Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

Мартемьянова, Нина Викторовна

Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Мартемьянова, Нина Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа»

Автореферат диссертации на тему "Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа"

005007859

МАРТЕМЬЯНОВА Нина Викторовна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ЯНВ 2012

Казань - 2012

005007859

Работа выполнена на кафедре математики и методики обучения ФГБОУ ВПО "Поволжская государственная социально-гуманитарная академия" и в отделе физико-математических и технических наук ГАНУ "Институт прикладных исследований АН РБ"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

чл.-корр. АН РБ, профессор Сабитов Камиль Басирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Хайруллин Равиль Сагитович

доктор физико-математических наук, профессор

Пулькина Людмила Степановна

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО "Белгородский

государственный национальный исследовательский университет"

Защита состоится 16 февраля 2012 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008 Казань, ул. проф. Нужина, д.1/37, ауд. 337.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан «•/&» января 2012 г. и размещен на официальном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета: www.ksu.ru

Ученый секретарь совета Д 212.081.10 к.ф.-м.н., доцент

Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Исследование краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому тину уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в газовой динамике, теории околозвуковых течений, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях науки.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта.

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля, в которых он обнаружил важные приложения теории уравнений смешанного типа к проблемам трансзвуковой газовой динамики.

Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, C.S. Morawctz, M.N. Protter, Jl. Берс, В.Ф. Волкодавов. В.Н. Врагов, Т.Д. Джурасв, В.И. Жегалов, А.Н. Зарубин, Т.Ш. Кальменов, H.IO. Капустин. И.Л. Кароль, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, O.A. Ладыженская, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, Н.Б. Плещинский, С.П. Пулькин, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, P.C. Хайруллин и другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, одним из примеров которых являются нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических и биологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задается определенная связь значений искомой функции или её производных на границе области.

Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля, A.B. Бицадзе, В.И. Жегалова, J.R. Cannon, Л.И. Камынина, A.B. Бицадзе и А.А Самарского, A.M. Нахушева, А.П. Солдатова, В.А. Ильина, Н.И. Ионкина, Е.И. Моисеева, А.Л. Скубачевского, М.Е. Лернера и O.A. Репина, Л.С. Пулькиной, А.И. Кожанова, К.Б. Сабитова и других.

Обратные задачи возникают во многих разделах науки: квантовой теории рассеяния, электродинамике, акустике, геофизике (обратные задачи электроразведки, еейсмики, теории потенциала), астрономии и других областях естествознания. Это связано с тем, что значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных, а именно свойства среды на практике часто бывают неизвестны.

Степень разработанности проблемы. В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль впервые для уравнения Чаплыгина К(у)ихх + iiyy = 0. где К(0) = 0. К'{у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия и(0,у) - и(0,—у) = f(y), 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. A.B. Бицадзе доказал существование и единственность решения задачи Франкля для уравнения Лаврентьева

^ + (»9»»)^ = 0, (1)

а также единственность решения этой задачи для уравнения Чаплыгина.

В.И. Жегалов рассмотрел в области, ограниченной при у > 0 простой кривой Жордана Г с концами в точках Л(0,0) и ß(l,0), а при у < 0 - характеристиками х+у=0их-у --- 1 уравнения (1), задачу о нахождении решения и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющего условиям

1 1 1

и = ф,у), (х,у)е Г, а(х)и(х,-х)+Ь{х)и(х+-,х-~) = с(х), 0 < х <

кроме того на отрезке задаются обобщенные условия склеивания. Им доказано существование и единственность решения данной задачи.

В работе A.B. Бицадзе и A.A. Самарского изучена задача о нахождении в прямоугольнике {(х,у)\ -1<х<1,0<у<1} гармонической функции и(х,у), удовлетворяющей условиям u(x,0) = ifii[x), и(х, 1) = 92(.т), < X < I, и{-1,у) = <Ра{у), и(0,у) = и(1,у),

0 < у < 1. Единственность решения доказывается на основании принципа экстремума. Существование решения вытекает из разрешимости интегрального уравнения, эквивалентного поставленной задаче.

Исследованию нелокальных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического и смешанного типов посвящено большое количество работ A.M. Нахушева.

Н.И. Ионкин рассмотрел в прямоугольнике {(z, i)|0 < х < 1.0 < t < Т} задачу для уравнения теплопроводности

dv (Pv

об отыскании его решения v(x, t), удовлетворяющего нелокальному интегральному условию

[ v(x,t)dx = ß(t), 0<i <Т, (2)

J о

а также граничному и начальному условиям: v(0,t) = i/(t), 0 < t < T, v{x,Q) = Vo(x). 0 < x < 1. Им получены априорные оценки для решения задачи но начальной функции и правой части в нормах Lj и С. Идея доказательства существования решения основывается па возможности разложения начальной функции в биортогональный ряд по системе корневых функций нссамосопряжепной одномерной задачи на собственные значения.

Краевые задачи с нелокальными интегральными условиями для отдельных типов дифференциальных уравнений изучены в работах А.И. Кожаиова и Л.С. Пулькиной.

М.Е. Лернер, O.A. Репин в полуполосе G = {(х,у)|0 < х < \.у > 0} исследовали задачу, в которой требуется найти функцию и(х. у), удовлетворяющую условиям:

и{х, у) G C{G) П С1 (G и {x = 0}) П С2(G);

ymuxx -f Uyy = 0, (x,y) € G, m > —1;

u(x, г/) —> 0 при y —» +00 равномерно по £ G [0,1];

u(0,y) — u(l,y) = <fii{y), ux(Q,y) = р2{у), У > 0; u(x, 0) = т(х), 0 < x < 1.

где r(x), fi{y), p2(y) - заданные достаточно гладкие функции, причем т(х) ортогональна к системе функций 1, cos(2n + 1)тга;, п = 0,1,2,... .

Е.И. Моисеев исследовал нелокальную задачу в полуполосе G для вырождающегося на границе эллиптического уравнения:

утиХт. + Щу = 0, m > —2;

и(0. у) = и{ 1, у), их{0, у) = 0, у > 0, и(х, 0) = Дх), 0 < x < I,

в классе функций и G C(G) П C2{G) в предположении, что и(х.у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда. Единственность и существование решения доказаны методом спектрального анализа.

К.Б. Сабитов рассмотрел задачу Дирихле для уравнения смешанного типа

Lu = signt ■ \t\muxx + ии - b2signt • |i|mu = 0, (3)

где т' = const > 0. b = const > 0, в прямоугольной области D = {(х,i))0 < х < 1, -а < t < ß} , а, ß - заданные положительные числа, со следующими условиями:

и € C(D) П Cl{D) П C2(D~ U -D+); Ьи{хЛ) = 0Т (x,t) е D_UD+:

u(0,i) = u(l,i) = 0; -a<t<ß;

- /(x), «(i, —a) = <?(*), 0 < ® < 1,

здесь / и g-- заданные достаточно гладкие функции, D+ = D П {у > 0}, D- = Ö П {г/ < 0}. Установлен критерий единственности. Существование решения поставленной задачи доказано на основе спектрального метода решения краевых задач.

К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко для уравнения (3) в прямоугольной области D найдены необходимые и достаточные условия единственности и достаточные условия разрешимости краевой задачи с условиями периодичности u{0,t) = u(l.i), ux(0,t) = ux(l,t), -a < t < ß, и локальными условиями и(х, ß) = f{x), и(х, -а) = ф(х) ■ 0 < х < 1.

Сабитовым К.Б. изучена краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием (2) и доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решения.

В работах Ю.К. Сабитовой изучены задачи для уравнения (3) в прямоугольной области D с нелокальными условиями: u(0,t) = u(l,t) или ux(0,t) = ux(l,l). -a < t < ß. в сочетании с другими локальными граничными данными. Доказаны соответствующие теоремы единственности и существования решения поставленных задач.

Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Отметим здесь прежде всего работы Тихонова А.Н., Лаврентьева М.М., Романова В.Г., Иванова В.К., Васина В.В., Танана В.П., Прилепко А.И., Денисова A.M., Алексеева A.C., Бубнова Б.А., Баева A.B., Кожанова А.И. и другие.

Сабитовым К.Б. и Сафиным Э.М. изучены краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Lu= ( Uxx + ^ = У > (4)

и \ Utt - + ь2и = f2(x), у < О,

в прямоугольной области D, где неизвестными являются функции и(х, у) и fi(x). i = 1,2. Установлены критерии единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решений рассматриваемых задач.

Такие задачи относятся к классу обратных задач с неизвестным источником.

В отличие от этих исследований в данной работе рассматриваются нелокальные обратные задачи для уравнений эллинтико-гиперболического типа. Отличительной особенностью нелокальных задач для данного класса уравнений сметанного типа уравнений является то, что система собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи не полна. В связи с этим при решении таких задач спектральным методом необходимо рассматривать присоединенные функции. Это усложняет построение решения и доказательство корректности задачи. Решения задач строятся в виде сумм биортогональных рядов. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. А в связи с тем. что рассматриваемое уравнение есть уравнение эллинтико-гиперболического типа, для доказательства сходимости построенных рядов требуется установить более сильные оценки, чем в случае уравнения (4).

Цель и задачи диссертационного исследования. В настоящей работе рассматриваются обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

,2 г/ \ ( Мх)> У>®> /-\ Ьи = ихх + вдпу ■ иуу - Ь и ~ ¡{х, у) = < ^^ ^ < 0 (о)

в прямоугольной области В - {(х, у)\ 0 < х < 1, -а < у < в}, где а > О, /3 > О, Ь > 0. со следующим нелокальным условием:

и(О, у) = и(1, у) или их(0, у) = ит{ 1, у), -а<у < /?.

в сочетании с другими локальными граничными данными. Основными задачами исследования являются постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений нелокальных обратных задач для уравнения (5) в области £>.

Объектом исследования являются нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

Теоретическую и методологическую основу исследования вопросов единственности, существования и устойчивости решений нелокальных обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа составляют методы общей теории дифференциальных уравнений в частных производных и спектрального анализа.

Научная новизна исследования. Результаты работы, выносимые на защиту являются новыми.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с неизвестной одинаковой правой частью, зависящей от одной переменной, в прямоугольной области с нелокальными граничными условиями первого и второго родов. Для каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональных рядов с обоснованием сходимости в соответствующем классе функций, доказана устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с неизвестными разными правыми частями, каждая из которых зависит от одной переменной, в прямоугольной области с нелокальными граничными условиями первого и второго родов. Для каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональных рядов с обоснованием сходимости в соответствующем классе функций, доказана устойчивость решения по граничным данным.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Работа посит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории обратных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах: по теории дифференциальных уравнений имени С.П. Пулькина при Поволжской государственной социально-гуманитарной академии и Институте прикладных исследований АН РБ (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов, 2009 - 2011 гг.), кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (научный руководитель - д.ф.-м.н.,профессор Л.С. Пулькина, 2010 - 2011 гг.), кафедры дифференциальиых уравнений Казанского федерального университета (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов, 2011 г.) и НИУ БелГУ (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор А.П. Солдатов, 2011 г.), а также на следующих всероссийских и международных конференциях: 1. Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их

приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.Л. Садовничего (г. Москва. 30 марта - 2 апреля 2009 г.). 2. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в сстсствознашш", посвященная 100-летию БашГУ (г. Уфа.. 2-6 октября 2009 г.). 3. Вторая всероссийская научно-практическая конференция "Интегративный характер современного математического образования", посвященная памяти заслуженного деятеля науки РФ, члена-корреспондента РАЕ. доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Волкодавова (г. Самара, 26 - 28 октября 2009 г.). 4. Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 3-6 июня 2010 г.). 5. Вторая Международная конференция "Математическая физика и ее приложения "(г. Самара. 29 августа 4 сентября 2010 г.). б. Девятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2010"(г. Казань, 1 - 6 октября 2010 г.). 7. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского (г. Москва. 30 мая - 4 июня 2011 г.). 8. Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, 26 - 30 июня 2011 г.). 9. Всероссийски конференция с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Стерлитамак, 27 -30 июня 2011 г.). 10. Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел "(г. Белгород, 17 - 21 октября 2011 г.). 11. Десятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2011"(г. Казань, 31 октября -4 ноября 2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - (1С] общим объемом 4,43 п.л. При этом статьи [1|, [2] опубликованы в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. В совместной работе [2] постановка задач и идея доказательств принадлежит научному руководителю К.Б. Сабитову.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 107 наименований. Общий объём диссертации - 108 страниц.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю К.Б. Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

В главе 1 исследуются обратные задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа, связанные с поиском одинаковых правых частей. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим уравнение эллиптико-гиперболического типа (5) при fi(x) = ¡2{х) = f(x)i то есть уравнение

Ьи = ихх + sgny ■ иуу - b2u = f(x), (6)

в прямоугольной области D = {(а:, у)\ 0 < х < 1, -а < у < Р}, где а > О, 0 > 0, b > 0 - заданные действительные числа. Для уравнения (6) в этой области поставлены и решены следующие обратные задачи.

Задача 1.1. Найти в области D функции и(х.у) и f{x), удовлетворяющие условиям:

и G Cl(D) П C2(£L U D+)-, f{x) е С(0,1) П Щ 1]; (7)

Lu = f(x). (х, у) € f - U D+; (8)

и(х,(3) = <р{х), и(х, -а) = i>(x), иу(х,-а) = g(x), 0<х<1. (9)

«(О, у) = «(1,у), их(0,у) - 0, -а < у < /3; (10)

где if(x), 1р(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, D+ = D П {у > 0}, D- = D П {у < 0}.

Задача 1.2. Найти в области D функции и(х,у) и f(x), удовлетворяющие условиям (7) - (9) и

цх(0,у)=их(1,у), и(1,|/) = 0: -а <У<0, (11)

здесь ip(x), ip(x) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции.

Отметим, что в задачах 1.1 и 1.2 условие иу(х, —а) = д(х), 0 < х < 1 является условием переопределения, так как при f(x) = 0 это граничное условие, как показано в работах Ю.К. Сабитовой, излишне.

При решении задач 1.1 и 1.2 применяются системы корневых функций одномерной спектральной задачи для уравнения

Х"(х) + АЛ'(л;) — 0, 0 < х < 1,

с соответствующими граничными условиями

Х(0) = Х(1), х'(0)=0 и Х'(0) = Х'(\), Х'(1)=0:

1: {совг^х}^!, {хвт2пкх}^1; (12)

2(1 — х). {4(1 -х)соз2пкх}^=1, {48т2тгАх}^1. (13)

Они составляют биортонормированную систему, полны и образуют базис в пространстве ¿2(0,1).

Решение задачи 1.1 построено в виде сумм рядов по системе функций (12):

ОС ОС

и{х,у) -- Т0(у) +^Т2к^{у)со$2ъкх + ^Т2к{у)х$т2т\кх, (14) 1 к= 1

ос ос

!(х) = /о + X] Ьк-1С05 2тгкх + Ькх бш 2-ккх, (15)

Ы1 к=1

а коэффициенты рядов (14) и (15) определяются по системе функций (13):

^о(у) — 2 / и(х,у)(1 - х)ёх, Т2к(у) = 4 [ и(х,у) вт2тткх<1х, 7о Л

Т2к-1(у) = 4 / и(:г, у)(1 - ж) со82тгкх<1х: /о = 2 [ /(х)(1 -■/о ^о

$2к = 4 / {{х)ъ\п2'пкхАх, /2А-1 = 4 / ¡(х)(1-х)соч21ткх<1х Jo Ь

и находятся единственным образом при выполнении при всех А: € N (в случае 6 = 0) и /с € = N и {0} (в случае Ь > 0) условий:

Аа/?о(0) = До/»(*)|м>.*=0 - -а2 - 2«/? + (? ф о, (16) А щ%{к) = вт \ка эИ — соэ А^а сЬ + 1^0, (17)

где \к = ^/(2ттк)2 + 1Р.

При а = (>/2 - 1)(3 выражение Даао(0) = 0 и тогда однородная задача (7) - (10), где ip(x) — ij)(x) = д(х) = 0, имеет ненулевое решение

(fit- 4- f°'44n-P) ,, ъ п

«о(х,у)=и.(у)= .Ш-п 1< 0

(. Л 2 2 2(n+/i) ' " U>

fii{x) = /о = const -ф- 0.

Если при некоторых а, 0, Ь и к = р £ N(N0) нарушены условия (17), то задача 1.1, где ц>(х) = ф(х) - д(х) = 0, имеет ненулевое решение

ир(х, у) = ир(у) cos 2прх, /р(х) = /р cos 2прх, (18)

{\-2 { (Ар«Лру+sinЛраcliApy-tili\р(у-в) _ -i\ ■> ft ЛР h \ cosApashAr/3+sinApochArfl ) > У ■

\-2 f I sinAp(a+y)-t-tosApasbApj8-sinAy»chApg Л г,

ЛР /р ^ ens Ара sh АуД+sin \ра гЪ \р/3 ) ■ У

/р ^ 0 - произвольная постоянная.

Условия (17) нарушаются только в том случае, когда

1 . ( ch Ар/3 \ (-1)" . f 1 \ , п а = — arcsm . . '.... - , arcsin , , ^ + ;г"> п = 0,1,... .

Ар \yfch2Xp0) Ар \х/с\1'2\р0 J 2 р

Теорема 1.1. Если существует решение задачи (7) - (10), то при b > 0 оно единственно только тогда, когда при всех k € No выполнены условия (17); при b = 0 оно единственно только тогда, когда при всех k е N выполнены усаовия (17) и (16).

Поскольку а, Р и Ь - любые числа из промежутков задания, то при больших к выражение Дпоь{к), которое входит в знаменатели коэффициентов рядов (14) и (15), может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей". В связи с этим, для обоснования существования решения задачи 1.1 надо показать существование чисел а, р и 6 таких, что при достаточно больших к выражение Аарь(к) отделено от нуля.

Лемма 1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р

натуральное; 2) а = p/q £ N, p,q G N, (p,q) = 1, (q, 4) = 1, mo существуют положительные постоянные Cq , ^eN, вообще зависящие от a, 0, b такие, что при всех к > ко и любом фиксированном Р > 0 справедлива оценка

\Ап3ь(к)\>Саешв> 0. (19)

Если для указанных а при некоторых к = I = к\. ..., кр < ко, где 0 < h < < • • • < кр, kit г = Т7р и р - заданные натуральные числа, выражение Дадо(0 = 0, то для разрешимости задачи (7) - (10) достаточно, чтобы выполнялись условия

Vj=Vj= 9j= 0. (20)

где j = 2к, 2к — 1, к = I = кик2....:кр: ip,, ipj, g, - коэффиценты разложения в биортогональный ряд по системам (12) и (13) функций <р(х),

ф(х), д(х) соответственно. Тогда решение задачи (7) - (10) определяется в виде

(А.,-1 к2-1 К-1 \

Е + Е + '"" + Е + Е х

х [Т2к-1(у)соз2тткх+ Т2к(у)х&т2пкх] +1^С1щ(х,у), (21)

А:г —1 V1 +О0

£+£+■■■+ Е + Е

к-1 к-к\ + \ к-кг_ [ + 1 к=кр~\

X [/2к-1С08 27гА;ж + /2*:Х8т27гА;д;] + Ес'/'(а;)1 (22)

где и/(х,у) и /¡(х) определяются соответственно по формулам (18). С; - произвольные постоянные, в сумме ^ индекс I принимает значения кик2,...,кр и = 0 при ^ = 0, здпк\ = 1 при > 1. В случае,

когда £¿+1 - 1 < 1ц + 1, г = ТГр, соответствующую сумму будем

считать равной нулю.

Теорема 1.2. Пусть ф) € Ся[0,1], у>(0) = </(0) = О,

</(0) = /(1), ^(х) е С3[0,1], т = ^(1), ^'(0) = 0, 1^(0) - ^"(1), д(х) € С2[0,1], д(0) = д(1). д'(0) = 0 « выполнены условия (16) и (19) при всех к > ка. Тогда если А„рь(к) ф 0 при всех к < ко, то существует единственное решение задачи (7) - (10), где функции и(х,у) и /(х) определяются соответствующими рядами (Ц) и (15); если А/г/%{к) = О при некоторых к = / = ... кр < к0, то задача (7) - (10) разрешима тогда, когда выполнены условия (20) и решение определяется рядами (21) и (22).

Пусть

О V72

1М1л2[0Д1 = \ \и{х,у)\Чх I , \\и(х,у)\\С{щ = шах |м(х, у)|,

11/0* = (/

1/2

х)\1^ дх^ , п е

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2 и Дазь(к) ф О при всех к < ко. Тогда для решения (Ц), (15) задачи (7) - (10) имеют место оценки:

I \\f(x)h2<N2{Mw:É + mW! + \\g\\w,¡).. )

: N*, y)llc(D) < Ni {M\wi + \)ip\\w.¡ + ЦрЦиф),

; ||/(г)11с[0,11 < {Mwi + \m\w¡ + llffll^),

¿de постоянные Ni не зависят от <p(x), ф(х), g(x).

Решение задачи 1.2 построено в виде сумм биортогональных рядов

DC ЭО

и(х, у) = Т0(у)(1 - х) + 5^T2t-i(y)sm2írA® + ^Т2к{у){1 - x)cos2 пкх,

к=i к=г

ОО 00

f(x) = fü(l - х) + ]Г hk-1 sin 2пкх + Ы1 - x) eos 2тткх,

fc-Л к=1

где теперь коэффициенты Тк{у) и Д, к = 0,1,2,..., определяются в отличие от задачи 1.1 но системе (12). Здесь также установлен критерий единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решения.

Глава 2 посвящена изучению обратных задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с разными правыми частями. Методом спектральных разложений установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений поставленных обратных задач.

Для уравнения (5) при fi(x) /г(х) поставлены и исследованы следующие обратные задачи.

Задача 2.1. Найти в области D функции и(х,у) и f(x,y), удовлетворяющие условиям:

ueC1(D)nC2{D^uD+), fi(x) eC(0,l)nL[0,l], i = 1,2; (23)

Lu = f(x, y), (x, y) £ D-U D+\ (24)

u(x,0) = <p(x), u(x,-a) = r¡)(x), 0 < x < 1; (25)

щ{х,0) = x(®), -a) = g{x), 0 < x < 1; (26)

u(05y) = u(l,y), ux(0,y) = 0,-a<y<p, (27)

где tp(x), ф(х), x(x) u д(х) ~ заданные достаточно гладкие функции.

Задача 2.2. Найти в области D функции и(х,у) и f(x,y), удовлетворяющие условиям (23) - (26) и

«*(0,у) = их(1,у), и(1,у) = 0, -а < у < 0, (28)

где íp{x), i¡'{x), х(х) и д(х) ■ заданные достаточно гладкие функции.

В задачах 2.1 и 2.2 условия (26) выступают в качестве условий переопределения по отношению к прямым задачам.

Решение задачи 2.1 аналогично задаче 1.1 построено в виде сумм биортогональнальных рядов по системам функций (12) и (13):

00 00

и{х,у) = То(у) + .,(у)соs2nkx + sm2nkx, (29)

* = 1 ¿-1

DO 00

fi(x) = /¡.0 + ^-l C0S 2l:kx + ¿L /¿-2fcXsin 2rrfcr' (30)

b=l 4=1

коэффициенты которых определяются единственным образом, если при всех к е No (в случае Ь > 0) и А: 6 N (в случае 6 0) выполнены условия

àaph(k) = shAкР ~ sin Ajfca + sin A/ta ch \ф - cos X^a sh \ф ф 0. (31)

Если при некоторых a, /3, 6 и к р G N(N0) нарушены условия (31), то однородная обратная задача (23) - (27) (где <р{х) = 0, ip(x) = О, д(х) = 0. х{х) = 0 ) имеет ненулевое решение

ир(х,у) = ир(у) cos 2лрх. (32)

f a-"

■/PA^jcos Apq

«p(f) =

, (l-rosApOf)(rJiA,(?/-/1)-l) «

■'¡,A2|cosApa(chAi,/3-l)+smAposhAp/?]! » ^ ■

¿ , r (ch ЛрлЗ—1) cos Ap;/+sh Ap/3 sin Affy+a) -sh \pf}sm Xpy p,

. Al+JP A£[cosApo(ch \ГД 1)-+ sin AFashApl3] ' У ^ U'

j. , ч /р(1 - cosXpa)cos2npx . . .

Лр(г) =-. РЛ . я—Л ■ ,-í-TT?' -М®) = fpCos2npx: (33

F cos ApQ(ch Ар/3 - 1) + sin Apash Ар/3

где /р - произвольная отличная от нуля постоянная.

При фиксированных к = р £ N0, 6 > О (р £ N, Ь = 0)и/3>0 выражение Да/»(?>) = 0 только в том случае, когда

2тгт 2тгп 2 í sh^f \

a = —:—: се = —--— arcsin I —¿===== I , т, гг € N. (34)

Хр Хр Xр \VchA р/З J

Теорема 2.1. Если существует решение задачи (23) - (27), то оно единственно только тогда, когда при всех k е No (при всех к Е N в случае, когда b = 0) выполнены условия (31).

Выражение Да#ь(к) входит в знаменатели коэффициентов рядов (29) и (30), определяющих решение задачи. В связи с этим необходимо ответить на вопрос при каких а, /3, b выражение Аазь{к) отделено от нуля.

Отменим, что при 6 —- 0 и когда а принимает рациональные значения = 0. Следовательно, для таких а нарушается единственность решения задачи 2.1.

Лемма 2.1. Если а > 0 является любым алгебраическим числом степени, п > 1 и b = 0, то существуют положительные постоянные Д) и Сц, вообще говоря, зависящие от а, такие, ч.то при всех ß > ßo и. k Е. N справедливы оценки

|Д«Я,(А)| > (35)

где е зада,иное достаточно малое число, приче.м г > 0 при п > 2 и е = 0 при п ~ 2.

Отметим, что каждое иррациональное число а единственным образом разлагается в бесконечную цепную дробь а - [ao,ai,a2, ...,а„,...], при этом целые числа ао,0,1,0,2, ••• называются элементами числа а. Элементы всякой квадратической иррациональности ограничены.

Лемма 2.2. Пусть а - положительное иррациональное число с неограниченными элементами и b = 0. Тогда для любого £ > 0 существует бесконечное множество целых чисел к > 0 таких, что

|Д«до(*)1 < е2"**^, k€ N, (36)

где С\ - положительное число.

Из доказанной оценки (36) следует, что для таких а > 0, выражение А„цд(к), которое является знаменателем коэффициентов ряда, определяющего решение задачи, может быть сделанным сколь угодно малым. Поэтому в этом случае решение задачи 2.1 в виде суммы рядов (29) - (30) не существует.

Лемма 2.3. Если b - положительное действительное число и выполнено одно из условий: 1) а = р - натуральное; 2) а = p/q £ N, р, q € N, (р, q) — 1, то существуют положительные постоянные fco £ N и Со, вообще говоря, зависящие от а, ß и b, такие, что при всех к > ко справедлива оценка

\Ап01,(к)\>е^. (37)

Лемма 2.4. Если а является любым алгебраическим числом степени п = 2 и b - положительное действительное число, то существуют положительные постоянные fco € N, bg и Cg, вообще говоря, зависящие от а, ß и 6, такие, что при всех k > kg и b < bg справедлива оценка

\Aaßb(k)\>e^. (38)

Если для а и Ь. удовлетворяющих условиям лемм 2.3, 2.4, при некоторых к = I = ki,k2,..-,kp < ¿'о, где 0 < к\ < к2 < ... < кр, k¡. i = Lj> и р - заданные натуральные числа, выражение Апу,{1) — 0, то для разрешимости задачи (23) - (27) достаточно, чтобы выполнялись условия

Ф) = 9j = Xj = 0, (39)

где j - - 2/с, 2к — 1, к = I = к2,..., k¡,; <pj, ipj , gj, Xj ' коэффициенты разложения в биортогональный ряд функций ф), ^(ж), .9(1), х(:е) соответственно. Решение выписывается в виде сумм соответствующих рядов, аналогичных (21), (22).

Для примера приведем теорему существования решения задачи (23) -(27) при выполнении оценки (37).

Теорема 2.2. Пусть ф).ф{х) € С5[0,1], у?(0) = <р( 1), ^(0) = 0,

<р>щ = /'(о) = о, ^(о) = <piva), т = т, ф'(о) = о,

Г(0) = Ф"(1), ГЩ = о, i>'v(0) - Х(х),д(х) G с4[0,1],

х(0) = х(1), х'(0) -= о, х»(0) = х"(1), х'"(0) = 0, 3(0) = 3(1), д'(0) = 0, д"(0) = д"( 1), д"'(0) = 0 и выполнена оценка (37) при k> kQ. Тогда если Аа/зъ(к) Ф 0 пРи вС€Х к < к0, то существует единственное решение задачи (23) - (27), которое определяется рядами (29) и (30); если &авь(к) = 0 при некоторых к = къ к2, ...кр<ко,то задача (23) - (27) разрешима т,огда, когда выполнены условия (39).

Аналогичные теоремы существования доказаны и при выполнении оценок (35), (38).

Таким образом, в случае Ь = 0 следует, что если

1) а - рациональное, то нарушается единственность решения;

2) а - число с неограниченными элементами, то решение задачи 2.1 в виде сумм рядов не существует;

3) а - любое алгебраическое число степени п > 2, 0 > Д>. то существует единственное решение задачи (23) - (27), которое определяется рядами (29) и (30).

В случае Ь > 0 следует, что если

1) а = или а - _ m,n,k е N, то нарушается единственность решения;

2) а - натуральное, рациональное или любое алгебраическое число степени п = 2 (в последнем случае необходимо, чтобы b < 60), то существует положительная постоянная ко, вообще говоря, зависящая от а, 0 и 6, такая, что если при всех к < к0 выражение А„,%(к) ф 0, то существует единственное решение задачи (23) - (27), которое определяется рядами (29) и (30), если же при некоторых к - I = кг, к2,..., кр < к0, где

1 < k\ < к2 <■■■< kp, к, . г = 1,р и р - заданные натуральные числа, выражение Arii%(i) = 0 и выполнены достаточные условия разрешимости задачи 2.1, то решение этой задачи определяется не единственным образом.

Теорема 2,3. Пусть выполнены условия теоремы 2,2 и выражение А<хрь{к) / 0 пРи все% к <ко. Тогда для решения (29) и (30) задачи (23) -(27) имеют место оценки:

IM*;i/)||t2 < Кг (|M|W| + Mw? + №11 wj + Mwl), ||/*(z)!k < Кг + Mwi + Mwl + llxllwj), < = 1,2,

ЫХ-.У)\\С(О) < К* (№11 wi + НУ* + 1Ык + IWM> ll/i(®)llc[o,i] < K, (Mwf + Мщ + Мщ + ||xllw24), t = 1,2,

где постоянные: Ki не зависят от f(x), ip(x), g(x), x(x) •

Аналогично доказывается устойчивость задачи (23) - (27) при выполнении оценок (35), (38).

Для задачи 2.2 получены аналогичные результаты, а именно, установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональнальных рядов, обоснована сходимость рядов в классах функций (23) и доказана устойчивость решения.

Публикации по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК

1. Мартемьянова, Н.В.: Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. - 80(6). - С. 27-38 (2010) -0,69 п.л.

2. Сабитов, К.В.: Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа [Текст] / К.Б. Сабитов, Н.В. Мартемьянова // Известия Вузов. Математика, - №2. - С. 71-85 (2011) - 0,87 п.л.

Публикации в других изданиях

3. Мартемьянова, Н.В.: Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего "Современные проблемы математики, механики и их приложений". - М.: "Университетская книга". - С. 175-176 (2009) - 0,06 п.л.

4. Мартемьянова, Н.В.: Критерий единственности решения обратной задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе [Текст] /

Н.В. Мартемьянова // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Серия "Физико-математические и технические науки", - Уфа: Гилем. - 6. - С. 55-61 (2009) - 0,44 п.л.

5. Мартемьянова, Н.В.: Критерий единственности решения нелокальной обратной задачи для уравнения смешанного типа [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Тезисы докладов Международной школы-конференции "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании", посвященной 100-летию БашГУ. - Уфа: РИЦ БашГУ. -С. 20 (2009) - 0,06 пл.

6. Мартемьянова, Н.В.: Об одной нелокальной обратной задаче для уравнения смешанного типа [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Сборник трудов Международной школы-конференции "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании", посвященной 100-летию БашГУ. Математика. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 1. - С. 239-247 (2009) - 0,5п.л.

7. Мартемьянова, Н.В.: Необходимое и достаточное условие единственности решения нелокальной обратной задачи для уравнения смешанного типа [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Материалы Второй всероссийской научно-практической конференции "Интегративный характер современного математического образования", посвященной памяти доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Волкодавова. - Самара: ПГСГА - С. 38-44 (2009) - 0,41 п.л.

8. Мартемьянова, Н.В.: Существование и единственность решения нелокальной обратной задачи для уравнения смешанного типа [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". Ч.З: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ. - С. 173-176 (2010) - 0,19 п.л.

9. Мартемьянова, Н.В.: Об устойчивости решения нелокальной обратной задачи для уравнения Лаврентъева-Бицадзе [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Материалы Седьмой школы молодых учёных "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". - Нальчик. - С. 63-66 (2010) - 0,19 п.л.

10. Мартемьянова, Н.В.: Обратная задача для вырождающегося уравнения смешанного типа [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Материалы второй Международной конференции "Математическая физика и ее приложения". - Самара: ООО "Книга". - С. 215-216 (2010) - 0,09 п.л.

11. Мартемьянова, Н.В.: Устойчивость решения обратной задачи для уравнения Лаврентъева-Бицадзе с нелокальным граничным условием [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Труды Математического центра им. Н.И.

Лобачевского. - Казань: Казан, матем. об-во. - 40. - С. 220-224 (2010) -0,25 п.л.

12. Мартемьянова, Н.В.: Обратная нелокальная задача для уравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского. -М.: Изд-во МГУ. - С. 266 (2011) - 0,06 п.л.

13. Мартемьянова, Н.В.: Нелокальная обратная задача для уравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Уфа: Гилем. - С. 153-158 (2011) - 0,31 п.л.

14. Мартемьянова, Н.В.: Нелокальная обратная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара: "Универс групп". - С. 76 (2011) - 0,06 п.л.

15. Мартемьянова, Н.В.: Обратная нелокальная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Сборник материалов Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". -Белгород: ИПК НИУ "БелГУ". - С. 78-79 (2011) - 0,06 п.л.

16. Мартемьянова, Н.В.: О единственности решения обратной задачи для уравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе [Текст] / Н.В. Мартемьянова // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Казан, матем. об-во. - 44. - С. 209-211 (2011) - 0,19 п.л.

Подписано в печать 28.12.2011. Формат 60 х 841/16. Гарнитура «Тшия». Печать оперативная.

Усл. печ. л. 1Д5.

Тираж 150 экз.

Заказ № 01/15 .

Отпечатано в типографии ООО "Порто-принт": ул. Песчаная, 1; тел.: 277-17-25

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Мартемьянова, Нина Викторовна, Самара

61 12-1/525

Поволжская государственная социально - гуманитарная

академия

Институт прикладных исследований АН РБ

На правах рукописи

МАРТЕМЬЯНОВА НИНА ВИКТОРОВНА

Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, ч л .-корр. АН РБ, профессор Сабитов К.Б.

Самара — 2012

Содержание

Введение.......................................................................................................4

Глава 1. Нелокальные обратные задачи для уравнения смешанного

типа с одинаковыми правыми частями........................................21

§ 1.1. Обратная задача с нелокальным граничным условием первого рода..................................................................................21

1.1.1. Постановка задачи.........................................................21

1.1.2. Формальное построение решения..................................22

1.1.3. Критерий единственности решения...............................31

1.1.4. Обоснование существования решения..........................33

1.1.5. Устойчивость решения..................................................38

§ 1.2. Обратная задача с нелокальным граничным условием второго рода..................................................................................42

1.2.1. Постановка задачи.........................................................42

1.2.2. Формальное построение решения..................................43

1.2.3. Критерий единственности решения..............................50

1.2.4. Обоснование существования решения..........................51

1.2.5. Устойчивость решения..................................................54

Глава 2. Нелокальные обратные задачи для уравнения смешанного

типа с разными правыми частями.............................................55

§ 2.1. Обратная задача с нелокальным граничным условием первого рода..................................................................................55

2.1.1. Постановка задачи.........................................................55

2.1.2. Формальное построение решения..................................56

2.1.3. Критерий единственности решения.............................62

2.1.4. Обоснование существования решения..........................63

2.1.5. Устойчивость решения..................................................81

§ 2.2. Обратная задача с нелокальным граничным условием второго рода............................... ...................................................88

2.2.1. Постановка задачи.........................................................88

2.2.2. Формальное построение решения..................................88

2.2.3. Критерий единственности решения.............................90

2.2.4. Обоснование существования решения..........................91

2.2.5. Устойчивость решения.................. ...............................97

Библиографический список...................................................................98

Введение

Исследование краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в газовой динамике, теории околозвуковых течений, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях науки.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [77] и С. Геллерстедта [88].

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф.И. Франкля [78], в которой он обнаружил важные приложения теории уравнений смешанного типа к проблемам трансзвуковой газовой динамики.

Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль [79],[80], A.B. Бицадзе [8, И], К.И. Бабенко [3], C.S. Morawetz [89], M.N. Protter [90, 91], Л. Берс [5], В.Ф. Волкодавов [14], В.Н. Врагов [15, 16], Т.Д. Джураев [18],

B.И. Жегалов [19, 20], А.Н. Зарубин [21], И.Л. Кароль [30], Н.Ю. Капустин [29], Ю.М. Крикунов [35], А.Г. Кузьмин [36], O.A. Ладыженская [40], Е.И. Моисеев [44], A.M. Нахушев [46], Н.Б. Плещинский [48],

C.П. Пулькин [51], O.A. Репин [54], К.Б. Сабитов [57], М.С. Салахитдинов [67], М.М. Смирнов [72], А.П. Солдатов [74, 75], P.C. Хайруллин [81], М.М. Хачев [82, 83] и другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [79], A.B. Бицадзе [6, 7], В.И. Жегалова [19, 20], J.R. Cannon [85, 86], Л.И. Камынина [28],

A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [9], A.B. Бицадзе [10], A.M. Нахушева [46], А.П. Солдатова [73], В.А. Ильина [24], Н.И. Ионкина [25, 26], Н.И. Ионкина и Е.И. Моисеева[27], A.A. Самарского [68], A.JI. Скубачевского [71], М.Е. Лернера и O.A. Репина [41] - [43], Е.И. Моисеева [45], JI.C. Пулькиной [52], [53], А.И. Кожанова [33], К.Б. Сабитова [58] и других.

В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [79] впервые для уравнения Чаплыгина К(у)ихх + иуу — 0, где Ä"(0) — 0, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия и(0, у) — и{0, —у) — f(y), 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. A.B. Бицадзе [6] доказал существование и единственность решения задачи Франкля для уравнения Лаврентьева

д2и , чд2и л

+ = (1)

а также единственность решения этой задачи для уравнения Чаплыгина

Pi-

В.И. Жегалов [19] рассмотрел в области D, ограниченной при у > 0 простой кривой Жордана Г с концами в точках А(0,0) и В( 1,0), а при у < 0 - характеристиками х + у — 0 и х — у — 1 уравнения (1), задачу о нахождении решения и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющего условиям

11 1

и = <р(х,у), (х,у)е Г, а(х)и(х, -х)+Ь(х)и(х+-,х--) = с(х), 0 < х <

В работе A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [9] изучена задача о нахождении в прямоугольнике {(х,у)\ — I < х < 1,0 < у < 1} гармонической функции и(х, у), удовлетворяющей условиям

и(х, 0) = <pi(x), и{х, 1) = <ß2(x), — I < х <

«Н, у) - <Рз {у), и( 0, у) = и(1, у), 0<у<1.

Единственность решения доказывается на основании принципа экстремума. Существование решения вытекает из разрешимости интегрального уравнения, эквивалентного поставленной задаче.

Н.И. Ионкин [25] рассмотрел в прямоугольнике {(ж,£)[0 < х < 1, 0 < t <Т} задачу для уравнения теплопроводности

об отыскании его решения удовлетворяющего нелокальному

интегральному условию

а также граничному и начальному условиям: v{0>t) = 0 < t <

Т, 0) = г>о(ж), 0 < х < 1. Им получены априорные оценки для решения задачи по начальной функции и правой части в нормах L/2 и С. Идея доказательства существования решения основывается на возможности разложения начальной функции в биортогональный ряд по системе корневых функций несамосопряженной одномерной задачи на собственные значения.

Краевые задачи с нелокальными интегральными условиями для гиперболических дифференциальных уравнений изучены в работах А.И. Кожанова и Л.С. Пулькиной [33], [52], [53].

М.Е. Лернер, O.A. Репин [42] в полуполосе G = {(я,г/)|0 < х < 1, у > 0} исследовали задачу, в которой требуется найти функцию и{х, у), удовлетворяющую условиям:

и(х,у) £ C(G) П C\G U {х = 0}) П C2(G); ymuxx + иуу = 0, (х, у) € G, m> -1;

и(х, у) —0 при у —> +оо равномерно по х G [0,1]; и(0, у) - и( 1, у) = tpi(y), их(0, у) - ср2(у), у > 0; и(х, 0) = т(х), 0<х<1,

где т{х), (р1(у), <Р2(у) ~ заданные достаточно гладкие функции, причем т(х) ортогональна к системе функций 1, соз(2тг 4-1)7гж, п = 0,1,2,... .

Е.И. Моисеев [45] исследовал нелокальную задачу в полуполосе С для вырождающегося на границе эллиптического уравнения:

(2)

Утихх + иуу = 0, т > -2;

w(0, у) = и( 1, у), их{0, у) = 0, з/ > 0, и(х, 0) = /(ж), 0 < ж < 1,

н классе функций и € C(G) П C~{G) в предположении, что и(х, у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда. Единственность и существование решения доказаны методом спектрального анализа.

К.Б. Сабитов [57] рассмотрел задачу Дирихле для уравнения смешанного типа

Lu = signt • |t\muxx Hb utt - b2signt ■ \t\mu = 0, (3)

где m — const >0,6 = const > 0, в прямоугольной области D = {(ж,£)|0 < x < 1, —a <t<P}, a, ¡3 - заданные положительные числа, со следующими условиями:

и € C(D) П C\D) П C2(£L U £>+);

Lu(x,t) = 0, (x,t) € D- U D+,

u(0,t) = u(l,t) — 0, -a<t< /3;

и(х, /?) = /(ж), —а) = ^(ж), 0 < х < 1,

здесь / и д- заданные достаточно гладкие функции, D+ = D П {;?/ > 0}, £)_ = D П {у < 0}. Установлен критерий единственности. Существование решения поставленной задачи доказано на основе спектрального метода решения краевых задач.

К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко [62] для уравнения (3) в прямоугольной области D также установлен критерий единственности и найдены достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи с условиями периодичности w(0, t) = u(l, t), ux(0, t) = ux( 1, t), —a <t<(3, и локальными условиями u(x, (3) = ip(x), u(x, —a) = ф(х), 0 < x < 1.

В работе Сабитова К.Б. [58] поставлена краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием (2) доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решения.

В работах Ю.К. Сабитовой [64] - [66] изучены задачи для уравнения (3) в прямоугольной области D со следующими нелокальными условиями:

w(0,t) = w(l, t) или их(0, t) = ux(l,t), —a<t<(3,

в сочетании с другими локальными граничными данными. Доказаны соответствующие теоремы единственности и существования решения поставленных задач.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

Обратные задачи возникают во многих разделах науки: квантовой теории рассеяния, электродинамике, акустике, геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областях естествознания. Это связано с тем, что значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных, а именно свойства среды на практике часто бывают неизвестны.

Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Отметим здесь прежде всего работы Тихонова А.Н. [76], Лаврентьева М.М. [37] - [39], Романова В.Г. [55], [56], Cannon J.R. [87], Иванова В.К., Васина В.В., Танана В.П. [23], Прилепко А.И. [49], [50], Денисова A.M. [17], Алексеева A.C., Бубнова Б.А. [1], [12], Баева A.B. [4], Кожанова А.И. [32], [34] и другие.

Сабитовым К.Б. и Сафиным Э.М. [59] - [61], [69], [70] изучены краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

lu=f ut - + b2u = fi(x), y> 0, 1 utt - uxx + b2u = f2(x), у < 0,

в прямоугольной области D — {(х,у)\ 0 < х < 1, — a < у < ß}, где неизвестными являются функции и(х,у) и fi(x), i = 1,2. Установлены критерии единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решений рассматриваемых задач. Такие задачи относятся к классу обратных задач с неизвестным источником [39, с.20], [17, с. 123].

Начато также исследование краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, связанных с поиском правой части. В работе Сабитова К.Б. и Хаджи И.А. [63] для уравнения Лаврентьева-Бицадзе рассмотрена краевая задача с локальными граничными данными и неизвестной одинаковой правой частью, зависящей только от одной переменной, установлен критерий единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости.

В отличие от этих исследований в данной работе рассматриваются нелокальные обратные задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа. Отличительной особенностью нелокальных задач для данного класса уравнений является то, что система собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи не полна. В связи с этим при решении таких задач спектральным методом необходимо рассматривать присоединенные функции. Это усложняет построение решения и доказательство корректности задачи. Решения задач строятся в виде сумм биортогональных рядов. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. А в связи с тем, что

рассматриваемое уравнение есть уравнение эллиптико-гиперболического типа, для доказательства сходимости построенных рядов требуется установить более сильные оценки, чем в работах [59] - [61], [68], [ТО].

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

Lu = ихх + sgny • иуу - b2u = f(x, у) = j j' ^ ^ jj' (4)

в прямоугольной области.

Рассмотрим уравнение эллиптико-гиперболического типа (4) при fi(x) = /2(ж) = f(x), т.е. уравнение

Lu = ихх + sgny • иуу — b2u = /(ж), (5)

в прямоугольной области D = {(ж, у)\ 0 < х < 1, ~а < у < /3}, где а > О, ¡3 > 0, 6 > 0 - заданные действительные числа. Для уравнения (5) в этой области поставлены и решены следующие обратные задачи.

Задача 1.1. Найти в области D функции и(х,у) и f{x), удовлетворяющие условиям:

и е Cl{D) П C\D_ U D+); f(x) € С(0,1) П L[0,1]; (6)

Lu = /(s),(®,y)€ 0-UD+; (7)

и(х,(3) = <р(х), и(х, —а) = ф(х), иу{х, —а) = g(x), 0 < х < 1; (8)

«(О, у) = и{ 1, у), их(0, у) = 0, —а <у<{3, (9)

где (р(х), ф(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, (р(0) = <р(1),ф(0) = ф{1), <¿(0) = ф'{0) = 0, D+ = DH{y > 0}, Г>_ = Df){y < 0}.

Задача 1.2. Найти в области D функции и(х,у) и f(x), удовлетворяющие условиям (6) - (8) и

их{0,у)=их(1,у), «(1, у) = 0, -а<у<0; (10)

здесь (р(х), ф(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, ^'(0) =

При решении задач 1.1 и 1.2 применяются системы корневых функций одномерной спектральной задачи для уравнения

X"(x) + ÁX{x) = 0, 0 < ж < 1,

с соответствующими граничными условиями

хт = х(1), Х'(0) = 0 и Х'(0)=Х'(1), Х'(1) = 0:

1, {cos 2тгкх}^ь {ж sin 2irkx}f=1-, (11)

2(1-ж), {4(l-£)cos27rfor}£Lb {4 sin 27^}^, (12)

которые построены в работах [24], [25], [45]. Они являются биортонормированными системами, полны и образуют базис в пространстве 1^2(0,1).

Решение задачи 1.1 построено в виде сумм рядов по системе функций (11):

ОО 00

и(х,у) = То(у) + ^2т2к-\(у) cos2якх + T2k(y)xsm2vkx, (13)

к=1 к=1

f(x) = /о + f'2к~1 cos 27гкх + ?2кХ sin (14)

к= 1

а коэффициенты рядов (13) и (14) определяются по системе функций (12):

i Л1

2о(у) = 2 / и(аг, 2/)(1 - Т2*(з/) = 4 / «(ж, г/) sin27rb;d£, Jo Jo

Т2к-\{у) = 4 I и(х, у)(1 — ж) cos 2wkxdx, Jo

/о = 2 I f(x)(l — x)dx, f2k — 4 I f(x)sm2ivkxdx, ' Jo Jo

Í2k-i = 4 I /(#)( 1 — x) c.os2'Kkxdx Jo

и находятся единственным образом при выполнении условий:

Да/ю(0) = Д«0й(*)|fc=a,*=0 = ~ 2«/? + /?2 ^ 0, (15)

— sin Afeü; sh. Afc/3 — cos Afcor ch А^/З + 1^0, (16)

где Ак = у/(27тк)2 + б2. Причем условия (16) должны быть выполнены при всех к € N (в случае 6 = 0) и & е М0 = N и {0} (в случае 6 > 0).

При а = (л/2 — 1 )(3 выражение Аа/?о(0) = 0, тогда однородная задача (6) - (9), где ip(x) = ф{х) = д(х) = 0, имеет ненулевое решение

щ(х,у) = Т0(у), fo(x) — /о, (17)

где

/о - произвольная отличная от нуля постоянная.

Если при некоторых а, (3, b и к = р Е N(No) нарушены условия (16), то задача (6) - (9), где tp(x) — ф(х) = д(х) = 0, имеет ненулевое решение

ир(х, у) = Тр(у) cos 27грх, fp(x) - fp cos 2icpx, (18)

где

тР(у)

Л-2 f / cos Ара sh Лру+sin Лра ch АРз/—sh Хр(у—/3) ~

ЛР h I cos \ра sh Лр/3+sin Хра ch \pj3 1) ' У U' л—2 f ( sin Xp(a+y)+cos Xpy sh Apj3-sin Xpy ch Apj3 \ ^

ЛР JP\ cosXpasbXp/3+smXpachXp0 L) ' ^ '

ф 0 - произвольная постоянная.

Условия (16) нарушаются только в том случае, когда

ф (—1)" _ п

агсзт(1/х/сЬ2Л^) + —, п = 0,1,2,. Лр Л« 2р

где = агс8т(сЬЛр/?/у/сЕ2ЛрД) —> тг/4 при р —> +оо.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1.1. Если существует решение задачи (6) - то гари 6 > 0 око единственно только тогда, когда при всех к Е N0 выполнены условия (16); при Ь = 0 оио единственно только тогда, когда при всех к Е N выполнены условия (16) и (15).

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций (12) в пространстве Ь2 [0,1].

Поскольку а, (3 и 6 - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение Аарь{к), которое входит в знаменатели коэффициентов рядов (13) и (14), может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей"[2], [58]. В связи с этим, для обоснования существования решения надо показать существование чисел а, /3 и 6 таких, что при достаточно больших к выражение Аарь(к) отделено от нуля.

Справедлива следующая

Лемма 0.1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р - натуральное; 2) а = p/q £ N, p,q G N, (p, q) = 1, (q, 4) = 1, mo существуют положительные постоянные Co, ко £ N, вообще зависящие от а, (3, Ь такие, что при всех к > ко и любом фиксированном ¡3 > О справедлива оценка

¡A«M¿)I > Сое2^ > 0. (19)

Если для указанных а при некоторых k = I = к\, к2, ■ ■., кр < ко, где О < к\ < к2 < • • • < к{, i — 1,р и р - заданные натуральные числа, выражение Аарь{1) = Ü, то для разрешимости задачи (б) - (9) достаточно, чтобы выполнялись условия

<P¿ = Фз = 9j = 0, (20)

j z= 2к, 2к 1, к = I == к\, к2, • • •, кр,

где (pj, ijjj, g¿ - коэффиценты разложения в биортогональный ряд по ситемам функций (11) и (12) функций <р(х), ф(х), д(х) соответственно.

Тогда решение задачи (б) - (