Структурные свойства линейных открытых динамических систем. Метод бинарных линейных отношений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Институт математики Академии наук Беларуси

Г Г 5

УДК 517.917 - g Ш Ш7

Б О Р У X О В Валентин Терентьевич

' СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОТКРЫТЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. МЕТОД БИНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Мкнск-1997

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси.

Научный консультант - академик Гайшун Иван Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Защита состоится 11 апреля 1997 года в 15 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г.Минск, ул.Сурганова, И, Институт математики АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

Автореферат разослан ¿Г " маРта 1997 ГОда

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

БЛАГОДАТСКИХ Виктор Иванович

доктор физико-математических наук, профессор ГОРОХОВИК Валентин Викентьевич

доктор физико-математических наук, профессор МИНЮК Степан Андреевич

Оппонирующая организация: Киевский университет имени Т.Г.Шевченко

(Украина)

старший научный сотрудник

А.И.Астровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория линейных открытых динамических систем (ДС) интенсивно развивается в последние тридцать лет. Интерес к изучению структурных свойств ДС обусловлен многочисленными применениями ДС в физике, теории автоматического управления, математической биологии и эконометрике. Методы исследования структурных свойств ДС успешно используются в различных разделах математики и математической физики.

Тем или иным аспектам теории линейных открытых ДС посвящены работы С. А. Авдонина, А. В. Балакришнана, Р. Беллыана, JI. M. Бойчука, А. Г. Бут- . ковского.Р.Габасова, И.В.Гайшуна, И.Ц.Гохберга.В.И.Зубова, С.А.Иванова, Х.Квакернаака,. Ф.М.Кирилловой, Ю.Т.Костенко, Н.Н.Красовского, П.Д.Крутько, В.М.Коробова, А.Б.Куржанского, А.И.Кухтенко, А.М.Лето-ва, М.С.Лившица, D.К.Ландо, Л.М.Любчика,В.И.Максимова,В.М.Марченко. M.Месаровича,С.А.Шшгока, М. С.Никольского, В.H.Новосельцева,H.К.Осетинского, Б.Н.Петрова, Л.Силзермана, Е.М.Смагиной, Э.M.Солнечного. Е.Л.Тонкова, С.Уонэма,Я.З.Цыпкина,В.А.Якубовича, H.Akashi, H.Aling, J.S.Baras, G.Basile, R.M.Brockett, C.J.Byrnes, C.Commault, G.Conte,

C.T.Chen.K.B.Datta,J.Descusse, J.M.Dion, P.Dorato, A.Emre,P.A.Fuhrmann, M.L.J.Hautus, U.Helmke, J.W.Helton, R.Hermann,С.Jaffe,M.K.Ka-ashoek, N.Karkanic, A.Kitapci, B.Kouvaritakis.G.Lebret,J.J.Loiseau.

D.G.Luenberger, M.Malarbe, G.Martin, J.L.Massey.B.McMillan, B.P.Mc-linari, A.S.Morse, G.Morro, A.M.Perdon, R.Rabach, A.A.Ratcliffe. H.H.Rosenbrock, M.K.Sain, S.P.Singh, J.M.Shumacher, A.Tannenbaum, Van der Weiden, X.Wang, J.C.Willems, W.A.Wolovich, B.F.Wyman. Y.Ya-momoto, J.Zabcyk и др. •

В теории линейных конечномерных ДС получен ряд фундаментальных результатов по описанию таких структурных свойств систем как управляемость, наблюдаемость, обратимость, реализуемость и др. Вместе .с тем, специалистами по математической теории систем неоднократно отмечалась необходимость в разработке математических подходов наиболее полно приспособленных к тем или иным задачам в теории линейных ДС. В качестве примера таких подходов укажем привлечение алгебраической теории модулей для исследования проблемы реализуемости линейных конечномерных ДС в пространстве состояний (Р.Калман), разработку геометрического подхода в теории автоматического управления (С.Базиль и Г-.Морро,С.Уонэм и А.Морс,Ж.Уильяме,Ж.Шумахер и др.),при-

влечение теории моментов в задачах управляемости и оптимизации линейных систем (H.H.Красовский,А.Г.Бутковсккй,С.А.Авдонин и С.А.Иванов и др.), привлечение методов алгебраической геометрии для исследования многообразий линейных конечномерных ДС (Р.Калман.М.Хазевин-кель, К.Бирнс, А.Танненбаум, У.Хелмке, H.H.Осетинский и др.).

Задача адекватного описания структурных свойств инвариантных относительно действий тех или иных груш на- множестве ДС непосредственно связана с проблемой описания орбит указанных действий.Такая задача актуальна уже в случае конечномерных линейных ДС. Отметим, что для бесконечномерных ДС исследованы только некоторые структур^ ные свойства для отдельных классов систем. В частности,значительный интерес представляет задача описания свойства обратимости бесконеч-. номерных линейных ДС. Недостаточно исследованной проблемой, имеющей прикладное значение, является задача компенсации внешних возмущений ДС в различных классах динамических регуляторов. При исследовании данной задачи возникает необходимость в определении новых структурных характеристик линейной ДС.

Таким образом,актуальными проблемами являются: развитие и применение математического аппарата адекватного задачам описания и исследования структурных ствойств конечномерных и бесконечномерных линейных ДС, поиск и описание новых структурных свойств ДС, их применение в различных разделах теории автоматического управления, математики и математической физики.

Связь работы с крупными научными темами. Исследования проводились в рамках следующих госбюджетных научных тем:

Математические структуры 16. Исследование структурных свойств бесконечномерных динамических систем управления (утверждено поста- новлением Президиума АН Беларуси от 22 января 1996 года Ко 19):

Математические структуры 16. Исследование задач управления, наблюдения и оптимизации динамических систем в функциональных пространствах (утверждено постановлением Президиума АН Беларуси от 31 января 1995 года 15о 3);

No 75066522.Разработка математических методов теории переноса;

No 0186.0064816. Энергетика 13.Теоретические исследования прямых и обратных задач тепломассопереноса в нелинейных, в том числе газожидкостных средах;

и проектов Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь:

"Нелинейные многообразия открытых линейных и нечетких динамических систем (проект Ф20-019);

"Исследование многопараметрических динамических систем управления" (проект Ф2-233).

Цели и задачи исследования. Развитие и применение математического аппарата бинарных линейных отношений для описания и исследования структурных свойств линейных ДС. Описание новых структурных свойств ДС и их применение для исследования задач компенсации внешних возмущений конечномерных линейных ДС. Доказательство условий обратимости линейных бесконечномерных ДС и их применение в обратных задачах математической физики по определению источников процессов переноса.

Научная новизна. В работе развит новый подход для описания структурных свойств линейных конечномерных ДС, оснозанный на теории бинарных линейных отношений (ЛО). Определены новые структурные характеристики линейных ДС: обобщенные пространства сильных состояний, инвариантные управляемые и'условно инвариантные флаги. Указаны применения этих характеристик для описания новых явных условий разрешимости задач компенсации внешних возмущений ДС в различных классах динамических регуляторов.

Впервые получено описание орбит действия обобщенных груш Морса на множестве бесконечномерных линейных дескрипторных систем. На основании этого установлена связь между задачей классификации дескрипторных систем и задачей классификации ЛО.

Для бесконечномерных линейных ДС и систем с запаздыванием впервые получены явные условия обратимости и предложен алгоритм обращения ДС. Указаны применения структурных свойств линейных бесконечномерных ДС при качественном исследовании решений обратных задач математической физики, связанных с диагностикой и синтезом источников процессов переноса и обратной спектральной задачей Штурма-Лиувилля.

Практическая значимость. Методы и результаты диссертации могут быть использованы при изучении линейных динамических и дескрипторных систем, в теории автоматического управления при анализе и синтезе систем регулирования, моделируемых линейными сосредоточенными и распределенными'ДС, а также при разработке методов диагностики процессов тепло- и массопереноса.

Некоторые результаты диссертации уже нашли применение при ма-

тематическом моделировании систем автоматического управления прб-цессами термоообработки сталей, систем управления испарительными градирнями, систем диагностики процессов нуклеации.1'2'3'4

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Описание структурных свойств линейных конечномерных автономных динамических систем с помощью линейных отношений.

2. Алгебраические критерии разрешимости задач почти полной и полной компенсации внешних возмущений в различных классах динамических регуляторов.

3. Описание орбит действий обобщенных групп Морса на множестве линейных бесконечномерных дескрипторных динамических систем.

4. Критерии обратимости и способ обращения линейных бесконечномерных динамических систем и линейных систем с запаздыванием.

5. Аналитическое в терминах полугрупп класса Со представление решений ряда обратных задач математической физики по определению источников процессов переноса.

6.Обоснование метода Гельфанда-Левитана решения обратной спектральной задачи Штурма-Лиувилля, использующее структурные свойства линейных динамических систем.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на ряде научных конференций, школ и семинаров, в том числе на Международной конференции по тепломассообмену (Минск, 1980), Международном Советско-Польском семинаре"Методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989), Всесоюзных семинарах "Обратные задачи и идентификация процессов переноса"(Уфа, 1984; Москва, 1988), VI Вее-

Борухов В.Т., Павлюкевич Н.В., Смолик И., Фисенко С.П. Восстановление начального состояния при исследовании нуклеации методом

- термодиффузионной камеры // ИФН,- 1990.- Т. 59, No 6. - С. 10111016.

2 Брич М.А., Борухов В.Т., Геллер М.А., Желудкевич М.С. Теплообмен водовоздушного потока с поверхностью металла // Промышленная теплотехника. - 1990. - Т. 12, No 6. - С. 58-62.

3 Борухов В.Т., Брук-Левинсон Э.Т., Геллер М.А., Иелудкевич М.С., Фаин И.Ф., Фляке М.Я. Управляемый теплообмен в процессах термообработки стали. - Препринт No 24 / ИТМ0 АН БССР. - Минск, 1990. -31 с.

4 Борухоз В.Т.,Фисенко С.П. Оптимизация работы башенной испаритель-тельной градирни при внешних аэродинамических воздействий // ИФй. - 1992. - Т. 63, Но 6. - С. 678-683.

союзном совещании "Управление многосвязными системами" (Суздаль, 1990).Всесоюзной школе "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1986), Воронежской зимней математической школе (Воронен, 1982), I Всесоюзной научно-технической конференции "Координирующее управление в технических и природных системах" (Харьков, 1991),Межгосударственной научной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1995), Республиканских конференциях математиков Беларуси (Гродно, 1980; Гродно, 1992, Минск, 1996), общеинститутских семинарах ИТМО АН Беларуси и Института математики АН Беларуси, семинаре МГУ (руководитель проф. М.С.Никольский), семинаре Пермского университета (руководитель проф. Н.В.Азбелез).семинаре БГУ (руководитель проф.Р.Габасов), семинаре БТИ (руководитель проф. В.М.Марченко).

Опубликованность результатов и личный вклад. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13. 15-17, 19-30],выполненных без соавторов. Часть результатов (§§ 7.1, 7.3) основывается на работе [14], выполненной совместно с Л.Е.Борисевич и на работе [18] выполненной совместно с Л.Е.Борисевич и А.П.Елистратовым. Результаты этих работ принадлежат авторам в разной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, 7 глав, включающих 42 параграфа и 8 рисунков, выводов и списка использованных источников.

Объем диссертации 228 страниц. Список использованных источников содержит 244 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В конце 30-х годов Дж.Биркгоф и А.Марков сформировали математическое понятие ДС. Среди обобщений понятия ДС важнейшим является определение системы "вход-состояние-выход". В отличие от ДС, заданной только на многообразии состояний, определение ДС "вход-состояние-выход" содержит объекты входных и выходных сигналов. ДС "вход-состояние-выход" называются открытыми, а обычные ДС замкнутыми или свободными.

В пространстве состояний линейная непрерывная автономная открытая ДС (далее просто ДС) описывается системой уравнений:

dx

S : ш = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t),

где x e X, и € U, y e Y, te[0 ,ш); X, U, Y - линейные векторные пространства состояний, входов и выходов соответственно; А : X -» X, В : : U -* X, С : X Y - линейные операторы, действующие в подходящих парах пространств. В зависимости от того, является пространство X бесконечномерным или конечномерным, ДС f называется бесконечномерной (распределенной) или конечномерной (сосредоточенной). В бесконечномерном случае предполагается, что X, U, У - гильбертовы пространства, а операторы А, В, С удовлетворяют условиям, обеспечивающим непрерывную зависимость состояний и выходов ДС от входов и начальных состояний.В литературе по теории систем большое внимание уделяется также дескрипторным ДС (ДДС).Дискретная линейная азтоном-ная ДДС имеет вид

: Ex(t+l)=Ax(t)+Bu(t), y(t)=Cx(t)

(te{0,1, . . . } e X,U e U, y 6 Y tA e ¡í(X,Z), В e X(U,Z), Ce Z(X,Y),

Z - пространство описания ДДС Zd).

В частном случае, когда Z=X, Е - тождественный оператор, ДДС

Е совпадает с линейной дискретной ДС d

2 : x(tH)=Ax(t)+Bu(t), y(t)=Cx(t).

Тема диссертационной работы - исследование и применение в теории управления и математической физике структурных свойств линейных

непрерывных' и дискретных ДС f, z, Zd и ДС вида

: x(t+l)=Ax(t)+Bu(b): : x(t +i)=Ax(t), y(t)=Cx(t); sj J_.

В главах III, IV диссертации рассматриваются конечномерные ДС,

в главах V-VII - бесконечномерные ДС.

В главе I дан краткий очерк основных этапов исследования структурных свойств линейных ДС,отмечаются открытые вопросы и новые приложения структурных характеристик ДС в теории автоматического управления и математической физики.Представлены также исследования по теории бинарных ЛО в конечномерных и бесконечномерных векторных пространствах. В контексте рассматриваемых задач отмечены опубликованные работы автора, составляющие основу диссертационной работы.

Одна из основных идей, используемых в диссертационной работе -применение ЛО для исследования и описания структурных свойств ДС. Поэтому в главе II излагается структурная теория бинарных ЛО в конечномерном векторном пространстве. Рассмотрены понятия резольвенты ЛО, сопряженного ЛО, сужения и расширения ЛО. Указаны различные способы представления ЛО и описан алгоритм вычисления произведения двух ЛО. Дано описание кубической решетки подпространств приводящих ЛО, а также описание множеств инвариантов и канонических форм ЛО. Представлены необходимые и достаточные условия гомоморфности резольвенты ЛО. Указана связь структурной теории ЛО с теорией Кроне-кера линейных матричных пучков.Вводятся операции "нижних степеней" ЛО и указаны их применения в задаче декомпозиции ЛО.

Напомним, что бинарное отношение между элементами пространств X и Z, рассматриваемых над полем a (a=iR, либо а=с, dim Х=п, dim Y=

- р), задается с помощью подпространства S в декартовом произведе-•

нии

S s XxZ. (2.1)

Тот факт,что пара (x,z), (xeX,ZeZ) принадлежит S,записывается так z = Sx. Множество всех элементов вида Sx обозначается символом S.x.

Если S £ X*Z и Т s Z*Y, то TS := {(х,у) : з z, (x,z) е S, (z,y) е Г) - произведение ЛО S, Т. В частности, если S s ХхХ, то S1 := SS1'1, S° := 1х, где 1 := [(x,z) : z = х, v хеХ] - тождественное

в X ЛО. Отображение инволюции # определяется следующим образом: S ->

S*, S* = {(z,x) : (x,z)eS} =: S"1. ЛО S|V := S л (vxv), где v -

подпространство в X, называется сужением S на vxv. R(S) := [z :

: (x,z) e S} s S'X - область значений S; D(S) := {x : (x,z) e S} a з S~l«X - область определения S; I(S) := (z : (e,z) <= S} = S-e - область неопределенности S;K(S) := {x : (x,e^) e S] s S-1.^ - ядро S, en := e - нулевой элемент в X.

Отношение S называется D-регулярным, если £>(S)=X;Д-регулярным, если' R(S)=Z; I-регулярным, если I(S)=e^ ff-регулярным, если K(S)=e. Отношение IT х , содержащее все пары (x,z), хеХ, zeZ, называется универсальным.Отношение эХх2, содержащее только одну пару (еп,

'■'Нумерация формул, теорем, определений и следствий соответствует нумерации в диссертации.

вр), называется сопряженно-универсальным (сокращенно: "-универсальным). Наконец, отношение пхх2 = {(х,г) : х е X, 2=0р}, представляющее собой график нулевого оператора, называется нулевым,а отношение

=

= Кx,z). : х=эп, z € Z) - инволютивно-нулевым (#-нулевым).их:= := v. , е := в , n := п

ХхХ ' X ХхХ X ХхХ

Так как Ш-регулярное (одновременно D- и I-регулярное) ЛО совпадает с графиком линейного оператора, действующего из X в Z, то для множества ДГ-регулярных отношений используется стандартное обозначение £ (X,Z), £ (X) := £ (Х,Х). Если Ре* (X) и Р#е2 Ш, то Р называется автоморфизмом пространства X, а отношение Р := Р"" -обратным к Р.

Центральный результат теории ЛО вида S, SsXxX - теорема В.А.Пономарева о структуре таких ЛО.В §§ 2.4, 2.6 предлагается элементарный подход для описания структуры ЛО S, S s ХхХ, использующий теорию Кронекера эквивалентности матричных пучков

Определение 2.3. Отношение S называется полным в X, если ЛО Sn является универсальным в X, то есть, если Sn=fux.Отношение S называется сопряженно-полным ('-полным), если Sn=ex. Отношение S называется нильпотентным, если Sn=n . Отношение S называется инволю-

X — ж

тивно-нильпотентным (»-нильпотентным), если. S =Q*. Наконец,S называется автоморфным, если S-автоморфизм. ~

Очевидно,универсальное ЛО lix является одновременно и полным в X, '-универсальное ЛО ех может служить примером простейшего '-полного в X отношения. Нулевое ЛО пх относится к классу нильпотентных в X отношений,а #-нулевое ЛО пх - к классу #-нильпотентных ЛО.Тривиальное (и единственное) ЛО в пространстве Х=вп можно отнести к любому из пяти указанных классов ЛО..

Теорема 2.3. Пусть SeXxX. Тогда найдутся такие подпространства Х^сХ, dim Х^ЫЗ, i=l,5, и отношения S^sX^xX^, i=l,b, что

X = Xit S = j®i Si, (2.20)

где S - полное в X ; S '-полное в X ; S - нильпотентное в X :

1 1 ' 2 2 ' 3 3 '

S - #-нильпотентное в X • S - автоморфное. в X отношения.

4 4 5 5

Фигурирующие в теореме 2-3 отношения S^,i=l,b, называются кар-

касными. Детализация структуры нетривиальных каркасных ЛО дается з теореме 2.4, 2.6 и следствии 2.1.

Важной задачей для приложений ЛО является описание подпространств X.j, i=1,5, каркасных JIO S^, i=l,5 и их прямых сумм.

Для сокращения записи прямых сумм вида ® X используется обо-

1 = 1 к

i

значение Ху. у. , например, X - := X ©X еХ-, где Х- - инварл-к1,...,к1 1 •3■л 1 3 х А

антное подпространство JIO S, соответствующее точке х спектра o-fS)

ЛО S (§ 2.6); Xv := ® Х- , X x^eo-f S)\X Х^

Напомним, что монотонным флагом в пространстве X называется

строго возрастающая последовательность L cL с.. .cL,- подпространств

12 J ■

L^, L^sX, 1=1,j. Число j называется длиной флага. Строго убывающая

последовательность подпространств Jf^sX,i=l,j, f2=...D tfj называется обратным монотонным флагом.

Резольвента ЛО S определяется как инволюция ЛО fx-S) := (lx х--5), т.е. R(S,x)=Cx-S)"1, v х е с.

Теорема 2.11. 1) Подпространства (\-S)1°e, i = 1,j, образуют монотонный флаг в пространстве X максимальной длины j=m, причём

Ш

1

га

(x-SJ 1 • е = X , v Х€С, ie{0,l,...}. (2.49)

1,4

2) Подпространства (x-S)'1- e,i=l,j, образуют монотонный флаг в X максимальной длины j=m , причем m ^п и

-m-i (\-S) 2 • э =

Х1 , V XeCWSj ,

ie{0,1,...}. (2.50)

•'X если Xeo-(S),

3) Подпространства ("л-5Я. X,д=1,^,образуют обратный монотонный флаг в X максимальной длины j=т , причем т и

ш «-1 • (x-S) 3 . X =

X, , л . V Xec\<ris;,

1,3,4,5

ie{0,1,...}. (2.51)

X v, Xetr(Sj,

4) Подпространства (x-S)~x° X, 1=1,j, образуют обратный моно' тонный флаг в X максимальной длины j=m4, причем ш^п и

-и -i

Cx-sj 4 . X = Xt 3 5, V AeC, Ы0,1,...}. (2.52)

Отметим, что представленное в теореме 2.11 описание подпространств, приводящих Л0, имеет конструктивный характер. В частности, для вычисления степеней JI0 можно воспользоваться структурным алгоритмом вычисления произведения двух ЛО (§ 2.3).

Нижние степени s(_k)> s<k>' s<-k> ^ 6 1> • • ■ 3 ло s

определяются в § 2.'5 с помощью операций сужения и расширения Л0 S, S s ХхХ.на Л0 Ds:= D(S)*D(S), Rs:= R(S)*R(S), Is:= I(S)XI(S), Ks: = K(S)*K(S).

Определение 2.2. Положим 5(o)=S(_o)=S<qj=S<_o> = S и для целого положительного к Л0 S^j := n £>s ^ назовем к-й нин-

■ ней степенью сужения Л0 S на свою область определения; Л0 := S/ t, 1 п Я назовем к-й нижней степенью сужения ЛО S на

свою область значений: Л0 S ^ := S ,, + I назовем £-й ниж-

<К> <K-i> s и.

ней степенью расширения ЛО S на свою область неопределенности; Л0 S := S v + Ks назовем к-й нижней степенью расширения

ЛО на свое ядро.

Нижние степени ЛО S используются для описания каркасных ЛО

(теорема 2.12) и пространств сильных состояний ДС f (§ 3.5).

В главе III определены ЛО S, S^, S_ ассоциированные с линейными конечномерными ДС t f_, (dim X=n, dim U=r, dim Y=m). В терминах таких ЛО описываются орбиты действия группы Морса и подгруппы Морса зафиксированной условием тождественности операторов преобразований в пространстве состояний ДС.В терминах ЛО описываются также классические подпространства достижимых, управляемых, стабилизируемых, ненаблюдаемых, невосстанавливаемых.недетектируемых состояний, определяются новые подпространства сильных состояний непрерывных ДС. Получены явные,в терминах ассоциированного ЛО S, представления подпространств сильных состояний непрерывных и дискретных ДС. Для дискретных ДС вводится понятие инволютивной системы и обобщается принцип двойственности свойств управляемости и наблюдаемости ДС. Представлены новые соотношения пригодные для вычисления конеч-

ных и бесконечных нулей, в частности,указаны формулы, связывающие порядки нулей на бесконечности с размерностями пространств сильных состояний непрерывных ДС.

Применение ЛО в теории линейных ДС основано на том, что структурные свойства ДС инвариантны относительно действий некоторых специальных групп,причем орбиты этих действий можно описать с помощью ЛО. Для формализации данного утверждения рассмотрим группу Г^Х.) с элементами вида

г = (F,G,K,T), Fez(X,U), G<=3t(Y,X), KnGL(U), TeGL(Y).

и операцией умножения г г = (F +К F ,G +G Т К К ,Т Т ).

г J 2 1 11 2' 12 2' 1221

Действие группы Г (X) на множестве ДС вида х определяется следующим образом. Пусть п=(г : 2 = (А,В,С), А е и{Х), В е !t(U,X,),Ce е ¡e(X,Y), К(В) = О, Я(С) = 7), тогда действие р : Г^п -> п группы Г на множестве П ДС 2 имеет вид vi(r,z) = (A+BF+GC, ВК, ТС).

Отметим, что так как тройке (pi(r,z) отвечает ДС

rZ : x(t+lH A+BF+GC )x(t)+BKv(t), n(t)=TCx(t),

то для исходной ДС 2 действие <р описывает обратные . связи типа "состояние - вход" и подключение выходного сигнала, а также преобразования в пространствах входов и выходов.

Известно, что такие характеристики ДС,.как свойство идеальной наблюдаемости, структура нулей ДС, свойство обратимости, инвариантны относительно действия р на п. Иначе говоря, упомянутые характеристики ДС представляют собой функции, заданные на множестве oi : = {Oj : ot(x) = <рг(',х), Sen} орбит действия Г на п.В связи с этим представляет интерес задача параметризации множества о■.

Определим ассоциированное с ДС £ подпространство S в ХхХ,

S(z) := {(x,z) : х«=Х, zeX, z = Ах+Ви, Сх = 0, ueU] (3.2)

и рассмотрим множество У := (S(z,) : Eeii).

Решение задачи о параметризации множества 01 доставляет Теорема 3.1.Соответствие oi(z) <-+ S(z) "между и ¡f биективно.

Практическое значение теоремы 3.1 состоит в том, что при вычислении структурных характеристик ДС подпространство (3.2) можно интерпретировать как ЛО в ХхХ. При этом соотношение (3.2) отвечает явному представлению ЛО S.

В § 3.1 устанавливается также (теорема 3.2) соответствие между множеством орбит oq действия группы Морса Т(Х) на линейные ДС и множеством о := {о : о = <p(-,S(x)), Sen} орбит действия общей линейной группы GL(X) на ЛО. В § 3.2 структурная теория ЛО применяется для решения задачи декомпозиции ДС S относительно действия группы Го и построения канонической формы Морса ДС X . В § 3.2 рассматриваются классические подпространства

■ Хг, Xе, XS(CJ, Xuw, ХиПС, Xund(0 (3.9)

+ о ~ ~ ~ &

.соответственно достижимых, управляемых, стабилизируемых,ненаблюдаемых, невосстанавливаемых, недетектируемых состояний ДС j, z. Справедливы следующие утверждения

Следствие 3.3. Пространства достижимых, управляемых, стабилизируемых относительно с^. состояний ДС Е имеют вид

Xr(x) = Sn . е, Xе(х) = S~n . в = n U-S )п . X,

Хес\0

(3.14)

Xs(s,cJ = х (x-S )~п . е = (x-S )п . X,

+ & ХеС * ХеС *

з я

где S^ = l(x,z) : z = Ax+Bu, u e U] - ЛО ассоциированное с ДС г S_ = [(x,z) : z = Ax, Cx — 0} - ЛО ассоциированное с ДС s ,

Следствие 3.4.1) ДС s достижима

Sn . е = X . (x-S ) . X =Х,

V ХеС.

2) ДС Z управляема « S'Jе = X « (x-S J • X = X , v ХеС\0.

3) ДС 2 стабилизируема » z (x-S е = X в (x-S J . X = X,

XeCg

v ЬеС^.; » o-fSJ 6 Cg, где := S+ | / := PS^P*, P - график канонической проекции пространства X на фактор-пространство X / Х^.

Пространства х£, х|, Х^п0, Х^пс сильных состояний дискретной

ДС Е описываются в терминах ЛО в § 3.4.

Пусть - множество траекторий х(°) : Z^ -» X Cz^:= {0,1,...}) ДС Е.индуцированых управлениями вида и( <■) Напомним также обо-

значения временных отрезков в дискретном случае [0,1]:={0,1,...,i}, [0,i[ := [0,irl].

- Состояние Х£ ДС z называется сильно достижимым за время к, к е е {0,1,2,...}, если существует такая траектория х(°) е Е^.что х(0)= = 0, х(к) = х^, y(t) = 0, v t е [0,jr[. Пространство всех сильно до-

стишшых за время к состояний ДС г обозначается символом Хк(х). В формализованной записи пространство х£ имеет вид x£(s) = {хк : Хк е X, з х(*) е zx, х(0) = 0, х(к) = Хк, (3.15)

• y(t; = О, V te[0,i[}. . Аналогичным образом определяются

Xl(z) := {х : х б X, э х(.) е т. , х(0) = х . х(к) = 0, (3.16)

Л 0 0 X О

yít) = О, V te [0, Je]} -пространство сильно управляемых за время к состояний ДС z;

Xln0(z) := {х : х е X, з х(>) <= 2 , х(0) - х . (3.17)

Л О О х О

у(Ь) = О, V t€[0,Jc]} -пространство сильно ненаблюдаемых за время к состояний ДС х;

Х%пс(х) := {x¿ : хк <= X, а х(.) е Sx, х(к) = хк, (3.18)

y(t) = О, V te[0,¿[} -

пространство сильно невосстанавливаемых за время к состояний ДС е. Теорема 3.5. Справедливы равенства: ■ = S^. е, Xk(z) =

=S"¿. е, Х£П0(Е) = S'Vx, Х»пс(х) = SK X, Jce{1,2, ...}, где S -

JIO, ассоциированное с ДС z.

В § 3.5 определены пространства так называемых сильных состояний ДС j: ¡У^-почти сильно достижимых, (Vg-почти сильно ненаблюдаемых, D^-сильно достижимых, D^-сильно ненаблюдаемых (qe{0,1,...}). Эти определения параллельны определениям пространств (3.9), но, в отличие от последних,учитывают всю цепочку внутрених причинных связей ДС.

Для иллюстрации представленных в § 3.5 результатов приведем здесь описание пространства Хг, .

С q )

Пусть Ljoc := Ljoc([0,a[,U) - пространство локально суммируемых функций и(') : [0,-[ -» U; ы - норма в Y;

t

г

пуМн = J lyís^ids, 0<tf<a. -

о

норма функции.у(. )eLi([0,tf-] ,Y);W^:=W(¡([0,tí],Y) - пространство аб-

солютно непрерывных вместе с производными до порядка q-1 С ge{1,2,...} функций (пространство функций Соболева);- ff® := Lif[0,t^],Y),

q-i

,ty(Oiq := iy(q)(>)* + £ 1УШ(0)| -

1=0

норма функции y(«J e iV^; x^ - множество абсолютно непрерывных траекторий х(') :.[0,»[ -» X ДС х, индуцированных управлениями uf») е

е Lloc;

Определение 3.3. Состояние х^ называется W^ - почти сильно достижимым за время Ъ^, t^ е ]0,<=[, если для любого ■ е>0 существует

траектория хс(°) е Sx такая, что г(0) = 0, x(t^) = х^, iy(°)< с.

Множество всех W- почти сильно достижимых за время Ъ^ состояний ДС s обозначается символом aj -

Теорема 3.7. Пусть q е {0,1.....п}, тогда Xri(¡) = S(q)<n>. 0 =

Пространства сильных состояний ДС J" применяются далее в гл. IV для описания явных условий разрешимости задачи почти полной компенсации внешних возмущений ДС J". В данной главе рассматривается ряд задач, связанных с проблемой компенсации возмущений в линейных управляемых системах. Предложены понятия условно инвариантного и инвариантного управляемого флагов (УИФ и ИУФ).заданных в пространстве состояний ДС. Определения ИУФ и УВД обобщают известные понятия (А, £)-инвариантных и (С, /U-инвариантных подпространств. Супремум множества ИУФ и йнфинум множества УИФ вычисляются в явном виде в терминах ассоциированных Л0.

В терминах ИУФ и УИФ получены критерии разрешимости задач восстановления входных сигналов ДС в условиях внешних" возмущений"и динамической компенсации внешних возмущений в классе i-правильных динамических регуляторов. Рассматривается также классическая задача статической компенсации внешних возмущений (ЗСКВ). Получены новые необходимые и достаточные условия разрешимости ЗСКВ, основанные на понятиях ИУФ и УИФ.

Далее понадобятся следующие понятия.

Набор (г0,71,■..,т,...), 'г er, i = 07^, -подмножеств множества г называется невозрастающей фильтрацией, если выполняется условие 7q2 у1э...г а..., или - неубывающей фильтрацией, если т0 £

-В частном случае,когда множество г имеет структуру

линейного пространства, а подмножества ■íí, 1 = 0,<», являются его подпространствами, последовательность (г0,?1---) называется соответственно невозрастающим (неубывающим) флагом.

Флаг г содержит флаг а (г 5 а), если имеет место покомпонентное включение о^ с г1, 1 = О,«. Также покомпонентно, но только для одновременно невозрастающих, либо одновременно неубывающих флагов определена операция алгебраической суммы и + а и пересечения а п ц двух флагов а и г. Наименьшее у, для которого выполняются равенства V = V к е {0,1,...}, называется глубиной флага. Флаг

конечной глубины записывается в виде (V .....v где к г д.

Открытая ДС способна взаимодействовать с другими системами. Такие системы <3 и Р указаны на рис. 4.2. <} и Р представляют собой

0 и('), I р

Рис. 4.2. Взаимодействие ДС / с внешней средой.

модель внешней относительно ДС-/ среды,в частности, система ф может быть регулятором, а Р описывать способ наблюдения за Отображения вход-выход для Я и Р представимы причинными свертками. Пусть задана невозрастающая фильтрация

J=<J0,Jt...) (4.1)

множества входных сигналов И :=С°°(и^,[/) и невозрастающая фильтра-трация

Ь = (4.2)

множества импульсных функций ? :=Cm{nr,¡t(K,Y)) динамических наблюдателей. Здесь С09 (в ,и) - множество бесконечнно дифференцируемых функций и(-) : к -»С/ := {0,«>,)). Далее понадобится множество

функций и) :={и(.; : и(-)еСш(1и+,У), и(0Мг(0К . .^и'"-1 >(0)=

= 0}. '

Компоненты фильтрации J можно рассматривать как области значений регуляторов Я, а компоненты фильтрации Ь - как множества допустимых импульсных функций динамических наблюдателей Р (рис. 4.2).

Определение 4.1. Невозрастающий флаг v = (vo,v ...) в X называется инвариантным управляемым относительно фильтрации ./.если для произвольного начального состояния хо x(0)<=vi, ¿6 {0,1,...} ДС

можно указать управление ,xo)eJi такое,что x(t)eVQl vfcaO. Определение 4.2. Неубывающий флаг ж = (w v .) в X называется условно инвариантным относительно фильтрацииL,если существует последовательность импульсных функций pt(*) е L , i = 0,«, . такая, что из условия х(0.) 6 следует x(t)-(p »y)(t) е jr , v t = г О, где х(') - траектория ДС

Множество всех инвариантных управляемых относительно фильтрации J флагов содержащихся в подпространстве Af(M s X) (точнее в постоянном флаге (АО) обозначается символом v(s,M,J),а множество условно инвариантных относительно фильтрации L флагов, содержащих

подпространство К обозначается через W(S,K,L). Множество v(f,J,M) можно наделить структурой верхней полурешетки относительно операций включения и сложения флагов, а множество w(f,K,L) допускает структуру нижней полурешетки относительно операций включения и пересечения флагов. Отсюда следует существование верхней грани v :=

:= sup v(s,M,J) и нижней грани v.:= inf w(s,K,L)- Представляет ин-v V

терес вычисление ИУФ относительно фильтрации

Jk := (C"(R ,ü), i = Ü7I), (4.8)

Двойственная к (4.8) фильтрация имеет вид

Lk := (С^Ы^^У.Х)), i = (4.9)

Определение 4.4. Если импульсная функция р(-) принадлежит С™_ (R^.ify,Х), то ДС Р называется ¿-правильной.

Рациональная оператор-функция называется ¿-правильной, если она является передаточным оператором некоторой ¿-правильной ДС (строго правильной, если ¿=1).

Теорема 3.2. Следующие утверждения эквивалентны:

1) v(k) := (vo,vi,...vJ е v(s,X,Jk), (4.10)

2) Avo s vo + Я(В), AlVj s vo< i=0. (4.11)

3) з F e z(X,V) : А V sv, FA1-1v = 0, i=T7E. (4.12)

F О О 1

4) Если x € ie{0,l,.!. , то xq имеет-представление

х = (\ - A) - Ви(х),. (4.13)

о

где - строго правильная рациональная r-вектор-функция, е

е vq для любых х е и, и(к) - i+1-правильная рациональная г-вектор-функция.

Приведем явные описания нижней грани v(k>' множества v(f,K(H),

Jk) и верхней-грани Jfi*' множества W(j,R(D),Lk), где Я e x(X,Z), »

D е z(E,X). Флаг v является максимальным ИУФ в подпространстве

К(Н), a ifi*' - минимальным УИФ содержащим подпространство R(D).

Определим ассоциированные с ДС / и подпространствами К(Н), R(D). бинарные линейные отношения в X: U := {(x,v) : v = Ах + Ви, х 6 К(Н), и 6 U); М_ := l(x,v) : v = Ах, х е К(Н)}; N := Ux.v) : w = Ах + De, х е К(С), е е £}; N+ := {(x,v) : w = Ах + De, х е X, е € Е).

Теорема 4.3. Справедливы равенства:

/п) = (UZ3M1~r'X, j^m) = (MIJ./, .ЯШ, (4.22)

где г := dim К(Н) + 1, ш := шп {k,r-l}, п = dim X, г* = М~Г°Х -максимальное в подпространстве К(Н) инвариантное управляемое подпространство .

Следствие 4.3.

ж(п) = = (Nl'Vfo., j=TTs), (4.23)

где q:= dim X - dim R(D)+1, s:= min {&,q-l}, vr 0 - минималь-

ное условно инвариантное подпространство, содержащее подпространство R(D).

. Входные сигналы объектов регулирования обычно разделены на управляющие и возмущающие, а выходные сигналы - на наблюдаемые и регулируемые. В соответствии с этим в §§ 4.5, 4.8. рассматривается ДС

■J- : х (t) = Ax(t)+Bu(t)+De(t), y(t)=Cx(t), z(t)=Hx(t), teR^,

где u(•) - управление, e(-) - внешнее возмущение, u(-) e C°(r^,U), e(-) e y(-) : -» У - наблюдаемый выходной сигнал,z('):

: R Z - регулируемый выходной сигнал.

Задача синтеза системы управления объектом j"p формулируется следующим образом: определить в цепи обратной связи ре-

гулятор J с помощью которого можно в той или иной степени осла-

Г

бить действие неконтролируемого внешнего возмущения е(-) на регулируемый сигнал z(').В § 4.6 изучается случай, когда возможна полная компенсация возмущений.

Пусть существует ¿-правильная ДС sr такая,что у замкнутой обратной связью fr: у(-) -t и(-) ДС возмущение е(-) не оказывает влияния на выходной сигнал z(-). Тогда говорят, что разрешима задача компенсации возмущений в классе k-правильных регуляторов.Далее для обозначения данной задачи используется аббревиатура Пк-ПР (построение ¿-правильного регулятора).

Теорема 4.7. Эквивалентны следующие Jc+2 утверждения

1) существует И УФ v ^ и УИФ ДС т такие, что выполняют-

ся включения

(К(Ю) 2 v(J) = W(k-J) a (R(D)), (4.41)

2=0~2с

¿+1) задача Пк-ПР разрешима.

Из теоремы 4.7 вытекает следующий эффективный критерий разрешимости задачи Пк-Пр

Следствие 4.5. Эквивалентны следующие к+2 утверждения:

I) К(Н) 2 М~г-Х, М"-г-Х a N4" N'-О, N"-0 г B(D), где

г = dim К(Н) + 1, m = min {2,j—1}, q = dim X-dim D + 1, s = = min {I, q-1],

J=ÖTi.

k+1) задача Пк-ПР разрешима.

Необходимые и достаточные условия разрешимости задачи статической компенсации внешних возмущений также описываются в терминах ЙУФ и УИФ (§4.7). Критерий почти полной динамической компенсации внешних возмущений представлен (§ 4.8) в терминах пространств сильных состояний ДС I.

В главе V развивается метод обращения бесконечномерных ДС,основанный на структурной факторизации передаточного оператора системы. При некоторых ограничениях получены критерии обратимости и. алгоритм обращения линейных бесконечномерных ДС.Исследуются также' свойства причинной обратимости■инвариантных во времени ДС с запаздыванием. Получен алгебраический критерий обратимости и алгоритм обращения таких систем.

Рассматривается ДС

dx/dt = Ax(t) + Bu(t), x(0) = 0, (5.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t), (5.2)

где xeX, и e U, и e If, y e Y, u(-) e L2(tQ,U) - пространство измеримых суммируемых с квадратом функций u(t), telo,t],со значениями в U; X, U, У - сепарабельные вещественные гильбертовы пространства, А : X -> X - линейный замкнутый, вообще говоря, неограниченный оператор, порождающий в X полугруппу Z(t) класса CQ, В е x(U,X), С е е X(X,Y), D б Jt(U,Y).

Ассоциированное с ДС (5.1), (5.2) JI0 имеет вид

So = l(x,z) : z = Ах+Ви, Cx+Du = 0, и e'U, х е X}, отображение М вход-выход для ДС (5,1),(5.2) описывается выражением

у(Ъ) = (Ми)(t) я Du(t) + С f Z(t-s)Bu(s)ds.

о

Определение 5.1.ДС (5.1),(5.2) называется обратимой слева,если из условия у(Ъ) s 0,te[0, tol следует u(t) в 0, te[0, t ],и обратимой справа, если замыкание r(m) области значений оператора м совпадает с Ljto,Y).

Оператор М является причинным, то есть из условия и(х) - z(z), Т «= [0,t] следует (Ma)(r) = (Mz)(х), vtefO, toJ.

Если оператор Af'"1' также является причинным, то ДС (5.1),(5.2) называется причинно обратимой слева.

Исследование простейшей ситуации, когда ядро оператора D тривиально, является основой для обращения ДС с распределенными параметрами в общем случае. Пусть K(D) = 0, тогда существует линейный, вообще говоря, неограниченный оператор Dt_n : У -> U такой, что d(d(~y) = r(d) + K(d'), если i = Du, то D(_1)f = u, если же f e e K(D ), то C'"uf =0. Оператор D<_1) является левым обратным к D. В частности, можно положить D("1) = (D D)'1D .

Обозначим через S оператор, проектирующий Y на ядро оператора

d' .

Теорема 5.1. Если K(D) =0, то ДС (5.1), (5.2) обратима слева тогда и только тогда, когда система уравнений

d .

= <z(t),A w> - <BD<"1 }Cz(t) ,vt> v If e D(A ) (5.5)

SCz(t) = 0 (5.6)

заданная почти всюду для te[0, t ], не имеет нетривиальных решений, удовлетворяющих условию \z(t)\x 0 при t -» 0.

Отметим, что в общем случае уравнение (5.5) не является клас-

сическим дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве, как в смысле определения решений, так и в смысле их корректности пс Адамару. Но если существует замыкание оператора ВВ(_1,С до ограни-

ченного оператора ВО С : X X, то можно показать, что оператор

А - БД'"1 *С является инфинитезимальным производящим для полугруппы класса Со. В этом случае из условия К(0)=0 следует, что левая обратная ДО описывается обычной системой дифференциальных уравнений

йх/йЬ = (А - ВВ'-^Оха) + В0<~1,у(Ь), и(Ъ) = -й'^ЧСхШ - у(Ь)], х(0) = О,

рассматриваемой в гильбертовом пространстве X.

Метод структурной факторизации (СФ).первоначальный вариант которого для ДС с сосредоточенными параметрами был развит Сильверме-ном, позволяет свести задачу обращения к случаю К(й) =0.

Далее воспользуемся следующей терминологией. Если : и -» У -линейный ограниченный оператор, то через Я^ обозначим проектор,проектирующий пространство и на а через - проектор, проектирующий У на К(П. Кроме того, положим Р1 = 1ц- С1,Г1= Гу- •

Теорема 5.2. (Правая СФ). Если операторы А*В, к = 1,1, существуют и допускают замыкание до линейных ограниченных операторов АкВ: : У X, то справедливы факторизации

= [01с+С(1хх-Л)-1Вк] [Рк_1+5к_1х"1 ]... [Ро+еох-1 ], (5.13

к = 1,1, где операторы Б , В определяются с помощью рекуррентных

к•

соотношений

К - ^-Л-г + явь-А-1' * -"т. <5-14>

0 =0, в = в

о о

Следствие 5.1. Если выполняются условия теоремы 5.2 и найдется номер к е (0,... Д), для которого\К(0^) = 0, то ДС (5.1),(5.2) обратима слева тогда и только тогда, когда система уравнений

б .

<г(Ь),у> = <г(Ь), А у> - <В^'1 ,у> V V е йСА ),

О Сг = 0 к

заданная почти всюду для t е [0, t ], не имеет нетривиальных решений, удовлетворяющих условию \z(t)\x ■* 0 при t -» О.

В § 5.3 определяется левая СФ и двусторонняя СФ передаточного оператора ДС (5.1), (5.2). Выясняется, когда существует число р,такое, что K(D ) = 0.

Теорема 5.4. Пространства (SDBD)~1»X, K(Dp) (BD={(u,z) : z=Bu, Du = 0, и e [f] алгебраически изоморфны и изоморфизм между ними устанавливается тождественным оператором при р = 0 и оператором вида

Q . ..Q : K(D ) -> U , р=Т7Т.

О р-1 р Р

Напомним,что если dira K(D) < » и область значений оператора D

замкнута, то D называется Ф^-оператором, если к тому не dim K(D ) <

< », то В - нетеров оператор. Число Ind D = dim K(D)-dim K(D )назы-ется индексом оператора D.

Теорема 5.6. Если оператор А ограничен и первый отличный от нулевого оператор G из последовательности G =D, G =СВ, G =САВ,...

xi О 1 2

является Ф+-оператором, то ДС (5.1), (5.2) причинно обратима слева тогда и только тогда, когда найдется число р е (0,1...), такое,что (SPB )~1Х = 0.

D D

Теорема 5.7. Если оператор А ограничен и первый отличный от нулевого оператор G из последовательности

G = D, G = СВ____,G = СА"~1В____

0 1 и

является нетеровым,то ДС (5.1), (5.2) причинно обратима слева тогда

и только тогда, когда Ind G * 0 и найдется число j s (0,1...), та-

п

кое, что dim (С*.)"1 CS*)".JX = - Ind G^, где S = l(x,z) : z = a'x + * * * * * »

+ С y,В x + D y = 0, y e Y, x 6 X), CD = {(y,z) : z = С y,D y = 0}.

В главе VI рассматривается множество бесконечномерных дескрип-торных ДС (ДДС) и изучается топологическая структура пространств орбит действия групп Г, Г , Го+, Го , Г, Го обобщающих группу Морса. Рассматривается также задача - определения структуры бесконечных нулей бесконечномерных ДС.

Далее понадобится понятие грассманового многообразия Gr(E;L,M), где Е банахово пространство, L - дополняемое в Е подпространство, E=L@M.

Грассмановым многообразием Gr(E\L,U) называется совокупность всех подпространств пространства Е изоморфных L и имеющих дополнение, изоморфное U. Структура аналитического многообразия определяёт-

ся на Gr(E;L,N) стандартным образом.Когда Е - гильбертово пространство, используется обозначение Gr(E,L).

Множество всех ДЦС z обычным образом z <-> (Е,А,В,С) отождест-d <1

вляется с банаховым пространством Н := £(X,Z)xx(X,Z)x£(U,Z)x£(X,Y). Пусть

H(xn,z) := {z r'zi, х(в; = 0, R(B) = WBJ, а

о о а а

я(в) ~ zo, (r(b))l - же) = у, к(с; ~ x0, iflc^-xj-rl,

где соотношение R(B) " ZQ означает, что пространство R(B) изоморфно ZQ, XQ и ZQ подпространства (замкнутые линеалы) заданные в X и Z соответственно.

Положим := {sa : ZdeH, Е - заданный оператор.}, £ : =

:= (А,Б,С). Таким образом, Zd=(E,z).Рассмотрим топологическую группу Го линейных преобразований г,

Го := {у : г = (F,G,K,T), Fe£(X,U), GeZ(Y,Z), KeGL(U), TeGLir;}

с операцией умножения г,г, = (F +KF ,G +G Т ,К К ,Т Т ) и индуци-

2 1 1 1 2 1 1221

рованной топологией банахова пространства üfX.tfJxJefy.XJxJeCi/jxieiY). Согласованное с операцией умножения действие группы Го на многообразии НЕ задается соотношением

r£ := (Е,А + BF + GC, ВК, ТС). (6.2)

а

Для описания множества орбит Н (X ,Z ) / Г := {о : o(z ) =

■Г Е О О О d

r£d, v уеГо} действия Го на He(Xo,Zq) используется линейное многообразие S=S(z) в XxZ, S(zM(z,x) : z=Ax + Bu, Cx=0,uei/,. xeX} .Линейное многообразие S(z) изоморфно пространству XQxZo,T.e. S(z) -подпространство в XxZ.

Множество всех таких подпространств S(z), (E,z) е He(Xo,Zq), обозначается символом у(Х ,Z ).

. о ' о

Теорема 6.1. Отображение

« : HE(Xo,Zo) / Г0 -» HXQ*Zo), o(zJ -Д (E,S(z)) (6.3) задает биективное соответствие между множествами Н (X ,Z ) / Г ,

*(xo,zo).

Отметим, что многообразие HXoJZo), является локально-замкнутым подмногообразием грассманиана Gr(XxZ,X *Z ),

В § 6.4 рассмотривается задача классификации множества H(Xo,Zo) дескрипторных ДС относительно "пропорциональной" группы

Г = { г : г = (L,U,F,G,K,T), UGL(Z), UeGL(X), (F,G,K,T)erQ}.

Действие группы Г на многообразии Я задается соотношением

гГ= (LEU, L(A+BF+GC)U, LBK.TCU).

Поставим в соответствие системе пару бинарных линейных отношений рСг ) = (Е ,S(z)), где Е- = {(x,z) : z = Ex, ХеХ} - график dp р

оператора Е.

На множестве £ = (pCt J •" 2 е H(X^,Z Я определим стандартное

о а О О

действие r.p - (L Е М , L SM } группы Г. = GL(Z)*GL(X). Здесь L -и U - графики операторов L и if соответственно.

р

Теорема 6.4. Отображение а,

{те, : г.г1 л {гарггл; :

задает биективное соответствие между множеством орбит Н(Хо^о) / Г действия группы Г на Я(Хо,2о) и множеством орбит х. / Га действия группы Га на 1.

В § 6.4 рассмотриваютея еще две задачи классификации множества Н(Хо,го):

1) относительно действия

72 = (Е + В? + вС, А + ВГ + вС, ВК, ТС) (6.21)

(1

группы Го:= [7:7- (?,в,К,Т) * Г0,(Р^,К,Т) « Г);

2) относительно действия

= (ЦЕ + ВЁ + Ъс)Ы, ЦА + ВТ + 6С)М, 1ВК, ТСМ) (6.22)

а

группы ? *= (г : 7 = (Г.ё.Г.С.К.Т) 6 ?о, I е

е вцг), ¥ е ацх)}.

Сопоставим ДДС 2: пару р(£^)=(Е„,Б(г)), где,как и ранее,

а а Р ,

= : г = Ах+Ви, Сх = О, ие(/}, а Ер является графиком опера-

тора ЯвЕРс, Рс - ортопроектор, проектирующий X на К(С), - орто-проектор, проектирующий Z на Я(В).

Теорема 6.5. Пусть н(Хо,го) = (рГх,) : е Я(Хо,2о)}. Тогда отображение

р ■ нсх0,20; / т0-+*ао,го),

р _

о (£ ) —» Р(^), о (1) := {: V у е Г }

а а о а О

задает биективное соответствие между множествами Н(Хо,г ) / Г ;

Следствие 6.4. Отображение

-г

т : {*£„ : г е Г) —» {трСг^; : г е Г }

а а а

задает биективное соответствие между множеством орбит Н(Хо,го)/Г , действия группы Г на Н(Хо^о) и множеством орбит М(Хо^о) / Га,

действия группы Гд на ЩХ0%20)

Таким образом, задачи классификации множества дескрипторных систем относительно действия группы г, Г сводятся к задаче классификации множества пар линейных отношений.

Ряд обратных задач (03) математической физики имеет естественное толкование в рамках математической теории систем. В главе VII такое толкование используется для исследования 03 по определению внутренних и внешних (граничных) источников процессов переноса и 03 Штурма-Лиувилля (Ш.-Л).

03 по определению внутренних и граничных источников процессов переноса связываются с обратимостью и наблюдаемостью бесконечномерных.ДС (§§ 7.1-7.3). При этом появляется возможность качественного исследования 03.

Представленный в § 7.4 подход к решению 03 Ш.-Л. опирается . на теорию реализации линейных'ДС. В частности, предлагаемый нами вывод уравнения Гельфанда-Левитана основан на известном в теории реализации тождестве, объединяющем операторы управляемости и наблюдаемости ДС параболического типа с оператором Ганкеля. Показано, что операторы наблюдаемости и управляемости одномерных параболической и гиперболической ДС являются сплетающими для пар, образованных операторами Ш.-Л. и простейшими дифференциальными операторами 2-го и 1-го порядков. Отсюда следует системная интерпретация сплетающих операторов Ж.Дельсарта, Б.М.Левитана, В.А.Марченко, Б.Я.Левина.

Отметим, что представленные в § 7.4 результаты основываются на

известных работах М.Г.Крейна, А.С.Благовещенского, Л.П.Нижняка, М.Г.Белешева.'

В качестве примера применения метода обратных ДС рассмотрим задачу восстановления граничных потоков тепла при дифференциальном измерении температуры (§ 7.2).03 состоит в восстановлении теплового потока на поверхности х = s при измерении .разности температур T(s,t) - Т(0,Ъ). Соответствующая ДС а, описывающая прямую задачу, имеет вид

' Г =аТ +i(x,t),T(x,0)=T (х),

t XX О

TjQ,t)0,-\Tjs,t)=q(t), y(t)=T(s,t)-U0,t)-

С системной точки зрения данную 03 можно интерпретировать как 'задачу восстановления входа <?(•) ДС п по выходу у(•).

Для представления обратной системы п"1 в пространстве состояний переставим вход и выход прямой ДС п. В результате получим

Г =aT +f,T(x,0)=T (х),

t хх О

TJ О, t)0,T(s,t)-T(0-,t)=y(t), q(t;=-хТ (s,t).

(7.12)

(7.13)

(7.14)

Теперь,чтобы вычислить •) .необходимо определить функцию Грина краевой задачи Ионкина-Самарского (7.12)-(7.13). Так как производящий оператор А задачи (7.12), (7.13) не является самосопряженным и спектр А двукратный, то построение функции Грина связано с определенными трудностями.

Мы предлагаем другой подход, связанный с идеей приведения в пространстве состояний и позволяющий свести решение несамосопряженной задачи к последовательному рассмотрению двух самосопряженных систем. При этом доказывается, что функция Грина краевой задачи (7.12), (7.13) имеет вид

п

4x,5,t; = a'Cx.z.t) + 9~(х,е,Ь) + J n*(x,0,z) r(o,i,t-r)tix,

где

1 + 2

I

2knx 2кл£ cos —5— cos — exp

■2kn г •

; s at

*~(х,£,Ь) = | £

2кпх 2кп$ Г2кл] г

—— зал ехр *** а аЪ

ВЫВОДЫ

В диссертационной работе развит новый метод исследования структурных свойств линейных открытых динамических систем, основанный на применении линейных бинарных отношений.

Получены следующие результаты.

Декомпозиция,-инварианты и приводящие подпространства конечномерных линейных отношений выражены в явной форме в терминах обычных и определенных в работе нижних степеней линейных'отношений.

В терминах линейных отношений в явном виде описаны: 1) инварианты действия группы Морса на множестве линейных конечномерных динамических систем; 2) подпространства достижимых, управляемых, стабилизируемых,. ненаблюдаемых невосстанавливаемых, недетектируемых состояний;3) ранее известные и новые подпространства сильных состояний конечномерных линейных динамических систем.

Даны алгебраические в терминах управляемых инвариантных и условно инвариантных флагов и подпространств сильных состояний критерии разрешимости ряда задач компенсации возмущений линейных конечномерных динамических систем.

Развит метод обращения и представлены критерии обратимости широкого класса линейных бесконечномерных динамических систем и систем с запаздыванием.

Описана топологическая структура множеств орбит действий обобщенных групп Морса на множестве линейных бесконечномерных дескрип-торных динамических систем. Задача классификации линейных бесконечномерных дескрипторных динамических систем относительно действия пропорциональных групп сведена к задаче классификации пар линейных отношений.

Дано аналитическое в терминах полугрупп класса Со представление решений ряда обратных задач математической физики, связанных с определением источников процессов переноса. Функция Грина несамосопряженной краевой задачи Йонкика-Самарского выражена в явной форме через функции Грина классических самосопряженных краевых задач.

Работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Борухов В.Т. Критерии обратимости линейных стационарных многомерных систем // Автоматика и телемеханика. - 1978, N11. - С. 5-11.

2. Борухов В.Т. Динамическая модель идентификации источников в линейных процессах переноса // Сб. Тепло- и массоперенос: физические основы и методы. - Минск.: Изд-во ИТМО АН БССР. - 1979.

- С. 100-102.

3. Борухов В.Т. О кольце причинных трансляционно-инвариантных' операторов и некоторых его приложениях в теории динамических систем // Докладной БССР. - 1980. - Т. 24, N 10. - С. 877-879.

4. Борухов В.Т. Сращение линейных инвариантных во времени динамических систем с запаздыванием. - Автоматика и телемеханика. -1980, N 7,- С.16-23.

5. Борухов В.Т. Алгебраический критерий управляемости пучка линейных операторов // Дифференц. уравн. - 1980, N 5. - С. 888-893.

6. Борухов В.Т. Обратимость линейных динамических систем с распределенными параметрами // V Республ. конф. математиков Беларуси: Тез. докл. конф. - Гродно, 1980.- С.109.

7. Борухов В.Т. Обращение линейных инвариантных во времени динамических систем с распределенными параметрами. - Автоматика и телемеханика. - 1982, N 5. - С. 29-36.

8. Борухов В.Т.Восстановление граничных нестационарных потоков методом обратных динамических систем // Методы и средства машинной диагностики газотурбинных двигателей и их элементов: Тез. докл. конф. - Харьков. - 1983. - Т. 2. - С. 43-44.

9. Борухов В.Т. Восстановление потоков тепла при дифференциальном измерении температуры методом обратных динамических систем // ИФШ. - 1984. - Т. 47, N0 3. - С. 468-474.

10. Борухов В.Г.Системные свойства некоторых классов обратных задач теплопроводности // Сб. Тепломассообмен-УП. Матер. VII Всесоюзн. конф. по тепломассообмену,- Минск.: Изд-во ИТМО АН БССР,- 1984.

- Т. 7. - С. 85-88.

11. Борухов В.Г.Об одном применении обратных динамических систем.// -Сб. Энергоперенос в нелинейных, неоднородных и неравновесных средах. Минск.: Изд-во ИТМО АН БССР. - 1984. - С. 68-78.

12. Борухов В.Т. О классификации обратных задач математической физики в рамках абстрактной теории систем // Сб. Математические модели теории переноса в неоднородных и' нелинейных средах с фа-

зовыми превращениями. - Минек: Изд-во ИТМО АН БССР, 1986. - С. 46-61.

13. Борухоз В.Т. Линейные бинарные отношения и структурные свойства управляемых систем // Оптимальное управление. Геометрия и анализ: Тез. докл. Всесоюзн. школы. - Кемерово, 1986. - С. 58.

14. Борухоз В.Т., Борисевич I.E. Обратные задачи восстановления конечномерных источников и начальных условий в линейных процессах переноса // Сб.: Матем. исследов. модели, аналит.и числ. методы в теории переноса: Матер. Мекдунар. шк.-семинара. - Минск.:Изд-во ИТШ АН БССР, 1986. - С. 124-125.

15. Борухоз В.Т. Линейные отношения и структурные свойства управляемых систем I.Линейные отношения,- Препринт N 21 /ИТМО АН БССР.

- Минск, 1986. - 45 с.

16. Борухоз В.Т. Линейные отношения и структурные свойства конечномерных автономных линейных динамических систем // Докл.АН БССР.

- 1989. - Т. 33, N 1. - С. 13-16.

17. Борухов В.Т. Линейные отношения и структурные свойства управляемых систем II. Структурные свойства. - Препринт N 21 / ИТМО АН БССР. - Минск, 1989. - 52 с.

18. Борухоз В.Т., Борисевич Л.Е., Елистратов А.П. Управление температурным режимом на поверхности твердых тел // Becni АН БССР. Сер. энерг. навук. - 1989, N 1. - С. 32-36.

19. Борухоз В.Т. Пространства сильных состояний линейных управляемых систем // VI Всесоюзн.совещ.: Управление многосвязными системами. Суздаль, март 1990: Тез. докл. совещания. - М., 1990. -С. 101.

20. Борухов В.Т. Структурные свойства многосвязных линейных динамических систем // I Всесоюзн.н.-т. конф.¡Координирующее управлен. в технических и природных системах: Тез. докл. в 2 частях.Часть I..- Харьков, 1991. -С. 10-11.

21. Борухов В.Т. Управляемые инвариантные флаги в теории линейных динамических систем // Докл.АН Беларуси. - 1992. - Т. 36, N 5.

- С. 403-406.

22. Борухов В.Т. Управляемые инвариантные и условно-инвариантные флаги в теории линейных динамических систем // Конф.математиков Беларуси .(29 сентября - 2 октября 1992 г.): Тез.докл.конф.Часть 4. - Гродно, 1992. - С. 116.

23. Борухов В.Г.Обратная спектральная задача Штурма-Лиувилля в теории реализации линейных динамических систем//Автоматика и теле-

механика. - 1994. - N 4. - С. 13-22.

24. Борухов В. Т. Грассманово многообразие динамических систем // Вторые Республ.научн.чтения по обыкновенным дифференц.уравнен, посвященные 75-летию Ю.С.Богданова (5-7 декабря 1995 г.): Тез. докл. конф. Минск, 1995. - С. 16.

25. Борухов В.Т. Грассманово многообразие дескрипторных систем.Тез. докл // Автоматический контроль и управление производственными процессами: Тез. докл. конф. - Минск, 1995. - С. 55.

26. Борухов В.Г.Неразложимые линейные вырожденные динамические системы // Еругинские чтения-П.: Тез. докл. конф. - Гродно, 1995.

- С. 14. "

27. Борухов В.Т.Статическая компенсация внешних возмущений в линейных автономных сосредоточенных системах // Докл. АН Беларуси. -1995. - Т. 39, N 4. - С. 17-19.

28. Борухов В.Т. "Условно инвариантные и инвариантные управляемые флаги линеш&х открытых динамических систем и некоторые их применения // Дифференц. уравнения. - 1995. - Т. 31, N 3. - С.407-416.

29. Борухов В.Т. Управляемые инвариантные флаги в пространстве состояний линейных автономных конечномерных динамических систем // Дифференц. уравн. - 1995. - Т. 31, N 1. С. 8-15.

30. Борухов В.Т. Грассманово многообразие линейных бесконечномерных управляемых динамических систем // Доклады АН Беларуси.- 1996.

- Т. 40, N2.-0. 23-25.

РЕЗЮМЕ

БОРУХОВ Валентин Терентьевич

СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОТКРЫТЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

МЕТОД БИНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Ключевые слова. Открытые линейные динамические системы,структурные свойства, линейные отношения, управляемость, наблюдаемость, обратимость, обратные задачи, компенсация внешних возмущений.

Объекты исследования. Структурные свойства открытых линейных динамических систем.

Цель работы. Развитие и применение математического аппарата бинарных линейных отношений для описания и исследования структурных свойств линейных динамических систем. Описание новых структурных свойств динамических систем и их применение для исследования задач компенсации внешних возмущений конечномерных линейных динамических систем.Доказательство условий обратимости линейных бесконечномерных динамических систем и их применение в обратных задачах математической физики по определению источников процессов переноса.

Методы исследования. В работе применяются методы линейных бинарных отнощений,функционального анализа и теории дифференцируемых многообразий.

Полученные результаты и их новизна. Развит новый подход для описания структурных свойств линейных конечномерных динамических систем, основанный на теории бинарных линейных отношениях. Определены новые структурные характеристики линейных динамических систем: обобщенные пространства сильных состояний,инвариантные управляемые и условно инвариантные флаги.

Впервые получено описание орбит действия обобщенных групп Морса на множестве бесконечномерных линейных дескрипторных систем.

Для бесконечномерных линейных динамических систем и систем с запаздыванием впервые получены явные условия обратимости и предло-нен алгоритм обращения динамических систем.

Степень использования. Некоторые результаты нашли применение при математическом моделировании систем автоматического управления процессами тепло- и массообмена.

Область применения. Методы и результаты диссертации могут быть использованы при изучении линейных динамических и дескриптср-ных систем, в теории автоматического управления и теории обратных задач математической физики.

РЭЗЮМЭ

БОРУХАУ Валянцгн Цярэ.чцьезгч

СТРУКТУРНЫЯ УЛАСЦ1ВАСЩ Л ШЕЙНЫХ АДКРЫТЫХ ДННАШЧНЫХ С1СТЭМ.

МЕТАД Б1НАРНЫХ Л1НЕЙНЫХ АДН0С1Н

Ключавые словы. Адкрытыя лз.нейкыя дынам1чныя с1стзмы, структурный уласц1васщ, л!нейкыя анос1кы, к!руемасць, назхральнасць, абарачальнасць, адваротныя задачи, кампексацыя вонкавых узбурэн-няу.

Абъекты даследавання. Структурный уласцавасц! адткрытых линейных дынам1чных с1стэм.

Мэта работы. Разв1ццё г прымяненне матзматычнага апарата 61-нарных лшейных однос1н для атсання 1 даследавання структурных улаойвасцяу лшейных дынам1чных с1стэм. Ап1санне новых структурных уласщвасцяу дыншачных с1стзм 1 IX прымяненне для даследавання задач кампенсацьа вонкавых узбурэнняу канечнамерных л1нейкых дынам1чных сз.стэм. Доказ умоу абарачальнасц1 л1нейных бясконцамер-ных дынам1чных с1стэм 1 1х прымяненне у адваротных задачах матэма-тычнай ф1з1к1 для вызначэння крынхц працзсау пераносу.

Метады даследавання. У рабоце прымяняюцца метады лд.нейных б1нарных аднос1н, а' таксама функцыянальны анал1з 1 тэорыя дыферэнцавальных мнагастайнасцяу.

Атрыманыя вынж! 1 1х нав1зна. Разв1ты ковы падыход для аш-сання структурных уласщвасцяу Л1нейных канечнамерных дынам1чных с1стэм, заснаваны на тэорьп б1нарных лшейных аднос1н.Зыяулены ко-

выя структурный характарыстьш Л1нейных дынам1чных с1стэм: абагуль-неныя прасторы модных станау, шваркянтныя мруемыя i умоуна iH3a-рыянтныя сцягх.

Упершыню атрымана апасанне ap6iT дзеяння абагульнекых груп Морса на мностве бясконцамерных лшейных дэскрыптарных с1стэм.

Для бясконцамерных л1нейных дынам1чных с1стэм i cîctsm са спазкеннем упершыню атрыманы яуныя уиовы абарачальнасщ i дадзены алгарытм абарачэння дыкаьичных с1стэы.

Ступень карыстання. Некаторыя рэзультаты знайшл1 прымякенне пры матэиатычным мадэляваши схстэм аутаматычнага к1равання працэс-ам! цепла- i масаабмену.

Гал1ны прымяненя. Метады i рэзультаты дысертацьи могуць быць выкарыстаны пры даследавашп л1нейных дынам!чных i дэскрыптарных с1стэм, у тэоры1 аутаматычнага иравання, у тзоры! адвароткых задач матэматычнай ф1зш1.

SUMMARY

BORUKHOV Valentin Terentjevich

Structural properties for the open dynamical systems. Method of the binary linear relations.

Key words: Open linear dynamical systems.structural properties, linear relations, controllability, observability, inverse problems, disturbance rejection.

Objects of research. Structural properties for the open dynamical systems.

Д purpose of work: the development and application of the theory of linear relations for the description and research of the structural properties for the linear dynamical systems; the description of new structural properties of dynamical systems and its applications for the research of disturbance rejection problems for the finite dimensional dynamical systems; the proof of invertibility conditions for linear infinite dimensional dynamical systems and its application to inverse problems for recovery transfer source.

Methods of research. The methods of the theory linear binary

relations, functional analysis, theory differential manifolds are employed.

The obtained results and its novelty. New approach for the description of structural properties of linear finite dimensional dynamical systems is developed. This approach is based on the theory of the binary linear relations. Some new' structural properties for the linear dynamical systems are defined. Among them are the following: generalized subspaces of the strong states, conditionally invariant and invariant controllable flags.

Description of the orbits by the action of generalized Morse's groups on the set of infinite dimensional ' linear description systems is obtained.

The explicit conditions of invertibility and the algorithm of the inversion for the infinite dimensional linear dynamical systems and systems with delay are obtained.

The use. Some results are applied for mathematical simulated in heat and mass transfer control processes.

Fields of application. The methods and results of the thesis could be applied in the investigation of linear dynamical and description systems, in the theory of automatical control and theory of inverse problems for the mathematical physics.