизации. Основные сведения по теории дискретных групп изложены в [1, 2, 3, 4].

Существует несколько подходов к исследованию свойства дискретности подгрупп Р8Ь(2, С). Один из них состоит в оценке расстояний между неподвижными точками или осями элементов группы. Напомним, что если стабилизатор точки р £ Н3 в дискретной группе б < РБЬ(2, С) не тривиален, то он изоморфен одной из точечных групп: циклической, диэдральной, тетраэдральной, октаэдральной или икосаэдральной. В [5] Д. А. Деревнин, А. Д. Медных и в [6] Ф. Геринг, Т. Маршалл, Г. Мартин установили нижние оценки на расстояния между точками в Н3, стабилизаторы которых в дискретной группе изоморфны группе тетраэдра, октаэдра или икосаэдра. Оценки на расстояния между осями эллиптических элементов в дискретной группе были найдены в [7, 8]. Все эти результаты приводят к необходимым условиям дискретности.

Достаточные условия дискретности даются теоремой комбинирования Клейна — Маскита (см. [9, 10, 11]) и теоремой Пуанкаре о фундаментальном многограннике (см. [12, 13, 14]). Эти теоремы позволяют выписать копредстав-ления групп.

Группа С < Р8Ц2, С) называется элементарной, если существует конечная (З-орбита в Н3 и С, где С = 9Н3. В противном случае группа (3 называется неэлементарной. Все элементарные дискретные группы классифицированы

(см., например, [1]). В 1977 году Т. Йоргенсен [15] показал, что неэлементарная

группа С? < РБЬ(2, С) дискретна тогда и только тогда, когда любая ее двупо-рожденная подгруппа дискретна. Для некоторых классов двупорожденных групп известны критерии дискретности. В [16] описаны все дискретные подгруппы РЗЬ(2, К) с двумя порождающими. Критерии дискретности для большинства 72/Р-групп приведены в [17, 18]. Тем не менее, классификация всех двупорожденных дискретных групп до сих пор остается открытой и весьма сложной проблемой. Поэтому задача о нахождении для них необходимых и достаточных условий дискретности является актуальной.

Среди необходимых условий дискретности для двупоржденных групп отметим теоремы Т. Иоргенсена [19] и Д. Тана [20]. Эти условия имеют вид нестрогих неравенств, связывающих квадрат следа одного из порождающих и след коммутатора порождающих. Именно неравенство такого сорта позволило Йоргенсену свести вопрос о дискретности произвольной группы к рассмотрению ее двупорожденных подгрупп.

Цель работы. Целью работы является развитие теории дискретных групп изометрий гиперболического пространства Н3. При этом основное внимание уделено получению достаточных условий дискретности для групп с двумя непараболическими порождающими, а также применению этих и других условий дискретности для исследования групп специального вида.

Основные результаты.

1. Разработан новый метод исследования дискретности двупорожденных групп изометрий Н3.

2. Установлены достаточные условия дискретности для групп изометрий Н3, порожденных двумя непараболическими элементами.

3. Дан ответ на вопрос Б. Маскита о дискретности групп изометрий Н3 специального вида.

Методы исследований. Для доказательства основных результатов диссертационной работы были использованы методы теории клейновых групп и гиперболической геометрии.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретический характер. Разработанные методы и полученные результаты могут быть применены в теории дискретных групп преобразований.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Международных конференциях «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 4-ой Международной геометрической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова (Санкт-Петербург, 2012); 20-ой Международной кон-

ференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва,

2013); Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах» (Новосибирск, 2013); Международной конференции «Квантовая и классическая топология трехмерных многообразий» (Челябинск, 2014); Международных школах-семинарах «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 2011, 2012); Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 44-ой Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013).

Результаты диссертации докладывались семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика РАН И. А. Тайманова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре «Дифференциальная геометрия и приложения» под руководством академика РАН А. Т. Фоменко (МГУ, Москва, 2013); семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика РАН Ю. Г. Решетняка (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2014); на семинаре «Инварианты трехмерных многообразий» под руководством члена-корреспондента РАН А. Ю. Веснина (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012, 2013, 2014).

За результаты, вошедшие в диссертационную работу, автору были присуждены стипендия имени профессора Л. В. Сабинина (НГУ, Новосибирск, 2012,

2014) и грамота за лучший доклад на 20-ой Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ, Москва, 2013).

Исследования автора выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 13-01-00513), Лаборатории квантовой топологии Челябинского государственного университета (грант правительства РФ №14.250.31.0020), а также Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ-1015.2014.1).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шестнадцати печатных и электронных изданиях [1*]-[16*], три из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1*, 2*, 3*], тринадцать — в трудах конференций и тезисах докладов [4*]-[16*]. Статья [3*] написана в соавторстве с Н. А. Исаченко. Ее результаты получены авторами совместно, при равном вкладе, и являются неделимыми. Эти результаты составляют часть параграфа 3.2 главы 3. Остальные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 77 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 9 рисунков. Список литературы насчитывает 46 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, члену-корреспонденту РАН Андрею Юрьевичу Веснину за постановки задач, их обсуждения и всестороннюю поддержку; а также кандидату физико-математических наук Николаю Андреевичу Исаченко за интерес к работе и полезные замечания.

Содержание работы

Введение содержит информацию об актуальности работы, ее целях и основных результатах.

Первая глава носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1 изложены определения, а также некоторые известные факты о геометрии гиперболического пространства и группе его сохраняющих ориентацию изометрий. В параграфе 1.2 обсуждаются параметры двупорожденной группы и их геометрический смысл. В параграфе 1.3 сформулирована теорема комбинирования Клейна — Маскита. Главу завершает параграф 1.4, в котором приводится обзор результатов о дискретности групп, порожденных двумя эллиптическими изомет-риями.

Вторая глава посвящена достаточным условиям дискретности для групп, порожденных двумя непараболическими изометриями.

Основным результатом параграфа 2.1 является достаточное условие дискретности для групп с двумя локсодромическим порождающими.

Теорема 2.1. [1*] Пусть группа б = (/,<?) < Р8Ь(2, С) такова, что ¡ид-локсодромические элементы с величинами сдвигов Т/ и тд, <5(/, д) и в(/, д) -расстояние и угол между осями порождающих. Обозначим а/ = агс5т(1/еЬ(ту/2)) и ад = агс5т(1/сЬ(г5/2)). Предположим, что выполнено одно из следующих условий:

(1) Ч + а9<в(/,д),

(2) „, + <*> ИМ . СИЛ.) > +

Тогда б - неэлементарная дискретная группа и С = (/) * (д).

Основной результат параграфа 2.2 - достаточное условие дискретности для групп с локсодромическим и эллиптическим порождающими.

Теорема 2.2. [1*] Пусть группа б = (/,д) < Р8Ь(2,С) такова, что / - локсодромический элемент с величиной сдвига т¡, д - эллиптический элемент порядка п > 2, д(/, д) и в(/, д) - расстояние и угол между осями порождающих. Предположим, что выполнено неравенство

сЬ(т//2) «^(тг/п) БтбК/, д) + 1 ЗЬди,д)> 8Ь(Т//2)8Щ(7Г/П)

Тогда <3 - неэлементарная дискретная группа и С = (/) * (д).

Метод доказательства этих теорем состоит в следующем. Для циклических групп, соответствующих порождающим, строятся фундаментальные множества, которые удовлетворяют всем условиям теоремы комбинирования Клейна — Маскита.

Третья глава посвящена условиям дискретности для групп изометрий специального вида, которые были введены Б. Маскитом в [21]. Кроме того, в ней получены достаточные условия дискретности для групп, порожденных непараболической изометрией и инволюцией (т. е. эллиптической изометрией второго порядка).

В параграфе 3.1 рассматриваются группы с двумя непараболическими порождающими, один из которых является инволюцией. Для таких групп неравенства из основной теоремы работы [23] и теоремы 2.2 из параграфа 2.2 приводят к оценкам, не зависящим от угла в{/, д). Следующие две теоремы улучшают эти оценки, учитывая значение в(/,д).

Теорема 3.1. [2*] Пусть группа б = (/, д) < Р8Ь(2,С) такова, что / - эллиптический элемент порядка т > 3 и д - инволюция. Предположим, что выполнено одно из следующих условий:

(1) в(/,д) < тг/4 и зЫ(/,5) > сЬё(п/тп)созв{/,д),

(2) в(/,д) > тг/4 и *Ъ6(/,д) > с1&(тт/т)5тв(/,д).

Тогда <3 - неэлементарная дискретная группа и С = (/) * (д).

Теорема 3.2. [2*] Пусть группа (3 = (/,д) < Р8Ь(2,<С) такова, что / -локсодромический элемент с величиной сдвига Т/ и д - инволюция. Обозначим а! = агсзт(1/сЬ(т//2)). Предположим, что выполнено одно из следующих условий:

(1) в(/,д)<ж/4и^<в(/,д),

(2) в{/,д) < тг/4, а/ > в(/,д) и сЪ5(/,д) > сШ(г//2) соз0(/,д),

(3) в{/,д)>тг/Аиа}<-к/2-в(/,д).

(4) ви,д) > тг/4, а/ > тг/2 - в(/,д) и сЪ6(/,д) > <ЛЬ(т//2) ап в(/,д). Тогда С - неэлементарная дискретная группа и С = (/) * (д).

Метод доказательства этих теорем состоит в нахождении в данных группах подгрупп со специальными свойствами.

В 1989 году Б. Маскит [21] сформулировал следующий вопрос: когда группа (/,д) < РЗЬ(2,С) такая, что элемент / имеет две неподвижные точки ¿1,22 6 <С и д(г 1) = 22, является дискретной? Фигурирующие в этом вопросе группы будем называть группами Маскита. В [21] показано, что дискретные группы Маскита разбиваются на пять семейств. Одно из них содержит только

элементарные группы и вопрос о их дискретности сводится к известным результатам. Для оставшихся четырех семейств имеют место достаточные условия дискретности и недискретности, полученные в [21] и [22], которые, однако, не дают полного ответа на вопрос Маскита.

В параграфе 3.2 дан частичный ответ на вопрос Маскита. Этот ответ приведен в следующих четырех теоремах, сформулированных в терминах параметров двупорожденной группы. Параметрами группы (/, д) < РЭЬ(2, С) называется упорядоченная тройка раг(/, д) = (у, /3, /3'), где 7 = ^(/<7/-1<?-1) — 2, Р = Ьг2(/) — 4 и /3' = Ьт2(д) — 4. Как показали Ф. Геринг и Г. Мартин [7], группа {/, д) является группой Маскита тогда и только тогда, когда 7 = /3 ф 0. При этом четыре интересующие нас семейства групп Маскита имеют параметры вида (/?, р, /3'), где /3 е {-4, -3, -2, -1}.

Обозначим £ = { - 48т2(7г/т) | т € 2, т > 2 } и [0, +оо).

Теорема 3.7. [4*] Пусть <3 = (/, д) < РЭЬ(2, С) и

раг(/,5) = (-4, -4, Я-

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если 0 < |/3' + 41 < 1, то С - недискретная группа;

(2) если —8 < /3' < 0, то группа С? дискретна тогда и только тогда, когда

Р' € { - 4 - 4 сое2 - I те2, т>3} и { - 4эт2 — I т € Ъ, т > 2 ); 1 т ' ' 1 т 1 '

(3) если |Р' + 4| > 4, /ко О - дискретная группа;

(4) если Р' = ■ (г + 4) - 4, к е {2,3,4,8,9,10} и г е { — 4 зт2(тг/?тг) | т € Ж, т > 2 }, то С - дискретная группа;

(5) если /3' е С \ К, \Р' + 4| < 4 г/ /3' = р + да;, где р,д е Ъ, ш = 1\/п и п 6 N. то (3 - дискретная группа;

(6) если /3' е С \ Е, \Р' + 4| < 4 и /3' = р + дш, где 6 а; = (1 + г\/4п — 1)/2 «леИ, то - дискретная группа.

Теорема 3.8. [4*] Пусть в = (/, д) < РЭЬ(2, С) и

раг(/,5) = (-3, -3,/?')•

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если хотя бы для одного к £ {0,2,4} выполнено неравенство 0 < |/3' + 4 — \ < 1, то С - недискретная группа;

(2) если Р' = е^/3 • (г + 4) - 4, /с е {0,2,4} « г е [-4, +оо), то группа (3 дискретна тогда и только тогда, когда г 6 £>;

(3) если Р' = ежЫ>ъ ■ (г + 4) - 4, к е {1,3,5} иг £ 2), то (3 - дискретная группа.

Теорема 3.9. [4*] Пусть G = {f,g) < PSL(2,C) и

par (/,<?) = (-2,-2,/3').

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств

О < |/3' + 4 - еш/2\ <1, 0 < |/3' + 4 - 2екп'2\ < {Vb - 1)/2 или 2 < |/3' + 4| + |/3' + 4 - 2efr7ri/2| < \/3 + 1

при к G {0,1, 2,3}, то G - недискретная группа;

(2) если /3' = е^/2 • (г + 4) - 4, k G {0,1,2,3} иге [-4,+оо), то группа G дискретна тогда и только тогда, когда г <Е S3.

Теорема 3.10. [4*] Пусть G = (/,#) < PSL(2,C) и

раг</,3) = (-1,-1,/3').

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств

0 < |/3' + 4 - еш/3\ < 1 или 0 < |/3' + 4 - 2еш/3\ < 1/2 при к <Е {0,1, 2, 3, 4, 5}, mo G - недискретная группа;

(2) если /3' = ежЫ/3 • (г + 4) - 4, к € {0,1,2,3,4,5} и г € [-4, +оо), то группа G дискретна тогда и только тогда, когда г € Э.

Доказательства этих теорем опираются на теорему 3.2 из параграфа 3.1 и используют условия дискретности из [7, 19, 20, 21, 22].

Список литературы

1. Бердон, А. Геометрия дискретных групп / А. Бердон. — Москва: Наука, 1986. - 304 с.

2. Крушкаль, C.JI. Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах / C.JI. Крушкаль, Б.Н. Апанасов, H.A. Гусевский — Новосибирск: Наука, 1981.-249 с.

3. Ratcliffe, J. Foundations of Hyperbolic Manifolds. Second Edition / J. Ratcliffe. — New York: Springer-Verlag, 2006. - 779 p.

4. Груневальд, Ф. Группы, действующие на гиперболическом пространстве / Ф. Груневальд, Й. Меннике, Ю. Эльстродт. — Москва: МЦНМО, 2003. — 640 с.

5. Деревнин, Д. А. Геометрические свойства дискретных групп, действующих в пространстве Лобачевского с неподвижными точками / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных // Докл. АН СССР. - 1989. - 300, №1. - С. 27-30.

6. Gehring, F. W. Recent Results in the Geometry of Kleinian Groups / F. W. Gehring, Т.Н. Marshall, G.J. Martin // Comput. Methods Funct. Theory. — 2003. — 2, №1. - P. 249-256.

7. Gehring, F. W. Commutators, collars and the geometry of Möbius groups / F. W. Gehring, G.J. Martin // J. Anal. Math. - 1994. - 63, №1. - P. 175-219.

8. Gehring, F.W. The spectrum of elliptic axial distances in Kleinian groups / F.W. Gehring, Т.Н. Marshall, G.J. Martin // Indiana Univ. Math. J. - 1998. -47. - P. 1-10.

9. Klein, F. Beiträge zur Riemann 'sehen Funktionentheorie/ F. Klein // Math. Ann. — 1883. -21.- P. 141-218.

10. Maskit, B. Construction of Kleinian groups / В. Maskit II Proceedings of the Conference on Complex Analysis, Minnesota, 1964. — 1965. — P. 281 -296.

11. Maskit, В. On Klein's combination theorem / B. Maskit // Trans. Am. Math. Soc. - 1965. - 120. - P. 499-509.

12. Poincaré, H. Théorie des groupes fuchsiens / H. Poincaré II Acta Math. — 1882. — 1. - P. 1-62.

13. Poincaré, H. Mémoire sur les groupes Kleinéens / H. Poincaré // Acta Math. - 1883. - 3. - P. 49-92.

14. Epstein, D.B. A. An Exposition of Poincaré s Polyhedron Theorem / D.B. A. Epstein, С. Petronio II Enseign. Math., II. Sér. - 1994. — 40. - P. 113-170.

15. J0rgensen, T. A note on subgroups of SL(2,C) / T. J0rgensen II Q. J. Math. — 1977.-28, №110. - P. 209-211.

16. Gilman, G. Two-generator discrete subgroups of PSL(2,C) / G. Gilman. — Providence, Rhode Island: AMS, 1995. - 204 p.

17. Gehring, F.W. Kleinian groups with real parameters / F.W. Gehring, J.P. Gilman, G.J. Martin // Commun. Contemp. Math. — 2001.- 3, №2.-P. 163-186

18. Klimenko, E. All discrete RP-groups whose generator have real trace / E. Klimenko, N. Kopteva // Int. J. Algebra Comput. - 2005. — 15, №3. - P. 577618.

19. J0rgensen, Т. On discrete groups of Mobius transformations / T. J0rgensen // Am. J. Math. - 1976. - 98. - P. 739-749.

20. Tan, D. On two-generator discrete groups of Mobius transformations / D. Tan // Proc. Am. Math. Soc. - 1989. - 106. - P. 763-770.

21. Maskit, B. Some special 2-generator Kleinian groups / B. Maskit // Proc. Am. Math. Soc. - 1989. - 106. - P. 175-186.

22. Клименко, E. Я. Об одном классе двупорожденных подгрупп PSL(2,C) / Клименко Е. Я. // Сиб. мат. ж. - 1989. - 30, №5. - С. 74-76.

23. Rasskazov, A. On the distance between the axes of elliptic elements generating a free product of cyclic groups / A. Rasskazov // Adv. Geom. - 2006. - 6, №1. - P. 85-92.

Список публикаций автора по теме диссертации

1*. Маслей, А. В. Достаточные условия дискретности для двупорожденных подгрупп PSL(2,C) / А. В. Маслей // Сибирский математический журнал. — 2013.- 54, №5.-С. 1069-1086.

2*. Маслей, А. В. Достаточные условия дискретности для подгрупп PSL(2,C), порожденных инволюцией и непараболическим элементом / А. В. Маслей // Математические заметки. — 2014. — 95, №2. — С. 317-320.

3*. Исаченко, Н. А. Расстояние между осями эллиптических элементов в дискретных подгруппах PSL(2,C) / Н. А. Исаченко, А. В. Маслей // Вестник Омского университета, —2011.—№4.— С. 31 -36.

4*. Маслей, А. В. О необходимых и достаточных условиях дискретности для подгрупп PSL(2, С) / А. В. Маслей // Сборник научных статей Международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае», Барнаул. — 2013. — С. 39-44.

5*. Маслей, А. В. Оценки расстояний между осями эллиптических элементов в дискретных подгруппах PSL(2;C) / А. В. Маслей // Материалы 49-ой Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. Математика. — 2011. — С. 82.

6*. Маслей, А. В. Двупорожденные группы изометрий гиперболического пространства: орбиты точек и дискретность [Электронный ресурс] / А. В. Маслей // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2011», Новосибирск. — 2011. — Режим доступа: http://math.nsc.ru/ conference/geomtop2011/abstracts/Maslei.pdf

7*. Маслей, А. В. Двупорожденные группы изометрий гиперболического пространства / А. В. Маслей // Сборник научных статей Международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае», Барнаул. — 2011. — С. 115-120.

8*. Маслей, А. В. Условия дискретности двупорожденных групп изометрий Н3 / А. В. Маслей // Материалы 50-й юбилейной Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. Математика. — 2012. — С. 79.

9*. Маслей, А. В. О дискретных группах изометрий трехмерного гиперболического пространства / А. В. Маслей // Материалы школы-конференции по геометрическом анализу, Горно-Алтайск. — 2012. — С. 33-35.

10*. Masley, A. Two-generated groups of Mobius transformations: geometry and sufficient conditions of the discreteness / A. Masley // Abstracts of the Fourth Geometry Meeting dedicated to the centenary of A.D. Alexandrov, Saint-Petersburg.—2012,—P. 72-73.

11*. Маслей, A. В. О достаточных условиях дискретности для групп мебиусовых преобразований с двумя порождающими [Электронный ресурс] / А. В. Маслей // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», Новосибирск. — 2012. — Режим доступа: http://math.nsc.ru/ conference/geomtop2012/abstracts/Masley.pdf

12*. Маслей, A. В. Необходимые и достаточные условия дискретности для некоторого класса двупорожденных мебиусовых групп / А. В. Маслей // Тезисы Международной (44 Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики», Екатеринбург. — 2013. — С. 189-191.

13*. Маслей, А. В. Условия дискретности групп изометрий пространства Лобачевского в терминах расстояний [Электронный ресурс] / А. В. Маслей // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2013»,

Москва. — 2013. — Режим доступа:

http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2013/2189/ 55788_3905.pdf

14*. Маслей, А. В. Условия дискретности мебиусовых групп с двумя непараболическими порождающими I А. В. Маслей // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. Математика. — 2013. — С. 55.

15*. Маслей, А. В. Необходимые и достаточные условия дискретности для групп Маскита / А. В. Маслей // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске»-2013», Новосибирск. — 2013. — С. 61.

16*. Masley, A. On Discreteness of Maskit subgroups ofPSL(2, С) [Электронный ресурс] / A. Masley // Abstracts of the International Conference "Geometry and Analysis on Metric Structures", Novosibirsk. — 2013. — Режим доступа: http://get.math.nsc.ru/wordpress/wp-content/uploads/ 2013/12/Masley.pdf

Подписано в печать 03.07.2014 Тираж 100 экз.

Отпечатано в Издательстве СО РАН 630090, г. Новосибирск, Морской пр., д. 2.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Маслей, Александр Викторович, Новосибирск

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет»

Маслей Александр Викторович

Дискретные группы изометрий гиперболического пространства

01.01.04 - геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

04201460371

На правах рукописи

Научный руководитель: чл.-корр. РАН, д. ф.-м.н.

А. Ю. Веснин

Новосибирск - 2014

Оглавление

Введение 3

1 Определения и предварительные результаты 12

1.1 Группа Р8Ь(2, С) и ее действие на И3 и С ..............12

1.2 Двупорожденные подгруппы Р8Ь(2, С)..................16

1.3 Теорема комбинирования Клейна — Маскита............18

1.4 Группы с двумя эллиптическими порождающими ... 19

2 Достаточные условия дискретности 22

2.1 Группы с двумя локсодромическими порождающими . 23

2.2 Группы с локсодромическим и эллиптическим порождающими ....................................................33

3 Условия дискретности для групп Маскита 45

3.1 Группы, порожденные непараболическим элементом и инволюцией..................................................45

3.2 Группы Маскита............................................54

Литература 71

Введение

Объектом исследования в данной работе являются дискретные группы сохраняющих ориентацию изометрий трехмерного гиперболического пространства Н3. Теория дискретных групп преобразований восходит к мемуарам А. Пуанкаре и Ф. Клейна конца XIX века. С самых истоков эта тематика элегантно сочетает в себе идеи анализа, теории групп, топологии и геометрии. В последние сорок лет интерес к ней во многом связан с программой геометризации У. Тер-стона, в которой гиперболические многообразия и орбифолды играют ключевую роль.

Хорошо известно, что группа всех сохраняющих ориентацию изометрий Н3 изоморфна группе РЭЬ(2, С). Элемент д е Р8Ь(2,С), где д = {±М} и М е 8Ь(2, С), называется эллиптическим, параболическим или локсодромическим, если Ьт2{М) е [0;4), ^2(М) = 4 или 1г2(М) € С\[0;4] соответственно. Нетривиальный непараболический элемент оставляет инвариантной единственную геодезическую в Н3, которая называется его осью.

Дискретные подгруппы Р8Ь(2, С) действуют собственно разрывно в Н3. Тем самым объясняется интерес к ним с точки зрения теории униформизации. Основные сведения по теории дискретных групп можно найти в [1, 2, 3, 4].

Существует несколько подходов к изучению свойства дискретно-

сти подгрупп РЭЬ(2,С). Напомним, что если стабилизатор точки р Е Н3 в дискретной группе С < Р8Ь(2,С) не тривиален, то он изоморфен одной из точечных групп: циклической, диэдральной, тетраэдральной, октаэдральной или икосаэдральной. В [5] Д. А. Дерев-нин, А. Д. Медных и в [6] Ф. Геринг, Т. Маршалл, Г. Мартин установили нижние оценки на расстояния между точками в Н3, стабилизаторы которых в дискретной группе изоморфны группе тетраэдра, октаэдра или икосаэдра. Оценки на расстояния между осями эллиптических элементов в дискретной группе были найдены в [7, 8]. Все эти результаты являются необходимыми условиями дискретности.

Достаточные условия дискретности даются теоремой комбинирования Клейна — Маскита (см. §1.3) и теоремой Пуанкаре о фундаментальном многограннике (см. [9, 10, 11]). Эти теоремы позволяют выписать копредставление группы.

В 1977 году Т. Йоргенсен [12] показал, что вопрос о дискретности группы С < Р8Ь(2,С) сводится к вопросу о дискретности ее двупорожденных подгрупп. Для некоторых классов двупорожденных групп известны критерии дискретности. В [13] описаны все дискретные подгруппы Р8Ь(2,М) с двумя порождающими. Критерии дискретности для большинства 7?/Р-групп приведены в [14, 15]. Тем не менее, классификация всех двупорожденных дискретных групп до сих пор остается открытой и весьма сложной проблемой. Поэтому возникает интерес к нахождению необходимых и достаточных условий дискретности, которые проясняют ситуацию в целом.

Среди необходимых условий дискретности для двупоржденных групп отметим теоремы Т. Йоргенсена [16] и Д. Тана [17]. Эти условия имеют вид нестрогих неравенств, связывающих квадраты следов каждого из двух порождающих и след их коммутатора. Имен-

но неравенство Йоргенсена позволяет свести вопрос о дискретности произвольной группы к рассмотрению ее двупорожденных подгрупп.

Целью диссертации является развитие теории дискретных групп изометрий Н3. Основное внимание уделено получению достаточных условий дискретности для групп с двумя непараболическими порождающими, а также применению этих и других условий дискретности для исследования групп специального вида.

В работе получены следующие основные результаты:

— разработан новый метод исследования дискретности двупорожденных групп изометрий Н3;

— установлены достаточные условия дискретности для групп изометрий Н3, порожденных двумя непараболическими элементами;

— дан ответ на вопрос Б. Маскита о дискретности групп изометрий Н3 специального вида.

Перейдем к описанию структуры работы и точным фомулировкам основных результатов. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы. Нумерация утверждений и рисунков состоит из двух чисел - номера главы и порядкового номера в главе. Работа содержит 9 рисунков. Список литературы приведен в порядке цитирования, за исключением работ автора по теме диссертации, выделенных в отдельную часть. Список литературы насчитывает 46 наименований. Общий объем диссертации: 77 страниц.

Введение содержит информацию об актуальности работы, ее целях и основных результатах.

ориентацию изометрий. В параграфе 1.2 обсуждаются параметры двупорожденной группы и их геометрический смысл. В параграфе 1.3 сформулирована теорема комбинирования Клейна — Маскита. Главу завершает параграф 1.4, в котором приводится обзор результатов о дискретности групп, порожденных двумя эллиптическими изометриями.

Теорема 2.1. [1*] Пусть группа G — (f,g) < PSL(2,C) такова, что fug- локсодромические элементы с величинами сдвигов Tf и т9, S(f,g) и 9(f,g) - расстояние и угол между осями порождающих. Обозначим af = arcsin(l/ch(ry/2)) и ag = arcsin(l/ch(r5/2)). Предположим, что выполнено одно из следующих условий: (1) af + ag < 9(f, g),

(2 )«, + «»*(/,,) и chf(/,g) > + \

Тогда G - неэлементарная дискретная группа и G = (/) * (g).

Теорема 2.2. [1*] Пусть группа G = (f,g) < PSL(2,C) такова, что f - локсодромический элемент с величиной сдвига Tf, g - эллиптический элемент порядка п > 2, 5(f. g) и 6(f. g) - расстояние и угол между осями порождающих. Предположим, что

выполнено неравенство

сЬ(ту/2) со$(-к/п) вт0(/, д) + 1 sh.(тf/2) 8т(7г/п)

Тогда С - неэлементарная дискретная группа и С = (/) * (д).

Доказательства этих теорем проводятся следующим образом. Для циклических групп, соответсвующих порождающим, строятся фундаментальные множества, которые удовлетворяют всем условиям теоремы комбинирования Клейна — Маскита.

Третья глава посвящена условиям дискретности для групп изо-метрий специального вида, которые называются группами Маскита. Кроме того, в ней получены достаточные условия дискретности для групп, порожденных непараболической изометрией и инволюцией (т.е. эллиптической изометрией второго порядка).

В параграфе 3.1 рассматриваются группы с двумя непараболическими порождающими, один из которых является инволюцией. Для таких групп неравенства из теорем 2.1 и 2.2 упрощаются и получаемые оценки не зависят от угла 9(/,д). Следующие две теоремы улучшают эти оценки, учитывая значение 9{/,д).

Теорема 3.1. [2*] Пусть группа С = (/,д) < Р8Ь(2,С) такова, что / - эллиптический элемент порядка т > 3 и д - инволюция. Предположим, что выполнено одно из следующих условий:

(1) в(/,д) < тг/4 и бЪ.5(/. д) > <*8(тг/т) соз0(/; д),

(2) ви,д) > тг/4 и вЬ <*(/,$) > (*е(тг/т)8т0(/,0).

Тогда С - неэлементарная дискретная группа и С = (/) * (д).

Теорема 3.2. [2*] Пусть группа С = (/,д) < РБЬ(2,С) такова, что f - локсодромический элемент с величиной сдвига Tf и д - инволюция. Обозначим = агсзт(1/сЬ(г//2)). Предположим,

что выполнено одно из следующих условий:

(1) еи,д)<фич<ои,91

(2) в{/,д) < тг/4, а! > 0(/,</) и сЬ <*(/,<?) > сЬЦу/2) соз 0(/, д),

(3) 0(/, д) > тг/4 и а/ < тг/2 - 0(/, р),

(4) > тг/4, а/ > тг/2 -£(/,<?) и сЪ6(!,д) > аЦт;/2)зтв(/,д). Тогда С - неэлементарная дискретная группа и С = {/) * (д).

Доказательства этих теорем основаны на том факте, что в любой группе с двумя порождающими, один из которых является инволюцией, существует подгруппа специального вида, наличие некоторых свойств у которой влечет их наличие у самой группы.

В 1989 году Б. Маскит [18] сформулировал следующий вопрос: при каких условиях на порождающие группа (/, д) < Р8Ь(2,С) такая, что элемент / имеет две неподвижные точки Е С и д(гх) = г<1, является дискретной? Фигурирующие в этом вопросе группы будем называть группами Маскита. В [18] показано, что дискретные группы Маскита разбиваются на пять семейств. Одно из них содержит только элементарные группы и вопрос о их дискретности сводится к известным результатам. Для оставшихся четырех семейств имеют место достаточные условия дискретности и недискретности, полученные в [18] и [19], которые, однако, не дают полного ответа на вопрос Маскита.

Теорема 3.7. [4*] Пусть в = (/,р) < Р8Ь(2,С) и

рах</,0) = (-4,-4,/3').

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если 0 < |/3' + 4| < 1, то С - недискретная группа;

(2) если —8 < /3' < 0, то группа С дискретна тогда и только тогда, когда

(3' Е {-4-4соэ2 — т <Е Z, га > 3 } и {-48т2 — те2,т>2};

т т

(3) если + 4| > 4, то С - дискретная группа;

(4) если (3' = • (г + 4) - 4, к Е {2,3,4,8,9,10} и г Е { — 4 8т2(7г/т) | т е Ж, т > 2 }, то С - дискретная группа;

(5) если /3' е С \ М, |/3' + 4| < 4 и (3' = р + ди, где р, д Е ^ о; = гу^ и п Е N. то С - дискретная группа;

(6) если ¡3' Е С \ Ж, + 4| < 4 и (3' = р + ди, где р, д Е Ъ, со — (1 + гу/Ап — 1)/2 мп^М, то С - дискретная группа.

Теорема 3.8. [4*] Яг/сть С = (/,#) < Р8Ь(2,С) и

раг(/,<7) = (-3,-3,/3').

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если хотя бы для одного к Е {0,2,4} выполнено неравенство 0 < \(3' + 4 — е^/3! < I, то й - недискретная группа;

(2) если (З1 = ■ (г + 4) - 4, к Е {0,2,4} иге [-4, +оо), то группа С дискретна тогда и только тогда, когда г Е £>;

(3) если /3' = е7^/3 • (г + 4) - 4, к Е {1,3,5} иг Е 1), то С - дискретная группа.

Теорема 3.9. [4*] Пусть С = (¡,д) < Р8Ь(2,С) и

раг(/,р) = (-2,-2,/3/).

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств

О < |/3' + 4 - екжг/2\ < 1, О < |/3' + 4 - 2екш/2\ < {уД - 1)/2 или 2 < 1/3' + 4| + \(3' + 4 - 2е^/2| < >/3 + 1

при к е {ОД, 2.3}, то С - недискретная группа;

(2) если /3' = ежЫ/2 • (г + 4) - 4, /се {0,1, 2, 3} и г е [-4, +оо), то группа (7 дискретна тогда и только тогда, когда г е £>.

Теорема 3.10. [4*] Пусть в = (/,$) < Р8Ь(2,С) и

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств

О < \(3' + 4 - еш/3\ <1 шш 0 < \/3' + 4 - 2е^/3| < 1/2

я/ш к € {0,1, 2, 3, 4, 5}, то (7 - недискретная группа;

(2) если Р' = ежЫ/3 • (г + 4) — 4, к е {0,1,2,3,4,5} ¿г г е [-4, +оо), то группа С дискретна тогда и только тогда, когда г е £>.

Доказательства этих теорем используют следствие теоремы 3.2 и условия дискретности из [7, 17, 18, 19].

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Инварианты трехмерных многообразий» под руководством члена-корреспондента РАН Веснина А. Ю. (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012, 2013, 2014); семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика РАН Тайманова И. А. (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре «Дифференциальная геометрия и приложения» под руководством академика РАН Фоменко А. Т. (МГУ, Москва, 2013); семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН

под руководством академика РАН Решетняка Ю. Г. (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2014).

Результаты диссертации были представлены на Международных конференциях «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 4-ой Международной геометрической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова (Санкт-Петербург, 2012); 20-ой Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2013); Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах» (Новосибирск, 2013); Международной конференции «Квантовая и классическая топология трехмерных многообразий» (Челябинск, 2014); Международных школах-семинарах «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 2011, 2012); Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 44-ой Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013).

За результаты, вошедшие в диссертационную работу, автору были присуждены стипендия имени профессора Л. В. Сабинина (НГУ, Новосибирск, 2012, 2014) и грамота за лучший доклад на 20-ой Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ, Москва, 2013).

Основные результаты диссертации опубликованы в шестнадцати печатных и электронных изданиях [1*]-[16*], три из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1*, 2*, 3*], тринадцать — в тезисах докладов и материалах конференций [4*]-[16*]. Результаты работы [3*] получены авторами совместно, при равном вкладе, и являются неделимыми.

Глава 1

Определения и предварительные результаты

1.1 Группа Р8Ц2, С) и ее действие на М3 и С

Следуя [1, 4], приведем основные факты о трехмерном гиперболическом пространстве и группе его сохраняющих ориентацию изо-метрий.

Пусть М не является единичным элементом И и элементом —Ы. Он называется эллиптическим, если Ьг2(М) € [0;4); параболическим, если ^2(М) = 4; локсодромическим, если Ьх2(М) е С \ [0;4]. Эллиптический элемент называется примитивным, если Ьт2(М) = 4 сое2(тт177,) для некоторого п 6Е М, и непримитивным, если Ьт2(М) = 4 соз2(7г/с/п) для таких к.п <Е М, что 1 < к < п/2 и (к.п) = 1. Локсодромический элемент называется гиперболическим, если > 4, и строго локсодромическим в противном случае. На группе 8Ь(2,С) рассмотрим топологию, индуцированную нормой || • ||.

обозначим

Ьг(М) = а + (1 и ||М|| = ^/\а\2 + \Ъ\2 + \с\2 + \<1\2.

Напомним, что PSL(2,C) = SL(2, C)/{±Id}. Элемент этой группы называется эллиптическим (в том числе примитивным или непримитивным), параболическим или локсодромическим (в том числе гиперболическим или строго локсодромическим), если таким является его представитель в SL(2,C). В дальнейшем мы не будем различать матрицу М е SL(2, С) и класс эквивалентности {±М} е PSL(2, С). Группа G < PSL(2,C) называется дискретной, если она является дискретным множеством в фактортопологии.

Рассмотрим модель Пуанкаре гиперболического пространства Н3,

IcZzI2 dt2

т.е. множество {(z,t) : z G С, t > 0} с метрикой ds2 — -—-•

Множество ОТ3 будем называть абсолютом и отождествлять его с расширенной комплексной плоскостью С. Эта модель конформна. Геодезическими в ней являются дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту, и лучи, перпендикулярные абсолюту. Геодезическими гиперплоскостями - полусферы, перпендикулярные абсолюту, и полуплоскости, перпендикулярные абсолюту.

Если геодезические £\ и £2 имеют общую точку на абсолюте, то угол между ними положим равным нулю. В противном случае существует единственная перпендикулярная им геодезическая £3. Углом между £i и £2 назовем величину двугранного угла, образованного гиперплоскостью, содержащей £\ и £3, и гиперплоскостью, содержащей

£2 и е3.

Хорошо известно, что группа всех сохраняющих ориентацию изо-метрий И3 изоморфна PSL(2.C), и элемент g = \ ] Е PSL(2.C)

Vе dJ

действует на Н3 следующим образом:

(az + b)(cz + d) 4- act2 t

g(z, t) =

\cz + d\2 + \c\4z ' \cz + + \c\2V 13

При этом он действует на С дробно-линейным преобразованием

Легко видеть, что непараболические элементы, и только они, имеют две различные неподвижные точки в С, а параболические элементы, и только они, - ровно одну (см., например, [1, §4.3]). Для локсодромического элемента выделяют притягивающую и отталкивающую неподвижные точки. Точнее, пусть д - локсодромический элемент и г\,г<1 Е С - его неподвижные точки. Точка называется притягивающей, если Нш^оо дп(г) = для всех геС \ Соответственно, точка 2:2 называется отталкивающей. Отметим, что притягивающая неподвижная точка элемента д является отталкивающей неподвижной точкой элемента д~1.

Осью непараболического элемента д назовем геодезическую в Н3, соединяющую его неподвижные точки в С, и будем обозначать ее £д. Ось 1д инварианта относительно действия д. Более того, если д -эллиптический элемент, то £д - множество его неподвижных точек.

Непараболический элемент д сопряжен в РЭЬ(2, С) элементу вида

тд = 1п х и = ср. Величи