Управление линейными системами в условиях неопределенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Р Г Б ОД л :

государственный комитет российской федерации

2 3 OKI ¡S05 по высшему образованию

, иркутский государственный университет ,

На правах рукописи

ДОЛГИЙ Дмитрий Викторович

управление линейными системами в условиях неопределенности

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени . кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1995

Работа выполнена в лаборатории проблем оптимального управления Института прикладной математики Дальневосточного Отделения Российской Академии Наук.

Научный руководитель - чл.-корр. АЕН, профессор Л.Т. Ащепков

Официальные оппоненты - д.т.н., профессор Тятппкин А.И.,

к.ф.-м.н., доцент Тарасевко Н.В.

Ведущая организация - Сибирский энергетический институт СО РАН,

г.Иркутск

10ср

Защита диссертации состоится " ^@ " 1995 г. в

часов на заседании Совета Д 063.32.04 по защите диссертаций

на соискание. ученой степени доктора наук в Иркутском государственном университете по адресу: 664000, Иркутск, бульвар Гагарина, 20, 1-й корпус ИГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета (бул. Гагарина, 24).

Автореферат разослан $ " 1995 г.

Ученый секретарь Совета, к.ф.-м.н., доцент

Н.Б.Бельтшов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В диссертационной работе рассматриваются

вопросы управления системами в условиях действия на них возмущений, а также, при наличии различного рода неопределенностей, затрудняющих принятие того или • иного управленческого -решения. Иными словами, вопросы повышения живучести управляемых систем, подверженных возмущениям. Необходимость изучения этих вопросов диктуется потребностями практики - они возникают во многих областях человеческой деятельности, связанных с принятием рационально обоснованных решений в условиях неполноты информации, например, при планировании развития отрасли народного хозяйства или экономического региона на перспективу, когда не известны будущие цены, запасы ресурсов и новые технологии. Подобные вопросы возникают и при проектировании сложных инженерных объектов, подверженных естественным или целенаправленным воздействиям (возмущениям), которые должны с высокой степенью надежности выполнять свое функциональное назначение. Следовательно, вопросы повышения ее живучести приобретают первостепенное значение.

Термин "живучесть" введен в научный обиход известным русским ученым и флотоводцем вице-адмиралом С.О. Макаровым в 1870-е годы применительно к кораблестроению. В узком значении слова он означал "выносливость" корабля к повреждениям . В более широком современном толковании живучесть означает способность системы противостоять действию возмущений.

Проблема живучести приобретает важное значение в современную эпоху разработки и создания крупных технических

проектов и систем, способных активно воздействовать на природу и человека. Это обстоятельство определяет, с одной стороны, место и значение проблемы живучести среда других проблем научно-технического характера и, с другой, необходимость ее теоретического анализа и изучения.

Существенный вклад в исследование проблемы живучести и постановки ее как формальной математической задачи внесли работы А.Н.Крылова, А.Б.Куржанского, И.А.Ушакова, В.Ф.Крапивина, Л.Т.Ащепкова и ряда других математиков.

Хотя проблема живучести сформулирована более ста лет назад и за прошедшее время усилиями многих исследователей продвинута далеко вперед, говорить о создании полной и законченной ее теории пока рано. Вопросы аксиоматики, терминологии, методологии и связи проблемы с другими научными дисциплинами находятся в стадии становления.

Предлагаемая диссертационная работа, отталкиваясь от уже полученных результатов , развивает и исследует различные грани данной проблемы, связанные, прежде всего, с конкретизацией моделей. Это, в свою очередь, может представлять интерес для практики, поскольку позволяет решать многие инженерно-технические и экономические задачи.

Цель работы состоит в изучении проблемы живучести для

некоторых классов линейных моделей управления, а также, построении конструктивных методов ее решения. Кроме этого, преследовалась цель решить ряд самостоятельных задач - описание множества достижимости линейной дискретной системы управления, определение решений интервальной системы линейных алгебраических

уравнений и др.

Метод исследования основан на прикладном (или

аппроксимационном) методическом подходе. Даный подход позволяет поставить проблему живучести как формальную экстремальную задачу. В силу линейности исследуемых моделей экстремальная . задача сводится к задаче линейного программирования.

Научная новизна результатов, полученных автором, состоит в

следующем:

- сформулированы и разработаны методы решения проблемы живучести для линейной дискретной системы управления. В зависимости от исходных данных и требований к системе предложены три различных постановки данной проблемы;

- предложен метод описания множества достижимости линейной дискретной системы управления конечной неизбыточной системой линейных неравенств;

предложен конструктивный метод определения решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений;

- разработан и реализован алгоритм описания линейными неравенствами множества достижимости линейной дискретной системы управления и осуществлена его программная реализация.

Практическая значимость. Материалы диссертации и

предлагаемые в ней методы использовались:

- при выполнении проекта N 1058 Министерства науки РФ "Разработка математических моделей и программного обеспечения в задачах томографии и управления" , гранта РФФИ N 93-01-01785 "Экстремали управляемых разрывных систем", проекта УР 30/-122-95 "Университеты России" по теме 1.2.21 "Методы решения задач

оптимизации и управления с негладкими и неопределенными условиями", хоздоговора для Сибирского энергетического института СО РАН "Разработка математических методов оценки живучести систем с учетом возможных дисбалансов и неопределенности в их развитии", а также в учебном процессе - в спецкурсе по живучести управляемых систем на математическом факультете Дальневосточного государственного университета;

- при моделировании и анализе финансовой деятельности страховой компании "Дельфин".

Предложенные методы доведены до программной реализации и апробированы в вычислительных экспериментах на серии задач тестового и прикладного характера.

Апробация работы. Основные результаты, включенные в

диссертационную работу, представлялись в виде докладов на семинаре "Методы математического программирования и программное обеспечение" (Свердловск, 1989г.), на 3-ей Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ." (Кемерово, 1990г.), на международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Владивосток, 1991г.), на 9-ой Сибирской школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1992г.), на международной конференции "Systems, Control, Information. Methodologies & Applications. SCI'94" (Вухан, КНР, 1994г.), на международной конференции "Advances in Modelling & Analysis" (Новый Орлеан, США, 1994г.). Материалы диссертации неоднократно обсуждались на объединенном научном семинаре по моделированию, управлению, оптимизации в Институте прикладной математики ДВО РАН.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 9 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 106 машинописных страниц. ' Список литературы содержит 22 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, обсуждаются характерные особенности данной работы и рассматривается методологический подход для постановки проблемы живучести как формальной задачи математического программирования.

В первой главе приводятся и расшифровываются основные термины, используемые в работе, рассматриваются различные модельные представления, связанные с постановкой проблемы живучести, а также методические подходы, позволяющие сформулировать проблему живучести в терминах экстремальной задачи.

При рассмотрении проблемы живучести полезно определить три группы факторов, относящихся к системе: переменные состояния X, управления и и возмущения V. Природа факторов на данном уровне абстракции пока безразлична. Достаточно считать х, и, V элементами некоторых множеств X, V, V. Ими могут быть подмножества конечномерных, функциональных или других более общих пространств.

Целевое назначение систем состоит в том, чтобы некоторые

функции (или операторы) на переменных состояния, управления и возмущения принимали желаемые или заранее заданные значения. Это подсказывает ввести в рассмотрение оператор Р, определенный на множестве Р = X « и » V, множество <2 его желаемых значений и сформулировать целевое назначение системы в виде включения

¥(х,и,и) € <3

для элементов (х,и,ь) € Р•

В параграфе 1.3 приводятся минимаксный, реалистичный и прикладной (или аппроксимационный) подходы, отражающие разные представления об изучаемой системе и разные цели исследования при постановке и решении проблемы повышения живучести управляемых систем.

В п.1.3.1. рассматривается минимаксный подход, позволяющий обеспечить целевое назначение системы для всех возмущений. Если последнее имеет место, будем говорить о гарантированной живучести системы. На формальном уровне гарантированная живучесть означает выполнение одного из трех эквивалентных условий:

1) существуют X € X, и € и, для которых Р(Х,и.V) € Я для всех V V;

2) в области X * V определения многозначного отображения (х,и) -» РГх.и.У;, Р(х,и,Ч) = ( Р(х,и.V) : V € V )

найдется пара (х,и) со свойством Р(х,и,У) с (3;

3) включения

Р(х,и,У) с о, (х,и) € X » и совместны.

Достоинство минимаксного подхода состоит, очевидно, в том, что системе обеспечена гарантированная живучесть. Вместе с тем желание обеспечить системе гарантированную живучесть может быть излишне жестким при дефицитности или ограниченности ресурсов, что, в свою очередь, часто приводит к несовместности условий, описывающих функционирование системы. Этот подход лишен смысла в условиях дефицитности резурсов, выделяемых на обеспечение живучести системы.

В п. 1.3.2. описивается реалистичный подход. Основная движущая идея его состоит в том, чтобы система сохраняла свое целевое назначение (за счет выбора состояний и управлений) для максимального в некотором смысле подмножества из множества возмущений. Вообще говоря, это не исключает случая, когда максимальное подмножество совпадает со всем множеством возмущений и целевое назначение системы тем самым будет выполнено при всех возмущениях, в таком случае реалистичный подход совпадает с минимаксным подходом.

Формально, для каждого фиксированного управления и € У формируется множество У(и) <= V неопасных возмущений, т.е. тех возмущений V € V, для которых существует X € X со свойством Р(х,и,1>.) € С!. Далее вводится вещественная функция J(u) как отношение меры множества неопасных возмущений к мере всего множества возмущений

J(u) = \1(7(и)) /

действующая из II в отрезок [0,1] числовой оси и характеризующая качество нейтрализации возмущений управлением и.

Функцию Ли) естественно считать показателем живучести системы: чем ближе значение к 1, тем выше живучесть системы и тем лучше соответствующее управление.

Наилучшие управления, обеспечивающие системе максимальную живучесть, определяются решением экстремальной задачи

Ли) - шах, и £ и. (1)

П. 1.3.3- посвящен описанию прикладного подхода. Решение задачи (1) предполагает выполнение ряда операций: формирование параметрического семейства множеств неопасных возмущений, вычисление мер этих множеств и максимизацию показателя живучести на множестве управлений. Каждая из операций представляет собой сложную аналитическую или численную процедуру и может быть реализована далеко не всегда. Поэтому, если иметь в виду прикладную сторону реалистичного подхода, разумно ставить задачи повышения живучести систем так, чтобы перечисленные операции были практически выполнимыми. Именно эти соображения лежат в основе прикладного подхода.

Суть подхода состоит в аппроксимации множества неопасных возмущений более простым множеством с легко вычислимой мерой, выбираемым из некоторого заранее заданного параметрического семейства множеств. Естественное требование к семейству состоит в том, чтобы оно содержало в себе исходное множество возмущений и позволяло тем самым хотя бы в принципе решать задачи обеспечения гарантированной живучести систем. В приложениях множества возмущений имеют, как правило, простое строение (кубы, шары, эллипсоиды и т.д.), поэтому параметрическое семейство

целесообразно формировать из таких объектов с основными геометрическими характеристиками в качестве параметров. Следующий этап реализации подхода - выяснить, при каких условиях параметрическое семейство аппроксимирует множество неопасных возмущений. Если такие условия сформулированы, то дело сводится к очевидной экстремальной задаче: нахождению наилучших параметров путем максимизации мер множеств параметрического семейства при соблюдении сформулированных условий.

Перейдем к формальным конструкциям. Определим на множестве W "параметров" w семейство множеств V(w). Будем полагать V(w) => У хотя бы для одного W С Очевидно, если

F(x,u,V(w)) € Q, 7(w) с V,

(2)

(x,u,w) € X « U « IV,

то

V(w) С V(u).

Заметим, далее, что в условиях (2) имеем \i.(V(w)) < \x(V(u)) и функция

\x(V(w)) \i(V(u))

J(w) = -- $-= J(u)

\i(V) \i.(V)

служит нижней оценкой показателя живучести. Это обстоятельство позволяет по крайней мере принципиально вместо задачи максимизации J на U рассматривать более "легкую" задачу максимизации J на IV:

J(w) - max; F(x,u,V(w)) е Q, V(w) с v, (x.u.ui) a X - U - W

Во второй главе диссертации общие методические соображения по формализации проблемы живучести, изложенные в главе 1, применяются к линейной дискретной управляемой модели с различного рода неопределенностями. В силу линейности модели, общие конструкции конкретизируются до вполне определенной задачи линейного программирования. Решение последней и дает наилучшее в смысле принятого критерия живучести управление системой.

П. 2.1. посвящен постановке и решению проблемы живучести линейной управляемой системы, описываемой рекуррентными соотношениями

X(t+1) = А(t)x(t) + B(t)u(t) + C(t)v(t),

(3)

х(О) = x0, t=0,1.....T-1.

Здесь XQ € X0, u(t) t U(t), v(t) € V(t), где XQ <= tf1 - заданный параллелепипед, U(t)cRr - многогранное множество, V(t)=[-1,1]B -стандартный s-мерный куб в пространстве Я®.

Кроме этого, в пространстве состояний задается терминальное множество

ST = (х с Rn : Dx < f}, (4)

где D, f, известные П»п-матрица и тл-вектор с вещественными компонентами. Множество (4) будем трактовать как множество желаемых состояний системы (3) на шаге t=T.

Зафиксируем некоторое управление u(t) € U(t),

t=0,1,...,Т-1. Множеством конечных состояний системы (3) назовем множество всех концевых точек х(Т) траекторий системы (3), полученных в момент t = Т из некоторого начального

состояния xq € XQ при всех возможных v(t) € V(t), то есть

Q(T,xq,u)= (x(T,x0,u,v): v € V}, (5)

Здесь и = (u(0),...,u(t-1)), V = (v(0).....v(T-1)),

V = V(0)*...*V(T-1).

Согласно разделу 1 подмножество V(x0,u) множества возмущений V=[-1,1]Тв, для которого Q(T,xq,u) П STjt 0, назовем множеством неопасных для системы (3) возмущений.

Тогда задача повышения живучести системы (3) заключается в том, чтобы определить такое начальное состояние -xq и управление - u, для которых множество неопасных возмущений для системы (3) было бы максимально в смысле максимальности вписанного в него куба.

Решение данной задачи, следуя прикладному подходу, сводится к решению задачи линейного программирования:

г - таг

Dâxq + DBu + BCv + rUv ^ f - v + re Ç e (6)

v + re ¡$ e xQ î XQ, u <e U .

Здесь и - центр, a г - радиус (длина половины стороны) куба

~ m ~

K(v,r) = (v е п : v-re^v^vt re), вписанного во множество неопасных возмущений.

Проекция решения задачи (6) на подпространство состояний и управлений определяет наилучшую' пару Хп, и, обеспечивающую

максимальную живучесть системе (3).

П. 2.2. посвящен изучению вопроса о соотношении множества конечных состояний и терминального множества в пространстве состояний, ответ на который, в свою очередь, позволяет оценить уровень живучести системы (3) при заданных условиях на множества начальных состояний, управлений и возмущений.

Рассмотрим линейную дискретную систему управления (3). В силу линейности модели считаем, без потери общности, что управление есть константа, равная нулю.

Как и ранее, задается некоторое терминальное многогранное множество (или множество желаемых состояний) и ставится вопрос о повышении живучести системы (3) в смысле "максимальности" пересечения ее множества достижимости или множества конечных состояний в момент времени и терминального множества. За

показатель живучести примем теперь отношение меры максимального вписанного в пересечение множеств к куба к мере

терминального множества.

Первый шаг к решению задачи состоит в построении множества конечных состояний исходной системы. Данная проблема имеет и самостоятельное значение, поскольку в приложениях оптимального управления часто возникает задача точного или приближенного описания множества достижимости линейной управляемой системы, описываемой рекуррентными соотношениями (3).

Выполнив последовательно рекурсию (3) для

1=0,1,2,...,Т-1, множество конечных состояний системы (3) можно представить в виде

у =■ Ах, X € X, (7)

где у - п-вектор, х - лг-вектор, А - известная п«т-матрица, Х=[-1,11т - стандартный куб, т = вТ - натуральное число. Запись (7) позволяет трактовать множество достижимости в терминах линейного преобразования А:!?1 заданного матрицей А. Согласно этой трактовке У-АХ есть результат линейного преобразования куба X.

Предметом нашего внимания будут две задачи:

1) описать множество У аналитически системой линейных неравенств и

2) построить максимальный вписанный в У куб с ребрами, параллельными ортонормированным базисным векторам пространства йп.

Введем в рассмотрение столбцы а',а2.....ат матрицы А и

множества У^ их линейных комбинаций

У=х.а1+х„аг+...х,ак,

1 2 к (8)

.....п < * <

т.

Сравнивая представления (7) и (8) точек множества У^ и У, заключаем

Усу (с...су , У =У.

п п+1 т т

С помощью алгоритма п. 2.2 позволяющего осуществить переход в последовательности многогранников У^.У^ ;,... ,Ут> удалось построить конечную неизбыточную систему линейных неравенств, описывающую множество конечных состояний системы (3)

|b't t/| ^ d{, 1=1,2.....M. (9)

Максимальный вписанный во множество достижимости куб имеет центр в начале координат и длину стороны 2г*, где

* di г = min —- . (10)

Кроме (9) множество конечных состояний можно описать и в терминах опорных полупространств:

Y=ly: с'А\, C€Rn, ctO }.

Ж

Длина г половины стороны максимального куба, вписанного в У, равна

* |с'Л|

г = min- = min \с'А\. (11)

сфо |с| 1 с 1=i

Тогда, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.2.2. Нормаль любой опорной к кубу К(0,г*) плоскости из числа ограничивахщих Y плоскостей есть решение лногоэкстрелалъной задачи

|с'4| - min, |с|=/.

Задача (11) есть многоэкстремальная задача

математического программирования - максимизации выпуклой кусочно-линейной функции на многограннике. Знание решения задачи (10) позволяет указать глобальное решение и второй задачи. Тем самым указывается определензшй класс многоэкстремальных задач

и прием их глобальной оптимизации, не сводящийся к известным схемам отсечения или полному перебору вершин многогранника.

Описанная методика дает возможность приближенно описывать линейными неравенствами множества достижимости линейных управляемых систем дифференциальных уравнений вида

у = A(t)y + Ъа)о,

У(0) = у0, v(t) i V, 0 $ t * Г.

Здесь A(t),B(t) - непрерывные на отрезке [0,Т] матричные функции размеров n«n, 7l«s, у0- заданный n-вектор, V - s-мерный параллелепипед, Т - положительное число, v(t) кусочно-непрерывное управление. Без потери общности можно принять у°=0, V=[-1,1]в. Тогда решение системы дифференциальных уравнений при фиксированном управлении v(t) в момент t=T можно представить по формуле Коши

у(Т) = ; $(t)B(t)v(t)dt, (12)

о

где h(t) 3 A(tmt), Ф(Т) = Е

(Е - единичная матрица). Заменим интеграл соответствующей интегральной суммой на равномерной сетке 0=t0<t(<...<tN=T с шагом h=T/N. Отбрасывая члены порядка выше h, получим

yh(T) = ,)B(t ,)v(t.), (13)

j=o J j J

(v(t0), vit,)..... v(tN))( v".

Соотношения (13) аналогичны по форме (3)- Следовательно, они задают в пространстве йп многогранник УН(Т), симметричный относительно начала координат.

Этот многогранник аппроксимирует множество достижимости У(Т) непрерывной управляемой системы в следующем смысле: для каждой точки у(У(Т) найдется точка У^СУ^Т) такая, что г(й)-0 при 7г-0 и наоборот. Этот вывод непосредственно следует из связи интеграла (12) с его интегральной суммой (13).

Построенное с помощью алгоритма п.2.2 множество достижимости системы (3) имеет непустое пересечение с терминальным множеством Бт в том случае, если разрешима система линейных неравенств

Дстд, </7, (и)

7=1,2.....N. 1=1,2,..., И.

Следовательно, вопрос живучести системы (3) или оценки уровня ее живучести связан непосредственно с оценкой множества точек, удовлетворяющих (14). Обозначим его через

Согласно известного факта, куб К(у,г) принадлежит £ тогда и только тогда, когда имеет место следующая система линейных неравенств '

п

п

п

п

п

п

-?,1ЪlJУJ■^rZ^\ЪlJ\4dl, 7 =1,2.....N. 1=1,2,. ...М.

Параметры максимального вписанного в £ куба определяются в результате решения задачи линейного программирования

при условиях (15).

Показатель живучести системы (3) есть отношение объема максимального куба к объему V терминального множества Б'.

В п.2.3 рассматривается система (3) с интервально заданными коэффициентами. Ставится задача обеспечения заданного уровня живучести: определить условия, при которых множество конечных состояний попадает в наперед заданную область пространства.

Показано, что задача обеспечения заданного уровня живучести системы (3) с интервальными коэффициентами есть, по сути, задача определения решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений

г таг,

J =

(2г*)п У(БТ)

Ах = Ь,

где А, Ь - интервально заданные матрица и вектор. Решение последней является самостоятельной задачей.

Проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (16) с неточно заданными матрицей А и вектором Ь рассматривалась в работах А.Н.Тихонова, В.Я.Арсеиина, Б.И.Белова, Е.Г.Анциферова, В.К.Горбунова, С.П. Шарого и многих других авторов.

В диссертации вводится в рассмотрение неотрицательный п -вектор 8, характеризующий точность выполнения равенств (16). Назовем вектор X €-решением уравнения (16), если для любых допустимых пар А, Ь, отвечающих условиям Л < .4 < Л, совместны неравенства

Ь-е^АгО+е .

В качестве универсального решения уравнения (16) примем е-решение с минимальным в некоторой норме вектором 6.

Требуется: установить существование е-решений и универсальных решений и построить неулучшаемую внутреннюю аппроксимацию множества всех 6 - решений кубом или параллелепипедом с параллельными координатным осям сторонами.

Отметим, что понятие универсального решения идейно близко понятию сильнооптимального решения интервальной задачи линейного программирования, введенного И.И.Ереминым.

Используя введенное определение можно показать, что задача аппроксимации множества е-решений сводится к одной из двух задач линейного программирования

N

Ё г, -♦ таг гн+1 шг

3=1

О " г*+1 > 0

при условиях

N N

£ < Ь» + е4 . ^ ии * Ь, - е, .

"и < ЗД| — г№ц

"и < -

"и ад +

"и +

Г^ £ 0, (=7, 2, п, ,/=7, г.....N .

Здесь ^-ТИ-Тг+Тв. Решение последней позволяет определить условия, при которых обеспечивается заданный уровень живучести.

В заключении диссертации приведены выводы и выносимые на защиту основные результаты:

- постановка и решение проблемы живучести для линейной дискретной системы управления;

- процедура построения множества достижимости линейной дискретной системы управления и, как следствие, характеристика решения многоэкстремальной задачи нелинейного программирования (теорема (2.2.2) );

- методы нахождения универсальных и 6-решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

Публикации по теме диссертации:

1. Ащепков Л.Т., Долгий Д.В. Описание и аппроксимация

множества достижимости линейной дискретной системы управления. Исследование операций (модели, системы, решения). М: Вычислительный центр АН СССР, 1989, с.17-29.

2. Ащепков Л.Т., Долгий Д.В. Описание и аппроксимация аффинного образа куба/ Методы математического программирования и программное обеспечение. Тез. докл. (Свердловск, 24 февраля - 3 марта 1989г.). Свердловск: УрО АН СССР, 1989, с.10-11.

3. Долгий Д.В. Описание и аппроксимация множества достижимости линейной дискретной системы/ 3-я Всесоюзная школа. Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ. Тез. докл. (Кемерово, 1990). Кемерово: Изд-во Кемеровского гос. ун-та, 1990. с.128.

4. Долгий Д.В. Description and approximation oî set of invariant suboptimal solutions of linear programming problem// Международный семинар. Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации. Тез. докл. (Владивосток, 9-13 сентября 1991г.). Владивосток: Ин-т прикл. матем. ДВО РАН, 1991. с.43.

5. Ащепков Л.Т., Долгий Д.В. Универсальное и 8-решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений// 1Х-я Сибирская школа-семинар. Методы оптимизации и их приложения. Тез. докл. (Иркутск, 11-17 августа 1992). Иркутск: ИНЦ СО РАН, 1992, с.17.

6. Ащепков Л.Т., Долгий Д.В. Универсальные решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений/ Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Изд-во ДВО РАН, 1992. 17 с.

7. Ащепков Л.Т., Долгий Д.В. The universal solutions of interval systems of linear algebraical équations// International

Journal of Software Engineering and- Knowledge Engineering. Vol.3 No.4, 1993 p.477-485.

8. Долгий Д.В. Control of the linear disturbanced systems/ Int. conf. "Systems, Control, Information", Methodologies & Applications SCI'94. Wuhan, 1994.

9. Долгий Д.В. The rize of vitality of the disturbanced control systems." Advances in Modelling & Analysis// C, Vol.48 N 3, 1995, pp.5-9.