Строение групп автоморфизмов кэлеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия наук СССР Сибирское отдаление КпСТИЭТ ЫАТЕШШ

На правах руишяся У^С 517.5

ЧШК ЕМ/Л БОШЗОБНА

СГГОЕШШ шш ЛМОМЭШШШ КЗШОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ 01,01.01 - г.этег.яипвскнй анализ

Автореферат диосзртащщ на соесгкяпэ учелой стеазии кэндичата фязяет-гагст.атшосгсгзг наук

Новосибирск - Г585

/

Работа Бкполяена б Новосибирска., государственном университете шшш Леншского коысоколн

Научний руководитель : Доктор йжзико-тгештическюс наук,

профессор В.М.ГатьдштеЕв

Официальные одпокоити : доктор физнко-штоштиескшс наук

М..Я. Агранове зоы

каздццат ршжо-штештлчоскго: наук В.Б.Ь5аренич

Еедущая организация - Красноярский государственный университет

Заздага диссертации состоится " "_„1589 г.

■в^__ ^ часоз на заседании специалшврованного совета

К СС2.23.02 в Институте математика СО АН СССР ( Новосибдрок, Ункверсиа-втский проспект, 4 )»

С диссертацшй могло ознакомится в бвйякотека института. Автореферат разослпн "___1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук

.Е.В.Иванов

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЕОТН

Актуальность теш. Изучение х^упд преобразований геометрических структур является классической задачей матевдтлки, восходящей, по крайней мэре, к Б.Риману (лекция "О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии", 1854 г.), Уао начальные ш-ги в данном направлении дали такой фундаментальный результат, как построение юдоли пространства Лобачевского в единичном круге, основанное на сохранявших метрик Пуанкаре комплоксно-аналитических изоморфизма^. Это был первый факт, демонстрирующий взаимосвязь комплексных и метрических преобразований,

В настоящее время теория групп преобразований превратилась в одну га наиболее красивых ветвей анализа и ге ^метрия [I], Бурное развитие указанного направления сззязано в пер-вуо очередь с изучением галеровых многообразий, геометрическое строение 1соторых тесно связано о аналитической (например, комплексной) структурой.Существенной частью исследований становится использование геометрических и аналитических инвариантов той или иной группа автоморфизмов. Последовательное изучение инвариантов, обобщающих расстояние Пуанкаре, привело к открытии метрики Каратоодори [2], формы и метрика Берпиана, шперболическ их объемо-. Хорошей иллюстрацией результативности аналнтико-геомвтрического подхода служит, например, следующая теорема Мааусимы: алгебра Ли инфшлтезп-мальных изометрий компактного многообразия Кэлера-Зйншюйна с ненулевым тензором Рлччн есть вещественная форма алгебры Ли голоморфных векторных полей.

данньй подход в теории грули преобразований продставлен в работах многих зарубежных ( Х.Каратеодори, С.Бергман, Е.Кобаяси, л.йно, А.Лихяеровгч, А.Картан, В.Кауп, П.^киа) и советсыэ:'( Э.Б.1л1ЧСерг, Д.Б.Ллексеевсгй, 'С.Г.Гждшхч, В.Ц.Г:1Чвв и др.) математшсов.

¡.¡етодкка псследовзнгл. Работа основана на применении методов комплексного , алгзбраичэской и дифференциал-н01'. геоме'.^пи,

Ие.гь габот". А^сс^таш'-Я лосвяхека рьзЕП-гив е"гг.нт::ко-гсо::.е?р::чес:-:огз повода в теории грулп г.рессргзозаки!'., поз-

и 4

волшцеаду получать новые варианты известных теорем Ш.Кобаяся, А.Картава, ЛЛихнеровича.

Научиад новизна;» В диссертационной работе рассшг: риваются задачи из теории автоморфизмов р.з-ановых и комплексных структур, Еоэникаадяв при обобщения теорем конечности для таких Гйуял. Получен критерий сопряженности компактной группы изо-метрай гаогообразия неположительной кривизны с подгруппой евклидовых вращенЕЙ пара. Усиливается один результат Ш.Кобаяся о строений шфинатазш/альных автоморс|изшв многообразия Берг-ш. Получена тоореш о дискретности сохраняющей объемы группы авуомор^ааков шлшктного комплексного многообразия И С положительным классом xlem с,{Н)>0. Указан г^вый вариант тоо-рамк Картаьа об итерациях голоморфных векторчТ.ункцкй, основанный на замене полноты п о Каратеодори условием специального psк -гсчерпания. В кзчоотво проторения получен критерий сюрьактивности д ля голоморфного отображения» индуцирующего изоморфизм старшей группы гомодоглй. Рассмотрены обобщения одно Й теоро;.щ конечности Лихнеровича и классического результата Картшт-Каратеодори о биголошрфазьах с неподви:.шой точкой.

Практическое к теоретическое значение. Работа носит тесре« тическкй характер. Результаты и методы 1/.огут быть полезны в исследованиях по геометрической теории функций, теории групп дрзобрззовакй: и распредалекия з качена": ьногомернкх отобрало няй, дифференциальной и алгебраической геометрии.

Аптюбацкя работу. Результаты диссертации докладывались на П Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные ураянения" ( п. Черноголовка, 198? ), на Всесоюзной школе-соизшро "Коьяшексннй анализ и штештическая физика" ( г.Крес-ноярск, I2B7 ), на семинаре "Геометрические вопросы теории функций" в Институте ьатенатяки СО All СССР, на областной хате--1зт1гческс)1! конференции г. Омска ( IS87 ), на Всесоюзной конференция молодых ученых в Ш7 ( I&E7 ), на школе-семинаре ш-лод^х учыых Сибири и Дальнего Востока в Институте математики СО АН ССС? ( 1287 ).

Публика.л:. Основные результаты диссертации опубликог*яы в работах [5-10^ .

0Ого:.; тзботц. Диссертация изложена на 64 страницах и состоит из введения, трех отав и списка литературы из 65 неямено-

ЕЗНИЙ.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Первая глава носит вспомогательный характер.В первом параграфе главы II рассматриваются компактные группы изометрий трехмерных многообразий неположительной кривизны. Использование аналиткко-гесмзтрического подхода позволяет решать вопрос о сопряженности данной группа о подгруппой эвклидовых вращений шара.

ТЕОРЕМА II.I. Пусть Г -компактная подгруп: л группы сохранявши ориентацию взомэтр'З! пара Е? с полной рикановой метрикой ¡J неположительной сегапоняой кривизны. Тогда Г солряже-на с подгруппой Г0 <э Ev3,

СЛЕДСТВИЕ. В условиях теоремы любая конечная группа G сохраняющих ор лен тащи изомзтрий шара (В5, ^ j сопряжена с подгруппой в Е^3.

Таким образом» фактор-орбифодд В'/С ( хж0 G из следствия вида ) устроен таксе 9 как стандартный фактор В3/О. , где Q -a£vs о Поэтому теорема II.I демонстрирует яесткость полного риманова многообразия неполояят&яьной крэтизнн дта? факторизации по конечным группам изометрий»

Остальные параграфы главы II таккэ поевдаояа теоремам жесткости в классическом случае, когда группа прэоС "азозаяпй состоит из бит ломорфнкх автоморфизмов комплексного многообразия с дополнительными предположениями о его метричасксм строении»

Как показал И.Кобаясп [i, с» IOS] , комплексное кэлерово многообразна с неггульмерной комплексной группой Ли биголоморф-ных изометрий обладает всюду вырожденной кривизной ñrrea. В § 2 получено следуэдое усиление этого результата»

TD3P3.ÎA 11.2« Пусть Ñ -связное комплексное мюгообразяа п голок^рТное векторное пате V i С на AÍ являзтся внфЕШттози-мзльным зтогарйкзмом íoркк оСъога ч, гласса СА » Тсхда тензор Kif ï вссду вкротдон.

GT.mCTDSo Пусть голоморфное векторное поле Y оставляет инвариантной форму объегт, тензор Риччи которой энакоопреде-лен хотя в одно;' точке. Тогда Уз О-

Поскольку тензор ^гччи формы объема Т« -злеровой метрики ^ совпадает с кривизной Риччи ía^ для û , то в утвор-де-ние Улбпяси достаток'о требовать только, чтобы локальная ко:."-

лексная группа Ли ( не обязательно состоящая из гаобальных автоморфизмов ) сохраняла форму ,

Свой результат Ш.Кобаясй применил для исследования вещественной алгебры Ли autftM бергкаловс шогообразия И * Он показал, что на комплексном шогообразия М с невырожденной метрикой Бернина векторное поле У 4- О и JX не шгут лежать в cuciftM одновременно при условии знакоопределенности тензора P.ic. е)м хота бы б одной точке f I, с. 108» теорема 1.3 ( с )] . В дачсстве приложения теорем! 11.2 легко устанавливает? атоя» чао указанное условие исто опустить.

ТЯ)Ш.1А II.3. Пусть И - связное комплексное многообразие § невцрсэденной метрикой Бергмана. Если векторные поля X § ЭХ лежат в cutt^M одновременно, то X £ ¡7 •

Б настоящее время имеется шога результатов о конечности С или дискретности ) группы автоморфизмов компактного шогообразия о ридгановой ( дай эрмитовой ) структурой отрицательной кривизны, Б ком пдексном случае Ш.Койаяси доказал, что конечна группа М компактного комплексного шогообразия А/ с отрицательным первым классом Чзени [I, с. 112 *]• Если комплексное шогообразие компактно, но имеет эллиптический тип ) v нвпршйр, обладает полонительншв первым классом Ч?.еня ), то группа биголошррзмов или язометрий кэлеровой метрики может быть достаточно богатой ( комплексное проективное пространство и комплексная квадрика ). Тем не менее, в § 3 главы II классический подход развивается именно для многообразий эллиптического типа. Оказывается, что яесткость здесь имеет место при естественных ограничениях на действие группы преобразований. •

ТВОЕМ II.4. Цусть Н -компактное комплексное многообразие и C%lti)>o , Если голоморфное вэкторюе поло Z на Й

является инйянитезимальныа автоморфизмом непрерывной форш объема ЯГ , то 2.-0 { шшлз словами, комплексная подгруппа Ли в Jui Я , сохранявшая объемы, дискретна ).

СЩСТВИЕ. Пусть ^ KOJ.ai-.KtHO и Cjd) >0, Если метрика Q на fi кэлерова в X, JXе. cwt(£j) , то Хг<?.

Если Ct (Н)>0 , то утверждение о дискретности группы автоморфизмов справедливо при дополнит&чьном ограничении С^Н^ ( Лихкеровкч [З] ). В § 4 результат Лихнеровича обобщается на

?

нежестко влоненнме компактные комплексные подмногообразия

TE0FEIA II,б. Пусть /V -комплексное многообразие о условием Çi(t{)A О и Mtf является нежестко вложенным компактным комплексным подмногообразием n fi . Если Мр'^(М)фо для ящофзт. Z+ , таких, что¡p-qf > dimcM-i я С (НИ®, то группа JuiM дискретна.

S тратърй главе изучаются автоморфизмы и голоморфные отоб- • ра;.:ен.ия кощиексных многообразий с дополнительными геометрическими структурами,, Использование геометрических идей позволяет додать аналоги классических теорем Картава и Каратеодори.

Соглернр теорема Картаяа, для голоморфного отображения $ ' И -—--f/ii полного по Каратеодори связного гиперболического многообразия M выполнено одно из двух утвервдений [4 ] :

1. для любого компактного подмножества J с M и некоторого ]UA с Z+ справедливо равенство

2. существует подпоследовательность jilj . номеров, для ico-торой сходится к голоморфно:^ отобраненш F:M—>M равномерно на компактных подмножествах; при этом либо F б

€ Âti M , либо F всвду вырощено. С здесь к ~ая итерация отображения / ).

Как показано в теореме ШД, условие полноты можно замен нить на условие специального psh- -исчерпания. Зто дает новый класс многообразий, неполных по Каратеодори, но удовлет-воршвдх заюточениз теоремы Картана. НзпоМнгм следугиий простой факт из теория функций на плоскости: инъективное аналитхн

ческоо отсбракеняо j : К-s» К кольцевой области биголоморфно,

если оно индуцирует изоморфизм Ht (К; Zj—Z), В качестве приложения теоремы Ш.1 получено многомерное обобщение данного утверждения :

СЩСТЕ1Е ТЭ0РН.1: III.2. Пусг", Ç(x) -строго плюрпсубгар,вдт„ ничеокая функция класса' Сг на многообразия Штейна Й t'-Предположим, что для некоторого Я б Г множество

р связно а относительно компактно в ti , nj *чег4 WJH^IjtO • ¿ели f(a.j не имеет критических точек не границе ЯЛд, » то любое галг.:ор?ное инъектиадое отоб_ знекке/: ц.

индуцирующее изоморфизм f t : Zj является бнго-

ï С Л«

дог/срс'ным автоморфизмом области .

Известно, что годоморйное отображение -— 2) огранк-

■¡ен."-!: области 2) с СЛ' биголоморфно, если / идает неподвижную точку и все собственные значении дифференциала

(а'е) леглт на единичной окружности ( Картан, Каратеодори). Оказывается, что в случае инъективного £ монно установить близкий результат для более широкого класса многообразий» до-пуснавдих нетривиальные голоморфнье -формы ( в частности, для облаете;' 9е С конечного объага ),

•ТЕОРИ/А ¡11.3. Пусть {■' М —»• М _ голоморфное инъективное отображение связного комплексного многообразия Н , имещеа неподвкзнуэ точку х„еМ .Если ld.it и М

допускает голоморфную 15" -фор^у с условием е)*о , то образ {М} стобрагяния £ всюду плотен в М 0

Существенной частью доказательства теоремы Ш.З является применение принципа яеподвшной точки Лерэ-Шаудера к линейн; -г у отобранению —*Н гильбертова пространства голоморфных ¡1 -форм.

Указанный подход позволяет также принести теорем Картана -Каратеодори на компактные комплексные многообразия о нетривиальными голоморфными (п,о) формами»

ТБОРЕМА Ш.4. Пусть -¡- •• Иа—мероморфное отображение связного компактного комплексного многообразия М , име;.4ее неподвижную точку х* е И . ЕслиМ^ и.М допус-

кает голоморфную (п, с) -форму ИГ с условием , то

/ бимероморфко.

Автор приносит благодарность своеьу научному руководителю В.Ы.Гольдитейну и Ю.Г.Решетня^ за помощь и подперяку в работа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кобаяси Ш. Группы преобразований чв дифференциальной геометрии. - К.: Наука, 1966 г.

2. СалоЛкинЛсчи С. и{>ег с1а$ ¡ек»тше/и, 4и

аггаШшЬп, ГилШеп*п, урп Ьтр^ехеь 1ех<хпА(ъ-

еик!I// тыь. Лпп.-тг.у.эз.-к«-ы-

3, Jicknetemu J. Г&мШь &Я Me Venn et ei pxtméu tlan de Chïia, HO, Vif/, ûeom. - Ш 7.-V. L - P.

2 2 4».

4* Càtian №. 5иг ¿es j-oneiionti de pùcsttu^s êùJ mnpBcz. d'ittïcUion, des itansjo^m^-ttons iniétimies d'un, domaine 6oini // fflaHt. X. - -/ЯЗИ. -34,-rp teo-ччъ.

JaöoTK автора по тема диссертации

5. Чййая ?„Б0 0 компактных группах изометрий» сопряженных о яодгвушюй ортогональной группы // Сиб„ мат. куря. - IF87, ~ Т. 28, Ü 4„ - С» 207~209о

6в Чинак Р.Бо 0 группа автоморфизмов проективного мяогообрэт зга // Дифференциальная геометрия многообразий фигур ; 1.кшг/з„ сб. научн» тр. / Калинкнгр. ун-т. - Калининград! . 1287. - Вид. 16. - С. II2-II4. '

7. Чинак Р.Б. Автоморфизмы эрмитовых многообразий неподоките« льной кривизны // Всесоюзная школа-семинар по комплексному анализу и математической физике, Красноярск, IS37; Таз. докл.- Красноярск, 1^8?, - C.I27.

8. Чгаак Р.Б. О действии комплексных групп на Риччз - неположительных многообразиях // Бсесоюзная конференция по геометрии "в целом", Новосибирск, ISS7, - С.12Э0

9. Чшак Р.Е; Группы автоморфизмов кзлеровых многообразий, сохраняющие элемент объема // Конференция молодых ученых Сибири п Дальнего Востока, Новосибирск» IS87; Тез. докл. -Новосибирск, 1287. - С. 101-102,

10. Чинак Р.Б. Йнф15штеэималз.нне голоморфные автоморфизм.;, сох-раняпяие элемент объема / -М., 1388. - Деп. в БШИТИ от II.04.S8, it ££2Б-38£. - 8 с,