Поля Энштейна-Максвела с заряженной идеальной жидкостью при равенстве нулю силы Лоренца тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

ЦАЛАКУ ГЕОРГИОС АНДРЕА

УДК 530.12

ПОЛЯ ЭЙНШТЕЙНА-МАКСВЕЛЛА С ЗАРЯЖЕННОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ ПРИ РАВЕНСТВЕ НУЛЮ СИЛЫ ЛОРЕНЦА

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена ка кафедре теоретической физики Российского Университета дружбы народов

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Н.В. Мицкевич

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук С,С, Владимиров кандидат физико-математических наук Г.А. Алексеев

Ведущая организация -Научно-исследовательский це.итр по изучению свойств поверхности и вакуума

Защита диссертации состоится "¿5" 1994 г.

в час. 00 мин. на заседании специализированного совета К 053.22.01 в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117302, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал Ы.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан "¿¿Ц " ДР^Лб ]Л 1993 г

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических доцент

наук,

Ю.И. Запарованный

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В общей теории относительности одним из способов изучения явлений, связанных с неинерциальностью системы отсчёта, является получение точных решений уравнений теории (уравнений Эйнштейна) для конкретного источника гравитационного поля и анализ свойств этих решений в неинерци-альной системе отсчёта.

Точные решения уравнений Эйнштейна (которые представляют собой самостоятельное направление исследований в современной теории гравитации) для заряженной пыли с бессиловым электромагнитным полем были получены во многих работах (см. [I] ). Но, до сих пор не была систематически рассмотрена проблема нахождения точных решений уравнений Эйнштейна для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца. Кроме того, условие равенства нули силы Лоренца рассматривалось как упрощающее предположение, не имеющее физического смысла. Возможно, это обстоятельство и явилось причиной того, что упомянутые решения не были включены в известную книгу по точным решениям уравнений Эйнштейна [2] .

В диссертации рассматривается проблема нахождения точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла с заряженной идеальной жидкостью при равенстве нулю силы Лоренца. Одновременно, условие равенства нулю силы Лоренца исследуется с помощью уравнений Максвелла, записанных в произвольной системе отсчёта и в произвольном гравитационном поле в терминах векторов электрической и магнитной напряжённостей. Такой анализ позволяет снять сомнения относительно непротиворечивости подобных результатов, а также дать физическую интерпретацию для условия равенства нулю силы Лоренца.

Цель работы. Главной целью работы является получение новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца и исследование свойств новых решений. Целью работы является также демонстрация работы сравнительно нового метода генерирования точных решений, предложенного Мицкевичем и Хорским.

Научная новизна и научно-практическая значимость. Научная новизна работы состоит в получении ряда новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной

жидкости с бессиловым электромагнитным полем и в предложении метода генерирования таких решений с помощью известных решений уравнений Эйнштейна.

Научно-практическая значимость полученных результатов состоит в том, что эти результаты могут быть использованы для анализа поведения заряженной жидкости, находящейся в собственном электромагнитном и гравитационном полях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации проходили апробацию на научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН, на научном семинаре "Физика и Геометрия" физического факультета МГУ, на научном семинаре НИЦ11В, на научном семинаре Астрономического Института МГУ и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

Публикации. Результаты проведённых исследований опубликованы в четырёх печатных работах, списрк которых приведён в конце автореферата.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Полный объём диссертации - 12.2 страниц машинописного текста. Библиография - 128 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Во Введении сформулированы основные цели исследования, дан краткий обзор предыдущих результатов по теме диссертации и приведены основные определения и соотношения общей теории относительности, теории дифференциальных форм и монадного формализма, используемые в диссертации. Приведена также монад ная запись уравнений Максвелла. Используя определения вег кторов электрической и магнитной напряжённостей

Е-*(тЛ*Г) , (1)

В = - Гр ТусЬсН <= —> В = * (т Л Г) (2)

где х - монада, определяющая систему отсчёта, Г^^сЬ^Л«^ - тензор электромагнитного поля, * - звёздочка Ходка, уравнения Максвелла = и Г1*^ =0 могут быть записаны в произвольной системе отсчёта и произвольном гра-

витационном поле [з]

<ДуЕ ■= Ч Г<Г + 2 60 А В , (За)

го4Б + &*Ъ е)н- ЧТГ] , (36)

<А|у В = - гш* Е , (Зв)

го1Е + 6хЕ 0£В), (зг)

где (Г и j - плотности заряда и 3-тока, соответственно-, <5 , ол и О^у - вектор ускорения, вектор угловой скорости вращения и тензор скоростей деформации системы отсчёта, соответственно-, А*В -.трёхмерное скалярное произведение, АхВ -трёхмерное векторное произведение, ^ - производная Ли.

В Главе I получены цилиндрически-симметричные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной материи с бессиловым электромагнитным полем.

В §1 получена система уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости в случае цилиндрической симметричности пространстваг-времекк. Метрический элемент стационарного, цилиндрически-симметричного пространства-времени записывается следующим образом:

¿5г-= Ар1) , СО

где I- , Ы , О и V зависят лишь от р . 4-скорость жидкости и. , вектор-потенциал электромагнитного поля А и плотность 4-тока 3 задаются выражениями

и= Г1/2 Э* , (5)

А = ФАЬУА<р , (б)

а ^ ста , (?)

где Ф , Ч* и (Г - также зависят лишь от р . Условие равенства нули силы Лоренца

^иУ=0 (8)

приводит к тому, что

ф = ССУ^1. (5)

Далее, строятся тензоры энергии-импульса идеальной жидкости и электромагнитного поля. Компоненты тензора Риччи находятся с помощью результатов Приложения I. Уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла приводят к системе из семи уравнений для нахождения восьми неизвестных , м , О , V , , р , с и ¥ , где и р - плотность энергии и давление жидкости, соответственно. Преобразуя данную систему мы получаем такую систему уравнений, в которой все неизвестные функции выражаются через 4 и Э и их производных, а функции и О связаны между собой одним дифференциальным уравнением. Уравнения движения сводятся к выражению Г 1}Л.4р) +2р'= О , где штрих означает дифференцирование по р .

В §2 решается система уравнений Эйнштейна-Максвелла для случаев пыли и идеальной жидкости с постоянным давлением. В случае пыли ( р = о) мы получаем решение Сома-Райчаудури [4]. В случае жидкости с постоянным давлением показано, что проблема сводится к решению следующего нелинейного дифференциального уравнения второго порядка:

О"- = 0 , (Ю)

где & и - константы. При (что соответствует по-

стоянству у ) мы приходим к решению Банержи-Банержи [5]. При = 0 (что соответствует конкретному отношению между "У и V ) первое интегрирование уравнения (10) даёт 0'= = |;Ц0г+Ик) , где I - константа интегрирования. В зависимости от знака отношения /7А мы получаем три решения данного уравнения и системы в целом. Два из этих решений удовлетворяют условию регулярности на оси вращения ([2], с.173). Третье решение не удовлетворяет этому условию. Два регулярных цилиндрически-симметричных решения имеют вид: (I). 1/к> О

-со5"2(АрНс1нгир*Ь

- ЗА2 , =

СП)

(2). £/^<0

сЬг = СЛ + мсЦ>Т- А'гУ,г(Ар) ¿уг -

-ск-ЧАрКс^+с^2), ж^^сКЧАр) -зАг ; жр^А2 , (12)

где ум и А, - постоянные, А^в А/2 . Решение (II) является частным случаем семейства решений (25), полученного в Главе III. Решение (12) является новым.

В §3 исследуются некоторые свойства решений (II) и (12). Показано, что они относятся к типу I по Петрову и допуекают трёхпараметрическую группу изометрин, соответствующую стационарности и цилиндрической симметричности задачи. Показано, также, что при больших значениях р в решении (12) допускается замкнутые временноподобные линии. В решении (II) такие линии отсутствувт. Найдены выражения для С , и) и О^у . В общем случае они задаются выражениями

с = , ш = , = о . (13)

С помощью определений (I) и (2) найдены выражения для Ей В в сопутствующей зарядам системе отсчёта ( ):

Е = о , В = ^/20"1¥'с(.2 . (14)

Показано, что отсутствие электрического поля в сопутствующей зарядам системе отсчёта связано с тем, что во вращающейся системе отсчёта электрическое поле, производимое реальными зарядами с плотностью Сг , может быть полностью компенсировано электрическим полем, производимым эффективными зарядами 2£<-1*В (см. (За)). Можно легко проверить, что в полученных решениях

выполняется соотношение сЫЕ = ИТОГ + ги)*В ~О

В Главе II получены аксиально-симметричные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца.

В §1 используя снова соотношения (4)~(9) (где теперь все функции зависят не только от р , но и от 2 ) строится система уравнений Эйнштейна-Максвелла. Уравнения движения сводятся к соотношениям

Г^(ц+р) + 2рг=0 , Г% (ц + рЬ2Р? = 0 , (15)

где индексы р и 2. означают дифференцирование по соответствующей координате.

В §2 рассматривается случай пыли ( р = 0 ), который приводит к общему решению, зависящему от двух гармонических функций и полученному Боннором в 1980 г. [б! . Приводится частный случай этого решения, переходящий в решение Сома-Райчаудури, когда исключается зависимость от 2 .

В §3 рассматривается случай идеальной жидкости с постоянным давлением ( р ■= солз4 ^ О ). С помощью предположений 0=р/Уз), 'Ы = упр1 и Ч?-=У>ра (т и VI - константы), обеспечивающих выполнение условия регулярности на оси симметрии, совпадение оси вращения с осью симметрии Ог и параллельность векторов и) и Б , решение системы уравнений Эйнштейна-Максвелла сводится к решению уравнения

где сс= -£(\м2-э£Ю2/27Г) , С - константа. Получено общее решение уравнения (16), а также решение при СС= О , которое не является частным случаем общего решения, так как константа а входит в знаменателе замены переменной, необходимой для решения уравнения (16). Таким образом, получено два новых аксиально-симметричных решения, имеющих следующий вид:

(16)

(I). сХфО

ЧТ + 4Т) СП 51 > * ПУ >

где (2.-Л^СаЬ^Сг + Зс) , Ь и Не - константы интегрирования, гшС*}- эллиптическая функция Якоби, , (2). а=о

^--гЛьг+А^-зб2 ^ = (18)

чъ<т ТТхС&г+А)4, У - / 21Г/Х мрг ,

где А и & - константы интегрирования. Отметим, что решение (17) переходит в однородное решение Сома-Райчаудури при а^Ь^о . Решение (18) также переходит в однородное решение Сома-Райчаудури при В = 0 .

Б §4 рассматривается случай идеальной жидкости с непостоянным давлением ( р^ссу^). -В этом случае -?^ссп54 . С помощью предположений О^рДЫ, и 4 получено следующее решение уравнений Эйнштейна-Максвелла:

41 (Г = щпгь ск'1(пг) , Ч/=Юрг ,

где \з~~яс/гтг • Решение (19) представляет собой единственно известное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости с непостоянным давлением и с бессиловым электромагнитным полем. Отметим, что при уу)-п ■= Ь-1= О решение (19) переходит в плоское пространство-время.

В §5 исследуются свойства полученных в §3 и новых решений. Показано, что все решения относятся к типу Э по Петрову. Используя результаты Приложения 2 доказано, что решения (17)-(19) допускают следующие четыре вектора Киплинга:

1 1

7

| - - tt\j) costy + p""1 cosij; dy -t Эр , (20)

3 - wpsi^^ - s.rtcp 4cos(p dp .

Определены области пространства-времени в каждом решении, в которых существуют замкнутые временноподобные линии. Найдены выражения для векторов & , си и тензора D^v '

G = Ч di4 4?dp), OJ = JLdp -Uf сiß.

Отсюда следует, что в решениях (17) и (18) жидкость движется без ускорения, сдвига и расширения, но с вращением. В решении (19) жидкость движется с ускорением (связанным с непостоянным видом давления) и с вращением, но без сдвига и расширения. Электрическое и магнитное поля в сопутствующей системе отсчёта равны

Е-0 , Ь= fV^cte-Vidp) . (21)

Здесь также выполняется соотношение dLw2и)*В>-0

В Главе III с помощью метода Мицкевича-Хорского получено два семейства точных решений, обобщающих известное решение Гёделя.

В §1 излагаются основные положения метода генерирования точных, самосогласованных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, предложенного Мицкевичем и Хорским в работе [7] . Согласно этому методу ковектор Киллинга заданного исходного пространства-времени представляет собой (с точностью до постоянного множителя) i- форму 4-потенциала электромагнитного поля, принадлежащего новой самосогласованной системе гравитационного и электромагнитного полей.

В §2 метод Мицкевича-Хорского применяется для обобщения решения Гёделя [8] . Решение Гёделя имеет вид

(22)

jUp = (2*azrA , Üа'1 ■>

где cl - константа. Ковектор Киллинга имеет вид |=a(d.-t+/2 2dbc). Взяв 4-потекциал электромагнитного поля в виде А = к| , где 8

к - константа, мы получаем следующее выражение для ковариан-тных компонент тензора электромагнитного поля:

^ - 2 ■¡Так сГу] .

Выбирая метрику искомого решения в виде

WcLx)^ Аг2 (23)

где ос , р , , <5 и М _ функции Ъ , можно с её помощью получить контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля ^ для самосогласованной задачи. Система уравнений Эйнштейна-Максвелла сводится к следующей системе уравнений:

= Ь ,

[(^иУе^и х(р-м) е^+^ьч-2*>

= (24)

где Ь - константа интегрирования-, , р и <Т также зависят лишь от 2 . Система (24) содержит семь уравнений для нахождения восьми неизвестных: , у , ,

Р и (Г . Получено два решения системы (24) при дополнительных предположениях (I) «*■= со^-Ь и (2) Ц-соу^-к . Соответствующие решения имеют вид:

С1)- е^а* ,£2^Еегвг+%яа + 1/ , е.г^£гбг+с,

ег5=агегь2+се"^ , ,

а.1

(25)

9

где Я = иагкг/т-Ьг/аг)/2б , V =-(Я+0)/2& • 8 , С , О , Ей И - константы интегрирования.

(2). е26а+с гё

} ^В1 2.-ТГ '

у. = 1вг-с[гьо + и-гьг)]. (26)

р = (2&гГ1еГгбг'е[гьо-+ 2В2)1,

1 2Т

0- __ трГаЬк ьг-ьс/г

где & , С , О , Е , Р и Н - константы интегрирования.

В §3 рассмотрена проблема связи решений (25) и (26) с другими решениями. Показано, что семейство (25) содержит в качестве частных случаев решения Гёделя, Сома-Райчаудури, Ван Стокума IV] , а такке решение (II) Главы I. Семейство (26) содержит в качестве частных случаев решения Гёделя, Банержи-Банержи, Сеновиллы [ю] и однородное решение Сома-Райчаудури.

В §4 исследуются свойства решений семейств (25) и (26). Показано, что решения (25) принадлежат типу I по Петрову повсюду, кроме гиперповерхностей, определяемых условиями

на которых эти решения относятся к типу О , и гиперповерх-

на которой решения относятся к типу II. Решения (26) принадлежат типу О повсюду, кроме гиперповерхности эсагк^В2-1) = --ЧИЪО , на которой пространство-время этих решений является конформно-плоским (тип 0). Показано, что решения обоих семейств допускают лишь три вектора Киллинга: , , . Получены выражения для О , и) и О у» :

& = - ^ ос'¿г и> = М'с^у , Орч = О . Кроме того, определены области выполнения энергетических у-10

словий в новых решениях. Исследованы свойства электромагнитного поля. Показано, что Е-0 , 5 =/2с(Ае"^и . Отметим, что отсутствие силы Лоренца не постулировалось при постановке задачи ( как это делалось в предыдущих Главах), а получилось автоматически.

В §5 обсуждается проблема интерпретации электромагнитного поля в полученных решениях. Согласно интерпретации, предложенной в работе [п], бессиловое электромагнитное поле можно рассматривать как нелинейную суперпозицию электромагнитного поля самых зарядов жидкости и однородного магнитного поля без источников. При подстановке задачи задаётся именно результирующее поле. В диссертации отмечается, что такая интерпретация электромагнитного поля позволяет снять характер парадоксальности, который присущен другой интерпретации электромагнитного поля, и согласно которой бессиловое электромагнитное поле генерируется полностью самыми зарядами. Вместе с тем, в диссертации отучается, что обе интерпретации физически возможны, так как они не противоречат уравнениям Максвелла. Они могут соответствовать различным физическим явлениям.

В Главе IV сформулируется и доказывается теорема о генерировании точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла с разной нулю силой Лоренца.

В §1 применяется метод Мицкевича-Хорского для обобщения решений Ван Стокума и Сеновиллы. Показано, что в обоих случаях системы, следующие из уравнений Эйнштейна-Максвелла, эквивалентны системе (24), полученной при обобщении решения Гё-деля.

В §2 сформулируется и доказывается следующая теорема. Решение уравнений Эйнштейна для нейтральной идеальной жидкости, метрика которого имеет вид

х)'-е^сЬсг- егЦг, (27)

где , , ^ , ^ и V - функции координаты 2 , допускает обобщение на случай заряженной идеальной жидкости с бессиловым электромагнитным полем и с вектором-потенциалом электромагнитного поля А пропорциональным временноподобно-му вектору Киллинга метрики (27) или пространственно-

подобному вектору Киллинга метрики (27) т}« 9Х , если выполняется одно из следующих условий: (I) , если

, (2) Уе^-соп^ , если А - к?1 , где к - постоянный множитель. Кроме того, система уравнений Эйнштейна-Максвелла может быть трансформирована к системе (24).

В Заключении приводятся основные результаты диссертации. В Приложении I вычисляются с помощью уравнений структуры Картана компоненты тензоров Римана, Риччи и Вейля для метрики вида

где функции ос , р , ^ , 5 и V/ зависят от р и 2

В Приложении 2 показывается, что пространство-время с метрикой

Ш (рЧуг+с12г+о1р2)

допускает четыре вектора Киллинга, задаваемых выражениями (20), если функции |Сг) и

5(2) удовлетворяют условиям

ЪФ(Ъ'/ЪШУ , НсЬ , с-соои.

В Приложении 3 приводится подробный вывод уравнений Максвелла в произвольно движущейся системе отсчёта и произвольном гравитационном поле

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Показано, что в случае цилиндрической симметрии проблема решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца сводится

к решению одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнение (10)).

2. Найдено два частных решения этого уравнения и уравнений Эйнштейна-Максвелла в целом. Одно из этих решений является новым. Исследованы свойства этих решений.

3. Получено два новых аксиально-симметричных решения для заряженной идеальной жидкости с постоянным давлением и бессиловым электромагнитным полем.

4. Получено впервые аксиально-симметричное решение для заряженной идеальной жидкости с непостоянным давлением и бессиловым электромагнитным полем.

5. Исследованы свойства аксиально-симметричных решений, В частности, показано, что эти решения допускают четырёхпара-метрическую группу изометрий (формулы (20)).

6. С помощью метода Мицкевича-Хорского получено два семейства новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, обобщающих известное решение Гёделя. Исследованы свойства этих решений.

7. Сформулирована и доказана теорема, согласно которой определённый класс решений уравнений Эйнштейна для нейтральной идеальной жидкости допускает обобщение на случай заряженной жидкости. При этом, система уравнений Эйнштейна-Максвелла сводится к системе (24).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Mitskievic N.V., Tsalakou G.A. Charged fluid without electric field: a generalization of the Godel solution //Class. Quantum Crav. - 1991. - V.8. - P. 209-218.

2. Мицкевич H.В.,' Цалаку Г.А. Физические системы, в которых заряд генерирует только магнитное поле.//Тезисы докладов XXVII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук.-М.:Изд-во УДН.-1991.-С. 23.

3. Цалаку Г.А. Точные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла при равенстве нулю силы Лоренца.//Тезисы докладов XXIX научной конференции факультета физико-математических и естественных наук.-Ч. I.-М.:Изд-во РУДН.-1993.-С. 55.

4. Tsalakou G.A. A note on the derivation of exact solutions for charged perfect fluid with vanishing Lorentz force // Class. Quantum Grav. - 1993. - (to appear).

ЛИТЕРАТУРА

1. Islam U.N. Rotating fields in general relativity. - Cambridge: Cambridge University Press, 1985. - 122 p.

2. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна.-М.: Энергоиздат, 1982. - 416 с.

3. Мицкевич Н.В., Ефремов А.П., Нестеров А.И. Динамика полей в общей теории относительности. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 184 с.

4. Som М.М., Raychaudhuri А.К. Cylindrically symmetric charged dust distributions in rigid rotation in general relativity// Proc. Roy. Soc. Lond. - 1968. - V.A304. - P. 8186.

5. Banerjee A., Banerji S. Stationary distributions of/dust and electromagnetic fields in general relativity //;3. Phys. A. - 1968. - V.I. - P. 188-193.

6. Bonnor W.B. Rotating charged dust in general relativity // 3. Phys. A. - 1980. - V.I3. - P. 3465-3477.

7. Horsky 3., Mitskievitch N.V. Killing Vectors.of Vacuum Space Times and Electromagnetic Pour Potentials // Czech. J. Phys. - 1989. - V.B39. - P. 957-961.

8. Godel K. An Example of a New Type of Cosmologlcal Solutions of Einstein's Field Equations of Gravitation // Rev. Mod. Phys. - 1949. - V.2I. - P. 447-450.

9. Van Stockum W.J. The gravitational field of a distribution of particles rotating about an axis of symmetry //.Proc. Roy. Soc. Edinburgh. - 1937. - V.A57. - P. 135-154.

IO.Senovilla J.M.M. On Petrov type-D stationary axisymmetric rigidly rotating perfect-fluid metrics // Class. Quantum Grav. - 1987. - V.4. - P. LII5-LII9.

II.Mitskievich N.V. Mimicry systems in Maxwellian electrodynamics // 3. Math. Phys. - (submitted for puplication).

2O.K'l Qh' Зак* ^ Объем 11 J.

Типография РУДН, Орджониквдае 3;

Тираж ICC