Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИИ ФАКУЛЬТЕТ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Го од

2 9 ДПР ШЬ

На правах рукописи УДК 517.9

Лобанов Сергей Григорьевич

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского автомобильно-дорожного института.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

-В. И. Богачев________

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Дубинский

доктор физико-математических наук, профессор Я.В. Радыно

Ведущая организация - Ярославский государственный университет

Защита диссертации состоится /7 IгуСс С Л _1996 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании Диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория имени И.Г. Петровского (16-24).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан /7 &с_1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д.053.05.04 при МГУ

профессор Т.П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию взаимосвязей свойств локально выпуклых пространств (ЛВП) и свойств уравнений вида (1) х = га,х),

называемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), относительно векторнозначных функций вещественного аргумента со значениями в этих пространствах.

Актуальность темы. Значение теории ОДУ в ЛВП определяется несколькими обстоятельствами. Прежде всего, эволюционные уравнения с частными производными естественно интерпретируются как ОДУ в подходящих локально выпуклых пространствах функций. Как известно, применение методов функционального анализа к уравнениям с частными производными основано на том, что последние уравнения рассматриваются как уравнения - не обязательно дифференциальные - в бесконечномерных пространствах, элементами которых являются гладкие или обобщенные функции, гладкие или обобщенные меры. В случае эволюционных уравнений полезно сохранить связь семейства решений уравнения с обладающим эволюционным свойством (полугрупповым свойством в случае автономного уравнения) семейством отображений соответствующего "фазового" пространства. Именно это позволяет сделать интерпретация эволюционных уравнений как ОДУ в ЛВП.

Следует отметить также,' что привлекательной чертой теории ОДУ в ЛВП является ее связь практически со всеми разделами линейного и нелинейного функционального анализа. Так, в одной из первых работ по теории ОДУ в ЛВП ' существование решений для некоторого класса ОДУ в пространствах последовательностей доказано А.Н. Тихоновым при помощи широко известной сейчас теоремы о неподвижной точке. Первым применением теоремы Банаха о замкнутом графике стало дока-

Тихонов А.Н. О бесконечных системах дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1934. Т. 41. Т 4. С. 556-560.

- г -

зательство непрерывной зависимости от начальных данных решений однозначно разрешимых задач Кош для линейных систем уравнений с частными производными Теоремы о разрешимости ОДУ в ЛВП тесно связаны с теоремами об обратной и неявной функциях 4, с бесконечномерной теоремой Фробениуса 5, е.

Аналоги классических теорем о существовании, единственности и -непрерывной^ависшости_решений^Ц_ог_^начальных данных в пред-

положении о непрерывности г по совокупности переменных и выполнении условия Липшица по х справедливы для ОДУ в произвольных секвенциально полных ЛВП. Впервые это доказано для квазиполных ЛВП В.М. Миллионщиковым 7> 8. Эти результаты охватывают довольно узкий класс уравнений, но в то же время их невозможно существенно усилить. Дело в том, что для многих ненормируемых ЛВП, в том числе для всех стандартных ненормируемых пространств функционального анализа, гладкость правой части перестает быть достаточным условием разрешимости ОДУ. Даже если правая часть не зависит от (, а зависимость от х линейна и непрерывна

2 Банах С. Operations Lenéaires. Monografie Mathematyczne, I, Warszawa, 1932 (Украинский перевод: Курс функц!опального анал1зу, "Радянська школа", КИ1В, 1948).

3 Hamilton R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser // Bull. Amer. Math. Soc. New ser. 1982. V. 7. N 1. P. 65-222.

4 Robbin J.W. On the existence theorem for differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1968. V. 19. N 4. P. 1005-1006.

5 Colombeau J. F. Sur les équvations différenielles dans les espaces vecto-rieles topologiques ou bornologiques // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1975. V. 20. N 1. P. 19-32.

6 Dubinsky Ed. Differential equations and differential calculus in Montel spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1964. V. 110. P. 1-21.

dx

7 Миллионщиков В.М. К теории диф|>еренциальных уравнений t ) в локально

выпуклых пространствах // Докл. АН СССР. I960. Т. 131. N 3. С. 510-514. а Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Маг. сб. 1962. Т. 57(99). N 4. С. 385-406.

(2) х = Ах,

уравнение может не иметь никаких ненулевых решений или может быть

разрешимо при всех начальных условиях, но не обладать свойством

единственности решений. Экспоненциальный ряд

00

(3)

п=0

в любом банаховом пространстве (БП) сходящийся при всех к

единственному решению уравнения (2) с начальным значением и, даже в пространствах Фреше может расходиться при всех и*о, хотя уравнение (2) при этом однозначно разрешимо на всей прямой для всех начальных значений. В других ЛВП для всех однозначно разрешимых линейных ОДУ решения представляются суммой ряда (3), но не все линейные ОДУ в них таковы: существуют уравнения, не имеющие ненулевых решений, и уравнения, разрешимые всюду, но неоднозначно. Существуют также ЛВП, в которых всякое уравнение (2) при любых начальных значениях обладает не более чем одним решением задачи Коши, но некоторые уравнения не имеют ненулевых решений. Возможна обратная ситуация: в некоторых ЛВП всякое линейное ОДУ (2) разрешимо всюду, но существуют уравнения, не обладающие свойством един-ствености решений. Возможно, наконец, что все линейные непрерывные операторы в ненормируемом ЛВП имеют экспоненту.

Вследствие такой чувствительности свойств ОДУ в ЛВП к геометрии ЛВП останется не гак много утверждений о свойствах ОДУ, справедливых для всех ЛВП или хотя бы для всех пространств Фреше, если исключить утверждения, формулировки которых содержат жесткие огра-. ничения на правую часть ОДУ.

По сходным причинам многие методы исследования ОДУ в ЛВП не имеют аналогов из классической теории ОДУ в конечномерных пространствах. Например, конструкции контрпримеров к теореме Пеано для бесконечномерных пространств Фреше и их сильных сопряженных: во всяком таком пространстве найдется не имеющее никаких решений

уравнение

(4) к = f(x)

с непрерывной всюду определенной правой частью, принадлежащие А.Н. Годунову э, С. Г. Лобанову [12], С.А. Шкарину 10, используют результаты М. Дэя о биортогональных последовательностях в БП, теорему I. Дугунджи о продолжении непрерывных отображений, результаты Ч. Бессаги, А. Пелчинского, С. Ролевича, Зд. Дубинского и других авторов о структуре ненормируемых пространств Фреше, теорему ЕГ~Майкла~о непрерывной селекции многозначных отображений.

После того, как Дьедонне 11 построил для банахова пространства cq примеры двух ОДУ (I) с непрерывной правой частью, одно из которых не имеет решений с начальным условием х(о)=о, а некоторое ограниченное на промежутке (0,1] решение втрого уравнения не имеет предела при t—»0+, запас примеров, указывающих на нарушение некоторых свойств дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью при переходе от конечномерных пространств к бесконечномерным, пополнялся многими авторами (А.Н. Годунов, Е.Э. Пасика,

К. Astala, P. Binding, A. Cellina, К. Deimling, F.S. De Blasi, В.M. Garay, E. Horst, J. Saint-Raymond, J.J. Schâffer, S. Szufla, G. Pianigiani, j.a. Yorke др.). При этом расширялся как набор таких свойств, так и класс пространств, на которые распространялись соответствующие контрпримеры. В случае банаховых пространств ситуация в значительной степени выяснена: для рефлексивных банаховых пространств со слабой топологией справедливы обычные свойства уравнений, для всех бесконечномерных банаховых пространств в силь-

9 Годунов А.Н. О теореме Пеано в банаховых пространствах // Функц. анализ и его прилож. 1975. Т. 9. N I. С. 59-60.

10 Шкарин С. А. Об одной проблеме О.Г. Сиолянова, связанной с бесконечномерной теоремой Пеано // Диф$. уравн. 1992. Т. 28. N 6. С. 1092.

11 Dieudonné J. Deux exemples singuliers d'équvations différentielles // Acta. Sci. Math. 1950. V. 12. Pars B. p. 38-40.

ной топологии и для нерефлексивных банаховых пространств в слабой топологии это не так.

Исследование возможности распостранения на ненормируемые ЛВП классических теорем о дифференциальных уравнениях или контрпримеров к ним представляет значительный интерес в связи с отмеченной выше интерпретацией эволюционных уравнений с частными производными, поскольку дифференциальные операторы в банаховых пространствах функций не могут быть всюду определенными непрерывными операторами.

Цель работы - исследование свойств линейных и нелинейных ОДУ, справедливых для различных классов ЛВП, в частности, выяснение возможности распространения результатов классической теории ОДУ в конечномерных ЛВП на случай бесконечномерных ЛВП.

Общая методика исследования. Используются методы теории ЛВП и бесконечномерного анализа, а также ряд специальных конструкций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором:

1. Построены контрпримеры к теореме Пеано, теореме Кнезера, теореме о непрерывной зависимости решений ОДУ от начальных данных для любого ненормируемого пространства Фреше.

2. Выделен класс ненормируемых пространств Фреше, включающий некоторые подпространства пространства ст[-1,1], в котором свойства всех ОДУ с гладкой правой частью аналогичны классическим, в частности, всякий линейный непрерывный оператор имеет экспоненту; показано, что этими свойствами не обладает ни одно из стандартных ненормируемых пространств Фреше, используемых в функциональном анализе.

3. Получены достаточные условия единственности решений; показано, что модифицированный с учетом этих условий метод компактности позволяет доказывать не только существование, но и единственность решений.

4. Получено обращение метода характеристик: однозначная разрешимость нелинейного уравнения вытекает из однозначной разрешимости линейного уравнения для его "первых интегралов".

5. Доказана теорема о дифференцируемости по начальным данным решений уравнений в банаховых пространствах для производной по системе компактных множеств (введенной Адамаром); эта теорема применима к уравнениям с нигде не дифференцируемой по Фреше правой частью.

6. Установлены различные необходимые и (или) достаточные условия дифференцируемости отображений ЛВП, существования решений, непрерывности решений ОДУ относительно начальных данных, аналитической зависимости решений линейных ОДУ от времени.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применения при исследовании дифференциальных уравнений как обыкновенных (начиная с одномерных), так и с частными производными, а также при дальнейших исследованиях в теории ЛВП и в бесконечномерном анализе, в частности, в исследованиях, связанных со свойствами пространств Кёте, с дифференцированием отображений ЛВП, с однопараметрическими полугруппами отображений.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ по бесконечномерному анализу, по качественной теории дифференциальных уравнений, по спектральному анализу операторов, на семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ, на семинаре лаборатории уравнений с частными производными в МИРАНе, а также в школе по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, 1978).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-13], приведенных в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-

ния и четырех глав, которые делятся в общей сложности на 19 параграфов. Объем диссертации - 168 страниц. Список литературы содержит 127 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана общая характеристика работы, приведены основные определения и обозначения, сформулированы основные результаты работы.

Отображение г из правой части ОДУ (I) всюду в диссертации предполагается непрерывным и удовлетворяющим различным дополнительным условиям. В первой главе множества этих дополнительных условий не включают предположения о дифференцируемое™ f в каком-либо смысле.

Как хорошо известно, в конечномерных ЛВП и без дополнительных условий на / справедливы теорема Пеано о существовании решений с любыми начальными условиями, теорема Кнезера о компактности и связности множества значений решений с произвольным фиксированным начальным условием, теорема о непрерывной зависимости решений однозначно разрешимых уравнений от начальных условий, теорема о продолжении ограниченных решений. К середине 80-х годов усилиями многих математиков было выяснено, что для любого бесконечномерного БП все эти теоремы не выполняются. В первых параграфах первой главы диссертации доказывается, что первые три из этих теорем не выполняются и для любого ненормируемого пространства Фреше £, в частности, для любого натурального п найдутся такие функции е , г , fa 6 c(rx£,я), что Vt#o множество {<p(t) : iр - решение (I) с начальным условием х(о)=о} при r=f пусто, при f=f содержит ровно п точек,

О п

при f=fm является счетным неограниченным незамкнутым множеством. Заметим, что в случае БП при всех близких к нулю t подобные множества обязаны быть ограниченными, кроме того, пример, в котором эти множества незамкнуты, построен в классе БП лишь для сепарабельных

гильбертовых пространств ,г. Четвертая теорема (о продолжении ограниченных решений), как показано в диссертации, справедлива для любого ЛВП, все ограниченные множества которого относительно компактны, и не выполняется для всех тех пространств Фреше или сепа-рабельных ЛВП, в которых найдется непредкомпактное ограниченное множество.

-Достаточные-условия-теорем-о-существованш-решений,-Доказан=_

ше В.М. Миллионвдковым 7> 8, в диссертации распространяются на

ОДУ с зависящей от параметра правой частью, при этом одновременно

ослабляются требования к константам из условия Липшица.

Теорема ю. Пусть Е - квазиполное ЛВП, л - компактное

277, и с кх£ - открытое множество, 6 с(и*л,Е), { ра •■ а 6 я }

- некоторый определяхщий топологию Е набор полунорл, причем при

всех а е я существует такая интегрируемая на произвольная отрезке

числовая функция ка , что V а.х (г, х € и*А

ра(г,а,х^\) - гуа,хг,*.)) < каа)ра<х-хг) ,

множество г Сс/хл) - относительно компактно в Е. Тогда для всякой 2

точки. ао,хо) £ и найдутся такие содержащий ь в качестве внутренней точки отрезок i £ к, содержащее хй открытое множество v е е и отображение <р,- Ххгхухл—>е, чпо п—><ра,в,и,\) - решение на отрезке I задачи Кош

(5) х = г а,х,\)+г (t,x,\), х(в) = и.

1 2

Если а ,Х0) 6 [а,ь]*е С и, то ложно положить 1=[а,ы, м=е.

В отличие от доказанной в 8 теоремы 3.3 константа Липшица здесь зависит от выбранной полунормы р , на и не накладывается ограничений, за исключением того, что и открыто, существование решения доказывается для общего отрезка для всех начальных значений из некоторой окрестности и всех значений параметра. В случае

2 Garay B.M. Section of solution funnels and dependence of initial conditions // Colloq. Math. Soc. Jânos Bolyai, 1990. V. 53. P. 199-209.

который рассматривается в диссертации отдельно, дополнительно доказывается, что отображение <р непрерывно на ограниченных множествах по совокупности аргументов и что -><р(Ч, е, и, - единственное на отрезке г решение задачи Коши (5). При этом ЛВП е может быть лишь секвенциально полным.

Пусть и - открытое множество в ЛВП е, Г.- и—*е - некоторое отображение. Отображение 8:[о,т—>и, где V - открытое подмножество и, назовем разрешающим семейством (РС) уравнения (4) на множестве [о,т]*У, если при всех хо£ V отображение ¿1—>за,хо) является решением уравнения (4) на отрезке [о,т] с начальным условием

х(0)=х . о

В дальнейшем наряду с обозначением Б(1,х) будет использоваться обозначение з1(х). Разрешающее семейство назовем эволюционным

(ЭРС) на и я V, если условие (х)=б1. (х)) выполняется Ух

12 12

€ Ы, V1,^0, Ь+Ь^Т.

Хорошо известно, что единственное РС однозначно разрешимого уравнения является ЭРС в окрестности каждой точки. Если при этом <иа е<оо, г е с (и, е), то РС - непрерывно (т. е. непрерывно отображение 3: (Ч,Х.)|—^¿(х), [0,т]ху->е).

Если уравнение не обладает свойством единственности решений, то у него может не быть непрерывного РС. Для пространств Фреше в диссертации получены достаточные условия существования непрерывного РС у неоднозначно разрешимых уравнений, а также доказана совместная непрерывность на множестве (о,т]-*ы всякого раздельно непрерывного РС 5:[0,Т]хУ->и, ЭВОЛЮЦИОННОГО На и С У.

Даже для одномерных уравнений наличие непрерывного ЭРС не является достаточным условием единственности решений. Известен пример уравнения на вещественной прямой, у которого континуум различных всюду определенных ЭРС, каждое из которых непрерывно В

3 Beck A. Uniqueness of flow solutions of differential equations

диссертации получены дополнительные условия на гладкость непрерывного ЭРС, гарантирующие однозначную разрешимость уравнения. Напомним, что для уравнений в конечномерных ЛВП согласно теореме ван Кампена достаточно выполнения условия Липшица по х ||st(x ,)-sffx2J|l< K|Ui-x2|| в окрестности каждой точки (to,xo) е [о,со)хи.

Семейство отображений f :U—»f, а £ я, подмножества и ЛВП Е в ЛВП f называется в диссертации равномерно квазилипшицевым на и, если для любых непрерывно дифференцируемых отображений

X: [О, 1]->(/, у: [0,1]-К/, ТаКИХ, ЧТО (х(в)-у(в) )/в->0 При 0-Ю+,

следует , что (fa(x(e))-fa(y(e)))/e—ю в а(Е, Е') при в—>0+ равномерно по а е а.

В нормированных пространствах всякое равномерно липшицево семейство отображений, т. е. такое, что при некотором к>о и любых х,у £ и, аба ||faOü-f (у,)1Ик||х-у||, является равномерно квазилипшицевым. С другой стороны, семейство, состоящее из одного отображения /.-к—>к, f(x)=xJ^2sin(i/x) при х*о, f(o)=o, равномерно ква-зилипшицево на к, но не липшицево в окрестностях нуля.

Теорема II. Пусть u,V и и - открытые подмножества ЛВП Е, w £ v с V, г € cs(u,E), уравнение (q.) илеет секвенциально непрерывное PC S:[o,T]xV—»у, эволюционное на V. Тогда для единственности на [о, Т] решений (4) с начальники значениями, из w достаточно, чтобы для элементов i некоторого подмножества сопряженного пространства, разделяющего почки Е, выполнялось одно из следующих условий:

(а) vt е (о.т) iost е ds(v, ю

(б) семейство отображений i°st:V—ж, t е (0,Т) равномерно квази-липшицево на v.

Здесь cs(u, Е) - множество всех секвенциально непрерывных отображений и в е, ds(v,h) - множество всех отображений g: v—ж, для

// Lect. Notes Math. 1973. V. 318, Р. 30-50.

которых в каждой точке х е V найдется такое секвенциально непрерывное линейное отображение ¿'(х): е—ж, что (g(x^■th)-g(x)-tg'(х)и)/1—>0 при ь—ю равномерно по ь 6 К для каждого секвенциально компактного подмножества к я е.

Заметим, что в теореме II доказана единственность решения уравнения (4) на отрезке [о,т] с начальным значением, заданным при ь=о. При этом, однако, не исключено, что интегральные кривые для различных начальных значений будут пересекаться при некотором (даже если уравнение линейное). В диссертации приведен соответствующий пример.

При доказательстве теорем о существовании решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений широко применяется метод, состоящий в следующем: рассматриваемая задача редуцируется к конечномерному случаю (например, с помощью метода Галеркина), существование решений конечномерной задачи доказывается методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений; далее устанавливается, что семейство приближенных решений предкомпактно в подходящей топологии на некотором функциональном пространстве, наконец, из последовательности точек предкомпактного множества выбирается сходящаяся последовательность и ее предел оказывается решением исходной задачи.

Предкомпактность последовательности решений конечномерных задач гарантирует существование хотя бы одной предельной точки, но при этом доказательство единственности решений требует дополнительных рассмотрений (даже если у множества приближенных решений только одна предельная точка); оно обычно основывается на априорных оценках решений исходной задачи. В заключительном разделе первой главы диссертации показано, как вышеописанную схему рассуждений приспособить с учетом результатов предыдущего раздела и для доказательства единственности решений.

Т е о р е м а 12. Пусть и,У - открытые подмножества квази-

полного ЛВП е, v я и, f е ск(и,Е), а - некоторое бесконечное множество, множество {f 6 ск(и,Е) : а Е я/ предкомпактно в ск(и,Е) и f его единственная предельная точка, при всех а е а sv—>и, t е fo.rj - PC уравнения x = fa(x) класса ск, множество отображений

sa:(t,x)\->s°£(x), а £ я - предколпакшно в ск([o,t]xv, Е). Тогда

всякая предельная точка s°° множества (sa: а е я} задает (s™(x)=sm(t,x)) PC уравнения х = f(x) класса ск. Если при этом все PC s" - ЭРС на множестве w q v, то всякое предельное PC s™ тоже ЭРС на Ы.

Если для данных 1 € е', t £ [о, т] и любого aGa Jos" G Dsfv, , а множество (D(ios^): а е з} предкомпактно в $(V,CS(E,\R)t )х , то los™ G ßSflMRj.

S S

Если семейство отображений ios™ равномерно по (a.t) € а*[о,т] квазилигишцево на V, то семейство los™ равномерно по t е [о,т] квазилипшцево на v.

Здесь ск(и,е) - множество всех непрерывных на компактных множествах отображений и в е с топологией равномерной сходимости на компактах, xs - обозначение топологии поточечной сходимости, <F(MV мг) обозначение множества всех отображений н в н .

Метод компактности, по-видимому, наиболее перспективен для доказательства разрешимости ОДУ в ЛВП. Для сравнения, метод последовательных приближений в случае линейного уравнения приводит к экспоненциальному ряду, который может не сходиться к решениям.

Среди других результатов первой главы доказано, что множество решений уравнения (I) совпадает с множеством слабых решений. В частности, уравнение (2) с непрерывным оператором а имеет одно и то же множество решений во всех топологиях, согласующихся с двойственностью.

Во второй главе диссертации рассматриваются линейные ОДУ (2). Пусть lb(e) = { а в ь(е,е) : образ некоторой окрестности нуля при

отображении л - ограниченное множество i, Lip(e) = { а € L(е,е) : для каждой полунормы из некоторого определяющего топологию я набора непрерывных полунорм р , а б а, выполнено условие Липшица РаелхКкараСх; для всех х 6 £ и некоторого ка>0), 1п(е) = { а е l(e, е) : ряд (3) сходится для всех (t,u) е кх£ í, ипех+(е) ={ а € l(e,e) : задача Коши х = ах, х(о)=и имеет при любом u е £ единственное решение на промежутке [о, ю), секвенциально непрерывное по совокупности аргументов (t,u)}, ипех(Е) = { А € L(E, Е) : А, -А € ипех+(е)}, ех+(е) = { А € l(e,E) : задача Коши х = Ах, х(о)=и имеет при любом и Е Е решение на промежутке [о, со)!, ех(Е) = { А 6 НЕ, Е) : А, -А £ ех+(£)}.

ПредложениеЗ. Если. МП Е секденциалъно полно, то (6) LB(E) 5 Lip(E) с 1п(Е) с ипех(Е) Я ипех+(Е) с ех+(Е) с L(E,E).

Все классы операторов в цепочке включений (6) совпадают только для банаховых пространств Е. Для некоторых ЛВП все включения строгие, кроме lb(e) и l(e,e) ни одно из множеств в (6) не обязано быть линейным пространством. В диссертации продемонстрировано это на примере пространства s=L(np) всех быстро убывающих последовательностей. Пространство s, как известно, изоморфно пространствам функций cm[-i, i], s(r), Ю[-1,1]. Изоморфизм устанавливается при помощи коэффициентов разложения функций в ряд соответственно по полиномам Чебышева, функциям Эрмита и по трансформированным функциям Эрмита. В работах Я.В. Радыно 14> 15 подробно исследованы свойства так называемых регулярных операторов и соответствующих линейных ОДУ в ЛВП. Всякий регулярный оператор в ЛВП Е является элементом множества ир(Е).

14 Радыно Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах // Дифф. уравн. 1977. Т. 13. С. I402-I4I0, I6I5-I624, 1796-1803.

15 Радыно Я.В. Векторы экспоненциального типа в операторном исчислении и дифференциальных уравнениях // Дифф. уравн. 1985. Т. 21. N 9. С. 1559-1569.

Если { а : р, п б т; - бесконечная матрица и о<а ^а для

ргч рп р+1, п

всех п и р, то пространство всех таких последовательностей, для которых при всех р 6 и

(7) 1|х|| =Е \а <ш ,

р ^ п рп

с топологией, определяемой системой полунорм (7), обозначается

через ¿Са ).

рп

В разделе второй главы диссертации, посвященном исследованию зависимости решений линейных ОДУ от начальных данных, более просто, чем в работе 16 , показано, что в секвенциально полных ЛВП Е всякое линейное и секвенциально непрерывное по второму аргументу РС Б: [о, оо)х£—>е является секвенциально непрерывным по совокупности аргументов. С другой стороны, как доказано в диссертации, даже если все операторы непрерывны, но множество {в^у : бесконечномерно хотя бы для одного у е г', то отображение а,х)\-

разрывно в точке (0,0) при наделении £ слабой топологией о(е,е').

Т е о р е м а 13. Предположим, что ЛВП е или е' секвенциально полно в топологии Макш. Если уравнения х = Ах в е и у = А*у в е' разрешим при всех начальных значениях при t=o на промежутке [о, со), то они однозначно разрешимы и операторы их ЭРС непрерывны в топологии Макш.

Идея сведения доказательства единственности решений задачи Коши для дифференциального уравнения к доказательству существования решений у сопряженного уравнения восходит к Хольмгрену. Новым в теореме 13 является утверждение о непрерывной зависимости решений от начальных значений, г. к. неизвестно, всегда ли непрерывны отображения в случае однозначно разрешимой задачи. Для пространств Фреше непрерывность доказана Банахом 2 при помощи теоремы

16 Шкарин С.А. Несколько результатов о разрешимости обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Мат. сб. 19ЭО. Т. 181. N 9. С. 1183-1195.

о замкнутом графике. Используя обобщение Д.А. Райкова теоремы Ба-наха о замкнутом графике, А.Н. Годунов 17 доказал непрерывность

отображения (t,x)\->sfx по совокупности переменных для строгих

индуктивных пределов последовательностей пространств Фреше. Полученные позднее М. де Вилде 10 варианты теоремы о замкнутом графике позволяют, как показано в диссертации, расширить этот класс пространств. Не воспроизводя определение пространства с сетью (webbed space), укажем только, что класс ~ws всех таких пространств содержит все пространства Фреше и замкнут относительно операций образования индуктивных и проективных пределов последовательностей пространств.

Предложение8. Пуст ь секвенциально полное ЛВП е обладает свойством: всякое имеющее замкнутый график линейное отображение Е в с([о, т], Е) непрерывно. Тогда если уравнение (2) имеет единственное PC S: [о,«Ох£—>£, то оно непрерывно по совокупности аргументов.

ПредложениеЭ. Всякое секвенциально полное бочечное пространство Е 6 vs удовлетворяет условиям предложения 8.

Следующие две теоремы содержат критерии существования секвенциально непрерывного PC у линейного ОДУ (неавтономного и автономного) .

Т е о р е м а 14. Пусть Е - секвенциально полное ЛВП, I -промежуток вещественной прямой, (t,x)i->A(t)x - непрерывное отображение ixE—>Е, линейное по второму аргументу, M=ixi или M=((t,e) 6 ixi : tze}. Тогда следующие условия эквивалентны: (а) линейное непрерывное отображение Q:C(h,e)—>с(н,Е),

17 Годунов А.Н. О линейных дифференциальных уравнениях в линейных топологических пространствах // Вестник МГУ. Сер. I. матем., мех. 1974. N 5. С. 31-39.

18 De Wilde M. Closed graph theorem and webbed spaces // Research Notes in Math. 1978. V. 19.

- 16 -{

№)(г, в)=Га, 9)-^А(х)Г(х, Э)с1х в

обладает секвенциально непрерывным правым обратным отображением СГ' (не обязательно линейнш)

(б) существует такое секвенциально непрерывное отображение

<р:МхЕ—>£, что ь\-><р(ь, в, и) - решение на отрезке J=í { (ь,в) 6

я} уравнения х = А(г)х, удовлетворяющее условию х(в)=и.

Если втолчено условие (а), то лото положить Vа,е,и) б Нхе

<е(ь,э1и)=(о!~%ёи)(11в), где Если выполнено условие (б), то ложно взять

(С!'^)^, в)=г(Ь, 0,)+|<р(Ч. А(х)ё(х, в))йх. в

Теорема 15. Пусть Е - секвенциально полное ЛВП, А 6 I(Е, Е). Тогда следующие условия эквивалентны:

(а) линейное непрерывное отображение <?.• с([о,а), е)—>с([о,са), е),

ь

(8) а}Г)а)=Г(0-$АГ(т)аX

О

обладает секвенциально непрерывным правым обратил отображением <?"' (не обязательно линейным)

(б) существует секвенциально непрерывное РС В:[о, ю)хЕ—»£ уравнения (2).

Если выполнено условие (а), то ложно положить ^(ь.и) 6 [о,са)хЕ и)=51(и)=(<]~',£и)а) , где gu=u^ Если выполнено условие (б), то можно взять

ь

«)~,Е)а)=£а)^А81_х:(8(х))а х.

о

Наличие, правого обратного влечет сюръективность оператора (). Следующее предложение содержит критерий инъективности оператора <? из теоремы 15.

Предложениеб. Для того, чтобы уравнение (2) 6 секвенциально полном ЛВП Е обладало свойством единственности при

оо решений с заданная при. ь=о значениел, необходило, чтобы при всех т>о отображение (¡:с([о, Т), Е)—>с([о, т), Е), ((¡г)(г)=г(г)-

|л/Сх)ах было инъекшвнъш, и достаточно, чтобы нашосъ хотя бы о

одно такое т>о.

В диссертации доказано, что когда единственности решений у уравнения (2) нет, то ядро оператора <? бесконечномерно, и приведен пример, в котором е^е при всех ыо, где Et - множество значений в момент ь всех выходящих из нуля решений уравнения (2).

С использованием оператора <? из теоремы 15 в диссертации доказана теорема о возмущении решений линейного ОДУ.

Т е о р е м а 16. Пусть е - секвенциально полное ЛВП. Тогда ипех,(Е)+1В(Е)=ипехЛЕ). Если А £ ипех^(Е), А € 1В(Е), с - неко-

+• + 1 Г 2

торое число, и ьъо, - ЭРС уравнений х = Ах и х = (А +сА )х, то при всех х £ £

е

^ л Л 1 п-1 п п

а? 1 о о

При проверке аналитичности решений линейных ОДУ оказывается полезной

Т е о р е м а 17. Пусть ЛВП Е секвенциально полно в топологии Макки, а е ипех+(Е). Тогда если уравнение х = -а2х однозначно разрешило на промежутке [о,т] с начальными данными. х(о)=хо, х(о)=о и х(о)=о, х(о)=Ахо, то отображение а—аналишчно на интервале (о, Т) с радиусом сходилости г(г-О.

Обратно, если ряд (3) сходится при и=а и и=ь, то при |г|<Щ сходится дающий решение уравнения х = -Агх с х(о)=а, х(о)=ъ ряд

К-ч'

1 г2пЛ2"п I . 1 г2"*1 Дг"Ь

UnjT* А (2п+1) ! А Ь

СледствиеЗ. Если ЛВП Е секвенциально полно, то следующие условия эквивалентны:

п=0

fa) A 6 ln(E) (б) A € unex(E),

0 Id -аг 0

G unex(ExE), где id - тождественное

отображение.

Следствием Если ЛВП Е секвенциально полно в топологии Ыакки, то ln(E)+LB(E)=ln(E).

Еще одно условие, сводящее проверку аналитичности решений линейных ОДУ к проверке однозначной разрешимости, получено для комплексных ЛВП.

Предложение II. Если ЛВП Е комплексно и секвенциально полно, то следуищхе условия эквивалентны:

(а) л € 1п(Е)

(б) А, 1А 6 ипех(Е).

Один из разделов второй главы диссертации содержит результаты исследования линейных ОДУ в различных пространствах последовательностей. Показано, в частности, что если Е=Rra, ТО 1п(Е) = ипех+(Е) * ех+(Е) - L(E, Е); если £=R , то 1п(Е) = ипех+(Е) = ех+(Е) * L(E,Е); если £ =RW, Е = Ега, Е=ЕХЕ , TO 1п(Е) = апех+(Е) * ех+(Е) * L(E, Е). Указан также класс пространств последовательностей, в которых всякий линейный непрерывный оператор имеет экспоненту.

Будем относить пространство l(a ) к классу sn, если выполне-

р п

ны условия

а . а

Vp<g, in f^ «

q, n+1 qn

3r V<j 3p sup < со

П p, n+1 rn

а а

Ур 3q Vr sup < 00.

Л qj n+1 pn

Класс пространств sn является расширением одного класса пространств, введенного М.М. Драгилевым и В.П. Кондаковым

19 Драгилев Ы.М., Кондаков В.П. Об одном классе ядерных пространств // Мат.

а

р"

Если Е=1(а ) 6 зн и Ур 3<7 яир -- < со , то будем ГОВО-

рп а

п чп

рить, что Е принадлежит классу ¿бу.

Т е о р е м а 19. Пусть Е £ ЬБК , л - компактное ТП, 1=[а,ь] с к, (Ч,х, х)|—> А(ь,\)х - линейное по х непрерывное отображение 1хехл—>£, Сл.)I—>га,а) - непрерывное отображение 1*л—>е. Тогда существует такое непрерывное отображение <р: 1*1хЕ*л—>£, что

-><ра, в, и, - единственное на отрезке I решение задачи Кош

х = ла,\)х + га,^), х(в) = и. Из теоремы 19 и предложения II непосредственно вытекает Т е о р е м а 20. Если Е £ Ьвн, то 1п(Е)=ипех(Е)=1(Е, Е). Пример пространства из класса ¿эм доставляет Теорема 21. Если а =ь , где ь =р, ь = рьР «

рп р, п! р, 1 р, п+1

при то £,(а ) е ьян. Пространство Ца. ) изоморфно некоторому

рп рп

подпространству ЛВП ст[-1, 1].

В заключительном разделе второй главы диссертации указаны некоторые связи теории однопараметрических полугрупп линейных непрерывных отображений ЛВП, которая по существу является теорией обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с неограниченным плотно определенным замкнутым оператором в правой части, и теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с всюду определенной непрерывной правой частью. Множество Б(Ат) "гладких" относительно А элементов может быть наделено топологией ЛВП так, что уравнение (2) в этом ЛВП, плотно вложенном в исходное ЛВП, является уравнением с непрерывным всюду определенным оператором, а операторы полугруппы по-прежнему непрерывны и определяют единственное семейство решений этого уравнения. В ряде случаев найти вел00) и решение уравнения (2) в соответствующем ЛВП проще, чем найти о(а) и проверить условия теоремы Хилле-Иосиды.

Предложение 23. Пусть Е - секвенциально полное ЛВП,

заметки. 1970. Т. 8. N 2. С. 169-179.

{рл •■ и б з] - некоторое определяющее топологию Е селейство полу-норл. Если оператор А:й(А)£Е—»£ секвенциально замкнут, то пространство г=о(Ат) секвенциально полно в топологии, определяемой систелой полунорм

(9) ра ¿х)=зир{ра(А*х) : 04к4т), (а,т) € Яхи.

Если Е квазиполно или полно, а оператор А замкнут, то Т соот-

ветственно квазиполно или полно. Топология £ не зависит от выбора определяющей топологию Е системы полунорж, £ непрерывно вложено в Е, оператор А непрерывен как отображение т в Т.

Теорема 24. Пусть А - икфинитезимальнъсй оператор поточечно непрерывной полугруппы э линейных непрерывных отображений в секвенциально полном ЛВП е, т=о(ат) с топологией, определяемой се-лействол полунорм (9), Ар - сужение А на е. Тогда Ар £ ипех+(Р), при всех ь>о 6 цт,г), секвенциальное замыкание ар в е равно а.

В работах 20, 21, 22, и исследовался случай, когда замкнутый оператор а-.0(а)с,Е—>£ не обязательно является инфинитезимальным оператором какой-либо поточечно непрерывной полугруппы линейных непрерывных отображений е, но оказывается таковым при переходе на некоторое подпространство я е £, наделенное более сильной топологией, чем индуцированная из £. В связи с этим в диссертации рассматривается семейство подпространств зиЬех(т) пространства £ из предложения 23, состоящее из таких инвариантных относительно а подпространств с? с т, что задача Коши в с х - Ах, х(о)=и имеет при любом и £ в решение на промежутке [о, оо).

20 Beals R. Semigroups and abstract Gevrey spaces // J. Funct. Anal. 1972. V. 10. P. 300-308.

21 Beals Ft. Hyperbolic equations and system with multiple characteristics // Arch. Rational Mech. Anal. 1972. V. 48. P. 123-152.

22 Kantorovitz S. The Hille-Yosida space of an arbitrary operator // J. Math. Anal, and Appl. 1988. V. 136. P. 107-111.

23 Henri quez H.R., Hernández E.A. On the abstract Cauchy problem in Fréchet spaces // Proc. Aroer. Math. Soc. 1992. V. 115. N 2. P. 353-360.

Предложение 24. Существует подпространство g а е subex(F), содержащее любое подпространство g € subex(F).

СледствиеЭ. Пусть Е - секвенциально полное ЛВП, а: d(a)sE—>£ - секвенциально замкнутый линейный оператор, f - пространство из предложения 23, ga - подпространство f из предложения 24. Тогда если н - секвенциально полное ЛВП и одновременно подпространство Е, топология которого сильнее индуцированной из Е топологии, Ан - сужение оператора А и одновременно инфинитезимального оператора поточечно непрерывной полугруппы линейных отображений н на подпространство {х е d(a) х е и, Ах б н), то d(a^) s ga.

В третьей главе диссертации рассматриваются ОДУ (I) с гладкой правой частью. Доказывается, что для любого пространства класса lsh справедлива в обычной формулировке теорема о разрешимости ОДУ с гладкой правой частью. В доказательстве существенно используются свойства линейных ОДУ для пространств этого класса, в частности, теорема 19.

Теорема 25. Пусть ЛВП Е - банахово пространство или принадлежит классу lsn, д - компакт, и - открытое множество в кх£, f.-i/xд—>е - непрерывное отображение, имеющее непрерывные по совокупности переменных производные по первым двум аргументам порядка r>I (f - класса сг по (t,x)).

Тогда для. всякой точки (to,xQ) € и найдутся такие содержащий ta в качестве внутренней точки отрезок г с и, содержащее xq открытое множество V я Е и отображение <р: i-x.ix.vx.\—>£ класса сг по пер-

выл трем аргументам, что ti-> <р( t, в, и, к)- единственное на отрезке

I решение задачи Кош

х = f(t, х, л), х(в) = U. При этом ßfDup = ßuDti> (уравнение в вариациях).

Таким образом, по отношению к теореме о разрешимости уравнений с гладкой правой частью класс ненормируемых пространств Фреше ведет себя иначе, чем по отношению к теореме Пеано о разрешимости

уравнений с непрерывной правой частью. В любом пространстве класса £.5/1 найдется ОДУ (4) с непрерывной всюду определенной правой частью, не имеющее никаких решений.

В теореме 25, говоря о дифференцируемости отображений, мы всюду имеем в виду дифференцируемость по Адамару. Если функция г 6 с'([а, к) имеет ограниченную не постоянную производную по второму аргументу, то отображение (оператор Немыцкого) х(-)1—^С-.х(-)), ьр[а, ь]—>ьр[а,ь], р>1, всюду непрерывно дифференцируемо по Адамару и нигде не дифференцируемо по Фреше Поэтому легко построить примеры уравнений в банаховом пространстве ¿Ла.ь], у которых решения по и, а правые части по х, нигде не дифференцируемы по Фреше, но непрерывно дифференцируемы по Адама-РУ-

В заключительной четвертой главе диссертации всякое уравнение (4) на открытом множестве v ЛВП е связывается с линейным уравнением в пространстве числовых функций на V (10) ь = В?1,

где оператор в действует на дифференцируемые функции следующим образом: (въ)(х) = ъ'(х)(г(х)) (здесь линейный функционал ь'(х) применяется к элементу г(х) 6 е). Уравнение (10) в совокупности с пространством функций, в котором оно рассматривается, называется в диссертации линейным представлением уравнения (4). Случай г б ст(Е,Е) рассматривается в работе 25.

Пусть алгебра относительно поточечного сложения и умножения функций Н промежуточна между алгеброй ск1 и алгеброй, порожденной всеми линейными непрерывными функционалами 1 е е' и функцией тождественно равной единице. Пусть топология И наследуется

24 Сова М. Условия диф$еренцируемости в линейных топологических пространствах // Чех. матем. журн. 1966. Т. 16. С. 339-362.

25 Смолянов О. Г. Линейные представления эволюционных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1975. Т. 221. N 6. С. 1288-1291.

из ск(у,т).

Будем говорить, что задача Коми для уравнения (10) корректна в Н, если существует такое непрерывное отображение р:[о,а>)хН—>н, что Уи б Я отображение ¡1-><ра, и) - единственное решение уравнения (10) с начальным условием ЛСо)=и.

Будем говорить, что задача Коши для уравнения (4) К-корректна, если существует такое разрешающее семейство —»у, г е 10,01), эволюционное на V, ЧТО {(1,х)>-^¿(х)} 6 ск([0, а>)хУ, Е) и

и е [О, со), у/1 6 М ЬоЗг £ П.

Основной результат данной главы диссертации Теорема 26. Задача Кот для уравнения С 4) Я-корректна тогда и только тогда, когда корректна в Н задача Коши для уравнения (10).

Уравнение (10) лишь знаком правой части отличается от уравнения для зависящих от времени первых интегралов уравнения (4). Поэтому можно интерпретировать утверждение теоремы 26 как обращение метода характеристик, ведь из однозначной разрешимости линейного уравнения (10) следует однозначная разрешимость исходного (нелинейного) уравнения (4).

Важным элементом доказательства теоремы 26 служит полученное в диссертации описание непрерывных гомоморфизмов алгебры ск(У) и

некоторых ее подалгебр. Дело в том, что отображение п->Гоесть

не только линейный оператор, но и гомоморфизм.

Т е о р е м а 28. Пусть я, и - 277, Е - вполне регулярно.

Тогда для любого непрерывного гополорфизяа т алгебры с(Е)^. в

хс

алгебру с(н)х , переводящего 1£ 6 существует единственное 5Т € с(н,е), такое, что тг=гобт V/ £ с(е).

Если Я с скп(У), ЛВП Е секвенциально полно и известно, что Говр е н для всех ген, то можно утверждать, что зг € скп~Чу, V), а в некоторых случаях 5Т б скпСВ диссертации устанавливаются условия, при выполнении которых справедливы различные варианты

обращения ценного правила, т. е. теоремы о дифференцируемое™ композиции дифференцируемых отображений.

Основной результат четвертой главы в терминах теории однопа-раметрических полугрупп линейных непрерывных операторов

Теорема 31. Задача Кот для уравнения (4) Н-корреюпна тогда и только тогда, когда оператор в из (10), определенный на c\v), илеет секвенциальное замыкание в ck(v), равное инфинитези-мальному оператору некоторой локально равностепенно непрерывной полугруппы линейных отображений ck(V), операторы которой переводят К в Я.

Теорема 31 показывает, что всякие необходимые и достаточные условия порождения плотно определенным замкнутым линейным оператором полугруппы линейных непрерывных отображений ЛВП (примеры таких критериев содержатся в работах 2б- г7- 28> 29- 30) являются критерием корректности задачи Кош не только для всех линейных ОДУ с непрерывным всюду определенным оператором в правой части, но и для многих нелинейных ОДУ с непрерывной правой частью, при минимальных требованиях к ЛВП. Ясно, что подобная общность слишком велика.

26 Вувуникян Ю.М. Эволюционные представления алгебр обобщенных функций // Сб. "Теория операторов в функциональных пространствах". Наука (Новосибирск). 1977. С. 99-120.

27 Иванов В. В. Полугруппы линейных операторов в локально выпуклом пространстве // Сб. "Теория операторов в функциональных пространствах". Наука (Новосибирск). 1977. С. I2I-I53.

28 KSmura Т. Serai-groups of operators in locally convex spaces // J. Funct. Anal. 1968. V. 2. P. 258-296.

29 Ouchi S. Semi-groups of operators in locally convex spaces // J. Math. Soc. Japan. 1973- V.25. N 2. P. 265-276.

30 Ushijima T. On the generation and smoothness of semi-group of linear operators // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. I. 1972. V. 19. N 1. P. 66-127.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ з'

[1] Лобанов С.Г. О линейных представлениях нелинейных дифференциальных уравнений // Вестник МГУ. Сер. I. Матем., мех. 1977. N I. С. 43-49.

[2] Лобанов С.Г. Экспонента линейного оператора и разрешимость уравнений х = Ах в локально выпуклых пространствах // Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Минск. 1978. С. 84-85.

[3] Лобанов С.Г. О единственности решений эволюционных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Мат. заметки. 1979. Т. 26. N 4. С. 523-533.

[4] Лобанов С.Г. Пример ненормируемого пространства Фреше, в котором всякий линейный непрерывный оператор имеет экспоненту // УМН. 1979. Т. 34. вып. 4. С. 201-202.

[5] Лобанов С.Г. О разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ. Сер. I. Матем., мех. 1980. N 2. С. 3-7.

[6] Лобанов С.Г. Достаточные условия дифференцируемости отображений локально выпуклых пространств // Мат. заметки. 1986. Т. 39. N I. С. 70-82.

[7] Лобанов С.Г. Цепное правило и его обращение для отображений локально выпуклых пространств // Мат. заметки. 1989. Т. 45. N I. С. 43-56.

[8] Лобанов С. Г. Теорема Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Дифф. уравн. 1990. Т. 26. N 6. С. 1090.

[9] Лобанов С.Г. 0 теореме Пеано в пространствах Фреше // Дифф. уравн. 1992. Т. 28. N 6. С. 1085.

31 Основные результаты диссертации представлены также в обзоре Лобанов С. Г., Смолянов О. Г. "Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах" // Успехи математических наук, 1994. Т. 49. Т 3. С. 94-168.

[10] Лобанов С.Г. 0 структуре множества решений обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Дифф. уравн. 1992. Т. 28. N 6. С. 1086.

[11] Лобанов С.Г. Теорема Пикара для обыкновенных дифференциальны; уравнений в локально выпуклых пространствах // Изв. АН СССР,

-Сер.-мат.-1992.-Т—56^И-6._С._1217-1243,___

[12] Лобанов С.Г. Теорема Пеано неверна для любого бесконечномерного пространства Фреше // Мат. сб. 1993. Т. 184. N 2. С. 83-86.

[13] Лобанов С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения с непре рывной правой частью в пространствах Фреше // Мат. заметки. 1993. Т. 53. К 4. С. 77-91.