Внешнегеометрические свойства выпуклых гиперповерхностей в пространствах постоянной кривизны и некоторые геометрические свойства неполных римановых пространств неположительной кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

§ 1. Поверхности и тела

§ 2. Сферы и диски пространства Ек

§ 3. Локальные кривизны и радиусы кривизны

§ 4. Глобальные кривизны и радиусы кривизны

ГЛАВА П. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НЕКОТОРЫМИ ФУНКЦИОНАЛАМИ, ЗАДАННЫМИ НА

ПОДМНОЖЕСТВАХ П

§ 1. Определение функционалов Л, Л, М, ¡

§ 2. Множество Ш С П

§ 3. Обобщение теоремы 1 в случае К = О

§ 4. Множество П2 С П

§ 5. Зависимость между локальными и глобальными кривизнами

§ 6. Множество Пз С П

§ 7. Множество П4 С П

ГЛАВА Ш. КЛАССЫ ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С

ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ЛОКАЛЬНЫЕ КРИВИЗНЫ

§ 1. Поверхности вращения

§ 2. Сведение некоторых задач для компактных выпуклых поверхностей к задачам для поверхностей вращения

§ 3. Четыре леммы

§ 4. Выпуклые поверхности с ограничениями на максимальные и минимальные радиусы кривизны

§ 5. Следствия теорем 13 и

§ 6. О диаметрах выпуклых поверхностей с ограниченной снизу гауссовой кривизной

ГЛАВА IV. ГЛОБАЛЬНО И ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ

МНОГОГРАННИКИ

§ 1. Формулировка результатов

§ 2. Доказательство теоремы

§ 3. Доказательство теоремы

§ 4. Доказательство теоремы

ГЛАВА V. ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И

ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ПРОСТРАНСТВАХ НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ

КРИВИЗНЫ

§ 1. Замкнутые геодезические

§ 2. Изопериметрические неравенства

Работа состоит из двух частей. В первой части (главы 1-1У) изучаются внешнегеометрические свойства выпуклых гиперповерхностей в пространствах постоянной кривизны. Во второй части (глава V) изучаются некоторые свойства внутренней геометрии неполных римановых многообразий неположительной и строго отрицательной секционной кривизны.

Изложим некоторые результаты первой части (теорема 1 п. 2.2.1 и теоремы 13 и 14 п. 3.4.1). Каждой компактной выпуклой поверхности Ф сопоставим четверку чисел (Л, Л, М,//), где Л — радиус наибольшей сферы, которой можно прикоснуться изнутри к любой точке поверхности Ф; Л — радиус наибольшего шара, вписанного в Ф; М — радиус наименьшей сферы, к которой можно изнутри прикоснуться любой точкой поверхности Ф. Иначе говоря, Л — радиус наибольшей сферы, которую можно свободно прокатить по внутренней стороне поверхности Ф, а — радиус наименьшей сферы, по внутренней стороне которой можно свободно прокатить поверхность Ф.

В теореме 1 находится зависимость между числами этой четверки, причем зависимость эта точна, т. е. для любой четверки, удовлетворяющей этой зависимости, найдется соответствующая выпуклая поверхность. Для поверхностей евклидова пространства эта зависимость сводится к неравенствам

О < X < А< М < [Л < Ч-оо, (р - Л)2 > (д - Л)2 + (М - Л)2, если выпуклая поверхность Ф отличается от сферы.

В теоремах 13 и 14 решается та же задача, что и в теореме 1 только для класса поверхностей, у которых в каждой точке наименьший радиус кривизны Гтт И наибольший радиус кривизны Гпщ: удовлетворяет соответственно условиям А(Гтт, лтах) < 1 И и{Гтт1 ,лтах) > 1, ГДб и — непрсрЫВНаЯ неубывающая по каждому аргументу функция от двух переменных. Зависимость между числами четверки (Л, Л, М, //) при этом сводится к неравенствам, которые выглядят значительно сложнее неравенств теоремы 1.

Доказательство этих и других теорем первой части работы основаны на разработанных автором симметризациях, сопоставляющих выпуклой поверхности некоторые выпуклые поверхности вращения.

Результаты второй части работы (глава V) сводятся к построению двух примеров. Хорошо известно [8, с. 80], что в полном римановом пространстве, гомеоморфном евклидову пространству {п > 2), в котором все секционные кривизны неположительны, не существует замкнутой геодезической. В двумерном случае из теоремы Бонне [35] следует, что для этого не обязательно требовать полноту пространства. Пример, построенный в § 1 главы V, показывает, что при п > 3 для гарантированного отсутствия замкнутой геодезической обязательно требовать полноту пространства. Таким примером является некоторое неполное риманово пространство, содержащее замкнутую геодезическую, несмотря на то, что оно гомеоморфно К" (п > 3) и все его секционные кривизны не только неположительны, но даже не превосходят —1.

Хорошо известно [3, 5, 7, 33, 34, 36, 41] изопериметрическое неравенство в евклидовом пространстве М" (п > 2) и то, что равенство в нем достигается только для шара. Ясно, что в римановом пространстве с положительными секционными кривизнами не выполняется евклидово изопе-риметрическое неравенство, даже если оно гомеоморфно М"" Казалось бы, что в пространствах, гомеоморфных с неположительными секционными кривизнами должно выполняться евклидово изопериметрическое неравенство. Это верно (см., например, [17, 38]) для двумерных пространств, но это неверно, как показывает пример, построенный в § 2 главы V, для пространств более высоких размерностей. Точнее говоря, справедливо следующее утверждение (п. 5.2.3): для любого натурального п > 3 и для любых вещественных чисел VI, ¥2, /1 и /2, удовлетворяющих неравенствам О < VI < г;2 и О < Д < /2, существует диффеоморфное риманово пространство ¥ класса (7А, у которого все секционные кривизны неположительны, причем объем некоторого тела Т С ¥ и площадь его границы принадлежат соответственно интервалам {VI, ¥2) и (/1,/2).

Перейдем к более подробному изложению содержания работы.

В первой главе приводятся основные определения и обозначения, формулируются также некоторые вспомогательные утверждения и приводятся их доказательства. Для каждой выпуклой поверхности Ф (здесь и в дальнейшем, для краткости, поверхностью называется гиперповерхность) в произвольной точке X G Ф определяется наименьший радиус кривизны Гтт(Ф,Х) и наибольший радиус кривизны ГщахСФ,-А) так, чтобы эти величины совпадали с общеизвестными в случае, когда Ф — дважды дифференцируемая поверхность, т. е. Ф Е са.

Основные результаты второй главы опубликованы в статьях [12, 13, 20, 28, 29, 31, 33]. В этой же главе использовались также следующие книги [1, 3, 5, 11, 33, 34]. При К<0, К = ОиК>0 пространство Ек является соответственно пространством Лобачевского, обычным евклидовым пространством и сферой с внутренней метрикой в смысле А.Д. Александрова 1]. В теореме 1 (п. 2.2.1) доказывается, что для любой выпуклой поверхности Ф С Ек, отличной от сферы и такой, что // < -Ьоо при К < О и (j, < при Я" > О, числа (Л,Л,М,/х) должны удовлетворять неравенствам:

О <\ < к < М < 11< -Ьоо при /Г < О,

0<Л<Л<М<я< —•= при > О,

2л/К chy/A{fi-X)>chVA{f2-A)chVAiM-X) при К<0, р ~ Xf > (/i - kf 4- (М - Xf при К = \ cos \/K(ix - X) < cos V а ( / i - Л) COS л/]Г(М - Л) при К>0, ни одно из которых нельзя улучшить. Далее отдельно рассматриваются случаи, когда р = -t-oo при К < О и jj, = при К > 0. Эти случаи естественным образом дополняют теорему 1. При К = О теорему 1 можно обобщить так, что при этом роль сфер играют эллиптические поверхности. Это обстоятельство позволяет заметить, что теорема 1 при К = О относится не к евклидовой геометрии, а к аффинной.

В § 4 приводятся некоторые следствия теоремы 1. Одно из них (п. 2.4.9) заключается в следующем: если К = —1 и поверхность Ф свободно перекатывается по внутренней стороне орисферы, то разность между радиусом сферы, описанной около Ф, и радиусом сферы, вписанной в Ф, строго меньше In 2, причем In 2 нельзя заменить меньшим числом.

В § 5 обосновывается утверждение о том, что теорема 1 останется верной, если в ней (в случае, когда Ф G СА) числам Лид придать иной смысл, т. е. положить, что X и [1 равны соответственно наименьшему и наибольшему главным нормальным радиусам кривизны поверхности Ф. в § б главы II рассматриваются выпуклые поверхности пространства Лобачевского Ек кривизны К < 0. Напомним, что эквидистантной поверхностью радиуса г > О в таком пространстве называется полная связная (п — 1)-мерная поверхность а, расстояние от каждой точки которой до некоторой гиперплоскости равняется г. Эквидистантная поверхность а разбивает Ек на две области, одна из которых выпукла, ее замыкание назовем телом поверхности а и обозначим Т(а). Будем говорить, что эквидистантная поверхность а является опорной к поверхности Ф в точке X, если Х Е а и Ф С Т(а). Будем говорить, что поверхность Ф свободно перекатывается по эквидистантной поверхности радиуса г > О, если такая поверхность является опорной к Ф в каждой ее точке. Можно доказать (теорема 9, п. 2.6.4), что если выпуклая поверхность Ф свободно перекатывается по внутренней стороне эквидистантной поверхности радиуса но не может так перекатываться по эквидистантной поверхности большего радиуса, то четверка чисел (Л,Л,М, 1/), где первые три числа определяются так же как в теореме 1, удовлетворяют неравенствам

0<Л<Л<М< Ч-оо, О < Л, О < г/,

- Л) > \/=л(1/ - Л) сЪ \АГк(М - Л), причем эти неравенства нельзя усилить.

Основные результаты третьей главы опубликованы в статьях [14, 15, 16, 19, 20, 23, 25, 26]. При этом оказались полезными следующие работы [3, 4, 9, 33, 34]. В этой главе изучается связь между локальными свойствами выпуклых поверхностей и некоторыми их глобальными свойствами.

Классы выпуклых поверхностей в этой главе определяются следующим образом. Пара (Ф,Х), где Ф — выпуклая поверхность, а X Е Ф, называется поверхностью с отмеченной точкой. Обозначим И' множество всех таких поверхностей. Будем говорить, что пары (Ф, X) и (Ф, У) из П' эквивалентны (в записи (Ф,Х) ~ (Ф, У)), если точки X иУ имеют соответственно такие окрестности 11 и V, что пересечения Фпи и ФПУ конгруэнтны, причем при изометрическом отображении ФПП на ФПС/ точка X переходит в точку У. Будем говорить, что пара (Ф, X) не больше пары (Ф, У) (в записи (Ф,Х) < (Ф,У)), если существует такая пара (Ф',У), что (Ф\У) ~ (Л,Х) и Ф' С сопг'Ф, где сопг'Ф — выпуклая оболочка поверхности Ф. Каждый неубывающий функционал А : П' М порождает в множестве П всех выпуклых поверхностей два класса и Р* следующим образом:

Р, = {Фе П|ух е Ф, а(Ф, X) < 1}, а* = {ф е ЦУХ е Ф, Р{Ф, Х)>1}.

Обозримое описание множества всех четверок (Л,Л, М,/х), соответствующих поверхностям классов Рл и Р*, является одной из основных задач третьей главы. Эта задача будет репиена только для евклидовых пространств и для некоторых специальных функционалов Р. В теоремах 11 и 12 (пп. 3.2.11 и 3.2.12) указанная выше задача в самом общем виде сводится, при помощи операции симметризации, к изучению поверхностей вращения, входящих соответственно в классы Рл и Р*. Свойства этих поверхностей вращения во многих случаях удается выяснить после исследования некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств.

Специальные неубывающие функционалы Р задаются следующим образом. Пусть и — множество всех непрерывных функций ^ : [О, -Нею) х 0,4-00) —К, удовлетворяющих условиям: и{1,1) — 1; и{х,у) = и{у,х)] если О < XI < Х2, то и{х1, у) < и{х2, у). Каждая функция и Е и порождает неубывающий функционал Р равенством А

Ф,Х)-и(г,1п(Ф,Х),Гшах(Ф,Х)), где аргументы являются соответственно наименьшим и наибольшим радиусами кривизны поверхности Ф в точке X. Для простоты здесь и в дальнейшем будем предполагать, что Ф € са.

Сформулируем некоторые следствия теорем 13 и 14 (п; 3.4.1). В качестве следствия получается известная теорема Бонне [3], утверждающая, что диаметр двумерной поверхности строго меньше тг (число тг нельзя заменить меньшим), если гауссова кривизна этой поверхности в каждой точке больше единицы. Вытекают также следующие обобщения этой теоремы Бонне. Во всех этих утверждениях оценки точны, но мы, для краткости, в дальнейшем не будем отмечать этот факт.

Предложение 3.5.4. Если у выпуклой поверхности Ф евклидова пространства (п >3) гауссова кривизна больше единицы, то 1

О < Л < м < - , 2

2 п-1 п п-2 1 ' гд е 2-(1-Л " - 1)л .

Из последних неравенств можно вывести (п. 3.5.5) следующие неравенства:

Л Г(Л) уЛ1-(1-Л"-1)Л 2 Г(лу-|-|)'

МЛ"-лл у/л7 гг-1)Л1-(1-Л"-1)А 2 где 7 е [Д 1). Следует обратить внимание на то, что правая часть в предпоследнем неравенстве не зависит от Л и М, а в последнем — еще и от п.

Для поверхностей с достаточно малой гауссовой кривизной справедливы следующие утверждения.

Если у выпуклой поверхности Ф (п. 3.5.6) евклидова пространства К" (п > 3) гауссова кривизна меньше единицы, то

2 У ( М " -1 -1 + ¿л)Ы(1-^)1

Из последних неравенств можно вывести (п. 3.5.8) следующие неравенства: /1;Лл(п-2)! п-1)!

Ясно, что правая часть в предпоследнем неравенстве не зависит от Л и М, а в последнем — еще и от п.

В последнем § 6 третьей главы формулируются и обосновываются некоторые утверждения о обобщенных диаметрах выпуклых поверхностей. Диаметром непустого ограниченного замкнутого множества называется расстояние между двумя самыми далекими точками этого множества. Ясно, что диаметр любой выпуклой поверхности есть длина самого длинного прямолинейного отрезка, ограниченного этой поверхностью, т. е. принадлежащего ее телу. Диаметр наибольшего Аг-мерного (к е {1, 2,., п}) замкнутого шара (А;-мерного диска), ограниченного выпуклой поверхностью Ф, называется А;-диаметром и обозначается символом dA{Ф). Очевидно, что обычный диаметр есть 1-диаметр, а для эллиптической поверхности каждая удвоенная полуось совпадает с соответствующим А;-диаметром. Таким образом, к А;-диаметрам можно относиться как к обобщению полуосей эллиптической поверхности.

Обозначим через Н класс выпуклых поверхностей евклидова пространства М"(п > 3), у которых гауссова кривизна в каждой точке больше 1, а через — точную верхнюю границу А;-диаметров всех поверхностей класса Н. Имеют место следующие теоремы (п. 3.6.2), к которым также можно относиться как к обобщению теоремы Бонне.

Теорема 15. Если 2к < п -1, то Щ =Л -Ноо.

Теорема 16. Если п - I < 2к, то 2 < < 4.

К сожалению, мы пока не знаем точного значения величины для всех допустимых значений кип. Теорема Бонне сводится к равенству /¿1 = |

Результаты четвертой главы опубликованы в [27]. При этом использовались книги [2, 33]. Естественно следующее определение: пересечение конечного множества замкнутых полупространств евклидова пространства называется выпуклым многогранником. Очевидно, что этому определению эквивалентно следующее определение: выпуклым многогранником в евклидовом пространстве называется такое замкнутое выпуклое множество с внутренней точкой, граница которого состоит из конечного множества множеств, каждое из которых является частью какой-нибудь гиперплоскости. Нетрудно доказать, что эти два определения эквивалентны. Если же в этих определениях полупространства и гиперплоскости заменить соответственно некоторым выпуклым телом и его границей, то эти определения преобразуются в другие определения, которые не всегда эквивалентны. Сформулируем это точнее. Выпуклое тело V называется глобально выпуклым многогранником (п. 4.1.1) относительно выпуклого тела Т, если оно является пересечением конечного семейства тел конгруэнтных телу Т. Обозначим Г(Т) множество всех таких многогранников. Выпуклое тело V называется локально выпуклым многогранником (п. 4.1.2), если его граница ЕгТ распадается на конечное множество подмножеств, каждое из которых конгруэнтно некоторому подмножеству поверхности ЕгТ. Обозначим через Л(Т) множество всех таких многогранников. Имеют место следующие три теоремы (п. 4.1.7).

Теорема 17. Если п > 2 и Т — замкнутое полупространство или замкнутый шар, то Г(Т) = Л (Г).

Теорема 18. Если Т — выпуклое тело двумерной плоскости отличное от полуплоскости и от круга, то Г(Т) — собственная часть множества Л(Т).

Теорема 19. Если п > 3 и Т — выпуклое тело пространства ЖЛ, отличное от полупространства и от шара, причем поверхность ЕгТ дважды непрерывно дифференцируема в каждой точке, то Г(Т) — собственная часть множества Л (Т).

Возможно, в последней теореме можно освободиться от условия ЕгТ € СА, но мы пока не знаем, как это сделать.

В пятой главе строятся два примера, показывающие, что некоторые свойства риманова пространства неположительной кривизны, вызываемые, как казалось бы, только его топологическим строением, на самом деле могут быть следствием его неполноты. В § 1 строится пример неполного рима-нова пространства строго отрицательной кривизны, которое содержит замкнутую геодезическую, несмотря на то, что оно гомеоморфно п-мерному (п > 3) евклидову пространству. В § 2 строится пример гомеоморфного М"(п > 3) неполного риманова пространства неположительной кривизны, в котором не выполняется не только евклидово изопериметрическое неравенство, но вообще никакое изопериметрическое неравенство. Основным методом исследования в главах IV и V можно считать метод разрезания и склеивания, которым успешно пользовался А. Д. Александров (см., например, [1]) и многие его ученики.

На различных стадиях выполнения работа полностью или частично докладывалась и обсуждалась на семинарах А. Д. Александрова, Ю. Г. Ре-шетняка (ИМ СО РАН), И. X. Сабитова (МГУ) и А. М. Шелехова (Тверской Госуниверситет). Результаты работы докладывались также на следующих конференциях: Второй и Третий симпозиумы по геометрии в целом (Петрозаводск, 1967, 1969); Пятая всесоюзная конференция по современным проблемам геометрии (Самарканд, 1972); Симпозиум по геометрии в целом и основаниям геометрии (Новосибирск, 1982); Сибирская школа «Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика» (Новосибирск, 1996,

1998); Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 70-летию академика Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 1999); Международная конференция «Геометрия и приложения», посвященная 70-летию профессора В.А. Топоногова (Новосибирск, 2000). Кроме участников и руководителей этих семинаров и конференций автор считает своим приятным долгом поблагодарить В. А. Александрова, Е. П. Волокитина, Н. С. Даир-бекова, И. И. Кожанову, В. И. Кузьминова, С. С. Кутателадзе, Л. И. Коно-ненко, Ю. Г. Решетняка, А. И. Рылова, В. А. Топоногова, С. А. Трескова и И. А. Шведова за полезные обсуждения, советы и за моральную поддержку. Особую благодарность автор испытывает к В. А. Топоногову и Ю. Г. Решетняку, без благотворного участия которых не были бы получены результаты глав III и V.

1. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М., Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы (1948).

2. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. (1950).

3. Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука. (1967).

4. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. (1957).

5. Берже М. Геометрия. М.: Мир. (1984).

6. Бишоп, Р.Криттенден. Геометрия многообразий. М.: Мир. (1967).

7. Бураго Ю.Д. и Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Л.: Наука. (1980).

8. Бураго Ю.Д. и Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. СПБ: Наука. (1994).

9. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука. (1966).

10. Дубровин Б. А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука. (1970).И. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука. (1971).12} Ионин В.К. О круге, вложенном в замкнутую кривую. ДАН. Т. 127, № 6. (1959).

11. Ионин В.К. О круге, вложенном в многосвязную область. Труды Томского госуниверситета. Т. 168. (1963).

12. Ионин В.К. Соотношения между радиусами вписанного и описанного шаров замкнутой выпуклой поверхности. ДАН. Т. 148, № 2. (1963).

13. Ионин В. К. Некоторые задачи для выпуклых поверхностей с ограничениями на кривизну. Сиб. мат. ж. Т. 6, № 2. (1965).

14. Ионин В.К. О симметризации седловой поверхности. Второй всесоюзный симпозиум по геометрии в целом. (1967).

15. Ионин В.К. Об изопериметрических и других неравенствах для многообразий ограниченной кривизны. Сиб. мат. ж. Т. 10, № 2 (1960).

16. Ионин В.К. О римановых пространствах с евклидовым изопериметри-ческим неравенством. ДАН. Т. 188, Ш 5. (1969).

17. Ионин В.К. Обобш;ение одной теоремы Бонне. Третий всесоюзный симпозиум по геометрии в целом. Петрозаводск. (1969).

18. Ионин В.К. О коэффициентах избытка и недостатка выпуклой поверхности относительно эллипсоида. Сиб. мат. ж. Т. 12, № 2. (1971).

19. Ионин В.К. Изопериметрические неравенства для поверхностей отрицательной кривизны. Сиб. мат. ж. Т. 13, Ш 4. (1972).

20. Ионин В.К. Изопериметрические неравенства в односвязных римано-вых пространствах неположительной кривизны. ДАН. Т. 203, АЛ 2. (1972).

21. Ионин В.К. Устойчивость сферы. Пятая всесоюзная конференция по современным проблемам геометрии. (1972).

22. Ионин В.К. Оценки сверху радиуса описанного круга области на многообразии ограниченной кривизны. Симпозиум по геометрии. (1982). Новосибирск.

23. Ионин В.К. О диаметрах выпуклых поверхностей с ограниченной снизу гауссовой кривизной. Сиб. мат. ж. Т. 36, № 1. (1995). С. 93-101.

24. Ионин В.К. Достаточный признак гомеоморфности для (п — 1)-мерной замкнутой поверхности. ДАН. Т. 343, Хл 1. (1995). С. 1-12.

25. Ионин В.К. Глобально и локально выпуклые многогранники. Сиб. мат. ж. Т. 40, № 3. (1999).

26. Ионин B.K. Неравенства между радиусами сфер, связанных с выпуклой поверхностью. Сиб. мат. ж. Т. 39, № 4. (1998).

27. Ионин В.К. Зависимость между некоторыми функционалами от выпуклых поверхностей. Международная конференция «Геометрия и приложения», посвященная 70-летию профессора В.А. Топоногова. (2000).

28. Ионин В.К. Замкнутые геодезические в односвязных римановых пространствах отрицательной кривизны. Сиб. мат. ж. Т. 41, № 5. (2000).

29. Ионин В.К. Неравенства между радиусами сфер, связанных с выпуклой поверхностью пространства постоянной кривизны. Сиб. мат. ж. Т. 42, № 3. (2001).

30. Ионин В.К. О некоторых специальных поверхностях, связанных с выпуклыми поверхностями пространств постоянной кривизны. ДАН. Т. 389, АЛ 1. (2001).

31. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука. (1985).

32. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука. (1969).

33. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия. М.: Наука. (1974).

34. Полна Г. и Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Государственное издательство физико-математической литературы. (1962).

35. Рохлин В.А., Фукс Д.В. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука. (1977).

36. Решетняк Ю.Г. Об одном специальном отображении конуса в многообразие ограниченной кривизны. Сиб. мат. ж. Т. 2, № 2. (1962). С. 256272.

37. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: Государственное издательство иностранной литературы. (1948).

38. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: Л., (1937).

39. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади и поверхности и изометрий. М.: Наука. (1966).

40. Bishop R.L., O'Neill В. Manifolds of negative curvature// Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 45. C. 1-49.

41. Лагунов B.H. 0 наибольшем шаре, вложенном в замкнутую поверхность // ДАН СССР, 1959. Т. 127, № 6.