Равномерность свойства отслеживания в динамических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БЕГУН Евгения Николаевна

УДК. 517.919

РАВНОМЕРНОСТЬ СВОЙСТВА ОТСЛЕЖИВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.01.02 Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Пилюгин С.Ю.

Санкт-Петербург 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................3

ГЛАВА 1. ОТСЛЕЖИВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Постановка задачи.......................................14

§2. Вспомогательные утверждения...........................19

§3. Отслеживание численных решений на гиперболическом множестве ............................................................22

§4. Частный случай.........................................39

ГЛАВА 2. ВОЗМУЩЕНИЕ КУСОЧНО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР

§1. Аналог теоремы Перрона для последовательности отображений .............................................................45

§2. Возмущения в окрестности гиперболического куска траектории .............................................................55

§3. Основная теорема........................................64

ГЛАВА 3. РАВНОМЕРНО ЛИПШИЦЕВО ОТСЛЕЖИВАНИЕ ПСЕВДОТРАЕКТОРИЙ........................................69

ЛИТЕРАТУРА..............................................79

ВВЕДЕНИЕ

Задача отслеживания псевдотраекторий (приближенных траекторий) в динамических системах является в настоящее время одной из активно изучаемых задач в теории возмущений динамических систем ([8], [15], [23]). Эта задача представляет интерес для развития общей теории динамических систем, а также с точки зрения теории численных методов.

Наиболее важными являются два аспекта задачи об отслеживании: получение новых условий, при которых отслеживание возможно, а также развитие методов, позволяющих оценивать расстояние между псевдотраекториями и отслеживающими их точными траекториями. Основные известные достаточные условия отслеживания были связаны с наличием у изучаемых систем гиперболической структуры ([1], [9-10], [17], [19-21], [30]).

Различными авторами было показано, что наличие гиперболической структуры обеспечивает Липшицев характер отслеживания, при котором расстояние между отслеживаемыми и точными траекториями линейно оценивается величиной ошибки (см. [23]).

Липшицев характер отслеживания особенно важен с точки зрения теории численных методов, так как в этом случае удается показать, что полученная с помощью численного метода приближенная траектория отличается от точной на бесконечном промежутке времени на величину, определяемую погрешностью метода на интервале длины 1.

В диссертации рассматриваются следующие задачи. Во-первых, изучается характер отслеживания приближенных траекторий, порождаемых одношаговыми численными методами, на гиперболиче-

есть (d,Г)-псевдотраектория системы (0.1), если для любого т Е R

|Н(£,Ф(г)) - Ф(*+ r)| < d, |£| < Т. (0.2)

Пусть Л — гиперболическое множество системы (0.1). Мы рассматриваем случай, когда Х(х) ф 0, х Е А.

Будем искать численное решение уравнения (0.1) с задачей Коши x(to) = xq (не умаляя общности, можно взять £0 = 0).

Через хк = = 0,1,..., обозначим приближенное реше-

ние, где h — шаг метода.

Рассмотрим одношаговый метод точности п, то есть метод, обладающий следующим свойством: для ограниченной области D С Rs существует константа С = C(D) > 0 такая, что если хк Е D, то

Г- \хк+1 - E(h, хк)\< Chn+1 ^ (0.3)

В этом случае (при условии отсутствия ошибок начальных данных и округлений) погрешность метода

ек = E(kh,x0) - хк

связана с г следующим соотношением:

где С — константа, зависящая только от области D и оценок на правую часть системы (0.1) [3], [7]. Тогда, если xq, ...,хк Е D, то

\хк - Z(kh,x 0)| < фЛ 0 <к<\. (0.4)

/ Ь

Мы будем предполагать, что правая часть системы (0.1) обладает достаточной гладкостью, для того чтобы оценки (0.3), (0.4) выполнялись.

В §3 исследуется отслеживание численных решений на гиперболическом множестве Л.

Известно [1], что для точек множества Л выполнено следующее. Свойство Н.

Существуют константы Ко > 0 и а € (0,1) такие, что для точек р\,р2 € А найдутся линейные изоморфизмы П = Щрх,^)? в = 0(р1?р2) : Г^ —> К-8 со следующими свойствами:

П5Ы-5Ы, &и(Р1) = и(Р2),

при этом

||П-/||,||0-/||<КоЛ

где р = \р\ — р%\ (здесь — устойчивое и неустойчивое

подпространства гиперболической структуры в точке же А).

Будем считать, что в неравенствах, определяющих гиперболич-скую структуру, С = 1.

Будем искать численное решение уравнения (0.1) с задачей Коши ж(0) = х0. Пусть, как и ранее, Хк = о), к = 0,1,.. — приближенное решение, где И — шаг метода, £(£, х) — поток системы (0.1).

Для удобства обозначений будем считать, что приближенное решение Хк = Ч?н(хк- 1) порождается методом точности (п — 1), то есть выполняется аналог неравенства (0.3) с кп вместо /¿п+1.

Разработан основанный на свойстве Н метод нахождения констант Ь*,1г*, обладающих следующим свойством. Предположим, что выполнены неравенства

п > 3

и

па > 1.

(2г) если V Е , т > 0, то

< САш|г>|;

(2д) /Й,ВД>о;

(3) (/¿(О) = 0 и для любого I > 0 существует е > 0 такое, что если |жх|, \х2\ < б, то

\9к(х1) ~ 9к(х2)\< 1\хх - х2\. (0.5)

Для фиксированного к мы можем, ссылаясь на разложение (2а) и условие (2д), ввести в Ек координаты х = (у, г), у Е 2; Е ^.

Доказывается следующий результат, аналогичный теореме Перрона.

Теорема 2.1.

Пусть отображения f]t удовлетворяют условиям (1), (2), (3), сформулированным выше. Тогда существует 7 > 0 такое, что выполняется следующее утверждение.

Для любых 8 > 0,> 0 существует /о = ^(N,0, А,Р,5) такое, что если выполнено неравенство (0.5) для дк с I < /о? т0 существуют диски в Ек,к Е Z, со следующими свойствами:

(1)

<2£ = {(г/,г):г = х*(у),|2/|<7}>

(2) если жо €

|Л+га_1.'../^о)| < + + > 0;

(3) если хо Е то

|Л+т-1-Л(жо)| > > 0,

(1) куски траектории

гиперболичны с константами С, Л*, ту*, где С £ (О, С*);

(2) если Е?о = Ефк(^ — устойчивое(неустойчивое) линейное подпространство

пространства Тфк{^М, соответствующее куску траектории О^Дж,^»), а Е?^ — Е—устойчивое (неустойчивое) линейное подпространство пространства соответству-

ющее куску траектории 011^1(х,ф),а = и, в, то

сИтЕ- о < (1гтЕ^ г;

(3) £^0 и Е*1 — трансверсалъны и

Будем говорить, что кусочно гиперболическая структура Н(С*, \*, г)*, (3*) для диффеоморфизма ф определяется

(а) разбиением каждой траектории 0(х,ф) на куски С^Дж, </>);

(б) указанием для каждого куска траектории О^ (х, ф) подпространств Е?,сг — в, и.

Основным результатом этой главы является

Теорема 2.4.

Пусть ф — структурно устойчивый диффеоморфизм с кусочно гиперболической структурой Н(С*,\*,г]*,Р*) .

Тогда по любому 5* > 0 существует такое А* > 0, что для любого ф с р\(ф,ф) < А* существует кусочно гиперболическая структура Н{С{ 1 + ¿*)2 + 6*,\* + 8\т)* - 26*,/3* - 26*) со следующими свойствами:

любому е > 0 можно указать такие 5 > 0 и окрестность и диффеоморфизма (в С^-метрике), что для любого (р £ II и для любой ¿-траектории £ диффеоморфизма (р найдется точка х Е М со свойством:

(1(<р1[х),хк) < е, к Е Ъ.

Основной результат этой главы показывает, что для структурно устойчивого диффеоморфизма липшицево отслеживание носит равномерный характер.

Теорема 3.1.

Пусть — структурно устойчивый диффеоморфизм класса С1 . Существуют числа Ь, А > 0 и окрестность II диффеоморфизма (в С1 -топологии) такие, что для любого (р Е и и любой 5-траектории £ диффеоморфизма (р с 5 < А найдется точка х Е М со свойством:

(1((рк(х),хк) < Ь8,к е ъ.

Основные результаты диссертации опубликованы в [31-33].

где < Х(х) > — одномерное пространство, натянутое на вектор Х(х);

(2.3)

\ОЕ{Ь,х)у\ < С0Ло|г;| для г» 6 5(ж),^ > 0;

|1)5(£,ж)г;| < С0Л^|г;| для V £ и(х),г < 0. Мы рассматриваем случай, когда Х{х) / 6 Л.

Будем искать численное решение уравнения (1.1) с задачей Коши х(Ц) = хо (не умаляя общности, можно взять ¿о — 0).

Через хк = о),к = 0,1,..., обозначим приближенное реше-

ние, где к — шаг метода.

Рассмотрим одношаговый метод точности п, то есть метод, обладающий следующим свойством: для ограниченной области 1)СК8 существует константа С = С (И) > 0 такая, что если хк £ I), то

\хк+1-Е(Н,хк)\ <Скп+1=г. (1.3)

В этом случае (при условии отсутствия ошибок начальных данных и округлений) погрешность метода

ек = Е(кк,хо) - хк, к > 0,

связана с г следующим соотношением

где С — константа, зависящая только от области И и оценок на правую часть системы (1.1) (см. [3],[7]). Тогда, если £ -О, то

\хк - Е(кк,х0)| < фЛО < к < (1.4)

Возьмем любое г Е [0, +оо) и оценим для 0 < £ < 1 величину

|5(*,Ф(г))-Ф(* + г)|.

Если г, (£ + т) Е [к, к + 1) для некоторого к, то последнее выражение равно 0. Если же г Е [&,& + 1), а (¿ + г) Е [& +1, к + 2), то обозначим = £ + г' — 1, где т' = т — к. Тогда

Е(*, Ф(г)) = + г', ук) = ~ + 1,2/*)= Е^, 5(1, у*)) = Е(£',

Ф(* + г) уА+1).

Пусть С — константа Липшица для векторного поля Х(х),х Е А. Используя (1.5) и то, что < — I + т — {к + 1) < 1, так как £ + г Е + 1, к + 2)), получаем для 0 < £ < 1

|Е(*,Ф(г)) - Ф(* + г)| = <

<ехр(£01Й+1-У*+1|<С?1Лп,

где С\ — С ехр(£).

Аналогичная оценка верна для — 1 < £ < 0. Из этого следует, что отображение Ф есть (С\кп} 1)—псевдотраектория системы (1.1). Тогда из теоремы 1.1 следует, что существуют константы о > 0 такие, что для к < Но существуют точка р Е А и времена тк Е К такие, что

IЩтк,р)-ук\<ЬС1}гп.

Времена тк устроены следующим образом 7~о = 0, тк = ¿1 + ¿2 + ... + где Ьк : рк+1 = Е(Ьк,Рк), \Ь ~ 1| < где Ь' > ЬС\. Заметим, что любого к выполняется неравенство

< < Ь'кп.

1 =

N N N

В силу того, что числа являются очень существенными

характеристиками гиперболического множества Л, а их получение с применением теоремы 1.1 использует весьма грубые оценки, представляет значительный интерес нахождение других возможностей оценки этих величин. Одна из таких возможностей, связанная с гёльдеровостью гиперболической структуры, реализована в главе 1.

§ 2. Вспомогательные утверждения

Пусть Нк — последовательность банаховых пространств £ 2 или к > 0). Обозначим через | • | нормы в Нк и через || • || соответствующие операторные нормы линейных операторов. Рассмотрим последовательность отображений

фк : Нк Нк+и

имеющих вид

фк(ь) = Акь + гпк+1(у), (1.6)

где Ак — линейные операторы. В [25] доказана следующая теорема.

Теорема 1.3

Предположим, что

(а) существуют числа А £ (0,1),]У > 0 и проекторы Рк,(^к : Нк —> Нк (мы обозначили ниже = РкНк,11к = СдкНк) такие, что

\\Pk\l\\Qk\\<N,Pk + Qk = I (I — тождественное отображение),

< \AkSk с вк+и (1.7)

(б) существуют линейные отображения Вк : ик+\ —> Нк такие,

что

Вкик+1 с ик,\\Вк\\ < \,АкВк\ик+1 = /; (1.8)

где P(p),Q(p) — проекторы в Z(p) на S(p) параллельно U(p), и на U(p) параллельно S(p), соответственно.

Для b > 0 обозначим через

Zb(p) = Z{p) П Eb(p),

где Еь(р) — шар радиуса b с центром в точке р.

Возьмем точку р Е Л. Z(p) трансверсально к Х(р); угол между ними и норма \Х(р)\ отделены от нуля. Поэтому верны следующие два утверждения.

Лемма 1.2.

Существуют константы d\,K\ > 0 такие, что если \z~ q\ < d\,z,q £ А, то существует скалярная функция f(x) класса С1 в d\-окрестности q такая, что

E{f(x),x) Е Z(z) и |/(ж)| < Kidist(x,Z(z)) (1.13)

и

\z-E{f(x),x)\ < Kidist(x,Z(z))

Лемма 1.3.

Существуют положительные константы d%,b < d\ со следующими свойствами

Если |Е(Т,р) — z| < (¿2, то существует функция т(х) класса С1 в -Е'б(р) такая, что

ф(х) = Е(т(х),х) Е Ze(z), \т(х) -Т\<1.

Если |E(—T,z) —р| < т0 существует функция Т\{х) класса С1 на Eb(z) такая, что

фг(х) = ~(п{х),х) eZc{p),\n{x)+T\ < 1.

выполнение свойства Н дает возможность оценить константы >

О, описанные в теореме 1.2 и обладающие свойствами: если для численного решения х& = о) задачи Коши ж(0) = хо, найденного с шагом Ь, < /г*, выполнены включения

ФалЫ Е Л, & Е

то существует точка р Е и числа ^ 6 И такие, что

|Ф*Л(я0) - I < ь*нп~~1, Н<к\ке г+.

Обозначим

Пусть Е А, к = 0,1,....

Из определения гиперболической структуры следует, что

< АоМ для V Е 5(ж).

(Здесь и далее ограничимся пока рассмотрением так как для

и(х) верны аналогичные рассуждения и оценки). Так как

то существуют такие константы /г-о? Л^о > О? что Для Ь < выполнено неравенство

А§ С 1 — М-

Обозначим, как и в §2, %(р) = и(р) © £(р), р Е А.

По лемме 1.1 подпространства 11(р),3(р), р Е А имеют следующее свойство:

существует ]У > О такое, что

\\Р(р)\Ш(р)\\<^ ре А,

то существует С\ > 0 такое, что

\у-р\ = |Z(-h,z) - Z(-h,q)| < Ci\z - q\

при h < /го-

Из этого следует, что неравенство

\\е - Ц\ < Ко\у - р\а

влечет выполнение неравенства

||0 - Ц\ < К0\у - р\а < К0(Сг\г - q\)a < K0(CiChn)a-

(не умаляя общности, будем считать, что С\ > 1.) Рассмотрим число

Л = (1 + ^о(С1СЛп)°)(1-М) =

= 1 + ЩСгСИу - floh - n0K0{CiChn)ah.

Найдем h\, 0 < hi < /го, такое, чтобы для h < hi выполнялось неравенство

^/г > K0(Chn)a, ¿j

тогда

Л < 1 - (1.15)

(напомним, что па > 1).

Выберем числа ßi,ß2 > 0 такие, что

1 < ßi < А> < па, ß2 < 2, (1.16)

Введем величины

/с = hßl и А = hß2

тогда

hna « А « к « h

при малых h.

Найдем /гз,0 < ¡1% < /¿2, такое, чтобы при к < /¿з выполнялись неравенства

СхСкп<йъ А = к^<А0.

Возьмем точку ж Е -^д(р)- Существует С2 > 0 такое, что = Е(к,х) принадлежит С2Д—окрестности точки д. Тогда

к - £ М1 < к - д| + к - < + с2д = (скп-ь + с2)//2

и по лемме 1.2

|г(ж) - /г| < К1(ИзЩх),г{г)) < ЩСЫ1^ + .

Аналогично для т\{х) получаем

\т\{х) -к\< К^Ск^+С^К

Найдем /¿4,0 < /14 < /¿3, такое, чтобы для к < к^ выполнялось неравенство

К^СгСк11-^ + с2)//2 < = ас.

Обозначим

= Е(т(х),х),ф: гА(р)

(ж) = 5(г1(ж),ж),</>1 : (ф\ и Г1 имеют свойства аналогичные ф, т).

Лемма 1.4.

Существуют числа К2 > 0, /¿5,0 < /¿5 < /¿4 такие, что для к < и V е выполнено неравенство

|(Я5(/цр) - £></>(р)И < #2Лпа!М (1.19)

Далее рассмотрим точку д' Е Так как V Е $(р), то

г>з = Б'Е(то,р)у Е по инвариантности гипеболической струк-

туры.

По свойству Н существует линейный изоморфизм П(д', г) : И8 —> Ш такой, что

и

па

[|П(У, г) - III < Ко№ - г\а < К^К&Ь»)* = К^Сук

Следовательно, существует Сз > 0 такое, что угол между и Z(z) меньше, чем С^кпа. Поэтому существует число вх > 0 такое, что

^¿(71(5),^(Х)) < 2С3Д"а,5 Е [0,51].

Тогда по лемме 1.2

\т*(з)\ < 2К1С3}гпаз, 5Е[0,5х],

а поэтому

йт*

|—(0)1 < 2К\С^Ьпа.

Следовательно,

йт*

< ЪККгСгЬ™

и (1.21) не превышает Со^СН" + 2КК1С2Ьпа. Поэтому существует число > 0 такое, что

|(£>Е(Д,р) - Пф(р))уI < к2кпа\и\.

Лемма доказана.

Итак, пусть, как и выше

Хк = о), Хк Е А, 0 < Н < къ.

Предположим, что z — начало координат в Z(z). Кроме того, не ограничивая общности, можно предположить, что Z(z) совпадает с гиперплоскостью у\ — 0 (где yi — координаты в Rs). Тогда любую точку х £ Z(z) можно представить в виде х = Ly,y £ Rs_1, а L — матрица, элементы которой имеют вид

hj = S(i,j + 1), 1 <i <s, 1 < j < s - 1,

где S(i,j) — символ Кронекера, S(i,j) = 1, если г = j и S(i,j) = О для i ф j.

Пусть, как и ранее, q' = ф(р) £ Z(z) и q' = S(ro,p). Рассмотрим точку х £ Z&(p),t £ R,у £ Rs_1 и определим функцию

F(x,t,y) = E{t,x) - Ly.

Понятно, что точка х' = Ly £ Z{z) есть образ точки х £ Z&(p) при отображении ф тогда и только тогда, когда существует число близкое к го и такое, что

F(x,t,y)=0.

Пусть q' = Ly'. Тогда F(p,r0,y') = 0. Рассмотрим матрицу

Вектор Х(р') имеет ненулевой угол с Z(z), поэтому det А ф 0. По теореме о неявной функции, в окрестности точки р существуют функции т(х)7а(х) класса С1 такие, что т(р) = тд,а(р) = у' и

F(x, т(х), а(х)) = 0

в этой окрестности. Понятно, что т(х) — функция из леммы 1.3 и ф(х) = La(x). Обозначим

А(х) = [Х(ф(х)),-Ц.

В'х = -ВА'ХА~\ Последнее равенство можно переписать как

ЭВ х ,.дАл_и.

~дх = _ М-

Так как ^

дх ^ дх ' ^

равномерно ограничена, мы видим что Пф — липшицева с равномерной константой Липшица, то есть существует > 0 такое, что (1.23) выполнено. Тогда

|х(р,и) - х(рУ) | = | /0Х Вф{1т{8) - Пф{р)й8(ь - г/)| < < А"з|тг(5) ~р\ ■ \ь - V'I < к3А|г; - у,у' £ гА(р).

Найдем /г-6,0 такое, чтобы для 1г < /гд выполнялись нера-

венства

К3А = К^ б 6 - 2 2

(КК2 + К2К0Са + 2КАЩС1Са){1 + ЩСгС^У)-^

+К\КгСНп + К2)( 1 + Я0(С1СЛп)в)Лпв < (1-25)

£

Тогда

\хМ - х{р^')\< - (1.26)

Далее предполагается, что Ь, < /¿6. Определим отображение

= +V) - 2;

и запишем его в виде

= + Х1(&),

где

XIМ = х(р,г>) + (ф(р) - г). зз

и

|в<| < (1 + К0(С!Скп)а)0- - М)И =

Обозначим Вк =

Так как вектор = Вкуи, получаем, что

Вки(г)си(р)и\\Вк\и(г)\\<\.

Возьмем вектор ш ~ Е Ои'(г). Получаем, что С^т = т, 0"1«; =

^Ы©-^ = и^уК = Vй.

Следовательно,

АкВк\и(г) = I-

Из определения Ак, Ак, Ак, Вк следует, что Ак, Вк удовлетворяют условиям (1.7), (1.8) теоремы 1.3. Для 1г < оценим

\\Щ(р) ~ Ак\\ < ||Вф(р)(Р(р) + <Э(р)) - Л*|| < < IIПф(р)Р(р) - П(д,г)П£(р)Р(р)Ц+ +Ц£>Ф(р)<Э(Р) ~ Щ(у)^1(У,Р)Я(Р)\\- (1-28)

Первое слагаемое (1.28) оценивается следующим образом:

\\Пф(р)Р(р)-Щд,г)Пар)Р(р)\\<

< \\Оф{р)Р(р) - 1>£(р)Р(р)|| + Н(П - 1№{р)Р{р)II (1.29)

Так как Р(р)у Е 5(р) для V Е Z{p) и \Р(р)у\ < К\у\, то, используя лемму 1.4 получаем, что (1.29) не превосходит

К(\\Пф(р) - БЦр)II + ||(П - II) < ККф™ + К2К0(СНПГ.

Второе слагаемое (1.28) оценивается следующим образом:

тт(р) - щш-'шят <

35

Из всего вышесказанного и из (1.25) следует, что I\Щ{Р) ~ Ак\\ < {КК2 + К2К0Са + 2КАК0(С1С)а(1 + ЩС&Н»)")* +К\КъС1ьп + К2){ 1 + #0(С1СЛТ))Лпа < | •

Из последнего неравенства и из (1.27) следует, что выполнено и условие (1.9) теоремы 1.3. Следовательно, для отображений

фк{у) = Акь + и)к+1(ь)

выполнены все условия теоремы 1.3.

В доказательстве теоремы 1.3 [25] вводятся числа

V К

Ь~\-кЫ1> Ь> и показывается, что если для отображений выполнены неравенства

|Фк{у) <<!<

то найдутся векторы у^ Е С такие, что

Фк(ч) = и < Ь'й.

Фиксируем К < /¿б, и введем для него числа

Так как — г — (( — то выполнены неравенства

1^(0)1 <С(1 + С2)ЛП

(см. доказательство леммы 1.4)

Найдем такое /¿7,0 < /17 < что при к < /17 выполнены неравенства

где Ь = К\Ь*.

§4 Частный случай (а = 1)

Рассмотрим случай, когда в свойстве Н а = 1. Пусть ж), Ф/гд, Р, Ао, /¿о, С, — те же самые, что и в §3.

Так как на Л выполнено свойство Н, то для точек р, г, q £ Л, где q = из неравенства |,г — < СЪп вытекает следующее

соотношенее

ПЗД = ад, ЦП - /|| < Ко\г - д\ < К0(Скп),

кроме того

ви(у) = и(р), \\в - 1\\ < К0\у - р\,

где у =

В §3 было показано, что существует число С\ > О такое, что

при /г < /гд.

Из этого следует, что неравенство

влечет выполнение неравенства

||Э - /|| < К0\у -р\< К0(С& - д|) < КоСхСЪп). Рассмотрим число

А = (1 + ^о(С,1СЛп))(1-/юЛ) = = 1 + Къ{СхС\?) - М - цоЩС1Скп)11.

39

ЮССЙЙСКАЙ гъсударстзенн-н

\п(х) -Ц< К^СгСК1-^ + С2)кр\

Найдем /г-4,0 < Д4 < /г�