Нелинейное деформирование неоднородных элементов машиностроительных конструкций из резинометаллических материалов с учетом старения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Мирошкин Кирилл Петрович

Нелинейное деформирование неоднородных элементов машиностроительных конструкций из резинометаллических материалов с учетом старения

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2007"г\

003062380

Работа выполнена в Московском государственном открытом университете

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Дмитриев В Г Научный консультант - доктор технических наук Москвитин Г В

Официальные оппоненты

- доктор технических наук, профессор Морозов Е М

- кандидат физико-математических наук, доцент Жаворонок С И

Ведущая организация - МГСУ им В В Куйбышева, г Москва Защита состоится «16» мая 2007 г в «14—» часов на заседании диссертационного совета Д 212 137 02 в Московском государственном открытом университете по адресу

107996 Москва, ул П Корчагина, д 22 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОУ

„ „

Автореферат разослан " / " апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета ьУ^аххи^. Н В Лукашина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современных машиностроительных конструкциях как общего, так и специального назначения достаточно широко применяются ре-зинометаллические элементы различной конфигурации, выполняющие амортизирующие и демпфирующие функции Основными преимуществами резиноме-таллических амортизирующих элементов перед амортизаторами пружинного и рессорного типа, выполняемыми из металлических конструкционных материалов, является отсутствие коррозионного износа неметаллического конструкционного материала, минимум механической обработки и сборочных операций при изготовлении, а также - в большинстве случаев - меньшая стоимость вследствие названных выше причин Конструктивно резинометаллические амортизирующие элементы представляют собой, как правило, массивное трехмерное неоднородное тело различной геометрической конфигурации, претерпевающее в процессе эксплуатации значительные деформации Неоднородность может быть обусловлена наличием полостей, вырезов, неравномерностью распределения физико-механических свойств материалов в массиве амортизатора и т п Наиболее типичной является неоднородность, возникшая в процессе длительной эксплуатации или хранения и связанная с неравномерностью изменения свойств материала по толщине амортизатора в результате старения

При продолжительной эксплуатации в атмосфере, при наличии тех или иных воздействий (колебания температуры в широком диапазоне, содержание в атмосфере агрессивных веществ и др ) в неметаллических амортизаторах происходит изменение физических свойств конструкционных материалов, и, как следствие, отклонение механических характеристик амортизатора от предусмотренных конструкцией параметров Кроме того, хранящиеся в складских условиях технические резины, как правило, тоже изменяют свойства При старении технических резин их физические константы изменяются в основном в сторону большей жесткости При этом замена амортизирующего элемента аналогичным новым амортизатором в ряде случаев оказывается невозможной или по ряду при-

чин нецелесообразной В этих случаях возникает необходимость восстановления проектных характеристик амортизатора путем той или иной обработки

В настоящее время существует два основных метода восстановления характеристик резинометаллических амортизирующих элементов - химический и механический Задача химического метода - изменение микроструктуры материала с целью изменения его физических констант в сторону снижения жесткости Применение механического метода предполагает уменьшение рабочих сечений амортизирующего элемента и, следовательно, снижение его жесткости на растяжение-сжатие при неизменных физических константах, соответствующих состаренному состоянию материала Во многих случаях механический метод восстановления может оказаться более доступным или единственно возможным

Для исследования изменения жесткостных характеристик неоднородных амортизирующих элементов в зависимости от модификации их геометрических параметров с учетом старения материалов требуется разработка адекватных математических моделей, учитывающих особенности поведения материалов и элементов конструкций в существенно нелинейной области, чем и определяется актуальность темы диссертации

Целью работы является исследование жесткостных характеристик массивных резинометаллических амортизационных элементов машиностроительных конструкций при модификации их геометрических параметров и физических свойств материала, обусловленных старением, а также разработке методов восстановления на их основе проектных физико-механических характеристик амортизаторов при сохранении заданного уровня прочностной надежности Для этого формулируются следующие задачи

- разработка математических моделей амортизаторов с учетом особенностей нелинейного деформирования резины как гиперупругого материала,

- выбор и обоснование схемы нагружения конечно-элементной модели, адекватной физическому эксперименту,

- построение аналитических решений модельных задач о нелинейном деформировании трехмерных гиперупругих несжимаемых тел при изменении их

геметрических и жесткостных параметров,

- построение трехмерных конечно-элементных моделей резинометаллических амортизаторов машиностроительных конструкций различных типов,

- выработка практических рекомендаций по модификации геометрических параметров амортизаторов, обеспечивающих требуемое изменение их жесткостных характеристик

Научная новизна работы заключается в разработке математических моделей резинометаллических амортизаторов машиностроительных конструкций различных типов, рассматриваемых как нелинейно деформируемое гиперупругое трехмерное тело, и в выработке на основе проведенного вычислительного эксперимента практических рекомендаций по модификации исходных геометрических параметров резинометаллических амортизаторов для восстановления исходных жесткостных характеристик амортизатора, изменившихся в процессе эксплуатации или длительного хранения за счет старения материала

Достоверность результатов и адекватность разработанных математических моделей и численных методов решения основывается на использовании фундаментальных законов механики деформируемого твердого тела, применением апробированного аппарата математического моделирования гиперупругих конструкционных материалов и применением апробированного математического аппарата численного решения нелинейных краевых задач теории упругости и подтверждается сопоставлением с аналитическими решениями и экспериментальными данными

Практическая ценность работы заключается в выработке практических рекомендаций по восстановлению проектных жесткостных характеристик резинометаллических амортизаторов, изменившихся в процессе эксплуатации за счет старения резиновых конструкционных материалов в процессе эксплуатации или длительного хранения, что обеспечивает возможность продления ресурса амортизационных конструктивных элементов при невозможности или нецелесообразности замены состарившихся амортизаторов аналогичными новыми

Полученные результаты решения сложных задач внедрены в расчетную практику заинтересованных организаций, что подтверждено актом внедрения с предприятия «Автокомбинат № 1»(г Москва) На защиту выносятся:

- разработанные математические модели нелинейного деформирования массивных неоднородных амортизаторов из гиперупругих материалов с различными вариантами модификации исходной геометрии,

- результаты исследований физико-механических характеристик резинометалли-ческих амортизаторов в зависимости от изменения свойств конструкционных резин и практические рекомендации по модификации геометрических параметров амортизаторов для восстановления проектных жесткостных характеристик

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах 1 «Прогрессивные технологии для интенсивного развития отраслей социально-экономического комплекса» Подольск, 2004 г 2 XII Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Ярополец, 2006 3. Общеуниверситетский семинар по механике деформируемого твердого тела при МГОУ Москва, 2007 г

Публикации По теме диссертации опубликована 3 работы, включая статью в журнале, входящем в перечень издательств, рекомендованных ВАК РФ

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов (заключения), списка литературы из 107 наименований и приложения, в котором представлены результаты практического внедрения проведенных исследований Общий объем диссертации 158 страниц, включая 40 рисунков и 6 таблиц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается важность и актуальность темы диссертации Дается краткое изложение диссертации по главам, а также основные результаты, вынесенные на защиту

В первой главе на основе обзора публикаций современных результатов, полученных в области нелинейной статики гиперупругого деформируемого твердого тела при больших деформациях, проводится анализ состояния проблемы и обосновывается постановка задачи

Во второй главе приводится обоснование математических моделей рассматриваемых трехмерных конструкций амортизаторов из гиперупругих материалов Излагаются основы нелинейной теории упругости, вводятся векторы и градиенты места, тензоры деформации и напряжения в различных конфигурациях Формулируются основные модели сжимаемого гиперупругого тела по Сетху, Синьорини и Мурнагану, модели несжимаемого гиперупругого тела по Трелоа-ру, Муни, Муни-Ривлину и Сондерсу, модели сжимаемого гиперупругого тела по Огдену Излагаются постановки первой и второй основных краевых задач нелинейной теории упругости Приведены основные вариационные принципы нелинейной теории упругости, используемые при построении конечно-элементной модели нелинейно деформируемого гиперупругого тела применительно к рассматриваемым типовым геометрическим конфигурациям амортизаторов

В третьей главе в качестве тестовой рассматривается задача для осесим-метричного осевого сжатия сплошного цилиндрического гиперупругого тела диаметром 2Л и длиной/, при (рис 1), для которой строится аналитическое решение Используется цилиндрическая система координат х1 =г,х2 =б,х3 — г, в которой описание геометрии недеформированного тела является каноническим Параметры Ламе системы координат, соответствующей исходной конфигурации 50, имеют вид

#,= 1, #2 - г, Я3=1 (1)

Рис 1

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах отсчетной конфигурации Е0 записывается в виде

V2=r~'d,K) + Ô„ (2)

Принимается линейная модель Трелоара для гиперупругого несжимаемого материала

T = -pE+2GF, (3)

где р - гидростатическое давление, Т - тензор напряжений Коши, F -мера деформации Фингера, Е - единичный тензор

Процесс нагружения разбит на N шагов, где N - достаточно большое число, чтобы деформации на первом шаге нагружения могли считаться достаточно малыми Тогда на первом шаге нагружения (к~ 1) краевая задача будет являться линейной Аналогично строится решение линейной краевой задачи при к = 1 Полученное на начальном шаге деформированное состояние, являющееся актуальной конфигурацией, принимается в качестве отсчетной конфигурации Н, второго niai а иа1ружения (к = 2) На втором шаге нагружения телу сообщается деформация, отсчитываемая от исходного состояния Н]; той же величины, что и

на первом шаге В силу линейности определяющих соотношений равные линейные приращения тензора деформаций е порождают равные приращения тензора напряжений о как на втором, так и на любом последующем шаге нагружения Следовательно, на каждом шаге задача в приращениях является линейной

Боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок Торцевые поверхности оперты на идеально гладкие плоскости При осевом сжатии цилиндра задано взаимное сближение Д плоскостей его торцов Таким образом, на первом шаге нагружения формулируется следующая линейная краевая задача

У2и® + дгр® = О

(4)

(7)

- уравнения равновесия в перемещениях,

ег+ев+е2 = 0 (5)

- условие несжимаемости материала,

е«=Эг«М Е»=0,«Ю е«=г-'иМ у «=5^ + ЭгИ« (6)

- линейные кинематические соотношения,

а«=0(2811)+/)), 1 = {г,В,г},

- физические соотношения для нео-гуковой среды, соответствующие (3) для линейных тензоров напряжений и деформаций,

тМ(Л,г) = о?)(Д,2) = 0, (8)

т«(г,0) = т«(г,£) = 0, (9)

1/'')(г,о) = о, ы«(/■>£)(Ю)

- краевые условия

Задача решается полуобратным методом С учетом осевой симметрии задачи, статических краевых условий на торцах (9) и в предположении, что поперечные сечения остаются плоскими и нормальными оси

= = 1)£ (И)

с учетом кинематических краевых условий (10) решение примет вид

«?(*) = -— (12) г У ' Ж V '

Условие несжимаемости материала с учетом кинематических соотношений

(6) и решения (12) преобразуется к виду

+ = —, (13)

сЬ- г Ж '

Имеем, таким образом, обыкновенное дифференциальное уравнение для

(О

перемещения и;'

1*.(ге(0)=А, (14)

гйЛ ' > ж v '

где его общее решение с учетом и® (г = 0) = 0 записывается в виде

««(/") = —1 (15)

' у ' 2 Ж

Согласно (6), (7), деформация сдвига и касательное напряжение тождественно обращаются в нуль у® = 0, т'^ = О Для определения функции гидростатического давленияр, следовательно, имеем краевое условие (8) при г-Я, с учетом (6) и (7) сводящееся к виду

, т

+ /'=0 (16)

</г

(О

и с учетом (15) приводящее к величине р , равной

/>=-А (17)

ж

На основе (6), (7), (12) определяется нормальное напряжениест^ (г)

с^(2) = -3в— (18)

Ж,

и сжимающая сила Р*1' первого шага нагружения

Р(1) = 3л Га«г= (19)

г Л/7

Ж

На к-и шаге соотношения (12), (15), (17), (18) имеют вид

М и; ' = -

N1}

■г, К =

М _. А

2Ж

г, =

Ж1

«

м,1

Здесь длина цилиндра в начале £-го шага, соответствующая решению на А:-1-м шаге

ж

(21)

Площадь поперечного сечения цилиндра на к -м шаге определяется, исходя из условий однородности деформации цилиндра и постоянства объема несжимаемой среды V = V = п112Ь

пЯ1

г«.

Д

Ж

Сжимающее усилие на торцах цилиндра на к -м шаге равно

Рм _. ~ - Д

-ЪпО-

Ж

у 'ж

а на последнем шаге нагружения при к-И, =Ь~А определяется суммой

^ 1 А

(22)

(23)

1-(*-1)

Ж

ж

(24)

При N —>■ со существует предельный переход

ж К 'ж

-ЗпЯЪ |

¿(1-д2 и-и ь

(25)

(26)

где X - удлинение цилиндра при растяжении или сжатии

Таким образом, получено решение для цилиндрического гиперупругого тела, находящегося в состоянии одноосного сжатия, в виде явного аналитического выражения диаграммы деформирования Р(Л)

Далее рассматривается основная проблема — снижение интегральной жесткости амортизатора в форме сплошного цилиндра, работающего в условиях одноосного сжатия, при возрастании жесткости гиперупругого материала путем уменьшения площади поперечного сечения Изменение жесткости материала задано коэффициентом К О' = КС При этом увеличение сжимающей силы (26) прямо пропорционально К Вводится аналогичный коэффициент пропорциональности для радиуса цилиндра Я. Я' = МЯ В этом случае соотношение (26) запишется в виде

Р(С,Я) = Р{К,М) = Зл(МЯ)2 Кв^-

/

1

(27)

Следовательно, увеличение жесткости материала в К раз требует для сохранения значения сжимающей силы уменьшения радиуса в л/Л" раз, т е корректировка жесткости описывается следующей зависимостью

М = \/4к (28)

Аналогичный результат может быть получен и для другой формы тела Например, для призматического тела квадратного поперечного сечения с размером стороны а и высотой Ь решение (26) имеет вид

Р = -Зтш'С*?-^ = Зпа2С-(——

о (1-С) ь и/6-1.

(29)

Здесь зависимость коэффициентов изменения геометрического размера сечения и коэффициента изменения жесткости также будет иметь вид (28)

Как следует из (26),(28),(29), существует обратная пропорция между коэффициентом изменения площади поперечного сечения тела в натуральной отсчет-ной конфигурации и коэффициентом изменения жесткости Таким образом, при однородной деформации гиперупругого амортизатора, не превышающей 50%, в первом приближении можно принять закон изменения геометрии сечения в зависимости от изменения модуля упругости второго рода в виде

М = (30)

Далее в третьей главе излагаются принципы конечно-элементного моделирования больших деформаций упругой среды описание изопараметрических осе-симметричных и трехмерных элементов, используемых в конечно-элементном комплексе MSC/NASTRAN и применяемых в дальнейшем при решении практических задач Излагается подход к решению нелинейной задачи, основанный на методе Ньютона-Рафсона

Рассматривается осесимметричная задача об однородной деформации сжатия гиперупругого (в рамках линейной модели Трелоара (3) при G = 1) цилиндра, имеющая аналитическое решение (29) Конечно-элементная модель создана в среде MSC/Nastran 2004 с препроцессором Femap 8 3 и образована осесиммет-ричными четырехугольными конечными элементами (AXISYMMETRIC) Использовались две сетки крупная, с 20 элементами вдоль образующей, и 10 элементами вдоль радиуса, и мелкая, с 40 элементами вдоль образующей, и 20 элементами вдоль радиуса Краевые условия приняты в соответствии с (8)-(10)

В рамках поставленной задачи на верхнем торце цилиндра поставлено краевое условие {uz )к = -Д, где Д - заданное перемещение (10) Искомым параметром является осевое сжимающее усилие Р, создающее перемещение Д Для исключения интегрирования по поверхности торца вводится элемент RIGID кинематической связи между верхним торцом цилиндра и некоторой точкой, в которой задано перемещение Д Усилие Р определяется как реакция в связи, тем самым исключается необходимость сохранения истории нагружения и решения задачи во всех узлах и элементах, за исключением ведущего узла элемента связи Конечно-элементная модель показана на рис 2(a) Численное решение задачи построено методом Ньютона-Рафсона с вывода решения в 20 промежуточных шагах Деформированное состояние приведено на рис 2(6), показана актуальная конфигурация при перемещении торца Д = 0,3 5Z, Диаграмма деформирования приведена на рис 3(a) Точками показано решение на основе модели с сеткой 10x20 элементов, символами «х» - решение на основе модели с сеткой 20x40, сплошной линией - аналитическое решение (26) Конечно-элементное решение задачи сходится к точному на интервале деформаций осевого сжатия

цилиндра Л е [0,30]%, с погрешностью относительно точного решения бе=| Дкз - Д | / Л-100%, непревышающей 1,2%. На интервале Де[30,40]% погрешность не превышает 4,7%. Результаты конечно-элементного моделирования на крупной и мелкой сетках практически совпадают с погрешностью относительно решения на мелкой сетке в пределах 1%, т.е. конечно-элементное решение сходится. Зависимость (30) в сравнении с полученной на основе конечно-элементного решения показана на рис.3{б).

Рис. 2.

-- Ам1уия . ГЕМ 10x20 ♦ гам 20-40 \ \

♦/

..........""Г '■. I .

...............:............... --АГЛ1у11С5 * :-"ем сд - зо%)

■ 3

X ................|................

:

1го но 1бо ]8о гоо к,**

(а)

(б)

Рис, 3.

В четвертой главе описано конечно-элементное моделирование нелинейных деформаций гиперупругих резиновых амортизаторов и построение диаграмм деформирования по результатам конечно-элементного решения задачи

Исследуется амортизатор, представляющий собой трехмерное тело, ограниченное двумя соосными коническими поверхностями С0, С, и двумя соосны-ми цилиндрическими поверхностями 80, (рис 4) Геометрия конических поверхностей задана диаметрами нормальных оси сечений, задающих максимальный габаритный размер тела Н (высоту) по оси г Больший и меньший диаметры сечений внешней поверхности С,, равны Д и02, диаметры внутренней поверхности С0 равны с1х и с!г Цилиндрические поверхности 80, Б,, нормальные оси конусов, имеют диаметры К0 и Л, соответственно, при этом Л, > Л0 Задача решается при следующих исходных данных Д=360мм, В2 — 220 мм, с?! =230мм, с?;= 96мм, Л,, = 1100мм, Л, = 1250мм

Максимальное перемещение поверхности при осевом сжатии амортизатора составляет уу = 45 мм Сближение торцов порядка 45 мм приводит к наибольшим деформациям порядка 30%, что, как следует из результатов, приведенных в главе 2, является границей применимости одноконстантной модели несжимаемого материала Соответственно, закон состояния материала принят в форме линейной модели гиперупругой среды Трелоара Константа материала

15

С; = С (модуль упругости второго рода) равна 1 - 105Па -

Упругое тело неподвижно закреплено по нижней поверхности т.е. реализуются однородные кинематические краевые условия в глобальной цилиндрической системе координат (иг) (мг) = (мй) = 0.

Конечно-элементная модель образована тетраэдрически ми изопараметри-ческими девятяузловыми квадратичными конечными элементами типа С ТЕТЯ А, имеющими 27 поступательных степеней свободы. Число элементов сетки вдоль образующей конических поверхностей - 15; вдоль кривой пересечения поверхностей и С„ - 50; вдоль кривой пересечения поверхностей и С„ - 40; вдоиь кривой пересечения поверхностей и С, - 30; вдоль кривой пересечения поверхностей и С) - 20.

Закрепление реализовано на поверхности 50 в виде поверхностного граничного условия в соответствии с . Задано перемещение поверхности с помощью конечного элемента с ведущим узлом, подчиняется краевым условиям и, - IV, иг=иа- 0 и расположенным на оси конуса с координатой 2 = 2Н . Конечно-элементная модель показана на рис.5(а). Нелинейная задача решается методом Ньютона-Рафсопа с выводом решения в 20 шагах. Деформированное состояние исходного амортизатора при полном обжатии приведено на рис.5(6).

Рис. 5,

Диаграмма деформирования Р — А показана на рис 6(а) Исходному состоянию материала амортизатора соответствует сплошная линия В предположении об однородном изменении свойств материала в результате старения, соответствующем увеличению жесткости на 20% (С? = 1,2 105Па), проведен расчет на основе конечно-элементной модели, приведенной на рис 5(а) Построена диаграмма деформирования Р-8 «состаренного» амортизатора (рис 6(а), маркеры «х») Восстанавливать исходную характеристику амортизатора при увеличении жесткости материала предлагается путем уменьшения площади сечений конуса, нормальных оси, за счет снятия слоя материала с поверхности С0

Расчеты проводились при пошаговом уменьшении толщины конуса по 2 мм В результате каждого изменения толщины стенки конуса строилась новая конечно-элементная модель, аналогичная исходной по количеству и типу конечных элементов, закреплению и величине перемещения торца Для полученной модели проводился расчет, по результатам которого строилась диаграмма //-го приближения Ри - 5Л, По мере приближения к исходной диаграмме шаг изменения толщины уменьшался до 1 мм В результате при снижении толщины равномерно по всей внутренней поверхности на 13 мм (8 шагов) была получена диаграмма деформирования видоизмененного объекта, показанная на рис 6(6) в сравнении с диаграммой деформирования исходного состояния материала

(а) (б)

Рис 6 17

Далее рассмотрен амортизатор в виде усеченной пустотелой пирамиды (рис 7(а)), либо трехмерного тела, образованного пересечением усеченной пустотелой пирамиды и пустотелой призмы (рис 7(6)) Материал предполагается гиперупругим несжимаемым Диаграмма деформирования амортизатора при одноосном сжатии задана как в исходном состоянии, так и в состоянии, соответствующем определенному сроку эксплуатации Будем считать, что для материала задан однородный закон старения, заключающийся в увеличении констант жесткости равномерно по всему объему среды CtJ' = kCtJ, к> 1, где Ct] - константы определяющих соотношений гиперупругого материала, соответствующие модели Трелоара или Муни-Ривлина

Построены трехмерные конечно-элементные модели образцов амортизаторов №1 и №2 Модели образована тетраэдральными восьмиузловыми конечными элементами (тип CTETRA) и показаны на рис 8(а,б)

Схема экспериментального исследования амортизатора приведена на рис 9(а) Установка для одноосного сжатия амортизатора состоит из опорной силовой плиты, закрепленной на станине испытательного гидравлического пресса и реализующей неподвижное закрепление образца по всей нижней поверхности в соответствии с предполагаемым режимом эксплуатации, и верхней силовой плиты, соединенной с траверсой гидравлического пресса В соответствии с физиче-

I г

I z

(а)

(б)

Рис 7

ским экспериментом нагр ужение конечно-элементной модели осуществлялось приложением заданного перемещения вдоль оси х по верхней грани при свободном перемещении узлов модели в горизонтальной плоскости с помощью жесткого элемента кинематической связи (КЮГО). Схема нагружения модели показана на рис9(б).

(а) (б)

Рис. 8,

(а) (б)

Рис. 9.

Решение нелинейной статической задачи для моделей образцов амортизатор«» № 1 и № 2 и производилось в рамках комплекса MSC/NASTRAN 2004 методом Ныотона-Рафсона с выводом 20 промежуточных шагов. Диаграмма деформирования модели, соответствующая исходному состоянию материала, приведена на рис. ]0(а>, диаграмма деформирования модели амортизатора, соответ-

ствующая новому состоянию материала, приведена на рис 10(6) Там же приведены диаграммы деформирования, построенные на основании экспериментальных измерений

(а) (б)

Рис 10

С учетом полученных результатов предпринята попытка модификации амортизатора с целью снижения его интегральной жесткости на осевое сжатие при принятом характере нагружения путем варьирования толщины стенки амортизатора При расчете варьирование осуществлялось от исходной до 1Л исходной толщины путем снятия слоя материала с внутренней поверхности амортизатора Произведен расчет на 10 шагах, включая исходное состояние, и получены следующие результаты

Геометрия образца амортизатора № 1, доработанного для понижения жесткости, приведена на рис 11 При таком изменении геометрии амортизатора диаграмма деформирования имеет вид, приведенный на рис 12 Экспериментальная диаграмма деформирования амортизатора в исходном состоянии отмечена маркерами «□», экспериментальная диаграмма в «состаренном» состоянии отмечена маркерами «о», расчетная диаграмма доработанного образца отмечена маркерами «А» Соответствие исходной диаграмме деформирования достигается на начальном участке и при деформации, соответствующей смещению торца амортизатора порядка 40-42 мм

Рис 12

Геометрия образца амортизатора № 2, доработанного для понижения жесткости, приведена на рис 13 При таком изменении геометрии амортизатора диаграмма деформирования имеет вид, приведенный на рис 14 Экспериментальная диаграмма деформирования амортизатора в исходном состоянии отмечена маркерами «□», экспериментальная диаграмма в «состаренном» состоянии отмечена маркерами «о», расчетная диаграмма доработанного образца отмечена маркерами «А» Соответствие исходной диаграмме деформирования достигается на начальном участке и при деформации, соответствующей смещению торца амортизатора порядка 37-40 мм

Рис 14

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1 Для исследования особенностей существенно нелинейного деформирования неоднородных амортизирующих элементов машиностроительных конструкций из гиперупругих материалов разработаны и развиты адекватные математические модели и численные методы, позволяющие путем модификации геометрических параметров восстанавливать исходную жесткость амортизаторов, изменившуюся в результате старения материала, при сохранении требуемой прочности

2 Построено аналитическое решение задачи об однородной деформации сжатия цилиндра осевой силой в рамках одноконстантной линейной модели Трелоара несжимаемого гиперупругого материала (нео-гукова среда) и на его основе получено новое соотношение между коэффициентами изменения константы материала и диаметром цилиндра, обеспечивающее постоянство сжимающей силы

3 При конечно-элементном моделировании одноосного сжатия гиперупругого цилиндра на основе линейной модели Трелоара для однородной деформации установлено, что численное решение задачи сходится к аналитическому на интервале деформации до (30-35)% При больших деформациях численное решение превышает аналитическое, что обусловлено излишней жесткостью, вносимой одноконстантной моделью материала и проявляющейся при заметном уплощении конечных элементов в области больших деформаций

4 Проведено исследование сходимости разработанных трехмерных конечно-элементных моделей амортизаторов и установлено, что сходимость численного решения к точному в рамках осесимметричной задачи достигается для дискретной модели с числом узлов, равным 20 вдоль образующей и 10 вдоль радиуса цилиндра

5 Исследована зависимость радиуса цилиндра от константы нео-гукова материала при увеличении жесткости материала до 200% для случая постоянной сжимающей силы и установлено, что погрешность численного решения относительно аналитического не превышает 1,8% - при 30%-ой деформации и 4,7% - при 35%-ой деформации сжатия

6 Обоснованность и достоверность разработанных и развитых в диссертации трехмерных конечно-элементных математических моделей для исследования процессов деформирования массивных амортизаторов в существенно нелинейной области при значительном формоизменении начальной геометрии подтверждена сопоставлением с известными теоретическими и экспериментальными данными

7 Практическая реализация разработанных математических моделей нелинейного деформирования неоднородных амортизаторов на персональных ЭВМ позволила выработать практические рекомендации по снижению интегральной жесткости следующих типов амортизаторов

- амортизатор в виде усеченного полого конуса с повышенной в результате старения жесткостью материала, описываемого нео-гуковой моделью,

- пирамидальный амортизатор с повышенной в результате старения жесткостью материала, описываемого моделью Муни-Ривлина

Для обоих типов амортизаторов путем пошагового уменьшения площади поперечного сечения снятием слоя материала с внутренней стороны определены оптимальные модификации геометрии, обеспечивающие восстановление исходной интегральной жесткости амортизатора

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ изложены в следующих статьях:

1 Дмитриев В Г, Мирошкин КП Математическое моделирование и оптимизация параметров напряженно-деформированного состояния автомобильных рессор из композиционных материалов - Мат научно-практической конференции "Прогрессивные технологии для интенсивного развития отраслей социально-экономического комплекса" Подольск, 2004, с 100-105

2 Дегтярь ВГ, Дмитриев В Г, Калашников СТ Мирошкин КП, Москвитин Г В Исследование напряженно-деформированного состояния несжимаемых гиперупругих тел в трехмерной постановке — Мат XII Межд симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Ярополец, 2006, с 82-88

3 Дмитриев В Г, Мирошкин КП Нелинейное деформирование неоднородных амортизирующих элементов машиностроительных конструкций из гиперупругих материалов - Инженерная физика № 2, 2007, с 4 - 7 (перечень ВАК РФ).

Содержание.

Введение.

Глава 1. Современное состояние проблемы.

Глава 2. Теоретические основы расчета нелинейной деформации гиперупругого амортизатора.

2.1. Основные соотношения нелинейной теории упругости.

Системы координат, применяемые в нелинейной теории упругости.

Метрические тензоры и градиенты места.

Меры и тензоры конечной деформации.

Тензоры деформации Коши и Альманси.

Инварианты тензоров конечной деформации Коши и Альманси.35 Преобразование элементарного объема и ориентированной площадки при переходе к актуальному состоянию.

Напряженное состояние. Тензоры напряжений Коши, Пиола и Кирхгофа.

2.2. Модели нелинейно-упругого материала.

Определяющие соотношения нелинейно-упругой среды.

Материал Сетха.

Модели Синьорини и Мурнагана сжимаемого нелинейно-упругого тела.

Модели резиноподбных материалов Блейтца-Ко и Ноулса

Стернберга.

Формулировка моделей несжимаемого нелинейно-упругого тела.

Модель несжимаемого материала Трелоара.

Модели Муни и Ривлина.

Материалы Бартенева-Хазановича и Черных-Шубиной.

Модели сжимаемых и пористых гиперупругих материалов.

2.3. Постановка краевых задач нелинейной механики гиперупругого тела.

Уравнения равновесия нелинейно-упругого тела.

Постановка краевых задач для нелинейно-упругого тела.

Потенциальная энергия нелинейно-упругого тела.

Вариационный принцип Лагранжа в нелинейной теории упругости.

Вариационный принцип Кастильяно.

Смешанные вариационные приципы Хеллингера-Рейсснера и Ху

Вашицу.

Глава 3. Исследование напряженно-деформированного состояния гиперупругих амортизаторов на модельных задачах.

3.1. Аналитические решения модельных задач нелинейной механики гиперупругого тела.

Основные подходы к решению краевых задач нелинейной теории упругости. Метод последовательных приближений.

Одноосное сжатие гиперупругого цилиндра.

Моделирование корректировки жесткости амортизатора путем изменения геометрии.

3.2. Конечно-элементное моделирование гиперупругого тела.

Построение конечно-элементной модели.

Решение нелинейной алгебраической задачи.

Осесимметричный конечный элемент.

Объемный конечный элемент.

Конечный элемент кинематической связи.

3.3. Конечно-элементное решение модельной задачи.

Данная диссертационная работа посвящена разработке методов восстановления характеристик резинометаллических амортизирующих элементов машиностроительных конструкций, подверженных старению в процессе эксплуатации. Предлагается понижение жесткостных характеристик амортизаторов, прошедших расчетный цикл эксплуатации, за счет изменения геометрии путем механического снятия слоя материала.

Актуальность темы.

Резинометаллические амортизаторы являются одними из наиболее широко распространенных типов амортизаторов, применяемых в современных машиностроительных конструкциях самого различного назначения. Основными преимуществами резинометаллических амортизаторов перед амортизаторами пружинного и рессорного типа, выполняемыми из металлических конструкционных материалов, являются:

- отсутствие коррозионного износа неметаллического конструкционного материала,

- минимум механической обработки и сборочных операций при изготовлении,

- в большинстве случаев - меньшая стоимость вследствие названных выше причин.

В то же время неметаллические амортизаторы при продолжительной эксплуатации в атмосфере, при наличии тех или иных воздействий (колебания температуры в широком диапазоне, содержание в атмосфере агрессивных веществ и др.) приводят к изменению физических свойств конструкционных материалов, а следовательно, отклонению механических характеристик амортизатора от предусмотренных конструкцией параметров. Кроме того, хранящиеся в складских условиях технические резины, как правило, тоже изменяют свойства. Как правило, при старении технических резин их физические константы изменяются в сторону большей жесткости. При этом замена амортизирующего элемента аналогичным новым амортизатором в ряде случаев оказывается невозможной или по ряду причин нецелесообразной. В этих случаях возникает необходимость восстановления проектных характеристик амортизатора путем той или иной обработки.

Два возможных метода восстановления характеристик технических резин - химический и механический. Задача химического метода - изменение микроструктуры материала с целью изменения его физических констант в сторону снижения жесткости. Применение механического метода предполагает уменьшение рабочих сечений амортизирующего элемента и, следовательно, снижение его жесткости на растяжение-сжатие при неизменных физических константах, соответствующих состаренному состоянию материала. В ряде случаев механический метод восстановления может оказаться более доступным или единственно возможным. Цель работы.

Целью данной работы является исследование деформированного состояния массивных резинометаллических амортизационных элементов конструкций при изменении их геометрических параметров и физических свойств материала для выработки рекомендаций по восстановлению проектных механических характеристик путем механической обработки снятием слоя материала.

Для реализации сформулированной цели поставлены следующие задачи:

1. Выбор модели технической резины как гиперупругого материала с различной степенью сжимаемости;

2. Построение трехмерных конечно-элементных модели резинометаллических амортизационных элементов конструкций различных типов;

3. Выбор и обоснование схемы нагружения конечно-элементной модели, наиболее точно соответствующей физическому эксперименту;

4. Проведение решений трехмерных задач теории упругости в геометрически и физически нелинейной постановке при различных геометрических параметрах объекта, моделирующих механическую обработку;

5. Выработка рекомендаций по модификации амортизаторов, прошедших полный срок эксплуатации, на основе полученных решений. Научная новизна работы.

Научная новизна работы заключается в рекомендациях по выбору метода и параметров механической обработки резинометаллических амортизаторов, прошедших полный срок эксплуатации, при изменении физических параметров материала в результате старения резин при внешних воздействиях.

Достоверность результатов работы.

Достоверность результатов работы обосновывается:

- применением апробированного аппарата математического моделирования гиперупругих конструкционных материалов:

- применением апробированного математического аппарата численного решения нелинейных краевых задач теории упругости и программного обеспечения;

- опорой на экспериментальные результаты, полученные при испытании эксплуатируемых амортизаторов.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность работы заключается в выработке рекомендаций по восстановлению проектных механических характеристик резинометаллических амортизаторов, изменяющихся в процессе эксплуатации за счет старения резиновых конструкционных материалов в процессе эксплуатации или длительного хранения. Обосновывается возможность дальнейшего применения амортизационных конструктивных элементов, прошедших полный срок эксплуатации или хранившихся в течение длительного времени, тем самым обеспечивается возможность эксплуатации машиностроительных конструкций при невозможности или нецелесообразности замены отработавших ресурс амортизаторов аналогичными новыми элементами.

Апробация работы.

Результаты работы апробированы на научно-практической конференции "Прогрессивные технологии для интенсивного развития отраслей социально-экономического комплекса" (Подольск, Институт экономики, 2004), XII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2006) и

Публикации по теме работы.

По теме работы в 2004-2006 г. опубликовано 3 печатные работы в журнале «Инженерная физика», сборнике «Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» и материалах Научно-практической конференции "Прогрессивные технологии для интенсивного развития отраслей социально-экономического комплекса".

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов и библиографического списка. Общий объем работы 145 страниц, в том числе 125 страниц машинописного текста, 20 страниц иллюстраций и 15 страниц списка литературы из 107 наименований.

Основные результаты

С учетом полученных выше результатов тестирования конечно-элементной модели амортизатора предпринята попытка модификации модели амортизатора с целью снижения его интегральной жесткости на осевое сжатие при принятом характере нагружения.

Изменение геометрических параметров амортизатора с целью уменьшения жесткости осуществлялось путем варьирования толщины стенки амортизатора от исходной до Уг исходной путем снятия слоя материала с внутренней поверхности амортизатора. Произведен расчет на 10 шагах, включая исходное состояние.

Получены следующие результаты.

Геометрия образца амортизатора № 1, доработанного для понижения жесткости, приведена на рис. 4.18. При таком изменении геометрии амортизатора диаграмма деформирования имеет вид, приведенный на рис. 4.19. Соответствие исходной диаграмме деформирования достигается на начальном участке и при деформации, соответствующей смещению торца амортизатора порядка 40-42 мм.

Деформированное состояние образца амортизатора № 1, доработанного для понижения жесткости, показано на рис. 4.20, напряженное состояние - на рис.4.21.

Геометрия образца амортизатора № 2, доработанного для понижения жесткости, приведена на рис. 4.22. При таком изменении геометрии амортизатора диаграмма деформирования имеет вид, приведенный на рис. 4.23. Соответствие исходной диаграмме деформирования достигается на начальном участке и при деформации, соответствующей смещению торца амортизатора порядка 37-40 мм. Деформированное состояние амортизатора образца амортизатора № 1, доработанного для понижения жесткости, показано на рис. 4.24, напряженное состояние - на рис.4.25.

У i in

H t->

177.5 н-►

121

4-► m

Рис. 4.18(a) in X

72

Рис. 4.18(6)

Рис. 4.19. Средняя силовая характеристика образца амортизатора №1 - исходное состояние (экспериментальные данные): сплошная линия, квадратные маркеры - при моделировании старения в течение 16 лет (экспериментальные данные): сплошная линия, круглые маркеры - геометрически нелинейное конечно-элементное моделирование амортизатора, модифицированного снятием внутреннего слоя материала треугольные маркеры)

•0.00162 ■0Ш602 •0.00821 •0 0114 ■0.0146 ■00178 0.021 •0 0242 •0.0274 •0.0306 •01Ш8

ЖЧ •00497 г

•y

Output Set: Case 1 Time Deframed№0592) Total Contour Td Translation

Рис. 4.20. Деформированое состояние модели доработанного образца амортизатора № 1 (осевое перемещение)

VI L7 С1 tlMf Wtnn 9&97S38. 9018356. 8338875 7659333 6979911 63Q0429. 5620948 4941466 4261984 35825113

16*094

Рис. 4.21. Напряженное состояние модели доработанного образца амортизатора № I (средние напряжения по фон Мизесу) 2

-у

Output Set: Case 1 Time 0.859375 Defomied(9,0592] Total Translation Contour. Solid Von Mises Stress о\

U) -J ю ON

45

Рис. 4.23. Средняя силовая характеристика образца амортизатора № 2 - исходное состояние (экспериментальные данные): сплошная линия, квадратные маркеры - при моделировании старения в течение 16 лет (экспериментальные данные): сплошная линия, круглые маркеры - геометрически нелинейное конечно-элементное моделирование амортизатора, модифицированного снятием внутреннего слоя материала треугольные маркеры)

ОООtiS

-000203

•0.0 0527 ■000852 •00118 •0015

0.0133 •0.0215 ■О 0248 ■0.028 •0.0312 -0,8345

Ш.Ш? г

Output Set: Case 1 Time Deformedtt0625): Total Contour: TjTranslation

Рис. 4.24. Деформированое состояние модели доработанного амортизатора образца амортизатора № 2 (осевое перемещение)

V1 L6 С1

ЩЯЩЩ^ГЩШ

Л- 4 ■ ъ ч ' -г '- . ' ■ ' • ■ • '. • '. . ' f *TV. /V,.! РН щ. -ш-. . ■. - •

• Г- • • / ,. *

- ' 1 ' . К I .,1 , - • •

Output Set: Case 1 Time 1 Delofmed(£L0625) TOta] Translation Contour. Solid Von Mrses Stress

Ю2Ж-95 7786252 7242809 6639366 6155323 5E1248C. 6069037 4525594 3382151 3438706 2895265.

Рис. 4.25. Напряженное состояние модели доработанного образца амортизатора №2 (средние напряжения по фон Мизесу)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для исследования особенностей существенно нелинейного деформирования неоднородных амортизирующих элементов машиностроительных конструкций из гиперупругих материалов разработаны и развиты адекватные математические модели и численные методы, позволяющие путем модификации геометрических параметров восстанавливать исходную жесткость амортизаторов, изменившуюся в результате старения материала, при сохранении требуемой прочности.

2. Построено аналитическое решение задачи об однородной деформации сжатия цилиндра осевой силой в рамках одноконстантной линейной модели Трелоара несжимаемого гиперупругого материала (нео-гукова среда) и на его основе получено новое соотношение между коэффициентами изменения константы материала и диаметром цилиндра, обеспечивающее постоянство сжимающей силы.

3. При конечно-элементном моделировании одноосного сжатия гиперупругого цилиндра на основе линейной модели Трелоара для однородной деформации установлено, что численное решение задачи сходится к аналитическому на интервале деформации до (30ч-35)%. При больших деформациях численное решение превышает аналитическое, что обусловлено излишней жесткостью, вносимой одноконстантной моделью материала и проявляющейся при заметном уплощении конечных элементов в области больших деформаций.

4. Проведено исследование сходимости разработанных трехмерных конечно-элементных моделей амортизаторов и установлено, что сходимость численного решения к точному в рамках осесимметричной задачи достигается для дискретной модели с числом узлов, равным 20 вдоль образующей и 10 вдоль радиуса цилиндра.

5. Исследована зависимость радиуса цилиндра от константы нео-гукова материала при увеличении жесткости материала до 200% для случая постоянной сжимающей силы и установлено, что погрешность численного решения относительно аналитического не превышает 1,8% - при 30%-ой деформации и 4,7% - при 35%-ой деформации сжатия.

6. Обоснованность и достоверность разработанных и развитых в диссертации трехмерных конечно-элементных математических моделей для исследования процессов деформирования массивных амортизаторов в существенно нелинейной области при значительном формоизменении начальной геометрии подтверждена сопоставлением с известными теоретическими и экспериментальными данными.

7. Практическая реализация разработанных математических моделей нелинейного деформирования неоднородных амортизаторов на персональных ЭВМ позволила выработать практические рекомендации по снижению интегральной жесткости следующих типов амортизаторов:

- амортизатор в виде усеченного полого конуса с повышенной в результате старения жесткостью материала, описываемого нео-гуковой моделью;

- пирамидальный амортизатор с повышенной в результате старения жесткостью материала, описываемого моделью Муни-Ривлина.

Для обоих типов амортизаторов путем пошагового уменьшения площади поперечного сечения снятием слоя материала с внутренней стороны определены оптимальные модификации геометрии, обеспечивающие восстановление исходной интегральной жесткости амортизатора.

1. Адамов А.А. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях Прочн., пластич. и вязкоупругость матер, и конструкций. Свердловск. 1986, с. 3-5. Рус.

2. Адамов А.А. Об одном преобразовании соотношений напряжение-деформация для изотропных гиперупругих несжимаемых материалов при конечных деформациях Мат. моделир. систем и процессов. 2001, N 9, с. 6-9, 202. Библ. 5. Рус.; рез. англ.

3. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М: Стройиздат, 1982. 448 с

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М: Наука, 1975. 324 с

5. Белянкова Т.И., Филиппова JJ.M. Статические контактные задачи для тел с начальными напряжениями Механика контактных взаимодействий. М.: Физматлит. 2001, с. 234-242. Библ. 36. Рус.

6. Болдырев А.П., Кеглин Б.Г. Расчет и проектирование амортизаторов удара подвижного состава М.: Машиностроение-1. 2004, 198 е., ил. Библ. 38. Рус.

7. Бондарь В.Д. Осесимметрические решения в нелинейных моделях несжимаемого упругого материала Динам, сплош. среды (Новосибирск). 1987, N80, с. 23-30. Рус.

8. Бондарь В. Д. Плоская деформация слабосжимаемых материалов в нелинейной теории упругости Динам, сплош. среды (Новосибирск). 1988, N 87, с. 34-44. Рус.

9. Бондарь В. Д. О конечных плоских деформациях несжимаемого упругого материала Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1990, N 2, с. 155-164. Рус.

10. Бондарь В.Д. Нелинейная антиплоская деформация упругого тела Прикл. мех. и техн. физ. 2001. 42, N 2, с. 171 -179. Библ. 11. Рус.

11. Бригадное И. А. О вариационной постановке краевых задач гиперупругости для некоторых материалов Сев.-Зап. заоч. политехи, ин-т. JL. 1991, 12 е. Библ. 11 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 07.06.91, N 2409-В91

12. Броеко Г.Л., Ткаченко J1.B. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно упругих тел при конечных деформациях Вестн. МГУ. Сер. 1. 1993, N 4, с. 45-49. Рус.

13. Васндзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М: Мир, 1987; 542 с

14. Виницкий JJ.E., Евсеева Л.Г., Раков КМ. Приближенная оценка деформируемости резиновых амортизаторов при сжатии Вестн. ВНИИ ж.-д. трансп. 1992, N 8, с. 27-30. Рус.

15. Галинская О.О., Цыплаков О.Г., Цян Хунюань, Ся Юйхун, Ао Хунжуй. Амортизатор кольцевой Пат. 2259504 Россия, МПК 7 F 16 F 7/12. N 2003116166/11; Заявл. 22.05.2003; Опубл. 27.08.2005. Рус.

16. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М: Мир, 1984. 428 с

17. Гаврилов А.Н., Гонца В.Ф. Вариант алгоритма МКЭ при расчете тонкослойных резинометаллических элементов-пакетов ВОПР. ДИНАМ. И ПРОЧН. 1990, N 52, с. 100-115. Рус.

18. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: «ДАС», 2001. 300с144

19. Голованов A.M., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенны хконструкций. М: Физ-матлит, 2006. 392 с

20. Голуб Г.Н., Дырда В.И., Мазнецова А.В., Мажаров М.В. Расчеты слоистых резинометаллических виброизоляторов Ин-т геотехн. мех. АН УССР. Днепропетровск. 1989, 11 е., ил. Библ. 9 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 22.11.89, N6987-B89

21. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. М: Физматлит, 2000.

22. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М: Наука, 1988. 232 с

23. Дегтярь В.Г., Дмитриев В.Г., Калашников С.Т. Мирошкин К.П., Моск-витин Г.В. Исследование напряженно-деформированного состояния несжимаемых гиперупругих тел в трехмерной постановке. Мат. XII145

24. Межд. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Ярополец, 2006, с. 82 88.

25. Дмитриев В.Г., Мирошкии К.П. Нелинейное деформирование неоднородных амортизирующих элементов машиностроительных конструкций из гиперупругих материалов. Инженерная физика. № 2, 2007, с. 4 - 7.

26. Дохляк Б.М., Киричевский В.В. Термомеханика конструкций из эластомеров при циклическом нагружении на основе конечноэлементной модели Пробл. прочн. 1989, N 10, с. 74-82. Рус.

27. Дымников С.И. Вариационная постановка задач расчета тонкослойных резинометаллических упругих элементов Прикл. мех. (Киев). 1987. 23, N9, с. 128-130. Рус.

28. Дымников С. И. Упрощенная постановка физически нелинейных задач расчета тонкослойных резинометаллических упругих элементов Прикл. мех. (Киев). 1988. 24, N 9, с. 89-96. Рус.

29. Дымников С.И. Сдвиговая жесткость сжатых резиновых элементов амортизаторов и шарниров Вопр. динам, и прочн. (Рига). 1985, N 46, с. 9-24. Рус.

30. Дымников С.И., Эрдманис А.Г. Исследование разброса усилия сжатия конического амортизатора большого хода ВОПР. ДИНАМ. И ПРОЧН. 1990, N52, с. 40-51. Рус.

31. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975.544 с

32. Зубов JI.M., Краснов А.Ю. Особенности поведения нелинейно-упругого шара, нагруженного внутренним давлением Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н. 2006, N 1, с. 30-34, 110. Библ. 5. Рус.; рез. англ.

33. Комар Д.В., Свистков A.JI., Шадрин В.В. Моделирование гистерезис-ных явлений при нагружении резин Высокомолекул. соед. 2003. 45, N 4, с. 692-696, 2 ил. Библ. 12. Рус.; рез. англ.

34. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических амортизаторов. М: Машиностроение, 1976.232 с

35. Лозовой С. Б., Молдаваиов С. Ю., Фролов Н.Н. Методика и алгоритм определения структурно-механических параметров эластомеров. Кубан. гос. технол. ун-т. Краснодар. 2000, 15 е., ил. Библ. 10 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 07.08.2000, N 2191-В00

36. Лурье A.M. Нелинейная теория упругости. -М: Наука, 1980.512 с

37. Мальков В.М. Статический расчет многослойных резинометаллических элементов с плоскими слоями Прикл. пробл. прочн. и пластич. Числ.моделир. физ.-мех. процессов: Всес. межвуз. сб. Горький. 1989, с. 48-53. Рус.

38. Москвин В.Г. Использование метода конечных элементов для статических и динамических расчетов машин, оборудования и аппаратуры: 8.0.22.1.1.6 Вестн. МЭИ. 1994, N 3, с. 71-77, 121. Рус.; рез. англ.

39. Мошев В.В. Структурные модели эластомерных композитов Моделир. процессов деформир. и разруш. тверд, тел. Свердловск. 1987, с. 4-13. Рус

40. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М: Мир, 1976. 464 с

41. Пацко H.JI. К расчету напряженно-деформированного состояния осе-симметричных резинометаллических амортизаторов. Прикл. мех. (Киев). 1994. 30, N 1, с. 18-25. Рус.

42. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. -М: Физматлит, 2006. 272 с

43. Прасникова С.С. О синтезе полого резинометаллического амортизатора вращения Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1993, N 5, с. 63-67. Рус.

44. Савинов Ю.Г. К описанию динамических характеристик наполненной резины с использованием реологических моделей Ленингр. политехи, ин-т. Л. 1987, 13 е., ил. Библ. 8 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ N 2354-В87 1.4.87

45. Самарский А.А. Теория разностных схем. М: Наука, 1983

46. Солодовников В.Н. К теории деформирования изотропных гиперупругих тел Прикл. мех. и техн. физ. 2004. 45, N 1, с. 99-106. Библ. 12. Рус.

47. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. М: Мир, 1977. 350 с

48. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.512 с

49. Филиппова Л.М., Цветков А.Н., Чебаков М.И. Взаимодействие жесткого бандажа с предварительно напряженным упругим конечным цилиндром Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1991, N 5, с. 51-56. Рус.

50. Филиппова Л.М., Чебаков М.И. Контактная задача для предварительно напряженного конечного цилиндра Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1988, N2, с. 62-69. Рус.

51. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 400 с. Рус.

52. Anifantis N.K., Kakavas Р.А. Эффективные модули гиперупругой пористой среды при больших деформациях. Effective moduli of hyperelastic porous media at large deformation Acta mech. 2003. 160, N 3-4, c. 127-147. Англ.

53. Attard M.M. Задача изотропной гиперупругости при конечных деформациях. Finite strain-isotropic hyperelasticity Int. J. Solids and Struct. 2003. 40, N 17, c. 4353-4378. Англ.

54. Crisfield M.A., Crisfield M.A. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures: Advanced Topics, John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, 1997

55. Hill James M. Обзор частных решений конечной упругости и их применение. A review of partial solutions of finite elasticity and their applications Int. J. Non-Linear Mech. 2001. 36, N 3, c. 447-463. Библ. 20. Англ.

56. Hill James M., Lee Alexander I. Совместное сжатие и кручение круговых цилиндрических резиновых прокладок. Combined compression and torsion of circular cylindrical pads of rubber J. Mech. and Phys. Solids. 1989. 37, N 2, c. 175-190. Англ.

57. Hill James M., Lee Alexander I. Неполная трехмерная деформация для упругого материала Муни. Partial three dimensional deformations for the perfectly elastic Mooney material ZAMP. 1989. 40, N 1, с. 128-132. Англ.

58. Phan-Thien N., Walsh W.P. О плоской конечной деформации упругого клина. On the finite deformation of a two-dimensional elastic wedge Z. Angew. Math, und Mech. 1988. 68, N 9, c. 417-421. Англ.; рез. нем., рус.

59. Tangorra Giorgio. Нелинейность и гистерезис резины. Методологический анализ. La non-linearita е l'isteresi nella gomma: un contributo me-todologico Ind. gomma. 1987. 31, N l,c. 13-16, 55. Ит.

60. Zidi M. Азимутальный сдвиг и кручение сжимаемой гиперупругой и предварительно напряженной трубы. Azimuthal shearing and torsion of a compressible hyperelastic and prestressed tube Int. J. Non-Linear Mech. 2000. 35, N 2, c. 201-209. Библ. 11. Англ.

61. MSC/Nastran 2001 User Manual, MSC.Software Corporation, LA,USA, 2001