Преобразование Дарбу и обобщенные модели нелинейного Шредингера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Л П "»

/л 6 ~ а,.л,

1 . САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО' КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.946

ЮРОВ АРТЕМ ВАЛЕРИАНОВИЧ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ И ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОГО -ШРШНГЕРА

Специальность 01.04.02 -теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Калининградского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

профессор Лебле С.Б.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

профессор Андрианов A.A. Кандидат физико-математических наук, Бабич М.В. ,

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Объединенный институт ядерных исследований

г. Дубна.

Защита состойся "Ä " г. в часов

.на заседании специализированного совета К 063.57.17 по присуждении ученой степени кандидата физико-математических наук в С,- Петербургском государственном университете по адресу: I9S034 С.-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в.библиотеке СПбГУ. Автореферат разослан "_"____1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

С.Н. йшида

-1Л ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Преобразование Дарбу (ПД) является эффективным способом построения точных решений солитоносодержащих уравнений и учете взаимодействия точного решения . с произвольным фоновым решением Сшумом) нелинейной системы.Эффективность ПД связанна с тем обстоятельством,что при нахождении новых решений нелинейной задачи требуется знать лишь частные решения линейных дифференциальных уравнений, содержащих заданое нелинейное в 'качестве условия их совместности друг с другом. Это позволяет,с одной стороны провести детальный учет всех свободных параметров построенного решения нелинейного уравкеия,а с другой конструировать новые нетривиальные решения,нахождение которых другими методами Снапример МОЗР) было бы достаточно сложней задачей.Например простое дополнение классического ПД операцией дифференцирования по вспомогательному спекральному позволило обнаружить новый' тип точных решений (позитсны) в такой казалось бы хорошо изученой модели,как КдФП).

Итерирование ПД,оставляющего потенциал несингулярным,ограничивается добавлением или уничтожением нижнего уровня дискретного спектра квантовомэханического гамильтониана,или . не меняет его вовсс.Для последнего случая существуют два преобразования Дарбу построенные по линейно-независимым частным решениям исходного уравнения Шредикгера обладающих следующими свойствами: 1 Зоба решения всюду положительны;

113одно из решений при х-»+ш стремится к С+са),а при х->-я к нулю. Собственно СМ+1)-солитонное решение строится из 1*-солитонного добавлением к спектру нижнего уровня,с помощью линейной комбинации двух описанных решений,зависящих от вспомогательного' параметра-"времени" I, причем при 1-»±оа одно из решений в силу наложенных на него выше условий обращается в нуль,что приводит к Н-солитонному решению с фазовым сдвигом. Аналогичное утверждение справедливо и для солитона проходящего через произвольный быстро убывающий фон,причем, в последнем случае фазовый сдвиг, представляет собой асимптотический, ряд коэффициенты которого являются интегралами движения фона: числа частиц,энергии и т.д.

Особенно эффективно ПД для многомерных задач и в силу чрезвычайной сложности последних,зачастую представляют собой единственный способ нахождения новых нетривиальных решений соответствующих нелинейных уравнений.Важный класс таких уравнений составляют модели с

кубической нелинейностью возникающие.во множестве физических задач при учете простейшей .зависимости дисперсионного соотношения от амплитуды волны.При ¿=2 интегрируемую систему с кубической нелинейностью составляют уравнения Дэви-Стюартсона СДС).описывающие в рамках гидромеханики распространение квазиодномерных,квазимонохроматических волновых цугоз малой амплитуды по поверхности безвихревой невязкой жидкости достаточно большой глубины с учетом поверхностного натяжения. При редукции к с!=1 система ДС переходит в нелинейное уравнение Шредингера СНЮ,т. е. представляет собой двумерный интегрируемый аналог последнего.

Другой пример физически интересной системы в С2+1) -модель |р|4. играющая важную роль в электрослабых квантовополевых моделях и теории фазовых переходов. Несмотря на неинтегрируемость,соответствующие уравнения тесно связаны с НШ,в том смысле,что допускают некоторую автомодельную замену переменных,такую что в специально выбранном анзаце |р|4 переходит в НШ. Это позволяет использовать Ш в .качестве "поставщика" нетривиальных решений для | <р |4. Изучению этих многомерных моделей и посвящена настоящая диссертация. Цель работы заключается в разработке адекватной математической техники.пригодной для построения широких классов точных решений моделей ДС и |<о|4 в (2+1).

Кроме того цель работы состоит в обобщении метода ПД на многомерные квантовомеханические гамильтонианы и изучении связи последних с суперсимметричной квантовой механикой.

Научная новизна. В диссертационной работе полученны следующие новые результаты:

-показано,что при <1=1 существует ровно четыре гамильтониана,для которых ПД не приводит к изменению формы потенциала.Полученные формулы применяются к вычислению точной одкопетлевой квантовой поправки к кинку <р4 с использованием метода дзета-функции,причем использовать ПД позволяет не прибегать к хорошо известному асимптотическому представлению последней в виде ряда по степеням вспомогательного параметра;

-для произвольной размерности с! найдено бинарное ПД.т. е. преобразование переходящее после редукции к с1=1 . в одномерное ПД реализованое на двух линейно независимых решениях уравнения Шредингера;

-предложен способ вывода интегрального ПД для Показано,что при

d=3 эти преобразования приводят к модельным системам,списывающим частицу во внешнем магнитном поле;

-обсуждается суперсимметричная связь между иерархиями сслитоносо-держацих уравнений и предложен новый способ вычисления солитснного сдвига фаз без обращения к формулам Крама;

-показано,что уравнения Дэви-Стюартсона допускают линейное представление с помощью одномерного матричного уравнения Шредингера. Построены новые точные решения такие как мультидрсмионы, периодические решения ДС-1 и коллапсары ДС-2;

-найдено ПД для дефокусируюаего НШ и построен аналог,эксультона для этого уравнения;

-описано ПД для матричного НШ с кзогруппой GL(n,C)xGL(m,C) и построено решение редукционных уравнений;

-описано наиболее общее линейное преобразование содержащее как частный случай подстановку Тайири и построены локализованные рациональные решения С2+1) \р\4 во внешнем поле со спонтанно нарусеной симметрией.Получены формулы нелинейной суперпозиции позволяющие "сталкивать" получение лампы друг с другом. Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть применены при исследовании конкретных физических процессов и явлений описываемых рассматриваемыми нелинейными уравнениями. Новые точные решения ДС и |р|4 могут соответствовать интересным физическим эффектам.В частности лампы (2+1) |р|4 со спонтанно нарушеной симметрией представляют интерес с точки зрения общей теории фазовых переходов описызаемых двухкомпснентными полями с кубической нелинейностью.

Полученые во второй главе двумерные потенциалы не меняющие своего вида при ПД могут оказаться полезными при построении конкретных моделей двумерной суперсимметричной и парасуперсимметричной квантовой механики. Материалы диссертации использовались при чтении лекций по теории солитоноз и квантовой механики в Калининградском государственном университете.

Апробация работы.Основные результаты диссертационного исследования докладывались на Всесоюзной школе-семинаре "Нелинейные волны" г. Светлогорск,Калининградская область,Россия,1989;международной школе семинаре "Nonlinear Waves",г.Светлогорск,Россия,1S91;международной конференции "NEEDS'91",г.Леччо,Италия,1991;международной конферен-

тттжт» ' ТЬгЛтто 1 GGP

U.JI1H иимуы J. . ¿ijuilCl,! , ^¿ou.

Публикациг, результатов диссертации. Основное содержание диссертационного исследования отражено в пяти статьях перечень которых прилагается в конце автореферата.

Объем и структура работы.Диссертация состоит..из введения,трех .глав с автономной нумерацией формул внутри параграфов.,заключения,двух приложений и списка использованной литературы. Общий объем диссертации 115 машинописных страниц,список использованной литературы содержит 72 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении кратко изложена существенная для дальнейшего информация о ПЛ.Подробно обсуждается вопрос об изменении дискретного спектра исходного гамильтониана при преобразовании Дарбу.Показано,что ПД для КдФ возникает при разложении вершинного оператора по обратным степеням импульса. свободной частицы. Обсуждаются известные многомерные обобщения ПД.Приводятся основные сведения о моделях ДС и |i?|4.Bo введении обсуждается так-же общая структура работы. В первой главе рассмотрен круг задач связанный с ПД для уравнения Шредингера.

В §1 показано,что при d=l существует ровно четыре гамильтониана потенциалы которых не менявт своего вида лод действием ПД.Один из них гармонический осциллятор Св том числе с переменной частотой),а три остальных строятся ' ПД на const фоне.причем ПД приводят к рекурентным соотношениям для спецфункций возникающих в этих задачах:полиномов Эрмита,гипергесметрических функций,присоединенных полиномов Лежандра.

В §2 полученные в предыдущем параграфе формулы применяются для вычисления'одкопетлевой квантовой поправки к юшку И в (1+1).Такая поправка возникает при вычислении функционального интзграла методом перевала и сводится к детерминанту оператора получающегося взятием двукратной вариационной производной от действия.Вычисление детерминанта проводится методом дзета-функции Римана.что сводит задачу к вычислению матрицы плотности Сдиагональные элементы которой определяют некому» поправку) системы с двухуровневым потенциалом,строящимся двойным преобразованием Дарбу на const фоне. Это обстоятельство позволяет найти решение не. обращаясь к традиционно используемому представлению (2> матрицы плотности в виде ряда по степеням вспомогательного параметра,а прямо по формулам приведенным в §1,используя в качестве опорного решение

■ "5-

линейного уравнения 'теплопроводности со специально подобранным качальным условием.

Полученая поправка содержит две расходимости одна из которых связана с энергией . нулевых колебаний и устраняется вычитангем бесконечной константы из гамильтониана,а вторая -добавлением к лагранжиану контрчлена нормального упорядочивания. Отмечено,что квантование двух других .статических Си сингулярных) решений приводит к матрицам плотности определяемыми двумя другими потенциалами строящимися ПД на постоянном фоке. В §3 обсуждается суперсимметричная связь между иерархиями КдФ п мКдф' *! . Используя общую схему построения суперсиммэтричной алгебр:' с помощью ПД( 41 строится суперзаряд (квадратный корень из супергамильтониана}:

1=-£сг2ах-¥/ха1/2 С1)

который генерирует иерархию мКдФ.Переходя . к расширенной суперсимметрии получаем представление для N=2:

02=

■0 0 0 0 ■

-о 0. 0 0 л

0 0 0 0 н

.0 0 0<1> 0.

X) 0 0 0-

0 •0 0 0

0 0 0 0

.0 о'1 'о 0.

н*

о

О)

к

(2)

где

н0^ о0, Н^О^О,

На 20,0? СЗЭ

Если 0о реализована на основном состоянии Н0,^0' ,а 0) возбужденный уровень ,то

первый

,< 0) ,.,< 0) _ ,„< 0) ,,,( О)

^ГОЧ0')

г0х

02 строится аналогично из волновой функции второго везбуаден-ного уровня.

(*) Впервые эта с&язь обнаружена 8(3)

Можно определить два суперзаряда один из которых имеет вид:

Ч, =

■оо о •

О О .0. 0,+ Оо ООО

Ю 01 о о

С4)

и генерирует иерархии уравнений .представляющих собой матричное обощение членов иерархии МкдФ. .

Вышеописанная конструкция естественно обобщается на последующие Дарбу-итерации .причем каждая итерация увеличивает число генераторов расширенной суперсимметрии на единицу .При этом возникает иерархию матричных аналогов мКдФ.все возрастающей размерности .где на Ь'-ыаге соответствующиме модели будут представляться матрицами 2мх2н.Показано,что для систем определяемых и-У парами размерности 3x3 аналогично можно положить в основу парасуперсимметричную алгебру возникающую в квантовомеханических моделях с тройным вырождением.

Б этом же параграфе показано,что обсуждаемая в §1 Дарбу- ковариантность солитонных потенциалов позволяет легко получать солитонные сдвиги фаз без обращения к формулам Крама,причем из самого построения вытекает аддитивность фазовых сдвигов. Наконец рассматривается обобщение бинарного ПД позволяющее удовлетворить ковариантности относительно второго уравнения 1Л-аарыг КдФ. Решение линейно-независимое с заданным решением <р определяется формулой:

рСх.О = рСх,и[ ** ,. СЗ)

, ох »,>

причем, соСО удовлетворяет нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению:

+ 4Е + 2и(ПС1.шСиЗ = 0, С 6)

где

и(1,а.х) = и(0)а,х) - гфпра.х). С7)

и новые решения КдФ определяется формулой:

X

и„С1,х)= и(0)С1,х)~ С8)

О Л

охи

Полученные потенциалы имеют подвижную сингулярность. которая движется с определенной скоростью и ускорением.В частности выбирая и<0!=0,а <р- односолитонной в.ф. получаем решение описывающее взаимодействие солитона и позитона. §4 посвящен ПД при с1>1. Если ¡¡> решение уравнения:

-д?<р +ир =0,т = 1,2.....с! С9Э

то решение <рщр при ё=1 переходит в решение линейно-независимое с <р если q удовлетворяет уравнению: 4

т I д ад о = 0 . СЮ)

определяя . аналогично • р11' == п 1.где ч'1' удовлетворяет уравнению получавшемуся из СЮ) изменением знака перед нелинейным членом,окончательно имеем преобразование переходящее при с!=1 'в бинарное ПД:

и' н и_= и - ' ' . СИ)

в в

Показано как следует итерировать такое ПД и выписан результат нескольких последовательных преобразований.Далее рассмотрен случай <1=2 и предложен вывод формул интегрального ПД переходящих при сЗ=1 в обычное преобразование Дарбу'3'. Промежуточным иагок является

условие интегрируемости СО'^'н +3Х - С 1п,1'(001)):

где ф"",1}^0' решения С9) при <3=2,а £.--полностью антисимметричный тензор.Условие С12) выполняется тождественно приводя к "одетым" волновым функциям:

^»^«^Х^^С^^о'^о»^») С13)

Причем в силу С12) 1-форма под интегралом замкнута. Далее обсуждается связь с соотношениями ортогональности полученными в работе (41 и показано,.что для согласования результатов '4> и С13)

кесбходимо', чтобы . обе в.ф. участвующие в ПД отвечали одному и тому-же собственному значению.Это означает,что здесь отсутствует, связь спектров гамильтонианов,сплетенных преобразованием Дарбу'ю . Контроль спектров возможен для потенциалов не меняющих своей формы под действием ДД, Явным вычислением показано,что при d=2 таких потенциалов существует бесконечно много.

Метод вывода ПД применяется далее для случая d=3. При этом условие интегрируемости (12) принимает вид:

=0 сш

(14) уке не удовлетворяется автоматически,что приводит к неинтег-рируеыой фазе у Ф*п.Неинтегрируемость имеет простой физический смысл,а именно отражает наличие взаимодействия с внешним магнитным ползм .Отметин,что' если ¥д0> сингулярна едоль незамкнутой кривой,то в'согласии с работой ( Ф*1' описывает два изолированных ■ магнитных полиса,расположенных в ее концевых точках. Показано,что лля того чтобы указанная . неинтегрируемость не проявилась в потенциале и при последующих Дарбу-итерациях достаточно потребовать чтобы вектор-потенциал,определяющий магнитное поле удовлетворял калибровке Кулона.

Бо второй главе метод преобразования Дарбу применяется к уравнениям Лэви-Ствартсона.

В §1 изучается ПД для плоской спектральной задачи Захарова-Шабата:

L9 ~ № . ' (15) ;

где Ф и U - 2x2 матричные комплекснозначные функции, причем,

U = 0"+u(x,y,t). + Jtcr_u*(x,y,t), (16)

к. = ±1 , cr±= zf^i* icr2^ • ff,,- матрицы Паули, а

L 5 1ду- оагдж . (17)

I-единившая матрица,а2- +1.ДС-1 соответствует выбор а= +1,а ДС-2-a-i.Оператор L обладает композиционным свойством:

КАВ) = ,(LA)B + ALB - a[ff3.A]Bx , (18)

Используя (18), можно убедиться, что (15) ковариантно относительно преобразования Дарбу:

(х)автор благодарит М.В.Иоффе обратившего его внимание к а зто обстоятельство. I ■

ф-•> ф. с+с) = (<э-т )Ф. ,

Ь Ь х О о

и ис+с) = и + сЛсг-.т!

д о

(19)

его)

где уравнению:

т =Ф Ф"

с о, x о

.причем тс должна удовлетворять редукционному

«*(т

(21)

где "+" означает эрмитово сопряжение,а "г"-недиагональную часть матрицы т.При выполнении С21) и(+с) имеет правильную структуру (16).Результат И-кратной итерации дает:

С 22)

иШ-и-2а 02МЛ)

где

Ба1е1 а.

кг

К ~

кг

X У 1. к

<к<гы •

к<М

др-и-1 „

.. . ,Жр<2Н 2-к К<к<2И

порлучается. из Б заменой элементов а, „„на б,.

2, 2ГГ

к<И Л,к<2п

а у

I, к

* Н>2,к

,<р£ к-элементы матрицы Фк11<к<И

* Кк

1=1,2.

Аналогично

где

и [Ю =и +2а/* 0,„Л)

С 23)

(24)

(25)

Редукционное ограничение принимает вид: В случае аН для выполнения (25) достаточно потребовать чтобы :

^.кЧ* . № (26)

Условие (26) непротиворечиво при любом знаке «.Если *=-1 уравнению (25) можно дополнительно к (26) удовлетворить выбрав щ к=р* к .

Используя ПД при и=0 выведены формулы нелинейной суперпозиции двух потенциалов строящихся преобразованием С20).Определим операторы

<3*+) = ах- т , G*= Зх+ т+ С27)

где а=1,*--1. Можно показать что собственными функциям операторов

цс О) Е $ -> G( +> f H<ns G(+,G(->. С 28)

являются решения уравнения С15) с U и UC+c) заданным формулой (20) соответственно. Это означает сушествование обратного ПД для а=1. При *=-1 операторы tf0,15 имеют вид:

CV тх" Т+Т ' С293

сТр-т;эаж+т;;-т*т. сэоэ

таким образом нелинейные уравнения связанные с гиперболической (а=1) плоской задачей Захарова-Шабата допускают альтернативное представление с помошью одномерного матричного уравнения Шредингера с параметрической зависимостью от второй пространственной переменой. При a=i это уже не справедливо,поскольку в этом случае нельзя определить обратное ПД.

В §2 вводится, второй линейный оператор- определяющий уравнения ДС: T2=iat+2cr3^+2a1Uax+V С31)

V=cx-2CaUy+a3Ux)-a'2a3U2-iAD/2a (32)

Г F +aF 0 1 •

А- У х (33)

D I 0 Fy-aFxJ

Q=-iFx ,ReF=0,Q-нелокальное среднее течение и при ПД (19,20) преобразуете}: по формуле:

QC13=G+4^1n det$ (34)

Кроме того вводятся семь дополнительных LA-пар,используя которые определяется бинарное ПД:

UC+c,-b)=U+2<xr3C¥cQ^$b)F (35)

Где Ф и § матричные решения двух LA-nap,a П-интеграл от замкнутой 1-формы билинейной; по этим решениям.Доказана коммутативность, бинарных ПД.

В заключении рассмотрена система получающаяся редукцией.из ДС-2 и описывающая взаимодействие евклидова и псевдоевклидова скалярных

-11-

полей с кубическим самодействием:

uu-uxx+Cm2+\|u|2+q)u=0 С36)

^и+Ч^+Сг+ХЗС |и|2)хх+СХ-2)С |ц|2)и-0

Преобразованием Дарбу построено осцилирующее по времени и локализованное по пространственной переменной решение С36):

u[l]=mlС ct chC mx+<5) +c2cosmt) -I C37)

qt 1 ] =-C^2+m)2-X)r212 С Cj chCmx+б)+c2cosrai)"1 где 1,с,5-некоторые вещественные константы связаные нелинейными алгебраическими соотношениями.

В §3 описан ряд частных решений ДС-1 и ДС-2 извлеченных с помощью ПД. В частности для ДС-1 построены всюду осциллирующие решения и мультидромионы. Для конструирования последних важную роль играют обычные ПД для нестационарного уравнения Шредингера. Так если поле и достаточно быстро убывает на бесконечности вместе со своими производными,то асимптотика поля Q представима в виде:

Qas= д2Сс*'и • С383

где gt 2 некоторые функции,x=p+q,y=p-q.LA-napa сводится к двум нестационарным уравнениям Шредингера. для четырех искомых функций:

Vk= V/kCp.t), <рк= <pktq.U ,k=l,2

с 393

92Cq.t)^= о, С403

В частности для дромиона

g, (p,t)=4co2sec2fj (41)

g2(q,t)=-2\2sec2f2 (42)

где f1=2toCp-2dt)+2-1lnCA0/B0),f2=2X(q+2bt)+2-lln(CQ/D0).

Эти потенциалы строятся обыкновенным ПД ка const фоне с помощью, опорных функций: •

У0 (р Л) =2С Aq В0 31 /2chf j expC ifl) (43)

P0Cq,t)=2CC0D0)I/2chf2expCiW C44)

где 9 и & линейные комбинации Сt,x,у),а коэффициенты CA,B,C,D30

удовлетворяют соотношениям:

. I..

Где СА,Е,С,Б)1 параметры определяющие амплитуду дромиона.Показано что переход к двууровневому потенциалу определяет двудромионное решение,поскольку ■' использование общих- формул одномерного ПД позволяет разрешить редукционные уравнения в явном виде.При этом достаточно определить нормировочные константы так чтобы выполнялось соотношение: _ ; '

иСсо2-и2ХВ1 ■ _1 А2> -В2< А,. )=к1(Х2-12)х

^.-А.-гСЛ.-!3' '.. С46)

Где V и 1 определяют глубину второго уровня в потенциальных ямах д1 и д2.

Для ДС-2 построенны коллалсируюаие,рациональные решения,струнопо-добные Сз1г1пд-11ке) при *=+1 и несингулярные лампы при при

к=-1.Обсуждается класс. решений определявши выбором.элементов (23)

при учете (26) в виде Сх=-1,г= x+¿y,u(=0): .

У1=аехр[24 1]сЬ(2)+Ьехр[-2П]со5(2),^2= I С47) . Возникают нетривиальные несингулярные решения экспоненциально затухающие везде на плоскости кроме счетного множества точек,(в сипу наличия на бесконечности существенной особенности) в которых экспоненциальное затухание поля и сменяется экспоненциальным ростом.

Третья глава посвяена дефокусирующему НШ,НШ с'изогруппой СКт,С)х вЬСп-.С) и |р|4 со спонтанно-нарушенной симметрией в (2+1). В §1 рассматривается уравнение:

4Ч1+Ч„-г|Ч12Ч=0 С 48)

показано,что оно описывает динамику вихревой нити в псевдоевклидовом пространстве причем х играет роль натурального параметрам я пропорциональна кривизне нити. Построена ЬА-пара и ПД. Найдено два частных решения редукционных уравнений одно из

которых приводит к'формуле (1т Х,=1т Х,=0):

I 12

: цИ^-гСХ^Х^р^гЛр^ -р^р, (49) где ?>к (к =1,2) удовлетворяют системе уравнений:

Используя в качестве q решение в виде плоской волны с амплитудой А строится дефокусирующий аналог эксультона:

|q[l]|2=A2+8A2Cl+4A2Cx2+23A2t2))/[4A2Cx2-4A2t2)]2 (52) В §2 рассматривается матричное НШ:

1 n**

I -единичная матрица размерности mxm.

iRt+Rxx+2RQR=0 С53)

-iQt+Qxx+2QRQ=0 С54)

.Интегралы движения являются компонентами матрицы:

- S! n) =Jdx R Q , S( m) =Jdx Q R C55)

удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли, glCm.OQ giCn.C) и по терминологии авторов'71 соответствуют и-бесцветным состояниям с определенным ароматом и п-безароматным состояниям с определенным цветом.Эрмитова редукция:

• 0=Г R+ Г, С 56)

р,q 1, s

приводит к сужению изогруппы до UCp,q)®UCl,s},причем p+q-n,l+s=m таким образом возникает модель с т- ароматами,n-цветами и некомпактной изогруппой.В §2 Бведена LA-napa для (53-54) с матричным спектральным параметром и предложено ПЛ. Для изогруппы GLC2,C)Q GLC2.C) рассмотрено условие комплексной редукции R = Q* и описано общее решение редукционных уравнений. Предложено бинарное ПД для рассматриваемой системы позволяющее фактически удвоить число свободных параметров,что может оказаться существенным при дальнейшем сужении изогруппы.

В §3 введены общие линейные преобразования позволяющие строить точные решения |<р|4 в С2+1) по решениям "солитоннсго" НШ .'Модель

|р|4 рассматривается во внешнем поле,которое вводится ковариантным удлинением производных:

Vs d/Wiekn С57)

Е качестве исходного решения НШ выбран эксультон'5). Используя калибровочный произвол можно избавиться от осциллирующего фазового множителя.При этом возникают .два взаимодействующих вещественных поля

^С2Г1/2 Cpj+ ip2) С 53)

Причем р2 рационально затухает по всем направлениям на плоскости ,а

jpj^-A/VH" -р0 .при х2+у2->оо . С59)

где А амплитуда стартовой плоской волны, <pQ-конденсат.После спонтанного нарушение симметрии:

>Р: ->f>{ -<pQ t <р2->:р'2=<р2 С60)

возникают два всюду локализованных решения,причем ^ убывает

быстрее Скак г"2 ),чзм р'2 Скак г"2).Интересно заметить,что массы бозонов (pj'H р2'пропорциональны квадрату амплитуды стартовой плоской волны,в то время,как до нарушения симметрии они зависели от нее линейно.

В рамках описанной модели,при'отсутствии внешнего поля спонтанное нарушение симметрии становится возможным лишь для тахионных полей.Для построения модели допускающей нарушение симметрии и обладающей вещественной массой использовано дефокусирующее НШ и С 52) в результате получаются решения описывающие хиггсовскую частицу взаимодействующую с голдстоуновским бозоном. Эти решения сингулярны вдоль некоторой непрерывной кривой,движущейся на плоскости Сх,у),форма которой определяется двумя свободными параметрами,т.е. соответствуют двум связанным струнам. Отметим,что специальны?/, выбором параметров струны могут быть деформированы в прямые.

Используя итерации ПД, можно построить семейство взаимодействующих решений описанного типа.В работе рассмотрен случай двойной итерации и выведены соответствующие формулы нелинейной суперпозиции. Доказано что уравнения определяющие ПД справедливы и для решений сдвинутых различными бустами.что приводит к возможности их рассеивания друг

на друге.

В приложении А рассмотрена постановка задачи о нахождении ПД для Второго уравнения Пенлеве,а в приложении Б представлена диаграмма.демонстрирующая алгоритм получения восьми ЬА-пар для уравнения ДС.

В заключении кратко рассмотрено содержание диссертации с выделением полученных в ней новых результатов.

1.Matveev V. В. Theory of Positons 1:Positon-Positon and Soliton-Positon Interactions.D-700C Stuttgart 80.

2. Коноплич P. В. Вычисление квантовой поправки к нетривиальны),? классическим решениям с помощью дзета-функции. ТИФ,т.73 нЗ,декабрь. 1987,379-392.

3.Андреев В. А. .Бурова М. В. Низшие уравнения КдФ и суперсимметричная структура уравнений sin-Гордон и Яиувилля. ТМФ, т. 85, мЗ, декабрь, 1990,

4. Андрианов А. А. .Борисов Н.В. .Иоффе К.Б. .Эйпес И.И.Суперсимметричная механика:новый взгляд на эквивалентность квантовых систем.ТМФ,т.51,

N1,октябрь.1S84,17-28.

5. Matveev V. В. and Salle М. A. "Darboux Transformations and Solitons" Springer.Berlin Heidelberg 1991.

6.Dirac P. A.M. Quantised Singularities in the Electromagnetic Field. Proceedings of the Royal Society,A vol.133 С1931),60-72.

7.Маханькоз В.Г. ,Паааез 0. С.Нелинейное уравнение Шредингера с некомпактной изогруппой. ТКФ.т.63,н2,октябрь,1985,23-31.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Leble S. В., Salle М. A. ,Yurov А. V. Darboux Transforms for Davey-Slewartson equations. Nonlinear Waves,Naukova Dumka,Kiev,1990.

2. Leoie S. В.,Salle K. A. .Yurov A. V. DT for DS Type Equations.Proceedings of the 4 International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics,v. 2,287-293,Singapure,1S91.

S.Leble S. Б. , Salle K. A., Yurov A. V. Darboux Transforms and Solitons in Hultidimensicns. Inverse Problems,1992,v.8.207-218. ¿.Зайцев A.A..Юрсв А. В. Преобразование Дарбу и однопетлевая квантовая поправка к кинку р*. 24-я Научная конференция профессорско-преподавательского состава,КГУ,Калининград,1992. 5. Ероэ А. В. Солитскк г. суперснмметрия. Там-же.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

375-383.

Заказ 38. . Подписано к печати 15.01.93 г. Формат 60x84 ^'15 Объем 0,9 п.л. Тира® 50

Ротапринт ОНТИ АтлантНИРО