Универсальные регуляторы в специальныхлинейно-квадратичных задачах оптимальногоуправления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГБ ОД " 1 з МАГ1 т!

На правах рукописи

Ширяев Антон Станиславович

Универсальные регуляторы в специальных линейно-квадратичных задачах оптимального управления

(01.01.09 — математическая кибернетика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математик»-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Якубович Владимир Андреевич

доктор технических наук, профессор Фрадков Александр Львович кандидат физико-математических наук, доцент Смирнова Вера Борисовна

Санкт-Петербургский государственный технический университет

Защита состоится " М С1 Я в И час. 00 мин.

на заседании диссертационного совета К 063.57.49 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

С диссертацией можно ознакомиться по адресу: г. Санкт-Петербург, университетская набережная, дом 7/9, научная библиотека СПбГУ.

45 ОПР£АЯ я-

Автореферат разослал "_" __ 199 Т г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент Шепелявый А. И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Большое количество работ в теории оптимального управления посвящено решению стационарной линейно-квадратичной задачи оптимизации на бесконечном временном интервале. В случае, когда в объекте управления имеется зависящее от некоторых параметров внешнее воздействие, оптимальное управление, как правило, также зависит от этих параметров. Поэтому в ситуации, когда эти параметры неизвестны, такой оптимальный закон управления неприменим.

В этих условиях представляет интерес задача определения единого оптимального для каждого конкретного набора параметров и не зависящего от этого набора параметров регулятора. Такой регулятор мы будем называть оптимальным универсальным регулятором (для заданного класса параметров). Оказывается, что при естественных предположениях в некоторых практически важных специальных линейно-квадратичных задачах оптимизации существует оптимальный универсальный регулятор. К числу таких задач относятся: а) задача оптимального гашения вынужденных колебаний в линейной системе, вынужденные колебания в которой формируются за счет неизвестного векторного полигармонического внешнего воздействия с известным спектром; б) задача оптимального отслеживания полигармонических векторных сигналов с известным спектром. В этих задачах неизвестными параметрами являются наборы комплексных векторных амплитуд внешнего воздействия и отслеживаемого сигнала. Универсальный регулятор решает одновременно бесконечно много задач: оптимизации: для любых наборов комплексных векторных амплитуд внешнего воздействия и отслеживаемого сигнала он доставляет функционалу качества минимальное значение.

Похожая ситуация имеет место в стохастическом случае, когда внешнее воздействие является стационарные случайным процессом, спектральная плотность которого мажорируется известной достаточно быстро убывающей на бесконечности скалярной функцией. В отличие от детерминированного случая в задаче оптимального гашения стохастических вынужденных колебаний в линейной системе с описанным множеством внешних воздействий нижняя грань функционала качества в классе физически реализуемых, стабилизирующих регуляторов с дробно-рациональной передаточной функцией не достигается. Однако оказывается, что для произвольного е > 0 существует не зависящий от спектральной плотности е-оптимальный регулятор такой, что для него функционал качества отличается от нижней грани не более чем на е, и это верно для любого внешнего воздействия из описанного класса- Такой регулятор мы будем называть е-оптимальным ■универсальным регулятором.

Близкой по постановке является задача экспоненциального отслеживания произвольной достаточно гладкой заранее неизвестной вектор-функции регулируемым выходом линейной системы при наличии в объекте и измеряемом выходе полигармонических векторных ненаблюдаемых внешних воздействий с известным спектром.

Цель работы

Одной из основных целей данной работы является определение новых случаев существования оптимальных и е-оптиматгънктт универсальных регуляторов в линейно-квадратичных задачах оптимального управления. В случае, когда оптимального универсального регулятора не существует цель работы состоит в определение минимаксного оптимального регулятора.

Научная новизна

В диссертации рассмотрены новые практически важные задачи оптимального управления, в которых указаны достаточные условия существования оптимального или е-оптимального универсального регуляторов. В случае, когда оптимального универсального регулятора не существует, получено описание множества минимаксных оптимальных регуляторов.

Практическая ценность

Полученные результаты могут быть использованы непосредственно при решении задач оптимального гашешях детерминированных и стохастических вынужденных колебаний, задач оптимального отслеживания полигармонических сигналов в линейных системах.

Методы исследования

В работе используется аппарат математического анализа, теории вероятности и обобщенных случайных процессов, теории функций комплексного переменного и теории оптимального управления.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на международных конференциях: IV-om международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Институт проблем управления РАН, Москва, 1996); ГУ-ом международном семинаре "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности" (Орехово-Зуевский педагогический институт, 1996); 35th Conference on Decision and Control (Кобе, Япония, 1996); 1-ой международной научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их применение" (Санкт-Петербург, 1996); 4th European Control Conference (Брюссель, 1997).

Результаты работы также докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета СПбГУ (научный руководитель семинара — профессор В.А. Якубович).

Публикации

Основное содержание диссертационной работы представлено в статьях [1-6], две из которых написаны в соавторстве с В.А. Якубовичем. В этих -работах В.А. Якубовичем были поставлены задачи и осуществлялась общая корректировка направления исследований.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на пункты и списка цитируемой литературы. Библиография содержит 28 наименований. Общий объем работы — 92 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертагхии, рассмотрена актуальность темы диссертации и приводится аннотация основных результатов работы.

Первая глава посвящена решению следующей задачи. Пусть система управления имеет вид

¿1ф/Л = Л:ф) + Ч*) + /0М*). 2/(0 = с*г(0 + <ЛШ, (1)

где 0 < 4 < со, х{1) вектор состояния, х(1) € К", - вектор управляющих -воздействий, и{1) 6 П,т, у({) - вектор измеряемых выходов, у(2) 6 К.*, Ф\(Х), <?;(£) - вектора внешних ненаблюдаемых возмущений, ф\(1) € В.'1, ¿г(') € И.'2; Л, 6, с, да — заданные вещественные матрицы соответствующих размерностей, с!е1 с* с ф 0, при этом пара (Л, 6) — стабилизируема, а пара (с, Л) — детектируема. Предполагается, что внешние возмущения явля-

ются полигармоническими функциями

.1=1

причем наборы частот ^ = {о^1'}, = известны, в то время как

комплексные векторные амплитуды неизвестны.

Произвольный регулятор будем называть допустимым, если он удовлетворяет условию 'устойчивости' замкнутой системы в форме

Г1]!^)!2 0 при t-^ оо. (3)

В частности предполагается, что допустимыми могут быть нелинейные и даже физически нереализуемые регуляторы. Пусть N — множество допустимых регуляторов. Рассмотрим множество С линейных регуляторов вида

а(р)и = р(р)у, (? = <*/&), (4)

где а(А), /?(А) — т х т, т х к матричные полиномы (м.п.). (Регулятор (4) будем обозначать (о,/5).)

Требуется построить допустимый регулятор, доставляющий минимальное значение функционала

*(*(•),«(•)) = Km £ £ Ç(x(t),u(m,

(5)

(6)

где G(x,u) - x'Gx + 2x'gu + tiTu — заданная вещественная квадратичная форма, при любых начальных данных и при любых амплитудах внешних возмущений в объекте и измерителе. Причем требуется, чтобы оптимальный регулятор не зависел от начальных данных и указанных векторных амплитуд. Такой регулятор будем называть оптималтым. универсалшим регулятором (ОУР).

Оказывается, что при естественных предположениях и при дополнительном условии

к > max{/j,/2}, если Г2Х П = 0, k>h + h, если fii П i2j ф 0,

где к — размерность вектора измеряемых выходов, = dim <fii(t), ¡2 = dim 4b(t), в широком классе допустимых регуляторов jV существует физически реализуемый линейный ОУР.

Сформулируем один из результатов первой главы. Фиксируем произвольный регулятор (4). Введем передаточные функции Ф,^-(A), t = 1,2, j = 1,2 от входов ifi, ^ к выходам х, и

* = Фц/Vi + Ф12д°фг, и = Ф 2if°<h +

Пусть А\ — XI — А, ¿(А) — det Ад, Qx — AJ1i(A) и Н(А) матрица замкнутой системы (1), (4)

'Ах -Ь ' -0(А)С а(А)

S(A) =

(7)

Определение 1 Будем называть -регулятор (сс,(3) сильно стабилизирующим, если матрица замкнутой системы Н(А) — гурвщев м.п., т.е. detE(A) ф О при Re А > 0, и Ф,_,(оо) = 0, г = 1,2, j = 1,2.

Определение 2 Будем говорили, ■что регуляторы, (a,ft), (а',/?') К-эквивалентны, если

а = fi = а' = va0, р =

где о:°(А), /?°(А) — матричные полиномы, a v(X), ¡i(X) — гурвицееи m х m матричные полиномы.

Будем предполагать выполнение следующего "частотного" условия: для некоторого 6 > 0 и всех х € С", й 6 Ст, в € R1 таких, что iôx = Ах + Ьй, справедливо

G(x, й) = x'Gx + 2Яех'дй + й'Гй > ¿(|î|2 + |ûp). Введем обозначения

G g 9' Г

<? =

ще) = I л»ь

(8)

(9)

Справедливость частотного условия означает, что для матрицы ГГ(г'0) справедливо неравенство

Щй) > 601т > 0, -оо < 9 < +оо. (10)

Известно, что из частотного условия следует существование и единственность п х п am хп матриц Н = II', Л, удовлетворяющих уравнению Лурье

Q(x,u) 4- 2х'Н(Ах + Ьи) = |Г1/2(и - h'x)|2, Vx, Vu ■ (11)

и таких, что В = A + bh' — гурвицева матрица. Обозначим В\ = XIп — В,

Wj =

Vi = -T-4'(Bl.)-^Hf, Wj6nb (12)

Теорема 1 (i). Пустt А -• гурвицева матрица, множество Пг П Q-z пусто, к > max{/i,/]}, к х Ii матрицы Wj имеют полный ранг при щ € fii и (да)"да > 0. Тогда в классе N существует не зависящий от ф^ сильно стабилизирующий 'универсальный'регулятор вида (4), доставляющий при любых ф^р и любых начальных данных оптимальный процесс в задаче (1), (5). Таким регулятором будет регулятор вида (4) с коэффициентами

a(\)='r(\)cQxb + p(X)Im, /?(А) = ¿(А)7(А),

где р{А) - произвольный скалярный гурвицев полином, degp(A) > deg/3(A) и 7(А) — произвольный т х к м.п. такой, что

7(iuij) = p(iuj)UjPj + Pj, ш3-вПи ( ,

7({ц)д0 = 0,. иубП», ( }

где Pj = {W'Wj)~l\V~ и Pj - произвольная mxk матрица такая, что P,Wj — 0 при ojj G П].

(HJ. Любой другой сильно стабилизирующий универсальный оптимальный регулятор (4) Л-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида.

Во второй главе рассматривается минимаксная оптимизационная задача гашения вынужденных колебаний. Предполагается, что объект управления имеет вид (1), в объекте и в измеряемом выходе присутствуют векторные внешние воздействия <fo(i)> вида (2), причем их спектры считаются известными. Также как и в главе 1 будем предполагать, что пара {А, b) — стабилизируема, пара (с*, А) — детектируема и что выполнено частотное условие (8). Требуется найти линейный сильно стабилизирующий регулятор, доставляюпщй минимальное значение функционала

_1 [Т

= и.и.йХ,£(*(*).- min, (14)

где Q(x,u) = x'Gx + 2x'gu +■ uTu — заданнал вещественная квадратичная форма и

W0I = IA«*" + • • • + ф^""' I = у/фф. (15)

Показано, что указанная задача разрешима всегда, и в частном случае, когда множества Их, 0.2 различны, получены явные формулы, описывающие множество все! с учетом 'Н-эквивалентности оптимальных линейных сильно стабилизирующих регуляторов. Используемые в следующей теореме матрицы V], и, определены в (12).

Теорема 4 (х) Пусть А — гурвицева матрица, П = 0, ранги матриц Щ равны г/ = 1,2,...,N1, ¡1 > к и выполнено частотное условие (8). Тогда в задаче (1), (Ц) существует минимаксный оптимальный регулятор вида (4). Таким регулятором будет произвольный сильно стабилизирующий регулятор (4), для которого передаточные матрицы Фц(А), г — 1,2, = 1,2 одновременно минимизируют функционалы

= цг^ф^.) _ _ Ш1п, и, е п2. 1 ;

В частности мы. можем взять регулятор (4) с коэффициентами

а( А) = 7(\)сдхЬ + />(А)/т, /3(А) = <5(А)7(А),

где р(А) — произвольный скалярный гурвицев полином, ¿е^р > deg(3, и 7(А) — произвольный т х к матричный полином такой, что

[ hn 0] PJW-L-L, + АЪЬ„ ч е п„ 7= 0, Uj € п2,

о

= 0, где

где Д7j — произвольная тхк матрица такая, что AfjLjWjPj

Lj — невырожденные k х к матрицы и Pj -— унитарные 1x1 матрицы, Р- = Р~\ такие, что LjWjPj = Щ, 0], det Wj'Wj ф 0.

(i\). Любой другой сильно стабилизирующий минимаксный оптимальный регулятор (4) И,-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида.

Условие li>k неограничительно, случай l\ < к сводится к рассмотренному выше. Показано также, что в случае, когда существует хотя бы один линейный оптимальный универсальный регулятор, множество всех линейных минимаксных оптимальных регуляторов совпадает с множеством линейных ОУР.

В.,

третьей главе рассматривается линеино-квадратичная задача оптимального гашения стохастических вынужденных колебаний.. Рассмотрим систему управления (1), где ^j(i), &(i) — стохастические стационарные процессы, представимые стохастическими интегралами

ш= T'V'H'iWiW, Ш = Г° eMW2(i6)dC2(e), (17)

J—00 J—00

где Wi(ie), W2(i6) — h х li, h x lj матрицы-функции с элементами из £2(—00,+00) и Çi(0) G R'1, Çj(ô) G — центрированные независимые процессы с некоррелированными приращениями

Edcm=о, Edae^d^y=swi - 6i)ihdexde%,

EdÇi(9) = 0, Edb{ei)dUei)' = ~ h)hdBid93. l

Здесь Е — символ математического ожидания, 6(6) — дельта-функция Дирака. Пусть

5,(0) = И^)^)*, = ЩЩЩФУ (19)

шектральные плотности внешних возмущений ф\, ф]. Предполагается, что шектральные плотности 81(8), 52(<?) неизвестны, но известны верхние оцен-<и их норм (71(0), 02(0)

5,(0) <<г,(0)/,„ 52(0)<СТ2(0)/,„ (20)

соторые удовлетворяют условиям

^^¿0 = -00, |0Г<г,(0)сг0 < +оо, УЛГ, г' = 1,2. (21)

У-оо 1+0 У-оо

1усть Рф множество внешних возмущений (¿), удовлетворяющих

^отношениям (20), (21), (17), (18), (19). Предполагается, что пара (А,Ь) — :табилизируема, пара (с*, А) — детектируема.

Опишем множество V допустимых процессов (х(-), и(-)). Будем называть троцесс (х(-), и(-)) допустимым, если он удовлетворяет первому уравнению 1) и выполнено условие 'устойчивости'

1/«£|г(0Г 0 при ¿-юо. (22)

1роизвольный регулятор будем назызать допустимым, если он удовлетво-зяет условию 'устойчивости' замкнутой системы в форме (22). В частности, гредполагается, что допустимыми могут быть нелинейные и даже физиче-жи нереализуемые регуляторы. Пусть Я ■— множество допустимых ре-■уляторов. Наряду с множеством М рассмотрим множество С линейных :ильно стабилизирующих регуляторов вида (4). Начальные условия в системе (1), (4) считаем независимыми от ф\, фз и имеющими вторые моменты.

Требуется построить допустимый регулятор, доставляющий функцио-галу

= д(х(0,«(0)л, (23)

•де <3(х, и) — х'вх + 2х"ди + и'Ги — заданная вещественная квадратичная эорма, минимальное значение. А если такого регулятора не существует, то требуется для любого положительного числа е построить г-оптимальный (опустимый регулятор, т. е. такой регулятор для которого

Ф(х(-),и(-))<ш£Ф + е. (24)

1азовем е-оптимальный регулятор универсальным, если неравенство (24) яраведливо при любых (&,&) € Рф.

)сновной результат третьей главы состоит в том, что при естественных :редположениях и при дополнительном условии •

¿>тах{/,,/2}, зирра,(0) Л зирро-2(0) = 0

¿>/г+/2, зирр<г,(0)П зирргг2(0) ф 0, К >

где к — размерность вектора измеряемых выходов, /j = dim ф\(t), = dim доказано существование в достаточно широком классе допустимых регуляторов линейного сильно стабилизирующего е-оптимального регулятора, который не зависит от конкретного вида внешних воздействий а зависит лишь от верхних оценок спектральных плотностей сТх($), &г{9). Тем самым, этот регулятор является е-оптимальным для произвольных внешних воздействий, спектральные плотности которых удовлетворяют (20). При этом оказалось, что, как правило, оптимального линейного стабилизирующего регулятора в рассматриваемой задаче не существует. Сформулируем один из результатов главы 3.

Теорема 7 Пуст.* А —гурвицева матрица, множество suppo"i.(0)nsupp сг2(в] пусто, выполнено частотное условие (8),- к > тах^,^}, (д°)'д° > 0 и матрица-функция V(i6) = c'Quf имеет полный ранг при в 6 R1. Тогда

(i) Нижние грани функционала Ф в классах L и Я совпадают и равны Фт!,,.

(ii) Для любого е > 0 существует е- оптималъный универсальный регулятор (4). Таким регулятором будет любой сильно стабилизирующий регулятор (4) с коэффициентами а(А) = i{X]c'Q\b + p(X)Im, /?(А) = 8(\У/(\), где 7(A) — т х к матричный полином, р(А) — скалярный гурвицев полином такие, что degр > deg(#7) и выполнено неравенство

тах||П(гб)|| [|~ H"lP°)/X + ИР^ИУ < с,

где ||П|| — максимальное сингулярное число матрицы П, матрица-функция H(i$) определена в (9) и

/+со

m\2a(i6)d0.

•со

В четвертой главе рассматривается задача оптимального отслеживания заранее неизвестного векторного полигармонического сигнала с известным спектром. Предполагается, что система управления имеет вид

dx(t)/dt = Ax(i) + bu(t) + /Vi(i),

y{t) = ¿¡z(t)+9°Mt), «(*) = «3«(0 + <5«(0. ( '

где x(t) e Д", u(i) £ if", y(t) 6 Rh, z(t) 6 Rkl, <f>i(t) £ Rf\ ¿2(t) e Rt>-, A, b, cu C2, ¿3, f°, g° — заданные вещественные матрицы соответствующих размерностей, det cjci ф 0, пара (А, 6) — стабилизируема и (съ А) — детектируема. Предполагается, что внешние возмущения ^i(t), °t>i{t) и отслеживаемый сигнал z°(t) являются полигармоническими функциями

no nx n,

Ш (27)

i=i i=i j=i

причем комплексные векторные амплитуды внешних возмущений и отслеживаемого сигнала фу, zj неизвестны, в то время как частоты flj = {wj1'}, Cl? = {wj3'}, По = {ь>]0'} известны и фиксированы.

Опишем множество 2? допустимых процессов (х(-), «(•)). Произвольный 1роцесс (я(-), и(-)) будем называть допустимым, если он удовлетворяет (26) я условию 'устойчивости'

Г1|г(«)|2-+0 при <->+оо. (28)

Произвольный регулятор с входами у, 2° и выходом и назовем допустимым, ;сли он удовлетворяет условию 'устойчивости' замкнутой системы в форме 28). В частности предполагается, что допустимыми могут быть также и гелинейные регуляторы. Пусть Я — множество допустимых регуляторов. Заряду с множеством М рассмотрим множество X линейных регуляторов зида

а(р)и = ШУ + (Р = Тг), (29)

-де а(А), А(А), /92(А) — т х т, т х ¿1, т х к2 матричные полиномы (м.п.).

Будем называть допустимый регулятор оптимальным, если он доста->ляет минимум функционала

$(!(•), «(•))=тк^ Г т - лорл, (зо)

Т-<х>1 J0

•де г(<) - регулируемый выход в (26) и минимум берется по множеству 0. Назовем оптимальный регулятор 'универсальным', если он не зависит >т и, тем самым, одновременно решает континуум задач

)птимизации с разными {Ф^}, Требуется построить оптималь-

гый универсальный регулятор.

Показано, что при некоторых естественных предположениях и при усло-

1ии

+ если П1 П Пг / 0

кг > тах{/ь /2}, если ^ П = 0 6 >

1 задаче (26)-(30) в классе N существует линейный оптимальный универ-:альный регулятор (29).

Сформулируем один из результатов главы 4. Введем к2 х ш перёда-•очную функцию С(А) = — А)~1Ъ + ¿^ от входа и к выходу г. Будем [редполагать, что к2 х т матрицы при ы, е Оо и П1 и Пг имеют пол-

ый ранг и более того, в случае когда к2 > т, предположим, что выполнено [астотное условие (8). Фиксируем регулятор (29). Введем передаточные гатрицы от входов Рф^), г°(4) к выходам х, и:

х = Фц/^1 + 4-125^2 + Ф»*0, " = Ф21 + + Ф2320.

)пределение 3 Будем говорить, что регулятор (о,/?!,^) сильно стабили-ирующий, если Е(А) - гурвицев м.п. (см. (7)), т.е <1е(;Е(А).ф 0 при ЛеХ > 0, Ф,,(оо) = 0, I = 1,2, ; = 1,2,3.

)пределение 4 Назовем сильно стабилизирующие регуляторы (а,/3и •—"Н-ахвивалентними, если существуют гурвицевыт хт м.п. ¡1 V тахие, что а - г>а°, & = $2 = а! - ца°, в[ = /¿/3?, = где °(А), у8|(А) — некоторые т х т, т х к\, т х к2 матричные полиномы.

Рассмотрим случай т = dimu < fcj = dimz2. Пусть

Uj = h-Bl)f - (h-B^b + I^T-H-iBl^Hf0, щ 6 Па, (3S

Zj = (h-Br)b + Im)Г-44 + b-(Bl,.)-\c2 + hd2)), Uj € По,

где ВЛ из (11) и Г = djdJ.

Теорема 11 (i). Пусть А — гурвицева матрица, множество fii П П2 = ( in < к2, кх > max{ii,i2}, кх х I, .матрицы. Wj имеют полный ранг при иj € fi и (д°)"д° > 0. Тогда в классе Af существует не зависящий от ф^р, г сильно стабилизирующий 'универсальный' регулятор вида, (29), доставлях щий при любых ф^р, Zj и любых начальных данных оптимальный про цесс в задаче (26)-(30). Таким регулятором будет регулятор (29) с хоэффь циентами а(А) = ~a(\)c{Q\b + р(А)7т, А (А) = i(A)7l(A), ft(A) = S(A)72(A) где р(А) — произвольный скалярный гурвицев полином, degp(A) > deg/Jx(A) degp(A) > degßi(X) и 7i(A), 72(A) — произвольные m x kx umxk2 M.n. mavut что

7i(24')90 = 0, шз 6 п2,

72(i'wy) = p(iuij)8(iuj)-lZu Uj € По, 7i(»4) = Pii^iWjPj + Pj, ujeili,

где Pj = (Wjiyj)-1^* и Pj — произвольная тхкг матрица такая, что P,W; = 0 при Lij € П1.

(ii). Любой другой сильно стабилизирующий оптимальный универсальныi регулятор (29) Н-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида.

Пятая глава посвящена решению минимаксной задаче оптимального от слеживания произвольного векторного полигармонического сигнала, опект которого известен. Предполагается, что система управления имеет вид (26 и внешние возмущения ф2(t) и отслеживаемый сигнал z°(t) являются полигармоническими функциями (см. (27)), причем спектры их известнь и фиксированы, в то время как комплексные векторные амплитуды неиз вестны. Будем считать, что выполнены основные предположения главь 4. Требуется построить оптимальный линейный стабилизирующий регулятор, который доставляет минимум функционала

=i wo - z°Wdt - *** (зз:

где |^(-)| определено в (15).

Оказывается, что указанная оптимизационная задача всегда имеет решение. В частном случае, когда спектры внешних возмущений ^i(i), ф? (t), отслеживаемого сигнала zQ(i) различны, множество всех оптимальных линейных стабилизирующих регуляторов с точностью до W-вквивалентности допускает полное описание. Сформулируем один из результатов главы 5 .

Теорема 14 (i). Пусть А

— гурвицева матрица, мнозюества По, П,, П2 имеют попарно пустые пересечения, т < k2f ki < Ii, матрицы Wj (порядка ki х Ii) имеют ранг г,- при uij 6 П^ Тогда, в задаче (26)-(S$) существует

(Wi'Wj)-* [ л,, О ] P-W-L'^i + AfjLj, ч e

инимаксный оптимальный регулятор вида (£9). Таким регулятором будет ооизвольный сильно стабилизирующий регулятор (£9), для которого пере-тгонние матрицы. Фу(А), i = 1,2, j — 1,2,3 одновременно минимизируют /нхционалы

jj°) = ||Г1/2(Ф23(^-) - zs)\\ -» min, us е По,

jjD = ||Г^(ф21(^)/° - Uj)\\ min, и,- € Пь

Jj2) = ИГ'^Ф^) - А-Ф12(^))5°|| min, щ е П,.

частности мы можем взять регулятор (£9) с коэффициентами а(А) = Ä(A) = ¿(A)7i(A), Д,(А) = ¿(Ab(A), где p(A) — произволь-лй скалярный гурвицев полином, degp(A) > degft(A), degp(A) > deg/^(A), ti (A), tj(A) — произвольные mxki, mx k2 матричные полиномы такие, что

(inj) = [ ^

i, 7j(tu),-)5° = 0, Lüj 6 П2, 'tiij^i) = Pfaj)6(vjjj)~lZj, Uj 6 По, где Wj, Uj, Zj из

'В), Д7— произвольная m х ki матрица такая, что AijLjWjPj ^

ajj € fii, ij- — невырожденные ki х ij матрицы и Pj — унитарные Ii х Ii атрицы, Р~ = Р"1, такие, что LjWjPj = [№¿,0], det W/W} ^ 0.

(ii). Любой другой сильно стабилизирующий минимаксный оптимальный ■.гулятор (£9) 7{-эквивалентен одному из регуляторов указанного вида.

шестой главе рассматривается задача полного отслеживания заранее ¡известного достаточно гладкого векторного сигнала регулируемым выдам линейной системы. Предполагается, что объект управления имеет

W dx(t)/it = Ax(t) + Ht) + fM*),

y(t) = <*x(t) + dlu(t) + ga<h(t), z(t) = <$x(t) + d-2u(t), ^

;e x(t) 6 Ii", y(t) — измеряемый выход, y(t) 6 Rkl, z(t) — регулируемый сход, z(i) 6 Rk*, u(t) — управляющее воздействие, u(f) 6 Я"1, Ф\{Ь), ф?{1) — юшние возмущения, <l>i{t) 6 R!', ^(i) £ Rl2; А, b, f°, g°, Ci, c2, d2 - постоянные ществевтгые матрицы подходящих размерностей, при этом пара (Л, Ь) — ■абилизируема, а пара (ci, А) — детектируема. Предполагается, что внеш-te возмущения: ф\(<), являются полигармоническими функциями (2) >ичем комплексные векторные амплитуды {^J-1'}, {Ф^1} неизвестны, в то >емя как спектры П] = {ш]1'}, Пг = {^j2'} известны и фиксированы. Предлагается, что отслеживаемый сигнал z°(t) является достаточно гладкой гнкцией времени. В качестве множества допустимых регуляторов рассмо->им множество £. линейных регуляторов (29). Будем называть регулятор Э) Г-универсальным, если он не зависит от z°(i) и для него

\z{t) - 2°(f)| 0 при f-++oo (35)

|И произвольных {^j-1'}, {Ф^} и любой достаточно гладкой функции z"(f). эебуется построить Г-универсальный регулятор.

Обозначим Ах = XI - А, 6(А) = <1е1 Ах, <2л = ¿(А)Л;1, И^(А) = н

И^(А) = с^Ь + ¿5, У„(А) = Ж,(А)5(А), Уу(А) = Ж„(А)5(А),

" ^ ~ [ -А(АК а(А) - А(А)<5 ' ^ ~ - ^ - Ф,.(А) Ф2„(А)

Определение 5 Регулятор (29) будем называть строго стабилизируют, если Н'(А) — гурвщев матричный полином и Ф1и(оо) = О, Ф2„(оо)/?1(оо) =

Понятие 'Н-эквивалентности строго стабилизирующих линейных регул* ров {а,Р\,Рг), (а', Р'иР^) вводится также как и в главе 3.

Теорема 16 Для того, чтобы строго стабилизирующий регулятор (29) , Т-универсальным необходимо и достаточно, чтобы

= 0, ш, е «ь

=0, ц £ П2 »Г.(А)Ф2>(А)А(Д) = УАее

Обозначим Л — П! П П2, Щ = с^Л"1./0, У,- = ы} е ¡V

Теорема 17 Пусть А — гурвицева матрица, т = множество А пус > тг1х{/1, /2} « матрицы Щ, / — 1,...,^, <7° имеют полный ранг, ъ ¿сг И^,- ^ 0, ; = 1,..., Ии ¿е1{д0Уда ф 0. Тогда

(г). Для существования строго стабилизирующего Т-универсального регу тора (29) необходимо и достаточно, чтобы с^ И^(А) ф 0 и чтобы матри функция И*(А)-1 не имела полюсов в области ЯеХ > 0. (И). Пусть условие (г) выполнено и р(А) — скалярный гурвицев полит 7(А) — ш х к\ матричный полином такие, что р(А)И^(А)-1 — матричн полином, deg7(A)¿(A) < degp(A) и

1(гц) = К^У'р^ЩР, + Р„ ч £ Пи 7(^)3°=0, и} е П2,

где Р] = ОУТЪУ^^МГ? и Р] — произвольные га х ^ матрицы такие, ч FjWi = 0. Регулятор {а,Рирг) с коэффициентами а(А) = 7(А)К(А) + р(Х), (Ь(Х) — 5(А)7(А), р2(А) = /)(А)И^,(А)-1 является строго стабилизирующим универсальным регулятором.

(Ш). Любой строго стабилизирующий Т-универсальный регулятор (29) эквивалентен одному из регуляторов указанного типа.

Заключение

Основные результаты работы:

1. При соответствующих предположениях получены достаточные уел вия существования линейного оптимального универсального (оптимальг го для произвольной помехи из класса) регулятора в линейно-квадратичв задаче оптимального отслеживания векторного полигармонического сигв ла выходом линейной системы. При выполнении указанных условий он сано с точностью до естественного отношения эквивалентности множест:

асех стабилизирующих линейных оптимальных универсальных регуляторов. Отдельно решена задача гашения вынужденных колебаний в линейных системах по выходу (отслеживание нулевого сигнала).

Z. При тех же предположениях решена задача минимаксного отслеживания юлигармонических сигналов в линейных системах, дано исчерпывающее зписание множества минимаксных оптимальных регуляторов. Показало, *то в случае существования универсального регулятора множества оптимальных минимаксных и оптимальных универсальных регуляторов совпадают. Отдельно решена задача минимаксного гашения вынужденных колебаний в линейных системах по выходу.

i. Получены достаточные условия существования е-оптимального уни-зерсального (е-оптималького для произвольного сингулярного случайного фоцесса, спектральная плотность которого мажорируется известной до-л'аточно быстро убывающей функцией) стабилизирующего линейного ре- --улятора в линейно-квадратичной задаче гашения стохастических колеба-

П1Й.

к Получены необходимые и достаточные условия существования стабили->ирующего линейного регулятора в задаче отслеживания произвольного достаточно гладкого сигнала по выходу. Дано полное описание указанных эегуляторов.

Основные результаты, выносимые на защиту, опубликованы в следующих заботах:

.. Ширяев A.C., Якубович В.А. Оптимальное отслеживание полигармони-геских сигналов при наличии помех в измерениях. // ДАН. Том 353. N 1. .997.

!. Ширяев A.C. Оптимальное отслеживание полигармонических сигналов I линейных системах (общий случай). Депонир. ВИНИТИ N 3856-В86 от 11.12.96. 16 с.

!. Агантаев Е.К., Ширяев A.C., Якубович В.А. Универсальные регулято->ы для оптимального отслеживания в линейных системах. // Тезисы IV 1еждународного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем 'правления". Институт проблем управления РАН. 1996. Москва, с.110.

Ширяев A.C. Минимаксное отслеживание полигармонических сигналов I линейных системах. // Тезисы IV международного семинара "Многокри-ериальные и игровые задачи при неопределенности". Орехово-Зуевский :едагогический институт. 1996. Москва, с.104.

. Sbirjaev A.S. Optimal universal regulators in the problem of damping forced scillations. Proc. 35th Conference on Decision and Control. 1996. Kobe. Japan. p.1628-1629.

. Ширяев A.C. Оптимальное отслеживание гармонических сигналов в инейных системах. // Тезисы I международной научно-практической конвенции "Дифференциальные уравнения и их применение". 1996. Санкт-[етербург. с.237-238.