Анализ временных рядов с периодическими вероятностными характеристиками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АНАЛИЗ БИНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

§ I.I. Математическая модель бинарной случайной последовательности с периодическими вероятностными характеристиками

§ 1.2. Оценивание элементов опорной последовательности при известном периоде Т.

§ 1.3. Оценивание периода и элементов опорной последовательности методом максимального правдоподобия

§ 1.4. Эффективность оценивания параметров последовательности методом максимального правдоподобия

§ 1.5. Оценивание периода корреляционно-экстремальным методом.

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ S -ЗНАЧНЫХ ( S* 2) СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ

ХАРАКТЕРИСТИКАМИ.

§ 2.1. Математическая модель S -значной случайной последовательности с периодическими вероятностными характеристиками

§ 2.2. Оценивание вероятностей при известном периоде Т

§ 2.3. Оценивание периода последовательности методом максимального правдоподобия.

§ 2.4. Отношение функций .правдоподобия для кратных значений 'С

§ 2.5. Математическое ожидание и дисперсия логарифма функции правдоподобия. Эффективность оценивания периода Т

ГЛАВА 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ УРАВНЕНИЯМИ АВТОРЕГРЕССИИ

§ 3.1. Введение и постановка задачи

§ 3.2. Представление ВРПЕХ уравнениями авторегрессии 2-го порядка

§ 3.3. Представление ВРПВХ уравнениями авторегрессии п.-ого (л9-2) порядка.

§ 3.4. Представление ВРПВХ уравнениями авторегрессии с полигармоническими помехами

При обработке временных рядов часто выясняется, что в наблюдаемых реализациях проявляются более или менее регулярные колебания, носящие периодический характер. В этом случае предполагают, что наблюдения порождают статистический эксперимент где (*, и) - выборочное пространство со значениями в Pq - семейство распределений случайных величин, зависящих от параметра 6*(Ъ cof) сст) ^.^m). Т- целое положительное число, f±j<9n. и наблюдаемые временные ряды являются суммой периодического тренда и случайной помехи, т.е.

I) где - детерминированная периодическая функция с периодом Т , Ц. - случайная последовательность, подчиняющаяся некоторому закону распределения с параметрами . В литературе наблюдаемые реализации, получаемые при помощи модели (I), называются временными рядами с циклическим трендом, временными рядами со скрытой (статистической) периодичностью, квазипериодическими временными рядами, либо временными рядами с периодическими вероятностными характеристиками. Остановимся на названии "временные ряды с периодическими вероятностными характеристиками" (ВРПВХ).

Основная задача статистического анализа таких рядов состоит в том, чтобы по конечному числу наблюдений определить параметры функции oct , в том числе ее период Т , и параметры распределения случайной последовательности .

Объектом исследования настоящей работы является: А) Ряд задач анализа ВРПВХ, рассматриваемых в поле Галуа GFfe) . В этом случае Yt порождается моделью вида: где Х{ - периодическая бинарная последовательность, называемая в дальнейшем опорной, с некоторым периодом Т , то есть Т>1 , ; 2% - независимые случайные величины

Бернулли, % */<?,//,

Б) Ряд задач анализа ВРПЕХ со значениями из конечного множества /#,12,., S-/J мощности SzZ . В этом случае Y* порождается моделью вида

У(Xi+lhjnwds, (3) где - периодическая последовательность со значениями из множества и с периодом 7*, т.е. «2V = JH^.

2k - независимые случайные величины с полиномиальным распределением: s.f

O^p^I, o*K*s-it Т.рк-1.

В) Задача определения условий, при выполнении которых решением уравнения авторегрессии к

Yt ■ Ze*

4) с постоянными коэффициентами является ВРПВХ с ограниченной при дисперсией.

Решение этих задач, а также их численный анализ на ЭВМ составляют основное содержание диссертационной работы. Отметим, что задачи статистического анализа ВРПВХ из поля Галуа GFfe) и задачи анализа ВРПВХ со значениями из конечного множества :: мощности S>/2 в литературе до настоящего времени не рассматривались.

Цель работы заключается в следующем:

1. Оценить параметры бинарных ВРПВХ при неизвестной заранее длине периода, исследовать точность получаемых оценок.

2. Оценить параметры ВРПВХ со значениями из конечного мно

- б жества . : мощности SzZ при неизвестной заранее длине периода, исследовать точность получаемых оценок.

3. Определить условия, при выполнении которых решением уравнения авторегрессии с постоянными коэффициентами, рассматриваемого над полем действительных чисел, является ВРПВХ с ограниченной при дисперсией.

Актуальность темы. Анализ временных рядов с периодическими вероятностными характеристиками представляет интерес как для исследования периодических процессов в периоде, так и в связи с многочисленными приложениями в технике. При исследовании временных рядов типа (I), рассматриваемых в поле действительных чисел, как правило [1,27,50,51,55] пользуются тем, что периодическая составляющая xt может быть разложена в сумму конечного числа гармонических слагаемых. Это дает возможность построить различные критерии для проверки гипотез о значениях параметров функции zt [1,36,43,45,53,54], или использовать различного рода преобразования исходного процесса Уь [271 позволяющие усилить в преобразованном процессе роль периодической компоненты. Задачи анализа ВРПВХ исследовались также в [34].

Особенностью рассматриваемых в настоящей работе задач статистического анализа временных рядов является то, что наблюдаемая последовательность Y* принимает значения из конечного множества ' S-f} и получается сложением по модулю S ненаблюдаемой периодической компоненты с последовательностью независимых случайных величин, распределенных по полиномиальному закону. При S =2 в поле Галуа GF(z) бинарная компонента я** суммируется по модулю 2 с последовательностью независимых случайных величин Бернулли. Периодические бинарные последовательности в последнее время находят широкое применение для решения ряда практических задач. Структурные особенности некоторых типов таких последовательностей, например И -последовательностей, используются при создании двоичных циклических кодов, исправляющих ошибки[3,10,16,18,23,31] , специфические корреляционные свойства их позволяют создать испытательные сигналы, применяемые для идентификации объектов [35,39,40] и т.д. Задача разложения периодических последовательностей со значениями из конечного поля с заданным периодом по гармоническим составляющим, то есть задача получения аналога разложения в ряд Фурье непрерывных периодических функций, является нерешенной [8] , в связи с чем методы, разработанные для выявления статистических периодичностей во временных рядах, рассматриваемых над полем действительных чисел, не применимы в задачах статистического анализа временных рядов вида (2) и (3). Отметим, что некоторые вопросы анализа бинарных временных рядов рассматривались в [37,41,42,46-49,58,59]

Удобной моделью описания временных рядов являются линейные стохастические разностные уравнения или, как они иначе называются, уравнения авторегрессии. Временные ряды с периодическими вероятностными характеристиками вида (I) могут описываться авторегрессиями с периодическими по £ коэффициентами [15,52,56,57]в данной работе исследуется задача определения класса авторегрессий с постоянными коэффициентами, решением которых является ВРПВХ с ограниченной при t 00 дисперсией. Эта задача является актуальной в связи с тем, что в различных областях метеорологии, гидрологии и т.д. временные ряды с периодическими математическими ожиданиями описывают уравнениями авторегрессии с постоянными коэффициентами [2,24) Решение задачи исследует возможность такого описания.

Научная новизна основных результатов диссертации состоит в следующем:

1. Проведен анализ бинарных ВРПВХ, получены оценки параметров этих рядов, исследована точность полученных оценок.

2. Проведен анализ ВРПВХ со значениями из конечного множества . мощности S* 3, получены оценки параметров этих рядов, исследована точность оценок.

3. Найдены необходимые и достаточные условия того, что решением авторегрессии над полем действительных чисел с постоянными коэффициентами является ВРПВХ с ограниченной при -i-*oo дисперсией.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы в задачах прикладного характера, приводящим к временным рядам с периодическими вероятностными характеристиками. По результатам исследований, проведенных в диссертации, разработан комплекс стандартных ФОРТРАН-программ (для ЕС ЭВМ) по анализу бинарных ВРПВХ. Комплекс принят Республиканским фондом алгоритмов и программ БССР при Институте математики АН БССР.

Структура, объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего бб наименований ; содержит 128 страниц, включая 7 рисунков и 17 таблиц.

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов.- М.: Мир, 1976. - 755 с.

2. Багров Н.А. О колебаниях уровня бессточных озер.- Метеорология и гидрология, 1963, № 6, с.41-46.

3. Бзрлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования.- М.: Мир, 1971. 477с.

4. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра.- М.: Мир, 1976. 400 с.

5. Болыпев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.- М.: Наука, 1983. 416 с.

6. Боровков А.А. Курс теории вероятностей.- М.: Наука, 1972.287 с.

7. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей.- М.: Наука, 1967. 375 с.

8. Гилл А. Линейные последовательные машины. Анализ, синтез и применения. М.: Наука, 1974. - 287 с.

9. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Мир, 1973. - 228 с.

10. Доценко В.И., Фараджаев Р.Г. Анализ и свойства последовательностей максимальной длины.- Автоматика и телемеханика, 1969, № II, с. II9-I27.

11. Дуб Дж. Вероятностные процессы.- М.: Изд. иностр.лит., 1956.605 с.

12. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования.- М.: Наука, 1976.- 320 с.

13. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины.- М.: Наука, 1965.- 524 с.

14. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания.- М.: Наука, 1979. 528 с.

15. Капустинскас А.И. Оценивание параметров периодически нестационарного процесса авторегрессии. Труды АН Литовской ССР, 1977, серия Б, т.4 (101), с. II5-I2I.

16. Касами Т., Токура Н., Ивадари Е., Инагани Я. Теория кодирования.- М.: Мир, 1978. 594 с.

17. Кендалл М., Стьарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды.- М.: Наука, 1976,- 736 с.

18. Кнут Д.Э. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2. Получисленные алгоритмы.- М.: Мир, 1977.- 724 с.

19. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.- М.: Наука, 1984. 831 с.

20. Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Мир, 1975.648 с.

21. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.2.- М.: Высш.школа, 1970. 420 с.

22. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки.- М.: Связь, 1979.- 744 с.

23. Питерсон У. Коды, исправляющие ошибки. 2-е изд.- М.: Мир, 1976.- 594 с.

24. Привальский В.В. Оптимальная линейная экстраполяция колебаний уровня замкнутых водоемов.- Водные ресурсы, 1973, № 5,с.17-28.

25. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения.-М.:- Наука, 1968. 547 с.

26. Себер Дж.А.Ф. Линейный регрессионный анализ.- М.: Мир,1980.-456 с.

27. Серебренников М.Г., Первозванский А. А. Выявление скрытых периодичностей.- М.: Наука, 1965,- 244 с.

28. Справочник по теории вероятностей и математической статистике.- Киев: Наук.думка, 1978.- 582 с.

29. Хаджи П.И. Функция вероятности. (Интегралы, ряды и некоторые обобщения). Кишинев, 1971,- 398 с.

30. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями.- М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1956, 664 с.

31. Цирлер Н. Линейные возвратные последовательности.- Кибернетический сборник, If0 6, 1963, с.55-79.

32. Цифровые методы в космической связи. Под ред. С.Голомба.— М.: Связь, 1969.- 271 с.

33. EE j '965; v. //5- />. /259w ?/а.е£} WO

34. ЯМ., А/. 4. Я^ъ-бс&ъ*. г/ TZUfat г/йги j&uei ksc-nZA & tesict г&сё. ~~ JASAj9?9J re>£ л/ЗЗе, />аг.-б1, />. 42?-431Gufesn<ядсс ^b/rtzoS 4/Sj />, SS/-SS2- 126

35. P&fcz/io At. yozzt&afe? czstat а-г^ог^шрес-Рга : IrJ. R. doc^ /&€2J 82Ц />. 2/S

36. Меленец Ю.В. Об описании квазипериодических процессов уравнениями авторегрессии второго порядка.- В сб.: Оптимизация динамических систем, Минск, 1980, с.123.

37. Меленец Ю.В. Об описании квазипериодических процессов уравнениями авторегрессии ft -ого порядка.- В сб.: У Республиканская конференция математиков Белоруссии. Тезисы докладов. 29-30 окт. 1980, ч.2. Гродно, 1980, с.144-145.- 128

38. Меленец Ю.В. Об описании колебаний уровня замкнутых водоемов уравнениями авторегрессии.- В сб.: Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов, М., 1982, с. 105-107.

39. Меленец Ю.В. Представление квазипериодических случайных процессов уравнениями авторегрессии.- Минск, 1982.- 26 с.-рукопись представлена редкол. журн. Вестник Бел.гос.ун-та , сер. I, физ., мат., мех. Деп. в ВИНИТИ 25.11.82, № 5833-82.

40. Меленец Ю.В. Бинарные случайные последовательности со статистической периодичностью.- Минск, 1984, 52 е.- Рукопись представлена редкол. журн.: Вестник Бел.гос.ун-та, сер.1, физ., мат., мех. Деп. в БелНИИНТИ. 06, 03.84, Г 231

41. Меленец Ю.В. Анализ бинарных случайных последовательностей со статистической периодичностью.- В сб.: ИХП Всесоюзная конференция по адаптивным системам. Тезисы докладов. 18-26 января 1984 года.- Могилев, 1984, 67 с.