Евклидовы структуры на узлах и зацеплениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

1.1. Пространства постоянной кривизны.

1.1.1. Евклидово пространство Е3.

1.1.2. Сфера Sn

1.1.3. Пространство Лобачевского ЕР.

1.2. Гиперболическая геометрия.

1.2.1. Группа изометрий пространства Лобачевского.

1.2.2. Классификация изометрий гиперболического пространства И

1.3. Дискретные группы движений.

1.4. Фундаментальная группа.

1.5. Конические многообразия.

1.6. Двумостовые узлы и зацепления.

2 ЕВКЛИДОВА СТРУКТУРА НА КОНИЧЕСКОМ МНОГООБРАЗИИ С СИНГУЛЯРНЫМ МНОЖЕСТВОМ ЗАЦЕПЛЕНИЕ УАЙТХЕДА 27 2.1. Геометрические структуры на зацеплении Уайтхеда.

2.2. Фундаментальное множество для конического многообразия W (т.п.) в Е

2.3. Формула объема и пзопериметрическое неравенство.

2.4. Евклидова теорема тангенсов.

2.5. Евклидовы теоремы синусов I и II.

3 КОНИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ С ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРОЙ И ДВУМОСТОВЫЕ УЗЛЫ

3.1. Геометрические структуры на двумостовых узлах.

3.2. Теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел

3.3. Примеры евклидовых конических многообразий.

3.3.1. Евклидовы конические многообразия на узлах 7/2и7/

3.3.2. Евклидовы конические многообразия па узлах 9/2 и 9/

3.3.3. Евклидовы конические многообразия на узлах 1] /3 и 11/

3.3.4. Евклидово коническое многообразие на узле 15/

4 ПОЧТИ ЕВКЛИДОВЫ МОДЕЛИ МНОГООБРАЗИЯ ФОМЕНКО-МАТВЕЕВ А-ВИКС А

4.1. Гиперболические многообразия малого объема и теорема Тёрстона-Йоргенсена.

4.2. Построение почти евклидовых моделей.

4.2.1. Почти евклидова модель на узле 7/2.

4.2.2. Почти евклидова модель на узле 7/3.

Элементы евклидовой геометрии начали использоваться человечеством с первых веков его возникновения на Земле.

Возникновение евклидовой геометрии относят к III в. до н. э., когда дрен-негреческий математик Евклид из Александрии изложил аксиомы, основные понятия и теоремы евклидовой геометрии, придав ей тем самым вид самостоятельной математической теории.

В настоящий момент евклидова геометрия является совершенной математической теорией, имеющей практическое применение почти во всех областях современной науки и техники и обладающей мощным математическим аппаратом, способным проводить научные исследования.

Развитие теории узлов неразрывно связано с развитием евклидовой геометрии.

Узлы применялись человечеством с древнейших времен. Они широко использовались во всех областях человеческой деятельности. Обнаруженные археологами древние орнаменты, содержащие в качестве элементов узлы и зацепления, насчитывают несколько тысяч лет. Кроме этого, узлы издавна упоминаются в преданиях и фольклоре различных народов мира. Хорошо известна история про полководца Александра Македонского, который, не сумев развязать узел, завязанный восточным мудрецом Гордием, разрубил узел мечем. Сюжет указанной истории даже вошел в поговорку "Разрубить гордиев узел".

Теория узлов расположена на стыке таких разделов математики, как математический анализ, алгебра, теория чисел, алгебраическая топология и дифференциальная геометрия. Истоки теории узлов лежат в математической теории электричества и элементарной атомной физике, а недавно наметилась возможность ее новых приложений в некоторых областях химии и микробиологии.

Вид современной топологической теории теория узлов приобрела после работ М. Дена [49), Дж.В. Александера [36, 37], К. Рейдемейстера [108, 109, 110J и X. Зейферта [113, 114] почти сто лет тому назад. Как часть топологии она образует как бы остов широкого круга проблем, связанных с расположением одного многообразия внутри другого. С того момента и до наших дней теория узлов получила значительное развитие, обогатившись достижениями таких известных математиков, как К.К. Адаме [35], Г. Бёде [42], X. Цишанг [34. 43|. Дж.Х. Конвэй [45], Р.Х. Кровелл [47. 48|, Р.Х. Фокс [57. 119|. Л. Гётриц |58). С. Киношита [78], Е.П. Классен [79, 80], М. Сакума [81, 103], Дж.В. Милнор [98, 99], Дж. Минкус [100], Д. Рольфсен [111], А.Б. Сосинский [31]. X. Шуберт [112], Дж.Х.К. Уайтхед [123], Дж. Вике [63], К. Волькотт [124] и других математиков.

В конце XX столетия теория узлов нашла широкое применение в теории конических многообразий, которая возникла с появлением работ К. Ходжсо-на [74] и Тёрстона [120] и начала интенсивно развиваться. Развитие теории конических многообразий, продолжающееся и по сей день, обусловлено появлением в данной области большого количества работ, в которых применяются аналитические методы, методы теории функций и теории узлов, алгебраические, геометрические и топологические методы. Среди них наиболее значительными являются работы X. Хеллппга, А.Ч. Кима. II. Мопппке [61]. Х.М. Хилдена, М.Т. Лозано, Х.М. Монтезиноса ([65] - [73]), Е. Суарес [118], С.П. Керкгоффа [75], В. Данбара [51, 53], К.Н. Джонс [77], С. Коджимы [82], Фенг Люо [56] и Дж. Порти [40, 107].

Таким образом, современная теория конических многообразий оказалась на стыке нескольких направлений — математического анализа, топологии, геометрии, теории узлов, теории функций и теории групп.

Конические многообразия в настоящее время представляют собой весьма актуальные и перспективные объекты изучения геометрических структур в геометриях различного типа. Результаты исследований конических многообразий находят самое широкое применение в различных областях современной математики.

В настоящей работе проводится исследование с аналитической точки зрения конических многообразий с евклидовой структурой на двумостовых зацеплениях и узлах. Результаты проведенного исследования использованы для построения почти евклидовых моделей многообразия Фоменко-Матвеева-Впк-са.

Методика исследования. В работе используются методы геометрической теории функций, геометрические методы теории групп и теории геометрических структур на многообразиях и орбифолдах.

Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Определена область существования евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайтхеда и доказаны его тригонометрические свойства.

II. Построены фундаментальные множества для евклидовых конических многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, заузленных графах.

III. Доказана теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел.

IV. Построены почти евклидовы модели многообразия Фоменко-Матвеева-Викса.

Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития геометрии многообразий, геометрической топологии и теории групп.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа НГУ, отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С.Л.Соболева под руководством академика РАН, профессора Ю.Г.Решетняка и семинаре "Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах" Института математики СО РАН под руководством профессора А.Д. Медных, а также докладывались па XXXVI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(г.Новоснбирск, 1998), Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л. Соболева (19081989) (г.Новосибирск, 1998), Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (г.Новосибирск. 1999), Третьей Международной конференция по геометрии "в целом"(г.Черкассы, 1999), Международной конференции по геометрии и ее приложениям, посвященной 60-летию профессора В.А. Топоногова (г.Новосибирск, 2000), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (г.Киев, 2000), Международной конференции по Методам вычислений и теории функций (CMFT2001) (Португалия, г.Авейро, 2001), Четвертой Итальяно-испанской конференции по общей топологии и ее приложениям (ITES2001) (Италия, г.Брессаноне, 2001), Международной конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова (1912-1999) (г.Новосибирск, 2002), Третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае (г.Барнаул, 2002), Международном Математическом Конгрессе (Китай, г.Пекин, 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [125] - [137].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 136 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 137 наименований, содержит 35 рисунков и 3 таблицы.

Заключение

В результате выполненной работы проведено исследование конических многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, имеющих евклидову структуру.

В ходе выполнения работы была изучена специальная литература по проблематике исследования конических многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, была собрана необходимая теоретическая информация.

В работе определена область существования евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайтхеда и доказаны его тригонометрические свойства.

Кроме этого, в работе построены фундаментальные множества для евклидовых конических многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, за-узленных графах, доказана теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел, построены почти евклидовы модели многообразия Фоменко-Матвеева-Викса.

На основании проведенного исследования проблем могут быть сделаны следующие основные выводы:

1. Конические многообразия в настоящее время представляют собой весьма актуальные и перспективные объекты изучения геометрических структур в геометриях различного типа.

2. Результаты исследований конических многообразий находят самое широкое применение в различных областях современной математики.

3. Математический аппарат современной евклидовой геометрии позволяет эффективно исследовать конические многообразия на двумостовых зацеплениях и узлах, заузленных графах.

4. С помощью евклидовых конических многообразий возможно построение моделей гиперболических многообразий, что позволяет значительно упростить и усовершенствовать процесс изучения указанных многообразий.

Результаты проделанной работы могут быть использованы в практической деятельности научных работников, специалистов и студентов, работающих в области геометрии трехмерных многообразий.

1. Александров А.Д. О заполнении пространства многогранниками // Вест. ЛГУ, Сер. мат. физ. - 1954. - N.2. - С. 33-43.

2. Александров А.Д., Решетняк Ю.Г. Поворот кривой в п-мерном евклидовом пространстве // Сиб. мат. журн. 1988. - Т.29, N.1. - С. 3-22.

3. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979. - 512 с.

4. Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников А.С. Геометрия пространств постоянной кривизны. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. - Т.29. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 5-146.

5. Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского // Матем. с.6. 1970. - Т.81, N.3. - С. 445-478.

6. Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Матем. сб. 1970. - Т.83, N.2. - С. 256-260.

7. Апанасов Б.Н. Дискретные группы преобразований и структуры многообразий. Новосибирск: Наука, 1983. - 242 с.

8. Бердон А. Геометрия дискретных групп: Пер. с англ. М.: Наука, 1986. - 304 с.

9. Берже М. Геометрия: Пер. с франц. М.: Мир, 1984. - Т.2. - 368 с.

10. Веснин А.Ю., Медных А.Д., Циммерманн Б. Хирургии па гиперболических 3-орбифолдах малого объема // Сиб. матем. журн. 2001. - Т.42, N.2. - С. 318-331.

11. Винберг Э.Б. Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского // Матем. сб. 1967. - Т.72, N.3. - С. 471-488.

12. Винберг Э.Б. Некоторые примеры кристаллографических групп в пространствах Лобачевского // Матем. сб. 1969. - Т.78, N.4. - С. 633-639.

13. Винберг Э.Б. Гиперболические группы отражений // Усп. мат. н. -1985. Т.40, N.1. - С. 26-66.

14. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Шварцман О.В. Дискретные подгруппы групп Ли. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. - Т.21. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 5-120.

15. Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. - Т.29. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 147-259.

16. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. М.: Наука, 1982. - 480 с.

17. Деревнин Д.А., Медных А.Д. Геометрические свойства дискретных групп, действуюгцих в пространстве Лобачевского с неподвижными точками // Доклады АН СССР. 1988. - Т.300, N.1. - С. 27-30.

18. Исаченко Н.А. О системах порождающих подгрупп PSL(2,C) // Сиб. матем. журн. 1990. - Т.31, N.1. - С. 191-193.

19. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. - 288 с.

20. Коксетер Г. Мозер У. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп: Пер. с англ. М.: Наука. 1980. - 240 с.

21. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 495 с.

22. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые его применения к геометрии и механике. Казань: Изд-во Императорского Казанского Университета, 1895. - 218 с.

23. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 448 с.

24. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих и соотношений: Пер. с англ. -М.: Наука, 1974. 455 с.

25. Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 343 с.

26. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Изд-во МГУ, 1991. - 301 с.

27. Медных А.Д. О группе изометрий гиперболического пространства додекаэдра Зейферт.а Вебера // Сиб. матем. журн. - 1987. - Т.28, N.5. -С. 134-144.

28. Михалев С.Н. Некоторые метрические условия изгибаемости подвесок // Вести. Моск. ун-та. 2001. - Сер. 1, матем. механ., N.3. - С. 15-21.

29. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999. - 336 с.

30. Прасолов В.В. Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: МЦНМО, 1997. - 352 с.

31. Решетняк Ю.Г. Об устойчивости изометрических преобразований // Сиб. мат. журн. 1994. - Т.35, N.4. - С. 860-878.

32. Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 168 с.

33. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы: Пер. с англ. М.: Наука, 1988. - 688 с.

34. Adams С.С. The knot book: an elementary introduction to the mathematical theory of knots. New York: Freeman and Co., 1994. - 306 p.

35. Alexander J.W. A matrix knot invariant // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. -1933. V.19. - P. 272-275.

36. Alexander J.W. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc. 1923. - V.20. - P. 275-306.

37. Bednar J., Dubochet J., Michoud D., Katritch V., Scharein R.G., Stasiak A. Geometry and physics of knots // Nature. 1996. - V.384. - P. 142-145.

38. Benedetti R., Petronio C. Lectures on Hyperbolic Geometry. Berlin et al.: Universitext, Springer, 1992. - 330 p.

39. Boileau M., Porti J. Geometrization of 3-orbifolds of cyclic type. With an appendix: Limit of hyperbolicity for spherical 3-orbifolds by Michael Heusener and Joan Porti. // Asterisque. 2001. - V.272. - 208 p.

40. Briclson M.R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature Berlin et al.: Springer, 1999. - Fundamental Principles of Mathematical Sciences. -V.319. - 643 p.

41. Burde G. SU(2)-representation spaces for two-bridge knot groups // Math. Ann. 1990. - V.288, N.l. - P. 103-119.

42. Burde G., Zieschang H. Knots. Berlin et al.: Gruyter, 1985. - 399 p.

43. Connelly R. An attack on rigidity. I, II // Bull. Am. Math. Soc. 1975. -V.81. - P. 566-569.

44. Conway J.H. On enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. Proceedings of the Conference on Computational Problems in Abstract Algebra, Oxford, 1967. - Oxford: Pergamon, 1970. - P. 329-358.

45. Conway J.H., Radin C. Quaquaversal tilings and rotations// Invent. Math. -1998. V.132. - P. 179-188.

46. Crowell R.H. N on-alternating links // 111. J. Math. 1959. - V.3 - P. 101-120.

47. Crowell R.H., Fox R.H. Introduction to knot theory. New York et al.: Springer, 1977. - 182 p.

48. Dehn M. Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes // Math. Ann. -1910. V.69 - P. 137-168.

49. Dubochet J., Katritch V., Olson W.K., Pieranski P., Stasiak A. Properties of ideal composite knots // Nature. 1997. - V.388. - P. 148-151.

50. Dunbar W.D. Geometric orbifolds // Rev. Mat. Univ. Complutense Madr. -1988. V.l, N.l-3 - P. 67-99.

51. Dunbar W.D. Hierarchies for 3-orbifolds // Topology Appl. 1988. - V.29, N.3 - P. 267-283.

52. Dunbar W.D., Meyerhoff G.R. Volumes of hyperbolic 3-orbifolds // Indiana Univ. Math. J. 1994. - V.43, N.2. - P. 611-638.

53. Epstein D.B.A., Petronio C. An exposition of Poincare's polyhedron theorem // L'Enseignement Mathematique. 1994. - V.40. - P. 113-170.

54. Fenchel W. Elementary Geometry in Hyperbolic Space. Berlin et al.: Gruyter, 1989. - 225 p.

55. Feng Luo. Mobius Cone structure on 3-manifolds // J. Diff. Geometry. -1995,- V.41. P. 319-341.

56. Fox R.H. On the imbedding of polyhedra in 3-space // Ann. Math. 1948. V.49. - P. 462-470.

57. Goeritz L. Bemerkungen zur Knotentheorie // Hamburg Abh. 1934. -V.10. - P. 201-210.

58. Gonzales-Akuna F., Montesinos-Amilibia J.M. On the character variety of group representations in 5L(2,C) and PSL(2,C) // Math. Z. 1993. -V.214. - P. 627-652.

59. Haefliger A., Quach N.D. Une presentation du groupe fondamental d'une orbifold .// Asterisque. 1984. - V.116. - P. 98-107.

60. Helling H., Kim A.C., Mennicke J.L. Some Honey-combs in Hyperbolic 3-space // Communications in Algebra. 1995. - V.23. - P. 5221-5242.

61. Hempel J. 3-manifolds. Princeton: Princeton Univ. Press; Univ. of Tokyo Press, 1976. - 195 p.

62. Henry S., Weeks J. Symmetry groups of hyperbolic knots and links // J. Knot Theory and Its Ramifications 1992. - V.l. - P. 185-201.

63. Hernandez P., Krimer D.B., Martinez-Robles M.L. Schvartzman J.В., Sogo J.M., Stasiak A. Formation of knots in partially replicated DNA molecules // J. Mol. Biol. 1999. - V.286. - P. 637-643.

64. Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. A Characterization of Arithmetic Subgroups of SL( 2,C) and PSL( 2,C) 11 Math. Nachr. 1992. -V.159. - P. 245-270.

65. Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. Euclidean representation of 2-bridge knots. in preparation.

66. Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. Geometry and arithmetic of knots // J. Knot Theory.- 1995. V.4., N.l. - P. 81-114.

67. Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. On a remarkable polyhedron geometrizing the figure eight knot cone manifolds //J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 1995. - V.2. - P. 501-561.

68. Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. On the arithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant //J. Knot Theory and Its Ramifications. 1995. - V.4., N.l. - P. 81-114.

69. Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. On Volumes and Chern-Simons Invariants of Geometric 3-Manifolds //J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 1996. - V.3. - P. 723-744.

70. Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. The arithmeticity of the Figure Eight knot orbifold. TQPOLOGY'90. Proceedings of the

71. Research Semestre in Low Dimensional Topology. Berlin et al.: Gruyter, 1992. - P. 169-183.

72. Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. The Chern-Simons invariants of hyperbolic manifolds via coverings spaces // Bull. London Math. Soc. 1999. - V.31. - P. 354-366.

73. Hodgson C. Degeneration and regeneration of geometric structures on three-manifolds.: Ph.D.Thesis. Princeton: Princeton Univ., 1986.

74. Hodgson C.D., Kerckhoff S.P. Rigidity of hyperbolic cone-manifolds and hyperbolic Dehn surgery //J. Differential Geom. 1998. - V.48. - P. 159.

75. Hodgson C., Rubinstein J.H. Involutions and isotopies of lens spaces // Lect. Notes Math. 1985. - V.1144. - P. 60-96.

76. Jones K.N. Geometric Structures on Branched Covers over Universal Links // Contemporary Mathematics. 1994. - V.164. - P.47-58.

77. Kinoshita S., Terasaka H. On unions of knots // Osaka Math. J. 1993. -V.9. - P. 131-153.

78. Klassen E.P. Representation in SU(2) of the fundamental groups of the Whitehead link and of doubled knots // Forum Math. 1993. - V.5. - P. 93-109.

79. Klassen E.P. Representation of knot group in SU(2) // Trans. Amer. Math. Soc. 1991. - V.326, N.2. - P. 795-828.

80. Kodama K., Sakuma M. Symmetry groups of prime knots up to 10 crossings. TOPOLOGY'90. Proceedings of the Research Semestre in Low Dimensional Topology. - Berlin et al.: Gruyter, 1992. - P.323-340.

81. Kojima S. Deformations of hyperbolic 3-cone-manifolds // J. Differential Geom. 1998. - V.49. - P. 469-516.

82. Kojima S. Nonsingular parts of hyperbolic 3-cone-manifolds — Proceedings of the 37-th Taniguchi Simposium on Topology and Teichmiiller Spaces, Finland, July 1995. Singapore et al.: World Scientific, 1996. - P. 115-122.

83. Maskit B. On Poincare theorem for fundamental polygons // Adv. Math. -1971. V.7, N.3. - P. 219-230.

84. Mednykh A.D. Automorphism groups of three-dimensional hyperbolic manifolds // Amer. Math. Soc. Transl. 1992. - V.151, N.2. - P. 107-119.

85. Mednykh A.D. On the remarkable properties of the hyperbolic Whitehead link cone-manifold. Singapore et al.: World Scientific, 2000. - Series Knots and Everything. - V.24. - P. 290-305.

86. Mednykh A. Three-dimensional hyperelliptic manifolds // Ann. Global Anal. Geometry. 1990. - V.8. - P. 13-195.

87. Mednykh A.D. Trigonometrical identities and geometrical inequalities for links and knots. Proceedings of the Third Asian Mathematical Conference 2000, Diliman, Philippines, 23-27 October 2000. - Singapore et al.: World Scientific, 2002. - P. 352-368.

88. Meclnykh A., Rasskazov A. On the structure of the canonical fundamental set for the 2-bridge link orbifolds. Bielefeld, 1998. - 32 p. - (Prepr. ser. / Univ. Bielefeld; N 62).

89. Mednykh A., Vesnin A. Coxeter groups and branched coverings of lens spaces // J. Korean Math. Soc. 2001. - V.38, N.6. - P. 1167-1177.

90. Mednykh A., Vesnin A. Hyperbolic 3-manifolds as 2-fold coverings according to Montesinos. Bielefeld, 1995. - 23 p. - (Prepr. ser. / Univ. Bielefeld; N 10).

91. Mednykh A., Vesnin A. Spherical Coxeter groups and hyper elliptic 3-manifolds // Math. Notes. 1999. - V.66. - P. 135-138.

92. Mednykh A.D. Vesnin A.Yu. The isometry group action on the Weeks-Matveev-Fomenko manifold. Proceedings of the 10 Siberian Workshop "Algebra, geometry, analysis and mathematical physics", Novosibirsk, 1997. -Novosibirsk: IM SB RAS, 1997. - P.49-63.

93. Mednykh A., Vesnin A. Three-dimensional hyperelliptic manifolds and hamiltonian graphs // Siberian Math. J. 1999. - V.40. - P. 628-643.

94. Mednykh A., Vesnin A. Three-dimensional hyperbolic manifolds of small volume with three hyperelliptic involutions // Siberian Math. J. 1999. -V.40. - P. 873-886.

95. Mednykh A., Vesnin A. Visualization of the isometry group action on the Fomenko-Matveev-Weeks manifold //J. Lie Theory. 1998. - V.8. - P. 51-66.

96. Milnor J.W. Link groups // Ann. Math. 1954. - V.59. - P. 539-548.

97. Milnor J.W. On the total curvature of knots // Ann. Math. 1950. - V.52. -P. 248-257.

98. Minkus J. The branched cyclic coverings of 2-bridge knots and links // Mem. Am. Math. Soc. 1982. - V.255. - 68 p.

99. Molnar E. On isometries of space forms. Proceedings of the Konference on Differential Geometry and its Applications (Eger, 1989). - Amsterdam: North-Holland, 1992. - P.509-534.

100. Montesinos J.M. Three-manifolds as 3-fold branched covers of S3 // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1976. - V.27, N.2. - P. 85-94.

101. Morimoto K., Sakuma M. On unknotting tunnels for knots // Math. Ann. 1991. - V.289. - P. 143-167.

102. Mostow G.D. Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms // Inst. Hautes Etudes. Sci. Publ. Math. 1968. -V.34. - P. 53-104.

103. Pierariski P., Przybyl S., Stasiak A. Tight open knots // Eur. Phys. J. E -2001. V.6. - P. 123-128.

104. Pinchbeck D.J. Irrational Rotations // Contemp. Math. 1997. - V.211. -P. 463-471.

105. Porti J. Regenerating hyperbolic and spherical cone structures from Euclidean ones // Topology. 1998. - V.37, N.2. - P. 365-392.

106. Reidemeister K. Knotentheorie. // Ergebnisse der Mathematic. 1932. -V.l, N.l.

107. Reidemeister K. Knoten und Gruppen. // Hamburg Abh. 1926. - V.5. -P. 7-23.

108. Reidemeister K. Uber Knotengruppen. // Hamburg Abh. 1928. - V.6. -P. 56-64.

109. Rolfsen D. Knots and Links. Berkeley: Publish or Perish, 1976. - 439 p.

110. Schubert H. Knotten mit zwei Brucken // Math. Z. 1956. - V.65. - P. 133170.

111. Seifert H. On homology invariants of knots // Quart. J. Math. 1950. -N.l. - P. 23-32.

112. Seifert H. Uber das Geschlecht von Knoten // Math. Ann. 1934. - V.110. -P. 571-592.

113. Swierczkowski K. A class of free rotation groups // Ingad. Math. 1994. -V.5, N.2. - P. 221-226.

114. Swierczkowski K. On a free group of rotations of the Euclidean space // Ingad. Math. 1958. - V.20. - P. 376-378.

115. Vinberg E.B., Shvartsman O.V. Discrete groups of motions of spaces of constant curvature. Encycl.Math.Sc. Geometry II. - Berlin et al.: Springer, 1993,- P. 139-254.

116. Suarez-Peiro E. Poliedros de Dirichlet de 3-variedades conicas у sus deformaciones.: Ph.D.Thesis. Madrid: Univ. Complutense de Madrid, 1998.

117. Torres G., Fox R.H. Dual presentations of the group of a knot // Ann. Math. 1954. - V.59. - P. 211-218.

118. Thurston W. Three-dimentional Geometry and Topology. Princeton: Princeton Univ. Press, 1997. - 311 p.

119. Wang H.C. Topics in totally discontinues groups. Marcel-Dekker, 1972. -Ser. Pure Appl. Math. - N.4. - P. 460-485.

120. Weeks J. Hyperbolic structures on 3-manifolds.: Ph.D.Thesis. Princeton: Princeton Univ., 1985.

121. Whitehead J.H.C. On doubled knots. // J. London Math. Soc. 1937. -V.12. - P. 63-71.

122. Wolcott K. The knotting of theta curves and other graphs in §3 // Geometry and Topology. 1987. - V.105. - P. 325-346.

123. Работы автора по теме диссертации

124. Shmatkov R. On a cone-manifold with the Euclidean structure on the Whitehead link. Bielefeld, 1998. - 13 p. - (Prepr. ser. / Univ. Bielefeld; N 61).

125. Shmatkov R.N. Euclidean structure on the Whitehead link cone-manifold. Mannheim, Heidelberg, 2001. - 26 p. - (Prepr. ser. / Univ. Mannheim und Univ. Heidelberg; N 5).

126. Shmatkov R.N. On Properties of Euclidean Whitehead Link Cone-Manifolds. // Sib. Adv. Math. 2003. - V.13, N.l. - P. 55-86.

127. Шматков Р.Н. Евклидовы структуры на двумостовых узлах. Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова (1912-1999): Тез. докл. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2002. - С. 78-79.

128. Shmatkov R.N. The Tangent and the Sine Rides for the Euclidean Whitehead Link Cone-Manifold. 3-я Международная конференция погеометрии "в целом": Тез. докл., Черкассы, июнь-июль 1999 г. Черкассы: ЧИТИ, 1999. - С. 102-103.

129. Shmatkov R.N. Euclidean Structure on Whitehead Link Cone-Manifold. -Abstracts of the International Conference on Computation Methods and Function Theory (CMFT2001), Portugal, Aveiro, June 25-29, 2001. Aveiro: Univ. de Aveiro, 2001. - P. 89.

130. Shmatkov R.N. An algorithm for finding Euclidean structure on 2-bridge knots. International Congress of Mathematicians, Beijing, 2002 August 2028, Abstracts of Short Communications and Poster Sessions. - Beijing, 2002.1. P. 87.

131. РОССИЙСКАЯ Г О СУ Д А Р С Т " F, ПIIЛ И БИБЛИОТЕК/.'-^-оъ