Моделирование больших деформаций гиперупругих тел на основе модели материала Генки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Олейников, Андрей Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Комсомольск-на-Амуре
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
1и
Олейников Андрей Александрович
МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ ГИПЕРУПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ МАТЕРИАЛА
ГЕНКИ
01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Новосибирск - 2014
005549883
На правах рукописи
Олейников Андрей Александрович
МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ ГИПЕРУПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ МАТЕРИАЛА
ГЕНКИ
01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Новосибирск - 2014
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, с.н.с.
Сергей Николаевич Коробейников Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, заведующий лабораторией Нелинейной механики деформируемого твердого тела Роговой Анатолий Алексеевич кандидат технических наук, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)», доцент кафедры «Строительной механики» Харинова Наталья Владимировна Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего профессионального образования Новосибирский государственный технический университет Защита состоится 30 июня 2014 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.054.02 в конференц-зале Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр-т Ак. Лаврентьева, 15, ИГиЛ СО РАН. Факс: (383) 333-16-12, e-mail: kurguzov@hydro.nsc.ru. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. Автореферат разослан мая 2014 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук
Общая характеристика работы
Актуальность. Эластомеры, благодаря своим уникальным свойствам, обусловленным молекулярной структурой данных материалов, широко используются в технике. Известно, что эластомеры могут претерпевать большие деформации (несколько сотен процентов) без разрушения и повреждения структуры материала. Широкое использование эластомеров в автомобильной, авиационной промышленности и других отраслях народного хозяйства требует тщательного исследования их деформативных и прочностных свойств, а также оценки несущей способности конструкций из подобных материалов, включая оценку устойчивости этих конструкций при действии сжимающих нагрузок. В настоящее время конструкторы, создающие изделия из новых материалов, все более широко используют методы математического моделирования для оценки работоспособности этих изделий при действии на них типовых нагрузок. В связи с развитием вычислительной техники и современных численных методов (в первую очередь метода конечных элементов), в математическом моделировании поведения создаваемых конструкций из новых материалов все более значимым и актуальным становится компьютерное моделирование конструкций, подвергающихся внешним воздействиям различного типа. Потребность в компьютерном моделировании процессов деформирования тел и конструкций из эластомеров стимулирует развитие теории больших деформаций гиперупругих тел, создание алгоритмов численных решений уравнений гиперупругости и их программную реализацию.
Цель работы. Целью диссертационной работы является развитие новых формулировок уравнений механики деформируемого твердого тела, основанных на использовании модели изотропного гиперупругого материала Генки, внедрение новой лагранжевой формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки в коммерческий пакет конечно-элементного анализа MSC.Marc, верификация численной реализации новой фомулировки определяющих соотношений; проведение идентификации параметров модели изотропного гиперупругого материала Генки для материала дуотан QA9G5, сравнение решений новых задач о стесненном и свободном кручении, выпучивании и послекритическом деформировании стержней из материала дуотан QA965, полученных компьютерным моделированием с использованием пакета MSC.Marc, с полученными в эксперименте данными.
Научная новизна.
• Получено новое представление тензора упругости четвертого порядка для гиперупругого изотропного материала Генки.
• Показано, что полученный тензор упругости обладает как минорными симметриями, так и главной симметрией.
• Показано, что полученный тензор упругости является объективным по Лагранжу тензором четвертого порядка.
• Новая лагранжева формулировка определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки реализована в коммерческом пакете конечно-элементного анализа MSC.Marc посредством написания текстов для пользовательской программы hypela2.f на языке Fortran.
• Получены решения новых задач о стесненном и свободном кручении, выпучивании и послекритическом деформировании стержней из материала дуотан QA965; проведено сравнение решений, полученных компьютерным моделированием с использованием пакета MSC.Marc, с данными, полученными в эксперименте, и с известными точными решениями.
Научная и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в проектировании изделий и конструкций из гиперупругих материалов. Значение настоящего исследования состоит в том, что полученное выражение тензора упругости для изотропного гиперупругого материала Генки впервые введено в пользовательскую программу коммерческих кодов MSC.Marc и использовано при определении матриц касательных жёсткостей в переменных Лагранжа в отсчетной системе координат без перехода к главным осям правого тензора деформаций Коши-Грина. Это выражение получено как для различных, так и для кратных собственных значений правого тензора деформаций Коши-Грина.
Достоверность результатов работы подтверждается корректным использованием уравнений механики деформируемого твердого тела, применением современных вычислительных технологий конечно-элементного моделирования, а также обеспечивается современным экспериментальным оборудованием и системой замеров, которые дают хорошую согласованность результатов расчетов с известными точными решениями и экспериментальными данными.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
• Российская научно-техническая конференция «Фундаментальные исследования в области технологий двойного назначения» (Комсомольск-на-Амуре, 2011)
• II Всероссийская конференция «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2011);
• 50-ая юбилейная Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012);
• XXI Всероссийская школа-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2012);
• XV Российская конференция MSC Software (Москва, 2012);
• XVI Российская конференция MSC Software (Москва, 2013);
• Международная научно-техническая конференция «Инновационные материалы и технологии: достижения, проблемы, решения» (Комсомольск-на-Амуре, 2013)
• XXIII Всероссийская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Барнаул, 2013);
• III Всероссийская конференция «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2014).
В целом основные результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах:
• отдела механики деформируемого твердого тела ИГиЛ СО РАН под руководством академика РАН Б.Д. Аннина (Новосибирск, 2012, 2013);
• факультета летательных аппаратов НГТУ под руководством профессора Г.И. Расторгуева (Новосибирск, 2013).
Личный вклад автора заключается в доказательстве главной и двух минорных симметрий и лагранжевой объективности тензора упругости; написании текстов для пользовательской программы hypela2.f на языке
Fortran, и дальнейшее ее внедрении в пакет конечно-элементного анализа MSC.Marc, проведении экспериментов и компьютерного моделирования кручения стержней круглого поперечного сечения.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в [1-7],в том числе 2 статьи ([1, 3]) опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 129 страниц текста, 27 рисунков, 1 таблица. Библиография содержит 156 наименований.
Содержание работы
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, сформулированы цели работы, ее научная и практическая значимость, дается обзор существующих работ и подходов по формулировкам определяющих соотношений гиперупругости и построению моделей материалов для изотропной гиперупругой среды в области больших деформаций. Дано краткое описание содержания диссертации по главам. Описан личный вклад автора. Значительный вклад в развитие теории больших деформаций, формулировок гиперупругости и теории нелинейного деформирования сплошной среды был внесен как отечественными учеными Адамов A.A., Аннин Б.Д., Буренин A.A., Голованов А.И., Коробейников С.Н., Лурье А.И., Новожилов В.В., Работнов Ю.Н., Роговой A.A., Седов Л.И., Трусов П.В., Харинова Н.В., Черных К.Ф. так и зарубежными учеными Anand L., Bertram A., Bruhns О.Т., Curnier A., Darijani Н., Hill R., Holzapfel G.A., Meyers A., Miehe C., Naghdabadi R., Ogden R.W., Xiao H., и другие.
Первая глава посвящена изложению основ тензорной алгебры и тензорного анализа, которое основывается на свободном от выбора базиса представлении тензора, что применяется при современной формулировке уравнений механики деформируемого твердого тела. Здесь также рассматривается кинематика больших деформаций с использованием свободных от выбора базиса представлений тензоров. При этом определяются операций с тензорами второго и четвертого порядков, которые потребуются в дальнейшем изложении основного материала работы. Эта глава является вспомогательной для представления основного материала диссертационной работы. Отмечается важное представление симметричного тензора второго порядка S € Tsym (S = ST), которое записывается с использованием собственных
б
проекций ¿г (здесь и далее индекс г пробегает значения от 1 до т):
т
з = (1)
¡=1
где € К — собственные значения (здесь и далее индекс г пробегает значе-
т
ния 1, 2, 3), а собственные проекции определяются при помощи формулы Сильвестра, здесь < 1т < 3 число различных собственных значений в,. При этом отмечается преимущество такого представления перед спектральным представлением тензора второго порядка, тем что при использовании представления (1) отпадает необходимость определения триады собственных векторов, которые для кратных собственных значений определяются неоднозначно.
Во второй главе получены явные выражения для тензора упругости для изотропного гиперупругого материала Генки. Сделан вывод выражений для второго тензора напряжений Пнола. - Кирхгофа 8(2) и тензора упругости четвертого порядка С (осуществляющего линейную связь материальных производных тензоров 3(2) и Е(2)) для изотропного гиперупругого материала Генки через собственные значения и собственные проекции тензора С, исходя из формулировок определяющих соотношений для изотропной гиперупругой среды Генки. Доказано, что полученный тензор упругости С обладает как минорными симметриями, так и главной симметрией. Показано, что полученный тензор упругости является объективным по Лагранжу тензором четвертого порядка.
Определяющие соотношения изотропного гиперупругого материала Генки получаются обобщением закона Гука для бесконечно малых деформации упругих тел из изотропных материалов. Лагранжева формулировка этих определяющих соотношений имеет следующую запись в виде, свободном от выбора базиса:
г = А(^Е(°>)1 + 2дЕ(°>, (2)
де т тензор напряжений Нолла; Е(0) правый тензор деформаций Генки; I — единичный тензор второго порядка; А, ц — параметры Ламэ. Запись определяющих соотношений (2) имеет следующую эквивалентную форму:
т
Э(2) =
¡=1
где Б(2) — второй тензор напряжений Пнола - Кирхгофа; соответственно, (ц > О, С; (г = 1,..., т) — собственные значения и собственные проекции
правого тензора деформаций Коши - Грина С; т — m-индекс; т» — собственные значения тензора напряжений Нолла т, которые для материала Генки определяются через главные удлинения А; = ^/¡Д.
Выражение для тензора упругости С, связывающего материальные производные тензоров S'2' и Е(2) определяется следующим образом:
¿(2) = с . ¿(2)i
где
—£ -J— (И - Ii) c$CJt few tr ri m! "
sym
где ® и <g> — операции внешнего и симметричного внешнего произведения тензоров, соответственно. Здесь используется обозначение Для представления суммирования по г, j = 1,..., m при г ф j. При этом предполагается, что значение этой суммы равно нулевому тензору при тп= 1.
Третья глава посвящена описанию деталей введения модели изотропного гиперупругого материала Генки в пакет конечно-элементного анализа MSC.Marc для объемных изопараметрических конечных элементов с использованием написанного Fortran-кода для пользовательской программы hypela2; верификации программы hypela2 сравнением численных решений, полученных с использованием пакета MSC.Marc, с точными решениями тестовых трехмерных задач по деформированию тел из эластомеров при больших деформациях; а также краткому изложению основ метода конечных элементов для решения задач механики деформируемого твердого тела с большими деформациями с использованием общего лагранжева подхода к формулировке уравнении.
Уравнения движения в слабой форме имеют вид:
J^S® :5EWdV = J^p({-ü).SudV +J T'-SudS Viu£ 2U, (3)
где V — область, занимаемая телом в отсчётной конфигурации; St — часть граничной поверхности S =, ограничивающей область V, на которых заданы компоненты вектора перемещений и и вектора напряжений Т соответственно. Здесь под параметром t понимаем естественное время, где вариация тензора деформаций Грина - Лагранжа определяется следующим образом:
№(2) = i[V(öu) + V(<5uf + V(d"u) • VuT + Vu ■ V(öu)rJ,
где V — оператор Гамильтона (символический набла-вектор). Запишем вариационное уравнение
61 (и) = О,
где
1{й) = [ [й^(Ё^) + is<2) : (Vu• VüT) -pi-й dV-f T* udS, u€Ü, Jv L 2 JSt
где W — однородная потенциальная функция второй степени; f и Т* — векторы внешних сил; ü — поля скоростей вектора перемещений. Рассматриваем конечно-элементную аппроксимацию уравнений (3) в варианте метода Бубнова Галёркнна. Используем пошаговую процедуру интегрирования по времени уравнений движения. Предполагая, что в момент времени t решение найдено, рассматриваем уравнение (3) в момент времени t + Д£ (Аt
— шаг интегрирования). Переходя к компонентной записи в (3), производя линеаризацию, а затем конечно-элементную аппроксимацию неизвестных и и полей <5и, приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
Mi+Aiü + «KAU = i+AtR - 'F.
Здесь М >- 0 — матрица масс (не изменяется во времени), (К — симметричная матрица касательной жесткости, i+AiR вектор внешних сил, 'F
— вектор внутренних сил, AU = t+AiU - (U ((U, i+A4U — векторы перемещений ансамбля узловых точек элементов, определённые в моменты времени t и t + Ai соответственно). Здесь и в дальнейшем левый верхний индекс у величины обозначает тот момент времени, в который эта величина рассматривается.
Для варианта конечно-элементной аппроксимации уравнений квазистатического деформирования тела из гиперупругого материала по методу Ритца, получаем:
'KAU = i+AiR - 'F.
Для определения матриц касательных жёсткостей *Ке и векторов внутренних сил ь¥е элементов операции, связанные с аппроксимацией компонент вектора перемещений и дифференцированием базисных функций по пространственным переменным, выполняются независимо от рассматриваемой модели материала. Разница в использовании моделей материалов состоит в том, что для каждой из моделей требуется вычислить вектор-столбец S
размерностью 6 и симметричную матрицу D размерностью бхб вида
Гй ' 'Dn Ol2 Di a Du d15 Die
s2 £>22 £>23 £>24 £>25 £>26
S3 , D = Ди Du £>35 A'ä6
s4 Du £>45 £>46
s5 СИММ. Dbb D56
.Se. D66
Элементы вектора S по соглашению, принятому в пакете MSC.Marc, связаны с компонентами тензора следующим образом:
С, _ о(2) о _ о(2) с _ с(2) _ с(2) о _ с(2) г. _ Q(2) Ol — , Ü2 — £>22 1 — 033 , ö4 — ¿>12 , üs — b23 , ¿6 = ¿13 .
Представим основные шаги реализации модели Генки в программе hypela2.f:
1. На входе: даются компоненты тензора деформаций Грина Лагран-жа E[f, 2Е$, 2Е$, 2Е[f и собственные значения цъ д2, //3 правого тензора деформаций Коши - Грина С.
2. Определяем компоненты правого тензора деформаций Коши - Грина: Cij = 2Eij + Sij (6ij — дельта Кронеккера).
3. Определяем ттг-индекс.
4. Находим собственные проекции Cj (г = 1,.. .т).
5. На выходе: находим компоненты второго тензора напряжений Пиола - Кирхгофа; заполняем элементы вектора S; находим элементы матрицы D.
Далее проверяется правильность работы введенной в пакет MSC.Marc модели гиперупругого изотропного материала Генки при решении как тестовых задач, так и задачи о возникновении шейки в образце при его одноосном растяжении. При этом в этих расчетах использовались константы материала Генки, близкие к константам реальных эластомеров: и = 0,45, Е — 3,37 МПа. Здесь и — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга.
Задача о простом сдвиге является тестовой задачей по апробации моделей упругих и неупругих моделей материалов в условиях больших деформаций. Решение этой задачи с использованием пакета MSC.Marc дает хорошее совпадение компонент тензора напряжений Коши с точным решением. Приведем решение задачи о простом сдвиге (рис. 1). Рассматривается
Рис. 1. Простой сдвиг: (а) геометрическая модель и схема деформирования куба; (б) зависимость сдвигового компонента тензора напряжения Коши от параметра -/ = tan 0 (сплошные кривые соответствуют точному решению; маркерами отмечены точки равновесия, полученные в численных расчетах, крестом отмечена точка максимума на интегральной кривой компоненты тензора напряжений su, полученная в численном решении).
куб с длиной ребер 0,1 м, который находится в условиях простого сдвига. Кинематика деформирования куба задается законом движения (рис. 1,а):
х\ = Xi + 7X2 (7 = tan в), х2 = Х2, хз = Х3.
Нас интересует эволюция компонент тензора напряжений Коши Su, S22, S12 в зависимости от параметра 7, характеризующего сдвиг:
Д71п 2/л 1п
Su = , S22 = -S11, S12 = , ■
V4 + 72 V4 + 72
Обезразмеренные компоненты тензора напряжений Коши Sy (г, j = 1,2) в зависимости от параметра 7 приведены на рис. 1,6. Из графиков, приведенных на этом рисунке, следует хорошее соответствие результатов компьютерного моделирования с точным решением.
Решена задача об одноосном деформировании стержня из изотропного гиперупругого материала Генки с квадратным поперечным сечением. Показано, что точное решение совпадает с численным решением этой же задачи во всем диапазоне решения, включая максимальную нагрузку и послекри-тическое деформирование стержня. Также показано, что при достижении максимальной нагрузки нарушается единственность решения этой задачи и наряду с одноосным деформированием стержня, возможно также решение этой же задачи с возникновением шейки с локализованным развитием
Рис. 2. Растяжение стержня заданным перемещением его торца: (а) геометрическая модель; (б) конечно-элементная модель стержня (внизу справа приведен тип возмущений, вводимых в геометрию стержня для конечно-элементной модели).
деформаций. Шейка такого типа характерна для пластического деформирования металлических образцов. Отметим, что для полимерных образцов шейка имеет другой тип, а именно, после возникновения шейка распространяется по всей длине стержня. Рассмотрим задачу о растяжении стержня заданным перемещением его торца (рис. 2). Рассмотрим одноосное деформирование стержня, которое характеризуется следующим полем компонент тензора напряжений Коши (вц = sxx):
о, Sij = 0 (i,j = 1,2,3; у т^ 11).
Предполагаем, что стержень имеет прямоугольное сечение с линейными размерами В\, и длину L до деформации (рис. 2,а). Полагаем поперечное сечение стержня х = 0 неподвижным, поперечное сечение х = L перемещается по заданному закону u(t) = «*(£). Найдем точное решение задачи об одноосном растяжении стержня из изотропного гиперупругого материала Генки. При одноосном однородном деформировании стержня зависимость силы Р, приложенной к торцу стержня, от перемещения и выглядит следующим образом:
P=EA(} + iy\^ + l). (4)
Зависимость (4) приведена на рис. 3. Крестом отмечена точка максимума.
Также решена задача о выпучивании сжатого по оси стержня из изотропного гиперупругого материала Генки. Решение, полученное компьютерным моделированием с использованием пакета MSC.Marc в рамках 3D модели стержня, показывает хорошее соответствие как критических нагрузок, так и форм выпучивания, соответствующих двум нижним точкам бифуркации решений, с классическим решением в рамках стержневой модели с
(а) (б)
18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 о
Рис. 3. Интегральные кривые решений задачи о растяжении стержня (сплошная кривая без номера соответствует фундаментальному решению статической задачи, крестом отмечена точка максимума на фундаментальном решении): (а) квазистатическое деформирование, кривые 1-6 соответствуют решениям различных квазистатических задач; (б) динамическое деформирование, кривые 1-5 соответствуют решениям различных динамических задач.
Таблица 1. Критические значения сжимающей силы Р (Н), полученные по формуле Эйлера (Р^г) и в численном решении (Рс")
Число полуволн т pth сг п;
1 2 69,29 277,17 66,77 284,87
использование гипотез Бернулли Эйлера, в предположении о неизменности длины осевой линии стержня. Геометрические параметры стержня и его конечно-элементная модель принимаются теми же, что и в рис. 2. Критические значения сжимающей силы Р, полученные в численном решении и по формуле Эйлера приведены в табл. 1. Несмотря на большую разницу в постановках задач выпучивания сжатого стержня в классическом варианте Эйлера и в настоящей работе, видим, что близки как критические нагрузки (см. Табл. 1), так и формы выпучивания, полученные как в решении задачи Эйлера, так и в настоящей работе.
В четвертой главе проведено экспериментальное исследование и компьютерное моделирование, основанное на использовании модели изотропного гиперупругого материала Генки, для процессов свободного и стесненного
кручения упругих цилиндрических стержней сплошного круглого поперечного сечения из полиуретанового материала дуотан (Duothan QA965), включая потерю устойчивости и определение форм закритического деформирования. Проведено сравнение решений новых задач о стесненном и свободном кручении, выпучивании и послекритическом деформировании стержней из материала дуотан, полученных компьютерным моделированием с использованием пакета MSC.Marc, с полученными в эксперименте данными. Показано, что модель изотропного гиперупругого материала Генки позволяет получать достоверные значения критических значений углов закручивания и формы закритического деформирования стержней, близкие к полученным в эксперименте. Определены параметры и границы применимости модели материала Генки.
Для определения параметров модели материала Генки была проведена серия экспериментов по одноосному растяжению плоских образцов из данного материала дуотан (Duothan QA965). Модуль Юнга Е для модели материала Генки имеет значение: Е = 5.363. Осредненный коэффициент Пуассона и имеет значение v ~ 0.495 , т.е. материал дуотан почти несжимаемый.
Результаты компьютерного моделирования стесненного кручения цилиндрических образцов сплошного круглого поперечного сечения в сравнении с экспериментальными данными, полученными для серии из четырех образцов, представлены на рис. 4 и 5. При этом, образцы представляют из себя цилиндрические стержни сплошного круглого поперечного сечения различной длины (короткий и длинный, соответственно) с массивными областями торцов конической формы, которые служат для приклеивания металлических выступов в виде призм, предназначенных для крепления в захватах испытательной установки. Длина образца при таком варианте нагружения остается неизменной. При этом в компьютерном моделировании закручивание образца реализовывалось с использованием двух жестких поверхностей, приклеенных к торцам конечно-элементной модели. Кручение образца осуществлялось заданным углом закручивания для одной из поверхностей таким образом, чтобы угловая скорость закручивания торца была постоянной и составляла значение равное 3.49 радиан в минуту, при этом вторая поверхность оставалась неподвижной. Штриховая вертикальная линия на рис. 4 и 5 соответствует такому значению угла закручивания, когда хотя бы одно из собственных значений Аг- (г = 1, 2, 3) тензора кратности удлинений V кратности удлинений достигает величины 1.5 или, другими словами, инженерные деформации в образце не превышают 50 % (т.е. когда допустимо
Рис. 4. Диаграмма стесненного кручения короткого цилиндрического образца сплошного круглого поперечного сечения из материала дуотан: сплошная линия соответствуют численному решению, полученному с использованием модуля 11уре1а2.£ модели материала Генки; маркерами отмечены экспериментальные данные для серии из четырех коротких образцов; штриховая вертикальная линия отмечает предел применимости модели материала Генки, а) зависимость момента крутящего М относительно оси Z от угла закручивания ¡р от ; б) зависимость продольного усилия N по оси 2 от угла закручивания V-
использование модели материала Генки). Этой величине Л = 1.5 соответствует значение параметра ш = 0.42, который зависит от угла закручивания:
и =
где Д — это начальный радиус цилиндрического образца; ш — значение погонного угла, который зависит от текущего значения угла закручивания отнесенного к начальной длине образца: ш = —.
В граничные условия для конечно-элементных моделей образцов были внесены возмущения, реализованные приложением малой силы, значение которой в сумме равно 0.9 Н, в узлах, расположенных на оси вращения модели по центру относительно торцов образца. При этом наблюдается хорошее соответствие расчетных и экспериментальных кривых. Загиб кривых вниз демонстрирует потерю устойчивости образцов в момент достижения углом закручивания <р значений: 5.74 и 9.2 радиана для короткого и длинного образцов, соответственно. Конфигурации деформированного состояния длинного образца в процессе стесненного кручения, как полученные из эксперимента, так и из результатов компьютерного моделирования пред-
Рис. 5. Диаграмма стесненного кручения длинного цилиндрического образца сплошного круглого поперечного сечения из материала дуотан: сплошная линия соответствуют численному решению, полученному с использованием модуля Ьуре1а2.£ модели материала Генки; маркерами отмечены экспериментальные данные для серии из четырех длинных образцов; штриховая вертикальная линия отмечает предел применимости модели материала Генки, а) зависимость крутящего момента М относительно оси £ от угла закручивания (,о от ; б) зависимость продольного усилия N по оси Z от угла закручивания Ч>-
ставлены на рис. 6.
Результаты компьютерного моделирования свободного кручения цилиндрических образцов сплошного круглого поперечного сечения в сравнении с экспериментальными данными, полученными для серии из четырех образцов, представлены на рис. 7 и 8. При этом, формы образцов такие же, что и в задаче о стесненном кручении. Длина образца при таком варианте на-гружения может изменяться. В отличии от задачи о стесненном кручении, здесь одна из поверхностей могла перемещаться вдоль продольной оси образца. На первом шаге начала деформирования к образцу прикладывалась небольшая сжимающая нагрузка, затем начинался процесс кручения. Осевое перемещение неподвижного в угловом направлении захвата задавались таким, чтобы осевое усилие не превосходило 20 Н. В процессе свободного кручения круглых образцов из дуотана наблюдалось увеличение длины образца с увеличением угла закручивания, что характеризуется проявлением эффекта Пойнтинга.
В граничные условия для конечно-элементных моделей образцов были внесены возмущения, реализованные приложением малой силы, значение которой в сумме равно 9 Н, в узлах, расположенных на оси вращения модели по центру относительно торцов образца. При этом наблюдается хорошее
422.72°
Рис. 6. Деформированные конфигурации длинного образца, полученные в экспериментах и компьютерном моделировании для случая стесненного кручения: а) изображение деформированной конфигурации образца в момент времени t = 126 с; б) деформированная конфигурация конечно-элементной модели при значении угла закручивания tp = 422.72" ; в) изображение деформированной конфигурации образца в момент времени t = 158 с; г) деформированная конфигурация конечно-элементной модели при значении угла закручивания ц> = 526.5°; д) схема нагружения образца.
Рис. 7. Диаграмма свободного кручения короткого цилиндрического образца сплошного круглого поперечного сечения из материала дуотан: сплошная кривая соответствует численному решению, полученному с использованием модуля Ьуре1а2.£ модели материала Генки; маркерами отмечены экспериментальные данные для серии из четырех коротких образцов; штриховая вертикальная линия отмечает предел применимости модели материала Генки, а) зависимость относительного осевого удлинения А = А — 1 от параметра £»; б)зависимость параметра крутящего момента М от угла закручивания ф.
Рис. 8. Диаграмма свободного кручения длинного цилиндрического образца сплошного круглого поперечного сечения из материала дуотан: сплошная кривая соответствует численному решению, полученному с использованием модуля Ьуре1а2.£ модели материала Генки; маркерами отмечены экспериментальные данные для серии из четырех длинных образцов; штриховая вертикальная линия отмечает предел применимости модели материала Генки, а) зависимость относительного осевого удлинения А = А — 1 от параметра 57; б)зависимость параметра крутящего момента М от угла закручивания ф.
Рис. 9. Деформированные конфигурации длинного образца, полученные в экспериментах и компьютерном моделировании для случая свободного кручения: а) изображение деформированной конфигурации образца в момент времени 4 = 150 с; б) деформированная конфигурация конечно-элементной модели при значении угла закручивания ц) = 351.53°; в) изображение деформированной конфигурации образца в момент времени г = 178 с; г) деформированная конфигурация конечно-элементной модели при значении угла закручивания <р = 671.07°; д) изображение деформированной конфигурации образца в момент времени 4 = 178 с; е) деформированная конфигурация конечно-элементной модели при значении угла закручивания <р = 674.07°; ж) схема нагружения образца.
соответствие расчетных и экспериментальных кривых. Загиб кривых вниз демонстрирует потерю устойчивости у длинного образца, в момент достижения углом закручивания у значения 12.8 радиана. Конфигурации деформированного состояния длинного образца в процессе свободного кручения, как полученные из эксперимента, так и из результатов компьютерного моделирования представлены на рис. 9.
Из анализа и сравнения кривых деформирования, полученных из экспериментальных данных, компьютерного моделирования, основанного на использовании модели изотропного гиперупругого материала Генки, и точного решения деформирования партии упругих цилиндрических образцов сплошного круглого поперечного сечения из материала дуотан QA965, было установлено хорошее совпадение результатов в диапазоне когда значения кратностей удлинений Л не превышают значение равное 1.5.
Основные результаты, выносимые на защиту
• Получено новое представление тензора упругости четвертого порядка для гиперупругого изотропного материала Генки, обладающего как минорными симметриями, так и главной симметрией. Это представление основано на использовании собственных проекций правого тензора деформаций Кошп - Грина. Показано, что тензор упругости объективен по Лагранжу.
• Внедрена и численно реализована новая лагранжева формулировка определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки в пользовательской программе hypela2.f конечно-элементного пакета MSC.Marc.
• Проведена верификация разработанного программного модуля hypela2.f внедренной подпрограммы сравнением численных решений, полученных с использованием пакета MSC.Marc, с точными решениями тестовых трехмерных задач.
• Проведено экспериментальное исследование и компьютерное моделирование, основанное на использовании модели изотропного гиперупругого материала Генки, процессов свободного и стесненного кручения стержней из материала дуотан QA965, включая потерю устойчивости и определение форм закритического деформирования. Показано, что модель изотропного гиперупругого материала Генки позволяет получать достоверные значения критических значений углов закручивания
и формы закритического деформирования стержней, близкие к полученным в эксперименте.
Список опубликованных работ по теме диссертации
1. Коробейников С.Н., Олейников A.A. Лагранжева формулировка определяющих соотношений гиперупругого материала Генки // Дальневосточный мат. жур. 2011. Т. 11, № 2. С. 155-180.
2. Олейников A.A.. Инкрементальная формулировка определяющих соотношений гиперупругого изотропного материала Генки в переменных Лагранжа // Динамика сплошной среды. 2012. Выпуск 127. С. 77 79.
3. Коробейников С.Н., Олейников A.A., А. Ю. Ларичкин, А. В. Бабичев, В. В. Алехин Численная реализация лагранжевой формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки // Дальневосточный мат. жур. 2013. Т. 13, № 2. С. 222-249.
4. Коробейников С.Н., Кургузов В.Д., Ларичкин А.Ю., Олейников A.A. Компьютерное моделирование деформирования эластомеров // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Тезисы докладов XXIII Всероссийской конференции, Барнаул, 26-28 июня, 2013 г. Новосибирск: Параллель, 2013. С. 9498.
5. Олейников A.A., Коробейников С.Н. Лагранжевая формулировка определяющих соотношений гиперупругого изотропного материала Генки // Материалы Российской научно-технической конференции «Фундаментальные исследования в области технологий двойного назначения», Комсомольск-на-Амуре, Россия, 21-24 ноября 2011 - с.120-124.
6. Олейников A.A., Коробейников С.Н.. Инкрементальная формулировка определяющих соотношений гиперупругого изотропного материала Генки в переменных Лагранжа // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций: тезисы докладов II Всероссийская конференция Новосибирск: Издательство НГТУ, 2011. -127 с - с. 76-77.
7. Коробейников С.Н., Ларичкин А.Ю., Олейников A.A.. Кручение стержней при больших деформациях: эксперимерт и компьютерное моделированиена основе модели изотропного гиперупругоо материала Генки // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций. Сб. материалов III Всероссийской конференция, посвященной 100-летию со дня рождения академика Ю.Н. Работнова, Новосибирск, 26-30 мая, 2014 г. Новосибирск: изд-во НГТУ, 2014. С.52.
Подписано в печать Заказ № 153
Формат бумаги 60x84 1/16 Объем 1 п.л.
Тираж 75 экз. Бесплатно
Отпечатано на полиграфическом участке Института гидродинамики
им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090, Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "КОМСОМОЛЬСКИЙ-НА-АМУРЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ"
04201 45951 8 На правах рукописи
Олейников Андрей Александрович
МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ ГИПЕРУПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ МАТЕРИАЛА ГЕНКИ
01.02.04 - механика твердого деформируемого тела
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель д.ф.-м.н., с.н.с. С.Н. Коробейников
Комсомольск-на-Амуре-2014
Оглавление
Введение 4
1 Необходимые сведения из тензорного исчисления и кинематики больших деформаций 21
1.1 Определение тензора................................................................21
1.2 Операции с тензорами................................................................23
1.3 Инварианты и разложение тензора................................................27
1.4 Спектральные представления симметричных тензоров второго ранга .... 27
1.5 Собственные проекции симметричных тензоров..................................29
1.6 Ковариаптное дифференцирование тензора......................................33
1.7 Градиеит тензора....................................................................34
1.8 Характеристики локальной деформации тела....................................35
1.9 Базовая кинематика..................................................................38
2 Уравнения движения деформируемых тел из изотропного гиперупругого материала Генки 43
2.1 Определяющие соотношения гиперупругого материала Генки..................43
2.2 Тензор упругости для материала Геики............................................48
2.3 Сильная и слабая формулировки уравнений динамического движения .... 55
2.4 Сильная и вариационная формулировки уравнений квазистатического движения ..................................................................................57
3 Применение метода конечных элементов к решению уравнений движения деформируемых тел из изотропного гиперупругого материала Генки 60
3.1 Конечно-элементная аппроксимация уравнений движения изотропной гиперупругой среды Генки ............................................................60
Оглавление 3
3.2 Матрицы и векторы конечных элементов..........................................62
3.3 Введение модели изотропного гиперупругого материала Генки в пакет MSC.Marc 67
3.4 Примеры численных расчетов......................................................69
3.4.1 Задача о растяжении куба..................................................70
3.4.2 Задача о простом сдвиге....................................................70
3.4.3 Растяжение стержня заданным перемещением торца....................77
3.4.4 Выпучивание сжатого стержня ............................................91
4 Кручение упругих стержней при больших деформациях 95
4.1 Одноосное деформирование плоских образцов....................................95
4.2 Кручение стержня со стесненными торцами......................................98
4.3 Кручение стержня со свободными торцами....................106
Заключение 115
Список литературы 116
Введение
Эластомеры, благодаря своим уникальным свойствам, обусловленным молекулярной структурой данных материалов, широко используются в технике. Известно (см., например, [34, 49, 54, 56, 84, 89]), что эластомеры могут претерпевать большие деформации (несколько сотен процентов) без разрушения и повреждения структуры материала. Широкое использование эластомеров в автомобильной, авиационной промышленности и других отраслях народного хозяйства требует тщательного исследования их деформативпых и прочностных свойств, а также оценки несущей способности конструкций из материалов типа эластомеров, включая оценку устойчивости этих конструкций при действии сжимающих нагрузок. В настоящее время конструкторы, создающие изделия из новых материалов, все более широко используют методы математического моделирования для оценки работоспособности этих изделий при действии на них типовых нагрузок. В связи с развитием вычислительной техники и современных численных методов (в первую очередь метода конечных элементов), в математическом моделировании поведения создаваемых конструкций из новых материалов все более значимым и актуальным становится компьютерное моделирование конструкций, подвергающихся внешним воздействиям различного типа. Потребность в компьютерном моделировании процессов деформирования тел и конструкций из эластомеров стимулирует развитие теории больших деформаций гиперупругих тел, создание алгоритмов численных решений уравнений гиперупругости и их программную реализацию.
Основные положения теории гиперупругости в настоящее время достаточно хорошо разработаны и представлены, например, в [9, 17, 19, 25, 32, 43, 44, 52, 69, 75, 82, 83, 104, 113, 118, 122, 127, 130]. Однако еще ждут своего решения задачи поиска форм записи уравнений с точки зрения эффективности их использования в приложениях.
Важным моментом при формулировании определяющих соотношений гиперупругости является конструирование скалярной функции удельной энергии деформаций такой, для
ВВЕДЕНИЕ 5
которой тензор напряжений является градиентальной тензорной функцией (см., например, [32]) тензора деформаций. Для корректности формулировки определяющих соотношений гиперупругости тензоры напряжений и деформаций должны образовывать пару тензоров, сопряжёппых по мощности внутренних сил. Впервые понятие сопряжённых пар таких тензоров ввёл В.В. Новожилов [18]. Позднее Р. Хилл [81, 82] ввёл более общее определение сопряжённых тензоров напряжений и деформаций. Дальнейшее развитие идеи сопряжённости этих тензоров дапо в [2, 11, 76, 94] и др.
Используя технику построения тензора в главных осях, Р. Хилл в [81, 82] (см. также [65]) получил выражения для тензоров напряжений, сопряжённых с тензорами деформаций семейства Хилла. М. Шейдлер [124] доказал правильность этих выражений в случае совпадения собственных значений тензоров деформаций. Простота выражений для компонент тензоров деформаций и сопряжённых с ними тензоров напряжений, построенных в главных осях тензора деформаций, к сожалению, приводит к трудностям их использования в приложениях, так как для построения тензора в главных осях требуется определить тройки ортонормальных собственных векторов. Кроме того, для кратных собственных значений тензоров собственные векторы определяются неоднозначно, что создает проблему их выбора.
Для избежания трудностей построения тензоров в главных осях были развиты альтернативные представления тензоров деформаций, напряжений и их скоростей, свободные от выбора базиса (см., например, [38, 39, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 87, 88, 98, 135]). Однако представления этих тензоров в таком виде являются достаточно громоздкими.
Оптимальным вариантом представлений симметричных тензоров напряжений, деформаций и их скоростей, сохраняющих простоту структуры выражений тензоров в главных осях и в то же время удобство их приложения, являются представления этих тензоров через собственные проекции (см., например, [32, 43, 75, 87, 95, 97, 127, 135]). Выражения тензоров напряжений, деформаций и их скоростей через собственные проекции тензоров деформаций даны в [6, 7, 68, 95, 106, 107, 108, 112, 119, 136, 138, 139, 141] и др.
Наиболее подходящей парой сопряжённых тензоров напряжений и деформаций для использования в уравнениях механики сплошной среды в переменных Лагранжа является пара (S(2),E^), где S™ — второй тензор напряжений Пиолы - Кирхгофа, а тензор деформаций Грина - Лагранжа [9, 51, 52, 83, 118]. Главным преимуществом тензора деформаций Грина - Лагранжа перед другими тензорами деформаций семейства
6 ВВЕДЕНИЕ
Хилла является то, что компоненты этого тензора в переменных Лагранжа определяются непосредственно в системе отсчета без спектрального представления этого тензора (т. е. не требуется определять его собственные значения и векторы). С другой стороны, с помощью тензора S^2^ удобно формулировать уравнения движения (равновесия) как в исходном виде, так и через скорости. Формулировка этих уравнений через скорости требуется как для их пошагового интегрирования, так и для применения критериев устойчивости равновесных состояний и квазистатических (динамических) движений (см., например, [9, 40, 118]). Таким образом, для введения новой модели материала (в частности, и гиперупругой среды) в библиотеки моделей материалов пакетов программ общего назначения, реализующих метод конечных элементов решения задач механики деформируемого твердого тела в переменных Лагранжа (например, таких как ADINA [40], MSC.Marc [101], PIONER [92]), достаточно разработать и внедрить в эти пакеты подпрограммы, реализующие связи компонент тензора S^ с компонентами тензора Е^2', а также матрицы, связывающие компоненты их скоростей.
Для изотропной гиперупругой среды моделями материалов, для которых можно прямо (без определения главных осей тензора деформаций) получить упомянутые выше формулы связи, являются такие как модель Кирхгофа - Сен-Венана [52, 130, 132], неогукова, Муни - Ривлина (см., например, [9]). Для этих моделей материалов удельная потенциальная энергия деформаций выражается при помощи уравнения, в котором она зависит от главных инвариантов тензора Е^. Общие формулы связи компонент тензора с компонентами тензора Е'2' и матриц, связывающих компоненты их скоростей для изотропной гиперупругой среды при такой записи удельной потенциальной энергии деформаций, приведены в [117]. К сожалению, модели материалов, в которых учитывается явная зависимость удельной потенциальной энергии деформаций от главных инвариантов тензора позволяют описывать деформирование только узкого класса материалов при умеренных деформациях.
Альтернативным подходом к определению удельной потенциальной энергии изотропной гиперупругой среды является ее задание в виде функции главных удлинений. Важнейшим свойством этой функции является ее зависимость от степеней главных удлинений (модель материала Огдена [118]) и более сложные зависимости от степеней, экспонент и логарифмов главных удлинений [54]. Задание параметров в этих моделях материалов позволяет построить кривые деформирования, соответствующие главным удлинениям во
ВВЕДЕНИЕ 7
всем диапазоне деформирования эластомеров. Если удельная потенциальная энергия деформаций изотропного гиперупругого материала представляется в виде функции от главных удлинений, то компактные представления тензора S^2' и тензора упругости четвертого порядка можно получить в главных осях тензора Е^2). Эти выражения приведены, например, в [44, 83, 104, 118]. Более громоздкие выражения этих тензоров в виде, не зависящем от выбора базиса, приведены в [64]. Компактные представления этих тензоров в собственных проекциях лаграпжевых тензоров деформаций удобные для приложений приведены в [108, 119].
Использование сложных моделей материалов работоспособных во всем диапазоне деформирования эластомеров требует тщательной постановки экспериментов и большой работы по поиску параметров для описания экспериментальных кривых. Возникает вопрос: можно ли для эластомеров сконструировать такую функцию для удельной потенциальной энергии деформаций, которая имела бы вид потенциальной функции для изотропной упругой среды при бесконечно малых деформациях, для которой справедлив закон Гука, и в то же время была бы пригодной для описания деформаций эластомеров, выходящих за рамки применения уравнений линейной теории упругости?
Первый шаг к ответу на этот вопрос состоит в разработке методики построения функций удельной потенциальной энергии деформаций для моделей материалов изотропной гиперупругой среды, обобщающих закон Гука на случай больших деформаций. Эту методику предложил Р. Хилл [81, 82] (см. также [132]). Суть предложения Р. Хилла состоит в замене тензоров напряжений и деформаций Коши в законе Гука, используемых в уравнениях линейной теории упругости, любой парой сопряжённых лагранжевых тензоров напряжений и деформаций (последние должны принадлежать семейству тензоров деформаций Хилла, введенному в [81, 82]). В частности, такой парой является пара тензоров (S(2\E(2)). В последнем случае такая модель изотропного гиперупругого материала называется моделью Кирхгофа - Сен-Венана [52, 130, 132]. Другие способы обобщений закона Гука с бесконечно малых на большие деформации представлены в [42, 48, 114], но модели материала, рассматриваемые в этих работах, в общем случае являются только упругими, но не гиперупругими (на замкнутых путях деформирования не сохраняют энергию) [83, 118, 130].
Вторым шагом к ответу на поставленный вопрос является отбор таких моделей материалов (среди теоретически допустимых), поведение которых не противоречит уста-
повившимся физическим представлениям о поведении материалов во всем допустимом диапазоне изменения главных удлинений, и определение таких диапазонов изменения деформаций, для которых математические модели соответствуют данным эксперимента. Поведение ряда моделей гиперупругих материалов этого семейства изучалось путем построения кривых одноосного деформирования и простого сдвига в [1, 41, 42, 51, 53, 55, 58, 67, 89, 121, 137]. Суммируя результаты этих исследований, можно отметить, что только модель гиперупругого изотропного материала Генки (Непску) с использованием тензора логарифмических деформаций Е^1 (см., например, [118]) и сопряжённого с ним тензора напряжений Нолла г [51] не противоречит установившимся физическим представлениям (деформации стремятся к минус-бесконечности при неограниченном сжатии материала и к плюс-бесконечности при его неограниченном растяжении) и согласуется с экспериментальными данными для деформаций умеренной величины, выходящих за рамки применимости уравнений линейной теории упругости. Отметим, что аналогичным свойством обладает пара сопряжённых тензоров напряжений и деформаций Муни (Моопеу) (8м, Ем) [51, 53]. При этом тензор деформаций Мупи Ем (тензор квазилогарифмических деформаций) из семейства Хилла аппроксимирует тензор логарифмических деформаций. Такое же соответствие известным экспериментальным данным решений задач о кручении и изгибе стержней из материала Генки отмечается в [46, 47, 151, 153]. Л. Ананд [34] показал, что модель материала Генки хорошо описывает деформацию вулканизированной резины и упругие деформации металлов при высоких давлениях в интервале (0.7,1.3) изменения главных удлинений. Более того, Л. Ананд показал [35], что однопараметрическая модель Генки для несжимаемого материала (под параметром понимается модуль Юнга) лучше описывает экспериментальные данные, чем двухпараметрическая (с параметрами С\ и С2 [9]) модель гиперупругого изотропного материала Муни - Ривлина. Преимущества использования тензора логарифмических деформаций перед другими тензорами деформаций семейства Хилла в уравнениях механики сплошной среды, такие как аддитивное разложение деформации на объемную и изохорическую составляющие и существование коротациоппой скорости тензора логарифмических деформаций, равной тензору скорости деформаций, хорошо известны (см., например, [43, 44, 67, 82, 136, 146, 148]).
1 Тензор логарифмических деформаций впервые ввели Имберт (Imbert) в 1880 г. и Людвик (Ludwik) в 1909 г. В формулировке определяющих соотношений этот тензор впервые использовал Генки (Непску) в 1928 г. [51].
Таким образом, можно дать однозначный ответ на вопрос, поставленный выше: для изотропной гиперупругой среды единственной парой сопряжённых лагранжевых тензоров напряжений и деформаций из семейства Хилла, пролонгирующих закон Гука из области малых в область умеренных деформаций и имеющих прикладное значение, является пара тензоров (т,Е<°>) и пара тензоров (SM,EM), которые аппроксимируют, соответственно, тензоры в первой паре.
Дальнейшее усложнение модели материала Генки с целью добиться большего соответствия структуры удельной потенциальной энергии деформаций данным эксперимента проведено в [49, 50, 56, 84, 89]. Преимущества использования тензора логарифмических деформаций в определяющих соотношениях неупругих материалов по сравнению с другими тензорами семейства Хилла хорошо известны и этот тензор используется исследователями в определяющих соотношениях гипоупругости [105, 137, 139, 143, 149, 155], упругопластичности [7, 24, 36, 37, 70, 71, 72, 77, 109, 110, 111, 134, 144, 150, 152, 154] и жёстко-пластического тела [115].
Напомним, что классический закон Гука для изотропных упругих материалов строится в виде зависимости тензора напряжений Коши s от тензора деформаций Коши е: s = Ф(ё), где Ф — однородная изотропная функция первой степени от е (см., например, [9]). Определяющие соотношения закона Гука имеют механический смысл только для бесконечно малых деформаций, так как тензор деформаций Коши е не объективен, т. е. этот тензор нельзя использовать для построения определяющих соотношений нелинейной среды (см. например, [130]). При замене пары тензоров (s, е) в законе Гука па пару тензоров (г, Е(°>), где г — тензор напряжений Нолла, а Е^ — правый тензор логарифмических деформаций (правый тензор деформаций Генки), приходим к модели изотропного гиперупругого материала Генки, которую можно использовать для моделирования деформирования эластомеров в условиях больших деформаций, так как тензоры т и Е^ объективны по Лаграпжу [94, 95].
Л. Ана�
