Поля Эйнштейна-Максвелла с заряженной идеальной жидкостью при равенстве нулю силы Лоренца тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

ПОЛЯ ЭЙНШТЕЙНА-МАКСВЕЛЛА С ЗАРЯЖЕННОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ ПРИ РАВЕНСТВУ НУЛЮ СИЛЫ ЛОРЕЯЦА

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 530.12

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Российского Университета дружбы народов

Научнйй руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Н.В. Мицкевич

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук D.O. Владимиров кандидат физико-математических наук Г.А. Алексеев

Ведущая организация -Научно-исследовательский цевтр по изучение свойств поверхности и вакуума

Защита диссертации состоится "¿5 " SHftcUl.$ 1994 г. в час. ДО. мин. на заседании специализированного совета К 053.22.01 в Российском Университете дружбы народов по адресу: II7302, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал №1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: II7I98, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-магема доцент

Запарованный

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В обшей теории относительности одним из способов изучения явлений, связанных с неинерциальностыэ системы отсчёта, является получение точных решений уравнений теории (уравнений Эйнштейна) для конкретного источника гравитационного поля и анализ свойств этих решений в неинерци-альной системе отсчёта.

Точные решения уравнений Эйнштейна (которые представляют собой самостоятельное направление исследований в современной теории гравитации) для заряженной пыли с бессиловым электромагнитным полем были получены во многих работах (см. [I] ). Но, до сих пор не была систематически рассмотрена проблема нахождения точных решений уравнений Эйнштейна для заряженной идеальной жидкости при равенстве нули силы Лоренца. Кроме того, условие равенства нулю силы Лоренца рассматривалось как упрощавшее предположение, не имевшее физического смысла. Возможно, это обстоятельство и явилось причиной того, что упомянутые решения не были включены в известную книгу по точным решениям уравнений Эйнштейна [2] .

В диссертации рассматривается проблема нахождения точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла с заряженной идеальной жидкостью при равенстве нулю силы Лоренца. Одновременно, условие равенства нулю силы Лоренца исследуется с помощью уравнений Максвелла, записанных в произвольной системе отсчёта и в произвольном гравитационном поле в терминах векторов электрической и магнитной напряжённостей. Такой анализ позволяет снять сомнения относительно непротиворечивости подобных результатов, а также дать физическую интерпретацию для условия равенства нулю силы Лоренца.

Цель работы. Главной целью работы является получение новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца и исследование свойств новых решений. Целью работы является также демонстрация работы сравнительно нового метода генерирования точных решений, предложенного Мицкевичем и Хорским.

Научная новизна и научно-практическая значимость. Научная новизна работы состоит в получении ряда новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной

жидкости с бессиловым электромагнитным полем и в предложении метода генерирования таких ревении с помощь» известных решений уравнений Эйнштейна.

Научно-практическая значимость полученных результатов состоит в том, что эти результаты могут быть использованы для анализа поведения заряженной жидкости, находящейся в собственном электромагнитном и гравитационном полях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации проходили апробацию на научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН, на научном семинаре "Физика и Геометрия" физического факультета МГУ, на научном семинаре НИЦПВ, на научном семинаре Астрономического Института МГУ и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

Публикации. Результаты проведённых исследований опубликованы в четырёх печатных работах, списрк которых приведён в конце автореферата.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Полный объём диссертации - страниц машинописного текста. Библиография - 128 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Во Введении сформулированы основные цели исследования, дан краткий обзор предыдущих результатов по теме диссертации и приведены основные определения и соотношения общей теории относительности, теории дифференциальных форм и монадного формализма, используемые в диссертации. Приведена также монад над запись уравнений Максвелла, Используя определения векторов электрической и магнитной капряжённостей

<= Е - * (т Л * Р) , (I)

в = - тусЬс^ <= —> В=*(тлг) (2)

где т - монада, определяющая систему отсчёта, Р^Г^усЫ^АсЬс* - тензор электромагнитного поля, -к - звёздочка Ходжа, уравнения Максвелла Р^ --¿/КЗ* и Г^^^О могут быть записаны б произвольной системе отсчёта и произвольном гра-

витационном поле [з]

otivE - ЧГСГ + 2CÜA& , (За)

rM + G*B ^(¿E-2E^DCdxv-t D£e) + HTTj , Об)

ctivB = - ZU) Л E , (Зв)

rolE •+ GxE DfB), (3D

где <r и j - плотности заряда и 3-тока, соответственно-, G , oj vi ü^v - вектор ускорения, вектор угловой скорости вращения и тензор скоростей деформации системы отсчёта, соответственно-, А4В - трехмерное скалярное произведение, Ах В -трёхмерное векторное произведение, i - производная Ли.

В Главе I получены цилиндрически-симметричные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной материи с бессиловым электромагнитным полем.

В §1 получена система уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости в случае цилиндрической симметричности пространства-времени. Метрический элемент стационарного, цилиндрически-симметричного пространства-времени записывается следу diu им образом:

{Ul-wfyf-Wdty1 -evUzz + dp2) , (4)

где I , W , D и V зависят лишь от р . 4-скорость жидкости u , вектор-потенциал электромагнитного поля А и плотность 4-тока 3 задаются выражениями

а - Г112 3t , (5)

А = Ф cLl + ¥сЦ> , (б)

а - ста , (7)

где Ф , Ч* и СГ - такие зависят липь от j) . Условие равенства нулю силы Лоренца

F^te^o (8)

приводит к тому, что

Ф = со«*4. (9)

Далее, строятся тензоры энергии-импульса идеальной жидкости и электромагнитного поля. Компоненты тензора Риччи находятся с помощьп результатов Приложения I. Уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла приводят к системе из семи уравнений для нахождения восьми неизвестных , у , О , V ( , р ,

сг и ¥ , где р. и р - плотность энергии и давление жидкости, соответственно. Преобразуя данную систему мы получаем такую систему уравнений, в которой все неизвестные функции выражаится через ^ и О и их производных, а функции £ и О связаны между собой одним дифференциальным уравнением. Уравнения движения сводятся к выражению 1)4.4р) + 2р'= О где штрих означает дифференцирование по р .

В §2 решается система уравнений Эйнштейна-Максвелла для случаев пыли и идеальной жидкости с постоянным давлением. В случае пыли ( р = 0) мы получаем решение Сома-Райчаудури [4]. В случае жидкости с постоянным давлением показано, что проблема сводится к решение следуощего нелинейного дифференциального уравнения второго порядка:

О"- ЬОР'-дО =0 , (Ю)

где & и - константы. При (что соответствует по-

стоянству v ) мы приходим к решении Банержи-Банержи [5]. При (что соответствует конкретному отношению между и

и ¥ ) первое интегрирование уравнения (10) даёт 0'= = |I!к) , где С - константа интегрирования. В зависимости от знака отношения ¿/к мы получаем три решения данного уравнения и системы в целом. Два из этих решений удовлетворяют условии регулярности на оси вращения ([2], с.173). Третье реиение не удовлетворяет этому условии. Два регулярных цилиндрически-симметричных решения имеет вид: (I). 1/1>о

ч

х^-^-ту^ссх^Ар) - зАг , хр - Аг >

(И)

(2). 11к<0

сЬг МА-2^ (Ар) А-ги2(Лр) ¿у2 -

эер - |-упгск2(Ар) -зАг } зер-А2> (12)

Ччг<Г = , Ч = А-2 ¿иск (Ар) ,

где Ум и А\ - постоянные, А^з А/2 . Решение (II) является частным случаем семейства решений (2 5), полученного в Главе III. Решение (12) является новым.

В §3 исследуются некоторые свойства решений (II) и (12). Показано, что они относятся к типу I по Петрову и допускают трёхпараметрическую группу изометрий, соответствующую стационарности и цилиндрической симметричности задачи. Показано, также, что при больших значениях р в решении (12) допускаются замкнутые временноподобные линии. В решении (II) такие линии отсутствуют. Найдены выражения для в , и) и О^у . В общем случае они задаются выражениями

, со^ч'скъ ; О0. (13)

С помощью определений (I) и (2) найдены выражения для Е и В в сопутствующей зарядам системе отсчёта ( 1 = и. ):

Е = о , В = !"20-£¥'о12 . (14)

Показано, что отсутствие электрического поля в сопутствующей зарядам системе отсчёта связано с тем, что во вращающейся системе отсчёта электрическое поле, производимое реальными зарядами с плотностью <Г .может быть полностью компенсировано электрическим полем, производимым эффективными зарядами (см. (За)). Можно легко проверить, что в полученных решениях

выполняется соотношение ¿¡уЕ = НЯ(Г + 2.ои*В ~0

В Главе II получены аксиально-симметричные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца.

В §1 используя снова соотношения (4)-(9) (где теперь все функции зависят не только от р , но и от 2. ) строится система уравнений Эйнштейна-Максвелла. Уравнения движения сводятся к соотношениям

Г\(^р) + гр2 ^о , (|л+р)+2р? = о , (15)

где индексы £ и 2 означают дифференцирование по соответствующей координате.

В §2 рассматривается случай пыли ( р-=о ), который приводит к общему решению, зависящему от двух гармонических функций и полученному Боннором в 1980 г. [б! . Приводится частный случай этого решения, переходящий в решение Сома-Райчаудури, когда исключается зависимость от 2. .

В §3 рассматривается случай идеальной жидкости с постоянным давлением ( р -от^-Ф0 ). С помощью предположений 0=р/иь), оч/ = тр2" и (то и VI _ константы), обеспе-

чивающих выполнение условия регулярности на оси симметрии, совпадение оси вращения с осью симметрии 02 и параллельность векторов о) и В , решение системы уравнений Эйнштейна-Максвелла сводится к решении уравнения

, (16)

где С1= ^(г^-я-ур/ял!) , С - константа. Получено общее решение уравнения (16), а также решение при а= О , которое не является частным случаем общего решения, так как константа а входит в знаменателе замены переменной, необходимой для решения уравнения (16). Таким образом, получено два новых аксиально-симметричных решения, имеющих следующий вид: (I). афо

^ , Ь и Не - константы интегрирования, эллиптическая функция Якоби, сп2-^ £-. (2). а-о

(^^(сЦ-т(Б2 + А)~2(+ <Иг + с1рг) ,

2+Л)"-Зб2 , = (18)

(хш (вг+к)4 , /2Г/Х Мр2- ,

где А и В - константы интегрирования. Отметим, что решение (17) переходит в однородное решение Сома-Райчаудури при а^=Ь = о . Решение (18) также переходит в однородное решение Сома-Райчаудури при &=о .

В §4 рассматривается случай идеальной жидкости с непостоянным давлением ( р-*сс-у>5^). В этом случае -?-^ссп54 . с по-мощьп предположений 0 = рДЫ, и 1

получено следующее решение уравнений Эйнштейна-Максвелла:

= , р = (19)

чгг-Ь{27оГ»1ПгЬск'1(пг) , ,

где Ь. Решение (19) представляет собой единственно известное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости с непостоянным давлением и с бессиловым электромагнитным полем. Отметим, что при уа ^у» = Ь"1^ О решение (19) переходит в плоское пространство-время.

В §5 исследуются свойства полученных в §3 и к новых решений. Показано, что все решения относятся к типу О по Петрову. Используя результаты Приложения 2 доказано, что решения (17)-(19) допускавт следующие четыре вектора Киллинга:

^ т. '

7

| - -tnp ccstf Л- p^cos^ 3^ -V s'wi<j> Эр , (20)

| - WpStrt^ - p'1 4СOS<f Op .

Определены области пространства-времени в каждом решении, в которых существуют замкнутые временноподобные линии. Найдены выражения для векторов & , w и тензора О^ :

G = ■-f di + 4f dp), uJ=Ю'Чи,dp dp.

Отсюда следует, что в реиениях (17) и (18) жидкость движется без ускорения, сдвига и расширения, но с вращением. В решении (19) жидкость движется с ускорением (связанным с непостоянным видом давления) и с вращением, но без сдвига и расширения. Электрическое и магнитное поля в сопутствующей системе отсчёта равны

Е-0 , Б= flü-LLVfd2-%dp) . (21)

Здесь также выполняется соотношение

В Главе III с помощьв метода Мицкевича-Хорского получено два семейства точных решений, обобщающих известное решение Гёделя.

В §1 излагаются основные положения метода генерирования точных, самосогласованных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, предложенного Мицкевичем и Хорским в работе [7] . Согласно этому методу ковектор Киплинга заданного исходного пространства-времени представляет собой (с точностью до постоянного множителя) 1- форму 4-потенциала электромагнитного поля, принадлежащего новой самосогласованной системе гравитационного и электромагнитного полей.

В §2 метод Мицкевича-Хорского применяется для обобщения решения Гёделя [8] . Решение Гёделя имеет вид

¿t-^ltti + Jzzdx)2- 22d0LZ -df~ l'2dl2] ,

(22)

{¿=р = (2эеаг)"1 , С1-сг1д± >

где <3. - константа. Ковектор Киплинга имеет вид |=a(cU:+iz2d!x). Взяв 4-потекциал электромагнитного поля в виде А = , где 8

к- константа, мы получаем следующее выражение для ковариан-тньх компонент тензора электромагнитного поля:

Выбирая метрику искомого решения в виде

ьПсД+V.'<Ы'1 - е2Гихг-е2(23)

где ос , , # , 5 и _ функции 2 , можно с её помощью получить контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля для самосогласованной задачи. Система уравнений Эйнштейна-Максвелла сводится к следующей системе уравнений:

[С р-ИГ >'£*]' - зс(р-М)Ьг&-г* >

[(у-р/ егр]' = - £ ь , (2ю

ктпг --^ТаЬкг2*-?-*-

- й

>

где Ь - константа интегрирования-, ^ , р и (Г также зависят лииь от 2 . Система (24) содержит семь уравнений для нахождения восьми неизвестных: , # , <5" , , ^л ,

Р и (Г . Получено два решения системы (24) при дополнительных предположениях (I) соу^-Ь и (2) ^ = . Соответствующие решения имеют вид:

С1)- е2*=аг , е^Ее^+я*^ , еЧ-

в2е

«зг- - ({2 Ьк/ч-ТГаЧе^^ ,

где % = [хагкг/т~Ьг/аг)/2б , \>^(МО)/гВ ■ Ъ , С , О Е и Н - константы интегрирования.

р = (2^2Г*г-2е>г'Ъьо-(1 + ¿вгЯ,

I 2.Т

л-_ у'¿"о^- ^-зьг-эс/г

УГГ2 '

где Ъ , С , О , Е , Р иН- константы интегрирования.

В §3 рассмотрена проблема связи решений (25) и (26) с другими решениями. Показано, что семейство (25) содержит в качестве частных случаев решения Гёделя, Сома-Райчаудури, Ван Стокума [91 , а также решение (II) Главы I. Семейство (26) содержит в качестве частных случаев решенуи Гёделя, Банержи-Бакержи, Сеновиллы [ю] и однородное решение Сома-Райчаудури.

В §4 исследуются свойства решений семейств (25) и (26). Показано, что решения (25) принадлежат типу I по Петрову повсюду, кроме гиперповерхностей, определяемых условиями

на которых эти решения относятся к типу О , и гиперповерх-

на которой решения относятся к типу II. Решения (26) принадлежат типу О повсюду, кроме гиперповерхности -~-Ч7\Ъ0 , на которой пространство-время этих решений является конформно-плоским (тип 0). Показано, что решения обоих семейств допускают лишь три вектора Киллинга: %-Ъ^ , , . Получены выражения для С , си и :

б = - £ ¿¿л = \ МЩ , О^у = о .

Кроме того, определены области выполнения энергетических у-10

словий в новых решениях. Исследованы свойства электромагнитного поля. Показано, что Е-0 , Ъ~12ак(Г*(1у и о . Отметим, что отсутствие силы Лоренца не постулировалось при постановке задачи ( как это делалось в предыдущих Главах), а получилось автоматически.

В §5 обсуждается проблема интерпретации электромагнитного поля в полученных решениях. Согласно интерпретации, предложенной в работе [п], бессиловое электромагнитное поле можно рассматривать как нелинейнуо суперпозиции электромагнитного поля самых зарядов жидкости и однородного магнитного поля без источников. При подстановке задачи задаётся именно результирующее поле. В диссертации отмечается, что такая интерпретация электромагнитного поля позволяет снять характер парадоксальности, который присущей другой интерпретации электромагнитного поля, и согласно которой бессиловое электромагнитное поле генерируется полностью самыми зарядами. Вместе с тем, в диссертации отечается, что обе интерпретации физически возможны, так как они не противоречат уравнениям Максвелла. Они могут соответствовать различным физическим явлениям.

В Главе IV сформулируется и доказывается теорема о генерировании точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла с равной нулю силой Лоренца.

В §1 применяется метод Мицкевича-Хорского для обобщения решений Ван Стокума и Сеновиллы. Показано, что в обеих случаях системы, следующие из уравнений Эйнштейна-Максвелла, эквивалентны системе (24), полученной при обобщении решения Гё-деля.

В §2 сформулируется и доказывается следующая теорема. Решение уравнений Эйнштейна для нейтральной идеальной жидкости, метрика которого имеет вид

-VVс!х)2 - егЦг , (г?)

где <5- , р , ^ , ? и V - функции координаты 2 , допускает обобщение на случай заряженной идеальной жидкости с бессиловым электромагнитным полем и с вектором-потенциалом электромагнитного поля А пропорциональным временноподобно-му вектору Киллинга метрики (27) ^ = Э^ или пространственно-

подобному вектору Киллинга метрики (27) Э.л , если выполняется одно из следующих условий: (I) , если

, (2) , если А-к?1 , где к - по-

стоянный множитель. Кроме того, система уравнений Эйнштейна-Максвелла может быть трансформирована к системе (24).

® Заключении приводятся основные результаты диссертации. В Приложении I вычисляются с помощью уравнений структуры Картана компоненты тензоров Римана, Риччи и Вейля для метрики вида

где функции , , й , £ и V/ зависят от р и Н

В Приложении 2 показывается, что пространство-время с метрикой

№=и2)(оИ-ту*с1у>)г- ЪЫ) (рЧу2^2^)

допускает четыре вектора Киллинга, задаваемых выражениями (20), если функции -?Сг) и

Ш удовлетворяют условиям

8 Приложении 3 приводится подробный вывод уравнений Максвелла в произвольно движущейся системе отсчёта и произвольном гравитационном поле

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТУ ДИССЕРТАЦИИ

1. Показано, что в случае цилиндрической симметрии проблема решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца сводится

к решению одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнение (10)).

2. Найдено два частных решения этого уравнения и уравнений Эйнитейна-Максвелла в целом. Одно из этих решений является новым. Исследованы свойства этих решений.

3. Получено два новых аксиально-симметричных решения для заряженной идеальной жидкости с постоянным давлением и бессиловым электромагнитным полем.

4. Получено впервые аксиально-симметричное решение для заряженной идеальной жидкости с непостоянным давлением и бес-силовнм электромагнитным полем.

5. Исследованы свойства аксиально-симметричных решений, В частности, показано, что эти решения допускают четырёхпара-метрическус группу изометрий (формулы (20)).

6. С помощью метода Мицкевича-Хорского получено два семейства новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, обобщающих известное решение Геделя. Исследованы свойства этих решений.

7. Сформулирована и доказана теорема, согласно которой определённый класс реиений уравнений Эйнштейна для нейтральной идеальной жидкости допускает обобщение на случай заряженной жидкости. При этом, система уравнений Эйнштейна-Максвелла сводится к системе (24).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Mitskievio N.V., Tsalakou G.A. Charged fluid without electric field: a generalization of the Gcjdel solution //Glass. Quantum Grav. - 1991. - V.8. - P. 209-218.

2. Мицкевич H.B.,' Цалаку Г.А. Физические системы, в которых заряд генерирует только магнитное поле.//Тезисы докладов XXVII научной конференции факультета физико-математических к естественных наук.-М.:Изд-во УДН.-1991.-С. 23.

3. Цалаку Г.А. Точные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла при равенстве нулю силы Лоренца.//Тезисы докладов XXIX научной конференции факультета физико-математических и естественных наук.-Ч. Х.-М.:йзд-во РУДН.-1993.-С. 55.

4.Tsalakou G.A. A note on the derivation of exact solutions for charged perfect fluid with vanishing Lorentz force // Class. Quantum Grav. - 1993. - (to appear).

ЛИТЕРАТУРА

1. Islam J.N. Rotating fields in general relativity. - Cambridge: Cambridge University Press, 1985. - 122 p.

2. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каляум R. Точные решения уравнений Эйнштейна.-М„: Энергоиздат, 1982. - 416 с.

3. Мицкевич Н.В., Ефремов А.П., Нестеров А.И. Динамика полей в общей теории относительности. - Ы.: Энергоатомиздат, 1985. - 184 с.

4. Som М.М., Raychaudhuri А.К. Cylindrically symmetric charged dust distributions in rigid rotation in general relativity// Proc. Roy. Soc. bond. - 1968. - V.A304. - P. 8186.

5. Banerjee A., Banerji S. Stationary distributions of dust and electromagnetic fields in general relativity // 3. Phys. A. - 1968. - V.I. - P. 188-193.

6. Bonnor W.B. Rotating charged dust in general relativity // J. Phys. A. - 1980. - V.I3. - P. 3465-3477.

7. Horsfcy CJ., Mitsfcievitch N.V. Killing Vectors of Vacuum Space Times and Electromagnetic Pour Potentials // Czech. 3. Phys. - 1989. - V.B39. - P. 957-961.

8. Godel K. An Example of a Mew Type of Cosmological Solutions of Einstein's Held Equations of Gravitation // Rev. Mod. Phys. - 1949. - V.2I. - P. 447-450.

9. Van Stockum W.J. The gravitational field of a distribution of particles rotating about an axis of symmetry //.Proo, Roy. Soc. Edinburgh. - 1937. - V.A57. - P. 135-154.

IO.Senovilla J.M.M. On Petrov type-D stationary axisymmetric rigidly rotating perfect-fluid metrics // Class. Quantum Grav. - 1987. - V.4. - P. LII5-LII9.

II.Mitsicievich N.V. Minicry systems in Maxwellian electrodynamics // 3. Math. Phys. - (submitted for puplication).

20- W Зак» ^ 0бъем 11 ^ Тирад ICO

Типография РУДН, Орджониквдве 3;