Некоторые эталонные осесимметричные задачи нелинейной теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Акчурин Тимур Рашидович

НЕКОТОРЫЕ ЭТАЛОННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Д*тор«9>е^ат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформированного твердого тела Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Черных Климентий Феодосьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Постнов Валерий Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Пальмов Владимир Александрович

Ведущая организация: Тульский государственный университет

Защита диссертации состоится ЛЛОЛ 2004 г. в I у^часов на

заседании диссертационного совета Д 212.232.30 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский проспект, 28, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9

Автореферат разослан 2- 2- Ф/г^б/Ц^ 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.30,

Доктор физико-математических наук, профессор С.А. Зегжда

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

За последние десятилетия в различных отраслях промышленности и в технике стали широко использоваться изделия из эластомеров, которые по своим физическим свойствам качественно отличаются от традиционных конструкционных материалов. Особенность эластомеров заключается в практической несжимаемости (модуль объемного сжатия составляет 102-103 МПа) и способности к большим упругим деформациям (до 1000 %), при которых закон Гука уже не описывает реальное поведение конструкций.

В связи с широким использованием резиновых изделий, в механике получили развитие новые направления — нелинейная теория упругости, нелинейная теория оболочек, теория тонкого эластомерного слоя и теория слоистых резиноармированных конструкций. Однако число точных решений нелинейных задач, имеющихся во всех опубликованных работах по нелинейному поведению материалов и конструкций, крайне невелико, причем они относятся к телам простейших геометрических форм при простейших граничных условиях.

Многие краевые задачи, поставленные в рамках упрощенных теорий, типа теории оболочек, решаются в настоящее время численно. Зачастую проанализировать адекватность полученных решений аналитически невозможно. Поэтому в качестве эталона целесообразно взять численное решение, соответствующее более общей теории.

Настоящая работа посвящена решению ряда эталонных осесимметричных квазистатических задач теории упругости с учетом физической и геометрической нелинейности. В работе получено несколько аналитических и численных решений проблем нелинейного деформирования, которые имеют непосредственное прикладное значение, а также могут быть использованы в качестве тестовых для различных численных методов. Построение решений осуществлено в рамках создаваемой совместно с К.Ф. Черныхом нелинейной теории осесимметричной деформации тел вращения. Задачи, на которых апробируется теория, нашли широкое отражение в литературе. Среди них проблема продольного сдвига внутренней поверхности предварительно напряженного полого резинового цилиндра, закрепленного по внешней поверхности. В промышленности такое изделие называется предварительно поджатым резинометаллическим шарниром и служит амортизатором, работающим на сдвиг. Также, в диссертации исследована задача сжатия цилиндрического тела (полого или сплошного), закрепленного или свободно скользящего по торцам. Как известно, такого рода изделия широко применяются на практике.

В настоящее время широко используются различные варианты нелинейной теории оболочек. Адекватность таких теорий в рамках линейной

3 РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

СПеир^да

теории упругости практически невозможно оценить аналитически, если диаграмма нагружения имеет сильную нелинейность. В этом случае предсказание критической нагрузки строится как задача устойчивости и дает крайне завышенные результаты. Также, из-за сложности задач, не представляется возможным сделать аналитическую оценку нелинейных теорий оболочек в рамках нелинейной теории упругости. Однако, известны некоторые специальные методы исследования закритического поведения в нелинейной теории оболочек, такие как геометрический Л.В. Погорелова и асимптотический, который успешно использует П.Е. Товстик. Исследования адекватности численных решений нелинейной теории оболочек имеются лишь в единичных работах.

В диссертации проведено исследование решений существенно нелинейных проблем квазистатического сжатия непологих куполов вращения. Результаты, полученпые по теориям оболочек типа Кирхгофа-Черныха и Тимошенко-Рейсснера-Черныха, сравниваются с решениями, которые строятся по нелинейной теории упругости в вариационной постановке. Сочетание принципа возможных перемещений Лагранжа, метода конечных элементов и метода дискретного продолжения решения по сменному параметру позволяет моделировать сложное закритическое поведение оболочек вращения. Полученные таким образом оценки позволяют оценить пределы применимости нелинейных теорий оболочек. Эти результаты актуальны, так как выявляют преимущества и недостатки различных теорий оболочек.

Целью диссертационной работы являются:.

1. аналитическое решение задачи о продольном деформировании предварительно поджатого резинометаштческого шарнира; проведение сравнения полученных результатов с авторским экспериментом и численным решением; построение численного решения с использованием упругого потенциала, дающего наибольшее сходство с экспериментом;

2. исследование сжатия реального цилиндрического лифтового амортизатора; построение численного решения для неогуковского потенциала и потенциала Бартенева-Хазановича; сравнение полученных результатов с авторским экспериментом;

3. аналитическое решение задачи об осевом сжатии цилиндрического слоя с упругим потенциалом Бартенева-Хазановича, а также тонкого слоя для редуцированного стандартного материала;

4. построение решения и исследование нелинейного поведения при сжатии моделей сферического и эллипсоидального амортизаторов вращения из неогуковского материала с различными граничными условиями; установление пределов применимости нелинейных теорий оболочек для рассмотренных задач;

5. разработка и реализация алгоритма решения осесимметричных задач нелинейной теории упругости на основе вариационного принципа Лагранжа для сжимаемого и несжимаемого материалов с помощью метода конечных элементов в сочетании с методом дискретного продолжения решения по сменному параметру.

Методы исследования.

Для. аналитических решений рассмотренных в диссертации квазистатических задач нелинейной теории упругости применена разрабатываемая совместно с К.Ф. Черныхом теория осесимметричной деформации тел вращения. В используемой теории широко используются комплексные координаты, комплексные компоненты тензоров деформаций и напряжений.

При численном решении задач деформирования твердого тела в рамках теории оболочек используется метод прямого сведения к задаче Коши, с делением отрезка интегрирования на части в сочетании с итерационным методом продолжения решения по параметру. В рамках теории упругости алгоритм строится на основе вариационного принципа Лагранжа, метода конечных элементов (МКЭ) и метода продолжения решения по параметру.

Для реализации этих алгоритмов автором составлен пакет компьютерных программ. С применением разработанного пакета исследуются задачи нелинейного осесимметричного деформирования тел вращения.

Научная повизна.

Изложенные в диссертационной работе новые результаты заключаются в следующем:

1. Получены деформированные конфигурации и жесткостные характеристики нелинейного сдвига и сжатия моделей цилиндрических амортизаторов, геометрическая форма и граничные условия которых отвечают реальным образцам. Сравнение численного эксперимента для этих моделей с натурным показывает хорошее совпадение результатов в достаточно большом диапазоне деформирования.

2. Исследованы осесимметричные задачи нелинейной теории оболочек для куполов вращения в постановке теории упругости без привлечения оболочечных гипотез. Материал предполагался несжимаемым, в качестве функции энергии деформации рассматривался неогуковский потенциал. Сравнение результатов с решениями, полученными по нелинейной теории оболочек, показало допустимость использования этой теории на широком участке диаграммы "нагрузка-осадка". Хорошее совпадение результатов было выявлено в закритической области даже для достаточно толстых оболочек.

3. Исследованы задачи осесимметричного сжатия эластомерного слоя для сжимаемого и несжимаемого материалов. Проведено сравнение с численными решениями. Полученные результаты подтверждают известные экспериментальные данные о нелинейном характере диаграммы "нагрузка - перемещение" даже при малых деформациях.

Практическая ценность.

Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение. Результаты расчетов могут быть использованы для предсказания поведения изделий из эластомеров при больших нагрузках и деформациях. Полученные данные позволяют наметить область допустимого применения различных приближенных теорий для соответствующих классов задач при варьировании материала, формы, размеров деформируемого тела и условий на его границах. Полученные аналитические решения можно использовать для отладки различных численных схем.

Программа, реализующая алгоритм решения задачи, позволяет решать осесимметричные нелинейные проблемы деформирования тел вращения достаточно произвольной геометрической формы при различных граничных условиях. Характеристики материала могут быть заданы рядом упругих потенциалов, являющихся функцией главных инвариантов метрического тензора деформации.

Достоверность.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и сопоставлением результатов с решениями тех же задач другими (численными или точными) методами. Для задачи о продольном сдвиге резинометаллического шарнира, о сжатии эластомерного слоя с проскальзыванием для материала Бартенева-Хазановича и без проскальзывания для редуцированного стандартного материала получены аналитические нелинейные решения. Сравнение численного и аналитического решений в задаче о сжатии цилиндрического слоя с потенциалом Бартенева-Хазановича показывает совпадение результатов до 17 знаков при деформации до 80-90 %.

Кроме того, при получении каждого из решений достигалась внутренняя сходимость результатов, то есть совпадение 4-5 знаков в решениях, полученных при разбиении на конечные элементы, вдвое различающиеся по размерам, а также при увеличении числа гауссовых точек интегрирования. Отдельные результаты подтверждены проведенными экспериментами. Апробация результатов работы.

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформированного твердого тела Санкт-Петербургского государственного

университета. Содержание диссертационной работы было доложено по частям на XXXI — XXXIV научных, конференциях "Прикладная математика. и процессы управления" СПбГУ (С.-Петербург, 2000, 2001, 2002, 2003); на XII симпозиуме "Проблемы шин и резинокордиых композитов" (Москва, 2001); на конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" (Тула, 2002, 2003); на XX Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (С-Петербург, 2003), на межвузовской, научной конференции- молодых ученых, аспирантов и студентов "Нелинейные математические модели механики и физики" (Сыктывкар, 2003).

Публикации.

По материалам диссертации опубликованы 4 работы: среди них 3 статьи, 1 научный доклад.

Объем и структура работы.

Диссертационная работа изложена на 128 страницах, содержит 57 рисунков и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 184 наименования.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, методы исследования, приведена краткая аннотация глав диссертации.

В первой главе представлен обзор публикаций по тематике данной диссертации, отражены цели и задачи исследований, проведенных в работе. Тема диссертации затрагивает несколько довольно самостоятельных разделов: нелинейная теория упругости, нелинейная теория оболочек, теория тонкого эластомерного слоя. По каждой из этих тем опубликовано значительное число работ.

Четкая и обозримая теория, позволяющая решать краевые задачи нелинейной теории упругости, развивалась постепенно и, со временем, в рамках различных научных школ появились собственные варианты. Автором первой обобщающей монографии по нелинейной теории упругости с оригинальным изложением в нашей стране стал В.В. Новожилов (1948). За рубежом подобными работами явились книги Л. Грина и Зерны (1954) и А. Грина и Дж. Адкинсона (1960). Большое количество вопросов осветил в своей монографии А.И. Лурье (1980)

Одним из первых, кто использовал комплексные координаты для

получения решений нелинейных задач, был Л.А. Толоконников (1959). Обобщить же такую теорию и придать ей строгий и удобный для использования вид удалось К.Ф. Черныху (1986). С использованием данной теории было получено достаточно большое количество точных решений нелинейных задач.

Задача продольного сдвига полого цилиндра, или резинометаллического шарнира нашла отражение в работе Д. Смита еще в первой половине двадцатого века (1939). В ней подход к проблеме был линейным.

В работе К.Ф. Черныха (1986) в рамках предположений обобщенной антиплоской деформации было найдено напряженно-деформированное состояние резинометаллического шарнира с неогуковским упругим потенциалом. Связь между осевой силой и продольным перемещением там оказалась линейной:

где -модуль сдвига, - длина шарнира, - сдвиг вдоль оси шарнира. Решение с аналогичной связью между нагрузкой и премещением для материалов Муни и Ривлина-Сондерса получено в работах А. Миодушовского и Дж. Хаддоу (1974) и В.Д. Бондаря (2001). В монографии Е.Т. Григорьева отмечалось, что характеристика (1) отклоняется от результатов эксперимента на 20% при сдвиге, равном толщине резинового цилиндра. Построение решения, дающего более точную характеристику, стало одной из целей данной работы.

Задача сжатия цилиндрического резинового амортизатора также получила широкое освещение в литературе из-за распространенности этого изделия в технике. Проблемы сжатия цилиндрического тела в линейной постановке были изучены в работах Г.Н. Бухаринова (1956) и Г.М. Валова (1962). Исследования сжатия моделей, приближенных к реальным амортизаторам проводились в работах В.Л. Бидермана и его сотрудников, где решения строились вариационными методами с использованием гипотезы плоских сечений. В диссертации экспериментально и численно доказано, что для высоких полых амортизаторов гипотеза плоских сечений не применима ни в какой зоне амортизатора.

Исследования диссертации затрагивают сравнение численных решений нелинейного сжатия куполов вращения, полученных по теории упругости и по нелинейной теории оболочек. Один из вариантов этой теории основан на геометрической гипотезе Кирхгофа, модификация которой (К.Ф. Черных, 1980) позволяет учесть изменение толщины оболочки при деформации и существенное для оболочек из эластомеров деформационное утонение. Другой вариант, предложенный С.А. Кабрицем и К.Ф. Черныхом (1996) учитывает также возможность поперечного сдвига нормального волокна оболочки и обобщает идеи СП. Тимошенко и Е. Рейсснера.

Решение задач теории оболочек асимптотическим методом строит в своих работах П.Е. Товстик. Полученные в своих исследованиях решения он

сравнивает с различными вариантами теории оболочек, объясняя существенное расхождение в закритической области чувствительностью задачи к виду исходных уравнений.

В литературе широко освещены вопросы решения подобных задач различными численными методами, такими как метод Ритца, метод сеток, метод конечных элементов и др. Среди работ по этой тематике большое количество принадлежит сотрудникам научной школы Э.Э Лавендела, К.Ф. Черныха и казанской школы. Метод конечных элементов (МКЭ), использованный для решения ряда задач в данной работе, является одним из наиболее универсальных методов решения краевых задач механики сплошных сред. Разработанный 40-70-х годах прошлого века в трудах Дж. Аргириса, О. Зенкевича и Дж. Одена МКЭ нашел широкое применение в трудах отечественных исследователей: В.А. Постнова, И.Я. Хархурима (1974), Л.А. Розина (1977) и др. В настоящее время МКЭ применяется для решения пространственных задач с учетом физической и геометрической нелинейности, как статических, так и динамических. Данный метод широко используется для решения задач гидродинамики, теплопередачи и теории поля. На методе конечных элементов основаны такие универсальные зарубежные пакеты программ как Ansys, Abaqus, Nastran и др.

Существенная часть настоящей работы, посвящена исследованию осесимметричной деформации тонкого слоя, в развитие теории которого большой вклад внесли работы В.И. Малого, К.Ф. Черныха и Л.В. Миляковой. Этому вопросу посвящены также работы В.Л. Бидермана и Г.В. Мартьяновой, Э.Э. Лавендела, М.А. Лейканда, В.И. Тихонова, В.М. Малькова и других. Среди работ этих авторов можно найти описания проведенных экспериментальных исследований.

Во второй главе диссертации дана математическая постановка нелинейной осесимметричной задачи теории упругости в комплексной форме, разработанная совместно с К.Ф. Черныхом.

Комплексные координаты и компоненты произвольного тензора в цилиндрической системе координат:

Закон упругости для произвольного потенциала и неизвестной функции гидростатического сжатия:

¿¡ = r'+ix'3, w = r+ix};

(2)

дФ т_

Э|Эи7Э|| Р г'

Уравнение движения:

Э|У {/=-'• ¿Г},]

+

Граничные условия:

а2нЛ

(4)

+ г'р\/г+1Л-

д(2

=о.

Также во второй главе дается постановка задачи осесимметричного деформирования на основе вариационного принципа Лагранжа.

В случае несжимаемого материала вариация упругого потенциала в (6) заменяется следующей вариацией, где Ш - третий инвариант тензора деформации (Коши или кратности удлинений):

<У(Ф+1р1п1П).

Такой вариант учета несжимаемости рассмотрен в работах Дж. Одена и К.Ф. Черныха. Далее в главе описываются численные методы решения поставленной задачи. Основными методами являются МКЭ и шаговый процесс продолжения решения по параметру нагружения в сочетании с итерационным методом Ньютона-Рафсона. В МКЭ используются четырехугольные четырехузловые изопараметрические конечные элементы. Аппроксимация компонент вектора перемещений - билинейная, через значения в узлах. Аппроксимация функции гидростатического давления внутри элемента - нулевого порядка. Система нелинейных алгебраических уравнений большого порядка, к которой сводится задача, решается методом дискретного продолжения решения по параметру в сочетании с методом Ньютона-Раффсона. Задачи, рассматриваемые в диссертации, зачастую

требуют смены ведущего параметра продолжения решения, из-за достижения предельных точек по нему. Поэтому в алгоритме решения предусмотрена смена параметра продолжения. Для задач, где нагрузкой является давление, в каждом узле добавлена переменная, отвечающая за него. Это сделано в целях сохранения диагональности матрицы производных линеаризованной системы, решаемой методом матричной прогонки. К системе при этом добавляются дополнительные уравнения отвечающие за

неразрывность давления на границе тела и для внутренних узлов

конечноэлементной модели. Выбор параметра продолжения на каждом шаге происходит путем нахождения максимального относительного приращения неизвестной на предыдущем шаге. Кроме того, в алгоритме применена экстраполяция по двум предыдущим шагам, позволяющая получить хорошее начальное приближение на текущем шаге. Это особенно важно при преодолении предельных точек на диаграмме нагружения. В построенной по этому алгоритму программе степень дискретизации модели ограничивается количеством всей, доступной оперативной и дисковой памяти и скоростью выполнения операций.

В последнем параграфе главы приводятся результаты тестирования программы, реализующей указанные методы на задачах, имеющих аналитическое решение, полученных, в том числе, и в данной работе.

В третьей главе с помощью теории, описанной во второй главе, строятся аналитические решения задач о продольном сдвиге предварительно поджатого резинометаллического шарнира с потенциалом Бартенева-Хазановича, о сжатии цилиндрического слоя из того же материала без трения и о сжатии тонкого слоя из редуцированного стандартного материала без проскальзывания.

Решение первой задачи в квадратурах имеет вид:

мп

Продольный сдвиг шарнира определяется численным интегрированием, с условием, что и находится на внутренней границе как

Решение для этой задачи без предварительного поджатия сравнивается с авторским экспериментом. Делается вывод о хорошей корреляции в ограниченной возможностями потенциала области.

Для задачи сжатия осевой силой свободно скользящего по торцам цилиндрического тела с потенциалом Бартенева-Хазановича получено следующее решение:

Сравнение с известным решением для неогуковского потенциала, показало практическое совпадение результатов в широком диапазоне деформирования.

Для задачи сжатия закрепленного по торцам тонкого слоя из редуцированного стандартного материала зависимость радиального перемещения от недеформированной координаты имеет вид:

где (-функция Бесселя первого рода 0-го порядка, -функция

Неймана 0-го порядка.

Кроме того, в главе с помощью разработанного алгоритма МКЭ исследуются задачи сжатия цилиндрических амортизаторов и шарниров из неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича. Проводится сравнение с линейной теорией и экспериментальными данными.

В задаче сжатия полого цилиндра из несжимаемого материала, моделирующего лифтовый амортизатор, численными методами получена нелинейная диаграмма "нагрузка-перемещение", хорошо коррелирующая с данными авторского эксперимента. Построена деформированная конфигурация амортизатора, сходная с экспериментальной, которая выявляет депланацию поперечных сечений цилиндра в ходе деформации.

В четвертой главе проводится сравнение полученных численных данных для задач деформирования куполов сферической и эллипсоидальной формы с результатами нелинейных теорий оболочек. Для этого на торцах ставятся граничные условия наиболее приближенные к оболочечным. На нижнем крае оболочки ставится условие неподвижности точек в обоих направлениях. Моделируются два типа силовых граничных условий - сосредоточенное воздействие по контуру отверстия в полюсе оболочки и равномерно распределенное давление на внешней поверхности (рис. 1, 2). В случае незамкнутой оболочки выбран угол раскрытия от оси вращения равный 10°. Сравнение диаграмм "нагрузка-перемещение" подтверждает правомерность использования теорий оболочек типа Кирхгофа-Черныха и Тимошенко-Рейсснера-Черныха при больших прогибах даже для достаточно толстых куполов. Однако, как выявило сопоставление напряжений на лицевых поверхностях, теории оболочек дают на порядок меньшие, чем теория упругости сдвиговые напряжения . Также можно отметить, что

неучитываемые в теориях оболочек нормальные по толщине напряжения ат вполне сравнимы по величине с С, и ив . Кроме того, построенные в МКЭ деформированные конфигурации достаточно толстых оболочек выявляют искривление нормалей в ходе деформирования. Возможно, предположение теории оболочек о прямых нормалях до и после деформирования и влечет такую разницу в сдвиговых напряжениях.

Полученные в ходе численных экспериментов данные свидетельствуют о том, что разница в диаграммах "нагрузка-перемещение" при больших прогибах напрямую зависит от степени тонкостенности , существенно

возрастающей в некоторых частях оболочки в ходе деформирования. Как показал численный эксперимент, если радиус кривизны деформированной оболочки становится малым только в небольшой зоне, то существенной разницы между кривыми деформирования, полученными в рамках теории упругости и в теории оболочек, не наблюдается. Такое состояние случается в оболочке при зеркальном выворачивании, т.е. состоянии, когда большая ее часть работает на растяжение и имеет практически первоначальную кривизну. Это подтверждает выводы, сделанные Л.В. Погореловым, который руководствовался исключительно энергетическими и геометрическими соображениями.

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы. Сделаны выводы о сравнениях полученных в работе аналитических решений с численными данными и с результатами экспериментов.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие положения:

1. разработка и реализация алгоритма решения осесимметричной задачи теории упругости с учетом физической и геометрической нелинейности на основе вариационного принципа Лагранжа с помощью метода конечных элементов в сочетании с методом продолжения решения по параметру; построение алгоритма нахождения решений в задачах с распределенным параметром (типа давления), где вблизи критических точек требуется смена параметра;

2. исследование задачи продольногого сдвига модели резино-металлического шарнира, форма и граничные условия в которой совпадают с реальным шарниром; получение аналитического решения с учетом предварительного поджатия для материала Бартенева-Хазановича; проведение сравнения жесткостных характеристик, полученных аналитически, экспериментально и по МКЭ, выявившее хорошее совпадение решений с экспериментом на широком участке диаграммы "нагрузка-перемещение"; построение численного решения с кубическим упругим потенциалом, наиболее совпадающего с экспериментом;

3. построение точного решения задачи о сжатии без трения цилиндрического слоя из материала Бартепева-Хазановича; проведение сравнения с численным экспериментом.

4. построение аналитического решения задачи о сжатии тонкослойного осесимметричного резинометаллического амортизатора из редуцированного стандартного материала.

5. исследование задачи сжатия моделей полых цилиндрических лифтовых амортизаторов; получение решения по МКЭ для двух типов упругих потенциалов; выявление хорошего совпадения на участке до

40% относительного изменения высоты амортизатора, где численное решение может быть построено в рамках принятой в работе конечноэлементной модели;

6. исследование задач сжатия куполов вращения сосредоточенной силой, а также распределенным внешним давлением; построение диаграмм напряженного состояния куполов; сравнение полученных решений с решениями по теориям оболочек типа Кирхгофа-Черныха и Тимошенко-Рейсснера-Черныха; выявление пределов применимости последних.

4. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Акчурин Т. Р. Нелинейный подход к расчету осесимметрично деформируемого резипометаллического шарнира // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.З. СПб., 2000. С. 146-158.

2. Акчурин Т.Р., Кабриц С.А. Адекватность моделей нелинейной теории оболочек // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.6. СПб., 2002. С. 13-21.

3. Разов А.И., Акчурин Т.Р. Экспериментальное исследование жесткостных характеристик резинометаллических амортизаторов // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.7. СПб., 2003. С.185-192.

4. Кабриц С.А., Акчурин Т.Р. Адекватность моделей нелинейной теории оболочек // Тезисы XX межд. конф. Мат. моделирование в МСС. Методы гран. и кон. элементов. СПб. 2003. С. 52-53.

Рисунок 1 Деформированные конфигурации сферических куполов различной

толщины.

Рисунок 2 Диаграмма нагружения давлением сферического купола

Л* - 8 8 9 0

Отпечатано копировально-множительным участком обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ №571 от 14.05.03 Подписано в печать 15.04.04 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4. Усл. печ.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 120/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская д.З, тел. 428-43-00

Введение

Глава I ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Обзор литературы

2. Цель работы

Глава II МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ

ДЕФОРМАЦИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

3. Основные зависимости осесимметричной деформации тел вращения

4. Постановка задачи в перемещениях

5. Решение задачи методом конечных элементов

6. Тестовые задачи

Глава III ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

АМОРТИЗАТОРОВ И ШАРНИРОВ

7. Деформация резинометаллического шарнира

8. Сжатие с проскальзыванием цилиндрического слоя из материала Бартенева— Хазановича

9. Осесимм етричная деформация тонкого слоя

10. Осесимм етричное сжатие цилиндрического лифтового амортизатора

Глава IV ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КУПОЛОВ ВРАЩЕНИЯ

11. Деформация купола как оболочки вращения

12. Сжатие незамкнутого в полюсе купола вращения сосредоточенной силой

13. Сжатие купола вращения внешним давлением 98 Заключение 103 Литература

За последние десятилетия в различных отраслях промышленности и в технике стали широко использоваться изделия из эластомеров, которые по своим физическим свойствам качественно отличаются от традиционных конструкционных материалов. Особенность эластомеров заключается в практической несжимаемости (модуль объемного сжатия составляет 102103 МПа) и способности к большим упругим деформациям (до 1000 %), при которых закон Гука уже не описывает реальное поведение конструкций.

В связи с широким использованием резиновых изделий, в механике получили развитие новые, направления — нелинейная теория упругости, нелинейная теория оболочек, теория тонкого эластомерного слоя и теория слоистых резиноармированных конструкций. Однако число точных решений нелинейных задач, имеющихся во всех опубликованных работах по нелинейному поведению материалов и конструкций,1 крайне невелико, причем они относятся к телам простейших геометрических форм при простейших граничных условиях.

Многие краевые задачи, поставленные в рамках упрощенных теорий, типа теории оболочек, решаются в настоящее время численно. Зачастую проанализировать адекватность полученных решений аналитически невозможно. Поэтому в качестве эталона целесообразно взять численное решение, соответствующее более общей теории.

Настоящая работа посвящена решению ряда эталонных осесимметричных квазистатических задач теории упругости с учетом физической и геометрической нелинейности. В работе получено несколько аналитических и численных решений проблем нелинейного деформирования, которые имеют непосредственное прикладное значение, а также могут быть использованы в качестве тестовых для различных численных методов. Построение решений осуществлено в рамках создаваемой совместно с К.Ф. Черныхом нелинейной теории осесиммет-ричной деформации тел вращения [117, 121]. Задачи, на которых апробируется теория, нашли широкое отражение в литературе. Среди них проблема продольного сдвига внутренней поверхности предварительно напряженного полого резинового цилиндра, закрепленного по внешней поверхности. В промышленности такое изделие называется предварительно поджатым резинометаллическим шарниром и служит амортизатором, работающим на сдвиг. Также, в диссертации исследована задача сжатия цилиндрического тела (полого или сплошного), закрепленного или свободно скользящего по торцам. Как известно, такого рода изделия широко применяются на практике.

В настоящее время широко используются различные варианты нелинейной теории оболочек. Адекватность таких теорий; в рамках линейной теории; упругости практически невозможно оценить аналитически, если диаграмма нагружения имеет сильную нелинейность. В этом случае предсказание критической нагрузки строится как задача устойчивости и дает крайне завышенные результаты. Также, из-за сложности задач, не представляется возможным сделать аналитическую оценку нелинейных теорий оболочек в рамках нелинейной теории упругости. Однако, известны некоторые специальные методы исследования закритиче-ского поведения в нелинейной теории оболочек, такие как геометрический А.В. Погорелова и асимптотический, который успешно использует П.Е. Товстик [4,92,97,109]. Исследования адекватности численных решений нелинейной теории оболочек имеются лишь в единичных работах [174].

В диссертации проведено исследование решений существенно нелинейных проблем квазистатического сжатия непологих куполов вращения. Результаты, полученные по теориям оболочек типа Кирхгофа-Черныха и Тимошенко-Рейсснера-Черныха, сравниваются с решениями, которые строятся по нелинейной теории упругости в вариационной постановке. Сочетание принципа возможных перемещений Лагранжа, метода конечных элементов и метода дискретного продолжения решения по сменному параметру позволяет моделировать сложное закритическое поведение оболочек вращения. Полученные таким образом оценки позволяют оценить пределы применимости нелинейных теорий оболочек. Эти результаты актуальны, так как выявляют преимущества и недостатки различных теорий оболочек.

На защиту выносится:

1) аналитическое решение задачи о продольном сдвиге предварительно поджатого рези-нометаллического шарнира. Сравнение полученных результатов с авторским экспериментом и численным решением. Построение численного решения с использованием упругого потенциала, дающего наибольшее сходство с экспериментом;

2) исследование сжатия цилиндрического лифтового амортизатора. Построение численного решения для неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича, сравнение полученных результатов с авторским экспериментом;

3) аналитическое решение задачи об осевом сжатии цилиндрического слоя из материала Бартенева-Хазановича, а также тонкого слоя для редуцированного стандартного материала;

4) построение решения и исследование нелинейного поведения при сжатии моделей сферического и эллипсоидального амортизаторов вращения из неогуковского материала с различными граничными условиями; установление пределов применимости нелинейных теорий оболочек для рассмотренных задач;

5) разработка и реализация алгоритма решения осесимметричной задачи нелинейной теории упругости на основе вариационного принципа Лагранжа для сжимаемого и несжимаемого материала с помощью метода конечных элементов в сочетании с методом дискретного продолжения решения по сменному параметру.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Получены деформированные конфигурации и жесткостные характеристики нелинейного сдвига и сжатия моделей цилиндрических амортизаторов, геометрическая форма и граничные условия которых отвечают реальным образцам. Сравнение численного эксперимента для этих моделей с натурным показывает хорошее совпадение результатов в достаточно большом диапазоне деформирования.

2. Исследованы осесимметричные задачи нелинейной теории оболочек для куполов вращения в постановке теории упругости без привлечения оболочечных гипотез. Материал предполагался несжимаемым, в качестве функции энергии деформации рассматривался неогуковский потенциал. Сравнение результатов с решениями, полученными . по нелинейной теории оболочек показало допустимость использования этой теории на широком участке диаграммы "нагрузка-осадка". Хорошее совпадение результатов было выявлено даже для достаточно толстых оболочек.

3. Исследованы задачи осесимметричного сжатия эластомерного слоя для сжимаемого и несжимаемого материалов. Проведено сравнение с численными решениями. Полученные результаты подтверждают известные экспериментальные данные о нелинейном характере диаграммы "нагрузка — перемещение" даже при малых деформациях.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и сопоставлением результатов с решениями тех же задач другими (численными или точными) методами. Для задачи о продольном сдвиге резинометаллического шарнира, о сжатии эла-стомерного слоя с проскальзыванием для материала Бартенева-Хазановича и без проскальзывания для редуцированного стандартного материала получены аналитические нелинейные решения. Сравнение численного решения с аналитическим в задаче о сжатии цилиндрического слоя с потенциалом Бартенева—Хазановича показывает совпадение результатов до 17 знаков при деформации до 80-90 %.

Кроме того, при получении каждого из решений достигалась внутренняя сходимость результатов, то есть совпадение 4-5 знаков в решениях, полученных при разбиении на конечные элементы, вдвое различающиеся по размерам, а также при увеличении числа гауссовых точек интегрирования.

Отдельные результаты подтверждены проведенными экспериментами.

Практическая ценность. Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение. Результаты расчетов могут быть использованы для предсказания поведения изделий из эластомеров при больших нагрузках и деформациях. Полученные данные позволяют наметить область допустимого применения различных приближенных теорий для соответствующих классов задач при варьировании материала, формы, размеров деформируемого тела и условий на его границах. Также, полученные аналитические решения можно использовать для проверки различных численных схем.

Программа - RASCHET, реализующая алгоритм решения задачи, позволяет решать осе-симметричные нелинейные проблемы, деформирования тел вращения, достаточно произвольной геометрической формы, при различных граничных условиях. Характеристики материала могут быть заданы рядом упругих потенциалов, являющихся функцией главных инвариантов метрического тензора деформации.

Апробация работы. Содержание диссертационной работы было доложено по частям на XXXI—XXXIV научных конференциях "Прикладная математика и процессы управления" СПбГУ (С.-Петербург, 2000,2001, 2002, 2003); на ХП симпозиуме "Проблемы шин и резино-кордных композитов" (Москва, 2001); на конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" (Тула, 2002, 2003); на XX Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (С-Петербург, 2003), на межвузовской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов "Нелинейные математические модели механики и физики" (Сыктывкар, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях и тезисах [2, 3, 59, 103].

В первой главе представлен обзор публикаций по тематике данной работы, отражены цели и задачи исследований, проведенных в диссертации.

Во второй главе диссертации дана математическая постановка нелинейной осесиммет-ричной задачи теории упругости в комплексной форме, а также постановка на основе вариационного принципа Лагранжа. Описаны численные методы ее решения. Основными методами являются МКЭ и шаговый процесс продолжения решения по параметру нагружения в сочетании с итерационным методом Ньютона-Рафсона. Особое внимание уделяется решению задач в условиях несжимаемости материала. Приводятся результаты тестирования программы, реализующей указанные методы на задачах, имеющих аналитическое решение.

В третьей главе строятся аналитические решения задач об осевом сдвиге предварительно поджатого резинометаллического шарнира, о сжатии цилиндрического слоя без тротил и о сжатии тонкого слоя без проскальзывания. С помощью разработанного алгоритма МКЭ исследуются задачи сжатия цилиндрических амортизаторов и шарниров из неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича. Проводится сравнение с линейной теорией и экспериментальными данными.

В четвертой главе проводится сравнение полученных численных данных для задач деформирования куполов сферической и эллипсоидальной формы с результатами нелинейных теорий оболочек. Сравнение подтверждает правомерность использования указанных теорий оболочек при больших прогибах даже для достаточно толстых оболочек.

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы. Сделаны выводы о сравнениях полученных в работе аналитических решений с численными и с результатами экспериментов.

Объем работы. Диссертационная работа; состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит J2.% страниц машинописного текста, включая 7 таблиц и —рисунков. Библиография насчитывает наименовании.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему.

1. Разработан и реализован алгоритм решения осесимметричной задачи теории упругости с учетом физической и геометрической нелинейности на основе вариационного принципа Лагранжа. Задача с помощью метода конечных элементов в сочетании с методом продолжения решения по параметру сводится к нахождению узловых перемещений при заданной нагрузке. Построен алгоритм нахождения решений в задачах с распределенным параметром (типа давления), где требуется смена параметров. Данный алгоритм требует введения переменной в узлах, отвечающей за давление. Особое внимание уделяется решению поставленной задачи в условиях несжимаемого материала. В этом случае уравнение Лагранжа модифицируется таким образом, чтобы найденное решение удовлетворяло условию несжимаемости материала. Это достигается вводом дополнительных неизвестных — функций гидростатического давления, постоянных в конечных элементах.

2. Исследована задача осевого сдвига модели резино-металлического шарнира, форма и граничные условия в которой совпадают с реальным шарниром. Получено точное решение с учетом предварительного поджатая для материала Бартенева-Хазановича. Выявлены пределы применимости этого потенциала в зависимости от нагрузки. Проведено сравнение жесткостных характеристик, полученных аналитически, экспериментально и по МКЭ. Оно показывает практически полное совпадение решений с экспериментом на линейном участке диаграммы "нагрузка-перемещение". Получено удовлетворительное совпадение с авторским экспериментом на нелинейном участке. С помощью кубического упругого потенциала найдено решение этой задачи, наиболее совпадающее с экспериментом.

3. Построено точное решение задачи о сжатии без трения цилиндрического слоя из материала Бартенева-Хазановича. Проведено сравнение с численным-экспериментом. Выявлено полное совпадение результатов (до 17 знаков).

41 Построено точное решение задачи о сжатии тонкого осесимметричного резинометал-лического амортизатора из редуцированного стандартного материала.

5. Исследованы задачи сжатия моделей полых цилиндрических лифтовых амортизаторов. Получены решения по МКЭ для различных потенциалов. Сравнение решений с авторским экспериментом показывает хорошее совпадение на участке до 40% относительной деформации, где может быть построено численное решение в рамках принятой в работе модели.

6. Исследованы задачи сжатия куполов вращения сосредоточенной силой, а также сжатия их распределенным внешним давлением. Сравнением полученных решений с решениями по теориям оболочек типа Кирхгофа-Черныха и Тимошенко-Рейсснера-Чериыха выявлены пределы применимости последних.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Адамов А.А. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях // ПМТФ 2001. Т. 42. №5. С. 183-191.

2. Акчурин Т.Р. Нелинейный подход к расчету осесимметрично деформируемого резинометаллического шарнира // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.З. СПб., 2000. С. 146-158.

3. Акчурин Т.Р., Кабриц С.А. Адекватность моделей нелинейной теории оболочек // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.6. СПб., 2002. С.13-21.

4. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций: Учеб. пособие/ Товстик П.Е., Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Филиппов С.Б.— СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. —188 с.

5. Ахмедов М.К., Мехтиев М.Н. Осесимметричная задача теории упругости для неоднородной плиты переменной толщины // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 3. С.518-523.

6. Ахундов В.М. Прикладная модель деформирования оболочек вращения слоистого строения // Изв. АН. МТТ. № 5. 1996. С. 124-133.

7. Бабенко В.И. К устойчивости нелинейно упругих пологих сферических оболочек при внешнем давлении // Доповцц Нац. Акад. Наук УкраТни. № 3. 1996. С.39-43.

8. Бабенко В.И., Кошелев В.М., Аведян B.IIL К экспериментальному исследованию закритических равновесных состояний пологих, эллиптически параболоидальных оболочек при внешнем давлении // Доповщ1 Нац. Акад. Наук Укра'ши. № 8. 2000. С. 48-51.

9. Бартенев Г.М. О законах сжатия и растяжения резины // ДАН СССР. 1953. Т. 91. № 5. С. 1027-1030.

10. Бартенев Г.М., Вишницкая Л.А. О законе деформации высокоэластичных материалов // Изв. АН СССР.ОТН. Мех. и маш-е. № 4. 1961.С. 175-177.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы — М.: Наука., 1987. —600 с.

12. Белкин А.Е., Бидерман В.Л. Влияние малой сжимаемости резины на работу низкого цилиндрического амортизатора // Расчеты на прочность. Вып. 16. М.: Машиностроение. 1975. С. 5-24.

13. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел.

14. Часть IL Конечные деформации / пер. с англ. /под ред. А. П.Филина. — М.: Наука, 1984. —432 с.

15. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть I. Малые деформации / пер. с англ. /под ред. А. П.Филина.— М.: Наука, 1984. —600 с.

16. Бидерман B.JI Вопросы расчета резиновых деталей // Расчеты на прочность. Вып. 3. М.: Машиностроение. 1962. С. 40-87.

17. Бидерман B.JI. О сжатии резиновых амортизаторов и прокладок // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и маш-е. № 3. 1962.С. 154-158.

18. Бидерман В.JL, Жислин А.Я. Большие деформации и закритические состояния полосы из неогуковского материала // Изв. АН СССР. МТТ. № 6. 1977. С. 125-132.

19. Бидерман B.JI., Мартьянова Г.В Сжатие и изгиб тонкослойных резинометалличе-ских упругих элементов // Расчеты на прочность. Вып. 23. М.: Машиностроение. 1983. С. 32-47.

20. Бидерман В.Л., Мартьянова Г.В. Вариационный метод расчета деталей из несжимаемого материала шарнира // Расчеты на прочность. Вып. 18. М.: Машиностроение. 1977. С. 3-27.

21. Бидерман В Л., Мартьянова Г.В. Влияние сжимаемости на радиальную податливость резинометаллического шарнира // Расчеты на прочность. Вып. 21. М.: Машиностроение. 1980. С. 5-14.

22. Бидерман B.JI., Сухова Н.А. Расчет цилиндрических и прямоугольных длинных резиновых амортизаторов сжатия шарнира // Расчеты на прочность. Вьш. 13. М.: Машиностроение. 1972. С. 55-72.

23. Бондарь В.Д. Нелинейная антиплоская деформация упругого тела // ПМТФ. 2001. Т. 42. №2. С.171-179.

24. Бондарь В.Д. Об условиях эллиптичности статических уравнений нелинейной теории упругости // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 2. С. 196-203.

25. Бондарь В.Д. Плоская задача упругости при несжимаемости и геометрической нелинейности//ПМТФ. 1997. Т. 38. № 2. С.152-161.

26. Бригадное И.А. О математической корректности краевых задач гиперупругости // Изв. АН. МТТ. № 6 1996. С. 37-46.

27. Бригаднов И.А. О существовании предельной нагрузки в некоторых задачах гиперупругости // Изв. АН. МТТ. № 5.1993. С. 46-51.

28. Бригаднов И.А. Численное решение задачи гиперупругости в приращениях // Изв. АН. МТТ. № 6. 1994. С. 42-50.

29. Бузинов П.А., Паничкин Н.Г. Смешанные конечные элементы метода перемещенийдеформаций в нелинейных прочностных расчетах // Прикл. проблемы проч. и пла-стич. 1995. № 52 С.77-92.

30. Бухаринов Г.Н. Осесимметричная деформация цилиндра конечной длины // Вестн. ЛГУ. Механика. 1956. Вып. 7. С.77-86.

31. Валишвили Н.В. Конечные перемещения осесимметричных пологих оболочек вращения // Изв. АН СССР. МТТ. № 2. 1974. С. 125-131.

32. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ — М.: Машиностроение, 1976. — 278 с.

33. Виницкий Л.Е., Иванов В.В., Кононов В.Е. Расчет резинометаллических шарниров с запрессованной резиновой втулкой // Каучук и резина. 1973. № 10. С.40-43.

34. Витязева Е.В. Об одном законе упругости для сжимаемых изотропных материалов // Динамика систем и управление. Саранск, 1993. С. 49-55

35. Влияние механических и геометрических параметров тонкослойных резинометаллических элементов на их жесткостные характеристики / Горелик Б.М., Колосова

36. B.И., Тихонов В .А., Щеголев В.А. // Каучук и резина. 1980. №8. С.40-44.

37. Волокитин Г.И. Влияние физической и геометрической нелинейности на величину верхнего критического давления при выпучивании полой сферы // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 3. С.504-520.

38. Ворович И.И., Лебедев Л.П. О корректности задачи статики нелинейной теории упругих пологих оболочек // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 4. С.678-682.

39. Вырлан П.М., Шилькрут Д.И. Об устойчивости форм равновесия геометрически нелинейных сферических оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. № 4. 1978. С. 170-176.

40. Галимов К.З. К формулировке граничных условий теории пологих оболочек с учетом поперечных сдвигов // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 14. — Казань. 1979. С. 208-216.

41. Глухих С.А. Применение метода прямой минимизации нелинейного функционала в задаче о сжатии амортизатора // Вопр. дин. и прочн. Вып. 36. — Рига. 1980. С.185-188.

42. Гозман Е.А. Исследования сжатия резинометаллического амортизатора арочного типа методом конечных элементов // Вопр. дин. и прочн. Вып. 38. — Рига. 1981.1. C.10-19.

43. Гозман Е.А., Дружинин В.А., Дымников С.И. Применение метода конечных элементов к расчету РТИ при больших деформациях // Вопр. дин. и прочн. Вып. 36. — Рига. 1980. С. 147-156.

44. Грибов А.П., Черный А. Н., Барышенков Л.А. К вопросу численной реализации осе-симметричной задачи теории упругости МКЭ // Мех. и процессы упр. Ульяновскийгос. техн. ун-т. Ульяновск. 1996. С.49-53.

45. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Осесимметричное закритическое поведение пологих сферических куполов // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 4. С.621-634.

46. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций — М.: Физматлит, 1997. — 272 с.

47. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела — М.: Наука, 1988. — 230 с.

48. Григорьев Е.Т. Расчет и конструирование резиновых амортизаторов — М.: Машгиз, 1960. —160 с.

49. Гуриелидзе М.Г., Голованов А.И. Модифицированная шаговая схема решения геометрически нелинейной задачи для толстостенных оболочек— Казань: Казан, гос. ун-т, 1996. — 13 с.

50. Данилин А.Н., Шалашилин В.И; О параметризации нелинейных уравнений деформированного твердого тела // Изв. АН. МТТ. № 1. 2000. С. 82-92.

51. Димченко А.С., Колпак Е.П. Сфера из резиноподобного материала при больших деформациях // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.7. СПб., 2003. С.286-291.

52. Дробышевский Н.И. Модифицированный четырехугольный конечный элемент для решения двумерных задач, нелинейного деформирования конструкций // Изв. АН. МТТ. К2 2.1996. С. 152-162.

53. Еремеев В.А. Об эллиптичности краевых задач нелинейной теории упругости // Изв. АН. МТТ. № 3.2000. С. 67-72.

54. Железное Л.П., Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии и внутреннем давлении // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 4. С.155-160.

55. Зеленин А.А. Зубов Л.М. Закритические деформации упругой сферы // Изв. АН СССР. МТТ. № 5. 1985. С. 76-82.

56. Зубов Л.М. Двойственные краевые задачи нелинейной теории упругости // ДАН. 1999. Т. 367. № 3. С.342-344.

57. Зубов Л.М., Рудев А.М. О признаках выполнимости условия Адамара для высокоэластичных материалов // Изв. АН. МТТ. № 6. 1994. С. 21-31.

58. Зубов Л.М., Рудев А.Н. О достаточных признаках эллиптичности уравнений равновесия нелинейно упругой среды // ПММ. 1995. Т.59. Вып. 2. С.209-223.

59. Кабриц С.А. О построении диаграмм равновесных состояний выворачивания полусферических куполов // В кн. Тр. 1 Всес. Симпоз. "Нелинейная теория тонкостейных конструкций и биомеханика". Кутаиси, 1985, с.247-250.

60. Кабриц С.А. Об использовании нелинейных теорий оболочек в закритической области // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.З. СПб., 2000. С.239-247.

61. Кабриц С.А., Акчурин Т.Р. Адекватность моделей нелинейной теории оболочек // Тезисы XX межд. конф. Мат. моделирование в МСС. Методы гран, и кон. элементов. СПб. 2003. С. 52-53.

62. Кабриц С.А., Слепнева JT.B. Жесткость амортизатора, несущего массивное тело. // Вестн. СПбГУ. Сер.1. 1996. Вып. 4. С.68-74.

63. Кабриц С.А., Терентьев В.Ф. О численном: построении диаграмм нагрузка-перемещение в одномерных нелинейных задачах теории стержней и оболочек // Вопросы механики и процессов управления. Л. 1977. Вып. 1. С. 155-171.

64. Кабриц С.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига // Изв. АН. МТТ. № 1. 1996. С. 124-136.

65. Кисиль Р.И., Муха И.С. Безусловно устойчивые численные схемы для решения задач нелинейного деформирования твердых тел // Прикл. мех. 1996. Т. 32. № 6. С. 6673

66. Кныш Т.П. Расчет замкнутой сферической оболочки на локальную осесимметрич-ную нагрузку// Вестн. СПбГУ. Сер.1. 1998. Вып. 2: С.94-97.

67. Колпак Е.П. О краевом эффекте в нелинейной теории оболочек // в межвуз. сб. Механика эластомеров. — Краснодар: изд. КПИ. 1981. С. 87-95.

68. Колпак Е.П. Полый цилиндр из несжимаемого материала при больших деформациях // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.1. СПб., 1998. С.96-117.

69. Коротеева П.В., Товстик П.Е., Шувалкин С.П. О величине осевой силы при закри-тических осесимметричных; деформациях оболочки вращения // Вестн. СПбГУ. Сер.1. 1995. Вып. 2. С.58-61.

70. Котов А.И., Сухова Н.А. Напряженное состояние цилиндрического резино-металлического амортизатора // Расчеты на прочность. Вып. 15. М.: Машиностроение. 1974. С. 88-99.

71. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру// Изв. АН. МТТ. № 3; 1996. С. 145-152.

72. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру // ПММ. 1994. Т.58. Вып. 6. С.14-21.

73. Кузнецова В.Г., Роговой А.А. Об эффекте учета слабой сжимаемости в упругих задачах с конечными деформациями // Изв. АН. МТТ. № 4. 1999. С. 64-77.

74. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий— М.: Машиностроение, 1976.232 с.

75. Лавендел Э.Э., Хричикова В.А., Лейканд М.А. Расчет жесткости сжатия тонкослойных резинометаллических элементов // Вопр. дин. и прочн. Вып. 38. — Рига. 19811 С.57-63.

76. Леонтьев Н.В., Медведев П.Г., Угодчиков Н.А. О вариационной постановке нелинейно-упругой квазистатической задачи при пошаговом нагружении // Прикл. пробл. проч. и пласт. 2000. № 62. С. 35-39.

77. Лопатухин А.Л., Филлипов С.Б. Устойчивость тонкой подкрепленной конической оболочки под действием равномерного внешнего давления // Вестн. СПбГУ. Сер.1. 1999. Вып. 2. С.70-73.

78. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 с.

79. Лурье А.И. Теория упругости — М.: Наука, 1970. — 940 с.

80. Малый В.И., Гусятинская Н.С. Анализ поля перемещений слоя слабосжимаемого материала и расчет жесткости тонкослойных резинометаллических элементов при сжатии // Вопр. дин. и прочн. Вып. 381 — Рига. 1981. С.64-78.

81. Малый В.И., Гусятинская Н.С. Об экспериментальном определении упругих характеристик резины // Вопр. дин. и прочн. Вып. 36. — Рига. 1980. С.181-184.

82. Мальков В.М. Деформации тонкого слоя из малосжимаемого материала // Изв. АН СССР. МТТ. № 3. 1987. С. 87-93.

83. Мальков В.М. Механика многослойных эластомерных конструкций— СПб., 1998.320 с.

84. Мальков В.М. Основы математической нелинейной теории упругости— СПб.: СПбГУ, 2002. —216 с.

85. Мальков В.М., Кабриц С.А. Нелинейные задачи для слоя из малосжимаемого материала //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. 1. С.86-90.

86. Мамай В.И. О форме кривых "нагрузка прогиб" пологих сферических оболочек // Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек: / Под ред. Э.И. Григо-люка. — М.: Изд-во Моск. ун-та. 1981. С. 84-93.

87. Мансурова С.Е. Численная реализация метода конечных элементов на примере осе-симметричной задачи теории упругости в условиях несжимаемого материала. //

88. Вестн. Хакасского гос. ун-та. сер. мат.-мех.— Абакан: изд. Хакас, университета. 1996. С. 65-72.

89. Мартьянова Г.В:, Дадонов В.А. К расчету резинометаллического шарнира на изгиб // Расчеты на прочность. Вып. 22. М.: Машиностроение. 1981. С. 59-65.

90. Милякова JI.B. Жесткость на сжатие плоского имитатора // в межвуз. сб. Механика эластомеров. — Краснодар: изд. КПИ. 1981. С. 76-79.

91. Милякова Л.В., Черных К.Ф. Общая линейная теория тонкослойных резинометал-лических элементов //Изв. АН СССР. МТТ. №3. 1986. С. 110-120.

92. Никольский М.Д. Вариационные постановки геометрически нелинейных задач теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. № 6. 1986. С. 66-70.

93. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости — М.: Гостезиздат, 1948. — 211 с.

94. Общая нелинейная теория упругих оболочек/ Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. / под ред. К.Ф. Черныха, С.А. Кабрица. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. — 388 с.

95. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / пер. с англ., под ред. Э.И. Григолюка. — М.:Мир, 1976. —464 с.

96. Оркиш Я. Равновесие безмоментных оболочек вращения из каучукоподобных материалов // Изв. АН СССР. Механика. № 4.1965. С. 86-91.

97. Пальмов В.А. Реологические модели в нелинейной механике деформируемых тел // Успехи механики. 1980 Т. 3. Вып. 3. С.75-115.

98. Победря Б.Е., Холматов Т. О квазистатической задаче механики деформируемого твердого тела в напряжениях // Изв. АН СССР. МТТ. № 6. 1982. С. 55-58.

99. Погорелов А.В. К теории выпуклых упругих оболочек в закритической стадии — Харьков, 1960. —78 с.

100. Погорелов А.В., Бабенко В.Н. Геометрические методы в теории устойчивости тонких оболочек // Прикл. мех. 1992. Т. 28. № 1. С.3-21.

101. Постнов В.А., Слезина Н.Г. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения при использовании метода конечных элементов // Изв. АН СССР. МТТ. № 6.1979. С. 78-85.

102. Постнов В.А., Трубачев М.И. Новая модель изопараметрического конечного элемента для расчета оболочек // Изв. АН. МТТ. № 1. 1995. С. 141-146.

103. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций— М.: Судостроение, 1974. —342 с.

104. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов / под ред. Э.Э. Лавендела. — Рига: Зинатне, 1980. — 238 с.

105. Разов А.И., Акчурин Т.Р. Экспериментальное исследование жесткостных характеристик резинометаллических амортизаторов // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела Вып.7. СПб., 2003. С.185-192.

106. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов / Зуев Н.Н., Князев Э.Н;, Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. // Изв. АН. МТТ. № 6. 1997. С. 136-147.

107. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам— М., 1977. —129 с.

108. Русанов В.В. Об устойчивости метода матричной прогонки // Вычислительная математика. 1960. № 6. С.74-84.

109. Товстик П.Е. Бифуркация осесимметричного равновесия оболочек вращения при растяжении//Вестн. СПбГУ. Сер.1.1996. Вып. 1. С.106-111.

110. Товстик П.Е. Бифуркация осесимметричного равновесия оболочек вращения с учетом моментных начальных напряжений // Вестн. СПбГУ. Сер.1.1995. Вып. 3. С.101-107.

111. Товстик П.Е. О различных вариантах уравнений больших осесиммегричных перемещений оболочки вращения // Вестн. СПбГУ. Сер.1.1996. Вып. 2. С.73-78.

112. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения при осевом сжатии//Вестн. СПбГУ. Сер.1. 1995. Вып. 1. С.95-102.

113. Товстик П.Е. Соотношения упругости в уравнениях сильного изгиба тонких оболочек//Вестн. СПбГУ. Сер.1.2001. Вып. 1. С.104-112.

114. Товстик П.Е. Устойчивость оболочек вращения в линейном приближении // сб. Расчет пространственных конструкций. Вып. 13.—М.:Стройиздат, 1970.

115. Товстик П.Е., Черняев С.П. О влиянии неосесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении // Вестн. СПбГУ. Сер.1.2002. Вып. 1. С.93-100.

116. Толоконников JI.A. Конечные плоские деформации несжимаемого материала // ПММ. 1959. Т.23. С.146-158.

117. Усюкин В.И., Коровайцев А.В. Об одном алгоритме решения задач деформирования мягких оболочек из высокоэластических материалов // в межвуз. сб. Механика эластомеров. — Краснодар: изд. КПИ. 1981. С. 60-65.

118. Филлипов С.Б. Устойчивость сопряженных под углом: цилиндрических оболочек под действием равномерного внешнего давления // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 1. СЛ40--148.

119. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть 1. Теория — СПб., 1999. — 276 с.

120. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть 2 Приложения— СПб., 2000. —195 с.

121. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек . АН СССР. МТТ. № 2.1980. С. 148-159.

122. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах— Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986. — 336 с.

123. Черных К.Ф. Осесимметричная деформация нелинейно-упругого тела вращения // Изв. АН СССР. МТТ. № 3.1990. С. 22-29.

124. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций — Л.: Изд. Ленингр. ун-та, 1988.

125. Argiris J.H. Tetrahedron elements with linearly varying strain for the matrix displacement method// J. Roy. Aeron. Soc., 1965. Vol. 69. P.877-880.

126. Argiris J.H. The matrix theory of statics // Ingr. Arch. 1957. Vol. 25. P. 174-192.

127. Argiris J.H. Triangular elements with linearly varying strain for the matrix displacement method // J. Roy. Aeron. Soc. 1965. Vol. 69. P.711-713.

128. Argiris J.H., Patton P.S. Computer Oriented Research in a Univercity Milieu // AppL Mech. Rev. 1966. Vol. 19. N 12. P.1029-1039.

129. Arunakirinathar K., Reddy B.D. Further results for enhanced strain methods with isoparametric elements // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. Vol. 127. 1995. P.127-143.

130. Bauer Louis, Reiss Edward L. Axisymmetric buckling rigidly clamped hemispherical shells // Int. J. Non-Linear Mechanics. N 8.1973: P. 31-39.

131. Chen J.-S. Pan C. A pressure projection method for nearly incompressible rubber hypere-lasticity, Part I. Theory // Trans. ASME. Vol.63. N12. 1996. P. 862-868.

132. Chen J.-S., Pan C., Wu C.-T. Large deformations analysis of rubber based on a reproducing kernel particle method. // Comput. Mech. Vol. 19. 1997. P. 211-227.

133. Chen J.-S., Wu C.-T., Pan C. A pressure projection method for nearly incompressible rubber hyperelasticity. Part II. // Trans. ASME. Vol.63. N12.1996. P. 869-875.

134. Chen Y.-C., Healey T.J. Bifurcation to pear-shaped equilibria of pressurized spherical membranes // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1991. Vol. 26 N 3/4. P. 279-291.

135. Clough R. The finite element method in plane stress analysis // Proceedings of 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation Pittsburg. 1960. P. 345-378.

136. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 49. P. 1-43.

137. Design of simple low-order finite elements for large strain analysis / De Souza Neto E.A., Peric D:, Dutko M., Owen D.R.J. // Int. J. Solids Structures. 1996. Vol. 33. N 20-22. 3277-3296

138. Destuynder P. A new strategie for improving finite element method based on explicit error estimates // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. Vol: 176. 1999. P.203-213.

139. Diez P., Huerto A. A unified approach to remeshing strategies for finite element h-adaptivity// Comput. Methods Appli Mech. Engrg. Vol. 176. 1999. P.215-229:

140. Drozdov A.D., Al-Mulla A., Gupta R.K. A constitutive model for the viscoplastic behaviour of rubbery polymers at finite strains // Acta Mechanica. Vol. 164.2003. P. 139-160.

141. Durban D., Baruch M. Behaviour of an incrementally elastic thick walled sphere under internal and external pressure// Int. J. Non-Linear Mechanics. 1974. Vol. 9 N 2. P. 279-291.

142. Durelli A.J., Chen T.L. Displacement and finite strain fields in a sphere subjected to large deformations//Int. J. Non-Linear Mechanics. 1973. Vol: 8N 1. P. 17-30.

143. Fulton J.P. Simmonds J.G. Large deformations under vertical edge loads of annular membranes with various strain energy // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1986. Vol. 21 N 4. P. 257-267.

144. Glockner Peter G., Vishwanath Tekal On the analysis of nonlinear membranes // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1972. Vol. 7. P. 361-394.

145. Goritz D. Sommer J.-U., Duschi E.J. Stress Induced Structure in filled and unfilled Elastomers // Kautschuk und Gummikunststoffe. 1994: Vol. 47. N 3. P. 170-174.

146. Green A.E., Adkins J.E. Large elastic deformations— London: Oxford University Press, 1960.

147. Green A.E., Zema W. Theoretical Elasticity — Oxford: Clarendon Press, 1954

148. Gu S. Buckling behaviour of ring-loaded shallow spherical shells with a central hole // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1991. Vol. 26 N 2. P. 263-274.

149. Haughton D.M., Ogden R.W. On the incremental equations in nonlinear elasticity -II Bifurcation of pressurized spherical shells // J. Mech. Phys. Solids. 1978. Vol. 26. P. Ill-138.

150. Hayman В. I. Snap through shallow clamped spherical caps under uniform pressure // Int.

151. J. Non-Linear Mechanics. 1971. Vol. 6. P. 55-67.

152. Heyliger P.R:, Reddy J.N. On a mixed finite element model for large deformation analysis of elastic solids // Int. J: Non-Linear Mechanics. 1988. Vol; 23. N 2. P. 131-145.

153. Hrennikoff. A. Solution of problems in elasticity by the framework method // J. Appl. Mech. 1941. N 8. P.169-175.

154. Hueck U., Wriggers P. A formulation for the 4-node quadrilateral element // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1995. Vol 38. N 18. P 3007-3037.

155. Johnson A.R:, Quigley C.J., Freese C.E. A viscohyperelastic finite element model for rubber// Comput. Methods Appl: Mech. Engrg. Vol. 127. 1995. P. 163-180.

156. Kadlowec J., Wincman A., Hulbert G. Elastomer bushing response: experiments and finite element modelling// Acta Mechanica.2003. Vol; 163. P. 25-38.

157. Kai-yuan Y., Wei-ping S., Cleghom W.L. Axisymmetric buckling of thin shallow circular spherical shells under uniform pressure for large values of geometric parameter lambda// Int. J. Non-Linear Mechanics. 1994» Vol: 29. N 4. P. 603-6111

158. Lau Ming G. Three-dimensional solid finite element models for computing compressive: stiffnesses of bonded rubber blocks // Can. J. Civ; Eng. 1985. Vol. 12 N 4. P. 767-773.

159. Libai Al, Simmonds J.G. The nonlinear theory of elastic shells. One spatial dimension— San Diego: Academic Press, 1988

160. Ling Yun An approximate solution for the compression of a bonded thin annular disk// Trans. ASME. Vol.63. N9.1996. P. 780-787.

161. Makowski J. Simple equations in terms of displacements for finite axysimmetric defllec-tions of shells of revolution // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1987. Vol. 22. P. 1-13.

162. Mioduchowski A., Haddow J.B. Finite telescopic shear of a compressible hyperelastic tube // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1974. Vol. 9. P. 209-220.

163. Nagtegaal J.C., Fox D.D. Using assumed enhanced strain elements for large compressive deformation// Int. J. Solids Structures. 1996. Vol. 33. N 20-22. 3151-3159

164. Nowinka J., Lukaziewicz S. Symmetric elements in geometrical analysis of large deformations spherical shells // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1991: Vol. 26. N 2. Pi 151-168.

165. Pietraszkiewisc W. Lagrangian description and incremental formulation in the nonlinear theory of thin shells // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1984. Vol. 19. N 2. P. 115-140.

166. Raos P., Zhu Y.Y., Cescotto S. Large Strain Analysis Rubber-like materials by FEM // Kautschuk und Gummikunststoffe. 1994. Vol. 47. N 1. P.39-44.

167. Sierakowski R.L., Sim C.T., Ebcioglu I.K. Instability of a hollow rubber-like, cylinder under initial stress // Int. J: Non-Linear Mechanics. 1975. Vol. 10. P. 193-205.

168. Smith J.F.D. Rubber springs shear loading// J. Appl. Mech. 1939. N 12 P. 159-167.

169. Stiffness and deflection analysis of complex structures / Turner M., Clough R., Martin H., Topp L. // J. Aeronaut. Sci. 1956. Vol. 23. N 9. P. 805-823.

170. Tabber L.A. Comparison of elasticity and shell theory results for large deformation of rubber-like shells // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1989. Vol. 24. N 3.P. 237-249.

171. Tabber L. A. On approximate large strain relations for a shell of revolution // Int. J. NonLinear Mechanics. 1985. Vol. 20. N 1.Р. 27-39.

172. Uemura M. Axisymmetrical buckling of an initially deformed shallow spherical shell under external pressure // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1971. Vol. 6. P. 177-192.

173. Verron E., Marckmann G. Inflation of elastomeric circular membranes using network constitutive equations // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2003. Vol. 38. P. 1221-1235.

174. Wang A.S.D., Enterpinar A. Stability and vibrations of elastic thick walled cylindrical and spherical shells subjected to pressure // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1972. Vol. 7. P. 539-555.

175. Watanabe H.,Hisada T. Mixed finite element analysis of incompressible hyperelastic materials // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A. 1996. Vol. 62. N 595. P. 157-164

176. Wegner Т., Magnucki K., Wasilewicz P. Finite deformation of nonlinearly elastic ring // Polska Akademia Nauk Engineering transactions. 1987. Vol.35. N 4. P. 695-704.

177. Wesolowski Z. Stability of an elastic, thick walled spherical shell loaded by an external pressure // Arch. Mech. Stosow. Vol. 19. N 1. 1967. P. 3-23.

178. Wriggers P., Reese S. A note on enhanced strain methods for large deformations// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. Vol. 135. 1996. P.201-209.

179. Yamade S., Yamada M. Buckling and postbuckling behavior of half-loaded shallow spherical shells // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1985. Vol. 20. N 4. P. 239-248.

180. Zienkiewiez O.C., Cheung Y.K. Finite elements in the solution of fild problems. — Engineer. 220.1967.