Спектральные свойства евклидовых многообразий и SU(2)-представления фундаментальных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Исангулов Руслан Рамильевич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЕВКЛИДОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ И 5Г7(2)-ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2005

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Медных Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Родионов Евгений Дмитриевич

кандидат физико-математических наук, доцент Деревнин Дмитрий Александрович

Ведущая организация:

Кемеровский государственный университет

Защита состоится « ЙИЬАУЙ_200б г. в 45 ч. . на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан с > дечлвр» 200.5 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

2 257044

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Данная работа связана со спектром оператора Лапласа — Бельтрами Д = — с1пг ¡^гас! (или, для краткости, лапласиана) на компактном римановом многообразии и орбифолде без края. Будем говорить, что два многообразия М и М' (орбифолда V и V) изоспектралъны, если спектры лапласианов на многообразиях М и М' (орбифолдах V и V') совпадают.

Один из самых ранних результатов по спектральной теории оператора Лапласа — Бельтрами, который устанавливает взаимосвязь между собственными значениями лапласиана и геометрическими свойства^ ми соответствующих областей, является асимптотический закон Г. Вей-ля 124] 1911 г.:

Здесь Ак{М) — к-ое собственное значение лапласиана на компактной области М с Кт с граничными условиями Дирихле; с™ — константа, зависящая только от размерности т, а ~ обозначает асимптотическое равенство при к —» оо.

В 1962 г. И. Гельфанд [12] высказал гипотезу о том, что изоспек-тральные римановые поверхности всегда являются изометричными. Возникла классическая проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами, то есть проблема эквивалентности изоспектральности и изометричности многообразий: будут ли изоспектральные многообразия изометричными? М. Кац [15] сформулировал эту проблему следующим образом: «Можно ли услышать форму барабана?» В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный (см., например, П. Бузер [5]).

В 1964 г. Дж. Милнор [18] привел пример 16-мерных изоспектраль-пых, но неизометричных плоских торов. В 1972 г. Г. МакКин [16] показал, что мощность множества изоспектральных, но неизометричных компактных римановых поверхностей всегда конечна и зависит только от рода поверхности д (д ^ 2). Этот результат в 2004 г. был обобщен Эмили Драйден [10] на компактные римановы орбифолды. В 1978 г. Т. Сунада [22] установил, что спектр оператора Лапласа — Бельтраг ми плоского компактного многообразия любой размерности определяет спектр его накрывающего тора, а также, что существует только конечное число классов изометрий плоских компактных многообразий с

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА |

.у-згщ

»и и,.» А

заданным спектром. В 1985 г. Т. Сунада [23] дал общий алгоритм для нахождения пар изоспектральных, но неизометричных римановых многообразий. Используя новый метод, в 1988 г. Р. Брукс [3] независимо от М. Берже, П. Годюшон и Э. Мазе [2] доказал, что два двумерных плоских тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны. В 1990 г. А. Шиман [20] построил пример 4-мерных изоспектральных, но неизометричных плоских торов. В 1992 г. Дж. Конвей и Н. Слоан [6] построили семейство пар изоспектральных 4-мерных решеток. Затем в 1997 г. А. Шиман |21] доказал, что два трехмерных плоских тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны. В 2000 г. автор [28] независимо от [2] доказал, что две плоские бутылки Клейна изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны. В 2001 г. Карла Фарси [11] обобщила асимптотический закон Вейля на компактные ориентируемые римановы орбифолды. В 2003 г. Р. Миа-телло и X. Россетти [17] доказали, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами плоского компактного многообразия определяет ориентируемость многообразия и длины замкнутых геодезических, но не определяет их комплексные длины. В 2004 г. автором [31] была полностью решена проблема распознавания плоских компактных трехмерных многообразий по их спектру.

Цель работы. Изучить геометрические и спектральные свойства плоских трехмерных многообразий и двумерных орбифолдов. Разработать новые аналитические методы изучения трехмерных конических многообразий и 517(2)-представлений их групп голономий.

Основные результаты.

1) Полностью решена проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами в случае плоских компактных трехмерных многообразий. Построен пример изоспектральных, но неизометричных плоских компактных 3-многообразий.

2) Данная проблема расширена на римановы орбифолды и полностью решена в случае плоских компактных двумерных орбифолдов.

3) Разработан метод вычисления полиномов, определяющих пространство 517(2)-представлений групп голономий трехмерных конических многообразий, носителем которых является трехмерная сфера, а сингулярным множеством — двухмостовое зацепление, твист узел или твист зацепление. В случае твист узлов и твист зацеплений указанные полиномы вычислены в явном виде.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы спектральной теории оператора Лапласа — Бельтрами на римайвовых многообразиях и орбифолдах, теории конических многообразий и теории узлов.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

Все результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития спектральной теории на римановых многообразиях, орбифолдах и конических многообразиях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством академика РАН Ю. Г. Решетня-ка, на семинаре «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н. А. Д. Медных, на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством член-корреспондента РАН И. А. Тайманова, на семинаре математического факультета университета г. Пизы под руководством профессора К. Петронио, а также на международной конференции «Геометрия и приложения», посвященной 70-летию профессора В. А. Топоногова (г. Новосибирск, 2000), на XXXVIII и XXXIX международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2000, 2001), на второй российско-германской встрече по геометрии, посвященной памяти А. Д. Александрова (г. Санкт-Петербург, 2002), на международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика РАН Ю. Г. Решетняка (г. Новосибирск, 2004), на международной конференции «Геометрия и топология трехмерных многообразий» (г. Новосибирск, 2005).

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [26]-[32].

Структура диссертации. Диссертация изложена на 146 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы из 58 наименований, содержит 36 рисунков и 4 таблицы.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. А. Д. Медных, за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты диссертации и дается краткий обзор по теме диссертации.

В первой главе полностью решена проблема распознавания ри-мановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтра-ми в случае плоских компактных 3-многообразий. Под п-мерным плоским многообразием будем понимать фактор-пространство Мп = Еп/Т, где Г — собственно разрывная группа изометрий евклидова пространства Еп, действующая без неподвижных точек. Известно [25], что существуют 10 классов попарно негомеоморфных плоских компактных связных 3-многообразий (6 ориентируемых и 4 неориентируемых). Пусть М\,..., Мб являются представителями 6 классов ориентируемых, а Л^, ... ,N4 являются представителями 4 классов неориентируемых плоских компактных 3-многообразий в порядке, приведенном в параграфе 1.1. Для описания спектра многообразия М мы используем функцию следа многообразия М

где Нм (ж, У> I) ~~ фундаментальное решение уравнения теплопроводности на многообразии М, йМ — элемент объема. Получена следующая

Теорема 1.6. Функции следа десяти плоских компактных 3-многообразий М\,..., Мб, Л^х,..., N4 могут быть вычислены в явном виде. Соответствующие формулы для Ьт(Нмг), г — 1,...,6, и j — I,... ,4, приведены в параграфе 1.6.

Основными результатами первой главы являются следующие теоремы.

Теорема 1.7. Любые два гомеоморфных плоских компактных ^-многообразия изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометрич-ны.

Теорема 1.8. Существует единственное семейство пар изоспект-ралъных, но негомеоморфных плоских компактных 3-многообразий, которое состоит из многообразий М4 и Мб-

Для доказательства теоремы 1.6 мы используем связь между фундаментальными решениями уравнений теплопроводности на многообразии М и его регулярном накрытии (лемма 1.2).

Теорема 1.8 вытекает из теоремы 1.6, а доказательство теоремы 1.7 получается из теоремы 1.6 и следующих утверждений:

1) Спектр многообразия М однозначно определяет функцию следа 1т(Нм) И) обратно, по функции следа 1эг(#м) можно однозначно определить спектр многообразия М (предложение 1.3 и предложение 1.4).

2) Функция следа Ьг(Нм) определяет с точностью до изометрии плоское компактное 3-многообразие М (лемма 1.3).

Следует отметить, что теорема 1.6 и теорема 1.7 были получены в магистерской диссертации «Изоспектральные плоские 3-многообразия», защищенной автором в Новосибирском государственном университете в 2002 г., а результаты первой главы опубликованы в работе автора [31]. Позже аналогичные результаты были анонсированы и опубликованы X. Россетти, Дж. Конвеем [19] и П. Дойлом, X. Россетти [9].

Во второй главе проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами расширена на рима-новые орбифолды и полностью решена в случае плоских компактных двумерных орбифолдов.

Определение 2.5. Плоской кристаллографической группой называется дискретная группа Г изометрий евклидова пространства Е2 такая, что фактор-пространство Ё2/Т компактно.

Известно [1], что существует 17 плоских кристаллографических групп Г;, г = 1,..., 17, определяющих плоские компактные 2-орбифолды Ц. — Е2/Тг, г — 1,... ,17, включая 2-мерный плоский тор и плоскую бутылку Клейна Уъ, в порядке, приведенном в параграфе 2.1.2.

Как и в случае римановых многообразий для описания спектра ор-бифолда V мы используем функцию следа

где Hv(x,y,t) — фундаментальное решение уравнения теплопроводности на орбифолде V, dV — элемент объема. С помощью метода, использованного при решении данной проблемы в случае плоских компактных 3-многообразий, получены следующие теоремы.

Теорема 2.4. Функции следа семнадцати плоских компактных 2-орбифолдов ti(HvJ, i = 1,..., 17, могут быть вычислены в явном виде. Соответствующие формулы приведены в параграфе 2.5.

Теорема 2.6. Любые два плоских компактных 2-орбифолда изоспек-тралъны тогда и только тогда, когда они изометричны.

Для доказательства теоремы 2.4 мы используем связь между фундаг ментальными решениями уравнений теплопроводности на орбифолде V и его регулярном накрытии (лемма 2.2 и лемма 2.3).

Теорема 2.6 следует из теоремы 2.4 и следующего утверждения: любые два гомеоморфных плоских компактных 2-орбифолда изоспектраль-ны тогда и только тогда, когда они изометричны (теорема 2.5).

Третья глава посвящена исследованию конических 3-многообра-зий, носителем которых является трехмерная сфера, а сингулярным множеством — двухмостовые зацепления, твист узлы и твист зацепления.

Трехмерным коническим многообразием с евклидовой (гиперболической или сферической) структурой называется трехмерное многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, изометричную некоторой окрестности точки, лежащей на ребре клина раствора а — 2ж/к, к € К+, в трехмерном евклидовом (гиперболическом или сферическом) пространстве, которое называется носителем конического многообразия. При этом точки граней клина попарно отождествлены посредством вращения евклидова (гиперболического или сферического) пространства вокруг ребра клина. Если угол а, называемый коническим углом, не равен 2ж, то говорят, что соответствующая точка принадлежит сингулярному множеству конического многообразия. Заметим, что существует связь между коническими многообразиями и орбифолдами, а именно, орбифолды — это конические многообразия с коническими углами вида 27г/& для некоторого целого к.

Определение 3.1. Двухмостовый узел или зацепление К(р,ц), где р и д взаимно простые числа такие, что р 2 и |д»| < р, задается диаграммой, изображенной на рис. 3.1-3.2. При этом, числа с,, г = 1, обозначают число левых или правых полуповоротов (рис. 3.3), в зависимости от знака с*, и определены из разложения:

1

1

с2 --

Слт

Рис. 3.1: Диаграмма двухмостового узла или зацепления К(р,5) при четном N.

Рис. 3.2: Диаграмма двухмостового узла или зацепления К(р,д) при нечетном N.

Рис. 3.3: Правые и левые полуповороты.

Рис. 3.4: Диаграмма твист узла Хг.

Заметим, что пара целых чисел (р, д), где р и д взаимно простые числа такие, что р ^ 2 и < р, определяет двухмостовый узел (1-компонентное двухмостовое зацепление), если р нечетно, и двухмосто-вое зацепление, если р четно. При этом двухмостовые зацепления имеют только две компоненты.

Определение 3.2. Твист зацепление У/г — это двухмостовое зацепление вида К(4г + 4,2г + 1), г ^ 0.

Определение 3.3. Твист узел Хг, г € Ъ, — это двухмостовый узел, который определяется с помощью диаграммы на рис. 3.4, где г обозначает число полуповоротов. Если г > 0, то полуповороты на диаграмме правые, а если г <0 — левые.

Напомним, что спектр длин — это последовательность длин замкнутых геодезических, записанных в возрастающем порядке. X. Хубер [14] доказал, что две римановые поверхности рода д ^ 2 изоспектральны тогда и только тогда, когда их спектры длин совпадают. В размерности 3 это утверждение неверно. Однако, в этом случае спектр оператора Лапласа — Бельтрами определяется комплексными длинами замкнутых геодезических, где вещественная часть определяет длину геодезической, а мнимая часть — кручение вдоль геодезической (см. [9,17]). Комплексные длины определяются так называемыми Л-полиномами (инварианты, с помощью которых определяют инварианты Черна — Саймонса, гиперболические объемы и др.) (см. [7, 8]). К сожалению, вычисление А-полиномов даже в простейших случаях является трудоемкой задачей. В данной главе разработан метод вычисления полиномов, являющихся аналогами А-полиномов, определяющих пространство .5717(2)-

представлений групп голономий конических 3-многообразий.

Далее мы будем обозначать через Ск(рЛ)(&,ß), СхАа) и Cwr{a.,ß) конические 3-многообразия, сингулярным множеством которых являются двухмостовые зацепления K(p,q) с коническими углами а и ß, твист узлы Хг с коническим углом а, и твист зацепления Wr с коническими углами а и ß соответственно.

В третьей главе получены рекурсивные формулы для вычисления полиномов, определяющих пространство SU(2)-представлений групп голономий конических 3-многообразий Ск(Р,д)(а, ß), Схт (о) и Cwr (а, ß), которые зависят от конических углов а и ß, где 0<а<7ги0</?<7г (теоремы 3.1, 3.2 и 3.4 соответственно). Отметим, что в случая твист узлов и зацеплений указанные полиномы вычислены в явном виде. Методы, используемые при доказательстве основных теорем главы 3, позволили получить результаты работ Г. Бурде [4] и Дж. Хоста, П. Шана-хана [13] как частные случаи.

Основными результатами третьей главы являются следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть Ск(а, ß) — коническое многообразие с сингулярным множеством К = K{p,q) с коническими углами а и ß, где К(р, q) — двухмостовое зацепление. Тогда пространство SU(2)-представлений фундаментальной группы 7Ti {Ск (а, ß)\K) определяется полиномиальным уравнением гк{т,п,т) = 0, где к = а полиномы Zk определяются рекурсивным соотношением:

г.,(т,п,т) — — 1) - 2rj Zj~i(T,m,n)

+ (m2 + 1) (n2 — 1 - 2т—цЛ Zj-2(r, n, m) V 771 /

- — ш(п2 + l)(m2 + 1 )2Zj_3(r,m,n), m

j — 3,..., k, с начальными условиями zq (t, n,m) — — £fc+i, z\ (t, n, m) — -2 nme*. + 2rck+i, z2(r,n, m) = - 2n2m2ek~i - n2m2ek+1 + 2n2ek-i - n2ek+i + m2ek+1 + 4rnmefe_1efcefc+i + Атптпек - 4r2efc+i + efe+1.

Здесь Ei = (-1)1**1, где i = 1,2,... ,p - 1; щ = £k~j+i£k-j+2, где j = 1,2,..., к; n — ctg | um — ctg |.

Теорема 3.2. Пусть Gxr(«) — коническое многообразие с сингулярным множеством ХГ с коническим углом а, где Хг, г > 0, — твист узел. Тогда пространство SU(2)-представлений фундаментальной группы 7Ti(Cxr(a) \ХГ) определяется полиномиальным уравнением хг(т,п) = 0, где

*Г (т,п) = \ ((£ + пГ1 + (£-г,)-1) + Щ (« + чГ1 - (Í - пГ1), г = 2fe+l,

«г(т, П) = \ ((£ + íj)r + (Í - Г?)г) - (« + »/Г - (Í - ч)г), г = 2fc,

где í = Vr2 - 1, т) = \/г2 + п4 + 2п2, с = (т + п2)(т + 1) и п - ctg §.

В качестве следствия теоремы 3.1 мы получаем следующее утверждение.

Теорема 3.4. Пусть Cwr(a¡P) ~ коническое многообразие с сингулярным множеством WT с коническими углами а и ß, где Wr, г ^ 0, — твист зацепление. Тогда пространство SU(2)-представлений фундаментальной группы 7Ti (Сц/Г (а, ß) \ Wr) определяется полиномиальным уравнением wr(T,n,m) — 0, где

юг(г, п, тп) = (-l)r+1 ((£ - n)r+1 - (Í + 7?)r+1) X

х (Р - ^ ^ + Wn ((е '"í?)r+1 + + '

где £ = \/г2 — 1, т) = л/п2 + m2 + п2тп2 + т2, n = ctg § um = сtg §.

Список литературы

[1] Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М.: Наука, 1980. - 240 с.

[2] Berger M., Gauduchon P., Mazet E. Le spectre d'une variété

riemannienne. — Springer Lecture Notes; V. 194. — Berlin, Heidelberg,

New York: Springer-Verlag, 1971. — vii, 251 p.

[3] Brooks R. Constructing isospectral manifolds // Amer. Math. Monthly. - 1988. - V. 95, N. 9. - P. 823-839.

[4] Burde G. S'f7(2)-representation spaces for two-bridge knot groups // Math. Ann. - 1990. - V. 288, N. 1. - P. 103-119.

[5] Buser P. Geometry and spectra of compact Riemann surfaces. — Progress in Mathematics; V. 106. — Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1992. — xiv, 454 p.

, [6] Conway J. H., Sloane N. J. A. Four-dimensional lattices with the

same theta series // Int. Math. Res. Not. - 1992. - N. 4. - P. 93 96.

<, [7] Cooper D., Culler M., Gillet H., Long D. D., Shalen P. B.

Plane curves associated to character varieties of 3-manifolds // Invent. Math. - 1994. - V. 118, N. 1. - P. 47-84.

[8] Derevnin D., Mednykh A., Mulazzani M. Volumes for twist link cone-manifolds // Bol. Soc. Mat. Mexicana — Special issue, 2004. — V. 10, N. 3. - P. 129-146.

[9] Doyle P. G., Rossetti J. P. Tetra and Didi, the cosmic spectral twins // Geom. Topol. - 2004. - V. 8. - P. 1227-1242.

[10] Dryden E. Isospectral finiteness of hyperbolic orbisurfaces. — Preprint / arXiv:math.SP/0411290. - 2004. - 15 p.

[11] Farsi C. Orbifold spectral theory // Rocky Mt. J. Math. - 2001. -V. 31, N. 1. - P. 215-235.

[12] Gel'fand I. M. Automorphic functions and the theory of representations // Proc. Internat. Congr. Math. Stockholm, 1962,

' Almqvist & Wiksell, Uppsala. - 1963. - P. 74-85.

, [13] Hoste J., Shanahan P. D. Trace fields of twist knots // J. Knot

Theory Ramifications. - 2001. - V. 10, N. 4. — P. 625-639.

[14] Huber H. Zur analytischen Theorie hyperbolischer Raumformen und Bewegungsgruppen I // Math. Ann. - 1959. — V. 138. — P. 1-26.

[15] Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. - 1966. - V. 73, N. 4. - P. 1-23.

[16] McKean H. P. Selberg's trace formula as applied to a compact Riemann surface // Comm. Pure Appl. Math. — 1972. — V. 25. — P. 225-246.

[17] Miatello R. J., Rossetti J. P. Length spectra and p-spectra of compact flat manifolds // J. Geom. Anal. — 2003. — V. 13, N. 4. — P. 631-657.

[18] Milnor J. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. - 1964. - V. 51. - P. 542.

[19] Rossetti J. P., Conway J. H. Hearing the platycosms. — Preprint / arXiv:math.DG/0311470. - 2003. - 20 p.

[20] Schiernann A. Ein Beispiel positiv definiter quadratischer Formen der Dimension 4 mit gleichen Darstellungszahlen // Arch. Math. — 1990. - V. 54, N. 4. - P. 372-375.

[21] Schiemann A. Ternary positive definite quadratic forms are determined by their theta series // Math. Ann. — 1997. — V. 308, N. 3. - P. 507-517.

[22] Sunada T. Spectrum of a compact flat manifold // Comment. Math. Helv. - 1978. - V. 53, N. 4. - P. 613-621.

[23] Sim ad a T. Riemannian coverings and isospectral manifolds // Ann. Math. - 1985. - V. 121, N. 1. - P. 169-186.

124] Weyl H. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte // Nachr. d. Königl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen. — 1911. — P. 110-117.

[25] Wolf J. Spaces of constant curvature. — New York, London, Sydney: McGraw-Hill, 1967. — xv, 408 p.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[26] Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские бутылки Клейна // Международная конференция «Геометрия и приложения», посвященная 70-летию профессора В. А. Топоногова (Новосибирск, 1316 марта 2000 г.): Тез. докл. — Новосибирск, 2000. — С. 45-46.

[27] Исангулов Р. Р. Изоспектральные бутылки Клейна // XXXVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 23-25 апреля 2000 г.): Тез. докл. — Новосибирск, 2000. — С. 49-50.

[28] Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские бутылки Клейна // Мат. заметки ЯГУ. - 2000. - Т. 7, вып. 2. - С. 39-48.

[29] Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские 3-многообразия // XXXIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 23-25 апреля 2001 г.): Тез. докл. — Новосибирск, 2001. — С. 125-126.

[30] Isangulov R. R. Isospectral flat 3-manifolds // Abstracts of the Second Rusaian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniver-sary of A. D. Alexandrov. — St. Petersburg, 2002. — P. 28-29.

[31] Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские 3-многообразия // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 5. - С. 1086-1111.

[32] Исангулов Р. Р. Полиномиальные инварианты рациональных узлов и зацеплений // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика РАН

Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004 г.): Тез. докл. — Новосибирск, 2004. — С. 113-114.

Исангулов Руслан Рамильевич

I

Спектральные свойства евклидовых многообразий и Яи(2)-представления фундаментальных групп

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I _

Подписано в печать 23.11.05. Формат 60 х 84 1/16. _Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 1. Тираж 70 экз. Заказ № 152.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» пр. Лаврентьева, 6, 630090 Новосибирск

! 5 В 41

РНБ Русский фонд

2006-4 28765

Введение

1 Спектральные свойства плоских трехмерных многообразий

1.1 Плоские компактные 3-многообразия

1.2 Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых многообразиях.

1.3 Функции следа плоских компактных 3-многообразий

1.4 Изоспектральность плоских компактных 3-многообразий

1.5 Пример изоспектральных, но неизометричных плоских компактных 3-многообразий.

1.6 Полный список функций следа плоских компактных 3-мно- -гообразий.

2 Спектральные свойства плоских двумерных орбифолдов

2.1 Плоские компактные 2-орбифолды.

2.1.1 Основные определения и обозначения.

2.1.2 Классификация компактных 2-орбифолдов.

2.2 Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на риА мановых орбифолдах.

2.3 Функции следа плоских компактных 2-орбифолдов.

2.4 Изоспектральность плоских компактных 2-орбифолдов

2.5 Полный список функций следа плоских компактных 2-орби фолдов.

3 Конические многообразия на твист узлах и зацеплениях

3.1 Основные определения обозначения.

3.2 5£/(2)-представления двухмостовых узлов и зацеплений

3.3 5Т/(2)-представления твист узлов

3.4 Теорема Хоста — Шанахана.

3.5 вII(2)-представления твист зацеплений.

3.6 Примеры

Данная работа связана со спектром оператора Лапласа — Бельтрами (или, для краткости, лапласиана) А = —div grad на компактном римано-вом многообразии и орбифолде без края. Будем говорить, что два многообразия М и М' (орбифолда V и V') изоспектралъны, если спектры лапласианов на многообразиях М и М' (орбифолдах V и V') совпадают.

Один из самых ранних результатов по спектральной теории оператора Лапласа — Бельтрами, который устанавливает взаимосвязь между собственными значениями лапласиана и геометрическими свойствами соответствующих областей, является асимптотический закон Г. Вейля [54, 55, 56] 1911 г.: к 4 ' vol (М) Здесь Afc(M) — к-ое собственное значение лапласиана на компактной области М С Шт с граничными условиями Дирихле; ст — константа, зависящая только от размерности т, а ~ обозначает асимптотическое равенство при к —> оо. Основанием современной спектральной теории многообразий можно считать работы 1949 г. С. Минакшисундарама, Э. Плейжеля [44] и Г. Мааса [37]. В работе [44] приведено доказательство спектральной теоремы (теорема 1.5) в случае любого компактного риманова многообразия. В 1959 г. X. Хубер [32] ввел новое геометрическое понятие спектр длин — последовательность длин замкнутых геодезических, записанных в возрастающем порядке, и доказал, что для компактных римановых поверхностей рода д ^ 2 спектр длин и спектр оператора Лапласа — Бельтрами эквивалентные геометрические понятия.

В 1962 г. И. Гельфанд [25] высказал гипотезу о том, что изоепектраль-ные римановые поверхности всегда являются изометричными. Возникла классическая проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами, то есть проблема эквивалентности изоспектральности и изометричности многообразий: будут ли изоспек-тральные многообразия изометричными? М. Кац [34] сформулировал эту проблему следующим образом: «Можно ли услышать форму барабана?» В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный (см., например, [14, 17]).

В 1964 г. Дж. Милнор [43] привел пример 16-мерных изоспектральных, но неизометричных плоских торов. В 1972 г. Г. МакКин [39] показал, что мощность множества изоспектральных, но неизометричных компактных римановых поверхностей всегда конечна и зависит только от рода поверхности д (д ^ 2). Этот результат в 2004 г. был обобщен Эмили Драй-ден [23] на компактные римановы орбифолды. В 1978 г. Т. Сунада [50] установил, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами плоского компактного многообразия любой размерности определяет спектр его накрывающего тора, а также, что существует только конечное число классов изо-метрий плоских компактных многообразий с заданным спектром. В 1985 г. Т. Сунада [51] дал общий алгоритм для нахождения пар изоспектральных, но неизометричных римановых многообразий. Используя новый метод, в 1988 г. Р. Брукс [12] независимо от М. Берже, П. Годюшон и Э. Мазе [9] доказал, что два двумерных плоских тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны. В 1990 г. А. Шиман [47] построил пример

4-мерных изоспектральных, но неизометричных плоских торов. В 1992 г. *• Дж. Конвей и Н. Слоан [18] построили семейство пар изоспектральных

4-мерных решеток. Затем в 1997 г. А. Шиман [48] доказал, что два трехмерных плоских тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изо-метричны. В 2000 г. автор [3] независимо от [9] доказал, что две плоские бутылки Клейна изоспектральны тогда и только тогда, когда они изомет-ричны. В 2001 г. Карла Фарси [24] обобщила асимптотический закон Вейля ^ на компактные ориентируемые римановы орбифолды. В 2003 г. Р. Миателло и X. Россетти [42] доказали, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами плоского компактного многообразия определяет ориентируемость многообразия и длины замкнутых геодезических, но не определяет их комплексные длины. В 2004 г. автором [5] была полностью решена проблема распознавания плоских компактных трехмерных многообразий по их спектру.

Основными результатами диссертационной работы являются полное решение проблемы распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами в случае плоских компактных трехмерных многообразий и в случае плоских компактных двумерных орбифол-дов. Также, в диссертации разработан новый метод вычисления полинощ мов, определяющих пространство Эи(2)-представлений фундаментальных групп двухмостовых узлов и зацеплений.

Перейдем к краткому изложению содержания работы и точным формулировкам основных результатов.

В главе 1 полностью решена проблема распознавания римановых много-Щ образий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами в случае плоских компактных 3-многообразий. Под п-мерным плоским многообразием будем понимать фактор-пространство Мп = Еп/Г, где Г — собственно разрывная группа изометрий евклидова пространства Еп, действующая без неподвижных точек. Известно [57], что существуют 10 классов попарно негомеоморфных плоских компактных связных 3-многообразий (6 ориентируемых и 4 неориентируемых). Пусть М\,., Мс являются представителями б классов ориентируемых, а^,.,^ являются представителями 4 классов неориентируемых плоских компактных 3-многообразий в порядке, приведенном в параграфе 1.1. Для описания спектра многообразия М мы используем функцию следа многообразия М где — фундаментальное решение уравнения теплопроводности на многообразии М, ¿М — элемент объема. Получена следующая

Теорема 1.6. Функции следа десяти плоских компактных 3-многообразий ., Мб, ., Л^ могут быть вычислены в явном виде. Соответствующие формулы для Ьг(Нм^) г = 1,., 6, и j = 1,., 4, приведены в параграфе 1.6.

Основными результатами первой главы являются следующие теоремы.

Теорема 1.7. Любые два гомеоморфных плоских компактных Ъ-многооб-разия изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны.

Теорема 1.8. Существует единственное семейство пар изоспектралъ-ных, но негомеоморфных плоских компактных 3-многообразий, которое состоит из многообразий М4 и Мб.

Для доказательства теоремы 1.6 мы используем связь между фундаментальными решениями уравнений теплопроводности на многообразии М и его регулярном накрытии (лемма 1.2).

Теорема 1.8 вытекает из теоремы 1.6, а доказательство теоремы 1.7 получается из теоремы 1.6 и следующих утверждений:

1) Спектр многообразия М однозначно определяет функцию следа Ьт(Нм) и, обратно, по функции следа 1т(Нм) можно однозначно определить спектр многообразия М (предложение 1.3 и предложение 1.4).

2) Функция следа Ьт(Нм) определяет с точностью до изометрии плоское компактное 3-многообразие М (лемма 1.3).

Следует отметить, что теорема 1.6 и теорема 1.7 были получены в магистерской диссертации «Изоспектральные плоские 3-многообразия», защищенной автором в Новосибирском государственном университете в 2002 г., а результаты первой главы опубликованы в работе автора [5]. Позже аналогичные результаты были анонсированы и опубликованы X. Россетти, Дж. Конвеем [46] и П. Дойлом, X. Россетти [22].

В главе 2 проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами расширена на римановые орбифолды и полностью решена в случае плоских компактных двумерных орбифолдов.

Определение 2.5. Плоской кристаллографической группой называется дискретная группа Г изометрий евклидова пространства Е2 такая, что фактор-пространство Е2/Т компактно.

Известно [7], что существует 17 плоских кристаллографических групп Гг, г = 1,., 17, определяющих плоские компактные 2-орбифолды У{ = г = 1,., 17, включая 2-мерный плоский тор У\ и плоскую бутылку Клейна 1^2, в порядке, приведенном в параграфе 2.1.2.

Как и в случае римановых многообразий для описания спектра орби-фолда V мы используем функцию следа где Ну(х,у,Ь) — фундаментальное решение уравнения теплопроводности на орбифолде V, (IV — элемент объема. С помощью метода, использованного при решении данной проблемы в случае плоских компактных 3-многообразий, получены следующие теоремы.

Теорема 2.4. Функции следа семнадцати плоских компактных 2-орби-фолдов Ьг(Н\г), г = 1,., 17, могут быть вычислены в явном виде. Соответствующие формулы приведены в параграфе 2.5.

Теорема 2.6. Любые два плоских компактных 2-орбифолда изоспектраль-ны тогда и только тогда, когда они изометричны.

Для доказательства теоремы 2.4 мы используем связь между фундаментальными решениями уравнений теплопроводности на орбифолде V и его регулярном накрытии (лемма 2.2 и лемма 2.3).

Теорема 2.6 следует из теоремы 2.4 и следующего утверждения: любые два гомеоморфных плоских компактных 2-орбифолда изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны (теорема 2.5).

Глава 3 посвящена исследованию конических 3-многообразий, носителем которых является трехмерная сфера, а сингулярным множеством — двухмостовые зацепления, твист узлы и твист зацепления.

Трехмерным коническим многообразием с евклидовой (гиперболической или сферической) структурой называется трехмерное многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, изометричную некоторой окрестности точки, лежащей на ребре клина раствора а = 21г/к, к £ в трехмерном евклидовом (гиперболическом или сферическом) пространстве, которое называется носителем конического многообразия. При этом точки граней клина попарно отождествлены посредством вращения евклидова (гиперболического или сферического) пространства вокруг ребра клина.

Если угол а, называемый коническим углом, не равен 27т, то говорят, что соответствующая точка принадлежит сингулярному множеству конического многообразия. Заметим, что существует связь между коническими многообразиями и орбифолдами (см. [53]), а именно, орбифолды — это конические многообразия с коническими углами вида 27г//с для некоторого целого к.

Определение 3.1. Двухмостовый узел или зацепление К(р, д), где р и <7 взаимно простые числа такие, что р ^ 2 и \д\ < р, задается диаграммой, изображенной на рис. 3.1-3.2. При этом, числа С{, г = 1,., ЛГ, обозначают число левых или правых полуповоротов (рис. 3.3), в зависимости от знака С(, и определены из разложения:

Р 1

- = сН----. Ч

С2 + 1

См

Заметим, что пара целых чисел (р, q), где р ид взаимно простые числа такие, что р ^ 2 и |д| < определяет двухмостовый узел (1-компонентное двухмостовое зацепление), если р нечетно, и двухмостовое зацепление, если р четно. При этом, двухмостовые зацепления имеют только две компоненты (см. [49]).

Определение 3.2. Твист зацепление \¥г — это двухмостовое зацепление вида К{Аг + 4, 2г + 1), г ^ 0.

Определение 3.3. Твист узел Хг, г е Ъ, — это двухмостовый узел, который определяется с помощью диаграммы на рис. 3.4, где г обозначает число полуповоротов. Если г > 0, то полуповороты на диаграмме правые, а если г < 0 — левые.

Рис. 3.1. Диаграмма двухмостового узла или зацепления К(р,д) при четном N.

Рис. 3.2. Диаграмма двухмостового узла или зацепления К(р, д) при нечетном N.

Рис. 3.3. Правые и левые полуповороты.

Рис. 3.4. Диаграмма твист узла Хг.

Напомним, что спектр длин — это последовательность длин замкнутых геодезических, записанных в возрастающем порядке. X. Хубер [32] доказал, что две римановые поверхности рода д ^ 2 изоспектральны тогда и только тогда, когда их спектры длин совпадают. В размерности 3 это утверждение неверно (см., например, [26]). Однако, в этом случае спектр оператора Лапласа — Бельтрами определяется комплексными длинами замкнутых геодезических, где вещественная часть определяет длину геодезической, а мнимая часть — кручение вдоль геодезической (см. [45, 10, 22, 42]). Комплексные длины определяются так называемыми А-полиномами (инварианты, с помощью которых определяют инварианты Черна — Саймонса, гиперболические объемы и др.) (см. [19, 20]). К сожалению, вычисление А-полиномов даже в простейших случаях является трудоемкой задачей (см. [31, 52]). В данной главе разработан метод вычисления полиномов, являющихся аналогами А-полиномов, определяющих пространство £С/(2)-представлений групп голономий конических 3-многообразий.

Всюду далее мы будем обозначать через Ск{РЛ){/5), СхДа) и Си/Да, (5) конические 3-многообразия, сингулярным множеством которых являются двухмостовые зацепления К{р, q) с коническими углами а и твист узлы Хг с коническим углом а, и твист зацепления с коническими углами а и /3 соответственно.

В третьей главе получены рекурсивные формулы для вычисления полиномов, определяющих пространство Би(2)-представлений групп голономий конических 3-многообразий Ск(р>ч)(а, /3), Схг(&) и С\\гг{&,(3), которые зависят от конических углов а и /?, где 0<о;<7ги0^/3<7г (теорема 3.1, теорема 3.2 и теорема 3.4 соответственно). Отметим, что в случае конических многообразий с сингулярностями твист узел и твист зацепление данные полиномы вычислены в явном виде. Методы, используемые при доказательстве основных теорем главы 3, позволили получить результаты работ Г. Бурде [13] и Дж. Хоста, П. Шанахана [30] как частные случаи. Основными результатами третьей главы являются следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть Ся-(а,/3) — коническое многообразие с сингулярным множеством К = K(p,q) с коническими углами а и ß, где K(p,q) — двухмостовое зацепление. Тогда пространство SU(2)-представлений фундаментальной группы 7Ti(Ck((X, ß) \ К) определяется полиномиальным уравнением zk(r,n,m) = 0, где к = а полиномы zk определяются рекурсивным соотношением:

Zj(r, 77., га) = Г—fij{m2 — 1) — 2т) га, п)

V 771 / (га2 + 1) (п2 — 1 — 2Zj-2(T, п, га)

ТЪ

--jij(n2 + 1)(га2 + 1)2^з(т,га,п),

772 j = 3,., к, с начальными условиями z0(t, те, га) = - £k+i, Zi(т, п, га) = -2птек + 2тек+ъ z2(r,те, га) = - 2n2m2£k-i — п2т2£к+1 + 2n2£fc1 — n2£fc+i + ra2^+i + 4ттега^1£А;^+1 + Атт£к - Ат2£к+х + £k+i.

Здесь £i = (—1)[гр], где г — 1,21; fij = £k-j+i£k-j+2, где j = 1,2,., к; п = ctg § и га = ctg f.

Теорема 3.2. Пусть Схг{&) — коническое многообразие с сингулярным множеством Хг с коническим углом а, где Xr, г ^ 0, — твист узел. Тогда пространство SU(2)-представлений фундаментальной группы 7Ti (Cxr(&) \ ХГ) определяется полиномиальным уравнением хг(т,п) = 0, где

Хг (г, п) = \ (К + 'пУ'1 + к - Т7Г1) + (К + - К - ^Г1)' г = 2к + I, г(г, = + + *у)г) - (К + 77)г -К- ^Л, г = 2к, где £ = у/т2 — I, г] = л/т2 + п4 + 2п2, с = (г + н2)(т + 1) и п = §.

В качестве следствия теоремы 3.1 мы получаем следующее утверждение.

Теорема 3.4. Пусть С\уГ{&,(3) ~ коническое многообразие с сингулярным множеством \¥г с коническими углами а и (3, где \¥г, г ^ 0, — твист зацепление. Тогда пространство Би(2)-представлений фундаментальной группы 7Г1 (С\уг(&,Р) \ И^г) определяется полиномиальным уравнением и]г(т, п, тп) = 0, где гог(т, п, тп) = (-1)г+1 ((£ - г;)г+1 - К + Г/)Г+1) X х (5№ ~,г 1"+"г+1)+4((5 ~1+к+")г+1)) •

Здесь £ = у/т2 — 1, г) — у/п2 + т2 + п2ш2 + г2, п = ctg | и тп = ctg

Диссертация изложена на 146 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы из 58 наименований, содержит 36 рисунков и 4 таблицы. Опишем кратко результаты диссертации по главам.

1. Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские бутылки Клейна // Международная конференция «Геометрия и приложения», посвященная 70-летию профессора В. А. Топоногова (Новосибирск, 13-16 марта 2000 г.): Тез. докл. — Новосибирск, 2000. — С. 45-46.

2. Исангулов Р. Р. Изоспектральные бутылки Клейна // XXXVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 23-25 апреля 2000 г.): Тез. докл. — Новосибирск, 2000. — С. 49-50.

3. Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские бутылки Клейна // Мат. заметки ЯГУ. 2000. - Т. 7, вып. 2. - С. 39-48.

4. Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские 3-многообразия // XXXIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 23-25 апреля 2001 г.): Тез. докл. — Новосибирск, 2001. — С. 125-126.

5. Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские 3-многообразия // Сиб. мат. журн. 2004. - Т. 45, № 5. - С. 1086-1111.

6. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М.: Наука, 1980. — 240 с.

7. Никулин В. В., Шафаревич И. Р. Геометрии и группы. — М.: Наука, 1983. — 240 с.

8. Berger M., Gauduchon P., Mazet E. Le spectre d'une variété riemannienne. — Springer Lecture Notes; V. 194. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1971. — vii, 251 p.

9. Bérard-Bergery L. Laplacien et géodésiques fermées sur les formes d'espace hyperbolique compactes. — Springer Lecture Notes in Math.; V. 317. Sém. Bourbaki (1971-1972), exposé N. 406, 1973. - P. 107-122.

10. Boileau M., Zimmermann B. The 7r-orbifold group of a link // Math. Z. 1989. - V. 200, N. 2. - P. 187-208.

11. Brooks R. Constructing isospectral manifolds // Amer. Math. Monthly. — 1988. V. 95, N. 9. - P. 823-839.

12. Burde G. 5i7(2)-representation spaces for two-bridge knot groups // Math. Ann. 1990. - V. 288, N. 1. - P. 103-119.

13. Buser P. Geometry and spectra of compact Riemann surfaces. — Progress in Mathematics; V. 106. — Boston, Basel, Berlin: Birkhàuser, 1992. — xiv, 454 p.

14. Chavel I. Eigenvalues in riemannian geometry. — Pure and Applied Mathematics; V. 115. — Orlando, San Diego, New York: Academic Press, 1984. xiv, 362 p.

15. Chiang Y.-J. Harmonic maps of ^-manifolds // Ann. Global Anal. Geom. 1990. - V. 8, N. 3. - P. 315-344.

16. Conway J. H. The sensual (quadratic) form. — The Carus Mathematical Monographs; V. 26. — The Mathematical Association of America, 1997. — xiv, 152 p.

17. Conway J. H., Sloane N. J. A. Four-dimensional lattices with the same theta series // Int. Math. Res. Not. 1992. — N. 4. — P. 93-96.

18. Cooper D., Culler M., Gillet H., Long D. D., Shalen P. B. Plane curves associated to character varieties of 3-manifolds // Invent. Math. — 1994. V. 118, N. 1. - P. 47-84.

19. Derevnin D., Mednykh A., Mulazzani M. Volumes for twist link cone-manifolds // Bol. Soc. Mat. Mexicana — Special issue, 2004. — V. 10, N. 3. P. 129-146.

20. Donnelly H. Asymptotic expansions for the compact quotients of properly discontinuous group actions // Illinois J. Math. — 1979. — V. 23, N. 3. P. 485-496.

21. Doyle P. G., Rossetti J. P. Tetra and Didi, the cosmic spectral twins // Geom. Topol. 2004. - V. 8. - P. 1227-1242.

22. Dryden E. Isospectral finiteness of hyperbolic orbisurfaces. — Preprint / arXiv:math.SP/0411290. 2004. - 15 p.

23. Farsi C. Orbifold spectral theory // Rocky Mt. J. Math. 2001. - V. 31, <V N. 1. - P. 215-235.

24. Gel'fand I. M. Automorphic functions and the theory of representations // Proc. Internat. Congr. Math. Stockholm, 1962, Almqvist & Wiksell, Uppsala. 1963. - P. 74-85.

25. Gordon C. S. The Laplace spectrum versus the length spectra of riemannian manifolds. — Contemp. Math.; V. 51. — Nonlinear problems in geometry — Amer. Math. Soc., 1986. — P. 63-80.

26. Hilden H. M., Lozano M. T., Montesinos-Amilibia J. M. On thearithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant // J. Knot Theory Ramifications. 1995. - V. 4, N. 1. - P. 81-114.

27. Hilden H. M., Lozano M. T., Montesinos-Amilibia J. M. Volumes and Chern-Simons invariants of cyclic coverings over rational knots. — Topology and Teichmiiller spaces. — Singapore: World Scientific, 1996. — P. 31-55.

28. Hodgson C. D. (with Cooper D. and Kerckhoff S. P.) Three-dimensional orbifolds and cone-manifolds. With a postface by Sadayoshi Kojima. — MSJ Memoirs, 5. — Tokyo: Mathematical Society of Japan, 2000. x, 170 p.

29. Hoste J., Shanahan P. D. Trace fields of twist knots // J. Knot Theory Ramifications. 2001. - V. 10, N. 4. — P. 625-639.Y>

30. Hoste J., Shanahan P. D. A formula for the A-polynomial of twist knots // J. Knot Theory Ramifications. 2004. - V. 13, N. 2. -P. 193-209.

31. Huber H. Zur analytischen Theorie hyperbolischer Raumformen und Bewegungsgruppen I // Math. Ann. — 1959. — V. 138. — R 1-26; II // Math. Ann. 1961. - V. 142. - P. 385-398; Nachtrag zu II // Math. Ann. - 1961. - V. 143. - P. 463-464.

32. Isangulov R. R. Isospectral flat 3-manifolds // Abstracts of the Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A. D. Alexandrov. — St. Petersburg, 2002. P. 28-29.

33. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. — 1966. V. 73, N. 4. - P. 1-23.

34. Kauffman L. H. New invariants in the theory of knots // Amer. Math. Monthly. 1988. - V. 95, N. 3. - P. 195-242.

35. Luft E., Sjerve D. 3-Manifolds with subgroup Z © Z © Z in their fundamental group // Pacific J. Math. — 1984. — V. 114, N. 1. — P. 191-205.

36. Maaß H. Uber eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch•v ,Funktionalgleichungen // Math. Ann. — 1949. — V. 121. P. 141-183.

37. Macbeath A. M. The classification of non-euclidean plane crystallographic groups // Can. J. Math. — 1967. —V. 19. — P. 1192-1205.

38. McKean H. P. Selberg's trace formula as applied to a compact Riemann surface // Comm. Pure Appl. Math. 1972. — V. 25. — P. 225-246.

39. Mednykh A., Rasskazov A. Volumes and degeneration of cone-structures on the figure-eight knot. — Preprint / http:/cis.paisley.ac.uk/research/reports/index.html — 2002. — 25 p.

40. Mednykh A., Vesnin A. On the volume of hyperbolic Whitehead link cone-manifolds // Sei. Ser. A Math. Sei. (N.S.). — 2002. — V. 8. — P. 1-11.

41. Miatello R. J., Rossetti J. P. Length spectra and p-spectra of compact flat manifolds //J. Geom. Anal. — 2003. V. 13, N. 4. - P. 631-657.

42. Milnor J. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 1964. - V. 51. - P. 542.

43. Minakshisundaram S., Pleijel, Ä. Some properties of the eigenfunctions of the Laplace operator on riemannian manifolds // Can. J. Math. 1949. - V. 1. - P. 242-256.

44. Riggenbach H. Freie Homotopieklassen und das Eigenwertspektrum des Laplace-Operators bei hyperbolischen Raumformen. — Doctoral thesis. — Basel, 1975. — 56 p.

45. Rossetti J. P., Conway J. H. Hearing the platycosms. — Preprint / arXiv:math.DG/0311470. 2003. - 20 p.

46. Schiemann A. Ein Beispiel positiv definiter quadratischer Formen der Dimension 4 mit gleichen Darstellungszahlen // Arch. Math. — 1990. — V. 54, N. 4. P. 372-375.

47. Schiemann A. Ternary positive definite quadratic forms are determined by their theta series // Math. Ann. 1997. - V. 308, N. 3. - P. 507-517.

48. Schubert H. Knoten mit zwei Brücken // Math. Z. 1956. — V. 65. — P. 133-170.

49. Sunada T. Spectrum of a compact flat manifold // Comment. Math. Helv. 1978. - V. 53, N. 4. - P. 613-621.

50. Sunada T. Riemannian coverings and isospectral manifolds // Ann. Math. 1985. - V. 121, N. 1. - P. 169-186.

51. Takata T. The colored Jones polynomial and the A-polynomial for twist knots. Preprint / arXiv:math.GT/0401068. — 2004. — 12 p.

52. Thurston W. P. Three-dimensional geometry and topology. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. — x, 311 p.

53. Weyl H. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte // Nachr. d. Königl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen. 1911. - P. 110-117.

54. Weyl H. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung) // Math. Ann. 1912. — V. 71. - P. 441-479.

55. Weyl H. Gesammelte Abhandlungen, Vol. I. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1968. — vi, 698 p.

56. Wolf J. Spaces of constant curvature. — New York, London, Sydney: McGraw-Hill, 1967. xv, 408 p.

57. Zhou Q. The moduli space of hyperbolic cone structures //J. Diff. Geom. 1999. - V. 51, N. 3. - P. 517-550.