Съюрективные изометрии равномерных пространств голоморфных функций в шаре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

П и

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имани Ц.В.ЛСМШОСОВА МЕХ/ЯЖО^ШЖАТИЧВСКИЙ ОАШЬТВГ

Ка цразах рукописи ! УД1С 517.53

СТАНЕВ МАРТИН АТАНАСОВ

СЫРЕКТИЗШЕ ИЗШШТКИ РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В ШАРЕ

01.01.01 - Матв*гатичвский анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертада на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена ка кафедре математического анализа мзханико-мзтеаитического факультета Московского государственного университета имзеи М.В Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профоссор Б.И.Гаврилоз. Официальные оппоненты - доктор физико-математических. наук, ; профессор П.К.Суетин;

кандидат фазико-катештических паук, доцент Г.Д.Левзшна. Ведущая организация' - Московскей княенерно-фазЕческий

институт

Зажта диссертации состоится "¿1" ^М^О-А._1293г.

в 1С час.05 шк. не заседании Специализированного Совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете июни М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-матеггатический факультет.

С диссертацией ыежно ознакомиться в библиотеке механико-матеьзатического факультета МГУ (Глзвное здание, 14 этаж).'

Автореферат разослан " 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета _ ^ ~

ЯиЖ^ Т.П.Лукашенко'

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

I.I. Актуальность темы.

-Диссертация посвящена задаче исследования групп линейных азометрий банаховых пространств аналлтячэских функций многих комплексных переменных и относится к активно развиваемому направлению прилогений мэтодов функционального анализа к теории функций комплексього переменного.

Изометрические операторы представляют собой фундаментальный объект теории банаховых пространств. Интерес к задаче описания пзомэтричаоких изоморфизмов банаховых пространств возник ощо при формировании общей теории этих пространств, в чем могно убедиться по монографии Банаха [ i] . В последовавших разработках конкретных банаховых пространств, каждый раз выявлялась и задачи об изометрических изоморфизмах, многие зз которых-получили окончательное решение. В связи с темой диссертации отметим близкие результаты, доказанные в работах [2] , [3] , [4] , а тэкяе и следующие хорошо известные результаты:

1) ыетризуеыые компакта гомэоморфкн тогда з только тогда, когда изометрически изоморфны стандартные пространства непрерывных функций на них, [ I] ,

2) аналогичный предыдущему результат справедлив для хаусдор-фовых компактов, [б] ,

■ fl] Banach St., Teorie dee operations liüealrea, ÍT.,1932,254pp.

[2] Майер Ж.,Группы изоиетрий в банаховых пространствах аналитических функций,Дисс.канд.фзз.-мат.наук.М.,1Я7,1579, 45 с.

[ 3] Майер Ж., Изометрии в пространствах аналитических функций с медленно растущей производной, ДАН СССР,IS82,т.266,Я 4, с.795-738.

[4] Ciña J.А.,0а leometries of the bloch space,HI. J. Math. 1°80,vol. 24,Ш 2,pp.313-316

[5] Areas R.F.,Ke!ley 1947,vol. бг,В З.РР.4Э9-508.

3) любая линейная изометряя пространства А(В ) на себя индуцируется конформным автоморфизмом шара & из С", [б]. [ ,

4) аналогичная теорема справедлива для съгрептявных изомет-рий пространства Hiß") , [б] , [7] ,

Для вычисления изомстрий разнообразных пространств разработаны различные кэтоды, из которых ИЕтергс, в силу сЕоай родственности к идее диссертации, вызывают следующие. Во-первых, иэучэнле геометрии единичного шара и его крайних точек в пространстве, чьи изометрии вычисляется [в]. . Вс-зторых, вычисление кзомзтричэо-клх изоморфизмов с опоясанного пространства [?],[з],Г4]. Заметил, что при применении второго метода возможно решать задачи od геометриях на основании изучения тольхо части множества васх крайних точек единичного шара сопряженного пространства. Например, розуль-тативням бывает рассмотрение не всей границы Шоке, а, скакем, множества всех пик-точек или какого-то его подмноаества [2J , [4] .

1.2. Цель работы

Основные цели состоят:

1) в получение общих теерэм об изометрических изоморфизмах равномерных пространств,

2) в описании всех изометрических изоморфизмов весовых пространств голоморфных функций медленного роста в шаре из С .

1.3. Научная новизна

I) Получена теорема, позволяющая вычислять изометрии равномерных пространств путам изучения некоторой части грашзди Шоке,

[6] Рудик У., Теория функций в единичном шаре из С . М., Шр, 1984, 456 с.

[7] Гофман К., Банаховы пространства аналитических функций. М., ИЛ, 1963, 311 с.

[в] Rao H.V.,Roy А.К.,Linear ieometrleo of some ¿unction spaces, Pacific J.Hath.,1971, vol. 8, pp. 177-192.

зависящей от изометрии.

2) получена теорема, характеризующая все изометрические изоморфизмы весовых банаховых пространств голоморфных функций медленного роста в шаре аз С ;

3)изучены сьврективные изометрии банаховых пространств голоморфных функций лшшщева типа в шаре из С •

1.4. Приложения

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в изучении римановой структуры многообразий, дифференциальных свойств нормы, в исследовании геометрии сопряженных .цространств.

1.5. Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на международной конференции в Г.Варна (Болгария) в сентябре 1991г., на семинаре кафод-рн математического анализа Московского технического университета связи и информатики, на семинаре "Предельные кнозества" в МГУ под руководством проф. В.И.Гаврилова.

1.6. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Работ по теме диссертации, написанных в'соавторстзе нет.

1.7. Структура дипперуятрт

Работа состоит из введения и четырех глав, разбитых на девять параграфов, списка литературы, содараащего 12. наименований. Обайй объзм диссертации 94 страниц.

Содержание работы

Прежде всего заметим, что нумэрашш основных результатов в диссертации и в автореферате одинакова.

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, сформулирован* и обсуздаотся главные теоремы.

В яарвой гдаве собраны результаты о съюрективных изометриях равномерных пространств ка хаусдорфоЕых коыпзктах. Эти результаты. носящие общий характер, применяются в главах Ш и 1У к конкретно пространствам аналитических функций.

В формулировках основных утверждений исдользувтся следуэдсе >1означения:

I) X - хаусдорфов компакт,

И) Т - шожество всех комплексных чисел/ обладающих единичным модулам,

Ш) А - равномерное пространство на ЗС . т.е. замкнутое подпространство стандартного пространства непрерывных коаплексно-значных функций на X , нормированное через

а|| = тах{ ||<хи : хеЖ ] при |еД,

IV) У(А) - граница Шоке пространства /\ ,

V) Р(А) - множество всех пик-точек пространства А ,

VI) Зэ А - множество всех линейных операторов, отображающих изометрически Д на себя.

Пусть V обозначает некоторое подмножество компакта У1 . Введем обозначения:

п Уу(А)=У(А)Л V , Ру(А)=Р(А)л1/,

lli) для каждого TeJsA обозначаю множество

YcA)xnK:feAv]

через Y'(A) , где А^ = [х: хеУ. ,Т{м=о},

tV)PvT(A) = P(A)nYvT(A).

Определение I. Называю множество V.l/cTC , разделяющим для Л . если дгя каждой точки У из YV(A) и для каждой точки у из Yy(A)\{x) существует такая функция | из А , чтобн

В первом параграфе доказана теорема I, являющаяся основной в этой главе.

Теорема I. Пусть А является равномерным пространством на Х. Предположим, что V такое разделяющее для Л множество, для которого

YJ(A при Te3sA . Тогда, если ТеЗьЛ , то суще-

ствует такая пара функция (oi ,*Г), для которых справедливо:

а) Об отображает

ТСЛ) вТ ,

б) *Г отображает YVT(A) в YV(A) ,

B)Tf(X) = Ot(X)f(T(X)) длявсех (X, f) € YVT(A) х А ,

г) Об и единственны для Т .

В действительности, в первом параграфе сформулирована и доказана теорема I', обобщающая теорему I на случай двух пространств.

Отметим, во-первых, что идея рассматривать часть границы Шоке в подобных утверждениях хорошо известна: множество точек пика

Р(А)

использовалось в работах ( [ij ,стр.8,10), [2~] ; подмножество множества РсА) , не зависшее от Т , - в работе ( [i] , гл.Ш); подмножество множества Р(А) , зависящее от "Г в статье [з] . Во-вторнх, пространство А у имеет своим аналогом прсстран-

ство В0 - замкнутую линейную оболочку многочленов в пространстве функций Блока в единичном круге из С . Заметим, также, что отмеченные исследования проводились в конкретных пространствах и конкретными способами. Таким образом, в теореме I эта идея реализована в общей ситуации, причем особое значенио в ней я отдаю свойству единственности.

Во втором параграфе доказываются предложения I и 2, для формулировки которах нам понадобится следующее определение.

Определение 2. Цусть А - равномерное пространств на X . Называю множество У , 1/с Ж , допустимым для. А , если для каждой точки X ИЗ УусА) и для кагдой точки у из Ус /\) ч {х} существует такая функция | из /\ , чтобы ||(Х)| ф I |(1р! •

Предложение I. Пусть А - равномерное пространство на Ж . Предположим, что V такоо допустимое множество для А . для которого зря ТеЗзЛ . Тогда, если Те Ъ'Л . то существует такая пара функций (Об ¿С), для которой

а) 06 отображает ) вХ и об непрерывна на

X (Л).

б) Т отображает А) в Уу (А) и Т непрерывна на

»

В)Т?(Х)=0С.(Х)|(Т(Х)) для всех (Х.|) еУ1<Л)х А,

г) Ой и Г единственны для~Т* •

Ппедложение 2. Пусть А - равномерное пространство на 1С . Предположим, что V такое допустимое множество для А . для которого

РуТ(А)*0 праТе^А

. Тогда, если ТеЪА , то существует такая пара функций 106,1'), для которой:

а) 06 отображает РДЛ) вТи об непрерывпа ка Р^ С А) ,

б) "С отображает ^Т(А) в 1у(А) и Т непрерывна на

ГОД)

в)Т|(Х) = 060<) "для всех (Х,|)еРуТ(Л)хЛ,

г) 0£ и единственны для "Г .

Относительно предложения -I сделаем следующий комментарий. В случае, когда А содержит константа и разделяет все точки из X , существует хорошо известное утверждение ( [7] ,стр.208), относительно которого в ( [2] , стр.10) сделано замечание о том, что ого могно обобщить в классе пространств, содержащих константы путем ослабления требования о разделении всех точек аз ТС. Предло-жензз I представляет собой: во-первых, обобщение названного утверждения при помощи дальнейшего ослабления свойства разделения точок, в классе пространств, содержащих константы; во-вторых, новый результат для пространств, не содержащих констант.

Относительно предложения 2 заметим, что существует подобный результат ( [2] ,стр.II) в том случав, когда Л содержит константы и разделяет все точки из "X .

Вторая глава охватывает параграфы §§3-5.

Во второй главе доказывавтся результата об изометрических свойствах пространств медленно растущих голоморфных функций в шаре, а также некоторые вспомогательные утверждения.

Основное в параграфе 3 - это определения классов весовых функций:

I) представляет собой класс всех таких вецественнознатах функций р , определенных на С.0,1], которые непрерывны и неотрицательны на [.0,1],р(*1) = 0 , таа{р(Х) :Х&[0,41]=^ и существует некоторая последовательность { Xj: ¿=4,2,...} , стремящая-

ся к I, чтобы р(Ху)>0 при ^»1,2,,... •

и р монотонно убывает на

иОЧЕ^р: реТ и рсх)^.р(х1)Гр(Хг11"Г щ» 0<XJ<X<XJ<4, где у . определяется из соотношения

К') ре%лСг(0,{) , р(Х)>0 при Х£(0,1) и

(Елрсх)}" + (í*■x)^l(ínp(X)У¿0

при Л £(0,1)} •

В этом параграфа рассматриваются некоторые операции, регуля-ризирующие класс 1Г , отображая его в К' , и класс ^ , отображая его в класс .

В четвертом параграфе обсуждаются пространства медленно растущих голоморфных функций в единичном шарэ В* из С, п>1 с весами из класса ^ .

Отметим следующие обозначания:

I) =шах{ ||(г)| : 121 = ?:},

Ш р(2)=р(121) при ре^ И геЬ" ,

Ш) 1|Лр=5ар[ р(г) ||(2)|: 2еЕ>"} = 5ир1 р1г)М(ш : ге[о,{)}, для голоморфной функции | на В" и при р е'Г .

Определение 3. Пусть р . Тогда

а) определяют Ар как пространство всех таких голоморфных функций 4 на □ , для которых

б) определяют Яр как подпространство пространства Др ,

именно

Яр={}: f еДр , Ùrnp(z)Ml(Z)=o}.

Отметим, что пространства Ар и Яр при реХ и п = 1 рассматривались в [9] , а литература относительно пространства, тем или иным способом связанным с Ар или Яр , очень велика и по объему, и по разнообразию; чтобы подтвердить это , укажем на обзор [ю] .

[¿¡Rubel Х.А.,Shields A.I..,J.Austral.Kath.Soc.,1970, vol. 11,12 3, pp. 276-280.

[io] Шведенко C.B., Классы Харда и связанные с ними..., М.,

ВИНИТИ, 1985, Итоги науки и техники, сер.матем.анализ,т.23.

Заметим, что при помощи стандартных схем я принципа максимума модуля для голоморфных функций можно показать (см.. например. [ II] ), что при р е'Х к n 1 пространства Ар и Ар являют-

ся банаховыли.

Теперь приведем оонозннэ результаты четвертого параграф

CV

Предложение 3. Пусть р е Я . Тогда существуют такие функции q_ и , с^^Йц , C¡t/ , удя которых справедливо:

а) (Ap,Míp)= ( Да , ¡¡'¡Ц ) . т.е. Лр и А^ совпадают как множества функций и II |йр - И |И^ для каждой | из Ар •

б) (Ар, 8 • !lp j , l-J*) .

Предложение 4. Пусть р G^lt . В таком случае, f е Ар тогда и 0 ¡ fin

только тогда, когда Í голоморфна на D и при этом произведение

р ^ продолжается непрерывно на замкнутом шаре В" .

Подчеркнем, что новизна в предложении 4 состоит в утверждении о принадлежности голоморфной в В" функции | классу Ар для peff в том случае, когда произведение р| можно непрерывно продолжить на замыкание В .

Заметим также, что предложение 4 позволяет определить пространства Ар и Лр при р е^ , единообразным способом при помою нового определения 4, эквивалентного определению 3.

Пусть Ж" обозначает один из двух компактов: шш Ё> - замк нутый шар, или б и - стоун-чехская компактифшсация открытого шара и .

Определение 4. Пусть pe^lf . Определяю

как пространстве

всех таких голоморфных функций j- на В" , для которые ut'-HnBtíae-ние р | обладает непрерывным продолжением на

"К.

[il] ¿aderaos J.M.,Cltmie J.,Рошаегепке Ch.,

J. reine vmd engow. Math.,1974,vol. 270,pp. 12-37.

Таким образом, заметим

а) 2Тр = Лр , при р e°lt ;

б) = , пР*Т-Бп,реГ .

Определение 4 используется в третьей главе.

В пятом параграфе собраны результаты, имеющие, в основном, технический характер. Отметим только, что £ этом параграфе вводится оператор /\т ~ I + ^ R „ где R. обозначает, как обычно, оператор радиальной производной, а I - тождественный оператор.

Основным утверждением относительно оператора Ат является предложение 5. • '

Предложение 5. Пусть i , р и | голоморфна на В . Тогда t

а) fi2) = J mf^f toil при 2 6 В",

б) тогда и только тогда, когда 6Ар .

Третья глава посвящена описании всех изоматрнческих. изоморфизмов пространств Ар и Лр (иди, что то ае, ).

Введем обозначения: i)1l - группа унитарных преобразований С" , И) JUUB") - группа биголоморфкых автоморфизмов единичного шара В" из С ,

Кб) гЪ) = (1 - iy^Ojfri 1 - < 2г"Vo)»"1 при г £ В" , где

Y e Aut( В") ,

iv) для (jlyU) еЧГ/ U определяю оператор при помощи соотношеаяя (^:Сц)(|) = jii|«>U, ., .при р.

V) рч(Х)«(1-Х*)* при X 6 ['0,13 , где 0<{=сшЬ

Основные результаты третьей главы представляет собой теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Пусть р . Тогда

а) если р.(. ■' £ >о| и если Те , то существует такая единственная парг (е~Тх % , для которой

Т{ = ¡1 И при { 6 %р ,

б) если существует такая Г из Зь^р , чтобы

Т4{уиСа : (/1,1Х)ёТу V. } , то ре[р*:Ьо},

в) если Ь >0 к 1 е Лз с^р^ , то существует такая единственная пара (у-1з V) е~1Г* , для которой

при |б£р.

Теорема 3. Пусть р и С^, обе из*^. Тогда, если 2-р и изометрически изоморфны, то р =■ ^/) •

Теорэма 2 доказана в § 6; тэорэма 3 доказана е § 7.

Отметим, что пункт в) теоремы 2 з случае П = 1 доказана в ( [2] , гл-1У). Основные результаты третьей главы опубликованы в работе автора [ 2~] .

Четвертая глава посвящона изучении съкректзвных изометрий пространств голоморфных функций с медленно растущими производными

3 восьмом параграфа рассматривается пространства функций одного комплексного переменного; т.е. случай Л =1 .

Для того, чтобы сформулировать осноеной результат, нужны следушциэ обозначения:

I) пусть ТП фиксированное натуральное число. Через £$ при 5 йоо обозначается 1Т) -мерное комплексное пространство

С ГЦ *

, нормированное нормой

= ( и*'/)5 ПРИ

II \х/\\„ = тах [ || •• \ ±/ < т } , где ы = е€т;

Li) если f голоморфная функция на , то через irfl(j) обо— значено (fio), f'СО), ..., f ""'(о) ) , где fio) = f (0) , а | ' (О) -это значение j -ой производной | в нуле, j4 m-1 ;

Гц) Ä)p - { f : f,m)£ A)p ] , где p etf , m > 1 ;

iv) Ä£,s = í Alp , II ) . где при p e°]í, m» 1.

В этом параграфе основным результатом является теорема 4,

Теорема 4. Пусть Тогда, вили Те Is Ар, s .то

а) отображение f^ ( f) •-» принадлежит Ъ С s ,

б) отображение | ^ f—Ml f f^ принадлежит где f £ .

i Отметим, что;при p £ { pt : ^ ^ О j , m = 4 теорема 4 доказана в работах [ з] , ( [ 2] , теорема 7) ; при m Я и р

J , теорека 4 сообщается в работе автора [ i] .

Заметим, что содержательность пункта б) теоремы 4 определяется теоремой 2. В связи с этим укажем на обсуждение теоремы 4 в работе [4] в том случае, когда р(х) = 4 - X и m = 1 .

В девятом, последнем, параграфе рассматриваются пространства функций нескольких комплексных переменных, т.е. случай П > 1 .

Введем обозначения, в которых р e'ÜT' :

i) Üpp={f : ftfvAp¡ ,

il) lip^íi-íp',M¡p/J , гдо И An flip при \ el-¡pP,

Ш) tip^( Lf, ¡i-ü^) , где llf l|í°)f + íHf Ip при e LipP.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 5. Пусть

рЯо.

. В таком случае Те Js Up тогда

я только тогда, когда ЛпT^eJsAp

Теорема 6. Пусть ре^^ • Тогда для каэдой изометрии I из Is tip существует такая единственная пара (Ji, для которой Tf - J4 ^ О U при ^ £ Lip

Автор благодарен профасеору В.И.Гаврилэву за постановку задач и ¡юотояапов внимание к работа.

• fedora автора по теме диссертации

1 StRnerr M.jlaometrical automorphisms for function spaces of Lipвchit2 type, 5-th International conference on complex analysis and application with syiaposiua on generalized functions, Tama, Sept. 15-21, 1991, Sunsnaries, p. ЗЭ.

2 Станэв M.A., Сиороктивяые иземетрии банаховых пространств медленно растущих голоморфных функций в шара, Доклады РАН (а печати).

Подписано к печати12ЭЗ г.

Отпечатано на ротапринте в Формат бумаги 30x42/4.

Производственном комбинате Объем •

Литературного фонда . Зак. Тир. 100