Синхронизация систем с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния и исчезновения

Милованов, Сергей Викторович

Синхронизация систем с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния и исчезновения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Милованов, Сергей Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Синхронизация систем с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния и исчезновения»

Автореферат диссертации на тему "Синхронизация систем с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния и исчезновения"

На правах рукописи

МИЛОВАНОВ Сергей Викторович

СИНХРОНИЗАЦИЯ СИСТЕМ С СОСУЩЕСТВУЮЩИМИ УСТОЙЧИВЫМ И НЕУСТОЙЧИВЫМ ПРЕДЕЛЬНЫМИ ЦИКЛАМИ И БИФУРКАЦИЕЙ ИХ СЛИЯНИЯ И ИСЧЕЗНОВЕНИЯ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2005

Работа выполнена на базовой кафедре динамических систем факультета нелинейных процессов Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Кузнецов А.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: Курский государственный технический университет

Защита состоится 1 июля 2005 г. в 1722 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 по специальности 01.04.03 - «радиофизика» при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2005 г.

Ученый секретарь

Мельников Л.А.

кандидат физико-математических наук, доцент Купцов П.В.

диссертационного совета

Аникин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Классическая ситуация синхронизации реализуется, когда внешний периодический сигнал действует на автоколебательную систему с устойчивым предельным циклом. В этом случае в фазовом пространстве может возникнуть либо устойчивый тор, который лежит в окрестности этого предельного цикла, либо более сложные циклы на поверхности тора. Первый случай отвечает квазипериодической динамике, а второй - собственно синхронизации.

Простейшим примером является случай гармонического воздействия на систему Ван-дер-Поля. Пионерскими работами были исследования самого Ван-дер-Поля1 и Эпплтона2, расширенные и обоснованные с позиций теории нелинейных колебаний Андроновым и Виттом3.

Изучению этой системы и ее модификаций посвящено множество публикаций, которые продолжают появляться по мере развития компьютерных методов, теории и экспериментальной техники. Отметим как экспериментальные работы Hayashi (1964), Ueda и Akamatsu (1981), Herrero с соавторами (2000), так и теоретические результаты: Cartwright и Littlewood (1945), Levinson (1949), Levi (1981), El-Addasy (1985), Holmes и Rand (1978), Guckenheimer и Holmes4, Aronson с соавторами (1990), Parlitz (1987-1993), Glendinning и Proctor (1993), Postnov с соавторами (1999), Иванченко, Осипов и Шалфеев (2001), Пиковский, Розенблюм и Курте5 и др. Основные «вехи» теоретических исследований: построение укороченных уравнений, получение уравнения фазовой динамики (уравнения Адлера), объяснение на его основе явлений синхронизации и биений (квазипериодических режимов), полный бифуркационный анализ укороченных уравнений, выяснение роли нелокальных бифуркаций и бифуркаций Богданова-Такенса при больших амплитудах воздействия, изучение сильных и слабых резонансов, построение глобальной бифуркационной картины, выяснение возможных хаотических режимов, различные компьютерные иллюстрации для дифференциальной системы, изучение связанных систем с помощью укороченных уравнений (эффект «гибели колебаний»), а затем связанных дифференциальных систем и их отличий от укороченной системы и т.д.

Можно отметить также и определенный интерес к ситуации импульсного воздействия на систему Ван-дер-Поля (Gonzalez и Piro (1983), Ding (1988), Glass (1983), Glass и Sun (1994), Кузнецов и Тюрюкина (2003) и др.). В последнее время к анализу связанных систем было предложено применить метод карт динамических режимов, который позволяет выяснить интересные аспекты устройства пространства параметров (Кузнецов и Паксютов (2003)).

На базе системы Ван-дер-Поля можно создать ряд моделей, демонстрирующих новые особенности динамики. Одной из простейших модификаций является система Ван-дер-Поля — Дуффинга. В этом случае в уравнение Ван-

1 Van der Pol В //Radio Rev Vol 1 1920 P 701-710 Phil Mag 3 1927 P 65

1 Appleton V //Proc Cambridge Phil Soc (Math andPhys Sci),21 1922 P231

3 Андронов А А, Витг A A // Журнал прикладной физики 7(4) 1930

4 Гукенхеймер Дж., Холмс П Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей Ижевск, 2002

® Пиковский А, Розенблюм M, Курте Ю Синхронизация Фундаментальное нелинейное явление M, 2003

дер-Поля добавляется кубический член по аналогии с уравнением нелинейного осциллятора Дуффинга. Это приводит к эффекту неизохронности колебаний, т.е. зависимости периода свободных движений от амплитуды. Учет такой дополнительной (мы будем называть ее также фазовой) нелинейности вызывает определенную модификацию языков синхронизации. Основной язык становится несимметричным и сдвигается вправо по оси частот с ростом параметра нелинейности. При определенном значении параметра нелинейности наблюдается новая бифуркация коразмерности три, когда точка Богданова-Такенса совпадает с точкой сборки и с дальнейшим ростом параметра неизохронности переходит на нижнюю границу языка. В результате этого на плоскости (частотная расстройка — амплитуда воздействия) возникают новые линии нелокальных бифуркаций. Численный анализ дифференциальной системы Ван-дер-Поля -Дуффинга показывает, что за счет влияния дополнительной нелинейности языки субгармонических резонансов начинают перекрываться при меньших значениях управляющего параметра Л, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа в автономной системе, а их внутренняя структура может быть достаточно сложной, включая хаотические режимы уже при умеренных значениях этого параметра.

Не менее интересная модификация системы Ван-дер-Поля - автогенератор с жестким возбуждением. Эта система в автономном режиме демонстрирует сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения. Соответственно, в случае внешнего периодического воздействия на такую систему наблюдается ряд новых эффектов, в частности - эффект асинхронного возбуждения, на возможность которого впервые указали Мандельштам и Папалекси еще в 1930-х годах6. Этот эффект состоит в том, что в системе при достаточно больших амплитудах воздействия возможно появление квазипериодических режимов за порогом бифуркации циклов. В этом случае устойчивый тор в фазовом пространстве возникает не в окрестности устойчивого предельного цикла, а вблизи области сгущения фазовых траекторий. Этот тип возбуждения назван асинхронным, поскольку реализуется при некоторой расстройке от резонансной частоты. Во избежание терминологических недоразумений подчеркнем, что в настоящей работе под асинхронным возбуждением будем понимать именно эффект квазипериодических режимов за порогом бифуркации слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов. Вслед за авторами5 ряд исследователей обращался к задаче синхронизации автогенератора с жестким режимом внешним гармоническим сигналом (например, Витт7, Секерская8, Королев и Постников9, Kaiser и Eichwald10).

Методология современной теории колебаний и нелинейной динамики, однако, такова, что постоянное развитие современных компьютерных методов,

'Мандельштам Л И, Папалекси НД //ЖТФ Т II Вып 7-8 1932 С 775 Т IV Вып 1 1934 С 98 7 Витг А А. // Журнал технической физики Т IV Вып I 1934 С 109 1 Секерская Е H //Журнал технической физики Т V Вып 2 1935 С 253

9 Королев В И, Постников Л В //Изв ВУЗ Радиофизика Т XII №3 1969 С 406 Т XII № И 1969 С 1710 Т XV № 10 1972 С 1527

10 Kaiser F , Eichwaid С //Int J ofBif & Chaos Voll No2 1991 P 485 Voll No3 1991 P 711

теории бифуркаций, теории динамического хаоса, появление новых подходов (например, теории катастроф) вновь и вновь вызывают потребность обращаться к тем или иным задачам. Это хорошо видно на примере собственно синхронизации в системе Ван-дер-Поля. Эта задача, которая давно уже является классической, продолжает привлекать внимание исследователей, о чем мы говорили выше.

В настоящей работе обсуждаются некоторые вопросы теории автогенератора, описываемого уравнением типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния. Перечислим некоторые из них:

• Какова роль фазовой нелинейности (неизохронности) у порога бифуркации слияния циклов?

• Каковы возможные «сценарии» слияния языков синхронизации, отвечающих устойчивому и неустойчивому режимам?

• Можно ли привлечь интерпретации теории катастроф к анализу такой системы?

• Как в деталях устроена область асинхронного возбуждения?

• Как соотносится описание системы в терминах укороченных уравнений и дифференциальной системы?

• Как проявляется бифуркация слияния циклов в неидентичных связанных системах?

Отметим, что в зависимости от взаимного расположения циклов такая система может быть либо автогенератором с жестким возбуждением, либо системой с ограниченным бассейном притяжения устойчивого предельного цикла. Примечательно, что эти две системы можно рассматривать в рамках одной задачи, проводя численное интегрирование и в прямом, и в обратном времени, и с учетом смены знака параметра связи для случая диссипативно связанных систем.

Ситуации, когда наряду с устойчивым режимом сосуществуют неустойчивые циклы, представляют интерес и для других нелинейных систем. Например, внимание исследователей привлекала система Лоренца в контексте интерпретации хаотической синхронизации в терминах неустойчивых орбит, Икоузку й а1., /акя й а1., для ряда биологических моделей исследования проведены Постновым с соавторами. Мы здесь ограничиваемся системой типа Ван-дер-Поля-Дуффинга, преимущество которой в том, что она приводится к нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа, что позволяет надеяться на определенную общность получаемых результатов.

Специальное внимание будет уделено случаю импульсного возбуждения. Действительно, исследования показывают, что в случае коротких и больших по величине импульсов картина синхронизации может быть весьма специфической, требующей самостоятельного изучения. При этом роль фазовой нелинейности (неизохронности) оказывается весьма значительной. В частности, в существенно неизохронной системе с неустойчивым циклом внешние импульсы могут инициировать устойчивые режимы. При этом устойчивый тор в фазовом пространстве появляется в окрестности неустойчивого предельного цикла в ав-

тономной системе, а на плоскости амплитуда - период воздействия возникает очень узкая полоса устойчивых квазипериодических и синхронных режимов11. Это говорит о том, что и в случае сосуществования устойчивых и неустойчивых циклов случай импульсного возбуждения требует специального изучения.

Таким образом, цель работы состоит в исследовании особенностей синхронизации внешним гармоническим и импульсным сигналами модифицированной системы Ван-дер-Поля-Дуффинга, демонстрирующей сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения, а также взаимной синхронизации таких подсистем.

Научная новизна работы. В настоящей работе для задачи о синхронизации системы типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с бифуркацией слияния и исчезновения циклов впервые показано, что

• На плоскости (параметр неизохронности, параметр, управляющий бифуркацией слияния циклов) укороченного уравнения обнаруживаются линии семи основных типов, которые разбивают ее на множество областей, каждой из которых отвечает определенная взаимная конфигурация языков синхронизации устойчивого и неустойчивого режимов.

• Движению по этой плоскости отвечает большое количество различных «сценариев» слияния устойчивого и неустойчивого языков синхронизации, однако наиболее типичным из них является слияние через катастрофу «ласточкин хвост» и определенный набор нелокальных бифуркаций.

• В системе с фазовой нелинейностью амплитудный порог асинхронного возбуждения понижается в низкочастотной и повышается в высокочастотной областях (в случае положительных значений параметра неизохронности).

• В дифференциальной системе в области супергармонических резонансов две области биений, отвечающие большой и малой амплитудам воздействия, могут объединяться в одну; при этом синхронизации на частоте воздействия соответствуют два «острова».

• В дифференциальной системе, описывающей автогенератор с ограниченным бассейном притяжения под внешним гармоническим воздействием, области возбуждения за порогом бифуркации слияния циклов представляют собой режимы периода один, окруженные очень узкими областями устойчивых квазипериодических режимов со встроенными языками синхронизации.

• В дифференциальной системе, описывающей автогенератор с жестким возбуждением под внешним гармоническим воздействием, даже при больших значениях параметра, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа, высокочастотная область асинхронного возбуждения сохраняет форму, характерную для укороченных уравнений, а низкочастотная существенно искажена за счет сильного влияния супергармонических резонансов.

• В системе с жестким возбуждением под импульсным воздействием, в отличие от случая гармонического возбуждения, с ростом частоты наблюдается

11 Кузнецов А П , Тюрюкина JIB Письма в ЖТФ 2003 Вып 8 С 52

не повышение, а понижение амплитудного порога асинхронного возбуждения.

• Для системы с импульсным воздействием вблизи высших резонансов асинхронные режимы исчезают за счет возникновения «островов», содержащих области удвоенного периода и хаоса, с последующим поэтапным исчезновением областей высоких периодов.

• Для двух идентичных диссипативно связанных автогенераторов с ограниченными бассейнами притяжения наблюдается эффект, аналогичный асинхронному возбуждению в области между линиями нелокальной бифуркации и гибели колебаний. Он имеет место и в неидентичных системах, если один из автогенераторов находится до порога бифуркации слияния циклов.

Достоверность научных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных расчетов, а также хорошим совпадением теоретических и численных результатов и результатов, полученных разными методами.

Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию. Установленное разбиение плоскости (параметр, управляющий взаимным положением циклов - параметр неизохронности), полученное для укороченного уравнения автогенератора с жестким возбуждением под внешним гармоническим воздействием, в определенной мере дает классификацию возможных сценариев слияния языков синхронизации в возбуждаемой гармоническим сигналом системе с бифуркацией слияния циклов. Для практики могут оказаться важными установленные отличия в поведении такой системы в случае гармонического и импульсного возбуждения. Полученная картина синхронизации автогенератора с жестким возбуждением может быть использована для описания динамики других систем радиофизики и нелинейной динамики. Аналогичным образом возможно применение результатов анализа диссипативно связанных автогенераторов, демонстрирующих сосуществование предельных циклов. Результаты работы используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ при чтении курса «Приложения теории катастроф и бифуркаций». Некоторые иллюстрации вошли в учебное пособие Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М., 2002.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Четырехпараметрический анализ пространства параметров укороченного уравнения автогенератора типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с жестким возбуждением в неизохронном случае обнаруживает множество областей, на которые разбито это пространство. Соответственно, возможно большое количество «сценариев» слияния языков синхронизации, отвечающих устойчивому и неустойчивому режимам. Однако для большинства из них характерным является слияние через катастрофу «ласточкин хвост» и определенный набор нелокальных бифуркаций.

няться в одну. При больших значениях параметра, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа, высокочастотная область асинхронного возбуждения сохраняет свою форму, а низкочастотная существенно искажена за счет сильного влияния супергармонических резонансов.

3. В системе с импульсным воздействием в отличие от случая гармонического воздействия наблюдается не повышение, а понижение амплитудного порога асинхронного возбуждения в области больших частот, обусловленное «накопительным» характером действия часто следующих импульсов. Области асинхронного возбуждения на высших резонансах не содержат квазипериодических режимов вообще, а состоят из островов удвоенного периода.

4. Для двух идентичных диссипативно связанных автогенераторов с ограниченными бассейнами притяжения наблюдается эффект, аналогичный асинхронному возбуждению в области между линиями нелокальной бифуркации и гибели колебаний. Он имеет место и в неидентичных системах, если один из автогенераторов находится до порога бифуркации слияния циклов.

Апробация работы и публикации. Результаты работы были представлены на следующих конференциях: International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics and Biophysics, Saratov, October 5-8, 1999; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 99», Саратов, 26-30 октября, 1999; The International Conference of Chaotic and Stochastic Oscillations «SYNCHRO-2002». Applications in Physics, Chemistry, Biology and Medicine. Saratov, September 22-28, 2002; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002». Саратов, 30 сентября - 6 октября, 2002; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003». Саратов, 8-13 октября, 2003; Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки, 23-28 августа, 2004; XXIV annual conference «Dynamic Days 2004». Palma de Mallorca, Spain, September 13-17, 2004; VII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур» — ХА0С-2004. Саратов, 1-6 октября, 2004; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004». Саратов, 2-6 ноября, 2004.

По теме диссертации имеется 11 публикаций (3 статьи в российских рецензируемых журналах, 5 статей в сборниках, 3 тезисов докладов). Ряд результатов работы получен в рамках грантов РФФИ 03-02-16074 и CRDF REC-006.

Личный вклад автора. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавторами.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Диссертация содержит 205 страниц текста, включая 85 рисунков и список литературы из 92 наименований на 8 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определяется актуальность работы, формулируются цели исследования, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе обсуждаются различные аспекты синхронизации системы Ван-дер-Поля и ее модификаций внешним гармоническим сигналом. Акцент сделан на вопросах, которые обычно недостаточно подробно рассматриваются в обзорных публикациях: картине бифуркаций в укороченной системе с учетом неизохронности, синхронизации на гармониках, включая тонкий бифуркационный анализ вблизи вершины языка синхронизации, глобальной картине бифуркаций на плоскости частота - амплитуда воздействия, синхронизации в автогенераторе с жестким возбуждением, использовании метода карт динамических режимов и т.д. Изложение всех вопросов ведется в рамках единой методологии и системы иллюстраций. Таким образом, это не только аналитический обзор, но и своего рода обобщающее исследование, которое подготавливает основу для дальнейшего анализа.

Во второй главе исследовано пространство параметров укороченного уравнения находящейся под внешним гармоническим воздействием неизохронной системы, в которой возможно сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов, на примере разновидности автогенератора с жестким возбуждением:

Параметр соответствует кубичной нелинейности и отвечает за неизохронность колебаний, к — параметр, управляющий взаимным расположением устойчивого и неустойчивого предельных циклов в автономной системе. Соответствующее укороченное уравнение имеет вид:

,2 ,, ,4

с заменой переменных

_ А/ __

Г~ 2' 2~241

¿ + гЛг = -2+|г| г-к\г\ г + хЩ г+е,

(2)

а, Д = -

е =—

,3/2'

к = 2кЛ, * = (3)

Iо

Ло) 2соЯ-

Общая картина бифуркаций в такой системе вложена в четырехмерное пространство параметров - безразмерные амплитуда воздействия е и частотная отстройка А, параметр, отвечающий за взаимное расположение циклов в автономной системе и параметр фазовой нелинейности Предложена удобная «стратегия» его исследования — следить за метаморфозами языков синхронизации на плоскости (частота — амплитуда воздействия) при движении по плоскости (параметр, ответственный за бифуркацию циклов - параметр неизохронности).

О сложности устройства пространства параметров говорит, например, то, что обнаруживаются три различные линии катастроф «ласточкин хвост», которые могут сливаться и обрываться в некоторых точках, четыре линии, отвечающие слиянию точек Богданова-Такенса и сборок, линии перекрытия языков «сверху» и другие, указанные в тексте диссертации (рис. 1).

В работе представлен анализ пространства параметров с использованием аналитического поиска линий и точек различных бифуркаций, численного поиска линий нелокальных бифуркаций, численного поиска линий, характеризующих взаимное расположение языков синхронизации, построения на компьютере фазовых портретов в характерных точках. Описаны «сценарии» слияния устойчивого и неустойчивого языков синхронизации в изохронном и неизохронном случае и обсуждаются их отличия. В изохронном случае языки имеют общую вершину, один из них «вытягивается», а другой «сжимается» вдоль оси амплитуды. В момент исчезновения циклов в автономных системах языки сливаются, затем объединенный язык отрывается от оси частот, образуя особенность, известную в теории катастроф как «губы». При этом для некоторого диапазона значений параметра отвечающего за взаимное расположение цикла в автономных системах, все еще сохраняется возможность квазипериодических режимов (явление асинхронного возбуждения). В неизохронном случае картина объединения языков синхронизации гораздо сложнее и может быть различной в зависимости от маршрута движения по плоскости (к,%). Рассмотрим трансформации языков синхронизации при значении параметра неизохронности Х=0.3 (точки 1-6 рис.1). На рис. 2 представлен соответствующий набор плоскостей параметров

При малых значениях параметра к существуют два языка синхронизации, вершины которых теперь разнесены и которые с ростом начинают сближаться и объединяться (вставки 1,2 рис. 2). Их объединение сопровождается ката-

1) Х=<)-3, к=П.12 2)г=0 3,к=0.16 3) г=№.3, к=в П44

-05 075 А 20 -2 5 0 75 ¿120 05 0 75 /120

Рис.2. Картина объединения языков синхронизации в неизохронном случае (х=0.3) при различных значениях к. Показаны линии седлоузловых бифуркаций и бифуркаций Андронова-Хопфа (Н).

строфой «ласточкин хвост», характерные сечения которой можно видеть в окрестности точки объединения языков (см. вставку 3 и увеличенные фрагменты). Обратим внимание, что такая область может быть не одна. Переход от вставки 3 к 4 соответствует катастрофе «ласточкин хвост» (обозначенной (II) на рис. 1) на верхней ветви складки. При переходе от вставки 4 к 5 катастрофа «ласточкин хвост» происходит вблизи точки отрыва языка от оси частотной расстройки А (пересечение линии «ласточкин хвост (I)»), и характерных структур более не наблюдается. При переходе через бифуркационное значение происходит отрыв языка от оси и образуется особенность «губы» (вставка 6 рис.2). Область асинхронного возбуждения (за порогом сляиния циклов, Ад>0.25) в этом случае имеет вид двух несимметричных полос, ограниченных линиями бифуркаций Андронова-Хопфа. При ¿=1/3 эти линии сливаются и исчезают, и квазипериодические режимы оказываются невозможными. В отличие от изохронного случая, области асинхронного возбуждения несимметричны, и амплитудный порог такого возбуждения в низкочастотной области ниже, чем в высокочастотной.

,Н

н ,4 /н /з/ //•о

*5\ Н

\\--V / 4 \

Более подробно плоскость параметров (Д,е) за порогом бифуркации слияния циклов вместе с характерными фазовыми портретами показана на рис. 3. Видно, что квазипериодические режимы возможны между двумя ветвями линий бифуркаций Андронова-Хопфа (вставки 3, 5). Интересной особенностью системы является также то, что устойчивые и неустойчивые предельные циклы (торы для исходной системы) могут сосуществовать в узких областях плоскости параметров между нижней ветвью бифуркации Андронова-Хопфа и линией

Рис.3. Плоскость параметров частотная расстройка — амплитуда воздействия и характерные фазовые портреты за порогом бифуркации циклов в автономных системах при к=0.29, ^=0.3. Показаны линии седлоузловых бифуркаций и бифуркаций Андронова-Хопфа (Н), а также линия нелокальной бифуркации (С).

нелокальной бифуркации О (вставка 2). Так что более корректно сказать, что в этом случае область асинхронного возбуждения ограничена снизу линией нелокальной бифуркации, которая почти совпадает с нижней линией бифуркации Андронова-Хопфа.

В диссертации представлен ряд иллюстраций метаморфоз языков при движении по другим характерным маршрутам по плоскости (к,х). В частности, показано, что выше некоторого порогового значения катастрофа «ласточкин хвост» невозможна, а языки могут оказаться объединенными даже в случае, если циклы в автономной системе достаточно далеки друг от друга (см. рис. 1). Характерной является и другая особенность, называемая, по терминологии Арнольда, «клюв к клюву».

Третья глава работы посвящена численному исследованию дифференциальной системы Ван-дер-Поля - Дуффинга с жестким возбуждением, находящейся под внешним воздействием. Исследование проводилось методом карт динамических режимов. В начале главы описываются его преимущества и не-

достатки, а также обсуждаются особенности построения карт динамических режимов для систем, демонстрирующих сосуществование циклов.

Представлено значительное количество карт режимов для системы с гармоническим воздействием (1), дающих достаточно подробную картину эволюции областей как устойчивых, так и неустойчивых квазипериодических и синхронных режимов при вариации управляющих параметров.

Исследовались случаи малых и больших значений параметра неравновесности Л, особое внимание уделено областям квазипериодических режимов, в том числе - за порогом бифуркации циклов в автономных системах. Показано, что при определенных условиях устройство областей квазипериодических режимов дифференциальной системы может существенно отличаться от аналогичных областей для укороченных уравнений, и обсуждаются эти отличия. Для примера на рис. 4 показаны карты динамических режимов системы (1), построенные вблизи порога слияния циклов в автономной системе, для Я=2.0. В этом случае на плоскости параметров имеются две линии нелокальных бифуркаций столкновения торов, при переходе через которые квазипериодические режимы исчезают и диагностируется режим синхронизации на частоте воздействия. Похожая ситуация наблюдалась при анализе укороченного уравнения, однако в случае дифференциальной системы линии столкновения торов существуют не везде: в области суперкритических резонансов образуется «остров» синхронизации на частоте воздействия внешней силы вблизи основного резонанса, в то время как вдали резонанса квазипериодические режимы возможны всюду ниже устойчивого языка. Такая ситуация возникает при увеличении параметра Д и можно предположить, что это является следствием неизохронности системы.

Наличие супергармонических резонансов на плоскости параметров (ш,Ь) дифференциальной системы приводит к тому, что низкочастотная граница области периода 1 выглядит на карте динамических режимов сильно изрезанной (вставка б рис. 4), а низкочастотная область асинхронного возбуждения значительно уменьшается в размерах (рис. 5, левая карта).

а) р=0.34 б) р=0.57

06 т 62 06 (о 62

Рис.4. Карты динамических режимов системы (1), построенные вблизи порога слияния и исчезновения циклов в автономной системе при Я.~2.0, к=0.0б1 (ксвО.0625), для различных значений параметра неизо-хронносги р. Цифрами обозначены периоды языков синхронизации, белым цветом обозначены квазипериодические режимы.

Для автогенератора с ограниченным бассейном притяжения области устойчивых биений за порогом слияния циклов имеют вид существенно более узких областей, окружающих остров устойчивого режима и лежащих на пороге разбегания траекторий. В эту узкую область встроены очень мелкие устойчивые языки Арнольда (рис. 5, правая карта).

Прямое время

Обратное время

Рис.5. Карты динамических режимов системы (1) за порогом слияния циклов. Х=1.0, к=0.15 (^«0.125), {М1.34. Левая карта построена при интегрировании системы в прямом времени, правая — в обратном

В третьей главе работы рассмотрен также случай импульсного воздействия на автогенератор с жестким возбуждением. В этом случае система описывается уравнением следующего вида:

Сценарий исчезновения областей квазипериодических режимов, наблюдаемых при слиянии циклов в автономной системе, имеет в этом случае некоторые особенности.

Исчезновение области квазипериодических режимов в изохронном случае происходит несимметрично: квазипериодические режимы исчезают сначала в правой части карты, в то время как в левой части они существуют при гораздо больших значениях к (рис. 6, левая карта). На картах режимов хорошо видно, что в области малых периодов внешнего воздействия амплитудный порог асинхронного возбуждения понижается. В случае гармонического воздействия система ведет себя совершенно иначе - амплитудный порог асинхронного возбуждения резко повышается с ростом частоты.

В неизохронном случае (рис.6, правая карта) области квазипериодических режимов тоже постепенно исчезают с ростом к, однако это происходит иначе, чем в изохронном случае. Вблизи основного резонанса область квазипериодических режимов становится уже, соответственно постепенно исчезают содержащиеся в ней языки синхронизации высших порядков. Справа область биений ограничена областью удвоенного периода, внутри которой квазипериодические режимы также исчезают с ростом к.

Вблизи резонансов более высокого порядка картина несколько иная. Там исчезновение квазипериодических режимов происходит в результате постепенного «замыкания» области синхронизации периода два и увеличения содержащихся в этой области языков более высокого порядка, которые постепенно занимают всю область биений. Чем выше порядок резонанса, тем раньше исчезает соответствующий «остров».

В четвертой главе исследуется система двух диссипативно связанных автогенераторов типа Ван-дер-Поля - Дуффинга, модифицированных таким образом, что каждая из подсистем в автономном режиме демонстрирует сосуществование устойчивого и неустойчивого циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения. Для того чтобы можно было наглядно сопоставить полученные результаты с результатами предшествующих работ13'25, за основу взята система двух связанных автогенераторов с ограниченным бассейном притяжения устойчивого цикла (как наиболее естественная модификация системы связанных автогенераторов Ван-дер-Поля - Дуффинга):

Случай связанных систем с жестким возбуждением получается при интегрировании (5) в обратном времени с изменением знака константы связи

Глава состоит из двух разделов. Первая часть посвящена исследованию укороченного уравнения, полученного методом медленно меняющихся амплитуд при некоторых существенных допущениях: рассматриваются системы с идентичными управляющими параметрами (только в этом случае метод медленно меняющихся амплитуд дает возможность получить аналитическое решение). Укороченные уравнения для амплитуды и базы колебаний имеют вид: ^ = Щ-ц)-Л3 + кв.5 + рЯ соэу/

/ ' (6) —У— = —8 - 2ц бш ш ат

где - разность фаз осцилляторов. В работе представлен подробный

бифуркационный анализ системы уравнений (6) при различных значениях параметров. Рассматриваются режимы динамики до порога бифуркации циклов в автономных системах и за пороговым значением система интегрируется в прямом и в обратном времени для различных знаков параметра связи

Во второй части главы система связанных автогенераторов исследуется численно. Строятся карты динамических режимов для различных значений начальных условий и параметров. Исследование также проводится как в прямом, так и в обратном времени, для положительных и отрицательных значений параметра связи. Карты динамических режимов системы (6), построенные в прямом времени для изохронного и неизохронного случаев при различных значениях параметра неравновесности \ представлены на рис.7, /Х>0. Карты в левой колонке построены для значений параметра к до порога бифуркации циклов в автономных системах, правая колонка содержит карты, построенные для

Видно, что в случае связанных систем возможна ситуация, похожая на явление асинхронного возбуждения для неавтономных систем: для некоторого диапазона квазипериодические колебания возможны в узкой области

плоскости параметров, ограниченной линиями нелокальной бифуркации (граница области разбегания траекторий) и бифуркации Андронова-Хопфа (граница области гибели колебаний). При дальнейшем увеличении к линия нелокальной бифуркации сливается с линией бифуркации Андронова-Хопфа, и квазипериодические режимы окончательно исчезают.

В заключительной части четвертой главы представлен ряд результатов анализа неидентичных по параметру неравновесности систем. В частности, изу-

чен вопрос о том, как трансформируются плоскости параметров при исчезновении циклов в каждой из подсистем - в случае неидентичных управляющих параметров бифуркации столкновения циклов происходят не одновременно, соответственно сценарий исчезновения квазипериодических режимов в этом случае отличается от случая идентичных систем. Так, при рассмотрении систем в прямом времени при наличии диссипативной связи для возникновения режима раз-бегания траекторий достаточно, чтобы циклы исчезли в одной из автономных подсистем. После того как аналогичная бифуркация происходит во второй подсистеме, на картах режимов перестают наблюдаться устойчивые квазипериодические режимы.

Основные результаты и выводы. В работе исследована система типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния и исчезновения. Показано, что:

1. Пространство параметров возбуждаемой гармоническим сигналом укороченной неизохронной системы, демонстрирующей бифуркацию слияния и исчезновения устойчивого и неустойчивого предельных циклов, содержит четыре существенных параметра. Удобной «стратегией» его исследования является изучение изменения конфигурации языков синхронизации на плоскости (безразмерные частота - амплитуда воздействия) при движении по плоскости (параметр, управляющий бифуркацией слияния циклов — параметр неизохронности). При таком анализе обнаруживаются следующие основные линии:

• линии, задающие катастрофу «ласточкин хвост»;

• линии, в которых точки Богданова-Такенса совпадают со сборками;

• линия касания правой сборки и правой границы «большого» языка;

• линия перекрытия языков «сверху»;

• линия перехода левой сборки внутрь языка;

• линия перехода правой сборки внутрь языка;

• линия окончательного слияния языков.

Эти линии, в свою очередь, могут иметь концевые точки, которые описаны в тексте диссертации.

2. Найденные линии разбивают плоскость (параметр, управляющий бифуркацией слияния циклов - параметр неизохронности) на множество областей. Движению по этой плоскости отвечает большое количество различных «сценариев» слияния устойчивого и неустойчивого языков синхронизации, однако наиболее типичным из них является слияние через катастрофу «ласточкин хвост» и определенный набор нелокальных бифуркаций. В то же время при больших значениях параметра неизохронности катастрофа «ласточкин хвост» невозможна.

3. С асинхронным возбуждением ассоциируется превращение языков синхронизации в особенность, известную в теории катастроф как «губы», с отходящими парами линий бифуркаций Андронова-Хопфа, которые обрываются в соответствующих точках Богданова-Такенса. С ростом параметра, управляющего бифуркацией слияния циклов, точки Богданова-Такенса сливаются, и асинхронное возбуждение исчезает. Граница этого исчезновения не зависит от параметра неизохронности.

4. В неизохронной системе с сосуществующими циклами под гармоническим воздействием амплитудный порог асинхронного возбуждения понижается в низкочастотной и повышается в высокочастотной областях. В очень узких областях параметров возможны и неустойчивые асинхронные квазипериодические режимы, которые, однако, исчезают раньше, чем устойчивые. Границами областей таких режимов могут быть как линии бифуркаций Андронова-Хопфа, так и линии нелокальных бифуркаций.

5. В дифференциальной системе, описывающей автогенератор с жестким возбуждением под внешним гармоническим воздействием, выявляются картины супер- и субгармонических резонансов, наличие которых заметно сказывается как вблизи порога бифуркации слияния циклов, так и в области асинхронного возбуждения. Так, в области супергармонических резонансов две области биений, реализующиеся вблизи порога бифуркации столкновения циклов, объединяются в одну; при этом синхронизации на частоте воздействия соответствуют два «острова».

6. Благодаря супергармоническим резонансам низкочастотная граница области периода 1 выглядит на карте динамических режимов сильно изрезанной, причем возможны каскады удвоений периода, наблюдаемые не только при увеличении, но и при уменьшении амплитуды воздействия. Соответственно, заметно уменьшается в размерах низкочастотная область асинхронного возбуждения.

7. В дифференциальной системе, описывающей автогенератор с ограниченным бассейном притяжения, области возбуждения за порогом бифуркации слияния циклов представляют собой режимы периода один, окруженные очень узкими областями устойчивых квазипериодических режимов со встроенными языками синхронизации.

8. В системе с импульсным воздействием, в отличие от случая гармонического сигнала, с ростом частоты наблюдается не увеличение, а понижение амплитудного порога асинхронного возбуждения. Это связано с «накопительным» характером часто следующих импульсов.

9. В системе с импульсным воздействием «остров» квазипериодических режимов имеет максимальный размер вблизи значения периода воздействия, равного половине собственного. Это можно объяснить тем, что импульсы в этом случае сначала «уводят», а потом возвращают изображающую точку в окрестность области локализации циклов или сгущения фазовых траекторий.

10. Для системы с импульсным воздействием вблизи высших резонансов асинхронные режимы исчезают за счет возникновения «островов» периодических режимов, содержащих области удвоенного периода и хаоса (но не квазипериодики), с последующим поэтапным исчезновением областей высоких периодов.

11. Даны иллюстрации устройства пространства параметров связанных систем с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого циклов при учете неидентичности и неизохронности. Для двух идентичных и неидентичных дисси-пативно связанных автогенераторов с ограниченным бассейном притяжения продемонстрирован эффект, аналогичный асинхронному возбуждению.

Основные публикации по теме работы:

1. Kuznetsov A.P., Turukina L.V., Savin A.V., Sataev I.R., Sedova J.V., Milovanov S.V. Multi-parameter picture of transition to chaos // Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. Vol.10. No 3.2002. P. 80-96.

2. Кузнецов А.П., Милованов СВ., Тюрюкина Л.В. Синхронизация в автоколебательной системе с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов // Образование и наука в ГосУНЦ «Колледж». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 99-108.

3. Кузнецов А.П., Милованов СВ. Синхронизация в системе с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 11. № 4-5.2003. С. 16-30.

4. Кузнецов А.П., Милованов СВ. Субгармонический резонанс в уравнении Ван дер Поля // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика Т. 12. № 3. 2004. С. 74-83.

5. Milovanov S. Synchronization in the system with stable-unstable circles merging bifurcation // The international Conference of Chaotic and Stochastic Oscillations «SYNCHR0-2002». Applications in Physics, Chemistry, Biology and Medicine. Conference Program and Books ofAbstracts. Saratov, 2002. P. 39.

6. Kuznetsov A., Milovanov S. Synchronization in a system with the cycle-collision bifurcation // XXIV annual conference «Dynamic Days 2004». Books ofAbstracts. Palma de Mallorca, Spain, 2004. P. 67.

7. Кузнецов А.П., Милованов СВ. Сложная динамика системы двух связанных осцилляторов // VII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХАОС-2004. Материалы конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. С. 130-131.

8. Милованов СВ., Печников А.А. Некоторые вопросы динамики неавтономных систем // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 99. Материалы научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1999. С. 18-21.

9. Милованов СВ. Синхронизация вблизи порога слияния циклов // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003. Материалы научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 196-199.

Ю.Кузнецов А.П., Милованов СВ., Сатаев И.Р. Синхронизация в системах с бифуркациями (Synchronization in Systems with Bifurcations) // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докладов. Великие Луки: Изд-во ВЦ РАН, 2004. С 127-129.

П.Кузнецов А.П., Милованов СВ. Сложная динамика системы двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля с жестким возбуждением // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004. Материалы школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2005. С.155-158.

Лицензия ЛР № 020773 от 15.05.98. Подписано к печати 24.05.2005. Формат 60x84 1/16. Бумага «Svetocopy». Гарнитура Times Усл. печ. л. 1,16 (1,25). Тираж 100 экз. Заказ 362.

Издательство ГосУНЦ «Колледж» 410012, Саратов, Астраханская, 83.

11 »2005

1133

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Милованов, Сергей Викторович

Введение.

Глава 1. Автогенератор Ван-дер-Поля и Ван-дер-Поля - Дуффинга: синхронизация внешним гармоническим сигналом, взаимная синхронизация диссипативно связанных систем (аналитический обзор).

1.1 Система Ван-дер-Поля под внешним гармоническим воздействием.

1.1.1 Вывод и анализ укороченного уравнения.

1.1.2 Метод медленно меняющихся амплитуд для субгармонического резонанса.

1.1.3 Численное исследование уравнения Ван-дер-Поля: бифуркационный анализ, построение карт динамических режимов.

1.2 Система Ван-дер-Поля - Дуффинга под внешним гармоническим воздействием.

1.2.1 Вывод и анализ укороченного уравнения

1.2.2 Численное исследование неавтономной системы Ван-дер-Поля - Дуффинга.

1.3 Синхронизация автогенератора с жестким возбуждением внешним гармоническим сигналом: предшествующие результаты.

1.4 Динамика двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля

Дуффинга.

Выводы.

Глава 2. Синхронизация в системе с сосуществующими устойчивыми и неустойчивыми предельными циклами: исследование укороченного уравнения.

2.1 Случай малых амплитуд воздействия.

2.2 Случай произвольных амплитуд воздействия.

2.3 Анализ пространства управляющих параметров.

2.4 Бифуркационный анализ. Построение фазовых портретов.

Выводы.

Глава 3. Синхронизация в системе с сосуществующими устойчивыми и неустойчивыми предельными циклами: исследование исходной дифференциальной системы.

3.1 Особенности построения карт динамических режимов для системы с сосуществующими предельными циклами.

3.2 Сопоставление значений параметров укороченного уравнения и исходной дифференциальной системы.

3.3 Построение и анализ карт динамических режимов.

3.4 Случай импульсного внешнего воздействия.

Выводы.

Глава 4. Динамика связанных автогенераторов с сосуществующими устойчивым и неустойчивым циклами и бифуркацией их слияния.

4.1. Вывод и анализ укороченного уравнения.

4.2 Бифуркационный анализ. Построение фазовых портретов.

4.3. Исследование полных дифференциальных уравнений.

4.3.1 Случай идентичных осцилляторов. ф 4.3.2 Неизохронный случай.

4.3.3 Случай неидентичных подсистем.

Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Синхронизация систем с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния и исчезновения"

Актуальность работы

Классическая ситуация синхронизации реализуется, когда внешний периодический сигнал действует на автоколебательную систему с устойчивым предельным циклом. В этом случае в фазовом пространстве может возникнуть либо устойчивый тор, который лежит в окрестности этого предельного цикла, либо более сложные циклы на поверхности тора. Первый случай отвечает квазипериодической динамике, а второй - собственно синхронизации.

Простейшим примером является случай гармонического воздействия на систему Ван-дер-Поля [1-18]. Пионерскими работами были исследования самого Ван-дер-Поля [1,3-4] и Эпплтона [2], расширенные и обоснованные с позиций теории нелинейных колебаний Андроновым и Виттом [60]. Изучению системы Ван-дер-Поля и ее модификаций посвящено множество публикаций, которые продолжают появляться по мере развития компьютерных методов, теории и экспериментальной техники. Отметим как экспериментальные работы Hayashi, 1964 [19], Ueda и Akamatsu, 1981 [20], Qin с соавторами, 1989 [21], Herrero с соавторами, 2000 [22], так и теоретические результаты: Cartwright и Littlewood, 1945 [23], Levinson, 1949 [24], Gilles, 1954 [25], Littlewood, 1957 [26], Levi, 1981 [27], El-Addasy, 1985 [28], Hayashi, 1964 [19], Holmes и Rand, 1978 [29], Guckenheimer и Holmes, 1983 [7], Grasman с соавторами, 1984 [30], Aronson с соавторами, 1990 [31], Parlitz, 1987-1993 [32-34], Noris, 1993 [35], Glendinning и Proctor, 1993 [36], Postnov с соавторами, 1999 [37], Иванченко, Осипов и Шалфеев, 2001 [74], Пиковский, Розенблюм и Курте, 2003 [6] и др. Основные «вехи» теоретических исследований: построение укороченных уравнений, получение уравнения фазовой динамики (уравнения Адлера), объяснение на его основе явлений синхронизации и биений (квазипериодических режимов), полный бифуркационный анализ укороченных уравнений, выяснение роли нелокальных бифуркаций и бифуркаций Богданова-Такенса при больших амплитудах воздействия, изучение сильных и слабых резонансов, построение глобальной бифуркационной картины, выяснение возможных хаотических режимов, различные компьютерные иллюстрации для дифференциальной системы, изучение связанных систем с помощью укороченных уравнений (эффект «гибели колебаний»), а затем связанных дифференциальных систем и их отличий от укороченной системы и т.д.

Можно отметить также и определенный интерес к ситуации импульсного воздействия на систему Ван-дер-Поля (Gonzalez и Piro, 1983 [38], Ding , 1986-1988 [39-42], Glass, 1983 [43], Glass и Sun, 1994 [44], Ullmann и Caldas, 1996 [45], Кузнецов и Тюрюкина, 2001-2004 [46-49]). В последнее время к анализу связанных систем было предложено применить метод карт динамических режимов, который позволяет выяснить интересные аспекты устройства пространства параметров (Кузнецов и Паксютов, 2003 [50]).

На базе системы Ван-дер-Поля можно создать ряд моделей, демонстрирующих новые особенности динамики. Одной из простейших модификаций является система Ван-дер-Поля - Дуффинга. В этом случае в уравнение Ван-дер-Поля добавляется кубический член по аналогии с уравнением нелинейного осциллятора Дуффинга. Это приводит к эффекту неизохронности колебаний, т.е. зависимости периода свободных движений от амплитуды. Учет такой дополнительной (мы будем называть ее также фазовой) нелинейности вызывает определенную модификацию языков синхронизации. Основной язык становится несимметричным и сдвигается вправо по оси частот с ростом параметра нелинейности % (Glenndinning, 1993 [36]). При определенном значении параметра х наблюдается новая бифуркация коразмерности три, когда точка Богданова-Такенса совпадает с точкой сборки и с дальнейшим ростом параметра неизохронности переходит на нижнюю границу языка. В результате этого на плоскости (частотная расстройка - амплитуда воздействия) возникают новые линии нелокальных бифуркаций. Численный анализ дифференциальной системы Ван-дер-Поля -Дуффинга показывает, что за счет влияния дополнительной нелинейности языки субгармонических резонансов начинают перекрываться при меньших значениях управляющего параметра X, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа в автономной системе, а их внутренняя структура может быть достаточно сложной, включая хаотические режимы уже при умеренных значениях этого параметра.

Не менее интересная модификация системы Ван-дер-Поля -автогенератор с жестким возбуждением. Эта система в автономном режиме демонстрирует сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения. Соответственно, в случае внешнего периодического воздействия на такую систему наблюдается ряд новых эффектов, в частности - эффект асинхронного возбуждения, на возможность которого впервые указали Мандельштам и Папалекси еще в 1930-х годах [51,52]. Этот эффект состоит в том, что в системе при достаточно больших амплитудах воздействия возможно появление квазипериодических режимов за порогом бифуркации циклов. В этом случае устойчивый тор в фазовом пространстве возникает не в окрестности устойчивого предельного цикла, а вблизи области сгущения фазовых траекторий. Этот тип возбуждения назван асинхронным, поскольку реализуется при некоторой расстройке от резонансной частоты/ Вслед за авторами [51] ряд исследователей обращался к задаче синхронизации автогенератора с жестким режимом внешним гармоническим сигналом (например, Секерская, 1935 [53], Витт, 1935 [59], Королев и Постников^, 1969-1972 [54-56], Kaiser и Eichwald, 1991 [57,58]).

Методология современной теории колебаний и нелинейной динамики, однако, такова, что постоянное развитие современных компьютерных методов, теории бифуркаций, теории динамического хаоса, появление новых подходов (например, теории катастроф) вновь и вновь вызывают потребность обращаться к тем или иным задачам. Это хорошо видно на примере собственно синхронизации в системе Ван-дер-Поля. Эта задача, которая Во избежание терминологических недоразумений подчеркнем, что в настоящей работе вслед за [51,52] будем называть асинхронным возбуждением именно эффект квазипериодических режимов за порогом бифуркации слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов. давно уже является классической, продолжает привлекать внимание исследователей, о чем мы говорили выше.

В настоящей работе будут обсуждены некоторые вопросы теории автогенератора, описываемого уравнением типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния. Перечислим некоторые из них:

• Какова роль фазовой нелинейности (неизохронности) у порога бифуркации слияния циклов?

• Можно ли привлечь интерпретации теории катастроф к анализу такой системы?

• Как в деталях устроена область асинхронного возбуждения?

• Как соотносится описание системы в терминах укороченных уравнений и дифференциальной системы?

• Как проявляется бифуркация слияния циклов в неидентичных связанных системах?

Специальное внимание будет уделено случаю импульсного возбуждения. Действительно, исследования показывают, что в случае

Заметим, что ситуации, когда наряду с устойчивым режимом сосуществуют неустойчивые циклы для других систем также привлекали внимание исследователей (например, для системы Лоренца, в контексте интерпретации хаотической синхронизации в терминах неустойчивых орбит, Pikovsky et al., Zaks et a!., подробности см. в [6], для ряда биологических моделей исследования проведены Постновым с соавторами). Мы здесь ограничиваемся системой типа Ван-дер-Поля-Дуффинга, преимущество которой, однако, в том, что она приводится к нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа, что позволяет надеяться на определенную общность получаемых результатов. коротких и больших по величине импульсов картина синхронизации может быть весьма специфической, требующей самостоятельного изучения [46,47]. При этом роль фазовой нелинейности (неизохронности) оказывается весьма значительной [46,47]. В частности, в существенно неизохронной системе с неустойчивым циклом внешние импульсы могут вызвать эффект стабилизации неустойчивости [48,49]. При этом устойчивый тор в фазовом пространстве появляется в окрестности неустойчивого предельного цикла в автономной системе, а на плоскости амплитуда - период воздействия возникает очень узкая полоса устойчивых квазипериодических и синхронных режимов. Это говорит о том, что и в случае сосуществования устойчивых и неустойчивых циклов случай импульсного возбуждения требует специального изучения.

• Движению по этой плоскости отвечает большое количество различных «сценариев» слияния устойчивого и неустойчивого языков синхронизации, однако наиболее типичным из них является слияние через 8 катастрофу «ласточкин хвост» и определенный набор нелокальных бифуркаций.

В системе с фазовой нелинейностью амплитудный порог асинхронного возбуждения понижается в низкочастотной и повышается в высокочастотной областях (в случае положительных значений параметра неизохронности).

В дифференциальной системе в области супергармонических резонансов две области биений, отвечающие большой и малой амплитудам воздействия, могут объединяться в одну; при этом синхронизации на частоте воздействия соответствуют два «острова».

В дифференциальной системе, описывающей автогенератор с ограниченным бассейном притяжения, области возбуждения за порогом бифуркации слияния циклов представляют собой режимы периода один, окруженные очень узкими областями устойчивых квазипериодических режимов со встроенными языками синхронизации.

В дифференциальной системе даже при больших значениях параметра, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа, высокочастотная область асинхронного возбуждения сохраняет форму, характерную для укороченных уравнений, а низкочастотная существенно искажена за счет сильного влияния супергармонических резонансов.

В системе с импульсным воздействием, в отличие от случая гармонического возбуждения, с ростом частоты наблюдается не повышение, а понижение амплитудного порога асинхронного возбуждения.

Для системы с импульсным воздействием вблизи высших резонансов асинхронные режимы исчезают за счет возникновения «островов», содержащих области удвоенного периода и хаоса, с последующим поэтапным исчезновением областей высоких периодов. Для двух идентичных диссипативно связанных автогенераторов с ограниченными бассейнами притяжения наблюдается эффект, аналогичный асинхронному возбуждению в области между линиями нелокальной бифуркации и гибели колебаний. Он имеет место и в неидентичных системах, если один из автогенераторов находится до порога бифуркации слияния циклов.

Основные положения, выносимые на защиту

2. Для дифференциальных систем типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с бифуркацией слияния циклов могут наблюдаться определенные отличия от случая укороченных уравнений. Так, в области супергармонических резонансов две области биений (для больших и малых амплитуд воздействия) могут объединяться в одну. При больших значениях параметра, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа, высокочастотная область асинхронного возбуждения сохраняет свою форму, а низкочастотная существенно искажена за счет сильного влияния супергармонических резонансов.

10 импульсов. Области асинхронного возбуждения на высших резонансах не содержат квазипериодических режимов вообще, а состоят из островов удвоенного периода.

Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию

Установленное разбиение плоскости (параметр неизохронности, параметр, управляющий взаимным положением циклов) в определенной мере дает классификацию возможных сценариев слияния языков синхронизации в возбуждаемой гармоническим сигналом системе с бифуркацией слияния циклов. Для практики могут оказаться важными установленные отличия в поведении такой системы в случае гармонического и импульсного возбуждения. Полученная картина синхронизации автогенератора с жестким возбуждением может быть использована для описания динамики других систем радиофизики и нелинейной динамики. Аналогичным образом возможно применение результатов анализа диссипативно связанных автогенераторов, демонстрирующих сосуществование предельных циклов. Результаты работы используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ при чтении курса «Приложения теории катастроф и бифуркаций». Некоторые иллюстрации вошли в учебное пособие Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М., 2002.

Апробация работы и публикации

Результаты работы были представлены на следующих конференциях: International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics and Biophysics, Saratov, October 5-8, 1999; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 99», Саратов, 26-30 октября, 1999; The International Conference of Chaotic and Stochastic Oscillations «SYNCHRO-2002». Applications in Physics, Chemistry, Biology and Medicine. Saratov, September 22-28, 2002; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002». Саратов, 30 сентября - 6 октября, 2002; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003». Саратов, 8-13 октября, 2003; Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки, 23-28 августа, 2004; Synchronization in a system with the cycle-collision bifurcation. XXIV annual conference «Dynamic Days 2004». Palma de Mallorca, Spain, September 13-17, 2004; VII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХАОС-2004. Саратов, 1-6 октября, 2004; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004». Саратов, 2-6 ноября, 2004.

По теме диссертации имеется 11 публикаций (3 статьи в российских рецензируемых журналах, 5 статей в сборниках, 3 тезисов докладов).

Ряд результатов работы получен в рамках грантов РФФИ 03-02-16074 и CRDF REC-006.

Личный вклад автора

В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавторами.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Диссертация содержит 205 страниц текста, включая 85 рисунков и список литературы из 92 наименований на 8 страницах.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Выводы

В четвертой главе рассмотрена система связанных автогенераторов типа Ван-дер-Поля - Дуффинга, каждый из которых в автономном режиме может демонстрировать сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения.

Для случая, когда в автономной системе неустойчивый цикл охватывает устойчивый, было показано, что для идентичных по управляющему параметру систем анализ укороченного уравнения и полной дифференциальной системы дают схожие результаты. При наличии диссипативной связи устройство плоскости параметров до порога бифуркации циклов аналогично тому, что наблюдается для обычных связанных систем Ван-дер-Поля. Однако при переходе через бифуркационное значение кб, на плоскости параметров появляется линия нелокальной бифуркации столкновения циклов (торов), а также дополнительная линия седлоузловой бифуркации. В результате этого возникают две области, внутри которых фазовая траектория уходит на бесконечность даже при малых начальных условиях. При этом для значительного диапазона параметра к в системе сохраняются квазипериодические режимы. Таким образом, в случае связанных систем возможна ситуация, похожая на явление асинхронного возбуждения для неавтономных систем: для некоторого диапазона к>кб квазипериодические колебания возможны в узкой области плоскости параметров. При дальнейшем увеличении к линия нелокальной бифуркации

Л,=2.0, Я2=1.0, /3=0.0, ц<0 а) к=0.05

0.D

-1 J 30 i Шг В э ■<> |б Нб QI 7 Be Вэ 0ioDi20h0i6

I ] гиВель /р. г-1 кваэипериодичвские,.^ разбегание и колебаний ^ * u режимы IN т траекторий 1 '

Рис.4.21 Карты динамических режимов системы связанных осцилляторов с ограниченными бассейнами притяжения устойчивых предельных циклов (4,1) на плоскости управляющих параметров (5,ji) в случае различных управляющих параметров: Xi=2.0, А,2=1*0. Система интегрировалась в обратном времени, связь активная (ц<0). Для первого осциллятора системы (4.1) к<з1»0,0625, для второго - Кб2~0,125, Для карты а) значение k<kgi, для карты б) значение к удовлетворяет условию Кб1<к<Кб2. Карты построены без наследования с начальными условиями, выбранными вдали от нулевого положения равновесия. сливается с линией бифуркации Андронова-Хопфа, и квазипериодические режимы окончательно исчезают.

В отличие от плоскости параметров укороченного уравнения, карты режимов дифференциальной системы не являются симметричными. С ростом параметра X области гибели колебаний также сдвигаются вверх. На картах динамических режимов наблюдаются языки синхронизации более высоких порядков, которые могут перекрываться и обладать сложной внутренней структурой.

Учет фазовой нелинейности при построении карт динамических режимов приводит главным образом к трансформациям языков синхронизации порядка выше 1. Для всех рассмотренных случаев основания языков смещаются по оси 5 в сторону увеличения расстройки, а при рассмотрении диссипативно связанных систем в прямом времени языки синхронизации имеют весьма интересное внутреннее устройство и перекрываются.

При наличии активной связи (константа связи отрицательна) до порога бифуркации циклов (к<кб) на плоскости параметров укороченного уравнения имеется небольшой язык синхронизации, справа и слева от которого расположены области квазипериодических режимов. На картах режимов дифференциальной системы наблюдаются также языки синхронизации высших порядков. Выше линии глобальной бифуркации траектория уходит на бесконечность. По мере приближения параметра к к бифуркационному значению линия глобальной бифуркации столкновения циклов опускается вниз и при к=кб сливается с осью б. Таким образом, за порогом бифуркации циклов траектории уходят на бесконечность независимо от начальных условий.

При рассмотрении динамики системы в обратном времени (что эквивалентно исследованию связанных автогенераторов с жестким возбуждением) выбор начальных условий оказывает существенное влияние на реализующиеся режимы. В случае диссипативной связи до порога бифуркации циклов (к<кб) на плоскости параметров системы имеется традиционный язык синхронизации, однако при выборе небольших начальных условий колебания могут затухнуть (область гибели колебаний находится вблизи оси частотных расстроек 5). При переходе через пороговое значение (к>кб) на плоскости параметров появляются новые бифуркационные линии, что приводит к возникновению области гибели колебаний вблизи оси 5 при выборе больших начальных условий. В случае активной связи (отрицательное значение коэффициента связи) на плоскости параметров наблюдается язык синхронизации, имеющий область мультистабильности. Справа и слева от него в области малых значений параметра связи ц наблюдаются квазипериодические режимы, а с ростом ц вне языка синхронизации происходит гибель колебаний. Примечательно, что в этом случае границей области гибели колебаний является линия нелокальной бифуркации.

Численное исследование неидентичных по управляющему параметру систем методом карт динамических режимов дает следующие результаты. При рассмотрении случая диссипативной связи в прямом времени было показано, что переход из области квазипериодических режимов в область гибели колебаний происходит через синхронный режим. Кроме этого, нам удалось показать, что для возникновения режима разбегания траекторий достаточно, чтобы циклы исчезли в одной из автономных подсистем. После того как аналогичная бифуркация происходит во второй подсистеме, на картах режимов перестают наблюдаться устойчивые квазипериодические режимы.

Несколько иная картина наблюдается при рассмотрении системы в обратном времени (связь диссипативная). После того как в одной из подсистем циклы исчезают, на карте режимов появляется новая область синхронного режима вблизи оси 6. И только после окончательного исчезновения циклов в обеих системах возникает область гибели колебаний. Это подтверждается анализом случая активной связи.

Заключение

В работе рассмотрены особенности синхронизации неизохронных автоколебательных систем, демонстрирующих в автономном режиме сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения. За основу для исследований были приняты соответствующие модификации системы Ван-дер-Поля-Дуффинга - автогенератор с жестким возбуждением и с ограниченным бассейном притяжения. Были рассмотрены случаи синхронизации системы внешним сигналом - гармоническим и импульсным, а также случай взаимной синхронизации двух связанных автогенераторов такого типа. Рассмотрение проводилось в терминах укороченных уравнений (в тех случаях, когда их можно получить и проанализировать аналитически) и исходных дифференциальных систем методом карт динамических режимов. Исследовались как устойчивые, так и неустойчивые синхронные и квазипериодические режимы. В ходе работы были получены следующие основные результаты.

1. Пространство параметров возбуждаемой гармоническим сигналом укороченной неизохронной системы, демонстрирующей бифуркацию слияния и исчезновения устойчивого и неустойчивого предельных циклов, содержит четыре существенных параметра. Удобной «стратегией» его исследования является изучение изменения конфигурации языков синхронизации на плоскости (безразмерные частота - амплитуда воздействия) при движении по плоскости (параметр неизохронности - параметр, управляющий бифуркацией слияния циклов). При таком анализе обнаруживаются следующие основные линии:

• линии, задающие катастрофу «ласточкин хвост»;

• линии, в которых точки Богданова-Такенса совпадают со сборками;

• линия касания правой сборки и правой границы «большого» языка;

• линия перекрытия языков «сверху»;

• линия перехода левой сборки внутрь языка;

• линия перехода правой сборки внутрь языка;

• линия окончательного слияния языков.

Эти линии, в свою очередь, могут иметь концевые точки, которые описаны в тексте диссертации.

2. Найденные линии разбивают плоскость (параметр неизохронности - параметр, управляющий бифуркацией слияния циклов) на множество областей. Движению по этой плоскости отвечает большое количество различных «сценариев» слияния устойчивого и неустойчивого языков синхронизации, однако наиболее типичным из них является слияние через катастрофу «ласточкин хвост» и определенный набор нелокальных бифуркаций. В то же время при больших значениях параметра неизохронности катастрофа «ласточкин хвост» невозможна.

4. Амплитудный порог асинхронного возбуждения в неизохронной системе понижается в низкочастотной и повышается в высокочастотной областях. В очень узких областях параметров возможны и неустойчивые асинхронные квазипериодические режимы, которые, однако, исчезают раньше, чем устойчивые. Границами областей таких режимов могут быть как линии бифуркаций Андронова-Хопфа, так и линии нелокальных бифуркаций.

5. В дифференциальной системе выявляются картины супер- и субгаромниче-ских резонансов, наличие которых заметно сказывается как вблизи порога бифуркации слияния циклов, так и в области асинхронного возбуждения. Так, в области супергармонических резонансов две области биений, реализующиеся вблизи порога бифуркации столкновения циклов, объединяются в одну; при этом синхронизации на частоте воздействия соответствуют два «острова».

11. Даны иллюстрации устройства пространства параметров связанных систем с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого циклов при учете неидентичности и неизохронности. Для двух идентичных и неидентичных дис-сипативно связанных автогенераторов с ограниченным бассейном притяжения продемонстрирован эффект, аналогичный асинхронному возбуждению.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Милованов, Сергей Викторович, Саратов

1. Van der Pol В. Theory of the amplitude of free and forced triode vibration // Radio Rev. Vol. 1. 1920. P.701-710.

2. Appleton V. The automatic synchronization of triode oscillator // Proc. Cambridge Phil. Soc. (Math, and Phys. Sci.), 21. 1922. P.231-248.

3. Van der Pol B. On relaxation oscillation // Phil, mag., 2. 1926. P. 978-992.

4. Van der Pol B. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance. (Reception with reactive triode) // Phil. Mag. 3. 1927. P. 65-80.

5. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М., 1984. 432 с.

6. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 494 с.

7. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002. 560 с.

8. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002. 292 с.

9. Кузнецов С.П. Динамический хаос, М.: Физматлит, 2001. 296 с.

10. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.

11. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 495 с.

12. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний, М.: Наука, 1981.

13. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

14. Мун Ф. Хаотические колебания. М., 1990.

15. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

16. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. Саратов, 1999. 368 с.

17. Дмитриев А.С., Кислов В .Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 280 с.

18. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М., 1987.424 с.

19. Hayashi С. Nonlinear oscillations in physical systems. McGraw-Hill, New York, 1964.

20. Ueda Y., Akamatsu N. Chaotically transitional phenomena in the forced negative-resistance oscillator // IEEE Trans. Circuits and Systems CAS-28 (3). 1981. P. 217-224.

21. Qin Q., Gong D., Li R. Rich bifurcation behaviors of the driven van der Pol oscillator // Phys. Lett. A 141 (8,9). 1989. P. 412-416.

22. Herrero M., Figueras M., Rius J., Pi F., Orriols G. Experimental Observation of the amplitude Death effect in two coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. Lett. 84. 2000. P. 5312-5318.

23. Cartwright M.L., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: I. The equation у k{\ - y2)y + у = bXkzos{Xt + a), k large // J. London Math. Soc. 20. 1945. P. 180-189.

24. Levinson N. A second order differential equation with singular solutions // Ann. Math. 50. 1949. P.127-153.

25. Gilles A.W. On the transformations of singularities and limit cycles of a variational equation of Van der Pol // Quart. Journ. Mech. and Appl. Math. VII-2, 1954. P. 152-167.

26. Littlewood J.E. On nonlinear differential equations of the second order: III. The equation x + k(x2 l)x + x = kbfd cos{fut + a) for k large and its applications // Acta Math. 97. 1957. P. 267-308.

27. Levi M. Qualitative analysis of the periodically forced relaxation oscillations // Memoirs Amer. Math. Soc. 32. 1981. P. 144-147.

28. El-Abbasy E.M. On the periodic solution of the Van der Pol oscillator with large damping // Proceeding of the Royal Society of Edinburgh 100A. 1985. P. 103-106.

29. Holmes P.J., Rand D.A. Bifurcations of the forced Van der Pol oscillator // Q. Appl. Math. 35. 1978. P. 495-509.

30. Grasman J., Nijmeijer H., Veiling E.J.M. Singular perturbations and a mapping on an interval for the forced Van der Pol relaxation oscillator // Physica D 13. 1984. P. 195-210.

31. Aronson D.G., Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude response of coupled oscillators. // Physica D 41. 1990. P. 403-449.

32. Parlitz U., Lauterborn W. Period-doubling cascades and devil's staircases of the driven Van der Pol oscillator // Phis. Rev. A 36. 1987. P. 1428 1434.

33. Mettin R., Parlitz U., Lauterborn W. Bifurcation Structure of the Driven Van der Pol Oscillator // International Journal of Bifurcation and Chaos. Vol. 3. No. 6. 1993.

34. Parlitz U. Common Dynamical Features of Periodically Driven Strictly Dissi-pative Oscillators // International Journal of Bifurcation and Chaos. Vol.3. No.3. 1993.

35. Noris J. The closing of Arnold tongues for periodically forced limit cycle // Nonlinearity. Vol. 6. 1993. P. 1093-1114.

36. Glenndinning P., Proctor M. Travailing waves with spatially resonant forcing: bifurcations of a modified Landau equation // International Journal of Bifurcation and Chaos. Vol.3. No.6. 1993.

37. Postnov D.E., Han S.K., Kook S. Synchronization of Diffusively Coupled Oscillators near the Homoclinic Bifurcations // Phys. Rev. E. Vol. 60. 1999. P. 27992807.

38. Gonzalez D.L., Piro O. Chaos in a Nonlinear Driven Oscillator with Exact Solution // Phys. Rev. Lett. Vol. 50. № 12. 1983. P. 870-872.

39. Ding E.J. Analytic treatment of periodic orbit systematics for a nonlinear driven oscillator // Phys. Rev. A. Vol.34. № 4. 1986. P.3547-3550.

40. Ding E.J. Analytic treatment of a driven oscillator with a limit cycle // Phys. Rev. A. Vol. 35. № 6. 1987. P.2669-2683.

41. Ding E.J. Structure of parameter space for a prototype nonlinear oscillator. Phys. Rev. A. Vol.36. № 3. 1987. P.1488-1491.

42. Ding E.J. Structure of the parameter space for the van der Pol oscillator // Physica Scripta. Vol.38. 1988. P. 9-16.

43. Glass L. et. all. Global bifurcations of a periodically forced biological oscillator // Phys. Rev. A. № 29. 1983. P. 1348-1357.

44. Glass L., Sun J. Periodic forcing of a limit-cycle oscillator: Fixed points, Arnold tongues, and the global organization of bifurcations // Phys. Rev. Vol.50. № 6. 1994. P. 5077-5084.

45. Ullmann K. and Caldas I.L. Transitions in the Parameter Space of a Periodically Forced Dissipative System // Chaos, Solitons & Fractals. № 11. 1996. P.1913.

46. Кузнецов А.П., Тюрюкина JI.B. Осциллятор Ван-дер-Поля с импульсным воздействием: от потока к отображениям // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. № 6. 2001. С.69-82.

47. Кузнецов А.П., Тюрюкина JI.B. Синхронизация автоколебательной системы Ван-дер-Поля Дуффинга короткими импульсами // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. № 5. 2004. С.16-31.

48. Кузнецов А.П., Тюрюкина JI.B. Синхронизация в системе с неустойчивым циклом инициированная внешним сигналом // Письма в ЖТФ. Т. 29. Вып.8. 2003.

49. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга с диссипативной связью // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 11. №6. 2003. С. 48-64.201

50. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. О явлениях резонанса п рода // Журнал технической физики. Т. II. Вып. 7-8. 1932. С. 775-821.

51. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. К теории асинхронного возбуждения // Журнал технической физики. Т. IV. Вып. 1. 1934. С. 98-108.

52. Секерская Е.Н. Регенеративный приемник с жестким режимом // Журнал технической физики. Т. V. Вып. 2. 1935. С. 253-280.

53. Королев В.И., Постников Л.В. К теории синхронизации генератора автоколебаний. I // Известия ВУЗов. Радиофизика. Т. XII. № з. 1969. С. 406-414.

54. Королев В.И., Постников Л.В. К теории синхронизации генератора автоколебаний. II // Известия ВУЗов. Радиофизика. Т. XII. № 11. 1969. С. 17101713.

55. Королев В.И. Режим биений при синхронизации генератора внешней синусоидальной силой // Известия ВУЗов. Радиофизика. Т. XV. № 10. 1972. С. 1527-1537.

56. Kaiser F., Eichwald С. Bifurcation structure of a driven multi-limit-cycle Van der Pol oscillator. (I) The superharmonic resonance structure // International Journal of Bifurcation & Chaos. Vol.1. No 2. 1991. P. 485-491.

57. Kaiser F., Eichwald C. Bifurcation structure of a driven multi-limit-cycle Van der Pol oscillator. (II) Symmetry-breaking crisis and intermittency // International Journal of Bifurcation & Chaos. Vol.l. No 3. 1991. P. 711-715.

58. Витт A.A. Об ассинхронном возбуждении // Журнал технической физики. Том IV. Вып. 1. 1934. С. 109-110.

59. Андронов А.А., Витт А.А. К математической теории захватывания // Журнал прикладной физики. 7(4). 1930.

60. Adler R. A study of locking phenomena in oscillation // Proc. IRE, 34. 1946. p.351-357. Reprinted in Proc. IEEE, 61 (10). 1973. p.1380-1385.

61. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 127 с.

62. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. I. Механика. М.: Наука, 1965.204 с.

63. Vance W., Ross J. A detailed study of forced chemical oscillator: Arnold tongues and bifurcation sets // J. Chem. Phys. Vol. 91. No 12. 1989. P. 7654-7670.

64. Farjas J., Herrero R., Orriols F. Experimental analysis of codimensional-2 bifurcations in a periodically-forced opto-thermal oscillator // International Journal of Bifurcation and Chaos. Vol.38. No.7. 1998. P. 1413-1435.

65. Flaherty J.E., Hoppensteadt F.C. Frequency entrainment of a forced Van der Pol oscillator // Stud. Appl. Math. 58. 1978. P. 5-15.

66. Uezu T. Topology In Dynamical Systems // Phys. Lett. A. Vol. 93. 1983. P.161-166.

67. Carcasses J.P., Mira C., Bosch M., Simo C., Tatjer J.C. «Crossroad area -spring area» transition (I) Parameter plane representation // Int. J. Bifurcation and Chaos. Vol.1. №1. 1991. P. 183-196.

68. Carcasses J.P., Mira C., Bosch M., Simo C., Tatjer J.C. «Crossroad area -spring area» transition (II) Foliated parametric representation // Int. J. Bifurcation and Chaos. Vol.1. №1. 1992. P. 339-348.

69. Mira C., Carcasses J. On the «crossroad area saddle area» and «crossroad area - spring area» transitions // Int. J. Bifurcation and Chaos. Vol.1. №3. 1991. P.641-655.

70. Рубчинский Э.М. О явлениях асинхронного возбуждения и тушения автоколебаний // Журнал технической физики. Т. IV. Вып. 1. 1930. С. 111-121.

71. Poliashenko М., McKay S.R., Smith C.W. Chaos and nonisochronism in weakly coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. A 44. 1991. P. 3452-3456.

72. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Hysteresis of synchronous asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators // Phys. Rev. A 43. 1991. P. 5638-5641.

73. Ivanchenko M. V., Osipov G.B., Shalfeev V.D. Self-synchronization of non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Доклад на международной конференции «Progress in Nonlinear Science». Nizhny Novgorod, Russia. July 2-6, 2001.

74. Pastor I., Perez-Garcia V.M., Encinas-Sanz F., Guerra J.M. Ordered and chaotic behavior of two coupled Van-der-Pole oscillators // Phys. Rev. E 48. 1993. P. 171-181.

75. Camacho E., Rand R., Howland H. Dynamics of two van der Pol oscillators coupled via a bath. // Int. J. of Solids and Structures 41, 2004. P. 2133-2143.

76. Wirkus S., Rand R. Bifurcations in the dynamics of two coupled van der Pol oscillators with delay coupling // Proceedings of Design Engineering Technical Conference. September 12-15, 1999, Las Vegas, Nevada, USA.

77. Rand R., Holmes P. Bifurcation of periodic motion in two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics. Vol. 15. 1980. P. 387-399.

78. Storti D., Rand R. Dynamics of two strongly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics. Vol. 17. No. 3. 1982. P. 143-152.

79. Chakraborty Т., Rand R. The transition from phase locking to drift in a system of two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics. Vol. 23. No. 5/6. 1988. P. 369-376.

80. Арнольд В.И. Эволюция волновых фронтов и эквивариантная лемма Морса. В кн.: «Владимир Игоревич Арнольд. Избранное». М.: Фазис, 1997. 305 с.

81. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

82. Kuznetsov А.Р., Turukina L.V., Savin A.V., Sataev I.R., Sedova J.V., Milovanov S.V. Multi-parameter picture of transition to chaos // Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. Vol.10. No 3. 2002. P. 80-96.

83. Кузнецов А.П., Милованов C.B., Тюрюкина JI.B. Синхронизация в автоколебательной системе с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов // Образование и наука в ГосУНЦ «Колледж». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 99-108.

84. Кузнецов А.П., Милованов С.В. Синхронизация в системе с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 11. № 4-5. 2003. С. 16-30.

85. Кузнецов А.П., Милованов С.В. Субгармонический резонанс в уравнении Ван дер Поля // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 12. № 3.2004. С. 74-83.

86. Kuznetsov A., Milovanov S. Synchronization in a system with the cycle-collision bifurcation // XXIV annual conference «Dynamic Days 2004». Books of Abstracts. Palma de Mallorca, Spain, 2004. p. 67.

87. Кузнецов А.П., Милованов С.В. Сложная динамика системы двух связанных осцилляторов // VII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-2004. Материалы конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. С. 130-131.

88. Милованов С.В., Печников А.А. Некоторые вопросы динамики неавтономных систем // Нелинейные дни в Саратове для молодых 99. Материалы научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1999. С.18-21.

89. Милованов С.В. Синхронизация вблизи порога слияния циклов // Нелинейные дни в Саратове для молодых 2003. Материалы научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 196-199.

90. Кузнецов А.П., Милованов С.В. Сложная динамика системы двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля с жестким возбуждением // Нелинейные дни в Саратове для молодых 2004. Материалы школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2005. С. 155-158.

91. Благодарю профессора Аркадия Пиковского за возможность визита в университет Потсдама (Германия) и возможность обсуждения работы.