Динамика линейных и нелинейных модельных систем с дискретным временем под действием бинарных последовательностей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

КУПЦОВ Павел Владимирович

ДИНАМИКА ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов, 1998.

Работа выполнена на кафедре радиофизики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского и в Саратовском филиале института радиотехники и электроники Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Кузнецов С. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Безручко Б. П.

кандидат физико-математических наук, Вешнева И. В.

Ведущая организация: Институт прикладной математики и

кибернетики при Нижегородском государственном университете

Защита состоится 28 мая 1998 г. в 17 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.063.74.01 в Саратовском государственном университете (410026, г. Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан « А $Г)1\МХ<$ 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент Аникин В. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одна из общих задач нелинейной динамики состоит в исследовании поведения различных систем, находящихся под внешним воздействием (периодическим, квазипериодическим, случайным). Достаточно хорошо изучены такие классические феномены как нелинейный резонанс, параметрическая неустойчивость, синхронизация автоколебательной системы внешним периодическим сигналом и т. д.1 В последнее время обнаружен и широко исследуется целый ряд новых эффектов, таких как рождение странного нехаотического аттрактора2, стохастический резонанс3, Оп-(Жперемежаемость4 и т. д.

В нелинейной динамике при изучении сложного поведения часто используют модельные системы с дискретными временем — рекуррентные отображения. Это позволяет значительно уменьшить объем вычислений при анализе динамики с помощью компьютера, а также дает возможность во многих случаях глубже продвинуться в понимании феноменов, исследование которых при помощи аппарата дифференциальных уравнений затруднено.

Задача о динамике под внешним воздействием, поставленная для одномерных систем с дискретным временем, должна быть сформулирована, очевидно, как задача о воздействии сигнала, заданного в виде числовой последовательности. В общем случае такая задача остается достаточно сложной. Один из возможных вариантов ее упрощения состоит в том, чтобы ограничиться рассмотрением сигналов в виде бинарных последовательностей, т. е. последовательностей, построенных из двух символов (О и 1).

Обращение к бинарным последовательностям можно мотивировать тем, что это простейший класс числовых последовательностей, а также тем, что двоичное представление сигналов широко используется в вычислительной технике, в цифровых устройствах, в разнообразных теоретических исследованиях (теория информация и пр.). Бинарные последовательности естественным образом возникают также при исследовании динамических систем в рамках символической динамики: если используется кодирование с помощью двух символов, то система выступает как генератор

1 Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн, М.:Наука, 1984.

2 Grebogi С., Ott Е., Pelican S., Yorke J. A Strange attractors that are not chaotic // Physica D, 1984, Vol. 13, P. 261-268.

3 Moss F., Pierson D., O'Gorman D. Stochastic resonance: Tutorial and update H Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 1994, Vol. 4, No. 6, P. 1383-1397.

4 PlattN., Spiegel E.A., TresserC. On-Off mtermittency: a mechanism for bursting // Phys. Rev. Lett., 1993, Vol. 70, No. 3, P. 279-282.

бинарной последовательности. Кроме того, при рассмотрении бинарных последовательностей открывается возможность привлечения методов теоретического анализа, которые в более общем случае неприменимы или громоздки.

-Предметом интереса в диссертации являются следующие бинарные

последовательности: бинарный шум, т. е. случайная последовательности нулей и единиц, полученных из независимых испытаний, а также бинарные самоподобные последовательности, которые задаются правилами подстановки, ставящими в соответствие нулю и единице определенные блоки из нулей и единиц (как например теоретико-числовая последовательность Морса-Туэ, последовательность знаков динамической переменной логистического отображения в точке перехода к хаосу, последовательность, описывающая динамику популяции кроликов Фибоначчи).

Цель диссертационной работы состоит в теоретическом исследовании различных динамических эффектов, возникающих при воздействии бинарных последовательностей на линейные и нелинейные модели с дискретным временем, а также в развитии новых подходов к описанию и классификации бинарных последовательностей.

Научная новизна работы.

1) Впервые в общей постановке рассмотрена задача о воздействии бинарных самоподобных последовательностей на динамику модельных систем.

2) Введен в рассмотрение характеристический показатель Л самоподобной бинарной последовательности, который по смыслу аналогичен классическому показателю Ляпунова: положительный характеристический показатель определяет наличие чувствительной зависимости количества нулей и единиц в последовательности от выбора начальных условий при ее построении.

3) Впервые введена классификация бинарных самоподобных последовательностей, в рамках которой они подразделены на три класса. Обоснованием классификации служит то, что при одномерном блуждании частицы в вязкой среде под действием толчков, заданных такой последовательностью, реализуются три качественно различных варианта динамики, которым отвечают разные по знаку характеристические показатели Л: блуждание в ограниченном интервале (класс I, Л < 0), фрактальная траектория (класс И, Л = 0), неограниченное блуждание (класс III, Л > 0).

4) Показано, что при воздействии бинарного шума на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки, в зависимости от значений управляющих параметров можно наблюдать четыре основных режима: (а) динамика системы приводит к формированию аттрактора в виде

канторова множества, (б) ШК-резонансы (ШК — Ирвин, Фрейзер, Капрал)5, (в) Оп-(Ж перемежаемость и (г) формирование точечного аттрактора. Следовательно, эти типы динамики, обнаруженные и исследовавшиеся ранее независимо друг от друга, теперь можно интерпретировать как фрагменты некоторой единой картины.

5) Впервые метод ренорм-группового анализа применен к задаче о воздействии бинарных самоподобных последовательностей на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки. Обнаружено, что в зависимости от того, к какому из трех классов принадлежит последовательность, в системе, при изменении управляющих параметров, реализуются качественно различные варианты бифуркационного перехода.

6) Установлено, что если на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки, воздействует самоподобная бинарная последовательность класса III (имеющая положительный характеристический показатель), то в динамике системы при изменении управляющих параметров реализуется переход к Оп-(Ж перемежаемости, которая рассматривалась ранее как эффект, характерный для систем с шумовым воздействием. При помощи метода ренорм-группового анализа показано, что в точке перехода к Оп-<Ж перемежаемости динамика системы не характеризуется свойством скейлинга.

Теоретическая и практическая значимость работы.

1) Результаты анализа перехода к канторову аттрактору через Оп-<Ж перемежаемость и №К-резонансы в системе с бифуркацией вилки, находящейся под воздействием бинарного шума, позволяют рекомендовать постановку физических экспериментов, направленных на реализацию этого сценария, с целью его дальнейшего исследования.

2) Установлено, что эффект Оп-(Ж перемежаемости, имеющий место при воздействии бинарного шума на нелинейную систему с бифуркацией вилки, сохраняется при замене бинарного шума на бинарную самоподобную последовательность, если она относится к одному из трех введенных классов. Это открывает возможность для дальнейшего изучения данного режима. В частности, в диссертации развит ренорм-групповой анализ бифуркационного перехода к Оп-(Ж перемежаемости и показано, что этот переход не характеризуется свойством скейлинга.

3) Обнаруженные в работе закономерности поведения динамических систем, находящихся под воздействием бинарного шума и бинарных самоподобных последовательностей, могут служить отправной точкой для анализа воздействия сигналов более сложной природы на динамику раз-

5 irwin A. J., Fraser S.}., Kapral R. Stochastically induced coherence in bistable systems II Phys. Rev. Lett., 1990, Vol. 64, No. 20, P. 2343-2346.

личных нелинейных систем, в том числе для систематизации и классификации наблюдаемых эффектов.

Публикации и доклады. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции по нелинейной динамике 1СМ)-96 (Саратов, Россия, I ууь г.;, 1га~междунзроянем-научном-семинаре «Хаос,, порядок и шум в физике и динамике» (Берлин, Германия, 1996 г.), на международной конференции «Нерешенные проблемы шума» 1ГРоМ-96 (Сегед, Венгрия, 1996 г., участие автора поддержано грантом РФФИ №9602-27298), на региональной научной конференции «Молодежь и наука на пороге XXI века» (Саратов, Россия, 1998 г.), на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ и в Саратовском филиале ИРЭ РАН. По теме диссертации имеются публикации [1]-[6]. В работах, которые выполнены в соавторстве, личный вклад П. В. Купцова в основном состоит в проведении аналитических и численных расчетов и, частично, в постановке решаемых задач.

Часть результатов диссертационной работы получена в рамках НИР, выполняемых в СФ ИРЭ РАН, в том числе госбюджетной НИР «Яуза-2», проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований №95-02-05818, №96-02-00717 и №97-02-16414.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения и содержит 173 страницы. Имеется 58 рисунков и 2 таблицы. Слисок литературы состоит из 73 названий.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ И ОСНОВНЫЕ

ВЫВОДЫ

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор литературы по данной тематике, формулируется цель работы.

В первой_главе формулируется в общем виде основная задача диссертации, заключающаяся в исследовании воздействия бинарных последовательностей на модельные системы с дискретным временем. Простейшим примером может служить задача об итерациях в обратном времени логистического отображения:

Здесь ¡л — параметр отображения, а — последовательность единиц и минус единиц (так как обращение логистического отображения содержит

неоднозначность, то требуется дополнительная информация о знаках х„, которая может быть закодирована в виде бинарной последовательности ). Более общая постановка задачи состоит в том, чтобы рассмотреть отображение вида жп+1 = /(*„,£„)> гДе переменная задает воздействие на систему: на каждом шаге времени она принимает значения а или Ъ, причем выбор одного из двух значений происходит по закону определенной бинарной последовательности. Величины аиЬ можно интерпретировать как управляющие параметры задачи.

Также в первой главе обсуждаются классы рассматриваемых в диссертации бинарных последовательностей: бинарный шум, т. е. случайная последовательность нулей и единиц, которые выбираются независимо друг от друга посредством случайных испытаний (скажем, бросанием монеты), и бинарные самоподобные последовательности, которые не являются ни случайными, ни периодическими, занимая промежуточное положение между порядком и хаосом.

Бинарная самоподобная последовательность задается правилом, которое сопоставляет каждому го символов ноль и единица определенные блоки из нулей и единиц. Для построения последовательности используется итерационная процедура, один шаг которой состоит в том, что все стволы имеющегося фрагмента заменяются на соответствующие блоки6. Например правило

0н>0100, 1-И011 (1)

приводит к последовательности 010010110100...

Известными примерами бинарных самоподобных последовательностей являются следующие7.

1) Логистическая сигнум последовательность, которая генерируется, если, стартуя от значения динамической переменной х0 = 0, итерировать логистическое отображение в точке накопления бифуркаций удвоения периода и выписывать 0 при хп < 0 и I при х„ > 0. Ей соответствует правило подстановки:

1 10, 0 11. (2)

2) «Последовательность кроликов», возникающая в связи с известной задачей Фибоначчи (пара молодых кроликов, обозначаемая символом 0, через год становится взрослой, ствол 1, и производит на свет еще одну

6 Из рассмотрения исключаются правила, которые нулю сопоставляют блок, начинающийся с единицы, а единице — блок, начинающийся с нуля, так как при использовании таких правил начальный участок последовательности не стабилизируется, а меняется на каждом шаге процедуры построения.

7 Schroeder M. Fractal, Chaos, Power Lows, New York:Freeman & C°, 1991.

пару молодых кроликов; взрослые пары живут вечно и дают потомство каждый год). Правило подстановки:

О-И, 1->10. (3)

3) Теоретико-числовая последовательность Морса-Туэ, элементы

которой суть суммы гкгмидулю 2 -цифр-двоичного-представдеция^ыату^_

ральных чисел. Правило подстановки:

0-*01, 1-ИО. (4)

Бинарные последовательности различного типа могут быть геометрически представлены конфигурациями на решетке Бете (бинарном дереве). Эти конфигурации состоят из маршрутов, которые порождаются на решетке различными словами заданной длины, встречающимися в бинарной последовательности. Бинарному шуму, вне зависимости от выбора длины слов, отвечают полные конфигурации, в которых присутствуют все возможные маршруты. Напротив, в конфигурациях, отвечающих периодическим бинарным последовательностям, число маршрутов фиксировано и равно периоду. Для самоподобных бинарных последовательностей в первой главе построены соответствующие конфигурации, которые показывают, что эти последовательности занимают промежуточное положение: конфигурации неполные, однако количество представленных в них маршрутов растет с увеличением длины слов.

Далее в первой главе обсуждается вопрос генерации бинарных последовательностей нелинейными отображениями8 на примере отображения двоичного сдвига или сдвига Бернулли (это отображение генерирует бинарный шум) и логистического отображения (оно может генерировать в зависимости от значения управляющего параметра хаотические или периодические бинарные последовательности, а в точке перехода к хаосу порождает самоподобную логистическую сигнум последовательность)9.

Вторая глава посвящена обсуждению воздействия бинарного шума на линейную систему с дискретным временем. Это частный случай классической задачи о динамике линейной системы при наличии шума. Однако, в случае бинарного шума помимо «классических» феноменов (нормализация плотности распределения выходного сигнала и др.) в динамике линейной системы возникают некоторые интересные особенности, обусловленные спецификой воздействующего сигнала. Обращение к зада-

о

Если разбить фазовое пространство отображения на две области, то бинарную последовательность можно получить, записывая на каждой итерации номер области, в которую попадает изображающая точка.

9 Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение, М.: Мир, 1988.

Beck С., Schlögl F. Thermodynamics of chaoic systems, Cambridge University Press, 1993.

че о воздействии бинарного шума на линейную систему обусловлено также желанием сопоставить наблюдаемую динамику с ситуацией, реализующейся при воздействии на линейную систему бинарных самоподобных последовательностей (третья глава).

Классическая модель одномерного случайного блуждания описывается линейным отображением

[-1, = О •*п+1 = хп > + ^ £.п0|5е _ ^ > (5)

где <^,"а5е обозначает бинарный шум. Во второй главе приводятся основные сведения из теории свободного случайного блуждания: вероятностное распределение координаты частицы нормализуется в силу центральной предельной теоремы при достаточно большом времени наблюдения10; траектории частицы обладают свойством самоподобия в статистическом смысле — если определенным образом изменить масштаб времени и координаты, то множество траекторий, полученное в результате, будет статистически эквивалентно исходному множеству11.

Модель одномерного случайного блуждания в потенциальной яме может быть задана отображением

хпи=ах„+{\-а)СГ\ (6)

где параметр а (О < а < 1) характеризует соотношение между коэффициентом возвращающей силы и параметром затухания.

Аттрактор системы (6), т. е. множество точек на координатной оси, которые посещаются системой в установившемся режиме блуждания, в зависимости от величины параметра а может быть двух видов. При а < 1/2 аттрактор является фрактальным множеством Кантора с размерностью, зависящей от а (рис. 1), а при а > 1/2 аттрактор заполняет собой единичный отрезок и реализуется особый вид вероятностного распределения, содержащего набор пиков и впадин, которые образуют самоподобную структуру (рис. 2). В диссертации этот режим обозначается как 1БК-резонансы, по фамилиям авторов статей12, где он исследуется.

10 Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркии Л. С., Введение в статистическую радиофизику и оптику, М.: Наука, 1981.

11 Федер Е. Фракталы, М.: Мир, 1991.

îrwin Л. J., Fraser S. J., Kapral R. Stochastically induced coherence in bistable systems // Phys. Rev. Lett., 1990, Vol. 64, No. 20, P. 2343-2346.

Fraser S. J., Kapral R. Periodic dichotomous-noise-induced transitions and stochastic coherence//Phys. Rev. A, 1992, Vol. 45, No. 6, P. 3412-3424.

Рис. 1. Зависимость от времени динамиче- Рис. 2. Полученное численно вероятностное ской переменной системы (6) при а = 1/3. распределение р'(х), порождаемое системой (6) при а = (л/5 -1)/2.

Когда параметр а приближается к единице, происходит нормализация вероятностного распределения. Этот процесс исследуются при помощи кумулянтного анализа.

Помимо случая аддитивного включения шума, как это реализовано в системе (6), во второй главе рассматривается также мультипликативное воздействие бинарного шума на линейную систему. В динамике такой системы наблюдаются эффекты, во многом аналогичные эффектам в системе (6), однако возникающие аттракторы обладают более сложными (мультифрактальными) свойствами.

Динамика линейного осциллятора, находящегося под воздействием управляемой бинарным шумом последовательности ¿-толчков, может быть описана комплексным линейным отображением

2п+х=агп+{\-а)СГ\ (7)

которое получается для этой системы как отображение последования Пуанкаре. Комплексный параметр а характеризует соотношение между собственной частотой колебаний осциллятора и параметром затухания. Во второй главе исследуется динамика этого отображения при различных значениях параметра а.

Когда параметр а достаточно мал по модулю, система имеет фрактальный аттрактор, который можно рассматривать как комплексное обобщение канторова множества. При увеличении модуля а структура аттрактора остается фрактальной, но ее уже нельзя считать канторовой. Когда же параметр приближается по модулю к единице, происходит нормализация порождаемого системой двумерного вероятностного распределения.

В третьей главе изучается воздействие самоподобных бинарных последовательностей на линейную систему с дискретным временем. Эта за-

дача аналогична рассмотренной во второй главе, но теперь бинарный шум заменен на бинарную самоподобную последовательность.

Для задачи о свободном блуждании модельное отображение имеет

вид:

(а, если С,п = О

если <"„=!' (8)

где обозначает самоподобную бинарную последовательность. Предполагается, что параметры а и Ъ удовлетворяют условию

(4„) = аРо+ЬР1=0, (9)

где р0 и /7, — частоты появления нулей и единиц. Смысл этого условия состоит в том, что оно исключает направленный дрейф. Динамику во времени системы (8) иллюстрирует рис. 3.

В диссертации обнаружено, что динамика системы (8) качественно зависит от собственных чисел характеристической матрицы воздействующей самоподобной бинарной последовательности

¿ = Ч. (10)

Элементы этой матрицы ,у(Ю и ,у01 задают количество нулей и единиц в блоке, подставляемом вместо 0, а и 5„ — в блоке, подставляемом

вместо 1. Оба собственных числа матрицы 5 вещественные, и их можно считать положительными13. Первое собственное число Я, > 1 есть фактор увеличения общего числа символов в последовательности за один шаг построения. Логарифм второго собственного числа

Л = 1пЯ2 (11)

предлагается интерпретировать как характеристический показатель, который в определенном смысле аналогичен классическому показателю Ляпунова. Положительный характеристический показатель соответствует наличию чувствительной зависимости количества нулей и единиц в последовательности от выбора стартового фрагмента для ее построения.

Анализ поведения системы (8) позволяет ввести классификацию самоподобных бинарных последовательностей, основанием для которой служат три наблюдаемых при численном моделировании качественно различных варианта динамики во времени (см. рис. 3), а также полученные

13 В противном случае можно заменить символы в блоках подстановки на сами эти блоки и получить правило, которое порождает ту же самую последовательность но имеет характеристическую матрицу 5г.

400 500 О 100

при помощи ренорм-группового анализа14 соотношения скейлинга для динамической переменной:

(12)

0 100 п 400 500 1 0 100 И 400 500

Рис. 3. Динамика во времени системы (8) под воздействием последовательности Морса-Туэ (4) (TMS), последовательности кроликов (3) (RbS), логистической сигнум последовательности (2) (LSS) и последовательности (I) (PES, «Positive Exponent Sequence»).

и для вероятностного распределения приращений &(к) = xn)i - хп, которые приобретает эта переменная за к шагов времени:

Pi,t{^2X)Ä2=Pi(X)- 03)

I класс, докритический — Л<0 (0 < /Ц < 1), к этому классу относятся последовательности Морса-Туэ и кроликов. Блуждание в этом случае совершается в ограниченной области (так как согласно (12) размах траектории к моменту времени (Я, л)

не может быть больше, чем он был в момент п), а распределение (х) с ростом к стремится к <5-функции.

II класс, критический — Л = 0 ( = 1), к нему относится логистическая сигнум-последовательность. Когда последовательность принадлежит к этому классу, то движение частицы ограничено, и при этом траектория обладает свойством самоподобия (скейлинга), т. е. она не изменяется при пересчете масштаба координаты на фактор Я2, а времени на множитель А,. Распределение р£(х) не зависит от к.

III класс, закритический — Л > 0 (Хг > 1), сюда относится последовательность, задаваемая правилом (1). В этом случае реализуется неограниченная траектория, обладающая самоподобием. Распределение «расплывается» с увеличением к, причем вид его не изменяется (с точностью до нормировочного множителя) при пересчете интервала времени к на фактор А,, а масштаба приращений — на множитель Л2.

Далее в третьей главе рассматривается задача о блуждании в потенциальной яме под воздействием бинарной самоподобной последовательности :

+(1-^)4 • (14)

Идея ренорм-группового анализа состоит в том, чтобы шаг за шагом увеличивая рассматриваемый интервал времени, отследить как при этом изменяются динамические уравнения системы.

Показано, что когда параметр а мал, характер динамики не зависит от класса воздействующей последовательности, а размерность аттрактора равна нулю. Когда значение параметра приближается к единице, поведение системы можно интерпретировать как свободное блуждание с величиной шага, стремящейся к нулю. При этом характер динамики начинает коррелировать с тем, к какому из трех классов принадлежит воздействующая последовательность.

Исследован также случай, когда воздействие бинарной самоподобной последовательности включено не аддитивно, как в случае системы (14), а мультипликативно.

Важной проблемой нелинейной динамики является изучение бифуркационных переходов в системах, находящихся под воздействием шума. В общем случае такая задача очень сложна. Один из возможных вариантов ее упрощения состоит в том, чтобы ограничиться рассмотрением воздействия на систему бинарного шума. Следующий шаг на пути упрощения задачи может состоять в замене бинарного шума на бинарные самоподобные последовательности. Ясно, что при такой замене какие-то эффекты претерпят изменения, а какие-то, возможно, сохранятся. Вместе с тем, появляется возможность продвинуться в понимании наблюдаемых феноменов, так как при анализе воздействия самоподобных бинарных последовательностей удается привлечь мощный теоретический аппарат ренорм-группового анализа.

В четвертой главе реализуется намеченная программа применительно к модельному отображению, в котором при отсутствии воздействия имеет место бифуркация вилки:

Здесь ¡л выступает в роли управляющего параметра: при и < 1 отображение имеет единственную устойчивую неподвижную точку х' = 0, а при ц > 1 эта точка теряет устойчивость, и появляются две новые неподвиж-

Для включения воздействия, в отображении (15) постоянный параметр // заменяется на переменную, принимающую на каждом шаге времени одно из значений а или Ь по закону определенной бинарной последовательности :

х

(15)

хп+1 = М

ные устойчивые точки: х" = ±

С-О

С =5

Рис. 4. Плоскость параметров системы Рис. 5. Зависимость от времени динамической пе-(16), находящейся под воздействием ременной х„ системы (16), находящейся под воз-бинарного шума. действием бинарного шума.

В системе (16) происходит бифуркация, когда произведение ...^„

при п —» со стремится к единице. Это условие можно представить в виде:

р01п а + 1л Ъ - 0, (17)

где и р, — частоты появления нулей и единиц.

Замечательной особенностью системы (16) является то, что заменой переменных хп = Сп 1/2 она приводится к линейной форме:

С„+1=(1/£)(С„+1). (18)

В диссертации показано, что при воздействии бинарного шума в динамике модельной системы при изменении параметров а и Ь осуществляется переход от точечного аттрактора к фрактальному аттрактору с канто-ровой структурой. При этом реализуются следующие типы поведения: формирование канторова аттрактора (И а1 + \ / Ь1 <1), ШС-резонансы ( а > I, А > 1, 1 / а2 + 1 / £2 > 1), Оп-<Ж перемежаемость15 (Ь > 1, 1 / Ь < а < 1 или а> 1, 1 / а < Ь < 1) и формирование точечного аттрактора (аЬ< 1), см. рис. 4 и рис. 5. Таким образом, эти эффекты, обнаруженные и исследовавшиеся ранее независимо друг от друга, теперь можно интерпретировать как фрагменты некоторой единой картины.

On-Off перемежаемость характерна для систем со случайными мультипликативными параметрами. В этом режиме происходит чередование протяженных спокойных (ламинарных) стадий, когда сигнал практически отсутствует, и хаотических (турбулентных) выбросов значительной амплитуды.

Fujisaka Н., Yamada Т. A new intermittency in coupled dynamical systems // Prog. Theor. Phys., 1985, Vol. 74, P. 918-921.

PiattN., Spiegel E.A., TresserC. On-Off intermittency: a mechanism for bursting // Phys. Rev. Lett., 1993, Vol. 70, No. 3, P. 279-282.

ТМ5 (класс I) КМ (класс I)

о« 0 52 4 -2 а = 0.34 ¿> « 2

[ х"

О ташя&этвтаУй!

0 п 500 0 п 500

(хяасс II) 2 РН5 (класс III)

[<7-0.26 6-2 а=* 0.52 6 = 2

1)1 1 ¡1 ]1 1 К 1 1

о О. . 1 У

О п 500 О П 500

Рис. 6. Динамика во времени системы (16), находящейся под воздействием различных самоподобных бинарных последовательностей.

Рис. 7. Зависимость от времени компоненты С;"2 системы (19) в критической точке, при воздействии самоподобных бинарных последовательностей различных классов.

При замене бинарного шума на бинарные самоподобные последовательности обнаруживается, что характер поведения системы (16) и, в частности, характер бифуркационного перехода определяется тем, к какому го трех классов, введенных в главе три, относится последовательность, см. рис. 6. При этом под воздействием последовательностей класса III, тлеющих положительный характеристический показатель, как и под воздействием бинарного шума, система демонстрирует режим Оп-(Ж перемежаемости.

Для исследования бифуркационного перехода делается следующая замена динамической переменной хп = ,]схр(2 А^/С^, что приводит систему к виду:

С„+1=С„+ехр(2Л„) (19)

= 4, + 1п4

Здесь переменная А„ описывает быстрые осцилляции на фоне более плавного изменения, характеризуемого переменной Сп. При этом подсистема для переменной Ап совершает одномерные блуждания, которые рассматривались в третьей главе.

С применением метода ренорм группового анализа показано, что в случае воздействия последовательностей класса I, в точке бифуркации зависимость от времени динамической переменной системы точно такая же, как и при отсутствии воздействия, а именно реализуется степенной закон с критическим показателем (-1/2), рис. 7 I. Когда на систему воздействует последовательность класса II, в критической точке динамическая переменная убывает во времени по степенному закону с показателем, зависящим от параметров а и Ь, см. рис. 7 II. Линии (а) и (б) на этом рисунке по-

строены при различных значениях параметров. И наконец, в случае последовательностей класса III, когда реализуется переход к On-Off перемежаемости, в критической точке зависимость динамической переменной от времени не является степенной, рис. 7 III. Как видно из рисунка, возможна gif уациягкогда-заметное-отклонение тгой_аависимости от степенной наблюдается лишь при рассмотрении ее на значительном интервале времени.

В заключении кратко резюмируются исследовавшиеся задачи и наблюдавшиеся эффекты, которые имеют место в динамике модельных систем, находящихся под воздействием сигналов, заданных бинарными последовательностями.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1) Бинарные самоподобные последовательности можно рассматривать в качестве сигналов с фрактальными свойствами. Они могут быть подразделены на три класса, в соответствии с тремя качественно различными вариантами динамики, реализующимися в задаче о блуждании частицы в вязкой среде под воздействием толчков, заданных такой последовательностью.

2) Если на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки, воздействует бинарный шум, то в динамике системы при изменении параметров реализуется переход от точечного аттрактора через Оп-ОГГ перемежаемость и ШК-резонансы (№К — Ирвин, Фрейзер, Капрал) к фрактальному аттрактору с канторовой структурой.

3) Если на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки, воздействует бинарная самоподобная последовательность, то характер трансформации бифуркации вилки зависит от того, к какому из трех введенных классов принадлежит последовательность.

4) При воздействии бинарных самоподобных последовательностей с положительными характеристическими показателями на нелинейную систему, демонстрирующую бифуркацию вилки, также как и при воздействии бинарного шума, с изменением управляющих параметров реализуется бифуркационный переход к Оп-<Ж перемежаемости. Как показывает ре-норм-групповой анализ, этот переход характеризуется отсутствием в динамике системы свойства скейлинга в критической точке.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Купцов П. В., Кузнецов С. П. О динамике модельных систем с дискретным временем под действием бинарных самоподобных последовательностей // Известия высш. уч. зав. Прикладная нелинейная динамика, 1997, Т. 5, № 2-3, С. 3-16.

[2] Kuznetsov S. P., Kuptsov P. V. Transition to a fractal attractor via on-off intermittency in a model with dichotomous noise // Unsolved problems of noise / Eds. Ch. Doering, L. B. Kiss, M. F. Shlesinger, World Scientific, Singapore, 1997, P. 244-250.

[3] Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Transition to a fractal attractor via on-off intermittency in a model with dichotomous noise // Abstr. of the International Conference on Nonlinear Dynamics, Saratov, Russia, 1996, P. 103.

[4] Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Phase transition via On-Off intermittency in Models with Periodic Dichotomous Noise // Abstr. of the First Int. Conf. Unsolved Problems of Noise, Szeged, Hungary, 1996, P. R50.

[5] Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Transition to fractal attractor via on-off intermittency in a discrete-time model with dichotomous noise // Abstr. of the Int. Conf. Physics and Dynamics between Chaos, Order and Noise, Berlin, Germany, 1996.

[6] Kuptsov P. V. Critical dynamics of pitch-fork bifurcation in a system driven by a fractal sequence // Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 1998, Vol. 8, No. 4, P. 416-425.

Подписано к печати 8.04.98 г. Формат 60 х 84)']Ь. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № //£

Редакционно-издательский отдел Саратовской государственной академии права. 410056, Саратов, Черныешевского 104