Дифференциальные включения с невыпуклой правой частью в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Многозначное дифференциальное уравнение, порожденное дифференциальным включением.

§ I. Основные определения и вспомогательные утверлоде

§ 2. Локальные решения. Условия типа компактности.

§ 3. Локальные решения. Теоремы сравнения.

§ 4. Глобальные решения. Теоремы сравнения.

§ 5. Комментарии.

Глава П. Дифференциальные включения. Существование решений.

§ I. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§ 2. Непрерывные селекторы многозначных отображений.

§ 3. Решения дифференциального включения с невыпуклой правой частью.

§ 4. Решения дифференциального включения с выпуклой правой частью.

§ 5. Комментарии.

Глава Ш. Связи между решениями дифференциальных включений.

§ I. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§ 2. Плотность множества решений включения ¿е Г(Ь}сс.) во множестве решений включения асе со Г^, ос)

§ 3. Граничность множества решений включения ссеГ(t}x) во множестве решений включения х* cdr(t,x)

§ 4. Экстремальные точки множества решений линейного дифференциального включения.

§ 5. Комментарии.

Глава 1У. Свойства решений дифференциального включения.

§ I. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§ 2. Компактность множества решений дифференциального включения хебдГ(Ь,х).

§ 3. Зависимость решений дифференциального включения от начальных условий и параметров.

§ 4. Параметрические решения дифференциального включения.

§ 5. Связность множества решений дифференциального включения.

§ 6. Комментарии.

Глава У. Интегральная воронка дифференциального включения и ее уравнение.

§ I. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§ 2. Уравнение интегральной воронки.

§ 3. Свойства R- решений уравнения интегральной воронки.

§ 4. Компактность, зависимость от начальных условий и параметров, связность интегральной воронки.

§ 5. Экстремальная структура интегральной воронки линейного дифференциального включения.

§ 6. Существование оптимального управления.

§ 7. Комментарии.

Предметом исследований в данной работе являются дифференциальные включения или другое название - дифференциальные уравнения с многозначной правой частью, т.е. соотношения вида х(Ь)еГ(±>я(Ь)) (I) относительно неизвестной функции , где Г - отображение, имеющее в качестве своих значений непустые, не обязательно выпуклые, компактные множества банахова пространства X . Понятие дифференциального включения представляет собой естественное расширение понятия обыкновенного дифференциального уравнения и сводится к нему, когда отображение Г будет иметь в качестве своих значений одноточечные множества. Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений чаще всего используется другая форма записи дифференциального включения

Если значениями отображения Г являются невыпуклые множества, то про дифференциальное включение (2) мы будем говорить, допуская определенную вольность в терминологии, что оно с невыпуклой правой частью. Когда Г^}х) при каждых (Ь^х ) - выпуклое множество, то мы имеем дело с дифференциальным включением (2) с выпуклой правой частью.

Дифференциальное включение х сдГ(г}х), (3) полученное из дифференциального включения (2) путем перехода от множества Г(Ь,х) к его замкнутой выпуклой оболочке сдГ(Ь3х) мы называем дифференциальным включением с овыпукленной правой частью.

И, наконец, дифференциальное включение где ехЬсд Г(Ь>х) - замыкание всей совокупности экстремальных (крайних) [II а] точек множества соГ(Ь)х), то,позаимствовав из работы [149 бJ название множества ех±со Г(Ь3х) - как остова, мы дифференциальное включение (4) называем дифференциальным включением с остовом в правой части.

У дифференциального включения (2) решением того или иного типа (классическим, правильным, Каратеодори) называется абсолютно непрерывная функция сс.(±) и это определение в настоящее время считается общепринятым, производная х(Ъ) которой обладает определенными свойствами (непрерывная, правильная [57, стр. 197] , измеримая функция) и в том или ином смысле (всюду, всюду кроме счетного числа точек, почти всюду) удовлетворяет включению (I).

Имея в своем распоряжении определение решения дифференциального включения, мы можем обыкновенное дифференциальное уравнение, заданное в неявной форме ф(Ь}х,х) - О , свести к ему эквивалентному дифференциальному включению (2), полагая Г(Ь)х) = ф(±>х,х?)=0J . Тоже самое мы можем сделать и с дифференциальным неравенством ф(Ь3х}х) £ 0 . Эти простые примеры показывают, что понятие дифференциального включения не лишено содержательного смысла.

Дифференциальные включения с выпуклой правой частью в конечномерном пространстве были введены впервые и независимо друг от друга в середине 30-х годов в работах Маршо и Зарембы [П9 а, б, 153 а, б ] , где рассматривались вопросы существования решений и изучались некоторые свойства множества всех решений. В определении решения Маршо [П9 а, б] брал непрерывную функцию ас(t), контингенция (контингентная производная) которой всюду удовлетворяет д+ф) сГ^ф)). (5)

Под контингенцией (контингентной производной) функции в точке понималась совокупность всех пределов о2(±п)-ха0)

-* t0 "ко

По-видимому, в определении контингентной производной 0*х(-Ь) автор исходил из введенного в начале 30-х годов Булиганом понятия контингенции множества в точке (см., например, С.Сакс. Теория интеграла. - М.: ИЛ, 1949, стр. 378). Если обычная производная х^) числовой функции в точке имеет геометрический смысл касательной к графику функции в точке х(±0)) , то контингентная производная числовой функции ) имеет геометрическую интерпретацию множества всех полукасательных [с.Сакс. Теория интеграла. - М.: ИЛ, 1949, стр. 378J к графику функции в точке (^Зх(1:0)), т.е. в смысле Булигана - контингенции графика функции в точке х(Ьа))

Заремба [153 а, б] решение дифференциального включения с выпуклой правой частью определял как непрерывную функцию ос(Ь), паратингентная производная которой всюду удовлетворяет

Паратингентной производной В+*х('Ь0) функции х(Ь) в точке называлось множество состоящее из всех пределов вида

После работ Маршо и Зарембы дифференциальные включения, как объект для всестороннего изучения, долгое время находились в забвении. Это объясняется, по-видимому, тем, что в то время дифференциальные включения были абстракцией и не имели интерпретации - как математического аппарата для описания и изучения соответствующих явлений.

0 дифференциальных включениях вспомнили в конце 50-х, начале

60-х годов. Было замечено [7, 138 и др. ] , что интегральная воронка дифференциального включения с выпуклой правой частью, рассматриваемая как многозначная функция времени и начальных условий, удовлетворяет аксиомам обобщенной (дисперсной) динамической системы [б, 20 ] , а решения дифференциального включения являются траекториями обобщенной динамической системы.

После того, как А.Ф.Филиппов ввел [53 а] весьма удобное и имеющее наглядную геометрическую интерпретацию определение решения уравнения с разрывной правой частью, решения таких уравнений стали трактовать как решения дифференциального включения с выпуклой правой частью [I, 2 а, б, 7, 53 а, б и др.] , порожденной правой частью уравнения.

Но, по-видимому, основное внимание исследователей к дифференциальным включениям привлекла связь меящу дифференциальными включениями и дифференциальными уравнениями, описывающими поведение управляемых объектов (кратко - управляемыми системами). Эта связь устанавливалась с помощью, ставшей теперь уже классической, леммы А.Ф.Филиппова [53 в] о неявных функциях. Суть этой связи состоит в следующем. Пусть дана управляемая система и<=и} (б) где и - называется управлением, V - областью управления, ос. -фазовой координатой. Полагая Г(±)х)= иеУ} , перейдем к дифференциальному включению (2), порожденному управляемой системой (6). При соответствующих предположениях относительно ) * если мы зададим измеримую функцию то получим соответствующую этому управлению траекторию х^) управляемой системы (6), как решение дифференциального уравнения х(Ь)*№,я(Ь),и(*))- (7>

Ясно, что эта траектория является решением дифференциального включения (2), порожденного управляемой системой (6).

Обратно, если функция х(Ь) является решением дифференциального включения (2), порожденного управляемой системой (6), то в соответствии с леммой А.Ф.Филиппова [53 в] , найдется измеримая функция У такая, что будет иметь место равенство (7).

Другими словами, решение дифференциального включения, порожденного управляемой системой, является траекторией управляемой системы, соответствующей некоторому управлению. В интенсивно развивающейся в эти годы теории оптимального управления наличие установленной связи между управляемыми системами и дифференциальными включениями позволяло сводить задачи отыскания оптимального управления к задачам отыскания оптимального решения соответствующего дифференциального включения.

Все это послужило толчком к всестороннему изучению дифференциальных включений. На первоначальном этапе изучения дифференциальных включений центральным вопросом была взаимосвязь определений решения, дифференциального включения в смысле Маршо и Зарембы с естественным определением решения, согласующимся с понятием решения обыкновенного дифференциального уравнения, а также вопросы существования и свойств множества всех решений дифференциального включения с выпуклой правой частью. Решение этих вопросов в свою очередь ставило задачи введения соответствующих определений измеримости, полунепрерывности снизу и сверху, непрерывности многозначного отображения Г , установления взаимосвязей между различными определениями этих понятий и изучения свойств многозначных отображений.

В этом направлении в те годы интенсивно работали польские математики во главе с Важевским. Им было показано [149 с] , что в рамках предположений относительно отображения Г , при которых Маршо было доказано существование решения дифференциального включения, если контингентная производная 0+эс(-Ь) непрерывной функции х(Ь) почти всюду удовлетворяет (5), то х(Ь) является абсолютно непрерывной функцией и ее производная ос(Ь) почти всюду удовлетворяет (I). Наоборот, если производная х(±) абсолютно непрерывной функции ос(±) почти всюду удовлетворяет (I), то контингентная производная д+х(±) этой функции почти всюду удовлетворяет (5). При соответствующих предположениях относительно отображения Г такие же взаимосвязи существуют и между паратин-гентной производной В++х(Ь) и обычной производной х(Ь) функции х^) (см., например, [72, 155- и др.] ). Этот результат позволил остановиться на том определении решения дифференциального включения, которое в настоящее время является общепринятым, и это решение часто называется решением типа Каратеодори по аналогии с решением обыкновенного дифференциального уравнения.

Итог исследованиям учеников и своим исследованиям в этом направлении Важевский подвел в обзорном докладе на мелщународной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям, состоявшейся в Праге в сентябре 1962 года. Полный текст этого доклада был опубликован в трудах конференции [149 б ] . Основные результаты, приведенные в этом докладе, касались: вопросов взаимосвязей между различными понятиями решений дифференциального включения, о чем уже говорилось выше; существования глобальных решений (свойство Р0 ), компактности множества всех решений (свойство о^ ); компактности и связности сечений (множеств достижимости) интегральной воронки дифференциального включения (свойство Рг -свойство Кнезера); периферийной достижимости (свойство <Р3 -свойство Хукухары), суть которой состоит в том, что калодая точка, лежащая на границе интегральной воронки, достижима вдоль решения дифференциального включения, целиком лежащего на границе интегральной воронки; оптимальности - если замкнутое множество достижимо вдоль решения дифференциального включения, то оно достижимо за минимальное время (свойство ); оптимального достижения точки - если точка достижима вдоль решения дифференциального включения, то она периферийно достижима за минимальное время (свойство

Все эти свойства были установлены для дифференциального включения, значениями правой части которого являлись выпуклые компакты конечномерного пространства. Что же касается дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, то к этому времени еще не были для достаточно общих случаев изучены даже вопросы существования решений. Поэтому вместо решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью рассматривались так называемые квазирешения и сильные квазирешения (в терминологии работы [149 б] квазитраектории и сильные квазитраектории). Следует отметить, что понятие сильного квазирешения под названием скользящего режима, было раньше Важевского введено А.Ф.Филипповым в работе [53 г ] . Когда отображение Г непрерывно в метрике Хаусдорфа, то было доказано [ 149 б ] , что множество всех квазирешений дифференциальных включений (2)-(4) совпадает с множеством всех решений включения (3). Относительно сильных квазирешений, используя пример Плиса [135] , констатировался только факт, что даже при непрерывном отображении Г множество всех сильных квазирешений включения (2) не совпадает в общем случае с множеством всех квазирешений включения (2) и всех решений включения (3). Все эти результаты были сформулированы в работе [149 б] и для управляемых систем.

После этой работы Важевского и работы А.Ф.Филиппова [бЗ б] , в которой рассматривались почти все те же вопросы, что и в работе [ 149 б] , появилось большое количество статей [70 а, б, 79, 89, 94 а, 100, 104 а-д и др. ] , посвященных уточнению результатов ний на отображение Г . Однако ни в одной из этих работ не было обобщению за счет ослабления предположеснято предположение выпуклозначности отображения Г.

Быстрый прогресс в изучении дифференциальных включений с выпуклой правой частью объясняется прежде всего тем, что здесь, не встречая принципиальных трудностей, можно было использовать хорошо разработанные методы и технические приемы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Попытки использовать эти методы и приемы для изучения дифференциальных включений с невыпуклой правой частью встречали трудности принципиального характера как в идейном, так и в техническом отношении.

Поясним суть этих трудностей на примере доказательства теорем существования. Для доказательства теорем существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений используют два хорошо разработанных и стандартных подхода: I) построение последовательных приближений и доказательство сходимости этих приближений к решению; Z) использование теорем о неподвижных точках в соответствующих функциональных пространствах. Строя последовательные приближения по любой из разработанных для обыкновенных дифференциальных уравнений схем (ломанные Эйлера, последовательные приближения Тонелли [Дж. Сансоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т.П - М.: ИЛ, 1954J и др.), мы придем к последовательности / абсолютно непрерывных функций и последовательности производных хп(Ь/г* 4 этих функций таких, что последовательность будет относительно компактной в банаховом пространстве С(Х) непрерывных функций, а последовательность йОп('Ь), п* 4 - относительно слабо компактной в банаховом пространстве Ь1(Х ) интегрируемых функций. Как обычно в этих случаях делается, мы можем считать, что последовательность хп(-)) п*/ сама сходится в топологии пространства С(Х) к некоторому элементу ); / сходится в слабой топологии пространства Ь^Х) . Тогда, используя хорошо известную связь между сходимостьго в нормированной топологии пространства Ь^Х) ив слабой топологии, получаем, что почти всюду а)еПсо ¡7 <8>

1 7 Л»; к:п *

Если при стандартных предположениях относительно правых частей соотношение (8) для обыкновенных дифференциальных уравнений означает, что - решение, то для дифференциальных включений это соотношение означает, что )- решение дифференциального включения с овыпукленной правой частью. Функция ) будет решением исходного включения (2) тогда, когда из последовательности п * У можно будет выбрать подпоследовательность Хн (Ь)} къ / , сходящуюся почти всюду. Для этого достаточно, чтобы последовательность пъ! была относительно компактной в пространстве Ь1 (X). Если мы хотим этим методом доказать существование классического решения, то нужно, чтобы производные я* 4 обладали определенными свойствами гладкости, а последовательность сел к^ У сходилась уже не почти всюду, а равномерно.

Поэтом;/, прежде чем доказывать методом последовательных приближений теоремы существования решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, нужно было решить задачу построения последовательных приближений со свойствами, указанными выше. Решение такой задачи требовало привлечения новых идей. Положение усуглублялось еще тем, что до сих пор не существует эффективных достаточных критериев относительной компактности множеств в пространстве ь^х).

Если бы мы попытались доказывать теорему существования методами теории неподвижных точек, то в конечном итоге пришли бы к необходимости использования либо теоремы о существовании непрерывных селекторов у многозначного отображения, значениями которого являются замкнутые, невыпуклые множества в соответствующем функциональном пространстве, либо теоремы о неподвижной точке в соответствующем функциональном пространстве у многозначного отображения с невыпуклыми, замкнутыми значениями. В рамках тех предположений относительно отображения Г , из которых мы исходим, таких теорем не существовало до середины 70-х годов.

Таким образом,доказательство теорем существования решений у дифференциальных включений с невыпуклой правой частью требовало решения хотя бы одной из перечисленных выше задач, являющихся самостоятельными проблемами в соответствующих разделах теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. С подобной ситуацией мы сталкиваемся не только при доказательстве теорем существования, но и при изучении любых вопросов, относящихся к дифференциальным включениям с невыпуклой правой частью. Все перечисленное выше и объясняет определенный застой в изучении дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, существовавший до конца 70-х годов.

Первые теоремы существования локальных решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью в предположении, что отображение Г непрерывно по совокупности переменных и удовлетворяют условию Липшица по второй переменной, были доказаны в 1967 году А.Ф.Филипповым. В своей работе [53 г] А.Ф.Филиппов предложил схемы построения последовательных приближений, с помощью которых ему удалось доказать не только существование классических и типа Каратеодори решений включения (2), но и плотность множества всех таких решений в множестве всех типа Каратеодори решений включения (3). В терминологии Важевского [149 б] это означает, что были найдены условия, при которых множество всех сильных квазирешений включения (2) совпадает с множеством всех квазирешений этого же включения и с множеством всех решений включения (3).

В дальнейшем А.Ф.Филиппов модифицировал [53 д, е] , предложенные им в работе [53 г] , схемы последовательных приближений, что позволило ему доказать существование локальных правильных и классических решений у включения (2) без предположения липшице-вости по второй переменной отображения. Г.

После работ А.Ф.Филиппова [53 г, д] наметился прогресс в изучении дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. В 1974 году Качинский и Олех [нп] предложили схему построения последовательных приближений для доказательства существования типа Каратеодори решения дифференциального включения с невыпуклой правой частью, у которого отображение Г по переменной х было непрерывно, а по переменной Ь - измеримым. Эта схема в 1975 году была с соответствующими видоизменениями применена Оле-хом [ 130 б ] для доказательства существования типа Каратеодори решения включения, у которого отображение Г(Ь^х) было измеримым по Ь для каждого зе , полунепрерывным сверху по х. для каждого £ и в кавдой фиксированной точке ае0) , в которой множество Г(Ь}х0) не выпукло, отображение Г было непрерывным по х в точке х0.

Существование правильных и типа Каратеодори решений у дифференциальных включений с невыпуклой правой частью в том же году было методами теории неподвижных точек установлено Антосевичем и Челлини [б2 а] . Основой этому послужили доказанные авторами [б2 а] принципиально новые теоремы существования в соответствующих функциональных пространствах непрерывных селекторов у непрерывных многозначных отображений с невыпуклыми, замкнутыми значениями.

Результаты работ [53 г, д, е, 62 а, 101, 130 б] явились в дальнейшем идейной и технической основой при изучении как вопросов существования, так и вопросов свойств решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Это ярко проявилось в недавно вышедших работах Брессана [б9 а] и Лойясевича [П6 а], в которых были доказаны теоремы существования решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, когда отображение Гполунепрерывно снизу по своим переменным. Этим свойством обладает, например, остов ёхЬсдГ(Ь,х) непрерывного отображения ос) . В своей работе Брессан опирался на доказанную им теорему существования в соответствующем функциональном пространстве непрерывного селектора у полунепрерывного снизу многозначного отображения с невыпуклыми, замкнутыми значениями [б9 а] . Схема же доказательства этой теоремы следовала с соответствующими видоизменениями схеме доказательства подобной теоремы из работы Антосевича и Челлини [62 а] . Им же была доказана теорема о плотности множества всех типа Каратеодори решений включения (4) в множестве всех типа Каратеодори решений включения (2) для случая, когда отображение Г непрерывно по своим переменным и липшицево по второй переменной [б9 б ] . Лойясевич же при доказательстве теоремы существования [П6 а] исходил из схемы построения последовательных приближений, разработанных Качинским и Олехом в работе [101 ] . В последствии справедливость утверждений работ Брессана [б9 а, б] и Лойясевича [П6 а] была доказана автором и И.А.Фино-генко [51 б] при менее ограничительных предположениях и для функционально-дифференциальных включений.

В настоящее время теория дифференциальных включений сформировалась как самостоятельный раздел общей теории дифференциальных уравнений. Традиционное место в этой теории занимают те же задачи, что и в общей теории дифференциальных уравнений. После работ Важевского и А.Ф.Филиппова [149 б, 53 б ] , в которых были рассмотрены свойства решений дифференциальных включений, изучение этих свойств продолжается и до сих пор. Здесь идут либо по пути ослабления предположений на отображение Г , либо доказательству этих свойств у других классов включений, таких как дифференциальные включения с запаздывающим аргументом, функционально-дифференциальные включения, операторные включения и т.д., либо распространению этих свойств на дифференциальные включения в банаховых и локально выпуклых пространствах. Среди работ этого направления отметим работы [4, 9 а, б, 10, 13 а, 15, 18, 31, 32 а, 33 а, б, 36 а, в, г, 45 а, б, 50 л, м, 54 а, 61, 67 а, 70 а, б, 71, 73, 74 а, 76, 78, 79, 82, 89, 92, 94а-с, 99, 100, 104 а-е, 105, 107, НО, III, 132, 155 и др.] . В последнее время для тех или иных классов дифференциальных включений как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах стали рассматриваться вопросы существования инвариантных решений у дифференциальных включений, определенных на замкнутых, с возможно пустой внутренностью, множествах и вопросы существования инвариантных решений с определенными условиями роста относительно порядка, наведенного конусом. Эти вопросы затрагивались в работах [36 б, 63, 91 а, б, 93 а, б., 125 и др.] . Существуют работы о взаимосвязях мелщу дифференциальными включениями и обобщенными динамическими системами [36 д, 108, 129 и др. ] . Не остались без внимания и классические вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. К ним относятся вопросы зависимости в том или ином смысле множества решений от начальных условий и параметров, входящих в правую часть [22, 39, 53 б, 79, 91 с, 94 а, 104 а, 121, 138, 139, 142 и др.] , существования периодических решений [l5, 45 в, 77 б, 103, 140, 154 а и др. ] , устойчивости решений [53 б, ж, 82, 109 и др.] , асимптотической эквивалентности и асимптотического равновесия [ 141, 150 и др. ] . Рассматриваются вопросы усреднения дифференциальных включений [44 а, б, 80 и др.] , изучаются краевые задачи [l3 б, 15, 16, 115, 140, 141, 154 б и др.] .

Если все перечисленные выше вопросы являются в какой-то мере выведено уравнение, которому удовлетворяет интегральная воронка дифференциального включения, рассматриваемая как многозначная функция времени, и изучены некоторые свойства этого уравнения.

Результаты теории дифференциальных включений находят широкое применение при изучении уравнений с разрывными правыми частями и систем автоматического регулирования с разрывными нелинейностями I, 2, 7, 14, 16, 53 б, ж и др.] , в теории оптимального управления [ 12, 31 б, 36 е, 39, 43, 49, 69 с, 71, 75, 104 а, б, е, д, 132, 137 а, б, 142, 147, 148, 149 б и др. ] , в теории дифференциальных игр [28, 316 идр.], при исследовании многокритериальных задач [бЗ, 145 б и др. ] , в задачах экономической динамики [34 , 47 , 91 б, 117 и др.] .

В последнее время интенсивно изучаются в банаховом пространстве дифференциальные включения вида [l33 и др.] где А - линейный неограниченный оператор, и в гильбертовом прост

131, 151, 152 и др.] clu/dt + dipYuftJJ+BftJuftJ^fftJ, OstsT^ (9) где дфг для каждого Ь ^ Т] субдифференциал полунепрерывной снизу выпуклой функции ф± , действующей из X в (-оо^о*] 9 ф* о* . Включениями вида (9) описывается движение механических систем с односторонними ограничениями, процессы разрушения и пластичности. К включениям такого вида сводятся определенные классы нелинейных параболических уравнений в подвижных областях и, в частности, абстрактное уравнение Навье-Стокса.

Если теория оптимального управления стимулировала развитие уже традиционными, то в недавно вышедших работах cc(t J €F Aaa(t) + F(t) x(±)) ранстве - так называемые субдифференциальные включения теории дифференциальных включений, то запросы теории дифференциальных включений в свою очередь стимулировали развитие теории измеримых многозначных отображений, теории многозначного интеграла и многозначной меры [53 а, г, 65, 66, 73, 95 а, в, 96, 98, 146 и др.] . Более того, задачи, которые раньше составляли основу теории оптимального управления, формулируются теперь для дифференциальных включений. К ним относятся вопросы необходимых и достаточны:« условий оптимальности для дифференциальных включений [ 8 д, 32 с, 47, 77 с, 116 б и др.] и вопросы управляемости дифференциальных включений [в а, 36 в, 43, 90, 106 с и др.] .

Все сказанное выше относится к дифференциальным включениям с выпуклой правой частью. Развитие же теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью после основополагающих работ А.Ф.Филиппова [53 г, д] , Антосевича и Челлини [б2 а] , Качинеко-го и Олеха [iOl] , Олеха [l30 б] шло по следующему пути.

I. За счет ослабления предположений на правую часть обобщались известные [53 в, д, 62 а, 101, 130 б] теоремы существования того или иного типа решений [53 е, 56 а, в, 69 а, 94 б, 96 б, 105, 116 а, 145 а и др.] , рассматривались вопросы существования инвариантных решений и инвариантных решений с определенными условиями роста относительно порядка, порожденного конусом [б4, 77 а, 118 и др.] , изучалось существование периодических решений [21 и др. ] . Те или иные известные теоремы существования распространялись на дифференциальные включения с запаздывающим аргументом, функционально-дифференциальные включения, операторные [9 а, 31 а, 51 а, б, 54, 106 а, 136 и др.] и дифференциальные включения в банаховом пространстве [51 а, б, 54, 67 б и др. ] .

П. В том же направлении шло и изучение свойств множества решений. Установленное А.Ф.Филипповым [53 в свойство плотности всех того или иного типа решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью в множестве всех типа Каратеодори решений дифференциального включения с овыпукленной правой частью обобщалось за счет ослабления предположений на правую часть [56 в, 69 б, 74 б, 134 б и др.] . Справедливость этого свойства доказывалась для дифференциальных включений с запаздывающим аргументом, функционально-дифференциальных, операторных включений [9 а, 31 а, 51 б, 106 б и др.] и включений в банаховых пространствах [32 а, 51 б и др.] .

Ш. Изучалась в том или ином смыслах зависимость решений от начальных условий и параметров, входящих в правую часть, как в конечномерных [в б, 56 б, 81, 134 б, др. ] , так и в бесконечномерных [32 а и др.] пространствах.

1У. Свойства решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью использовались при решении задач теории оптимального управления [12, 31 б и др. ] , теории дифференциальных игр [28 и др.] , задач экономической динамики [56 г и др. ] .

Перечисленные в пунктах 1-Ш вопросы и составляют на сегодняшний день тот круг задач, которые были изучены в той или иной мере, а результаты упомянутых в этих пунктах работ, кроме работ автора, в полной мере отражают, с точки зрения автора, современное состояние теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. В этой теории даже в конечномерных пространствах пока не нашли еще своего решения такие классические вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений как, например, продолжимость классических и правильных решений, существование глобальных решений, свойства глобальных решений, слабая устойчивость решений и т.д. Что же касается результатов, относящихся к бесконечномерному случаю, то они пока носят фрагментарный характер и даже не затрагивают всех тех вопросов, которые нашли свое решение в конечномерных пространствах.

Данная работа посвящена систематическому изучению дифференциальных включений в банаховом пространстве.

Цель работы - дать единый подход к изучению дифференциальных включений, значениями правых частей которых являются непустые, компактные, не обязательно выпуклые подмножества банахова пространства. В рамках этого подхода с одной точки зрения и едиными техническими средствами даже на конечномерном уровне охватить основные результаты, касающиеся существования и свойств решений, уточнить эти результаты за счет привнесения нового содержания в формулировки утверждений, обобщить их путем ослабления предположений на правую часть, изучить вопросы, не рассмотренные до сих пор, и выявить новые закономерности, не известные ранее.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения и списка цитируемой литературы. Во введении отражаются основные этапы развития и дается оценка, с точки зрения автора, современного состояния теории дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Здесь же описывается круг задач, рассматриваемых в диссертации, и дается краткая характеристика полученных результатов.

1. Азбелев Н.В., Рагимханов Р.К., Фадеева Л.Н. Интегральные уравнения с разрывным оператором. - Дифференц. уравнения, 1969, т.5, № 5, с. 862-873.

2. Кибенко A.B., Красносельский М.А., Мамедов Я.Д. Односторонние оценки в условиях существования решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах. -В кн.: Уч. записки Азерб. ун-та, 1961, № 3, с. 3-13.

3. Красносельский М.А., Крейн С.Г.К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. В кн.: Тр. семинара по функц. анализу. Воронеж, 1956, вып. 2, с. 3-25.

4. Antosiewiez H. A., Cellina A.a) Continuous selections and differential relations. J. Diff. Equat., 1975, v. 19, N 2, pp. 386-398.b) Continuous extensions of multifunctions. Annal. Polon.Math., 1977, v. 34, H 1, pp. 108-111.