Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля

Казинский, Пётр Олегович

Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Казинский, Пётр Олегович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля»

Автореферат диссертации на тему "Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля"

Томский государственный университет Физический факультет

□0305399Е

На правах рукоииси

-ь

Казанский Пётр Олегович

Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля

Специальность 01 04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТЪмск 2007 г.

Работа выполнена на кафедре квантовой теории поля Томского государственного университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Семён Леонидович Ляхович; кандидат физико-математических наук, доцент Алексей Анатольевич Шарапов.

Официальные оппоненты: доктор физико-магематических наук,

профессор кафедры теоретической физики

Томского государственного университета

Владимир Александрович Бордовинын,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры теоретической физики

ТЬмского государственного педагогического университета

Владимир Яковлевич Эпп.

Ведущая организация: Институт сильноточной электроники ТФ СО РАН (г. Тэмск).

Защита состоится « » марта 2007 х-, в часов на заседании диссертационного совета Д 212.207.07 в Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина 36. !

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан * * января 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.07 доктор физ.-мат. наук, профессор

4/АО

И.В. Ивонии

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Описание динамики электрически заряженных низкоразмерных структур, таких как частицы, струны, мембраны является традиционным вопросом классической электродинамики. Использование таких моделей обусловлено тем, что они позволяют значительно упростить решение системы ипгсгр0дж]н]>ерс11циалы1ых уравнений Максвелла-Лоренца. Успешное использование низкоразмерных моделей в классической электродинамике счи-ыулировало их использование в других разделах теоретической физики, в навигации, в теории струн; в теории космических струн, в теории сверхпроводимости, при описании вихрей, в теории дислокаций и т.д. Однако в большинстве случаев исследуется несамосогласованная динамика таких объектов, т.е. обычно считается, что влиянием ноля, созданного самим заряженным объектом, можно пренебречь.

Построение уравнений движения с учетом самодействия в рамках классической электродинамики имеет уже столетнюю историю. Дня точечной заряженной частицы в четырехмерном пространстве времени эффективные уравнения движения, т.е. уравнения

движения с учетом эффектов самодействия, были получены Лоренцом еще в начале прошлого века, а затем обобщены Дираком в 1938 г. на релятивистский случай. Обобщение этих уравнений на произвольный кривой фон было дано ДеВигтом и Бремом в 19С0 г. и скорректировано Хоббсом в 1968 г. Обобщения уравнений Лоренца-Дирака на слу чай заряженной частицы со спином были проведены в 1987-88 гг.

Тем не менее в последние годы снова возрос интерес к получению эффективных уравнений движения в рамках классической теории поля. Это обстоятельство вызвано как ростом экспериментальных возможностей, позволяющих регистрировать влияние '-эффектов самодействия, так и появлением новых моделей, эффективная динамика которых еще не была исследована. К первым можно отнести изучение эс1>фсктивной динамики грави тирующих точечных масс, поскольку есть надежда зарегистрировать таким образом реакцию излучения гравитационных волн Исследования в этой области начались только в последнее десятилетие. Второй фактор роста интереса к эффективным моделям пизкоразмерных источников полей во многом обязан теории струн, где возникли модели с дополнительным числом измерений нрострапства-времени, а также такие фундаментальные объекты как браны. В этой связи особое значение имеет получение самосогласованных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) в рамках классической теории поля, которые можно рассматривать как низкоэнергетический предел соответствующих к ванто во 1 юле пых уравнений, иоскольку последовательного квантования моделей с бранаг ми до сих иор не построено. Стоит также отметить про нещкжращающийся интерес к исследованию динамики сверхпроводящих космологических струн и струн, приближенно описывающих вихри в сверхпроводниках и плазме. Даже в рамках классической электродинамики продолжаются исследования эффективных моделей. Особенно актуальным в этой области на данный момент является получение релятивистских эффективных моделей для нсгочечных (расширенных) объектов, те. для систем заряженных частиц, исходя из системы уравнений Максвелла-Лоренца.

Учет самодействия низкоразмерных (сингулярных) источников полей связан с определенными трудностями, как принципиального, так и технического характера. Поэтому анализ силы самодействия обычно ограничивался первыми двумя ведущими вкладами для частиц и одним ведущим вкладом для протяженных объектов (бран). Кроме того, учет самодействия сингулярных источников всегда проводился в рамках линейных (линеаризованных) моделей, т.е. для тех моделей, в которых создаваемые источником поля подчиняются линейным дифференциальным уравнениям.

Цели диссертационной работы

Ключевые цели работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Развигие методов вывода эффективных уравнений движения, позволяющих находить высшие поправки от самодействия, как в линейных, так и в нелинейных моделях классической теории ноля.

2. Получение самосогласованных уравнений движения сингулярных источников в классической теории поля и исследование их эффективной динамики.

Научная новизна работы

Все основные результаты диссертации (см. заключение автореферата) являются оригинальными и получены впервые.

Научная и практическая значимость работы

Проведенные исследования практически закрывают проблему вывода эффективных уравнений движения в линейных моделях с сингулярными источниками, сводя эту проблему к дифференцированию конкретных выражений, указанных в диссертации. Эффективность этого метода была продемонстрирована большим количеством примеров, рассмотренных в диссертационной работе. Предложенная нертурбативная проце,нура нахождения членов асимптотического ряда дли силы самодсйствия вместе с критерием перенормируемости, сформулированным в диссертации, закладывают основы для дальнейших исследований эффективной динамики в нелинейных моделях с сингулярными источниками. Рассмотренные эффективные модели, помимо того, что они являются яркой демонстрацией особенностей изложенных общих методов, представляют также самостоятельный интерес (см. актуальность темы).

Защищаемые положения

На защиту выносятся:

1. Ковариаитный метод регуляризации силы самодействия сингулярных источников в линейных и нелинейных моделях классической теории поля. Доказательство лагран-жевости сингулярной части силы самодействия в линейной модели с сингулярными источниками в случае невырожденности метрики, индуцированной на мировом ли-

сте сингулярного источника. Доказательств классической неренормируемости линейных моделей с сингулярными источниками и критерий классической неренорми-руемости для нелинейных моделей.

2. Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия и модели электрически заряженной браны, распространяющейся на фоне пространства Минковского произвольной размерности, в частности, в моделях массивной и безмассовой заряженных чаглиц. Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным нолем неминимальным образом на фойе плоского пространства-времени специальной размерности. Явные выражения для расходимостей в моделях частиц с взаимодействием Фолди.

3. Эффективные уравнения движения релятивистской электрически заряженной струны с током. Уравнения на внешние электромагнитные ноля, при которых возможны стационарные состояния абсолютно эластичной заряженной струны, имеющей форму кольца (окружности). Решения эффективных уравнений движения абсолюшо эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних нолей, а также во внешнем постоянном однородном магнитном поле. Оценка частоты, на которой можно наг блюдать излучение создаваемое кольцом. Класс решений эффективных уравнений движения абсолютно несжимаемой заряжишой струны с током.

4. Условия на константы связи в модели р-браны на фоне пространства Минковского произвольной размерности, взаимодействующей с мультинлетом нолей: антисимметричным тензорным полем, скалярным полем и линеаризованной гравитацией, -обеспечивающие сокращение двух ведущих расходимостей.

5. Пуанкаре-инвариантное описание эффективной динамики локализованной системы заряженных частиц в классической элек'пюдинамике при помощи ее собственных мультипольных моментов. Релятивистски-инвариантное определение иультиполынлх моментов, как для точечных систем, так и для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранами). Новый общековариантиый функционал действия для релятивистской идеальной жидкости. Эффективная модель для нейтральной системы заряженных частиц, обладающей собственным ди-нольным моментом и общее решение ее свободных уравнений движения.

6. Условия применимости теории возмущений и соответствующих линеаризованных уравнений в моделях: гравитирующей браны; браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фп\ браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным нолем и эйнштейновской гравитацией. Доказательство классической ненеренормируемости гравитационного самодействия браны коразмерности к > 2. Доказательство классической перенормируемости моделей частицы, взаимодействующей со скалярными полями с вершинами ф1 и ф". Явное выражения для первой нелинейной поправки в силу самодействия для модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф". Явное выражение для суммы всех

одновершинных вкладов в силу самодействия частицы, взаимодействующей со скалярным нолем с вершиной ф* схр (—(1ф2), ft > 0, в пределе снятия регуляризации.

Апробация работы и публикации

Основные результаты докладывались на Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения, г. Казань, 2001-0G гг.), Международной школе-семинаре "Quantum Fields and Strings" (п. Домбай, 2003 г.); XLII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (г. Новосибирск, 2004 г), VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование" (г. Томск, 2003 г.), а также на научных семинарах кафедр теоретической физики и квантовой теории ноля Томского госуда]хл'иешюго университета, кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета

Результаты диссертации частично опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы. Материал изложен па 157 страницах, включает 7 рисунков и список литературы из 145 наименований. Текст диссертации набран в издательской системе ВД^рС.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первом разделе поставлена проблема реакции излучения (самодсйствия) в линейных моделях с сингулярными источниками и дано ее решение для сингулярных источников, распространяющихся на фоне плоского пространства-времени.

В начале этого раздела дается определение линейной модели общего вида и выявляется общая структура силы самодействия в таких моделях. Оказывается, что сила самодействия не является, вообще говоря, лаграпжевой, т.е. не может быть получена варьированием некоторого эффективного функционала действия. Причиной этого является вклад в силу самодействия от антисимметричной части запаздывающей функции Грина рассматриваемой линейной модели.

В первом подрсиделе этого раздела дастся определение сингулярного источника и вводится основные обозначения. Кроме того, здесь приводится общий вид запаздывающей функции Грииа для локальной пуанкарс-инвариантной линейной модели теории поля, а также се симметричной и антисимметричной части.

Во втором подразделе дастся общая иуанкаре-инвариантная процедура регуляризации самодействия в произвольной линейной модели с сингулярным источником. Привс-

дены явные выражения для членов асимптотического ряда по параметру регуляризации для силы самодействия. При этом существенным образом использовались морсовские координаты на мировом листе источника (бране), т.е. такие координаты, в кагорых квадрат интервала между двумя точками браны в объемлющем пространстве-времени совпадает с квадратом интервала между этими точками на бране:

7а*"(т) - *"(*))№ - *"(*)) = - -

где г/|П/ и Г1и - соответствующие метрики Минковского. Существование таких координат обеспечивается невырожденностью метрики, индуцированной на мировом листе браны. В диссертации приведены явные формулы, связывающие морсовские координаты с произвольной системой координат.

Введено понятие производящей функции расходимосгей, разложение которой в асимптотический ряд дает все потенциально возможные расходимости в рассматриваемой линейной модели. Доказана лагранжевость сингулярной части асимнтошческого ряда для силы самодействия в предположении невырожденности метрики, индуцированной на мировом листе источника. Отметим, что сингулярная часть асимптотического ряда силы самодействия линейной модели содержит конечное число слагаемых, в том числе и в случае вырожденной метрики.

Также в этом подразделе дана интерпретация получающимся асимптотическим рядам и исследована их зависимость от выбора схемы регуляризации. Оказалось, что в классе одиопараметрических регуляртаций, определяемых квадратом интервала (объемлющего) прострашггва-времени, конечная часть инвариантна относительно выбора регуляризации "по модулю" добавления к ней слагаемых, пропорциональных вкладам, содержащимся в расходящейся части, с коэффициентами пропорциональности но зависящими ог полей х(г). Весь асимптотический ряд определятся однозначно, с точностью до умножения членов ряда при различных отличных от нуля степенях параметра регуляризации на некоторые числа и добавления членов, стоящих при низших степенях параметра регуляризации. Указан класс эквивалентности, которому будуг принадлежать асимптотические ряды силы самодействия, полученные в рамках различных однопарамегрических схем регуляризации, сохраняющих ковариантность модели.

Во втором разделе рассматриваются различные примеры линейных моделей, для которых строятся эффективные уравнения движения, т.е. уравнения движения с учетом самодействии, а в некоторых случаях проводится также исследование получающихся эффективных моделей.

В первом подразделе найдены явные выражения для первых двух членов производящей функции расходимосгей в случае электрически заряженной браны. Высшие члены асимптотического разложения более громоздки, вследствие чего в диссертации не приведены. Оказалось, что ведущий вклад ог самодействия поглощается перенормировкой массы (натяжения браны). Первая нетривиальная поправка от самодействия описывает жесткость частицы (браны). Также найдено, что в модели электрически заряженной браны самодействие приводит к {(г! - п)/2] расходящимся слагаемым, поэтому указанные два

члена производящей функции расходимоетей исчерпывают все расходимости в эффективной модели электрически заряженной браны, коразмерность которой не превосходит иигн.

Более детально рассмотрены модели массивной частицы на фоне пространства-времени ироизволыюй размерности и безмассовой частицы в с1 = 4.

В нервом случае приведены явные формулы для производящей функции расходимо-стей эффективного действия (первые шесть членов) и силы самодействия (первые четыре члена), т.е., фактически, для потенциала и напряженности электромагнитного поля, взятых в малой окрестности точечного источника. Найденных членов производящих функций оказалось достаточно, чтобы получить явные выражения для расходимостей эффективной модели массивной заряженной частицы в размерностях <¿ = 3,4,5,6,7,8 и силы самодействия ч<1 = 3,4,5,6. Отметим, что в нечетномерном пространстве-времени конечная часть силы самодействия нелокальна и задается довольно обширным выражением.

Самодействие безмассовой заряженной частицы в й — 4 рассматривается на классе невыроз/сдснпых изотропных траекторий, т.е. траекторий, для которых х2 < 0. Вырожденные траектории образуют намного более узкий класс и, практически, исчерпываются изотропными траекториями с прямыми участками. Необходимые и достаточные условия на внешние поля, при которых траектория безмассовой частицы будет вырожденной, сформулированы в диссертации.

Поскольку индуцированная на мировой линии безмассовой частицы метрика вырождена (равна нулю), то при построении эффективной модели обобщается понятие морсовских координат и заново выводятся формулы, связывающие эти координаты с натуральной параметризацией. В этом и состоит особенность вывода эффективных уравнений движения в модели безмассовой частицы Затем применяется общая процедура регуляризации и выводится выражение для силы самодействия безмассовой заряженной частицы. Оказалось, чго в эффективной модели возникают три расходимости, одна из которых нслагранокева Эту расходимость естественно отождествить с мощностью излучения безмассовой заряженной частицы. Для лагранжианов оставшихся двух расходимостей приведены явные выражения. Кроме того, с точностью до несущественных в рассматриваемой модели членов, найдено явное выражение для одной из двух лагранжевых расходимостей, которые, дополни тошно к трем только что указанным расходимостям, возникают в силе самодсй-ствия безмассовой заряженной частицы в <¡ = 6.

В заключение рассмотрена модификация дираковской процедуры вывода эффективных уравнений движения заряженных частиц применительно к безмассовому случаю (формализм тензора энергии-импульса). Здесь также показано, что дираковская схема регуляризации дает другой результат для высших членов асимптотического ряда, нежели используемая в диссертации ковариангная регуляризация функции Грина. Тем не менее получаемые п рамках этих двух схем регуляризации асимптотические ряды принадлежат одному классу эквивалентности, определенному в заключении первого раздела. Приведено уравнение трубки, окружающей мировую линию частицы, через которую необходимо считать ногок тензора энергии-импульса, чтобы воспроизвести результат, полученный в рамках используемой в диссертации схемы регуляризации.

Во втором подразделе найдены явные выражения для расходимосгей в эффективной модели (п - 1)-браны, распространяющейся на фоне (2п + 1)-мерного пространства Минковскою и взаимодействующей с нолем п-формы.

В случае четномерной браны найден явный вид лагранжиана эффективного действия (производящего действия расходимосгей). Все расходимости рассматриваемой модели получаются варьированием производящего действия расходимостей. Чтобы получить конечную часть силы самодействия необходимо вычссть расходимости из регуляризовашшго выражения для силы самодействия и взять предел снятия регуляризации. В результате получается нелокальное выражение. Однако, если "отключить" минимальное взаимодействие, то сила реакции излучения локализуется и становится лагранжевой. Выражение для лагранжиана силы самодействия в этом случае также приведено. В обоих случаях в эффективной модели возникает (п + 2)/2 расходимости, функциональный вид которых такой же, как для первых (п + 2)/2 расходимосгей в эффективной модели электрически заряженной браны.

Для нечетномерной браны сразу рассматривается случай, когда сила самодействия локализуется и, как результат, становится лагранжевой. Однако, несмотря на то что сила самодействия локализовалась, лагранжиан для нее задается нелокальным выражением. Явные выражения для лагранжиана и силы самодействия в диссертации приведены. Оказалось, что в эффективной модели возникает (п ■+- 1)/2 расходимосгей, наиболее сингулярное из которых может включено в натяжение браны. В качестве примера рассмотрен случай п = 1, т.е. частица в И = 3. Найдено явное выражение для силы самодействии такой частицы. Единственная возникающая в этом случае расходимость поглощается перенормировкой массы

В третьем подразделе рассмотрена, эффективная динамика электрически заряженной струны с током с учетом первой поправки от самодейсгвия. Показано, что учет самодействия в струпных моделях приводит к уравнениям Лондоиов для тока в сверхпроводнике, при условии, что свободное действие струны инвариантно относительно подгруппы группы диффеоморфизмов струны, генерируемой векторными нолями, дуальными к векторному полю плшности тока на струне, в частности, для ренараметризационно-инвариантпого действия. Полученные уравнения обобщают известное ранее условие сверхпроводимости в струнных моделях. Также найдено общее решение этих уравнений при отсутствии внешних электромагнитных полей.

Для моделей струн, обладающих вышеуказанной симметрией, найден интеграл движения, который в нолуклассическом подходе (например, при квантовании по Бору-Зоммер-фельду) должен принимать дискретные значения. Если пренебречь самодейсгвием струны, то квантование этого интеграла движения приводит к хорошо известному квантованию магнитного потока через поверхность, натянутую на замкнутую струну.

Далее рассмотрена эффективная модель абсолютно эластичной заряженной струны в форме кольца. Такая модель описывает сильноточный пучок заряженных частиц, движущихся но окружности. Найдены уравнения на внешние элект]юмапштные ноля, при выполнении которых струна будет сохранять свою конфигурацию. Оказалось, что при одинаковых внешних полях, заряде и радиусе кольца существуют два стационарных но-

ложения кольца, имеющего различные угловые скорости (два стационарных режима). Такая ситуация возможна только в полях определенной конфигурации, которые указаны в диссертации. Также найдены решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей и во внешнем однородном магнитном поле. Дана оценка частоты колебаний такого кольца около положения равновесия. Квантование интеграла движения, о котором упоминалось выше, приводит к квантованию положений равновесия кольца и, соответственно, к квантованию частот колебаний.

Затем рассматривается эффективная динамика абсолютно несжимаемой струны с током. Формулируется понятие релятивистской несжимаемости и выводятся соответствующие эффективные уравнения движения. Кроме того, найдены стационарные положения такой струны при отсутствии внешнего поля, а также нерелятивистский предел эффективных уравнений движения в случае заряженного диэлектрика и незаряженного проводника. Для эффективных уравнений движения равномерно заряженного диэлектрика и проводника с током указан класс точных решений, описывающих текущую вдоль себя струну.

В заключение подраздела дана гидродинамическая интерпретация модели несжимаемой струны. Оказалось, что эта модель эквивалентна модели (1 + 1)-гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости, вложенной в пространство Минковского. Такая ковари-антная формулировка модели абсолютно несжимаемой струны позволила легко найти ее релятивистские интегралы движения.

В четвертом подразделе указан класс моделей со специальным типом взаимодействия, приводящим к локализации поля на носителе источника. Взаимодействия такого типа были впервые исследованы Фолди в рамках спинорной электродинамики и применяются в феноменологических моделях при описании внутреннего распределения зарядов нуклонов. Следуя терминологии Фолди константы связи, возникающие в такого типа взаимодействии, будем называть аномальными зарядами.

В качестве примера рассматривается точечная электрически заряженная частица с аномальным зарядом в рамках классической электродинамики. Найдено явное выражение для силы самодействия такой частицы. Оказалось, что в силе самодействия возникают такие же структуры, что и в силе самодейсгвия электрически заряженной точечной частицы, но с другими коэффициентами, зависящими от параметра регуляризации. В частности, в данной эффективной модели появляется три лагранжевых расходимости (вместо одной для электрически заряженной частицы), наиболее сингулярная из которых пропорциональна свободным уравнениям движения частицы.

Для первой нетривиальной поправки от самодействия возникает два конкурирующих слагаемых: сила Лоренца-Дирака; и лагранжевое слагаемое с высшими производными, связанное с самодействием аномальной составляющей тока, явный вид которого приведен в диссертации. Указаны значения параметров эффективной модели, при которых будет доминировать либо первый, либо второй вклад. Исходя из физической интерпретации аномальных зарядов, как некоторых форм-факторов внутреннего расщ>еделе1шя заряда, естественно предположить, что аномальный ток создает некоторое малое электромагнитное поле, пропорциональное параметру регуляризации, вне мировой линии частицы. В

эхом случае аномальные заряды ведут себя также как и электрические' одноименные заряды отталкиваются, а разноименные - притягиваются. При этом сила взаимодействия аномальных зарядов зависит от расстояния между частицами как г"8. Аномальные заг ряды также взаимодействуют с электрически заряженными частицами с силой пропорциональной г"6, причем можно так определить знак аномальных зарядов, чтобы заряды (аномальный и электрический) одного знака отталкивались, а разных знаков - притягивались.

В заключение сформулирована квантовая модель скалярных частиц с взаимодействием Фолди. К сожалению, не удалось иайти каких-либо нетривиальных решений самосогласованной системы уравнений движения скалярных и электромагнитных полей. В сферически симметричном стационарном случае система самосогласованных уравнений сводится к гамильтоновой системе четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказать наличие или отсутствие локализованных решений у этих уравнений не удалось. Безусловно, такие частице-подобные решения представляют определенный физический интерес. Тем более, что получившиеся уравнения накладывают серьезные ограничения на возможный выбор свободных параметров модели и, в частности, в связывают аномальный заряд с полной энергией локализованного решения.

В пятом подразделе рассмотрена эффективная модель браны, взаимодействующей с мультинлетом полей: скалярным нолем, антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией. Анализ расходимостей ограничивался линейным приближением по константам связи. Оказалось, что константы связи могут быть выбраны таким образом, что две ведущие расходимости обращаются в нуль Условие, обеспечивающее сокращение расходимостей, приведено в диссертации. В результате такого сокращения в эффективной модели остается [(<£ - п - 4)/2] расходимостей. Другим словами, если константы взаимодействия связаны вышеуказанным соотношением, то эффективная динамика браны, с коразмерностью ве превышающей пяти, свободна от расходимостей в линейном приближении.

В случае четырехмерного пространства Минковского условия, обеспечивающие сокращение ведущей расходимости, были известны для массивной частицы, взаимодействующей с мультиилетами скалярных и векторных нолей, и для струны на фоне антисимметричного тензорного поля, скалярного поля и поля линеаризованной гравитации. Проведенный в диссертации анализ обобщает эти результаты на случай браны, вложенной в пространство-время произвольной размерности. Более того, а диссертаций найдены условии сократит« двух ведущих расходимостей,

Проведенный здесь, а также вышеупомянутых ряСотах, анй-тЛз не й&ляегСя полным в том смысле, что необходимо 1'акже исследовать нелинейные вклады й самодсйствие, Чтобы утверждать, что эффективная модель свободна от расходимостей.

В хиестом подразделе предложен метод описания эффективной динамики локализованных систем заряженный частиц, либо локализованных заряженных жидкостей, в терминах их собственных мультинольных моментов. Дано релятивистское определение собственных мультинолей, совпадающее в нерелятивистском пределе со стандартным опреде-

лением. Исходя из этого определения получены мультипольные разложения потенциалов Льенара-Вихерта и полного тока системы с точностью до мультиполей второго порядка включительно.

Далее, при наложении определенных ограничений на характерные масштабы системы, построена эффективная модель для заряженной системы частиц, описывающая ее состояние посредством задания траектории центра масс и собственного дипольного момента. В пределе точечной системы уравнения движения центра масс переходят в уравнения Лоренца«-Дирака. Также получены эволюционные уравнения для мультиполей второго порядка. В том случае, когда система заряженных частиц состоит из частиц одного сорта, т.е. с одинаковыми удельными зарядами, уравнения эволюции мультиполей второго порядка несколько упрощаются в силу того, что для таких систем собственный дипольный момент равен нулю. Для этого случая уравнения движения центра масс и уравнения, задающие эволюцию вторых мультипольных моментов, также приведены. В частности, при отсутствии внешних электромагнитных полей и постоянном квадруполыюм моменте системы, уравнения, описывающие эволюцию магнитного момента, переходят в хорошо известные уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди, правда, с дополнительными связями на эволюцию магнитного момента. Из общей теории, изложенной в первом разделе, следует, что члены асимптотического ряда для силы самодействия при нолуцелых степенях параметра регуляризации лагранжевы. Лагранжиан для вышеупомянутых вкладов в силу самодействия системы заряженных частиц в диссертации приведен.

Затем рассматривается эффективная динамика нейтральной точечной системы частиц, обладающей собственным дипольным моментом. Оказалось, что уравнения движения центра масс точечного диполя и собственного дипольного момента отличаются от аналогичных уравнений точечной частицы с магнитным моментом и, по-видимому, впервые получены в этой диссертационной работе. В нерелятивистском пределе уравнения движения центра масс без учета самодействия совпадают с известными ранее уравнениями и, в то же время, отличаются от их известных релятивистских обобщений.

Также, после вычисления полной мощности излучения точечного диполя, которая совпала (с точностью до некоторых опечаток) с известной ранее мощностью излучения точечного магнитного момента, найден так называемый связанный импульс точечного диполя. Выражение для связанного импульса является локальной величиной, что согласуется с общим утверждением, сформулированным в диссертации. Таким образом, проведен анализ эффективной модели точечного диполя, аналогичный тейтельбомовскому анализу модели точечной заряженной частицы. Заключительным этапом исследования эффективной динамики точечного диполя стало решение ехх) эффективных уравнений движения в отсутствии внешних полей. Найдено общее решение этих уравнений, которое описывает свободный, медленно вращающийся, излучающий диполь.

В заключение этого подраздела рассматривается эффективная динамика локализованной заряженной идеальной жидкости. Предложено новое ковариаптное действие для идеальной жидкости. Оказалось, что при выполнении дополнительного условия параллельности векторов плотности тока массы и электрического заряда, эффективная модель релятивистской заряженной пыли совпадает с ранее рассмотренной эффективной моделью для системы заряженных частиц. В конце этого подраздела дано обобщение понятия

мультипольных моментов для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранами). Другими словами, дано пуанкаре-инвариантное определение линейной плотности дипольного момента для струн, поверхностной плотности магнитного момента для мембран и т.н.

В третьем разделе проводится пертурбативиое изучение самодействия в нелинейных моделях с сингулярными источниками

В первом подразделе дается общая постановка проблемы самодействия в нелинейных моделях с сингулярными источниками

Во втором, подразделе предложена общая лоренц-инвариантная процедура регуляризации самодействия в нелинейных моделях с сингулярными источниками в рамках теории возмущений. Указан способ вычисления порядка ведущего вклада диаграммы по ее составляющим и метод нахождения функционального вида такого вклада В частности, для модели сингулярного источника скалярных полей ф с вершиной фп ведущий вклад от самодействия может быть включен в натяжение браны (массу, в случае частицы). В случае одной вершниы приведено явное выражения для ведущего вклада диаграммы (численного коэффициента). Отметим, что изложенная процедура иертурбативного нахождения членов асимптотического ряда позволяет найти вклад любого порядка по степеням констанг связи и параметров регуляризации.

Предложенная процедура регуляризации не является единственно возможно лоренц-инвариантной процедурой регуляризации. Исходя из физических соображений среди всех процедур регуляризации выделено два типа: А) процедура регуляризации применяется только к внешним лиииим; Б) процедура регуляризация применяется ко всем функциям Грина, при этом функции Грина, отвечающие одному типу полей, деформируются одним и тем же параметром регуляризации. С физической точки зрения первый способ состоит в том, что "размазываются" сингулярные источники, а параметр регуляризации характеризует степень "размазывания". Второй способ можно интерпретировать как усреднение но всем мелкомасштабным флуктуациим полей вплоть до некоторого масштаба, характеризуемого параметром регуляризации и своего для каждого ноля.

Также проводится общий анализ регуляризованных вкладов теории возмущений и формулируется понятие классически перепормируемой модели- модель называется классически переиормируемой, если в ней возникает копейное число расходимостей. Более строго, от классически перенормируемой модели требуется применимость теории Возмущений в пределе снятия регуляризации Эти две формулировки практически всегда дают одинаковый результат, за исключением "пограничных" моделей, для которых вклады ряда теории возмущений с различным числом источников разлагаются по степеням параметра регуляризации, начиная с одной и той оке его степени. Отметим, что согласно такому определению перенормируемости линейные модели с сингулярными источниками классически перенормируемы.

В заключение подраздела формулируется критерий перенормируемости для нелинейной модели с сингулярными источниками, аналогичный критерию перенормируемости в

квантовой теории поля, основанный на размерности констант связи.

В четвертом разделе рассматриваются примеры регуляризации силы самодействия в нелинейных моделях с сингулярными источниками.

В первом подразделе рассмотрена нелинейная эффективная модель гравитирующей брамы. Найдено условие применимости теории возмущений над плоским фоном. Оказалось, что эффективная модель гравитирующей (по — 1)-браны классически перенормируема, если, и только если, ¿ — щ<2. Более того, при выполнении этого условия в эффективная модели гравитирующей браны вообще отсутствуют расходимости. При ¿-щ> 2 (например, для гравитирующей частицы на фоне четырехмерного пространствагвремени) каждая диаграмма теории возмущений расходится в пределе снятия регуляризации, причем степень расходимости диаграммы нарастает с увеличением числа источников.

В заключение проанализирована принципиальная возможность экспериментальной проверки выполнения, или не выполнения, вышеуказанного условия применимости теории возмущений. Оказалось, что если величина параметра регуляризации может быть зафиксирована из каких-либо физических соображений, то такая проверка возможна, поскольку в этом случае можно экспериментально определить все параметры эффективной модели (в том числе и затравочную массу). Отметим, что для самосогласованных уравнений движения гравитирующих тел не выполнен, так называемый, слабый принцип эквивалентности, говорящий о том, что все тела в однородном гравитационном поле падают с одинаковым ускорением. В то же время поправка, нарушающая этот принцип, порядка отношения радиуса Шварцшильда рассматриваемого объекта к его характерным размерам. Требование малости этой величины возникает как необходимое условие применимости теории возмущений, в рамках которой и получается выражение для этой поправки.

Во втором подразделе рассмотрена эффективная модель (п0 - 1)-браны, взаимодействующей со скалярным безмассовым полем с вершиной ф". Найдено условие применимости теории возмущений над нулевым фоном 0 = 0. Показано, что при (п - 1)/(п - 2) > {¿. — по)/2 эффективная модель является классически перенормируемой. В пограничном случае, (п - 1)/(п - 2) = (<1 — п0)/2, вклад от каждой диаграммы теории возмущений расходится как е'1/<-п~2\ е —» 0. Из общего анализа, приведенного в предыдущем разделе, следует, что ведущая расходимость может быть поглощена перенормировкой натяжения (массы) браны. После этого "пограничные" модели при п > 4 становятся конечными, при п = 3 в модели остается бесконечное число расходящихся слагаемых при е-1'2 и 1п е, а при п = 4 остаются только логарифмические расходимости. Модели, удовлетворяющие условию (п — 1 )/(п — 2) = (<! — п0)/2, являются конформно-инвариантными, поэтому от всех расходимостей можно избавиться другим способом - переопределив константы связи, или другими словами, выбрав в качестве масштаба длины в такой модели величииу параметра регуляризации.

В случае частицы на фоне четырехмерного пространства Минковского эффективная модель является классически перенормируемой, если, и только если, п < 4, что совпадает с известным условием перенормируемости в квантовой теории поля. В частности, при

п = 3 эффективная модель в пределе снятия регуляризации становится линейной, т.е нелинейные поправки будут давать исчезающе малый вклад.

Далее найдено явное выражение для ведущего вклада первой нелинейной поправки от самодействия в модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фп на фоне плоского пространсгва-времепи произвольной размерности. Проанализирована зависимость результата от выбора схемы регуляризации типа А или Б Для простоты изложения рассматривался случай четномерного пространства-времени. В этом случае найдены явные выражения для наиболее существенного вклада по степеням параметра регуляризации в первую нелинейную поправку в рамках регуляризации типа Б. Также дана асимптотическая оценка при больших п отношения ведущих вкладов, возникающих при регуляризациях типа А и Б. Оказалось, что в четырехмерном пространстве-времени в достаточно большом интервале чисел п обе схемы регуляризации дают практически один и тот же результат.

Можно всегда расширить класс полученных неренормируемых моделей, добавив к ним такие модели, которые при больших значениях полей, создаваемых сингулярным источником, эффективно сводятся к известным перепормируемьш. В таких моделях необходимо будет ввести такое же конечное число новых параметров, поглощающих все расходимости, как и в той неренормируемой модели, к которой она сводится при больших значениях полей.

В качество примера неренормируемой модели, полученной в результате такого расширения, рассмотрена модель б раны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной ф* ехр(—0ф2), 0 > 0 Эта модель становится линейной и безмассовой при больших значениях полей (асимшотическн свободна) и инвариантна относительно замены ф —> -ф. В случае частицы на фоне четномерного пространства Минковского найден ведущий вклад в самодействие от всех одновершинных диаграмм данной модели в рамках регуляризации типа А. Оказалось, что этот вклад конечен в пределе снятия регуляризации. Явная формула для получающегося конечного выражения приведена в диссертации В силу того что ведущий вклад конечен, можно ожидать, что высшие поправки к нему по степеням параметра регуляризации обращаются в нуль в пределе снятия регуляризации. Приведенных выше общие рассуждений дают основание полагать, что такого же эффекта следует ожидать и для сумм всех двухвершинных, трехвершинных и т.д. диаграмм, те. они будет давать конечные вклады в силу самодействия.

В третьем подразделе рассмотрена модель электрически заряженной частицы, ма-имодейстиующсй, помимо электромагнитных полей, с эйнштейновской гравитацией, т.е., фактически, рассмотрена система уравнений Эйнштейна-Максвелла с сингулярным Источ' пиком. Найдено условие применимости теории возмущений над фоном д^ = »/,,„, А,, — О для описания эффективной динамики такой модели, Поскольку Используется регуляризацию типа А, в эффективной модели возникает два параметра рехулярпзации - каждый для своего типа источников Кроме того, при выводе условия применимости теории возмущений размерность пространства-времени и размерность сингулярного источника не фиксировались, что позволяет использовать полученное условие при анализе модели (п0 - 1)-браны, взаимодействующей с калибровочным полем п0-форм на фоне эйнштей-

конской гравитации. Оказалось, что при ¿ — пц> 2 при стремлении параметров (или даже одного параметра) регуляризации к нулю, высшие члены ряда теории возмущений будут давать большие вклады чем низшие! и для их перенормировки потребуется вводи! ь в эффективную модель бесконечное число новых параметров, т.е. модель не является классически перенормируемой. В частности, модель заряженной частицы на фоне эйнштейновской гравитации в в. = 4 не является перенормируемой.

В заключение для гравитирующей электрически заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени выписаны необходимые условия применимости для описания ее эффективной динамики уравнений, получающихся в рамках соответствующих линейных моделей: уравнений Лоренца-Дирака; и уравнений, учитывающих реакцию излучения линеаризованной гравитации. Если найденные условия не выполнены, то основной вклад

в силу самодейс!вия электрически заряженной гравитирующей частицы будет даваться нелинейными поправками.

Основные результаты

1. Разработан новый ковариантный метод регуляризации силы самодействия сингулярных источников. Для линейных моделей найдены явные выражения для членов асимптотического ряда, задающего силу самодействия. Доказана лагранжевость его сингулярной части в случае невырожденности метрики, индуцированной на мировом листе сингулярного источника. Для нелинейных моделей разработана пертур-бативная процедура нахождения членов асимптотического ряда силы самодействия. Найдено явное выражение для ведущей расходимости.

2. Введено понятие классической перенормируемости модели теории поля с сингулярными источниками аналогичное понятию перенормируемости в квантовой теории поля. Доказано, что линейные модели классически перенормируемы. Для нелинейных моделей указан критерий классической перенормируемости, основанный на размерности констант связи, входящих в действие модели. Найден класс перенормируемых нелинейных моделей с сингулярными источниками.

3. Впервые получены

(а) Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели электрически заряженной браны, распространяющейся на фоне пространства Минковского произвольной размерности, в частности, в моделях массивной и безмассовой заряженных частиц. Полученные эффективные уравнения движения обобщают уравнения ЛоренцагДирака доя массивной заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени. Найдены явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным нолем неминимальным образом на фоне плоского пространства-времени специальной размерности. Получены явные выражения для расходимостей в моделях частиц с так называемым взаимодействием Фолди.

(b) Эффективные уравнения движения релятивистской электрически заряженной струны с током. Показано, что ренараметризационнан инвариантность свободного действия струны накладывает ограничения на возможный вид тока. Получены уравнения на внешние электромагнитные поля, при которых возможны стационарные состояния абсолютно эластичной заряженной струны, имеющей форму кольца (окружности). Найдены решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей, а также во внешнем постоянном однородном магнитном поле. В последнем случае дана оценка частоты, на которой можно наблюдать излучение создаваемое кольцом. Найден класс решений эффективных уравнений движения абсолютно несжимаемой заряженной струны с током.

(c) Условия на константы связи в модели (п — 1)-брапы на фоне ¿-мерного пространства Минковского, взаимодействующей с мультиплетом полей- антисимметричным тензорным нолем, скалярным полем и линеаризованной гравитацией, - обеспечивающие сокращение двух ведущих расходимостей Показано, что асимптотический ряд силы самодействия сингулярного источника содержит [{(1-п- 4)/2] расходящихся слагаемых.

(с!) Пуанкаре-инвариантное описание эффективной динамики локализованной системы эаряо/сенных частиц в классической электродинамике при помощи ее собственных мультипольных моментов. Дано релятивистски-инвариантное определение собственных мультипольных моментов, как для точечных систем, так и для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими обь-ектами (бранами) Предложен новый общековариантный функционал действия для релятивистской идеальной жидкости. В случае релятивистской заряженной ныли доказана эквивалентность описания проблемы реакции излучении мультипольных моментов в модели частиц и гидродинамической модели Получена эффективная модель для нейтральной системы заряженных частиц, обладающей собственным диполъным моментом, и описана ее свободная динамика.

(е) Условия применимости теории возмущений и соответствующих линеаризованных уравнений в моделях гравитирующей брани; браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фп\ браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией Установлена классическая непсренормируемостъ гравитационного самодействия браны коразмерности к > 2. Доказана классическая перснормируемостъ моделей частицы, взаимодействующей со скалярными полями с вершинами фя и ф4. Для модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф", найдено явное выражения для первой нелинейной поправки в силу самодействии Получено явное выражение для суммы всех одновершинных вкладов в силу самодействия частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фл ехр (~Рф2), Р > 0, и установлена конечность этого выражения в пределе снятия регуляризации.

Публикации по теме диссертации

1. Kazinski PO , Lyakhovich S L , Sharapov A.A. Radiation reaction and renoimalization in classical electrodynamics of a point particle in any dimension//Pliys. Rev. D. - 2002. - v 66. - p 025017. hep-tli/0201046.

2. Kazinski PO , Shaiapov A.A. Radiation reaction for a masslcss chaiged particle//Class. Quant. Giav - 2003. - v. 20. - p. 2715. hep-th/0212286.

3. Kazinski P.O. Radiation reaction for multipole moments//hep-th/0604168

4. Казинский П.О., Шарапов A.A. Реакция излучения и перенормировка в классической теории поля с сингулярными источниками//ТМФ. - 2005. - т. 143. - с. 375.

5. Казинский П.О. Эффективная динамика электрически заряженной струны с то-ком//ЖЭТФ. - 2005. - т. 128. - с. 312. Uep-th/0507237.

6. Казинский П.О., Шарапов A.A. Реакция излучения и перенормировка в теории протяженных релятивистских объектов//Новейшие проблемы теории поля/Под ред. A.B. Аминовой. - Казань, 2004. - т. 4. - с. 117.

7. Казинский П.О. Реакция излучения протяженных релятивистских обьектов//Ма-териалы VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование". Томский государственный педагогический университет Томск. 14-18 апреля 2003 г. - Томск, 2003. - т. 1. - с. 114.

8. Казинский П.О. Регуляризация реакции юлу чения в линейных теориях ноля с сингулярным источником//Материалы XLII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Физика. Новосибирский государственный университет Новосибирск. 13-15 апреля 2004 г. - Новосибирск, 2004. -с. 185.

Тираж 100. Заказ № 83. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Казинский, Пётр Олегович

Введение

1 Самодействие в линейных теориях

1.1 Общая линейная теория в плоском пространстве.

1.2 Регуляризация реакции излучения

1.3 Выводы.

2 Примеры регуляризации в линейных теориях

2.1 Регуляризация в случае электрически заряженной браны.

2.1.1 Массивная частица.

2.1.2 Безмассовая частица

2.1.3 Выводы.

2.2 Модели бран с магнитным взаимодействием.

2.2.1 Выводы.

2.3 Электрически заряженная струна с током.

2.3.1 Заряженная струна с током

2.3.2 Заряженное кольцо.

2.3.3 Абсолютно несжимаемая струна.

2.3.4 Выводы.

2.4 Локализация поля источника.

2.4.1 Выводы.

2.5 Сокращение расходимостей.

2.5.1 Выводы.

2.6 Реакция излучения мультипольных моментов.

2.6.1 Уравнения движения и мультиполи.

2.6.2 Эффективная динамика мультипольных моментов.

2.6.3 Гидродинамический подход.

2.6.4 Выводы.

3 Самодействие в нелинейных теориях

3.1 Общая постановка проблемы.

3.2 Теория возмущений и регуляризация диаграмм.

3.3 Выводы.

4 Примеры регуляризации в нелинейных теориях

4.1 Гравитирующая брана

4.2 Сингулярный ток в модели фп.

4.3 Массивная электрически заряженная частица.

4.4 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля"

Описание динамики электрически заряженных низкоразмерных структур, таких как частицы, струны, мембраны является традиционным вопросом классической электродинамики. Использование таких моделей обусловлено тем, что они позволяют значительно упростить решение системы интегродифференциальных уравнений Максвелла-Лоренца. Успешное использование низкоразмерных моделей в классической электродинамике стимулировало их использование в других разделах теоретической физики: в гравитации; в теории струн; в теории космических струн; в теории сверхпроводимости, при описании вихрей; в теории дислокаций и т.д. Однако в большинстве случаев исследуется несамосогласованная динамика таких объектов, т.е. обычно считается, что влиянием поля, созданного самим заряженным объектом, можно пренебречь.

Построение уравнений движения с учетом самодействия в рамках классической электродинамики имеет уже столетнюю историю. Для точечной заряженной частицы в четырехмерном пространстве времени эффективные уравнения движения, т.е. уравнения движения с учетом эффектов самодействия, были получены Лоренцом [1] еще в начале прошлого века, а затем обобщены Дираком [2] в 1938 г. на релятивистский случай. Обобщение этих уравнений на произвольный кривой фон было дано ДеВиттом и Бремом [3] в 1960 г. и скорректировано Хоббсом [4] в 1968 г. Обобщения уравнений Лоренца-Дирака на случай заряженной частицы со спином были проведены в работах [5, 6] в 1987-88 гг.

Тем не менее в последние годы снова возрос интерес к получению эффективных уравнений движения в рамках классической теории поля. Это обстоятельство вызвано как ростом экспериментальных возможностей, позволяющих регистрировать влияние эффектов самодействия, так и появлением новых моделей, эффективная динамика которых еще не была исследована. К первым можно отнести изучение эффективной динамики гра-витирующих точечных масс, поскольку есть надежда зарегистрировать таким образом реакцию излучения гравитационных волн (см. [7-10] и ссылки в них). Как ни странно, но бурные исследования в этой области начались только в последнее десятилетие. Второй фактор роста интереса к эффективным моделям низкоразмерных источников полей во многом обязан теории струн, где возникли модели с дополнительным числом измерений пространства-времени, а также такие фундаментальные объекты как браны. В этой связи особое значение имеет получение самосогласованных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) в рамках классической теории поля, которые можно рассматривать как низкоэнергетический предел соответствующих кваптовополевых уравнений, поскольку последовательного квантования моделей с бранами до сих пор еще не построено. На этом направлении были получены обобщения уравнений Лоренца-Дирака на шестимерное плоское пространство-время [11], а также для частиц обладающих, помимо электрического, магнитным зарядом [12, 13]. Кроме того, были найдены ведущие вклады в силу самодействия частиц, струн и бран, взаимодействующих с различным спектром полей [14-20]. Стоит также отметить про непрекращающийся интерес к исследованию динамики сверхпроводящих космологических струн (см. обзор [21]) и струн, приближенно описывающих вихри в сверхпроводниках и плазме [22-28]. Даже в рамках классической электродинамики продолжаются исследования эффективных моделей. Особенно актуальным в этой области на данный момент является получение релятивистских эффективных моделей для неточечных (расширенных) объектов, т.е. для систем заряженных частиц, исходя из системы уравнений Максвелла-Лоренца [29-32].

Исходя из этого были сформулированы цели диссертационной работы:

1. Развитие методов вывода эффективных уравнений движения, позволяющих находить высшие поправки от самодействия, как в линейных, так и в нелинейных моделях классической теории поля.

На этом пути были достигнуты следующие основные результаты:

3. Впервые получены: а) Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели электрически заряженной браны, распространяющейся на фоне пространства Минковского произвольной размерности, в частности, в моделях массивной и безмассовой заряженных частиц. Полученные эффективные уравнения движения обобщают уравнения Лоренца-Дирака для массивной заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени. Найдены явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем неминимальным образом на фоне плоского пространства-времени специальной размерности. Получены явные выражения для расходимостей в моделях частиц с так называемым взаимодействием Фолди. b) Эффективные уравнения движения релятивистской электрически заряженной струны с током. Показано, что репараметризацнонная инвариантность свободного действия струны накладывает ограничения на возможный вид тока. Получены уравнения на внешние электромагнитные поля, при которых возможны стационарные состояния абсолютно эластичной заряженной струны, имеющей форму кольца (окружности). Найдены решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей, а также во внешнем постоянном однородном магнитном поле. В последнем случае дана оценка частоты, на которой можно наблюдать излучение создаваемое кольцом. Найден класс решений эффективных уравнений движения абсолютно несжимаемой заряженной струны с током. c) Условия на константы связи в модели (п — 1)-браны на фоне rf-мерного пространства Минковского, взаимодействующей с мультиплетом полей: антисимметричным тензорным полем, скалярным полем и линеаризованной гравитацией, - обеспечивающие сокращение двух ведущих расходимостей. Показано, что асимптотический ряд силы самодействия сингулярного источника содержит [(d — n — 4)/2] расходящихся слагаемых. d) Пуанкаре-инвариантное описание эффективной динамики локализованной системы заряженных частиц в классической электродинамике при помощи ее собственных мультипольных моментов. Дано релятивистски-инвариантное определение собственных мультипольных моментов, как для точечных систем, так и для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранами). Предложен новый общековариантный функционал действия для релятивистской идеальной жидкости. В случае релятивистской заряженной пыли доказана эквивалентность описания проблемы реакции излучения мультипольных моментов в модели частиц и гидродинамической модели. Получена эффективная модель для нейтральной системы заряженных частиц, обладающей собственным диполъным моментом, и описана ее свободная динамика. e) Условия применимости теории возмущений и соответствующих линеаризованных уравнений в моделях: гравитирующей браны; браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фп; браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией. Установлена неперенормируемостъ гравитационного самодействия браны коразмерности к > 2. Доказана перенормируемость моделей частицы, взаимодействующей со скалярными полями с вершинами ф3 и ф4. Для модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фп, найдено явное выражения для первой нелинейной поправки в силу самодействия. Получено явное выражение для суммы всех одновершинных вкладов в силу самодсйствия частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф*1 ехр (—(Зф2), (3 > 0, и установлена конечность этого выражения в пределе снятия регуляризации.

Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с известными опубликованными работами.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы. Материал изложен на 157 страницах, включает 7 рисунков и список литературы из 145 наименований. Текст диссертации набран в издательской системе Ш^Х.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

4.4 Выводы

В §4.1 была рассмотрена нелинейная эффективная модель гравитирующей браны. Найдено условие применимости теории возмущений (4.1.5) над плоским фоном. Оказалось, что эффективная модель гравитирующей (щ — 1)-браны классически перенормируема, если, и только если, d — щ < 2. Более того, при выполнении этого условия в эффективная модели гравитирующей браны вообще отсутствуют расходимости. При d — щ > 2 (в частности, для гравитирующей частицы на фоне четырехмерного пространства-времени) каждая диаграмма теории возмущений расходится в пределе снятия регуляризации, причем степень расходимости диаграммы нарастает с увеличением числа источников.

В заключение была проанализирована принципиальная возможность экспериментальной проверки выполнения, или не выполнения, условия применимости теории возмущений (4.1.5). Оказалось, что если величина параметра регуляризации может быть фиксирована из каких-либо физических соображений, то такая проверка возможна, поскольку в этом случае можно экспериментально определить все параметры эффективной модели (в том числе и затравочную массу). Отметим, что для самосогласованных уравнений движения гравитирующих тел не выполнен, так называемый, слабый принцип эквивалентности, говорящий о том, что все тела в однородном гравитационном поле падают с одинаковым ускорением. В то же время поправка, нарушающая этот принцип, порядка отношения радиуса Шварцшильда рассматриваемого объекта к его характерным размерам. Требование малости этой величины возникало как необходимое условие применимости теории возмущений, в рамках которой и было получено выражение для этой поправки.

В §4.2 мы рассмотрели эффективную модель (щ - 1)-браны, взаимодействующей со скалярным безмассовым полем с вершиной фп. Было найдено условие применимости теории возмущений (4.2.6) над нулевым фоном ф = 0. Было показано, что при (п — 1)/(п — 2) > (d - щ)/2 эффективная модель является классически перенормируемой. В пограничном случае (п — 1)/(п — 2) = (d — no)/2, каждая диаграмма теории возмущений расходится как £-i/(n-2) Однако мы знаем, что ведущая расходимость может быть поглощена перенормировкой натяжения (массы) браны. После этого "пограничные" модели при п > 4 становятся конечными, при п = 3в модели остается бесконечное число расходящихся слагаемых при е-1/2 и In 5, а при п = 4 остаются только логарифмические расходимости. Модели, удовлетворяющие условию (п — 1 )/(п — 2) = (d - п0)/2, являются конформно-инвариантными, поэтому от всех расходимостей можно избавиться другим способом - переопределив константы связи, или другими словами, выбрав в качестве масштаба длины в такой модели величину параметра регуляризации.

В случае частицы на фоне четырехмерного пространства Минковского эффективная модель является классически перенормируемой если п < 4, что совпадает с известным условием перенормируемости в квантовой теории поля. В частности, при п = 3 эффективная модель в пределе снятия регуляризации становится линейной, т.е. нелинейные поправки будут давать исчезающе малый вклад.

Далее мы нашли явное выражение для ведущего вклада первой нелинейной поправки от самодействия в модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фп на фоне пространства-времени произвольной размерности, (4.2.10), (4.2.11) и (4.2.12). Была проанализирована зависимость результата от выбора схемы регуляризации типа А или Б, где для простоты изложения мы ограничились случаем четномерного пространства-времеин. В этом случае были найдены явные выражения для наиболее существенного вклада по степеням параметра регуляризации в первую нелинейную поправку в рамках регуляризации типа Б. Также была дана асимптотическая оценка при больших п отношения ведущих вкладов, возникающих при регуляризациях типа А и Б (4.2.16). Оказалось, что в четырехмерном пространстве-времени в достаточно большом интервале чисел п обе схемы регуляризации дают практически один и тот же результат.

Ясно, что всегда можно расширить класс полученных перенормируемых моделей, добавив к ним такие модели, которые при больших значениях полей, создаваемых сингулярным источником, эффективно сводятся к известным перенормируемым. В таких моделях необходимо будет ввести такое же конечное число новых параметров, поглощающих все расходимости, как и в той перенормируемой модели, к которой она сводится при больших значениях полей.

В качестве примера перепормируемой модели, полученной в результате такого расширения, была рассмотрена модель (4.2.17) браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной ф4 ехр (~Рф2), /3 > 0. Эта модель становится линейной и безмассовой при больших значениях полей и инвариантна относительно замены ф —» —ф. В случае частицы на фоне четномерного пространства Минковского был найден ведущий вклад (4.2.18) в самодействие от всех одновершинных диаграмм данной модели в рамках регуляризации типа А. Оказалось, что этот вклад конечен в пределе снятия регуляризации и задается формулой (4.2.19). В силу того что ведущий вклад конечен, можно ожидать, что высшие поправки к нему по степеням параметра регуляризации обращаются в нуль. Такого же эффекта, по-видимому, следует ожидать и при более высоких степенях А, т.е. суммы всех двухвершинных, трехвершинных и т.д. диаграмм будут давать конечные вклады в силу самодействия.

В §4.3 была рассмотрена модель электрически заряженной частицы, взаимодействующей, помимо электромагнитных полей, с эйнштейновской гравитацией, т.е., фактически, была рассмотрена система уравнений Эйнштейна-Максвелла с сингулярным источником. Было найдено условие применимости теории возмущений (4.3.11) над фоном gMI/ = г]м1/, Ар = 0 для описания эффективной динамики такой модели. Поскольку мы использовали регуляризацию типа А, в эффективной модели возникло два параметра регуляризации £с и ед, каждый для своего типа источников. Кроме того, формулы (4.3.11) также остаются верными и для модели (п0 — 1)-браны, взаимодействующей с калибровочными полями По-форм на фоне эйнштейновской гравитации. Как и следовало ожидать, при d - щ > 2, при стремлении параметров (или даже одного параметра) регуляризации к нулю, высшие члены ряда теории возмущений будут давать большие вклады чем низшие, и для их перенормировки потребуется вводить в эффективную модель бесконечное число новых параметров, т.е. модель не является классически перенормируемой. В частности, модель заряженной частицы на фоне эйнштейновской гравитации в d = 4 не является перенормируемой.

В заключение для гравнтирующей электрически заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени были выписаны необходимые условия применимости для описания ее эффективной динамики уравнений, получающихся в рамках соответствующих линейных моделей: уравнений Лоренца-Дирака (4.3.14); и уравнений, учитывающих реакцию излучения линеаризованной гравитации (4.3.15). Если эти условия не выполнены, то линейные вклады будут перекрываться нелинейными поправками.

Заключение

В заключение подведем основные итоги проведенного в этой работе исследования эффективной динамики сингулярных источников в классической тории поля:

2. Введено понятие классической перенормируемости модели теории поля с сингулярными источниками аналогичное понятию перенормируемости в квантовой теории поля. Доказано, что линейные модели классически перенормируемы. Для нелинейных моделей указан критерий классической перенормируемости, основанный па размерности констант связи, входящих в действие модели. Найден класс перенормируемых нелинейных моделей с сингулярными источниками.

3. Впервые получены: a) Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели электрически заряженной браны, распространяющейся на фоне пространства Минковского произвольной размерности, в частности, в моделях массивной и безмассовой заряженных частиц. Полученные эффективные уравнения движения обобщают уравнения Лоренца-Дирака для массивной заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени. Найдены явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем неминимальным образом на фоне плоского пространства-времени специальной размерности. Получены явные выражения для расходимостей в моделях частиц с так называемым взаимодействием Фолди. b) Эффективные уравнения движения релятивистской электрически заряженной струны с током. Показано, что репараметризационная инвариантность свободного действия струны накладывает ограничения на возможный вид тока. Получены уравнения на внешние электромагнитные поля, при которых возможны стационарные состояния абсолютно эластичной заряженной струны, имеющей форму кольца (окружности). Найдены решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей, а также во внешнем постоянном однородном магнитном поле. В последнем случае дана оценка частоты, на которой можно наблюдать излучение создаваемое кольцом. Найден класс решений эффективных уравнений движения абсолютно несжимаемой заряженной струны с током. c) Условия на константы связи в модели (п — 1)-браны на фоне (/-мерного пространства Минковского, взаимодействующей с мультиплетом полей: антисимметричным тензорным полем, скалярным полем и линеаризованной гравитацией, - обеспечивающие сокращение двух ведущих расходимостей. Показано, что асимптотический ряд силы самодействия сингулярного источника содержит [(d — n — 4)/2] расходящихся слагаемых. d) Пуанкаре-инвариантное описание эффективной динамики локализованной системы заряженных частиц в классической электродинамике при помощи ее собственных мультипольных моментов. Дано релятивистски-инвариантное определение собственных мультипольных моментов, как для точечных систем, так и для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранамн). Предложен новый общековариантный функционал действия для релятивистской идеальной жидкости. В случае релятивистской заряженной пыли доказана эквивалентность описания проблемы реакции излучения мультипольных моментов в модели частиц и гидродинамической модели. Получена эффективная модель для нейтральной системы заряженных частиц, обладающей собственным дипольнъш моментом, и описана ее свободная динамика. e) Условия применимости теории возмущений и соответствующих линеаризованных уравнений в моделях: гравитирующей браны; браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фп-, браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией. Установлена классическая неперенормируемость гравитационного самодействия браны коразмерности к > 2. Доказана классическая перенормируемость моделей частицы, взаимодействующей со скалярными полями с вершинами ф3 и ф'К Для модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф'\ найдено явное выражения для первой нелинейной поправки в силу самодействия. Получено явное выражение для суммы всех одновершинных вкладов в силу самодействия частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф*ехр(—(3ф2), (3 > 0, и установлена конечность этого выражения в пределе снятия регуляризации.

А Функции Грина уравнения Клейна-Гордона

Поскольку в литературе довольно сложно найти выражения для свободных функций Грина уравнения Клейна-Гордона в пространстве Минковского произвольной размерности, мы в этом приложении получим их явный вид и укажем некоторые свойства, которые будут использоваться при нахождении асимптотик полей, создаваемых сингулярными источниками.

Для вывода функций Грина будем исходить из хорошо известной запаздывающей функции Грина волнового оператора в d = 4 (см., например, [67])

GLoix) = ^(0, е = (А.0.1)

Применяя к этой функции Грина, так называемый, метод спуска [67] получаем для функции Грина уравнения Клейна-Гордона в d = 3 следующее выражение 00 ^ Jdz^-^'JMOJ^cos(m^). СА.0.2)

-00

Применяя в свою очередь метод спуска к (А.0.2) будем иметь 00 = ^ / cos V^) = Щ^ОЮМгпу/t), (А.0.3) оо где Jo(x) - функция Бесселя первого рода (см., например, [144]).

Теперь используя метод спуска получим рекуррентное соотношение для функций Грина в пространстве-времени высших измерений. В силу лоренц-инвариантности запаздывающих функций Грина их можно представить в виде

GdJx) = в(х0 )gdJO, (А.0.4) где <7^(0 ~ некоторая обобщенная функция. Тогда снова применяя метод спуска можем записать 00 ( gdm(0 = j dzxdzrf+2{l -z[- z!) = VJ dtgdm^(t), (A.0.5)

-OO -00 откуда следует рекуррентное соотношение

OdJ2(0 = (A.0.6)

Окончательно, для запаздывающих функций Грина уравнения Клейна-Гордона имеем d-2)/2

Gdm(x) =

1 2 г / d \ >'

-n^eixo) I 0(ОМт>Д) ПРИ четном d > 2,

-7г~2~#(:го) ( ) cos (myfa ПРИ нечетном d > 3.

2 v£

А.0.7)

Также нам будет полезно еще одно рекуррентное соотношение между функциями Грина [145]. А именно: заметим, что из определения функции Грина следует d2 + m2)gd.2(0 = 2[(d - 2)g'd2(0 + 2^'2(£)] = О, (А.0.8) где f зависит от (d — 2) переменных х'1. Поэтому + m2)^2(£) = 2[dg'd2(0 + 2^'-2(0] - 4g'd2(0, (А.0.9) где £ уже зависит от d переменных х*. Тогда из равенства (А.0.6) получаем + (А.0.10)

В Система координат Морса

Лемма 1 (Морс). Пусть / : Rd —> R1 - функция класса С2, имеющая точку 0 € Rrf своей невырожденной критической точкой. Тогда в некоторой окрестности U точки О существует такая система локальных координат {t'}, г = l,d с центром в 0, что Vi € U имеет место равенство

М = т + тт№, (В.0.1) где rjij = diag(-1,., —1,1., 1). Число отрицательных элементов матрицы щ называется индексом Морса критической точки 0 функции /.

В дальнейшем такую систему координат будем называть системой координат Морса. Также мы будем рассматривать случай, когда /(т) и функции перехода 1'(т), где {т1} исходные координаты на Rd, принадлежат классу С00.

Нашей целью является нахождение начального отрезка ряда Тейлора

71=1 связывающего произвольные координаты т в окрестности критической точки 0 функции / с морсовскими координатами t. Выполнив при необходимости линейную замену координат, можно считать, что гессиан функции /(т) в критической точке имеет вид дг]/(0) = 2r]tj.

Подставив разложение (В.0.2) в формулу (В.0.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях т\ получим цепочку рекуррентных соотношений для определения коэффициентов i)1.Jk- В частности, в первом порядке по т получим щ = tkr;kitj, и потому можно положить I'j = С учетом сделанного выбора для (псевдо)ортогональной матрицы t3t уравнения для высших порядков по г примут вид:

1 1 s=2 гДе tk,i\.in =

Лпщ, Q - биномиальный коэффициент; и круглые скобки означают симметризацию индексов.

Поскольку координаты Морса определены неоднозначно, полученная цепочка уравнений имеет множество решений. Наложив, например, дополнительное условие h,h-in-i = t(k,ii.i„-i), (В.0.4) приходим к решению, у которого коэффициенты f* . in получаются поднятием индекса у полностью симметричного тензора, стоящего в правой части уравнения (В.0.3). Например, три первых коэффициента ряда (В.0.2) даются выражениями:

U,j = Vij, hjk = £<W(0), tiJkl = ^dijkif(0) - ■^[Oilsf{0)0]kd4f{0) + cycle(i, j, k)].

B.0.5)

Если построенный по найденным производным матрицы Якоби ряд Тейлора сходится в некоторой малой окрестности критической точки функции /, то формулы (В.0.3) вместе с формулами (В.0.4) позволяют явно построить систему координат Морса. В противном случае можно лишь говорить о том, что произвольное конечное число первых производных матрицы Якоби в критической точке функции / имеют данный вид.

Можно сформулировать тривиальное обобщение леммы Морса в одномерном случае.

Лемма 2. Пусть f : IR1 —» R1 - функция класса Ск, к > 1, имеющая в точке 0 € IR1 равными нулю первые k — 1 своих производных и отличной от нуля к-ой производной. Тогда в некоторой окрестности U точки 0 существует такая система локальных координат {£} с центром в 0, что \/t 6 [/ имеет место равенство

W = /(0) + sgn(/W(0))ffc. (В.0.6)

Ясно, что если к нечетно, то знак в формуле (В.0.6) при tk всегда можно сделать положительны, совершив, при необходимости, замену t —> —t. Доказательство леммы сводится к доказательству гладкости (соответствующей степени) замены т - t = ySgn(/W(0))[/(r)-/(0)], (В.0.7) т.е., фактически, к доказательству существования первых к производных от t по г в пределе т —> 0, поскольку в остальных точках гладкость очевидна. Существование таких пределов можно доказать, например, используя непрерывность функции корня и правило Лопиталя. В разделе §2.1.2 мы будем использовать эту лемму для случая к = 4.

С Асимптотическое разложение основного интеграла

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Казинский, Пётр Олегович, Томск

1. Lorentz Н.А. Theory of electrons. Leipzig: B.G. Teubner, 1909; Лоренц Г.А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. - М.: Гостех-теориздат, 1956. - 471с.

2. Dirac Р.А.М. Classical theory of radiating electrons//Proc. Roy. Soc. London A. 1938. - v. 167. - p. 148.

3. DeWitt B.S., Brehme RAV. Radiation damping in a gravitational field//Ann. Phys. -1960. v. 9. - p. 220.

4. Hobbs J.M. A vierbein formalism of radiation damping//Ann. Phys. 1968. - v. 47. -p. 141.

5. Rowe P.E.G., Ilo\ve G.T. The classical equations of motion for a spinning particle with charge and magnetic moment//Phys. Rep. 1987. - v. 149. - p. 287.

6. Barut A.O., Unal N. Generalization of the Lorentz-Dirac equation to include spin//Phys. Rev. A. 1989. - v. 40. - p. 5404.

7. Mino Y., Sasaki M., Tanaka T. Gravitational radiation reaction to a particle mo-tion//Phys. Rev. D. 1997. - v. 55. - p. 3457. gr-qc/9606018.

8. Quinn T.C., Wald R.M. Axiomatic approach to electromagnetic and gravitational radiation reaction of particles in curved spacetime//Phys. Rev. D. 1997. - v. 56. - p. 3381. gr-qc/9610053.

9. Detweiler S., Whiting B.F. Self-force via a Green's function decomposition//Phys. Rev. D. 2003. - v. 67. - p. 024025. gr-qc/0202086.

10. Poisson E. The motion of point particles in curved spacetiine//Living Rev. Relativity. -2004. v. 7. gr-qc/0306052.

11. Косяков Б.П. Точные решения в классической электродинамике и теории Янга-Миллса-Вонга в пространстве-времени четного числа измерений//ТМФ. 1999. -т. 119. - с. 119. hep-th/0207217.

12. Rohrlich F. Classical theory of magnetic monopoles//Phys. Rev. 1966. - v. 150. - p. 1104.

13. Chen P., Hartemann F.V., van Meter J.R., Kerman A.K. Radiative corrections in symmetrized classical eIectrodynamics//Phys. Rev. E. 2000. - v. 62. - p. 8640.

14. Barut A.O., Pavsic M. Dirac's shell model of the electron and the general theory of moving relativistic charged membranes//Phys. Lett. B. 1993. - v. 306. - p. 49.

15. Barut A.O., Pavsic M. Radiation reaction and the electromagnetic energy-momentum of moving relativistic charged membranes//Phys. Lett. B. 1994. - v. 331. - p. 45.

16. Carter В. Electromagnetic self interaction in strings//Phys. Lett. B. 1997. - v. 404. -p. 246. hep-th/9704210.17. van Holten JAV. Stability and mass of point particles//Nucl. Pliys. B. 1998. - v. 529.- p. 525. hep-th/9709141.

17. Buonanno A., Damour T. Effective action and tension renormalization for cosmic and fundamental strings//Pliys. Lett. B. 1998. - v. 432. - p. 51. hep-th/9803025.

18. Battye R.A., Carter В., Mennim A. Regularization of the linearized gravitational self-force for branes//Phys. Rev. Lett. 2004. - v. 92. - p. 201305. hep-th/0312198.

19. Battye R.A., Carter В., Mennim A. Linearized self-forces for branes//Phys. Rev. D. -2005. v. 71. - p. 104026. hep-th/0412053.

20. Hindmarsh M.B., T.W.B. Kibble T.W.B. Cosmis strings//Rept. Prog. Phys. 1995. -v. 58. - p. 477. hep-ph/9411342.

21. Da Rios L.S. Sul moto d'un liquido indelinito con un filetto vorticoso//Rend. Circ. Mat. Palermo. 1906. - v. 22. - p. 117.

22. Betchov R. On the curvature and torsion of an isolated vortex filament//J. Fluid. Mech.- 1965. v. 22. - p. 471.

23. Hasimoto H. A soliton on a vortex filament//J. Fluid. Mech. 1972. - v. 51. - p. 477.

24. Kleinert H. Gauge fields in condensed matter, v. 1. Superflow and vortex lines. -Singapore: World Scientific, 1989. 742 p.

25. Ricca R.L. Intrinsic equations for the kincmatics of a classical vortex string in higher dimensions//Phys. Rev. A. 1991. - v. 43. - p. 4281.

26. Isichenko M.B., Uby L., Yankov V.V. Vortex filament dynamics in plasmas and super-conductors//Phys. Rev. E. 1995. - v. 52. - p. 932; ibid. - 1996. - v. 53. - p. 4246 (erratum).

27. Schief W.K., Rogers C. The Da Rios system under a geometric constraint: The Gilbarg problem//J. Geoin. Phys. 2005. - v. 54. - p. 286.

28. Ori A., Rosenthal E. Universal self-force from an extended object approach//Phys. Rev. D.- 2003. v. 68. - p. 041701 (R).

29. Ori A., Rosenthal E. Calculation of the self force using the extended object approach//J. Math. Phys. 2004. - v. 45. - p. 2347. gr-qc/0309102.

30. Harte A.I. Self-forccs on extended bodies in electrodynamics//Phys. Rev. D. 2006. -v. 73. - p. 065006. gr-qc/0508123.

31. Sanchez J.M., Poisson E. Extended-body approach to the electromagnetic self-force in curved spacetime//gr-qc/0512111.

32. Казинский П.О., Шарапов А.А. Реакция излучения и перенормировка в теории протяженных релятивистских объектов//Новейшие проблемы теории поля/Под ред. А.В. Аминовой. Казань, 2004. - т. 4. - с. 117.

33. Казинский П.О., Шарапов А.А. Реакция излучения и перенормировка в классической теории поля с сингулярными источннками//ТМФ. 2005. - т. 143. - с. 375.

34. Kazinski P.O., Lyakhovich S.L., Sharapov А.А. Radiation reaction and renormalization in classical electrodynamics of a point particle in any dimension//Phys. Rev. D. 2002. - v. 66. - p. 025017. hep-th/0201046.

35. Kazinski P.O., Sharapov A.A. Radiation reaction for a massless charged particle//Class. Quant. Grav. 2003. - v. 20. - p. 2715. hep-th/0212286.

36. Казинский П.О. Эффективная динамика электрически заряженной струны с то-ком//ЖЭТФ. 2005. - т. 128. - с. 312. hep-th/0507237.

37. Kazinski P.O. Radiation reaction for multipole moments//hep-th/0604168.

38. London F., London H. The electromagnetic equations of the supraconductor//Proc. Roy. Soc. London A. 1935. - v. 149. - p. 71.

39. Balachandran A.P., Skagerstam B.S., Stern A. Gauge theory of extended objects//Phys. Rev. D. 1979. - v. 20. - p. 439.

40. Skagerstam B.S., Stern A. Magnetic superconductors and the MIT bag model//Z. Physik C. 1980. - v. 5. - p. 347.

41. Skagerstam B.S., Stern A. Superconducting extended objects and applications to the phase structure of quantum chromodynamics//Phys. Rev. D. 1982. - v. 25. - p. 1681.

42. Foldy L.L. The electromagnetic properties of Dirac particles//Phys. Rev. 1952. - v. 87. - p. 688.

43. Foldy L.L. The electron-neutron interaction//Phys. Rev. 1952. - v. 87. - p. 693.

44. Foldy L.L. Neutron-electron interaction//Rev. Mod. Phys. 1958. - v. 30. - p. 471.

45. Frenkel J. Die Elektrodynamik des rotierenden Elektrons//Z. Physik. 1926. - v. 37. -p. 243.

46. Bhabha H.J., Corben H.C. General classical theory of spinning particles in a Maxwell field//Proc. Roy. Soc. London A. 1941. - v. 178. - p. 273.

47. Bargmann V., Michel L., Telegdi V.L. Precession of the polarization of particles moving in a homogeneous electromagnetic field//Phys. Rev. Lett. 1959. - v. 2. - p. 435.

48. Good R.H. Jr. Classical equations of motion for a polarized particle in an electromagnetic field//Phys. Rev. 1962. - v. 125. - p. 2112.

49. Wong S.K. Field and particle equations for the classical Yang-Mills field and particles with isotropic spin//Nuovo Cimento. 1970. - v. 65. - p. 689.

50. Halbwaches F. Lagrangian formalism for a classical relativistic particle endowed with internal structure//Prog. Theor. Phys. 1960. - v. 24. - p. 291.

51. Fradkin D.M., Good R.H. Jr. Electron polarization operators//Rev. Mod. Phys. 1961.- v. 33. p. 343.

52. Bagrov V.G., Bordovitsyn V.A. Classical spin tlieory//Russ. Phys. J. 1980. - v. 23. -p. 128.

53. Бабурова О.В., Багров В.Г., Вшивцев А.С. Фролов Б.Н. Движение цветной частицы со спином в неабелевых калибровочных полях в пространстве Римана-Картана//Препринт Л'аЗЗ томского филиала СО АН СССР, 1988.

54. Babourova O.V., Frolov B.N., Myasnikov V.P., Vshivtsev A.S. Spin particle with a color charge in a color field in Riemann-Cartan space//Phys. Atom. Nucl. 1998. - v. 61. -p. 2175. hep-th/0407153.

55. Stenholm S. The semiclassical theory of laser cooling//Rev. Mod. Phys. 1986. - v. 58. - p. 699.

56. Wilkens M. Quantum phase of a moving dipole//Phys. Rev. Lett. 1994. - v. 72. - p. 5.

57. Spavieri G. Quantum effect for an electric dipole//Phys. Rev. A. 1999. - v. 59. - p. 3194.

58. Anandan J. Classical and quantum interaction of the dipole//Phys. Rev. Lett. 2000.- v. 85. p. 1354.

59. Bordovitsyn V.A., Byzov N.N., Razina G.K., Epp V.Ya Radiation of a relativistic magneton. I//Russ. Phys. J. 1978. - v. 21. - p. 557.

60. Bordovitsyn V.A., Byzov N.N., Razina G.K. Radiation of a relativistic magneton. II//Russ. Phys. J. 1980. - v. 23. - p. 454.

61. Bordovitsyn V.A., Byzov N.N., Razina G.K. Radiation of a relativistic magneton. III//Russ. Phys. J. 1980. - v. 23. - p. 861.

62. Teitelboim C. Splitting of the Maxwell tensor: Radiation reaction without advanced fields//Phys. Rev. D. 1970. - v. 1. - p. 1572.

63. Teitelboim C. Splitting of the Maxwell tensor. II. Sources//Phys. Rev. D. 1971. - v. 3. - p. 297.

64. Курант P. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. - 830 с.

65. ДеВитт B.C. Динамическая теория групп и полей. М.: Наука, 1987. - 288 с.

66. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физ-матлит, 1959. - 470 с.

67. Giirses М., Sarioglu О. Lienard-Wiechert potentials in even dimensions//J. Math. Phys.- 2003. v. 44. - p. 4672. hep-th/0303078.

68. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. М.: Мир, 1970. - 224 с.

69. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: Физматгиз, 1961. - 463 с.73. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Иностранная литература, 1956.- 248 с.

70. Lechner К., Marchctti P.A. Dirac branes, characteristic currents and anomaly cancellations in 5-branes//Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.). 2001. - v. 102 к 103. - p. 94. hep-th/0103161.

71. Polyakov A.M. Fine structure of strings//Nucl. Phys. B. 1986. - v. 268 - p. 406.

72. Kleinert H. The membrane properties of condensing strings//Phys. Lett. B. 1986. - v. 174. - p. 335.

73. Curtright T.L., Ghandour G.I., Zaclios C.K. Classical dynamics of strings with rigid-ity//Phys. Rev. D. 1986. - v. 34 - p. 3811.

74. Lindstrom U., Rocek M., van Nienwenhuizen P. A Weyl-invariant rigid string//Phys. Lett. B. 1987. - v. 199. - p. 219.

75. Maeda K., Turok N. Finite-width corrections to the Nambu action for the Nielsen-Olcsen string//Phys. Lett. B. 1988. - v. 202. - p. 376.

76. Itoi Ch., Kubota H. BRST quantization of the string model with extrinsic curva-ture//Phys. Lett. B. 1988. - v. 202. - p. 381.

77. Gregory R. Effective action for a cosmic string//Phys. Lett. B. 1988. - v. 206. - p. 199.

78. Barr S.M., Hocliberg D. Fine structure of local and axion strings//Phys. Rev. D. 1989. - v. 39 - p. 2308.

79. Кетов C.B. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. - 368 с.

80. Chervyakov A.M., Nesterenko V.V. Is it possible to assign physical meaning to field theory with higher derivatives?//Phys. Rev. D. 1993. - v. 48. - p. 5811. hep-th/9305175.

81. Polyakov A.M. Fermi-Bose transmutations induced by gauge ficlds//Mod. Phys. Lett. A. 1988. - v. 3. - p. 325.

82. Plyuschay M.S. Canonical quantization and mass spectrum of relativistic particle analogue of relativistic string with rigidity//Mod. Phys. Lett. A. 1988. - v. 3. - p. 1299.

83. Pavsic M. Classical motion of membranes, strings and point particles with extrinsic cur-vature//Phys. Lett. B. 1988. - v. 205. - p. 231.

84. Grundberg J., Isberg J., Lindstrom U., Nordstrom H. On smooth spinning particles and strings//Phys. Lett. B. 1989. - v. 231. - p. Gl.

85. Grundberg J., Isberg J., Lindstrom U., Nordstrom H. Canonical quantization of a rigid particle//Mod. Phys. Lett. A. 1990. - v. 5. - p. 2491.

86. Plyuschay M.S. The model of the relativistic particle with torsion//Nucl. Phys. B. -1991. v. 362. - p. 54.

87. Plyuschay M.S. Does the quantization of a particle with curvature lead to the Dirac equation//Phys. Lett. B. 1991. - v. 253. - p. 50.

88. Kuznetsov Yu. A., Plyuschay M.S. The model of the relativistic particle with curvature and torsion//Nucl. Phys. B. 1993. - v. 389. - p. 181.

89. Nesterenko V.V., Feoli A., Scarpetta G. Complete integrability for Lagrangians dependent on acceleration in a spacetime of constant curvature//Class. Quant. Grav. 1996. -v.13. - p. 1201. hep-th/9505064.

90. Нерсесян А.П. Лагранжева модель безмассовой частицы на пространственноподоб-ных кривых//ТМФ. 2001. - v. 126. - р. 179.

91. Gal'tsov D. V. Radiation reaction in various dimensions//Phys. Rev. D. 2002. - v. 66. -p. 025016. hep-th/0112110.

92. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Физматлит, 1979. - 760 с.

93. Yaremko Yu. Radiation reaction, rcnormalization and Poincare symmetry//SIGMA. -2005. v. 1. - p. 012. math-ph/0511075.

94. Isberg J., Lindstrom U., Sundborg В., Theodoridis G. Classical and quantized tensionless strings//Nucl. Phys. B. 1994. - v. 411. - p. 122. hep-th/9307108.

95. London F. Superfluids. v.l. New York: Jonh Wiley k. Sons, 1950.

96. Ketterson J.В., Song S.N. Superconductivity. Cambrige: Cambrige University Press, 1999. - 512 p.

97. Witten E. Superconducting strings//Nucl. Pliys. B. 1985. - v. 249. - p. 557.

98. Carter B. Intcgrable equation of state for noisy cosmic strings//Phys. Rev. D. 1990. -v. 41. - p. 3869.

99. Bento M.C., Bertolami O., Sen A.A. Generalized Chaplygin gas, accelerated expansion, and dark-energy-matter unification//Phys. Rev. D. 2002. - v. 66. - p. 043507. - p. 3869.

100. Fujita Sli., Godoy S. Theory of High Temperature Superconductivity. Netherlands: Springer, 2002. - 388 c.

101. Onsager L. Magnetic flux through a superconducting ring//Phys. Rev. Lett. 1961. -v. 7. - p. 50.

102. Bardeen J. Quantization of flux in a superconducting cylinder//Phys. Rev. Lett. -1961. v. 7. - p. 162.

103. Lipkin H.J., Peshkin M., Tassie L.J. Flux quantization and the current-carrying state in a superconducting cylinder//Phys. Rev. 1962. - v. 126. - p. 116.

104. Deaver B.S. Jr., Fairbank W.H. Experimental evidence for quantized flux in superconducting cycIinders//Phys. Rev. Lett. 1961. - v. 7. - p. 43.

105. Ehrenberg W., Siday R.E. The refractive index in electron optics and the principles of dynamics//Proc. Phys. Soc. B. 1949. - v. 62. - p. 8.

106. Aharonov Y., Bolim D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum the-ory//Phys. Rev. 1959. - v. 115. - p. 485.

107. Aharonov Y., Bohm D. Further considerations on electromagnetic potentials in the quantum theory//Phys. Rev. 1961. - v. 123. - p. 1511.

108. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. - 400 с.

109. Багров В.Г., Бисноватый-Когаи Г.С., Бордовицын В.А., Борисов А.В., Дорофеев О.Ф., Жуковский Б.Ч., Пивоваров Ю.Л., Шорохов О.В., Эпп В.Я. Теория излучения релятивистских частиц. М.: Физматлит, 2002. - 576 с.

110. Меркли Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. - 240 с.

111. Jackiw R., Polychronakos А.Р. Fluid dynamical profiles and constants of motion from rf-branes//Commun. Math. Phys. 1999. - v. 207. - p. 107. hep-th/9902024.

112. Jackiw R., Nair V.P., Pi S.-Y., Polychronakos A.P. Perfect fluid theory and its exten-sions//J. Phys. A. 2004. - v. 37. - p. R327. hep-ph/0407101.

113. Vilenkin A. Effect of small-scale structure on the dynamics of cosmic strings//Phys. Rev. D. 1990. - v. 41. - p. 3038.

114. Сухомлин Н.Б., Шаповалов B.H. Теория разделения переменных в уравнениях математической физнки//Изв. вузов. Физика. 1995. - т. 38. - с. 128.

115. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. - 736 с.

116. Silenko A. Ya. Quantum-mechanical expressions for the current electric dipole and quadrupole moments and the current electrostatic contact interaction//Russ. Phys. J. -1995. v. 38. - p. 385.

117. Isgur N. Interpreting the neutron's electric form factor: Rest frame charge distribution or Foldy term?//Phys. Rev. Lett. 1999. - v. 83. - p. 272. hep-ph/9812243.

118. Leimvcber D.B., Thomas A.W., Young R.D. Cliiral symmetry and the intrinsic structure of the nuclcon//Phys. Rev. Lett. 2001. - v. 86. - p. 5011. hep-ph/0101211.

119. Kelly J.J. Nuclcon charge and magnetization densities from Sachs form factors//Phys. Rev. C. 2002. - v. 66. - p. 065203. hep-ph/0204239.

120. Il'icheva T.P., Maksimenko N.V., Shul'ga S.G. On the neutron-charge radius in a quark model//Russ. Phys. J. 2005. - v. 48. - p. 1210.

121. Carroll S.M. Lecture notes on general relativity//gr-qc/9712019.

122. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.; Физматлит, 2001. - 536 с.

123. Wilson K.G. The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo prob-lem//Rev. Mod. Phys. 1975. - v. 47. - p. 773.

124. Ma Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980. - 297 с.

125. Фрадкин Е.С. К вопросу о реакции собственного поля заряженной части-цы//ЖЭТФ. 1950. - т. 20. - с. 211.

126. Bailey I., Israel W. Lagrangian dynamics of spinning particles and polarized media in general relativity//Cominun. Math. Phys. 1975. - v. 42. - p. 65.

127. Tauber G.E. Canonical formalism and equations of motion for a spinning particle in general relativity//Int. J. Theor. Phys. 1988. - v. 27. - p. 335.

128. Barut A.O. Electrodynamics and classical theory of fields and particles. New York: Dover publications, 19C4. - 235 p.

129. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S., Zhukova I.N. Radiation of relativistic dipoles. I//Russ. Phys. J. 1993. - v. 36. - p. 148.

130. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S., Zhukova I.N. Radiation by relativistic dipoles. II//Russ. Phys. J. 1993. - v. 36. - p. 247.

131. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S. Radiation by relativistic dipoles. III//Russ. Phys. J.- 1994. v. 37. - p. 49.

132. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S. Radiation by relativistic dipoles. IV//Russ. Phys. J.- 1995. v. 38. - p. 155.

133. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S. Radiation by relativistic dipoles. V//Russ. Phys. J.- 1995. v. 38. - p. 293.

134. Bohm D., Weinstein M. The self-oscillations of a charged particle//Phys. Rev. 1948.- v. 74. p. 1789.

135. Arnold V.I., Khesin B.A. Topological methods in hydrodynamics. New York: Springer, 1998. - 374 p.

136. Taub A.H. General relativistic variational principle for perfect fluids//Phys. Rev. 1954.- v. 94. p. 1468.

137. Schutz B.F. Jr. Perfect fluids in general relativity: Velocity potentials and a variational principle//Phys. Rev. D. 1970. - v. 2. - p. 2762.

138. Brown D. Action functional for relativistic perfect fluids//Class. Quant. Grav. 1993.- v. 10. p. 1579. gr-qc/9304026.

139. Haji'cek P., Kijowski J. Lagrangian and hainiltonian formalism for discontinuous fluid and gravitational field//Phys. Rev. D. 1998. - v. 57. - p. 914.; ibid. - 2000. - v. 61. - p. 129901(E) (erratum), gr-qc/9707020.

140. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений; -М.: Физматлит, 1962. 1100 с.

141. Владимиров B.C. Обощенные функции в математической физике. М.: Физматлит, 1976. - 280 с.