Интеграл типа Дарбу и новые случаи центра кубической дифференциальной системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. КУБИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛОМ ТИПА ДАРБУ

§ I. Постановка задачи

§ 2. Составление системы линейных алгебраических уравнений

§ 3. Основная теорема. Случай А

§ 4. Доказательство основной теоремы в случаях В и С

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ПОРОЖДЕННОЙ ИНТЕГРАЛОМ ТИПА ДАРБУ

§ 5.Приведение системы к простейшему виду. Случай

5=^=0 и 1 =

§ б. Исследование особых точек в конечной части плоскости

§ 7. Исследование особых точек на бесконечности

ГЛАВА III. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ПРИ РАВНОМ НУЛЮ ДИСКРИМИНАНТЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

§ 8. Система с интегралом (I.I)

§ 9. Качественное исследование системы (5.5) с условием (7.5) при

§ 10. Качественное исследование системы (1.9) с условием (2.9) при 5 = 4, ^ - О

§ II. Упрощение системы (1.9) с условием (2.9) при

§ = А , f $ О

§ 12. Качественное исследование системы (I.II) с условием (3.II) при (т-ОС^-О^О»

§ 13. Качественное исследование системы (I.II) с условием (3.II) при >

§ 14. Качественное исследование системы (I.II) с условием (3.II) при = О

Актуальность темы. Для двумерной системы дифференциальных уравнений гДе Р^ , Q;. - однородные полиномы степени L ^ ) относительно ос и ^ с действительными коэффициентами, проблема различения центра и фокуса решена лишь в следующих частных случаях: a) б)Р3=0jSO, (2)

И.С.Куклесом [1-3 ] изучалась также система (I) приР^у, Q-i = ЗС > Р е Р н О, однако впоследствии Л.А.Черкасом flj и А.П.Садовским [13 для такой системы были обнаружены новые случаи центра.

При этом, во многих случаях наличия центра обнаружено существование алгебраических интегралов вида о) г где г^ - полиномы от ОС и ^ с вообще говоря комплексными коэффициентами, - комплексные числа. В этом случае, очевидно, система (I) имеет действительные или комплексные алгебраические интегральные кривые Рк - О 4С = VI ).

Интегралы вида (3) рассматривались в работах Г.Дарбу [I], А.Дюлака [I], М.Н.Лагутинского [I], М.В.Долова [З-б], К.С.Сибирского [l-З], М.Г.Худай-Веренова [2*], В.В.Косарева[.21 и других математиков. В частности, в случае (2а) был обнаружен интеграл вида F^ Fz^*= с * в котором F^ и F^ полиномы соответственно шестой и четвертой степени.

Вопросу об отыскании алгебраических (вообще говоря комплексных) интегральных кривых системы (I) или ее частных случаев (2) были посвящены работы А.И.Яблонского [1-3], Т.А.Друж-ковой [1-53, Л.С.Лавринович [1-3"1, П.С.Белевца [1-2], П.С.Бе-левца и Р.Т.Валеевой [.1-2], П.С.Белевца и И.Г.Кожуха [l-2J, П.С.Белевца и А.И.Яблонского [I], Р.Т.Валеевой [I], И.Г.Кожу-ха [1-2], Р.М.Евдокименко [.1-3], В.Н.Горбузова [I], А.И.Илама-нова [1-4], Л.Г.Манторовой [I], В.В.Столярова [I], В.Ф.Филип-цова[1-2], Цинь Юань Сюня [I], Хуан Ци-Юй, Фан Чу-бао и Цянь Сянь-чэна [I"] и других. Толчком ко многим из них явилась работа Н.П.Еругина [I], в которой автор построил все классы систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида. Отметим, что кроме отыскания частных алгебраических интегралов, в работах большинства из вышеуказанных авторов рассматривались и вопросы качественного исследования систем вида (I) или ее частных случаев (2), такие, как существование предельных циклов в виде алгебраических кривых, расположение и характер особых точек в конечной части плоскости и на бесконечности, изучение поведения интегральных кривых «в целом".

М.В.Доловым £2] для системы (I) обнаружены случаи совместного существования центра и предельных циклов. Д.С.Ушхо [i] проведено качественное исследование одной системы вида (I) с тремя центрами. В.А.Лункевичем и К.С.Сибирским [1-2] в случаях наличия центра найдены аффинно-инвариантные интегралы для частных случаев (2) системы (I).

Обнаружение алгебраических интегралов вида (3) у системы (I) дает возможность найти новые достаточные условия наличия центра в начале координат для этой системы. Системы вида (I) часто возникают в автоколебательных, биохимических и других процессах. Качественное исследование таких систем имеет большое практическое применение в радиотехнике, физике, химии и других разделах науки.

Все это определяет актуальность и важность рассматриваемых в диссертационной работе вопросов, связанных с исследова/ нием систем дифференциальных уравнений вида (I), обладающих алгебраическим интегралом вида (3).

Методика исследований. В диссертации использованы методы и приемы качественного исследования динамических систем, а также методы и приемы теории преобразований форм и алгебраических кривых на плоскости.

Цель работы - нахождение условий, при выполнении которых, выражение (3) с Yl= Z. и полиномами и соответственно шестой и четвертой степени от зс и ^ с действительными коэффициентами, J^jJ^*. - действительные числа (интеграл типа 4-6) является интегралом системы дифференциальных уравнений вида (I) с мнимыми корнями характеристического уравнения; - полное исследование особых точек в конечной части плоскости и на бесконечности системы (I) с интегралом типа 4-6; - полное качественное исследование такой системы при условии равенства нулю дискриминанта квадратичной формы, участвующей в выражении Fa. .

Научная новизна и практическая ценность работы» В диссертации найдены условия, при выполнении которых система (I) с мнимыми корнями характеристического уравнения обладает интегралом типа 4-6 и тем самым установлены новые случаи наличия в начале координат центра такой системы. Определено число и исследован характер особых точек в конечной части плоскости и на бесконечности вышеуказанной системы. В случае, когда дискриминант квадратичной формы, входящей в интеграл, равен нулю, проведено качественное исследование «в целом" (с доказательством хода сепаратрис).

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в научно-исследовательской работе по качественной теории дифференциальных уравнений в Институте математики с ВЦ АН МССР, в Кишиневском государственном университете имени В.И.Ленина, в Белорусском государственном университете имени В.И.Ленина, в Горьковском государственном университете имени Н.И.Лобачевского.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построение классов систем дифференциальных уравнений вида (I), обладающих интегралом типа 4-6.

2. Нахождение новых случаев наличия в начале координат особой точки типа »»центр" систем вида (I).

3. Нахождение числа и исследование характера особых точек в конечной части плоскости и на бесконечности системы (I) с интегралом типа 4-6 при условии наличия у нее мнимых корней характеристического уравнения.

4. Полное качественное исследование системы (I), порожденной интегралом типа 4-6 с нулевым дискриминантом квадратичной формы.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Кишиневском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений, на конференции молодых ученых АН МССР и на семинаре сектора дифференциальных уравнений Института математики с ВЦ АН МССР.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [l-4*] и в работе автора и К.С.Сибирского [д1* Соавтору принадлежит постановка задачи и схема проведения доказательств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы.