Строение групп автоморфизмов калеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия к а у Слбирское отдаление ИаСТИЗУТ ЫАТЕШИКИ

к

СССР

На правах рукописи УДК 517.5 .

г

чшак одгд бошсоша

СТРОИЛ® ГРУПП АШШОШЗЮВ КЗШОШХ ШИООБРАЗШ 01,01.01 - ште?,этический анализ

Автореферат дяссзрташш на сокскаясз учзной отелена каяднтата физийО-^этокатЕчэскюс нгщ?

Новосибирск - 198?

Работа выполнена б Новосибирске;., государственном университете имели Леншского комсомола

Научный руководитель : Доктор физикс^штематическкс наук,

•профессор В.М.Гольдштейн

Официальные оппонента : доктор физико-штегатических наук

М.Л.Аграновский

кандидат физико-математических наук ; - В.Б.Маренич

Водущая организация - Красноярский государственный университет

Завдта диссертация состоится °_"_1989 г*

в^_.__часов на заседании специализированного совета

К.002.23.02 в Институте математика СО АН ССС^ ( Новосибщюк8 Университетский проспект, 4 ).

С диссертацией мюлю озната-щться в библиотеке института. Автореферат разослан "___.1989 г»

Ученый секретарь ■ специализированного совета

кандидат физико-штеттических

наук I г Б.В.Иванов

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Изучение групп преобразований геометрических структур является классической задачей штештжи, восходящей, по крайней мере, к Б.Рга/аку (лекция "О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии", 1В54 г.). Уео начальные саги в данном направления дали такой фундаментальный результат, как построение модели пространства Лобачевского в единичном круге, основанное яа сохраняющих кетршу Пуанкаре котлплоксно-аналитичеоких изоморфизм^. Это был первый факт, демонстрирующий взаимосвязь кошлекснкх я метрических преобразований,

В настоящэа время теория групп преобразований превратилась в одну га наиболее красивых ветвей анализа я ге тетрил [I], Бурное развитие указанного направления связано в первую очередь о изучением кэлеровых многообразий, геометрическое строение которых тесно связано с аналитической (например, комплексной) структурой.Существенной частью исследований становится использование геометрических и аналитических инвариантов той иш иной группы автоморфизмов. Последовательное изучение инвариантов, обобщающих расстояние Пуанкаре, привело к открытию метрики Каратоодори [2], формы и метрика Берп.ана, гиперболическ их объемо-. Хоропей иллюстрацией результативности аяалитяко-геоьвгрического подхода служит, например, следующая теорэга Мацусимн: алгебра Ля инфинптези-шльных изомегрий компактного многообразия Кэлера-Зйнштойка с ненулевым тензором Риччи есть вещественная форма алгебры Ли голоморфных векторных полей.

Даннкй подход в теории груля преобразований предотавлен в работах вдогих зарубежных ( Х.Каратеодори, С.Бергман, Б.Кобаяси, К.Яно, А.Лихнерович, А.Клртаа, В.Кауп, П.Тукиа) и советских '( З.Б.1;шсерг, Д.ВЛлексеевс-й,'С.Г.Гшиикхя, В.!'.Гглев к др.) гатекших®.

Методика исследования. Работа основана на применении методов кетлкексного алгзб^зпчэской и дифференциальное геоце1. оии.

гдйзтк. ¿псс^тация лосвягзна развитии е—злитпхо-гсо!.'.бтр:гчсс;:ого полгода в теории групп пресбразозани;!, поэ-

валяющему получать новые варианты известных теорем Ш.Кобаяси, Л.Кбртака, Л,Лихнвровича.

Научная новизна» В диссертационной работе рассьв.риваютоя задача из теории автоморфизмов р.з/ановызс и комзлексных отрув-аур» воэнлкаищйе яря обобщений теорем конечности для таких групп. Получен !фитвркй сокрягенностя компактной группы изо-метрий ьяогообразия неположительной кривизны с подгруппой ев-гсяэдовых лраденЕЙ пара. Усиливается один результат Ш.Кобаяся о строения лнрнитезиуальных автоморфизмов многообразия Еерг-мна. Получена теорема о дискретности сохраняющей объеш груп-ш пвгомор$изшз коишктного когякексяого шогообрезия И с положительным классом Чйеия с1(М)>0, Указан г^вый вариант теоремы Картака об итерациях голоморфных вектор-чТункций, основанный на за:л2на полнота л о Каратеодоря условием специального pslv -исчерпания. В качестве приложения получен критерий сюрь активности д ля голоморфного отобраяения, шдуцирукцего изоморфизм старией группы гомологи?.. Кассштреян обобщения одно Й террекы конечности Лихнеровича и классического результата Картана-Каратеодори о биголоморфизгах с неподвкшой точкой.

Практическое и теоретическое значение. Работа носит теоре-тпческий характер. Результаты и методы иогут быть полезны в исследованиях по геометрической теории функций, теории груш преобразований и распределения з качений шогоглернкх отображений, дифференциальной и алгебраической геометрии.

Адресация рзботн. Результаты диссертации докладывались на УI Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дкШфенциалъ-кыа уравнения" ( п. Черноголовка, ÏS6? ), на Всесоюзной тхоле-сеглшаре "Комплексный анализ и математическая физика" С г.Красноярск, 1287 ), на семинаре "Геометрические вопроси теории функций" в.Институте катекатики СЮ АН СССР, на областной ште-глтическоГ конференции г. Омска ( IS87 ), на Всесоюзной конференции молодых ученик в HI7 ( ISE7 ), на школе^семинаре колодезе учмше Сибири и Дальнего Востока в Институте математики СО АН CGC? ( 1987 ).

Публика^/к. Основные результата диссертации опубликш^ны в работах [5-ю].

Обгоц таоотц. Диссертация изложена на 64 страницах я состоит из введения, трех отав и списка литературы из 65 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Первая глава носит вспомогательный характер. В первом параграфа глаза II рассматриваются компактные» группа кзометрий трехмерных многообразий неположительной гфивизны» Использование аналиткко-гесметрического подхода поззоляег решать вопрос о" сопряженности .ценной группы с подгруппой евклидовых враяений шара.

TEOF0.ÎA II.I. Пусть Г -кошактная подгруп: л группы сохра-

>

няэщис ориентацию изометр"й иара В с полкой р ¡каково" метрикой 2 неположительной сеютонной кривизны. Тогда Г сопряжена с подгруппой G 4Evx.

СЛЕДСТВИЕ. В условиях творога лкбая конечная группа G сохраняющих ориентацию кэомотрий шара g) сопрагена с' подгруппой в E\/i.

Таким образом, фактор-орбофодд ( 1до G из след-

ствия вьше ) устроен таксе, как стандартней фахтор BJ/£1 „ где 0 Поэтому теорема ИД демонстрирует кесткость

полного ришнова многообразия неположительной кргоизни дъд факторизации по конечным группам изометрийо

Остальные параграфы главы II такке посвящены теорзг/ам жесткости в классическом случае, когда rpj'nna npeof тазсвадий состоит из <5иг лоулрфнкх автоморфизмов комиексного ьяопзобразин с дополнительными предположен илки о .его кетрическом строение*

Как показал И.Кобаясн [i, с„ IOSJ , комплексное галерово многообразие с ненульмэрной комплексной группой Ли биголоь-г-р?^ них изометрнй обладает всюду.вырожденной кривизной Риччи. В § 2 пслучено следуэщее усиление этого результата,,

TB0P3.ÎA II.2о Пусть H -связное комплексное многообразие л голок^ргное векторное поле H i С на А/ является гнфинитезк-кзльни: зтогарйнэт; .Торг.ъ: оСъш.а ч, macea Сг о Тохяа тензор Ríe í вспду пкроглп:-:.

СЛЕйСТ^ГЗ,, Пусть гслокорТное взкторше папе V оставляет инвариантной форг-у cóbeirv тензор Риччи которой знакоопредз-лен хотя ^н в одкоГ точке. Toraa Y ^ О-

Пос!'.олъ^г тензор формы oûrSî.a ^q злеропой метрики q совпадает с кривизной ?:miî fudj -,-л û , то в утверждении ¡'.обаяси достаток'о требовать только, чтобы локальная ко:,п-

лексная группа Ли ( на обязательно состоящая из гаобальных автоморфизмов ) сохраняла форму Ч:^.

Свой результат Ш.Кобаяса применил для исследования вещественной алгебры Ли ои^М бержакозс многообразия И . Он показал, что на комплексном многообразия М с невырожденной метрикой Берхиаяа <JM векторное пола X 4 О и ЗХ не мохут лежать в cutAfc4 одновременно при условия знакоопределенности тензора Hit £)м хота бы и одной точке [I, с. 108, теорема 1.3 ( о )] . В качестве приложения теоремы II.2 легко устанавливаете етоя, чао указанное условие можно опустить.

ТДЖМА 11.3. Пусть И - связное комплексное многообразие q невырожденной метрикой Бергмана. Если векторнш поля X ц ЭХ лежат в си>ЛяМ одновременно, то Х=0.

Б настоящее время имеется много результатов о конечности ( гаи дискретности ) грушу автоморфизмов компактного многообразия с рдаановой ( хшя эрмитовой ) структурой отрицательной кривизны, В ком пдекснои случае Ш.Кобаяси доказал, что конечна цдулпа Jut Н компактного комплексного многообразия А/ о отрицательным первым классом %ени [I, с» 112*]. Если комплексное ьяогообразне компактно, но имеет эллиптический тип ) ( например, обладает полокительным первым классом Чкеяя ), то группа Сиходоюрхйзшв или язометрий кэлеровой метрики шкет бнть достаточно богатой ( комплексное проективное пространство и комплексная квадрика ). Тем не менее, в § 3 главы II классический подход развивается именно для многообразий эллиптического типа. Оказывается, что жесткость здесь имеет место при естественных ограничениях на действие группы преобразований, •

'Ш1Ш II.4. Пусть М -компактное комплексное многообразие и Ci(N\>0 . Если голоморфное векторное поле Z на Н

является ш&адитвзишльнш автоморфизмом непрерывной форш объеья Я , то Z-0 { иными словеми» комплексная подгруппа Ли в Jui Ai , сохраняющая объеш, дис!фетна ).

СЛЕДСТВИЕ. Цусть А комп_ктно и cjfi) >0, Если метрика Q на ti кэлерова и , то Xs О-

Если С, то утверждение о дискретности группы автоморфизмов справедливо при дополнительном ограничении С^л/Мо ( Лгсшеровнч [з] ). Б § 4 результат Люнеровкча обобщается на

нежестко влонешше компактные комплексный подмногообразия

'J.DQFiLJA II.5, Пусть Н -комплексное многообразие о условием (^(МЙ CI является нежестко влоаенным компакт^ ным комплексным подмногообразием в tf . Если для нцхртршх Pi^-e Z+ , таких, чтоlp-qI> dimcM-t и с ®о группа JuiM дискретна.

В третей главе изучаются автоморфизм и голоморфные о той- ■ раг.окнл, кощлекскых многообразий с дополнительными геомэтра-чесгами структурами, Использование геометрических вдей позволяет довязать аналоги классических теорем Картам и Каратеодо-ря.

Согласно теорема Картаяа, для голоморфного отображения I'.М-—г-й полного по Каратеодори связного гиперболического многообразия М выполнено одно из двух утверждений [4] :

1. для любого компактного подмножества Je. М л некоторого справедливо равенство

2. существует подпоследовательность juj номеров, для торой f^J) сходится к голоморфному отображению F- М равнокерго на компактных подмножествах; при этом либо F &

€ iui М , либо F вевду вироадено. ( здесь -f(lt)- к ~ая итерация отобракения / ).

Как показано в теореме III.I, условно полноты можно замен нить на условие специального psfu -исчерпания. Это дает новый класс многообразий, неполных по Каратеодори, но удовлот-вордащи заключении творе?лы Картана. Hanoton? следующий простой факт из теории функций на плоскости: инъективяое аналипь

ческов отображение j: К-»• К кольцевой области биголоморфно,

если оно индуцирует изоморфизм Ht(K;

В качестве ирилоябния теоремы Ш,1 получено шогомерюе обобщенна данного утверждения :

СЩСТБИЕ T3DPB.1' III.2. Пусг~> $(х) -строго шюрпсубгарвд* ничеокая функция класса Сг на многообразия Штейна Н Предположим, что для некоторого Ле Г множество ,-( ZG tfj р(х) связно а относительно компактно в ft , nj

• 2сли у(х) не имеет критических точек на границе , то любое голс'.:ор?ное инъективное отоб. анение/;^—*//^ индуцирующее изоморфизм : является блге-

" '.«г

Б

.'lOi.cp: ни." автоморфизмом области

Известно, что голоморфное отображение {: 0--— Ю ограни-

мен!^!: области Зс Сг" биголоморфно, если / шлеет неподвиг.-;гук точку Яо е 2) и все собственные значения дифференциала

локат па единичной окрушости ( Картан, Каратеодори). Оказывается, что в случае инъективного f мояно установить близки*! результат для более широкого класса многообразий» до-пускапцих нетривиальные голомор^нке Lf -формы ( в частности, для областей 3 с С конечного объш.а ).

•ТЕОРН/А Ш.З. Пусть i •' М —*■ М - голоморфное инъективное отображение связного комплексного шогообразия М , имеющее неподвижную точку j.eM . Е«ш idttJtlx.^i и М допускает голоморфную L^ -фортку с условием w(xe}t о , то образ £(М) стобракания -f всюду плотен в И »

Существенной часты» доказательства теоремы III.3 является применение принципа неподвинной точки Лерэ-Шаудера к линейнс-!7 отображению —»-H гильбертова пространства голоморфных и2 -фори.

Указанный подход позволяет также пгпенести теореш Картана -Каратеодори на компактные комплексные многообразия о нетривиальными голоморфными (п, о) формами.

TS0PH.1A III.4. Пусть f • Мп—►М*. мерошрфное отображение связного компактного комплексного шогообразия И , име;.дее непсдвккнуо точку х„ в М . Если ¡dti =■ I и М допускает голоморфную (п, с) -фоиГ с условием <Wtxo)40 , то i бимероморфяо. Автор приносит благодарность своему научному руководители В.М.Гольдштейну и Ю.Г.Решетнику за помосп. и поддерану в работа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кобаяси С. Группы преобразован.^ в дйбференциальноИ геометрии. - К.: Наука, 1266 г.

2. Ссьъа-ЫчосЬы С. Uitt das Schmuntclu, Sit _ analiiiitchtn, Funkticntn, von Zwei Lempiextv \ftxandti-

ea hL нтми.Апп.-мч.м.чч.-*™-

3, Jichntuntricá J. lTanH(i ■kíihíexiennei ti pitmiu cía» di Chita, НО, <&//. Geom. ~ i9G L - P.

4« H. Su% Íes fofieticnes de pùcsituxs mua*

êitJ mnfiltx. d'itixcUîon, des izansfcTmn.ttûr,s ¿ibfétémtes d'un, domaine 6 oí ni // TUath. X. - i9iZ.

йботы автора по теш диссертации

5. Чййай Р,Б„ 0 компактных группах изометрий, сопряженных о подгруппой ортогональной группы // Скб„ кат, куря. - If 87, - Т„ 28, JE 4, - Со £07-209о

6» Чинак Р„Б0 0 группа автоморфизмов проективного многообразия // Аййереяциальная геометрия многообразий 4шур ; Межнуз. сб. научи, тр. / Калинкнгр. ун-т. - Калининград, . 1987» - Вш, 16. - С. II2-II4, '

7. Чинак Р.Б. Автоморфизмы эрмитовых многообразий неподойпте^ льной кривизны // Всесоюзная школа-семшар по комплексному анализу я математической физике» Красноярск, 1987; Таз. докл.- Красноярск, 1£87в - C.I27.

8. Чкнак Р.Б. О действии комплексных групп но Ретчи - неполо« .-ктелъяю: многообразиях // Всесоюзная конференция по геометрия "в целом", Новосибирск, IS87. - C.I29»

8» Чинак Р.Е. Группы автоморфизмов кэлеровых многообразий, сохраняыгде элемент объема // Конференция молодых ученых Сибири и Дальнего Бостога, Новосибирск, IS87: Тэз. дога. -Новосибирск, 1287. - С. 101-102»

10. Чинак Р.Б, Инфадитезимальяые голоморфные автоморфизм;, сохранявшие элемент объема / -М,, 1388. - Деп. в ВИНИТИ от 11,04,88, f £606-388. - 8 с,