Универсальные регуляторы в специальных линейно-квадратичных задачах оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Универсальные регуляторы в специальных

линейно-квадратпчных задачах оптимального упу давления

(01.01.09 — математическая кибернетика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание у чекой степени кандидата физико-математических наук

Саякг-Петербург 1997 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный

руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Якубович Владимир Андреевич

Официальные

оппоненты: доктор технических наук, профессор Фрадков Александр Львович кандидат физико-математических наук, доцент Смирнова Вера Борисовна

Ведущая

организация: Санкт-Петербургский государственный технический университет

Защита состоится 1Гп M&J 199 Т2" в И час. ^^ мин.

на заседании диссертационного совета К 063.57.49 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

С диссертацией можно ознакомиться по адресу: г. Санкт-Петербург, университетская набережная, дом 7/9, научная библиотека СПбГУ.

Автореферат разослан " /Г» сыу^Ч 199JS.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент Шепелявый А.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Большое количество работ в теории оптимального управления посвящено решению стационарной линейно-квадратичной задачи оптимизации на бесконечном временном интервале. В случае, когда в объекте управления имеется зависящее от некоторых параметров внешнее воздействие, оптимальное управление, как правило, также зависит от этих параметров. Поэтому в ситуации, когда эти параметры неизвестны, такой оптимальный закон управления неприменим.

В этих условиях представляет интерес задача определения единого оптимального для каждого конкретного набора параметров и не зависящего от этого набора параметров регулятора. Такой регулятор мы будем называть оптимальным универсальным регулятором (для заданного класса параметров). Оказывается, что при естественных предположениях в некоторых практически важных специальных линейно-квадратичньтх задачах оптимизации существует оптимальный универсальный регулятор. К числу таких задач относятся: а) задача оптимального гашения вынужденных колебаний в линейной системе, въшуззденные колебания в которой формируются за счет пешвестного векторного полигармовического внешнего воздействия с известным спектром; б) задача оптимального отслеживания полигармонических векторных сигналов с известным спектром. В этих задачах неизвестными параметрами являются наборы комплексных векторных амплнтуц внешнего воздействия и отслеживаемого сигнала. Универсальный регулятор решает одновременно бесконечно много задач оптимизации: для любых наборов комплексных векторных амплитуд внешнего воздействия и отслеживаемого сигнала он доставляет функционалу качества минимальное значение.

Похожая ситуация имеет место в стохастическом случае, когда внешнее воздействие является стационарным случайным процессом, спектральная плотность которого мажорируется известной достаточно быстро убывающей на бесконечности скалярной функцией. В отличие от детерминированного случая в задаче оптимального гашения стохастических вынужденных колебаний в линейной системе с описанным множеством внешних воздействий нижняя грань функционала качества в классе физически реализуемых, стабилизирующих регуляторов с дробно-рациональной передаточной функцией не достигается. Однако оказывается, что для произвольного е > 0 существует не зависящий от спектральной плотности е-оптимальный регулятор такой, что для него функционал качества отличается от нижней грани не более чем на и это верно для любого внешнего воздействия из описанного класса. Такой регулятор мы будем называть е-оптимальньш универсальным регулятором.

Близкой по постановке является задача экспоненциального отслеживания произвольной достаточно гладкой заранее неизвестной вектор-функции регулируемым выходом линейной системы при наличии в объекте и измеряемом выходе полигармонических векторных ненаблюдаемых внешних воздействий с известным спектром.

Цель работы

Одной из основных целей данной работы является определение новых случаев существования оптимальных и e-оптимальных универсальных регуляторов в линейно-квадратичяьп задачах оптимального управления. В случае, когда оптимального универсального регулятора не существует цель работы состоит в определение минимаксного оптимального регулятора.

Научная новизна

В диссертации рассмотрены новые практически важные задачи оптимального управления, в которых указаны достаточные условия существования оптимального или е-оптималъного универсального регуляторов. В случае, когда оптимального универсального регулятора не существует, получено описание множества минимаксных оптимальных регуляторов.

Практическая ценность

Полученные результаты могут быть использованы непосредственно при решении задач оптимального гашения детерминированных и стохастических вынужденных колебаний, задач оптимального отслеживания полигармонических сигналов в линейных системах.

Методы исследования

В работе используется аппарат математического анализа, теории вероятности и обобщенных случайных процессов, теории функций комплексного переменного и теории оптимального управления.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на международных конференциях: ГУ-ом международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Институт проблем управления РАН, Москва, 1996); IV см международном семинаре "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности" (Орехово-Зуевский педагогический институт, 1996); 35th Conference on Decision and Control (Кобе, Япония, 1996); 1-ой международной научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их применение" (Санкт-Петербург, 1996); 4th European Control Con-. ference (Брюссель, 1997).

Результаты работы также докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета СПбГУ (научный руководитель семинара — профессор В.А. .Якубович).

Публикации

Основное содержание диссертационной работы представлено в статьях [1-6], две из которых написаны в соавторстве с В.А. Якубовичем. В этих -работах В.А. Якубовичей были поставлены задачи и осуществлялась общая корректировка направления исследований.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на пункты и списка цитируемой литературы. Библиография содержит 28 наименований. Общий объем работы — 92 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации, рассмотрена- актуальность темы диссертации и приводится аннотация основных результатов работы.

Первая глава посвящена решению следующей задачи. Пусть система управления имеет вид

¿х(£)/л = Лх(1) +но+ /%(<), 2/(0 = с*х(г)-ь<7°<р2(0, (Л)

где 0<г< ос», х(£) вектор состояния, х(£) € К", и(£) - вектор управляющих воздействий, -ц(4) £ Ш", у(£) - вектор измеряемых выходов, у(<) € К'", ®1(<)> (5з(4) - вектора внешних ненаблюдаемых возмущений, $1(4) € й.'1, фг(1) € К-'2; Л, Ь, с, д° — заданные вещественные матрицы соответствующих размерностей, ф 0, при этом пара (А, 6) — стабилизируема, а пара (с, Л) — детектируема. Предполагается, что внешние возмущения <?:>(£) являются полигармоническими функциями

ту; ¿м^"«, ^ = х; (2)

причем наборы частот Ог = {ш^1'}, = известны, в то время как

комплексные векторные амплитуды неизвестны.

Произвольный регулятор будем называть допустимым., если он удовлетворяет условию 'устойчивости' замкнутой системы в форме

^МО!2-"0 ПРЯ (3)

В частности предполагается, что допустимыми могут быть нелинейные и даже физически нереализуемые регуляторы. Пусть Я — множество- допустимых регуляторов. Рассмотрим множество С линейных регуляторов вида

а(р)и=/3 {р)у, (р = «*/Л), (4)

где а(Л), /?(А) — т х т, т х к матричные полиномы (м.п.). (Регулятор (4) будем обозначать (а,/3).)

Требуется построить допустимый регулятор, доставляющий минимальное значение функционала

*(*(•),«(•)) = Hmj; jiTa(x(t),u(i))Jt,

(S)

(6)

где 0(х,и) = x'Gx + 2х'ди + и'Ти — заданная вещественная квадратичная форма, при любых начальных данных и при любых амплитудах внешних возмущений в объекте и измерителе. Причем требуется, чтобы оптимальный регулятор не зависел от начальных данных и указанных векторных амплитуд. Такой регулятор будем называть оптималтым укивсрыиикым регулятором (ОУР).

Оказывается, что при естественных предположениях и при дополнительном условии

k > max{/i,i2}, если i21ni22 = 0, £ > /1 + /2, если ПгППз^в,

где к — размерность вектора измеряемых выходов, ¡1 = dim h — dim <^2(i), в широком классе допустимых регуляторов N существует физически реализуемый линейный ОУР.

Сформулируем один из результатов первой главы. Фиксируем произвольный регулятор (4). Введем передаточные функции Фц(А), i — 1,2, j = 1,2 от входов фх, fa к выходам х, и

х = Фц/Vi + и = ^if^i + Фи 5%.

Пусть А^ — XI — A, S(А) = det-Ал, Q\ А^6(Х) и Е(А) матрица замкнутой системы (1), (4)

' Ах ~Ь ' -0(Ау а(Х) ■

Н(А):

(7)

Определение 1 Будем называгт регулятор (а,/?) сильно стабилизирующим, если матрица замкнутой системы Н(А) — гурвицев м.п., т.е. йе1Н(А) ф О при НеХ > 0, и Фц(оо) = 0, { = 1,2, / =1,2.

Определение 2 Будем говорит, что регуляторы (а,Р), {е',Р') Н-эквивалентны, если

а — рсР, р = , с! = исР, ¡¡' = у/?0,

где а°(А), Р°(Х) — матричные полиномы, а г/(А), /х(А) — гурвицевы та к т матричные полиномы.

Будем предполагать выполнение следующего "частотного" условия: для некоторого 6 > 0 и всех х € С", й 6 С™, в е Я1 таких, что ¿05 = Аг + Ь", справедливо

0(х, й) = + 2Пгх'дй + йТй > <5(|i|2 + |й|2). Введем обозначения

iz'b ■

G д ¡Г Г

П(г0) = 6

(8) (9)

Справедливость частотного условия означает, что для матрицы П(гб) справедливо неравенство

П(10) > 501т > 0, -оо < в < +со. (10)

Известно, что из частотного условия следует существование и единственность пхпигахп матриц Н = Н*, Л, удовлетворяющих уравнению Лурье

д(х, и) 4- 2х'Н{Ах + Ьи) = (Г^и - к*х)\\ V*, Уи (11)

и таких, что В = А + Ьк' — гурвицева матрица. Обозначим 5д = А/п — В,

Ц = «,-еПь (12)

Теорема 1 (1). Пусть А - гурвицева матрица, множество и[ П О.^ пусто, к > тах{/1,1?}, к х /] матрицы имеют, полный ранг при е Пг и (д°)'д° > 0. Тогда в классе N существует не зависящий от ф^р сильно стабилизирующий 'универсальный' регулятор вида, (4), доставляющий при любых Фр, фр и любых начальных данных оптимальный процесс в задаче (1), (5). Таким регулятором будет регулятор вида (4) с коэффициентами

а{А) = у(Х)с'ОхЬ + р(\)1т, в{\) = ¿(А)7(А),

где р(А) - ппоизвольпый скалярный гурвицев полином, degp(A) > degííЗ(A) и 7(А) — произвольный т х к м.п. такой, что

7(т;,-)9° = 0.' 1 '

где Р) — и - произвольная тхк матрица такая, что Р0— 0

при Ш] 6

(П). Любой другой сильно стабилизирующий универсальный оптимальный регулятор (4) Н-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида.

Во второй главе рассматривается минимаксная оптимизационная задача гашения вынужденных колебаний. Предполагается, что объект управления имеет вид (1), в объекте и в измеряемом выходе присутствуют векторные внешние воздействия ф\{1), фг(4) вида (2), причем их спектры считаются известными. Также как и в главе 1 будем предполагать, что пара (А,Ь) — стабилизируема, пара (с*, А) — детектируема и что выполнено частотное условие (8). Требуется найти линейный сильно стабилизирующий регулятор, доставляющий минимальное значение функционала

_1 гТ

= *(•>££(.,II «(«))* - тш, (14)

где Я(х, и) = х'Сх + 2х'ди + иТи — заданная вещественная квадратичная форма и

Ш1 = + • • • + Фг?е'шк1\ = так (15)

Показано, что указанная задача разрешима всегда, и в частном случае, когда множества П1, йг различны, получены явные формулы, описывающие множество всех с учетом ^-эквивалентности оптимальных линейных сильно стабилизирующих регуляторов. Используемые в следующей теореме матрицы V}, и, определены в (12).

Теорема 4 (I) Пусть А — гурвицева матрица, П П2 = 0, ранги матриц равны, Т], } = 1,2,..., N1, ¡1 > к у, выполнено частотное условие (8). Тогда в задаче (1), (Ц) существует минимаксный оптимальный регулятор вида (4). Таким регулятором будет произвольный сильно стабилизирующий регулятор (4), для которого передаточные матрицы. Фу(А), г = 1,2, _7 — 1,2 одновременно минимизируют функционалы

¿р> = ||Г'/*(ф21(г-ш.)/0 - V})|| - шш, ц е йг, т)

В частности мы можем взять регулятор (4) с коэффициентами о(А) = 7 {\VQxb + р{\)1т, т = ¿0)7«,

где р(А) — произвольный скалярный гурвицев полином, <1едр > deg@, и 7(Л) —■ произвольный т х к матричный полином такой, что

{Щ'ЩУ1 {ип 0] + 6 п,,

7(4)5° = 0.

о

— 0) где

где Д7у — произвольная тхк матрица такая, что А

Ь] — невырожденные к х к матрицы и Р} — унитарные 1x1 матрицы, Р* = Р-\ такие, что Ь^Р, = [^,0], Щ'Щ ф 0.

(И). Любой другой сильно стабилизирующий минимаксный оптимальный регулятор (4) ?{-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида.

Условие ¡1 >к неограничительно, случай ¡1 < к сводится* рассмотренному выше. Показано также, что в случае, когда существует хотя бы один линейный оптимальный универсальный регулятор, множество всех линейных минимаксных оптимальных регуляторов совпадает с множеством линейных ОУР.

В третьей главе рассматривается линейно-квадратичная задача оптимального галпения стохастических вынужденных колебаний.. Рассмотрим систему управления (1), где &(*), $¡(4) — стохастические стационарные процессы, представимые стохастическими интегралами

/+<*> л+оо

Ш = / ¿"^(¿0)^(0), МО = / (17)

3 —оо У—оо

где У^^в), \Уг(г9) — 1,х 1и 12 х ?з матрицы-функции с элементами из. £з(—оо, +оо) и 6 Н.'1, Сз(б) 6 В.'* — центрированные независимые процессы с некоррелированными приращениями

£¿0(0) = 0, ОДМЖЮО* = ОД - В3)1,^в2,

= 0, = ¿(01 - в2)1,^вг. Iй'

десь Е — символ математического ожидания, 5(в) — дельта-функция Ди-ака. Пусть

Si(0) = w1(i8)wl(iey, = WiWWtW (19)

яектральные плотности внешних возмущений fc, ф?. Предполагается, что зектральвые плотности Si(ö), Зг(&) неизвестны, но известны верхние оцен-А ИХ норм 01 (0), 02(0)

Si(e)<<ri(8)Ih, S2(6)<*2(e)Ih, (20)

вторые удовлетворяют условия.«

/+«lncr-föl f+so

—V<» = -00, / Щ"а;(8)<19 < -fco, VN, i = 1,2. (21) oo 1 + f J~ oo

усть множество внешних возмущений (<^"1 (i), удовлетворяющих

ютношениям (20), (21), (17), (18), (19). Предполагается, что пара (А, Ъ) — габилизируема, пара (с*, А) — детектируема.

Опишем множество V допустимых процессов (х(-), и(-)). Будем называть эоцесс (ж(-),и(-)) допустимым, если он удовлетворяет первому уравнению ) и выполнено условие 'устойчивости'

l/tE]3(t)\2 О при t тс. (22)

роизвольный регулятор будем называть допустимым, если он удовлетво-гет условию 'устойчивости' замкнутой системы в форме (22). В частности ?едпо латается, что допустимыми могут быть нелинейные и даже физиче-ги нереализуемые регуляторы. Пусть N — множество допустимых ре-'ляторов. Наряду с множеством Я рассмотрим множество С линейных шьно стабилизирующих регуляторов вида (4). Начальные условия в си-:еме (1), (4) считаем независимыми от ф\, ф% и имеющими вторые моменты.

Требуется построить допустимый регулятор, доставляющий функцио-1ЛУ

«(*(■),«(•)) = Jj g(x(t),u(t))dt, (23)

¡е Q(x, и) — x'Gx 4- 2x'gu + и'Ти — заданная вещественная квадратичная зрма, минимальное значение. А если такого регулятора не существует, то

>ебуется для любого положительного числа е построить е-оптимальный »пустимый регулятор, т. е. такой регулятор для которого

Ф(х(-), «(•))< Inf Ф +гг. (24)

азовем е-оптимальный регулятор универсальным, если неравенство (24) раведливо при любых (ф1,фг) £ Рф.

;новной результат третьей главы состоит в том, что при естественных ¡едположениях и при дополнительном условии

k>max{li,l2}, suppcrj(0) Л supper2(0) = 0 k>h+h, suppa^ö) Л suppcr2(0) ф 0,

где к — размерность вектора измеряемых выходов, /j = dim lj =

dim <h{t), доказано существование в достаточно широком классе допустимых регуляторов линейного сильно стабилизирующего ¿-оптимального регулятора, который не зависит от конкретного вида внешних воздействий 4i(t), а зависит лишь от верхних оценок спектральных плотностей cri(e), сг2(в). Тем самым, этот регулятор является е-оптимальным для произвольных внешних воздействий, спектральные плотности которых удовлетворяют (20). При атом оказалось, что, как правило, оптимального линейного стабилизирующего регулятора в рассматриваемой задаче не существует. Сформулируем один из результатов главы 3.

Теорема 7 Пусть А — гурвицева матрица, множество зирр£г1(б)П supp <r2(f> пусто, выполнено частотное условие (8),- к > max{7i, /2}, {да)'д° > 0 и матрица-функция V(i6) = c'Qaf0 имеет полный ранг при б € Я1. Тогда (i) Нижние грани, функционала Ф в классах С и И совпадают и равны Фщщ. (п) Для любого е > 0 существует е-оптималъный универсальный регулятор (4)- Таким регулятором будет любой сильно стабилизирующий регулятор (4) с коэффициентами а(А) = ~i(X)c'Q\b 4- p(X)Im, ß(X) = S(X)f(X), где -у(Х) — т xk матричный полином, р( X) — скалярный гурвицев полином такие, что deg р> deg(Sy) и выполнено неравенство

шис|1П<»в)|| [||(p-VQ» - П-1?0)/0!^, + ||/Г1*»Х] < е,

где ||П|| — максимальное сингулярное число матрицы П, матрица-функция И(гб) определена в (9) и

/+оо

\h(&tfa{ie)d6.

■00

В четвертой главе рассматривается задача оптимального отслеживания заранее неизвестного векторного полигармонического сигнала с известным спектром. Предполагается, что система управления имеет вид

dx(t)/dt = Ax{t) + bu(t) + /°фг(0, y(t) = cjx(t) + g°Mt), z(t) = + l )

где x(t) e Л", u(t) € Я», y(t) 6 Л*>, z(t) € Ä*2, <?4(i) € ф3{1) € A, b, cu Ca, di, f, 9° — заданные вещественные матрицы соответствующих размерностей, det ф 0, пара (Л, Ь) — стабилизируема и (ct, А) — детектируема. Предполагается, что внешние возмущения <ft\{t), ^(i) и отслеживаемый сигнал z°(f) являются полигармоническими функциями

na ni n2

ш =x>jv$l\ т (27)

3=1 3=1 3=1

причем комплексные векторные амплитуды внешних возмущений и отслеживаемого сигнала ф^, г,- неизвестны, в то время как частоты iii = {wj1^}, iia = {ш<2)}, По = {и]0'} известны и фиксированы.

Опишем множество Т> допустимых процессов (£(•), «(-))• Произвольный процесс (х(-), !•'(■)) будем называть допустимым, если он удовлетворяет (26) и условию 'устойчивости'

—» 0 при <-»+оо. (28)

Произвольный регулятор с входами у, 2° и выходом и назовем допустимым, если он удовлетворяет условию 'устойчивости' замкнутой системы в форме (28). В частности предполагается, что допустимыми могут быть также и нелинейные регуляторы. Пусть N - множество допустимых регуляторов. Наряду с множеством N рассмотрим множество £ линейных регуляторов вида

<*{я)" = Шу + А(ру\ (р = (23)

где а(А), Рх{\), /?г(А) — тп х т, т х кх, т х к2 матричные полиномы (мль).

Будем называть допустимый регулятор оптимальным, если он доставляет минимум функционала

*(*(•),«(.)) = кйГ^ £ № - (30)

^де - регулируемый выход в (26) и минимум берется по множеству Р. Назовем оптимальный регулятор 'универсальным', если он пе зависит эт {¿у^}, {-/} и, тем самым, одновременно решает континуум задач

эптимизации с разными {с!]11}, {?,}■ Требуется построить оптималь-

ный универсальный регулятор.

Показано, что при некоторых естественных предположениях и при усло-ш

к!>Ь + 12, если П! П £1а / 0 ^ > тах{гь/2}, если П Пз = 0 ^

1 задаче (26)-(30) в классе N существует линейный оптимальный ушшер-:альный регулятор (29).

Сформулируем один из результатов главы 4. Введем кг х гп передаточную функцию С7(А) = с|(А/ — А)~гЪ + от входа и к выходу г. Будем федполатать, что кг хт матрицы при 6 По и йх и Я^ имеют пол-

[ый ранг и более того, в случае когда к2 > то, предположим, что выполнено гастотное условие (8). Фиксируем регулятор (29). Введем передаточные 1атрицы от входов дпф2({], к выходам х, и:

х = Фц/Ч + фж 2д°Фг + ФиЛ и = Ф21 Гф! + У22д°ф2 + Ф^0.

)пределение 3 Будем говорить, что регулятор (а,Д,/?2) сильно стабилизирующий, если Е(А) - гурвщев м.п. (см. (7)), ги.е detE(A) ^ 0 при. Не\ > О, ! Фу(оо) = 0, г = 1,2, ] = 1,2,3.

)пределение 4 Назовем сильно стабилизирующие регуляторы г) и

а?, 01,02) — Н-вквивалентными, если существуют гурвицевы т х т м.п. /1 . V такие, что а = 1/а°, & = 1/$, 0, = а' = # = $ = где ^(А), Й°(А) — некоторые т хт, тх гпх к2 матричные полиномы.

Рассмотрим случай m = dimu < fes = dimzj. Пусть

wj^iujka-t.f, uj en„

и^нЩГ>-{к-в£ъ+1т)т-чхв1.)-1нр, щ e nlt (32

Zj=(h,B-)b + Im)V-\dJ + b'(Bll.)-\c2 + hd2)), 4 e По, где B\ из (11) и Г =

Теорема 11 Пусть А — гурвицева матрица, множество íli П fi2 = { т < кг, к\ > max{fi, f2}, fei х 1\ матрицы. Wj имеют полный ранг при щ € Ü и- {да)*д° > 0. Тогда в классе AÍ существует не зависящий от 2

сильно стабилизирующий 'универсальный' регулятор вида (29), доставляю щий при любых ф^р, zj и любых начальных данных оптимальный про цесс в задаче (26)-(30). Таким регулятором будет регулятор (29) с коэффи циентами а(А) = 71(Л)с^QAb + p(A)Jm, ft(A) = ¿(A)7l(A), ß(A) = 5(A)72(A) где p(A) — произвольный скалярный гурвицев полином, degp(A) > deg/?j(A) degp(A) > degft(A) и 7i(A), 72(A) — произвольные mx ki и m x fc2 м.п. такие что

7i= e n2,

7г(щ) = Р^щЖ^зУ1 zi> € fio,

7i (iuj) = p(íuj)UjPi + Pj, UjGííi,

где Pj = uPj — произвольнаяmxk\ матрица такая, что PjWj =

0 при u¡j 6 íij.

(ti). Любой другой сильно стабилизирующий оптимальный универсальные регулятор (29) "Н-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида.

Пятая глава посвящена решению минимаксной задаче оптимального от слеживания произвольного векторного полигармонического сигнала, спект которого известен. Предполагается, что система управления имеет вид (26 и внешние возмущения pi(í), Ф?(1) и отслеживаемый сигнал z°(í) являются полигармоническими функциями (см. (27)), причем спектры их известнь и фиксированы, в то время как комплексные векторные амплитуды неизвестны. Будем считать, что выполнены основные предположения главк 4. Требуется построить оптимальный линейный стабилизирующий регулятор, который доставляет минимум функционала

=jf i*« - z° - mia' (зз:

где |^(-)| определено а (15).

Оказывается, что указанная оптимизационная задача всегда имеет решение. В частном случае, когда спектры внешних возмущений, ^i(í), &¡(t), отслеживаемого сигнала z°(i) различны, множество всех оптимальных линейных стабилизирующих регуляторов с точностью до 'Н-эквивалентности допускает полное описание. Сформулируем один из результатов главы 5 .

Теорема 14 (i). Пусть А — гурвицева матрица, множества Q0, S2U fi2 имеют попарно пустые пересечения, т < k3r kt < h, матрицы W¡ (порядка ki х ¡i) имеют ранг г,- при 6 fíi- Тогда, в задаче (26)-(88) существует

минимаксный оптимальный регулятор вида (S9). Таким регулятором будет гроизвольный сильно стабилизирующий регулятор (£3), для которого передаточные матрицы i = 1,2, j = 1,2,3 одновременно минимизируют функционалы

jf) = ИГ^СФиС^-) - Zi)\\ - min, ц € П0,

7(i) = ¡¡rV2(i,2l(z4)/o _ y.jn _ ^ ш. е Й11

jf = цг^ФиО^) - - min, <= п,.

3 ■частности мы. можем взппь регулятор (29) с коэффициентами о(А) = п(Л)^Ол6+р(А)/т, ßi(\) = ¿(A)7l(A), Ä(A) = ¿(А>72(Л), где р(А) — продемм»-tuu скалярный гурпицев полином, aegp(A) > dcgßi(X), degp(A) > deg/?2(A), и 'i(A), 7г(А) — произвольные rn x , m x матричные полиномы такие, птоо

г(Ч-) = /«г-^ед-

Ir, о

{Wj-Щ-' [ lr¡, О ] P-W-Щ, + An¡Lh ^ G

^ь = О, щ £ П2, 72(«J,) = Wj 6 fio, где Wj, Uj, Z¡ из

32), Afj — произвольная m x kt матрица такая, что Д7¡LjWjPj | ^ j =

Uj € iîj, Lj — невырожденные ki x kj матрицы и P¡ — унитарные l\ x ¡í матрицы, P' = P-1, такие, что LjWjPj = [IV,-, 0], det Wj'Wj ф 0.

(ii). JInSoîi другой r.iLHiHo стабилизирующий минимаксный оптимальный

егулитор (29) ?í-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида.

3 шестой главе рассматривается задача полного отслеживания заранее еизвестного достаточно гладкого векторного сигнала регулируемым вы-одом линейной системы. Предполагается, что объект управления имеет ид

dx(t)/dt = Ax(t) -f bu(t) + /°<Ш, .

y(í) = c'1x(t) + d-1u(i) + g^2{t), z(t) = <$x(t) + d\u{l),

де x(i) € Л", y(í) — измеряемый выход, ij{t) e Rkl, z(t) — регулируемый ыход, z(t) e Rh, u(t) — управляющее воздействие, u(í) 6 Я™, ç>x(i), — нешние возмущения, ¿i (i) € ñ'1, 6 R'7\ A, Ь, f°, g°, c¡, cj, d2 - постоянные ещественяые матрицы подходящих размерностей, при этом пара (А,Ъ) — табилизируема, а пара (ci.A) — детектируема. Предполагается, что внешне возмущения ^i(í), <pj(í) являются полигармоническими функциями (2) ричем комплексные векторные амплитуды неизвестны, в то

ремя как сиектры ííj = {w;1'}, Íí2 = {wj-2'} известны и фиксированы. Пред-олагается, что отслеживаемый сигнал z°(i) является достаточно гладкой ункцией времени. В качестве множества допустимых регуляторов рассмо-рим множество £ линейных регуляторов (29). Будем называть регулятор !9) У-универсальным, если он не зависит от {í^1'}, {Ф^}, (i) и для него

\z[t) - za{i)\0 при Í-++00 (35)

ри произвольных {çi'2'} и любой достаточно гладкой функции z°(í).

ребуется построить Г-универсальный регулятор.

Обозначим Ах = А/ - А, £(А) = ск*Ал, <ЭЛ = ¿(А)ЛХ', IV,(А) = + ,

ЩА) = с^б + <¿5, У„(А) = и;(АЖА), Т^(А) = ВДг(А),

Е'(А) = [-А(АК а(А)-/?г(АК

Определение 5 Регулятор (29) будем называть строго стабилизирующи. если Е'(А) — гурвщев матричный полином и Ф1и(оо) = 0, Ф2и(оо)/9г(°о) =

Понятие "Н-эквивалентности строго стабилизирующих линейных регулят ров (а, 01, (Зг), (а',/?{,/?2) вводится также как и в главе 3.

Теорема 16 Для того, чтобы строго стабилизирующий регулятор (29) бг Т-универсальным необходимо и достаточно, чтобы

у/^щ^^ш^^ш^^р+^^р = о, шj е

= о, ц е п2 И^(А)Ф2и(А)Л(А) = 4,, УАее

Обозначим Л = О1П а2, = IIj - ы,- е

Теорема 17 Пусть А — гурвицева матрица, т — кг, множество А пуст > тах{/ь ¡2} и матрицы IV,, _/' = 1,..., N1, д° имеют полный ранг, т. <1еЬ IV/ф 0, ] = 1,..., N1, йеЬ(д°Уд° ф 0. Тогда

(г). Для существования строго стабилизирующего Т-универсального регул тора (29) необходимо и достаточно, чтобы det Й^(А) ^ 0 и чтобы матриц. функция не имела полюсов в области ИеХ > 0.

(И). Пусть условие (1) выполнено и р(А) — скалярный гурвицев полинол 7(А) — т х ¿1 матричный полином такие, что р{А)Й^(А)-1 — матричны полином, ¿ее7(А)5(А) < &ецр(Х) и

7(^4) = + Ч £

7= ч € Пь

где Г] = (УУТУУ^^ЦГ] и Р) — произвольные т х к 1 матрицы такие, нгг, — 0. Регулятор (а,/?иРя) с коэффициентами а(А) = 7(А)ЩА) + р(А)/„ Дг(А) = 5(А)7(А), Дг(А) = р(А)И/г(А)-1 является строго стабилизирующим 1 универсальным регулятором.

(М). Любой строго стабилизирующий Т-универсальный регулятор (29) Ъ эквивалентен одному из регуляторов указанного типа.

Заключение

Основные результаты работы:

1. При соответствующих предположениях получены достаточные услс вин существования линейного оптимального универсального (оптимальна го для произвольной помехи из класса) регулятора в линейно-квадратично] задаче оптимального отслеживания векторного полигармонического сигна ла выходом линейной системы. При выполнении указанных условий они сано с точностью до естественного отношения эквивалентности множеств!

Ф(А)=Е'(А)-1 =

Фи(А) Ф2*(А) Фи(А) Ф2„(А)