Синтез адаптивных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

м

СЛНКТ-ПЕТЕ РБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Па ирапах рукописи

Небосько Евгений Юрьевич

СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ В ЗАДАЧАХ ИНВАРИАНТНОСТИ И ОТСЛЕЖИВАНИЯ

01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

2 7 Ш 2011

4842946

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механичсского (факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Якубович Владимир Андреевич Официальные оппоненты: доктор физико-математическиу наук,

профессор Чурилов Александр Николаевич (Санкт-Петербургский государственный морской технический университет) кандидат физико-математических наук, .Пихтарников Андрей Леонидович (Институт проблем машиноведения РАН) Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

аэрокосмического приборостроен ия

Защита состоится О)'■■?'-У/./ 2011 г. в и часов на заседании со-

вета Д.212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Сапкт-' Петербургском государственном университете но адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН).

Адрес диссертационного совета: 198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр., 28.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_"_20 г. ч

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.232.29

I •

доктор физ.-мат. наук, профессор

В. М. Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи инвариантности и отслеживания являются классическими задачами теории управления, имеют длинную историю и активно исследуются как математиками, так и инженерами вследствие их практической значимости. Указанные задачи изучались в работах Г.В. Щипанова, Ф.Р. Гантмахера, А.И. Кухтенко, М.В. Меерова, Я.Н. Ройтенберга, У.А. Уо-нэма, Б.М. Фрэнсиса, А. Лиидквиста, В.А. Якубовича, A.B. Проскурпикова и многих других авторов. В недавних статьях В.А. Якубовича и A.B. Проскурпикова получено описание всех стабилизирующих регуляторов, решающих задачи инвариантности, отслеживания и более общие задачи соответствия выхода системы выходу эталонной модели. В данных работах параметры объекта считаются известными (в качестве неопределенности выступает внешнее воздействие или задающий сигнал). Исследование таких задач в случае неопределенных коэффициентов является актуальной задачей, поскольку параметры и внешние условия функционирования любой реальной системы, как правило, неизвестны или известны неточно.

Целью работы является получение условий существования адаптивных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания при неопределенных коэффициентах системы, а также их конструктивное описание.

Методы исследований включают теорию дифференциально-разностных уравнений, методы построения универсальных регуляторов, рассмотренные в работах В.А. Якубовича и А. В. Проскурпикова, методы теории адаптивного управления, ме тод рекуррентных целевых неравенств, рассмотренные в работах В.А. Якуболича, В.Н. Фомина, В.А. Бондарко, В.И. Пономаренко и др.

Научную новизну работы составляют следующие результаты. Получены достаточные условия существования и конструктивное описание класса строго реализуемых адаптивных регуляторов, решающих задачи об инвариантности неопределенной системы управления, отслеживания произвольного неизвестного сигнала, соответствия выхода неопределенной системы выходу заданной эталонной модели.

Теоретическая и практическая ценность. В работе описываются конструктивные процедуры синтеза регуляторов, решающих задачи инвариантности, отслеживания, соответствия заданной модели для неопределенных систем, которые объединяют в себе теорию построения универсальных регуляторов, развитую в работах В.А. Якубовича, A.B. Проскуриикова и др., с результатами теории адаптивного управления.

Полученные результаты могут быть использовапы па практике для расчета и построения разнообразных систем управления (управление автономными транспортными средствами, автономными летающими аппаратами и др.), обеспечивающих повышение качества систем в условиях неопределенности.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики и двух конференциях: Международном научно-техническом семинаре "Робототехника. Взгляд в будущее" , С.-Петербург, 2010 г., XI-й Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (конференции Пятницкого), Москва, 2010г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. Работы [1-3] являются публикациями из перечня ВАК.

Работы [1,2,3,4] написаны в соавторстве. В этих работах Е.Ю. Небось-ко принадлежат формулировки и доказательства теорем о достижении цели управления, имитационное моделирование, В.А Якубовичу общие постановки задачи и указание методов их решения. В работах [1,2,3] A.B. Проскурпикову принадлежит параметризация регуляторов, решающих указанные задачи при условии, что коэффициенты объекта известны.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 82 страницы состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы (74 наименования).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

V"

Во введении обосновывается актуальность темы, ставятся задачи иссле-

■ii

довапия и приводится краткое содержание работы по главам.

Первая глава посвящена описанию основных задач и обзору известных результатов. В частности, изложены основные тезисы дискуссии вокруг работ Г.В. Щипапова.

Во второй главе рассматриваются задачи инвариантности и, как частный случай, задача стабилизации неопределенной системы.

В разделе 2.1 исследуется частный случай задачи инвариантности - задача стабилизации. В этом случае внешнее воздействие равно пулю. Для линейного неопределенного объекта в дискретном времени строится семейство регуляторов, которое посредством ограниченного управления обеспечивает ограниченность выхода системы сколь угодно малой постоянной.

Раздел 2.2 прсвящен изучению задачи инвариантности в следующей постановке. Рассматривается объект управления вида

= < = 0,1,2,... (1)

где у1 6 Яп, щ 6 В.п, € Л'-выход, управляющее воздействие и измеряемое внешнее воздействие соответственно, Л(А), В(А), Р(А)-матричные полиномы с вещественными коэффициентами размеров пхп, пхп, пх1 соответственно. Символ Д-оисратор сдвига на шаг вперед Ау1 — у1+ь /1(Д)у( = 4)Уе+аЛ + Л1у1+ал_1 +----АЛлу1. Предполагается, что сЫА0 ф 0. Не ограничивая общности, считается, что Ао = 1п - единичная матрица размерности п. Предполагается также, что <1ец А = (1А > <1ц = deg В и <1д > (1р = <1ец Р, ¿в ^ <1р- Внешнее воздействие </?{ считается доступным измерению и ограниченным:

\щ\ ^ при всех Ь ^ 0. (2)

Коэффициенты полиномов А(А), В(А), F(А) в (1) считаются неизвестными, предполагается'только мшшмальнофазовость объекта (1), т.е. устойчивость матричного полинома В(А): с1е1 В(Х) / 0 при А € С, |А| ^ 1.

Требуется построить регулятор, который для любого (неизвестного заранее) внешнего воздействия (¿>(, удовлетворяющего (2) и любых начальных дан-

пых системы, обеспечивал бы свойство:

lim \yt\ ^ е, sup|ut|<oo.

f-> оо <

Закон управления строится на основе теоремы о параметризации всех линейных стабилизирующих регуляторов для объекта вида (1) с известными коэффициентами, обеспечивающих стремление выхода системЬ; к нулю независимо от внешнего воздействия (Проскурняков A.B., Якубович В.А. Задача об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.389, N6, с.742-746), путем замены матричных полипомов A,B,F формируемыми указанным ниже образом оценками А1, В1, F1, которые корректируются па каждом шаге . Именно, управление определяется из соотношения (уравнения регулятора) вида

Здесь /»-произвольный устойчивый скалярный полипом, г1- вещественный (п х п)-матричный полипом, такой что с^г' ^ 0, матричные полипомы соответствующих размерностей А1, В^'-некоторые оценки полипомов А, В, Г, построенные по наблюдениям уо,Уг, ■ ■ ■, г/«+<гд_1, <ро, <Р\, -.., Щ+Ир и управлениям и0, щ,..., щ+в.в ■

Закон управления строится таким образом, чтобы при каждом t регулятор (4) являлся строго реализуемым (пеупреждающим). Вводятся следующие определения. Под степенью скалярной рациональной функции /(А) = Ь(А)/а(А), где а,Ь - полипомы, будем попимать число сlegf = <1едЬ — с^а, под степенью рациональной матрицы - наибольшую из степеней элементов. Регулятор вида В'и — Су + Р'<р называется строго реализуемым (пеупреждающим), если с^^-О'^С") < 0 и < 0, т.е. все элементы матриц (В')~1(А)С"(А) и (-0')~1(А)С(Л) - правильные рациональные функции. Только такие регуляторы имеют практический смысл. В формуле (5) полипомы р и г1 выбираются следующим образом. Пусть д = А — <1е§ В — 1. Берется произвольный устойчивый полином /э(А),с^ р ^ (¡. Пусть р произвольный

D\A)ut = С4(Д)у( + С'(ДЬ, где D1 = гьВ\ С4 = г1 А1 - pl, G1 = -г1Рг.

(4)

(5)

матричный полином степени с^ р, первые (1а — (1в старших членов которого совпадают с соответствующими членами матричного полинома р(Х)1п. Матричный полином р делится с остатком па А1(А) (это можно сделать, так как Л'() = 1п по предположению): р = г1 А1 + где с^ < deg А. Если при каждом £ Вц, старший коэффициент полипома В'(Л), невырожденная матрица, то регулятор (4), (5) с этими г1 и р строго реализуем.

Описывается следующее правило подбора коэффициентов матричных полиномов А1, В1,Е1, замыкающее систему (1), (4). Начальные оценки (для Ь = 0) берутся произвольно так, чтобы сМ В[] ф 0. Пусть при некотором Ь (в момент времени £ + ¿а) известны некоторые оценки А1, Вполиномов Л, В и ^ соответственно. Рассматривается для этого I целевое неравенство:

И4(Д)2/г - В1(А)щ - < ё. (6)

Вводятся обозначения:

= со1{уг+лА-иУ1+Лл-2, ■ ■ чУиЩ+йвт- • ,««> • ■ ■

Целевое неравенство (6) переписывается в виде:

\У1+4Л ^ ё- (7)

Для подстройки вектора оценок г(, используется следующий алгоритм типа "Полоска" (Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами, М., Наука, 1981):

т4+1 = п, если щ = 1,

I

74+1 = П - Р((1 - в)"ПЮ*\crt\~2, если щ = -1, где (8)

о < в < 1, т = у1+аЛ + п<ги о < р! ^ щ < м" < 2

щ = 81дп{ё- |т?(|).

Параметры ^ выбираются так, чтобы detB¿ ф 0. Установлен следующий результат.

Теорема 1. Пусть объект управления (1) удовлетворяет всем описанным предположениям и пусть старший коэффициент полинома В (А) объекта (1) -неособая матрица. Тогда любой адаптивный регулятор вида (4), (8), с описанным выбором начальных оценок т0 и достаточно малым ё > 0 из (б), будет обеспечивать цель управления (3).

В разделе 2.3 рассматривается задача об инвариантности для неопределенного скалярного объекта в непрерывном времени.

Раздел 2.4 иллюстрирует применение теоретических результатов к задаче управления автономным транспортным средством. Рассматривается автономное транспортное средство (АТС), например, автобус, движущееся с постоянной скоростью. Предполагается, что задана целевая траектория, которая геометрически представляет собой совокупность дуг окружностей и отрезков. На АТС находится сенсор, измеряющий отклонения от заданной траектории. Считается, что измеряется (или оценивается) кривизна траектории в точке, ближайшей к сенсору. Под кривизной подразумевается величина ip = , где R-радиус кривизиы. Кривизна у? считается постоянной на каждом из промежутков между измерениями и рассматривается как (неизвестное ¡арапее) измеряемое возмущение </з(£). Предполагается, что измерения проводятся в равноотстоящие моменты времени: tk = kh, h-период измерений. Целью управления является следование целевой траектории в смысле обеспечения достаточной малости величины отклонения сенсора от траектории в моменты измерений.

Движение АТС описывается системой уравнений

х = Ax + Bu + Ftp(t), (9)

х = [/3r Аф у]Т.

Компоненты фазового вектора х имеют следующий физический смысл:

¡3- угол между осыо транспортного средства и вектором скорости (против часовой стрелки);

г- мгновенная угловая скорость поворота АТС вокруг центра тяжести (против часовой стрелки);

Дт/>- угол между касательным вектором дороги в точке, ближайшей к центру тяжести и осыо транспортного средства (против часовой стрелки);

у- расстояние от сенсора до дороги (по нормали, со знаком - в зависимости от того, с какой стороны дороги находится сенсор: слева- плюс, справа- минус).

В формуле (9) и - угол поворота передних колес или, то же самое, угол поворота руля, <р, как говорилось выше, кривизна дороги в точке, ближайшей к сенсору. Компоненты матриц А, В и F выражаются через физические параметры АТС, такие как масса, скорость, различные длины, коэффициенты жесткости, центральный момент инерции. Управление на каждом из промежутков принимается постоянным

u(kh + s) = uk, «6 [0,1), fc = 0,1,2... (10)

Производится стандартная процедура перехода от непрерывного объекта к дискретному объекту в форме пространства состояний и затем к дискретному объекту в форме вход-выход

a(A)yk = b(A)uk + f(A)tpk, (11)

где ук = y(hk), ик = u(hk), ipk — ip(hk). Символ Д-оператор сдвига на шаг вперед Аук = ук+\- А, b, f - скалярные полиномы. Следуя результатам раздела 2.2 строится семейство регуляторов обеспечивающих для объекта (11) и, следовательно, для объекта (9) выполнение условия

lim \ук\ < е.

t—* оо

На рисунках 1, 2 представлены результаты численных экспериментов по данной задаче для трех различных регуляторов из построенного класса в виде графиков отклонений от дороги и углов поворота руля (управляющих воздействий) как функций времени. Для первого регулятора выбрано R = А4, rk = 1, для второго rk = 1, а R(А)- устойчивый полином с корнями [0.5 0.2 0.1 0.01] , параметры третьего регулятора имеют вид: rk = 1, а R(А)- устойчивый полипом с корнями [0.7 — 0.2 0.1 0.01]. Из работы Ю. Аккермана (J. Ackermann,

Рис. 1: Графики отклонений от дороги у для трех различных регуляторов (слева направо от первого к третьему).

Рис. 2: Графики углов поворотов руля (управлений) и для трех различных регуляторов (слева направо от первого к третьему).

J.Gudner, W.Sienel, R.Stainhauser, V.I.Utkin Linear and Nonlinear Controller Design for Robust Automatic Steering. IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 3, № 1, march 1995, pp. 132-142) взяты числеиные значения физических параметров, которые соответствуют характеристикам реального городского автобуса О 305. Неизвестными параметрами считаются масса автобуса и его скорость. Известны только границы изменения этих параметров. При проведении экспериментов в определенный момент времени (t = 20с) "истинные" значения массы и скорости резко меняются. Графики демонстрируют, что регуляторы успешно подстраиваются к неопределенным параметрам и обеспечивают выполнение цели управления.

В третьей главе рассматриваются задачи отслеживания и более общая задача соответствия эталонной модели, где выход системы должен "отслеживать" выход эталонной модели. В разделе 3.1 рассматривается объект управления вида (1), где j/t 6 Rn, it¡ £ Rn, tpt 6 Лп-пыход, управляющее воздействие и задающий сигнал соответственно, Л(А), В(А), ^(А)-матричные полиномы с вещественными коэффициентами размеров пхп, пхп, пхп соответственно. Как обычно, символ Д-онератор сдвига на шаг вперед Ayt = yt+i,

A(&)Vt ~ Ä0yt+dA+A1yt+dA-l-\-----VAdAyt. Предполагается, что det А, ф 0. Не

ограничивая общности, считается, что Аа = 1п — единичная матрица размерности п. Предполагается также, что deg А = dA — dD = de» В и dA ^ dp = degF. Задающий сигнал <pt считается доступным измерению и ограниченным:

¡<Pt¡ < Cv, при всех t S? 0. (12)

Коэффициенты полипомов -А(А), В{A), F(А) в (1) считаются неизвестными, предполагается только мипималыюфазовость объекта (1), т.е. устойчивость матричного полинома В(A): det В(Х) ф 0 при А 6 С, |А| ^ 1.

Требуется построить регулятор, который при любом (неизвестном заранее) задающем воздействии ipt, удовлетворяющем (12) и любых начальных данных системы, обеспечивал бы свойство:

lim \yt - ipt\ < е, sup|wt|<oo. (13)

t->0о (

Закон управления, как и ранее, строится на основе теоремы о параметризации всех лииейпых стабилизирующих регуляторов для объекта вида (1) с известными коэффициентами, обеспечивающих стремление выхода системы к заданному сигналу путем замены матричных полиномов А, В, F формируемыми указанным ниже образом оценками А1, В1, F1, которые корректируются па • ;

каждом шаге (Проскурников A.B., Якубович В.А. Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания//Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321-

325). Управление определяется из соотношения

£>ЧДК = С4(Д)г/г + С'(Д)^, где (14)

£)'=г4Вг, С1 =гьА1 — р1, О1 = р1 — г*Рь. (15)

Здесь р-произвольиый устойчивый скалярный полином, г1- вещественный (п х п)-матричпый полином, такой что с!е! г1 ф 0, матричные полиномы соответствующих размерностей А1, В1, ^'-некоторые оценки полипомов А, В, Р, построенные по предшествующим наблюдениям и управлениям. В формуле (15) полиномы р и г4 выбираются так, чтобы регулятор (14) являлся неупре-ждающим. Именно, пусть д = с1ец А. Берется произвольный устойчивый полипом p(X),deg р ^ д. Матричный полипом р1 делится с остатком на А1 (А) р1 = ггАг 4- С}ь, где < <\е&А1. Если при каждом I Вд, старший коэф-

фициент полинома В'(А), невырожденная матрица, то регулятор (14), (15) с этими г' и р строго реализуем.

Система замыкается алгоритмом подстройки неизвестных параметров по правил}', описанному выше для задачи инвариантности. Установлен следующий результат.

Теорема.2. Пусть для объекта управления (1) выполнены все описанные предположения и пусть старший коэффициент полинома В(А) объекта (1)-неособая матрица. Тогда любой адаптивный регулятор вида (14), (8), с описанным выборол1 начальных оценок То и достаточно малым ё > 0 из (б), будет обеспечхшатъ цель управления (13).

В разделе 3.2 рассматривается задача отслеживания полигармонических сигналов с известным спектром. Для объекта вида (1) предполагается, что сигнал имеет вид

щ = <рк?в*1 + + ... + <рке?в«\ (16)

где ф] произвольные (заранее неизвестные) комплексные векторные амплитуды, частоты 03 фиксированы (известны) и вк Ф в] + 2пI, к ф ], / £ 2. В отличие от предыдущего случая предполагается, что degA = <1д > (1ц = degВ и ¿а > с1р = ¿ъёР. Цель управления имеет вид (13).

Закон управления выбирается в виде (Лиидквист А., Якубович В.А. Универсальные регуляторы для оптимального' отслеживания сигналов в линейных дискретных системах.11 Доклады РАН. 1998. Т.361. N2. С.177-180, Проскурников A.B., Якубович В.Л. Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания//Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321-325)

Полипомы р и г4 выбираются следующим образом. Пусть q = (1А — <1В + тах(Лг,<1а — 1). Берется произвольный устойчивый скалярный полипом /э(А),с1ец р ^ д. Пусть р произвольный матричный полипом степени <1р) первые йл ~ д.в старших членов которого совпадают с соответствующими членами матричного полинома р1(А). Матричный полином р делится_с остатком па А4 (А) (это можно сделать, так как Ад = 1п по'предположению): р = г4 А4 + С^*, где с!ец С}1 < deg А. Матричный полином ¿(А) выбирается таковым, что Лр — в.а + Лц ^ deg Ь — (¡1 ^ N. Если при каждом I В[ь старший коэффициент полипома В*(А), невырожденная матрица, то регулятор с такими р и г4 строго реализуем и уравнения (19) разрешимы при всех ¿. . • ■-.. .

Система замыкается алгоритмом подстройки неизвестных параметров по описанному выше правилу. Установлен следующий результат

Теорема 3. Лг/стъ для объекта управления (1) выполнены все описанные предположения и пусть старший коэффициент полинома В(А) объекта (1)-неособая матрица. Тогда любой адаптивный регулятор вида (17), (8), с описанным выбором начальных оценок г0 и достаточно малым ё > 0 из (6), будет обеспечивать цель управления (13).

В разделе 3.3 рассматривается задача соответствия эталонной модели. Рассмотрим объект управления вида (1), где е •Я", щ £ Л", у« Е Л1-выход, управляющее воздействие и внешний сигнал соответственно, А(А), В(А), -Р(А)-матричпые полиномы с вещественными коэффициентами размеров пхп,пхп,

Dt(A)ut = Ct(A)yt + Gt(A)<Pu где D1 = г1 В1, С" = г4 А4 — pl, G4 = L4,

(17)

(18) (19)

п х I соответственно. Как обычно, символ Д-онератор сдвига на шаг вперед

Aî/t = 2/t+b A(A)yt = А0yt+dA + Aiyt+dA-1 H----+ AdAyt. предполагается, что

det A(l ф 0. Не ограничивая общности, считается, что Ло = /„ - единичная матрица размерности п. Предполагается также, что deg А = йд ^ ¿в = (leg Л и ¿а ^ dp = deg F, dg ÏS tip.

Внешний сигнал ipt считается доступным измерению и ограниченным:

|Vt| ^ Ср, при всех t ^ 0. (20)

Коэффициенты полиномов У1(А), В(A), F(A) в (1) считаются неизвестными, предполагается только минимальнофазовость объекта (1), т.е. устойчивость матричного полинома В{А): detß(A) ф 0 при А € С, |А| ^ 1. Предполагается, что задана эталонная модель

Ат(А)у™ = Fm(A)<pt, (21)

где Ат - гурвицев матричный полином размера n х п, Fm - произвольный матричный полипом размера n х I. Коэффициенты Ат и Fm считаются известными. Пусть <1Лт = (leg Ат, d/.;n = degFrn и — ¿Fm ^ dj\ — du-

Требуется построить регулятор, который для любого (неизвестного заранее) задающего воздействия удовлетворяющего (20) и любых начальных данных системы, обеспечивал бы свойство:

Tïmbt - уГК е. sup |ut| < оо. (22)

t-*oo I

Управление выбирается в виде (Проскурников A.B., Якубович В.А. Линейные системы управления с эталонной моделью11Доклады РАН, 2007, т.415, N4, с.461-464)

Dl(A)ut = Cl(A)yt + Gl{ Д)р(> (23)

где коэффициенты полипомов D1, С1, G1 имеют вид

Dь = гьВь, С1 = г1 А1 - рАт, G1 = -r'FÉ + pFm. (24)

Полиномы pur* выбираются следующим образом.

Пусть '1 = тах(2 У1 — (](>к В — <1е£ Лт — 1,0). Берется произвольный устойчивый скалярный полипом р(Х), р ^ д. Выберем Я = рАт и соответственно обозначим йц = с^ Л = с^ р + с^ Ат. Пусть р произвольный матричный полипом степени первые ¿д — с1в старших членов которого совпадают с соответствующими членами матричного полинома Л (А). Матричный полином р делится с остатком на Л'(А) (это можно сделать, так как А*0 = 1п по предположению): р = г1 А1 + <2', где degQt < <1ед А. Если при каждом £ В^, старший коэффициент полинома Вг(А), невырожденная матрица, то регулятор (23) с этими г1 и р строго реализуем.

Система замыкается алгоритмом подстройки неизвестных параметров по описанному выше правилу. Установлен следующий результат.

Теорема 4. Пусть для объекта управления (1) выполнены все описанные предположения и пусть старший коэффициент полинома В(А) объекта (1)-неособая матрица. Тогда любой адаптивный регулятор вида (23), (8), с описанным выбором начальных оценок То и достаточно малым ё > 0 из (6), будет обеспечивать цель управления (22). Заключение.

1. Для многомерных дискретных неопределенных систем синтезировано широкое семейство адаптивных неупреждающих регуляторов, обеспечивающих инвариантность выхода системы управления от неизвестного заранее измеряемого внешнего воздействия.

2. Для многомерных дискретных неопределенных систем построено обширное семейство адаптивных регуляторов, обеспечивающих близость с произвольной наперед заданной точностью выхода системы управления к неизвестному заранее измеряемому задающему сигналу.

3. Для многомерных дискретных неопределенных систем получено конструктивное описанеие широкого семейства адаптивных регуляторов, обеспечивающих близость с произвольной наперед заданной точностью выхода системы управления выходу эталонной модели.

4. Найдены достаточные условия существования строго реализуемых (пеупре-

ждающих) регуляторов, решающих указанные задачи.

5. Проведены численные эксперименты для задачи автоматического управления автономным транспортным средством, иллюстрирующие применение теоретических результатов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Работы опубликованные в изданиях из перечня ВАК

1. Е. Ю. Небосько, А. В. Проскурняков, В. А. Якубович Синтез адаптивного регулятора в задаче стабилизации неопределенного дискретного линейного объекта. //Доклады академии наук, 2009, том 426, №4, с. 464-467.

2. Е. Ю. Небосько, А. В. Проскурпиков, В. А. Якубович Синтез адаптивного регулятора в задаче об инвариантности неопределенного дискретного линейного объекта. //Доклады академии наук, 2009, том 428, №6, с. 748-751.

3. Е. Ю. Небосько, А. В. Проскурпиков, В. А. Якубович Синтез адаптивного регулятора в задаче управления дискретной неопределенной линейной системой с эталонной моделью. //Доклады академии наук, 2010, том 433, №3, с. 1-4.

Другие работы по теме диссертации

4. Небосько Е. Ю., Якубович В. А. Адаптивные и универсальные регуляторы в задаче управления транспортным роботом. // Робототехника. Взгляд в будущее. Труды международного научно-технического семинара. Санкт-Петербург, 2010, с.224-226

5. Е. Ю. Небосько Адаптивные регуляторы в задачах отслеживания для неопределенных дискретных линейных систем. //Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Тезисы докладов XI международной конференции. Москва, 2010, с.297-298.

л.

Подписано в печать 24.12.2010. Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 589

Отпечатано в типографии ООО «Адмирам»

199048, Санкт-Петербург, В. О., б-я линия, д. 59 корп. 1, оф. 40Н

Введение

1 Основные задачи и обзор известных результатов

1.1 Задачи об инвариантности системы управления

1.2 Задачи отслеживания.

2 Синтез адаптивных регуляторов в задачах стабилизации и инвариантности системы управления

2.1 Задача стабилизации неопределенной дискретной системы управления.

2.2 Задача об инвариантности неопределенной дискретной системы управления.

2.3 Задача об инвариантности неопределенной системы управления в непрерывном времени.

2.4 Управление автономным транспортным средством.

3 Синтез адаптивных регуляторов в задачах отслеживания и соответствия эталонной модели

3.1 Задача отслеживания неизвестного сигнала для неопределенной дискретной системы управления.

3.2 Задача отслеживания неизвестного полигармонического сигнала с известным спектром для неопределенной дискретной системы управления.

3.3 Задача соответствия выхода неопределенной дискретной системы управления выходу заданной эталонной модели.

Задачи управления в условиях неопределенности активно исследуются специалистами и имеют прикладное значение, поскольку параметры, условия функционирования, характеристики любой реальной системы, как правило, неизвестны или известны неточно. Управление реальными системами осложняется наличием внешних возмущений, помех в измерении, запаздываний в управлении и т.д.

Вопросы управления в условиях неопределенности послужили стимулом к развитию целого ряда разделов современной теории управления, в том числе минимаксной оптимизации, стохастического управления, адаптивного управления, теории абсолютной устойчивости и др.

Процессы неопределенной системы, удовлетворяющие цели управления, обычно зависят от неизвестных параметров и явно быть найдены не могут. Тем не менее, в некоторых задачах управления неопределенными системами существуют регуляторы (операторы обратной связи, формирующие управление по выходу системы), не зависящие от неизвестных параметров системы, но при этом обеспечивающие достижение цели управления при любых значениях этих параметров. Такой регулятор, решающий по сути одновременно целое семейство задач управления, будем следуя [55, 74], называть универсальным (в данной задаче для данного класса неизвестных параметров).

Несмотря на то, что существование универсальных регуляторов кажется "исключительным" свойством, такие регуляторы удается построить для целого ряда важных задач. Много примеров регуляторов такого рода дает теория адаптивного управления. Применяя методы данной теории, удается построить универсальные регуляторы специальной структуры (содержащие контур "подстройки параметров"), называемые адаптивными, в целом ряде задач стабилизации, минимаксного и стохастического оптимального управления, фильтрации и др. с неопределенным объектом управления. Точные постановки подобных задач, а также определение адаптивного регулятора могут быть найдены, например, [41, 42, 73] и многих других (см. ссылки в указанных источниках).

Вместе с тем, существуют и другие примеры универсальных регуляторов. Один из самых простых примеров такого регулятора - стандартный линейный регулятор, порождающий оптимальный процесс в задаче линейно-квадратичной оптимизации при произвольных неизвестных начальных данных объекта управления. Задолго до формирования теории адаптивного управления, в 1939 г. Г.В.Щипановым был поставлен вопрос о существовании универсального 1 регулятора, обеспечивающего асимптотическую стабилизацию выхода системы при наличии в системе неизвестного внешнего возмущения. В этой задаче, получившей позже название задачи инвариантности, в роли неизвестного параметра выступает внешнее воздействие, то есть элемент бесконечномерного пространства.

Проблема инвариантности практически сразу привлекла к себе внимание специалистов и стала предметом серьезной дискуссии, продолжавшейся в течение нескольких десятилетий, в которой участвовали известные специалисты (Ф.Р.Гантмахер, А.Ю.Ишлинский, В.С.Кулебакин, А.И.Кухтенко, Н.Н.Лузин, М.В.Мееров, Е.Л.Николаи, Б.Н.Петров, С.А.Христианович и др.)

В работах В.А. Якубовича и A.B. Проскурникова (см. [33, 35, 36, 37], В.А. Якубовича и А. Линдквиста [18, 70] было получено описание всех стабилизирующих регуляторов, решающих задачи инвариантности, отслеживания,

1по терминологии Г.В.Щппанова [46] — "идеального универсального" отслеживания полигармонических сигналов с известным спектром, задачи соответствия выхода системы выходу эталонной модели. В этих работах параметры объекта считаются известными (в качестве неопределенности выступает внешнее воздействие или задающий сигнал). Исследование таких задач в случае неизвестных параметров объекта и является целью данной диссертации.

Опишем содержание диссертационной работы. Первая глава является вводной, посвящена историческому обзору известных результатов и описанию рассматриваемых в дальнейшем задач. Раздел 1.1 посвящен истории задач инвариантности, раздел 1.2 - задачам отслеживания и соответствия эталонной модели.

Во второй главе рассматриваются задачи инвариантности и стабилизации для неопределенных объектов. Раздел 2.1 посвящен рассмотрению частного случая задачи инвариантности - задаче стабилизации. В этом случае внешнее воздействие равно нулю. В раздел 2.2 исследуется задача об инвариантности для многомерных неопределенных дискретных систем управления. В разделе 2.3 рассматривается задача об инвариантности для скалярного непрерывного неопределенного объекта управления. В разделе 2.4 иллюстрируется применение теоретических результатов раздела 2.2 к задаче управления автономным транспортным средством.

Глава 3 посвящена изучению задач отслеживания и соответствия эталонной модели. В разделе 3.1 исследуется задача отслеживания для многомерных дискретных неопределенных систем управления. В разделе 3.2 в отличие от раздела 3.1 сигнал считается полигармоническим с неизвестными амплитудами и известным спектром. В разделе 3.3 изучается задача соответствия эталонной модели для многомерных дискретных неопределенных систем управления. В последней задаче выход объекта должен "следить" выходом заданной модели.

Заключение

Как правило, в задачах управления неопределенными системами невозможно явно найти процесс системы, который удовлетворял бы целевым условиям, невозможно, поскольку такой процесс определяется неизвестными параметрами системы. Однако известны ситуации, когда задача управления в условиях неопределенности имеет решение в виде универсального регулятора. Так называются операторы обратной связи, которые не зависят от неизвестных параметров, и вместе с тем для любых значений этих параметров обеспечивают выполнение цели управления. По сути дела такой регулятор одновременно решает целое семейство задач управления.

Диссертационная работа посвящена изучению вопроса о существовании универсальных регуляторов в классических задачах инвариантности и отслеживания для неопределенных объектов. Полученные регуляторы синтезируются путем соединения универсальных регуляторов, решающих указанные задачи при известных коэффициентах (в таких задачах неизвестным параметром является функция, поступающая на вход системы, в случае задачи инвариантности имеющая смысл "нежелательного" внешнего воздействия, а в случае задачи отслеживания - задающего сигнала), с процедурой подстройки неизвестных параметров.

Перечислим основные результаты работы:

1) Для многомерных дискретных неопределенных систем синтезировано широкое семейство адаптивных неупреждающих регуляторов, обеспечивающих инвариантность (в указанном смысле) выхода системы управления от неизвестного заранее измеряемого внешнего воздействия.

2) Для многомерных дискретных неопределенных систем синтезирова но широкое семейство адаптивных регуляторов, обеспечивающих близость с произвольной наперед заданной точностью выхода системы управления к неизвестному заранее измеряемому задающему сигналу.

3) Для многомерных дискретных неопределенных систем синтезировано широкое семейство адаптивных регуляторов, обеспечивающих близость с произвольной наперед заданной точностью выхода системы управления к выходу эталонной модели.

4) Получены достаточные условия существования строго реализуемых (неупреждающих) регуляторов, решающих указанные задачи.

5) Проведены численные эксперименты для задачи автоматического управления автономным транспортным средством, иллюстрирующие применение теоретических результатов.

При решении упомянутых задач использованы, в частности, методы построения универсальных регуляторов, рассмотренные в работах В.А. Якубовича и А. В. Проскурникова, методы адаптивного управления, такие как метод "функциональной идентификации" , метод рекуррентных целевых неравенств, рассмотренные в работах В.А. Якубовича, В.Н. Фомина, В.А. Бон-дарко, В.И. Пономаренко и др., теорема о диссипативности дискретных систем, которая является следствием частотной теоремы (леммы Якубовича-Калмана).

Результаты, полученные в данной работе, отражены в публикациях [2529].

1. Бондарко В.А., Субоптимальное и адаптивное управление непрерывными линейными объектами с запаздыванием// Техническая кибернетика, №1, 1991, с 62-68

2. Вознесенский H.H. К вопросу о выборе схемы регулирования теплофикационных турбин//За советское энергооборудование, 1934, вып.6, с.58-65

3. Вознесенский И.Н. О причинах и схемах автоматического регулирования/ /Прикладная математика и механика, 1942, т.6, с.101-110

4. Зайцев Г.Ф., Стеклов В.К. Комбинированные следящие системы, Киев, Техника, 1976

5. Ивахненко А.Г. Техническая кибернетика, Киев, Гостехиздат, 1959

6. Красовский А.А.(ред.) Справочник по теории автоматического управления, М., Наука, 1987

7. Кулебакин B.C. О применимости принципа абсолютной инвариантности в физически реальных системах//ДАН СССР, 1948, т.60, N2, с.231-234

8. Кулебакин B.C. Об основных задачах и методах повышения качества автоматических регулируемых систем)/ В сб.:Тр. 2-го Всесоюз. совещ. по теории автоматического регулирования, т.2, Изд-во АН СССР, 1955

9. Кулебакин B.C. Высококачественные инвариантные системы регулирования/ / В сб.:Тр. Всесоюз. совещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959

10. Кулебакин B.C. Теория инвариантности автоматически регулируемых и управляемых систем!/ В сб.: Тр. I Международного конгресса ИФАК, М, Изд-во АН СССР, 1961

11. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике, Киев: Техника, 1963, 270с.

12. Кухтенко А.И. Основные этапы формирования терии инвариантности//Автоматика, 1984, N2, с.3-13; 1985, N2, с.3-14; 1985, N6, с.3-14

13. Лакота Н.А.(ред.) Основы проектирования следяги^х систем, М. Машиностроение, 1978

14. ЛезинаЗ.М., Лезин В.И.(сост.) Г.В.Щипаное и теория инвариантности, М., Физматлит, 2004

15. Линдквист А., Якубович В.А. Универсальные регуляторы для оптимального отслеоюиватшя сигналов в линейных дискретных системах.// Доклады РАН. 1998. Т.361. N2. С. 177-180

16. Лузин H.H. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений/ / Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.3-66

17. Лузин H.H., Кузнецов П.PI. К абсолютной инвариантоности и инвариантности до £ в теории дифференциальных уравнений, ч.1,2 //ДАН СССР, 1946, Т.51, N4, С.247-250 и N5, с.331-334.

18. Мееров М.В., Синтез структур автоматического регулирования высокой точности, М., Физматгиз, 1959

19. Мееров М.В., Системы многосвязного регулирования, М., Наука, 1985

20. Михайлов A.B. О методе проектирования регуляторов, предложенном Г.В.Щипановым //Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.129-143.

21. Михайлов Л.Н. Некоторые замечания относительно теории полной компенсации возмущений//Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с. 145154

22. Небосько Е.Ю., Проскурников A.B., Якубович В.А. Синтез адаптивного регулятора в задаче стабилизации неопределенного дискретного линейного объекта//Доклады академии наук, 2009, том 426, №4, с. 464-467

23. Небосько Е.Ю., Проскурников A.B., Якубович В.А. Синтез адаптивного регулятора в задаче об инвариантности неопределенного дискретного линейного объекта//Доклады академии наук, 2009, том 428, №6, с. 748751

24. Небосько Е.Ю., Проскурников A.B., Якубович В.А. Синтез адаптивного регулятора в задаче управления дискретной неопределенной линейной системой с эталонной .модельто/у/Доклады академии наук, 2010, том 433, №3, с. 1-4

25. Небосько Е.Ю., Якубович В.А. Адаптивные и универсальные регуляторы в задаче управления транспортным роботом//Робототехника. Взгляд в будущее. Труды международного научно-технического семинара. Санкт-Петербург, 2010, с.224-226

26. Небосько Е.Ю., даптивные регуляторы в задачах отслеживания для неопределенных дискретных линейных систем//стойчивость и колебания нелинейных систем управления. Тезисы докладов XI международной конференции. Москва, 2010, с.297-298

27. Николаи Е.Л. О работе Г.В.Щипанова//Прикладная математика и механика, 1942, Т.6, вып. 1, с.11-23.

28. Первозванский A.A., Курс теории автоматического управления, М., Наука, 1986

29. Пономаренко В.И., Якубович В.А. Метод рекуррентных целевых неравенств в задачах адаптивного субоптимального управления динамическими объектами)( В сб.: Адаптивные системы управления. 1977. С.16-28.

30. Проскурников A.B., Якубович В.А. Задача об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.389, N6, с.742-746

31. Проскурников A.B., Якубович В.А. Приближенное решение задачи об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.392 N6 с. 750-754

32. Проскурников A.B., Якубович В.А. Задача об абсолютной инвариантности для систем управления с запаздываниями//Доклады РАН, 2004, т.397, N5, с.610-614

33. Проскурников A.B., Якубович В.А .Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания//Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321-325

34. Проскурников A.B., Якубович В.А. Линейные системы управления с эталонной моделью//Доклады РАН, 2007, т.415, N4, с.461-464

35. Ройтенберг Я.Н.Автоматическое управление, М., Наука, 1978

36. Рябов Б.А. Возникновение, развитие и состояние теории инвариантности/ / В сб. "Теория инвариантности в системах автоматического управления М., Наука, 1964, с.10-18

37. Уланов Г.М.Регулирование по возмущению, М., Госэнергоиздат, 1960

38. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация, Изд-во ЛГУ, 1972

39. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами, М., Наука, 1981

40. Христианович С.А., Гантмахер Ф.Р. Анализ основных положений работы Г.В.Щипанова "Теория и методы построения автоматических регуляторов " //Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.41-49.

41. Цыпкин Я.З., Основы теории автоматиче ских систем, М., Наука, 1977

42. Щипанов Г.В. Гироскопические приборы слепого полета, Оборониз, 1938

43. Щипанов Г.В. Теория и методы построения автоматических регуляторов //Автоматика и телемеханика, 1939, N1, с.4-37.

44. Юревич Е.И. Основы робототехники, 2-е шд.//БХВ-Петербург, 2005

45. Якубович В.А. Рекуррентные конечно сходящиеся алгорифмы решения систем неравенств // ДАН СССР. 1966. Т.166. N6. С.1308-1312

46. Якубович В.А. К теории адаптивных систем.//ДАН СССР, т.182, N 3, 1968, с.518-522

47. Якубович В.А. Оптимизация и инвариантность линейных стационарных систель управления//Автоматика и телемеханика, 1984, N8, с.5-44

48. Якубович В.А. Адаптивная стабилизация непрерывных линейных объектов //Автоматика и телемеханика, 1988. N4. С.97-107

49. Якубович В.А. Функциональная идентификация линейных бесконечномерных систем //Доклады РАН. 1992. Т.327. N4-6. С.455-459

50. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии./ / Доклады РАН, т.332, N2, 1993, с. 170-172.

51. Якубович В.А. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы.// Доклады РАН, т.337., N 3, 1994, с.323-327

52. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в стохастических задачах управления линейными стационарными объектами.// Автоматика и телемеханика, 1997, N6, с. 170-182

53. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в задачах. инвариантности и отслео/сивания// Доклады РАН, 1995, том 343, N 2, с.172-175

54. Якубович В.А. Задача об оптимальном отслеживании детерминированных гармонических сигналов с известным спектром.// Доклады РАН, т.337, N 4, 1994, с.463-466.

55. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в линейно-квадратичной задаче оптимального отслеживания.// Докл. РАН, 1996, т.348, N3, 313317

56. Якубович В.А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия.// Докл. РАН, т.380, N 1, 2001, с. 27-30

57. Ackerman J. et al. Robust Control Systems with Uncerrtain Physical Parameters// Springer-Verlag, London, 1994

58. Ackermann J., Gudner J., Sienel W., Stainhauser R., Utkin V.I. Linear and Nonlinear Controller Design for Robust Automatic Steering// IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 3, № 1, march 1995, pp. 132-142

59. Borhaug E., Pettersen K.Y. Adaptive way-point tracking control for underactuated autonomous vehicles// Proceedings of the 44th IEEE

60. Conference on Decision and Control? and the European Control Conference 2005 Seville, Spain, December 12-15, 2005

61. Cruz J.B., Perkins W.R. Conditions for Signal and Parametrical Invariance in Dynamical Systems// IEEE Transactions on Automatic Control, 1966, pp.614-615

62. E.J.Davison and A.Goldenberg,Robust control of a general servomechanism problem:The servo compensator/¡Automática 11 (1975),461 -471.

63. E.J.Davison and B.M.Scherzinger,Per/ec¿ control of the robust servomechanism problem, IEEE Transactions on Automatic Control AC-32 (1987),689 -702.

64. Francis B.A. Linear Multivariate Regulator Problem //SIAM J. Contr. and Opt., 1977, v.15, N3, pp.486-504

65. B.A.Francis and W.M.Wonhain, The internal model principle of control theory ,Automatica 12 (1977),457-465.

66. Kureemun R., Walker D.J., Manimala B., Voskujl M. Helicopter Flight Control Law Design Using H00 Techniques//Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control? and the European Control Conference 2005 Seville, Spain, December 12-15, 2005

67. Lindquist A., Yakubovich V.A. Universal Regulators for Optimal Tracking in Discrete-Time Systems Affected by Harmonic Disturbances.// IEEE Transactions on Automatic Control, AC-44, No 9, 1999, pp. 1688-1704.

68. Minorsky N. Directional Stability of Automatically Steering Bodies// J.Amer.Soc. Naval Eng., 1922, v.34, N2, pp.280-309

69. Paromchik I.E., Laugier C., Gusev S.V., Sekhavat S. Motion control for Autonomous car Maneuvering// Proceedings of the Internstional Conference on Control, Automation, Robotics and Vision, Singapore, Dec 8-11, 1998

70. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness, Prentice Hall, New Jersey, 1989

71. Yakubovich V.A. Universal Regulators in Linear-Quadratic Optimization Problem. In "Trends in Control: a European Perspective Alberto Isidori (Ed.), 1995, pp.53-67.